o 2 3 4

1 1 1 10000 10000 10000 10000

Graacutefico 266

Datos A = $10000 valor del pago anual perpetuos j = 16 tasa de intereacutes nominal anual m = 4 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i = jm = 0164 = 004 tasa de intereacutes efectiva trimestral n --1 oc antildeos de plazo (perpetuo) p=

Solucioacuten Se trata de una anualidad perpetua ordinaria general donde la tasa perioacutedica efamp r conocida ~s 4 por trimestre como los pagos son anuales queremos hallar _~lt tasa efectiva anual la cual obtenemos haciendo uso de la foacutermula de agrupaci r =oacute la tasa de intereacutes donde m = 4 periacuteodos de intereacutes por periacuteodo de pago

i = (1 + 004 ) 4 - 1 =0169859 = 169859 anual

Hemos logrado convertir el periacuteodo de la tasa de intereacutes al periacuteodo e pa - eacute-~ reemplazando los datos en la foacutermula de valor presente anual csd ~C ~ _ ordinaria obtenemos la respuesta

p = 2 = 10000 _ = $5887236 i 0169859

El valor presente de la serie anual perpetua es $5887236

2 MEacuteTODO DEL PAGO EQUIVALENTE Otro meacutetodo para la conversioacuten de la anualidad general en una simple es s reciacuteproco del meacutetodo anterior yconsiste en el ajuste del pago equivalente al periocc de la tasa de intereacutes este ajuste lo realizaremos a traveacutes del uso de dos factores agrupacioacuten ydistribucioacuten del pago vencido

La transformacioacuten de los pagos A en pagos equivalentes X hechos al final d periacuteodo de intereacutes i es un procedimiento bien aceptado por las instituciones financieras debido a que los periacuteodos de intereacutes son la mejor unidad de tiempo

IX4 Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alva rado

=- _- anualidad general en una simple r 5S - 0- = - __ 000 de pago mayor que el periacuteodo de la

~i ce ~~ - gt ~-- -iquesto7 este factor es

x= A l--(-1 - ----- -JI Foacutermula 231 + i ) h - 1

Dltmde

x= Valor del pago equivalente A = valor del flujo o pago conocido i = tasa por periacuteodo de intereacutes i = jm h = nuacutemero de periacuteodos de intereacutes por intervalo del pago conocido

Supongamos que los pagos se efectuacutean al final de cada 6 meses y el periacuteodo de la asa de intereacutes es mensual luego por cada periacuteodo de pago existen 6 periacuteodos de intereacutes Graacutefico 267

o 2 3 4 5 6 Meses

1 Pago A semeslral

Graacutefico 267

Ejemplo 243 Si el intereacutes es de 24 CM reemplacemos un pago de $20000 al final de cada antildeo por pagos X al final de cada mes Graacutefico 268

O__----__-=2--__3-_ _ c4__c__c11_ _ ----12 Meses

1 1 1 1 1 1 X

A =20000

Graacutefico 268

Inlroduccioacuten a la Geslioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado I ~5

Datos A = $20000 valor del pago al final de cada antildeo j = 24 = tasa nominal deamp intereacutes anual m = 12 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i =jlm =02412 =002 tasa efectiva mensual h = 12 nuacutemero de periacuteodos de intereacutes por cada pago A X = pagos equivalentes mensuales

Solucioacuten Dado que el periacuteodo de la tasa de intereacutes i es mensual y el pago A es anual distribuimos de forma equivalente el valor $20000 en 12 pagos iguales al final de cada mes para ello reemplazamos los datos en la foacutermula 231 esto es

X=20000[ 002 ]=20000(00745596)= $14911912( 1 +002 ) - 1

La respuesta anterior equivale decir podemos pagar $20000 al final de cada antildeo o bien de forma equivalente $149119 al final de cada mes con el intereacutes del 24 CM Notemos que el pago a distribuir es un valor futuro

b Factor de agrupacioacuten

Este factor es uacutetil para transformar una anualidad general en una simple cuando se nos presenta el intervalo o periacuteodo de pago menor que el periacuteodo de la tasa de intereacutes (pp lt pi) graacutefico 269 este factor es

Foacuterm ula 2321

( 1 + i) P - 1

Donde

x= Valor del pago equivalente A = valor del flujo o pago conocido j = tasa por periacuteodo de intereacutes i = jm p = nuacutemero de pagos por periacuteodos de intereacutes

Igoacute Introduccioacuten a la Geslioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

