Vectores en el sistema coordenado rectangular.Anteriormente, un vector se representó por un segmento dirigido, si ahora colocamos el punto inicial del vector en el origen de un sistema coordenado rectangular, entonces el vector se puede especificar por las coordenadas rectangulares (x, y, z) del punto final de dicho vector. Así existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de vectores cuyos puntos iniciales están en el origen de coordenadas.

A�

A�

( ), ,x y zA A A A=�

xAyA

zA

x

y

z

Vectores Unitarios en el Sistema de Coordenadas Cartesiano

Entenderemos por direccionalidad de los ejes de coordenadas, al vector unitario que corresponde a cada eje del sistema de coordenadas rectangulares, los cuales se representan como:

( )ˆ 1,0,0i = ; ( )ˆ 0,1,0j = ( )ˆ 0,0,1k =;

Así, si se tiene únicamente un punto del vector, se presupone que su punto inicial es el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Si se tienen dos punto del vector, habrá que especificar cuál es el punto inicial y cuál el final. Con esta notación el vector no tiene que iniciar en el origen de coordenadas.

ˆˆ ˆ( , , )x y z x y zA A A A A i A j A k= = + +�

De donde un vector en el sistema de coordenadas rectangulares, se podrárepresentar utilizando los vectores base de la siguiente manera:ˆˆ ˆ, ,i j k

Álgebra vectorial.

Dos vectores son iguales sí y solo sí sus componentes correspondientes son iguales, si ˆˆ ˆ

x y zA A i A j A k= + +�

y ˆˆ ˆx y zB B i B j B k= + +

�entonces A B=

� �; si Ax=Bx; Ay=By;

Az=Bz.

El producto de un vector A�

y un escalar m se obtiene por la multiplicación de cada

una de las componentes de A�

por el escalar m, es decir ˆˆ ˆx y zmA mA i mA j mA k= + +

�

La suma o resultante de dos vectores

, es decir:A�

B�

es otro vectory

sumando las componentes correspondientes de C�

que se obtieneA�

B�

y

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zC A B A B i A B j A B k= + = + + + + +� � �

La magnitud o longitud del vector se denota por A��

si ˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +

�

entonces: 2 2 2x y zA A A A= + +

��, así el vector unitario ˆAe se calcula como:

2 2 2

ˆˆ ˆˆ x y z

A

x y z

A i A j A kAe

A A A A

+ += =

+ +

��

�

Producto escalar de dos vectores.

en donde:

Podemos comprobar este producto de la siguiente manera:

El producto escalar de dos vectores es un escalar que se obtiene multiplicandoA�

B�

y

componente a componente: x x y y z zA B A B A B A B⋅ = + +� �

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k⋅ = + + ⋅ + +� �

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

A B i i A B i j A B i k

A B A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

� �⋅ + ⋅ + ⋅� �� �⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅� �� �+ ⋅ + ⋅ + ⋅� �� �

� ���

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0

i i j j k k

i j i k j k

⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ = ⋅ =

Por tanto: x x y y z zA B A B A B A B⋅ = + +� �

= escalar

Producto cruz de dos vectores.

El producto cruz de dos vectores A�

B�

y es otro vector perpendicular a ambos dado

por: ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zA B A i A j A k B i B j B k× = + + × + +

� �

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ+

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ+

x x x y x z

y x y y y z

z x z y x z

A B i i A B i j A B i k

A B A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

� �× + × + ×� �� �× = × + × + ×� �� �� �× + × + ×� �

� �

En donde se tienen las siguientes observaciones, el producto cruz de un vector por si mismo es cero, por lo que: ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i i j j k k× = × = × = , se tiene también que por la ley

de la mano derecha el resultado de los productos vectoriales de los vectores unitarios son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= ; ; ; ; ; i j k i k j j i k j k i k i j k j i× × = − × = − × = × = × = −

Quedando el resultado del producto cruz de la siguiente manera:ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ+x y x z y x y z z x z yA B A B k A B j A B k A B i A B j A B i× = − − + −

� �

Juntando los términos que tengan los mismos vectores unitarios:

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ+y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k× = − − + −� �

Este resultado también se puede representar en el sistema de coordenadas como un determinante, en el cual en la primera fila se colocan los vectores unitarios de la base del sistema coordenado rectangular, en la segunda fila las componentes del primer vector y en la última fila las componentes del segundo vector:

ˆˆ ˆˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

i j k

A B A A A A B A B i A B A B j A B A B k

B B B

× = = − − − + −� �

Se muestra que ambos resultados son iguales.