Datos A = $20000 valor del pago al final de cada antildeo j = 24 = tasa nominal deamp intereacutes anual m = 12 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i =jlm =02412 =002 tasa efectiva mensual h = 12 nuacutemero de periacuteodos de intereacutes por cada pago A X = pagos equivalentes mensuales

Solucioacuten Dado que el periacuteodo de la tasa de intereacutes i es mensual y el pago A es anual distribuimos de forma equivalente el valor $20000 en 12 pagos iguales al final de cada mes para ello reemplazamos los datos en la foacutermula 231 esto es

X=20000[ 002 ]=20000(00745596)= $14911912( 1 +002 ) - 1

La respuesta anterior equivale decir podemos pagar $20000 al final de cada antildeo o bien de forma equivalente $149119 al final de cada mes con el intereacutes del 24 CM Notemos que el pago a distribuir es un valor futuro

b Factor de agrupacioacuten

Este factor es uacutetil para transformar una anualidad general en una simple cuando se nos presenta el intervalo o periacuteodo de pago menor que el periacuteodo de la tasa de intereacutes (pp lt pi) graacutefico 269 este factor es

Foacuterm ula 2321

( 1 + i) P - 1

Donde

x= Valor del pago equivalente A = valor del flujo o pago conocido j = tasa por periacuteodo de intereacutes i = jm p = nuacutemero de pagos por periacuteodos de intereacutes

Igoacute Introduccioacuten a la Geslioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

~xr a q ees pagos se e ectuan al final de cada mes yel periacuteodo de la tasa ~ ~ ~B de intereacutes es semestral entonces por cada periacuteodo de intereacutes existen 6 = ~3 Graacutefico 269

i Tasa de intereacutes semestral

1Meses11 21 1 i i A A A A A A Pago mensual

Graacutefico 269

Ejemplo 243 Con una tasa de intereacutes de 18 efectivo anual sustituir pagos de $2500 al final de cada mes por pagos equivalentes X al final de cada antildeo Graacutefico 270

o 1 2 3 4 12 Meses

I I 1 1 12500 2500 2500

~ X

Graacutefico 270 Datos A =$2500 pago al final de cada mes j =18 tasa nominal anual m = 1 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i = iexcl1m = 0181 = 018 tasa efectiva anual p ~ 12 nuacutemero de pagos por periodo de intereacutes X~

Solucioacuten Notemos que el periacuteodo de la tasa i es anual y el periacuteodo de A es mensual entonces no coinciden debido a esto agruparemos de forma equivalente 12 pagos de $2500 efectuados al final de cada mes en un soacutelo pago X al final de un antildeo de la siguiente manera

018X = 2500 = 2500(12960428) = $3240107

1

( 1+018)12_1

Introduccioacuten ala Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado I X7

Concluimos que el valor del pago equivalente anual es $3240107 que resulte mismo que $2500 mensuales durante un antildeo Para una buena respuesta la frace 1p debemos escribirla con 6 decimales miacutenimo para que el caacutelculo sea lo iexcliexcl- o

exacto posible

Despueacutes de distribuir O agrupar los fluJos perioacutedicos dados para tener un flujo al fieacute de cada periacuteodo de intereacutes el valor presente P de una anualidad general vencida ~ encuentra utilizando la foacutermula 233 intercambiando el valor del flujo A por el va ~ shyequivalente X y ajustando el exponente N de acuerdo al nuevo nuacutemero de paiexcl= equivalentes X Entonces la foacutermula es

Foacutermula 233

Lo mismo podemos hacer par~ efectuar el caacutelculo que deseamos con las distintos tipos d anualidades que hemos estudiados

Ejemplo 244 Determinemos el valor de un depoacutesito a efectuarse hoy para realizar retiros dE $4000 al final de mes durante 10 antildeos si la tasa de intereacutes es del 8 CS Graacutefic 270 fluJo de retiros

4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000

i i i i i i i o 2 3 4 5 6 120 Meses

Graacutefico 270 D

Datos A = $4000 valor del retiro mensual j = 8 tasa de intereacutes nominal anual m = 2 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i =jm =0082 =004 lasa efectiva semestral n = 10 antildeos de plazo

IX(

Ixx Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

= 10(12) =120 retiros mensuales o N =20 pagos X semestrales equivalentes c =

- -lucioacuten l1ero debemos calcular el valor equivalente X semestral que agrupe 6 retiros o =os mensuales de $4000 dado que la el periacuteodo de tasa y el periacuteodo de pago no 1Ciden esto es

004X=o 4000 = 4000 (609924) = $2439695 semestral

1

( 1 + 004 ) 6 -1

valor presente de todos los valores agrupados X lo hallamos por la foacutermula 233 o ~a

1_ ( 1+004)-20 1 - = 2439695 -------- = 2439695 (13590326) = $33156251

[ 004

- valor del depoacutesito es de $33156251 lo cual permitiraacute retiros mensuales por $4000 _urante 10 antildeu ya que en es fecha se agutaraacute y su valur sed ceru

~3ra el caacutelculo de valor futum F de una anualidad general vencida donde la foacutermula ~ 3 se transforma en

Foacutermula 234

F=

r o 1 2 3 20 Semestres

1 8000

1 8000

1 8000

Graacutefico 271

1 8000

Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado IXI

Ejemplo 245 Una empresa realiza depoacutesitos de $8000 al final de cada 6 meses para un fondo de inversiones Si la tasa de intereacutes que devenga el fondo es de 72 CM Determinemos el valor acumulado de los depoacutesitos a los 10 antildeos Graacutefico 271

Datos A = $8000 valor del depoacutesito semestral j = 72 tasa de intereacutes nominal anual m = 12 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i =jm =007212~ 0006 tasa efectiva mensual n = 1 O antildeos de plazo N = 10(2) = 20 depoacutesitos semestrales o N = 120 pagos X mensuales equivalentes F=

Solucioacuten De forma anaacuteloga al ejemplo anterior primero distribuiremos el depoacutesito semestral de $8000 en 6 pagos X equivalentes mensuales esto es

X=8000[ 0006 6 ]=8000(0164184)= $131347 mensual (1 + 0006) -1

Una vez que hallamos el valor de X utilizamos la foacutermula 234 para saber el valor futuro o sea

F =131347 [(1+0006) 120 -1] = 131347 (1750030)=$22986120 0006

Entonces el valor futuro en el fondo de inversiones a los 10 antildeos es de $229861 20

Ejemplo 246 Una compantildeiacutea estaacute pagando al final de cada antildeo un maacuteximo de $50000 de forma indefinida en concepto de prestaciones sociales a sus empleados a una tasa del 1 mensual determinemos el valor de los pagos mensuales equivalentes y el valor actual de dichos desembolsos Graacutefico 272

o 2 3 4 Antildeos

1 1 1 1 50000 50000 SOOOO 50000

+Graacutefico 272

~

IJO Introduccioacuten ala Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

Datos A =$50000 valor del pago anual I = 1 tasa efectiva de intereacutes mensual n = 12 nuacutemero de periacuteodos de intereacutes por cada pago anual X = valor del pago equivalente mensual

Solucioacuten Dado que los desembolsos son perpetuos de forma anual entonces por la foacutermula de 231 cada pago de $50000 lo distribuimos en 12 pagos equivalentes X mensuales y perpetuos Graacutefico 273

X= 50000 [ 002] = 50000(00788487) = $394244 (1+001) -1

o 2 3 4 Meses

1 1 1 1 394244 394244 394244 394244

Graacutefico 273

El valor equivalente X =$394244 es mensual a perpetuidad asiacute calculamos el valor presente P o sea

A 394244P $3942440

001

E EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Halle el valor actual y final de una serie de depoacutesitos de $20000 al final de cada semestre durante 12 antildeos si la tasa de intereacutes es del 92 efectivo anual Respuestas $28994418 y $83365441

2 Para cancelar una deuda por $ 3547821 se efectuacutean pagos mensuales durante 35 antildeos si la tasa de intereacutes que se paga es del 18 CT iquestDe queacute tamantildeo son los pagos Respuesta $113990

Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado 191

Concluimos que el valor del pago equivalente anual es $3240107 que resulta lo mismo que $2500 mensuales durante un antildeo Para una buena respuesta la fraccioacuten 1p debemos escribirla con 6 decimales miacutenimo para que el caacutelculo sea lo maacutes exacto posible

Despueacutes de distribuir o agrupar los flujos perioacutedicos dados para tener un flujo al final de cada periacuteodo de intereacutes el valor presente P de una anualidad general vencida se encuentra utilizando la foacutermula 233 intercambiando el valor del flujo A por el valor equivalente X y ajustando el exponente N de acuerdo al nuevo nuacutemero de pagos equivalentes X Entonces la foacutermula es

Foacutermula 233

Lo mismo podemos hacer para efectuar el caacutelculo que deseamos con las distintos tipos de anualidades que hemos estudiados

Ejemplo 244 Determinemos el valor de un depoacutesito a efectuarse hoy para realizar retiros de $4000 al final de mes durante 10 antildeos si la tasa de intereacutes es del 8 CS Graacutefico 270 flujo de retiros