Problema 2.39. Hwei P. Hsu.- Hallar el valor de m, tal que: ( ), 2,1A m= −�

( )2 , , 4B m m= −�

y

sean perpendiculares.

Solución. Para que dos vectores sean perpendiculares es necesario que suproducto punto sea cero, es decir:

cos 0A B A B θ⋅ = =� �� � ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 4 0A B mi j k mi mj k⋅ = − + ⋅ + − =

� �

�

22 2 4 0m m− − = 2 4 324

m± +=� � 1

2 62

4m

+= = y 2

2 61

4m

−= = −

Así, los vectores son para m = -1 ( )1, 2,1A = − −�

y ( )2, 1, 4B = − − −�

para m = 2 ( )2, 2,1A = −�

y ( )4,2, 4B = −�

Problema 2.40. Hwei P. Hsu.- Hallar un vector unitario que forme un ángulo de 45°, con el vector ( )2,2, 1A = −

�y un ángulo de 60°con ( )0,1, 1B = −

�

Solución.- Sea ( ), ,C x y z=�

el vector que queremos hallar, aplicando la definiciónaritmética de producto punto que relacionándola con su expresión en coordenadas cartesianas nos queda:

( )cos 45oA C A C⋅ =� � � �

� ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 92

i j k xi yj zk x y z+ − ⋅ + + = + +

( )cos 60oB C B C⋅ =� �� �

� ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 22

i j k xi yj zk x y z+ − ⋅ + + = + +

Al ser C�

un vector unitario tiene la característica de que su magnitud es 1.2 2 2 1C x y z= + + =

�es decir que se establece un sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas, que son:

2 2 21 3 ; 2 2 ; 1

2 2y z x y z x y z− = + − = + + =

22 21 1 3 1

2 2 y 12 2 2 2

z y x y y x y y = − � + − − = + + − =� � � � � �

2 2 21 3 2 12 y 1

22 2 2y

x y x y y + + = + + − + =� � �

El sistema reducido de dos ecuaciones con dos incógnitas a resolver es:2

22

x y+ = 2 2 2 12

22y

x y+ − =

Despejando x de la primera ecuación y sustituyéndola en la primera nos queda:

1 22 2

x y = −� � �

�2

21 2 2 12

2 22 2y

y y� � − + − =� �� � �� �

2 21 4 4 2 12

4 2 22 2y y

y y − + + − =� � �

221 2 1

22 4 22 2

y y yy− + + − =�

221 2 1

22 4 22 2

y y yy− + + − = 29 3

04 2

yy − =� �

3 13 0

4 2y y − =� � �

De esta ecuación vemos que y puede tomar los valores de:

y = 0 ; para este valor x y z son:12

x = 12

z = −�1 1

,0,2 2

C = −� � �

��

Para el otro valor de y se tiene: 3 10

4 2y − = 4

3 2y =� 1 2 4

2 2 3 2x = −� �

��

1 2 2 11

2 32 3 2x = − =� �� �

� �

4 1 13 2 2 3 2

z = − =�1 4 1

, ,3 2 3 2 3 2

C = � � �

�

�

Triple Producto escalar

El triple producto escalar de tres vectores A�

B�

y, C�

es el escalar que se denota por

( )A B C ABC� �⋅ × = � �

� � � �� �En forma de determinante se calcula como:

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

A A A

A B C B B B

C C C

⋅ × =� ��

En donde se hace la observación de que si, el triple producto escalar es diferente de cero, entonces los vectores no son coplanares o que son linealmente independientes.

Bases reciprocas.

Un conjunto de tres vectores no nulos ni coplanares 1 2 3, ,a a a� � �

cualquier otro vector en tres dimensiones puede expresarse como una combinación lineal de ellos. Se dice que la base es derecha si el triple producto escalar

se llama una base si

( )1 2 3a a a⋅ ×� � �

es positivo, si dicho triple producto es negativo se dice que la base es izquierda.Una segunda base 1 2 3, ,b b b

� � �

se llama recíproca con respecto 1 2 3, ,a a a� � � si se cumple que:

10m n mn

si m na b

si m nδ

=�⋅ = = � ≠�

��

donde mnδ se conoce como la delta de Kronecker.