4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000

i i i i i i o 2 3 4 5 6 120 Meses

Graacutefico 270

Datos A = $4000 valor del retiro mensual j = 8 tasa de intereacutes nominal anual m = 2 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i = jm =0082 =004 tasa efectiva semestral n = 10 antildeos de plazo

IXX Inlroduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

= 0(12) = 120 retiros mensuales o N = 20 pagos X semestrales equivalentes - =

e cioacuten ero debemos calcular el valor equivalente X semestral que agrupe 6 retiros o

= ~os mensuales de $4000 dado que la el periacuteodo de tasa y el periacuteodo de pago no l ciden esto es

004X= 4000 = 4000 (609924) = $2439695 semestral

1

( 1 +004 ) 6 - 1

~ valor presente de todos los valores agrupados X lo hallamos por la foacutermula 233 o sa

J = 2439695 [1- (1 +004) - 20 1= 2439695 (13590326 ) = $331 56251 004

El valor del depoacutesito es de $33156251 lo cual permitiraacute retiros mensuales por $4000 uurante 10 antildeo ya que en esa fecha se agotaraacute y su Ialor seraacute cero

Para el caacutelculo de valor futuro F de una anualidad general vencida donde la foacutermula 23 se transforma en

F oX[1 + iacute)N C_

1] Foacutermula 234

F=

o 1 2 3 r 20 Semestres

1 1 1 1 8000 8000 8000 8000

Graacutefico 271

Inlroduccioacuten a la Geslioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado IXI)

Ejemplo 245 Una empresa realiza depoacutesitos de $8000 al final de cada 6 meses para un fondo de inversiones Si la tasa de intereacutes que devenga el fondo es de 72 CM Determinemos el valor acumulado de los depoacutesitos a los 10 antildeos Graacutefico 271

Datos A = $8000 valor del depoacutesito semestral j = 72 tasa de intereacutes nominal anual m = 12 frecuencia de conversioacuten de intereses anuales i =jm =007212= 0006 tasa efectiva mensual n = 10 antildeos de plazo N = 10(2) =20 depoacutesitos semestrales o N = 120 pagos X mensuales equivalentes F=

Solucioacuten De forma anaacuteloga al ejemplo anterior primero distribuiremos el depoacutesito semestral de $8000 en 6 pagos X equivalentes mensuales esto es

)

X=8000[ 0006 6 ]=8000(0164184) = $131347 mensual ( 1 + 0006) - 1

Una vez que hallamos el valor de X utilizamos la foacutermula 234 para saber el valor futuro o sea

F = 131347[ ( 1+0006) 120 -1] = 131347(1750030)=$22986120 0006

Entonces el valor futuro en el fondo de inversiones a los 10 antildeos es de $22986120

Ejempfo 246 Una compantildeiacutea estaacute pagando al final de cada antildeo un maacuteximo de $50000 de forma indefinida en concepto de prestaciones sociales a sus empleados a una tasa del 1 mensual determinemos el valor de los pagos mensuales equivalentes y el valor actual de dichos desembolsos Graacutefico 272

o 2 3 4 Antildeos

1 1 1 1 50000 50000 50000 50000

Graacutefico 272 ~

I JO Introduccioacuten ala Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

Jatos ~ = $50000 valor del pago anual =1 tasa efectiva de intereacutes mensual

- = 12 nuacutemero de periacuteodos de intereacutes por cada pago anual ( = valor del pago equivalente mensual

Solucioacuten Jada que los desembolsos son perpetuos de forma anual entonces por la foacutermula j e 231 cada pago de $50000 lo distribuimos en 12 pagos equivalentes X ensuales y perpetuos Graacutefico 273

x= 50000 [ 00 2 ] =50000(00788487) = $394244 (1 +001) -1

2 3 4 Meses

1 1 1 1 394244 394244 394244 394244

Graacutefico 273

El valor equivalente X =$394244 es mensual a perpetuidad asiacute calculamos el valor presente P o sea

A 394244P $3942440

001

E EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Halle el valor actual y final de una serie de depoacutesitos de $20000 al final de cada semestre durante 12 antildeos si la tasa de intereacutes es del 92 efectivo anual Respuestas $28994418 y $83365441

2 Para cancelar una deuda por $ 3547821 se efectuacutean pagos mensuales durante 35 antildeos si la tasa de intereacutes que se paga es del 18 CT iquestDe queacute tamantildeo son los pagos Respuesta $1 13990