Por lo que si hacemos n=1 y variamos la m, los productos punto que se obtienen son:

1 1 1a b⋅ =��

2 1 0a b⋅ =��

3 1 0a b⋅ =��

Lo que nos dicen estos resultados es que por las propiedades del producto punto se tiene el vector 1b

�

es paralelo o colineal del vector , y que es perpendicular a los1a�

vectores 2a� y 3.a

� También sabemos que si los vectores forman una base el1 2 3, ,a a a� � �

producto cruz (ordenado) de dos de estos vectores nos dará un resultado que tendrála misma dirección que el tercer vector, pero no la misma magnitud, es decir

( )1 2 3a m a a= � � �

Dado que y tienen la misma dirección se tiene que:1a�

1b�

1 1b aλ=� �

Por lo que el producto punto nos queda como:

( ) ( )1 2 31 2 3

11 a a a

a a aσ σ� �⋅ × = � =� � ⋅ ×

� � �� � �

( ) ( )1 2 3 2 3b m a a a aλ σ= × = ×� � � � �

Sustituyendo la expresión de obtenemos:1a�

Realizando las mismas operaciones con los otros dos vectores recíprocos, nos queda que estos se pueden escribir como:

( )3 1

21 2 3

a ab

a a a×=

⋅ ×

� ��

� � � ( )1 2

31 2 3

a ab

a a a×=

⋅ ×

� ��

� � �

Bases ortonormales.

Un conjunto de tres vectores no nulos 1 2 3, ,u u u� � �

solo si los vectores son unitarios, mutuamente ortogonales y se cumple que su triple producto escalar es

constituyen una base ortonormal si y

( )1 2 3 1u u u⋅ × =� � �además de que:

10m n mn

si m nu u

si m nδ

=�⋅ = = � ≠�

� �

De tal manera que, dada una base ortonormal 1 2 3, ,u u u� � � un vector A

�

como una combinación lineal de los vectores unitarios de esta base ortonormal.puede escribirse

3

1 1 2 2 3 31

ˆ ˆ ˆ ˆi ii

A A A A Aµ µ µ µ=

= + + =��

( )2 3

11 2 3

a ab

a a a×=

⋅ ×

� ��

� � �1b�

1b�

Es decir que el vector reciproco queda como:

En donde 1 2 3, ,A A A son las componentes del vector A�

en la direcciones de los vectores

unitarios 1 2 3, ,u u u� � � . Así multiplicando en producto punto por 1u

� en ambos lados de A�

queda: ( )1 1 1 1 2 2 3 3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A A A Aµ µ µ µ µ⋅ = ⋅ + + =�

Por tanto, el vector A�

se puede escribir como:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A A Aµ µ µ µ µ µ= ⋅ + ⋅ + ⋅� � � �

( )3

1

ˆ ˆi ii

A A µ µ=

= ⋅�� �

�

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Dado un conjunto de tres vectores linealmente independiente 1 2 3, ,a a a� � � se puede

construir una base ortonormal 1 2 3, ,u u u� � � de modo que 1u

� sea un múltiplo escalar de 1.a�

Se tiene que hacer que 2u� sea una combinación lineal 1 2, .a a

� � Y por último se hace que3u� sea una combinación lineal de 1 2 3, , .a a a

� � � Las relaciones a utilizar son:

11

1

au

a=

��

� ;( )( )

2 2 1 12

2 2 1 1

a a u uu

a a u u

− ⋅=

− ⋅

� � � ��

� � � �( ) ( )( ) ( )

3 3 1 1 3 2 23 1 2

3 3 1 1 3 2 2

a a u u a u uu u u

a a u u a u u

− ⋅ − ⋅= = ×

− ⋅ − ⋅

� � � � � � �� � �

� � � � � � �;

Solución: Utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt, en el que el primer vector unitario es:

- 1.0- 0.5

0.00.5

1.0x

01

23

y

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

z

1

ˆ ˆ3ˆ10

A i ju

A+= =

�

�

Problema 2.51. Hwei P. Hsu.- Construir un conjunto ortonormal a partir de ( )1,3,0A =�

y ( )1,1,0B = −�

- 0.5

0.0x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8y

0.0

0.5

1.0

z

El segundo vector se halla con la expresión del vector auxiliar 2 :v�

( )2 1 1ˆ ˆv B B u u= − ⋅� �� � ( ) ( )2

ˆ ˆ ˆ ˆ3 3ˆ ˆ ˆ ˆ10 10

i j i jv i j i j

� � + += − + − − + ⋅� �� � � � � �� �

�

( ) ( ) ( )2

ˆ ˆ2 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ31010 10

i jv i j i j i j

+ = − + − = − + − +� �� � � �

�

( ) ( ) ( )2

1 6 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 35 5 5 5

v i j i j i j i j= − + − + = − + = − +�

( )22

2

ˆ ˆ2 1 3ˆ ˆˆ 35 36 4 10

25 25

v i ju i j

v− += = − + =

+

�

�

Para comprobar que estos vectores son ortonormales su producto punto debe ser cero:

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ3 3ˆ ˆ 010 10

i j i ju u

+ − +⋅ = ⋅ =� � � � � �

Para hallar el último vector deberíamos tener un tercer elemento C�

para aplicar elProcedimiento completo de Gram-Schmidt, al no tener este término implicaría que no podemos hallar este último vector unitario, sin embargo como este elemento tiene la característica de ser perpendicular a ambos vectores unitarios

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 ˆˆ ˆ10 10

i j i ju u k

+ − +× = × =� � � � � �

( )3ˆ 0,0,1u =�

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x

0

2

4

6

8

y0

2

4

z

Problema Murray & Spiegel.- Dados los vectores ( )2,7,1A�

y ( )1,8,5B�

base ortonormal de vectores unitarios construir una

1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,u u u utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt.

1

ˆˆ ˆ2 7ˆ54

A i j ku

A

+ += =�

�

( )2 1 1ˆ ˆv B B u u= − ⋅� ��

( ) ( )2

2 56 5ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 5 2 754

v i j k i j k+ + = + + − + +� �

�

�

( ) ( )2

7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 5 2 76

v i j k i j k = + + − + +� � �

�

( ) ( )2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 7 2 7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 5 8 554 54

i j k i j kv i j k i j k

� � + + + += + + − + + ⋅� �� � � �� � � �� �

�

Solución: Ubicando a los vectores en el sistema de coordenadas cartesianas obtenemos:

0.0 0.5

x

0.0

0.5y

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 8 5 7 2 7 ˆ ˆ ˆ ˆ6 14 48 49 30 7 8 236 6 6

i j k i j k i j k i j kv

+ + − + + − + − + − − − += = =�

2

ˆˆ ˆ8 236

i j kv

− − +=� � 22

2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 23 1 8 23ˆ6 64 1 529 594

36 36 36

v i j k i j ku

v

� �− − + − − +� �= = =� �+ +� � �

�

�

1 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 7 8 23ˆ ˆ54 594

i j k i j ku u

+ + − − +× = ×� � � � � �

( )( )1 2

ˆˆ ˆ1ˆ ˆ 2 7 1

54 594 8 1 23

i j k

u u× =− −

( )1 2 3

1 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ 162 54 5432076

u u u i j k× = = − +

( ) ( )3

54 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 3 332076 11

u i j k i j k= − + = − +

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 7 1 (35 8) (10 1) (16 7) 27 9 9

1 8 5

i j k

A B i j k A B i j k C× = = − − − + − � × = − + =� � �� �

Problema Murray & Spiegel.- Dados los vectores ( )2,7,1A�

y ( )1,8,5B�

base ortonormal de vectores unitarios construir una

1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,u u u utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt.

Solución.- Otro modo de hallar los vectores unitarios de una base ortonormal es como sigue

Este producto cruz nos da un vector que es perpendicular simultáneamente a y A B� �

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ27 9 9 ( 9 63) (27 18) (189 18) 72 9 207

2 7 1

i j k

C A i j k C A i j k D× = − = − − − − + + � × = − − + =� � � � �

Realizando otro producto cruz para hallar un vector que sea perpendicular a y A C� �

Los vectores , y A C D� � �

Forman una base no unitaria, por lo que aplicando el concepto de vector unitario para formar la base ortonormal obtenemos:

1

ˆˆ ˆ2 7ˆ54

A i j ku

A

+ += =�

�( )

2 2

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ9 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ27 9 9 27 9 9 3ˆ891 891 1127 81 81

i j kC i j k i j k i j ku

C

− +− + − + − += = = = =+ +

�

�

( )3

ˆˆ ˆˆ ˆ9 8 23ˆ ˆ ˆ ˆ72 9 207 8 23ˆ48114 48114 594

i j kD i j k i j ku

D

− − +− − + − − += = = =�

�

Estos tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares por lo que forman una base ortonormal. Comprobaremos que sea una base derecha, realizando el producto punto en el orden en que fueron hallados:

( ) [ ]1 2 3

2 7 11 1 594ˆ ˆ ˆ 3 1 1 2( 23 1) 7(69 8) 1( 3 8) 1

594 59454 11 5948 1 23

u u u⋅ × = − = − + − + + − − = − = −∗ ∗

− −

Por lo que es una base izquierda, cambiando el orden del producto cruz se transforma esta base en derecha:

( ) [ ]1 3 2

2 7 11 1 594ˆ ˆ ˆ 8 1 23 2( 1 23) 7( 8 69) 1(3 8) 1

594 59454 11 5943 1 1

u u u⋅ × = − − = − + − − − + + = =∗ ∗

−

1 3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 7 8 23 16 7 23ˆ ˆ 054 594 54 594

i j k i j ku u

+ + − − + − − +⋅ = ⋅ = =� � � �� � � � ∗ � �

Hagamos un producto punto para verificar la perpendicularidad:

Ecuaciones vectoriales de rectas y planos

Una recta en el plano xy está determinada cuando se dan un punto y una dirección sobre la recta (su pendiente o ángulo de inclinación). La ecuación de la recta puede expresarse con la forma punto pendiente.

De manera semejante, una recta L en el espacio tridimensional está determinada cuando conocemos un punto Po(xo, yo, zo) sobre L y la dirección de L.

x

y

z

r�

or�

( ), ,P x y z( ), ,o o o oP x y z a�

Lv�

O

En las tres dimensiones, un vector describe la dirección de una recta de manera conveniente, así que sea v un vector paralelo a L. Sea P(x, y, z) un punto arbitrario sobre L y sean ro y r los vectores de posición de Po y P (es decir tienen representaciones OPo y OP). Si a es el vector con representación PoP, como se ve en la figura, entonces el vector r es la suma o resultante de ro y a. or r a= +� � �

Dado que a y v son vectores paralelos entonces existe un escalar t, tal que: por lo que:a tv=� �

or r tv= +� � �

La cual se denomina ecuación vectorial de L.

A t se le conoce como el parámetro de la ecuación. Para cada valor de t se tiene un vector de posición r sobre L. En forma de componentes se tiene:

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆo o oxi yj zk x i y j z k t ai bj ck+ + = + + + + +

( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆo o oxi yj zk x ta i y tb j z tc k+ + = + + + + + ; ; o o ox x ta y y tb z z tc= + = + = +�

A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones paramétricas de la recta L.

Si tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta (por parejas) y despejamos el parámetro t, obtenemos los que se conoce como las ecuaciones simétricas de L.

; ; o o ox x y y z zt t t

a b c− − −= = = ; o o o ox x y y z z y y

a b c b− − − −= =�

Ejercicio 1.- Determine la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la siguiente rectas:

a).- La recta que pasa por el punto (-2,4,5) y es paralela al vector v = (3,-1,6)

b).- La recta que pasa por el punto (0,1,2) y es paralela al vector v = 6i+3j+2k

c).- La recta que pasa por el origen y es paralela la recta 2 ; 1 ; 4 3x t y t z t= = − = +

NormalSe dice que un vector (o una línea) es normal a otro, si entre estos hay un ángulo de 90°(π/2), y si además es unitario a este vector se le conoce como ortonormal.

Debemos tener en cuenta la forma de definir las ecuaciones simétricas mostradas arriba y la ecuación punto pendiente, ya que existe una diferencia en su notación.

Observemos que en la ecuación punto pendiente al despejar y se tiene:

0ax by c+ + =ax c

yb+= −

am

b= −

En las ecuaciones simétricas se tiene, para el caso bidimensional

o ox x y ya b− −= ( ) ( )o ob x x a y y− = − 0o obx ay bx ay− − + =

bn

a=

Problema.- Utilice una proyección escalar para demostrar que la distancia (perpendicular) desde un punto P1(x1,y1) a la recta cuya ecuación es ax+by+c = 0resulta igual a :

1 1

2 2

ax by cd

a b

+ +=

+Use esta fórmula para determinar la distancia desde el punto (-2,3) a la recta

3 4 5 0x y− + =Solución.- Sabemos que la pendiente de la normal escrita de acuerdo a la ecuación punto pendiente está dada por:

o

o

y yba x x

−=−

A esta normal le corresponde el vector ˆ ˆn ai bj= +�

2 2

ˆ ˆˆ ai bjn

a b

+=+

( )1 1 1,P x y

( ),o o oP x y

El vector de posición que pasa por el punto P1(x1,y1), pero que corta a la recta con ecuación es ax+by+c = 0 en Po(xo,yo) es:

( ) ( ) �1 1 1o o oP P x x i y y j= − + −����

�

El producto punto entre estos dos vectores nos da la distancia que buscamos, ya que es la proyección de PoP1 sobre la normal a la recta dada.

( ) � ( ) ( ) �1 1 1 2 2

ˆ ˆo o o

ai bjP P n x x i y y j

a b

+� �⋅ = − + − ⋅� �� � + �

�����

( ) � ( ) ( )1 11 2 2

o oo

a x x b y yP P n

a b

− + −⋅ =

+

����

( ) � ( )1 11 2 2

o oo

ax by ax byP P n

a b

+ − +⋅ =

+

����

Observando que en la ecuación punto pendiente Po es el punto de intersección de la recta original con la recta formada por el vector PoP1, y que la constante c resulta de la evaluación en ese punto.

( )0oc ax by= − +

( ) � 1 11 2 2o

ax by cP P n d

a b

+ +⋅ = =+

����

Sustituyendo en el producto punto, obtenemos

Problema.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por Po(2,1,0) y es perpendicular simultáneamente a yˆ ˆb i j= +

�ˆˆd j k= +

�

Solución: La recta que pasa por el punto Po dado es paralela al vector que resulta del producto cruz de los vectores b y d:

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1 0 (1 0) (1 0) (1 0)

0 1 1

i j k

b d i j k b d i j k C× = = − − − + − � × = − + =� � � � �

( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆo o oxi yj zk x ta i y tb j z tc k+ + = + + + + +

Sustituyendo en la ecuación vectorial de la recta, obtenemos:

( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 0xi yj zk t i t j t k� + + = + + − + +

Problema.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por Po(1,-1,1) y es paralela a:

12 3

2x y z+ = = −

Solución: La recta paramétrica cuya ecuación simétrica nos dan es:1

2 32

x t y t z t+ = � = � − = ˆˆ ˆ2 ; 2 ; 3 2x t y t z t a i j k= − + = = + � = + +�

Así la ecuación paramétrica de la recta que pasa por Po(1,-1,1) es:

1 ; 1 2 ; 1x t y t z t= + = − + = +

Sea P(x,y,z) un punto arbitrario en el plano, y sean ro y r los vectores de posición de Po y P.

x

y

z

r�or

� ( ), ,P x y z( ), ,o o o oP x y z

n�

O

El vector normal n es perpendicular a cualquier vector en el plano, en particular al vector r-ro, por lo que se tiene:

( ) 0on r r⋅ − =� � �

Esta se conoce como la ecuación vectorial del plano:

Si la normal esta dada como: ˆˆ ˆn ai bj ck= + +� la ecuación del plano queda como:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0o o oai bj ck xi yj zk x i y j z k� �+ + ⋅ + + − + + =� �

( ) ( ) ( ) 0o o oa x x b y y c z z− + − + − =

( )o o oax by cz ax by cz+ + = + + ( )o o oax by cz d+ + =ax by cz d+ + =

PlanosSe especifica un plano en el espacio si se tiene un punto Po(xo,yo,zo) en el plano y un vector n que es ortogonal (perpendicular) al plano. En donde n se conoce como el vector normal.

( )ˆ 0on r r⋅ − =� �

Problema.- Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,4,5) y es perpendicular al vector (7,1,4)

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ7 4

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 4 5 049 1 16o

i j kn r r xi yj zk i j k

+ +� �⋅ − = ⋅ + + − + + =� �+ +

� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ7 4

ˆˆ ˆˆ 1 4 5 049 1 16o

i j kn r r x i y j z k

+ +� �⋅ − = ⋅ − + − + − =� �+ +

� �

( ) ( ) ( )7 1 4 4 5 0x y z− + − + − = 7 7 4 4 20 0x y z− + − + − = 7 4 31 0x y z+ + − =

Problema.- Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (6,5,-2) y es paralelo al plano 1 0x y z+ − + =

Solución: Por la forma de la ecuación del plano obtenemos que la normal está dada por: n = (1,1,-1)

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 6 5 2 03o

i j kn r r xi yj zk i j k

+ −� �⋅ − = ⋅ + + − + − =� �

� �

( ) ( ) ( )6 5 2 0x y z− + − − + =

13x y z+ − =

Vemos que la normal al plano está asociada a los coeficientes de las x,y,z de dicho plano.