Introduccioacuten a la Geslioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado tJI

3 Una persona ahorra al final de cada riles la cantidad $17000 en una institucioacuter bancaria que le garantiza el intereacutes del 735 efectivo anual Determine e valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 4 antildeos Respuesta $940731

4 Una empresa desea tener disponible dentro de 39 meses $20000 pareacute reponer una maquinaria iquestQueacute cantidad deberaacute depositar en un fondo al fineacute de cada trimestre si el fondo gana una tasa de intereacutes de 8 CS r

Respuesta $1 36401

5 Un preacutestamo por $25000 se va a cancelar mediante el sistema de cuota niveladas mensuales la primera un mes despueacutes a una tasa de intereacutes dE 16 CT durante 12 antildeos Determine el valor de la cuota Respuesta $38804

6 Determine el valor actual y final de una serie de depoacutesitos de $500 al final o cada mes durante 6 antildeos si la tasa de intereacutes es del 12 CC Respuestas $2553429 y $5245849

7 Una empresa desde 15 antildeo no ha pagado la cuota trimestral de $10000 eshyconcepto de arriendo de un edificio si el duentildeo aplica una tasa de intereacutes d 9 nominal semestral CC a los retrasos iquestQueacute valor tendraacuten esos pagos en = actualidad Respuesta $6734279

8 Se quiere saber el principal prestado si se efectuacutean pagos iguales mensualE vencidos por valor de $65246 durante 5 antildeos a un intereacutes del 245 C5 Respuesta $2298717

9 Un terreno se alquila en $1000 doacutelares mensuales anticipados iquestQueacute val actual y final tendraacute un contrato para 25 antildeos si el intereacutes es de 55 ESr

Respuestas $2643762 y $3455291

10La compantildeiacutea TSP hace una donacioacuten de $30000 a la Cruz Roja para que SE=

retirada dentro de 16 meses Determine la cantidad que deberaacute invertir compantildeiacutea en un negocio financiero mensualmente comenzando hoy pe O entregar la cantidad prometida si la tasa de intereacutes es del 5 menSL= acumulativo Respuesta $120771

11 Una tienda se compra a traveacutes de tres opciones 1) cuota inicial $6500 pagos anticipados anuales durante 3 antildeos de $592982 a un intereacutes ~ 140175 semestral 2) mediante pagos mensuales de $ 66718 el primero ~ diacutea de hoy en un plazo de 4 antildeos y a una tasa de intereacutes del 22232 efec mensual 3) cuota inicial $10000 y pagos trimestrales vencidos por $2343 durante antildeo y medio a un intereacutes del 30 CT (La mejor opcioacuten es la de me~ costo presente) Respuesta opcioacuten 2

12La deuda de un comerciante con un banco ha aumentado y hasta el diacutea hoy suma la cantidad de $1935920 La propuesta del banco para cancelar

192 Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado

deuda es mediante pagos anticipados mensuales en un plazo de 2 antildeos comenzando hoya una tasa de intereacutes del 30 sin recargo por mora Calcule el valor de la cuota mensual Respuesta $1 02543

13Un ciudadano desea tener dentro de 10 antildeos $30000 para comprarse una casa iquestQueacute cantidad deberaacute depositar mensualmente (comenzando hoy) en fondo que devenga el 2 nominal trimestral ee para acumular la cantidad deseada respuesta $16265

14 iquestCuaacutel es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $1130231 durante 8 antildeos a una tasa 251899 CC Respuesta $160500

15 Determine el valor del pago anticipado trimestral que sustituya pagos anuales vencidos de $10000 durante 12 antildeos a una tasa de intereacutes del 15 eM Respuesta $264144

16 Una comunidad compra una planta generadora de electricidad con $6000 de cuota inicial y 24 pagos de $3500 al final de cada mes Si despueacutes de haber pagado las primeras 8 cuotas y justamente antes de efectuar el pago de la novena cuota decide cancelar en un pago uacutenico el saldo de la deuda iquestcuaacutento deberaacute cancelar con intereses al 252325 eS Respuesta $4847242

17 Para cancelar una deuda una persona se compromete efectuar 8 pagos mensuales al principio de cada mes de $3000 y un pago extra de $10000 al finalizar el antildeo Si los intereses se cobran al 84790 trimestral Determinemos

el valor de la deuda al inicio del contrato Respuesta $2908956

18 El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula 18 pagos mensuales de $2000 al principio de cada mes Se efectuaron cumplidamente los primeros 4 pagos y luego se dejoacute de pagar los siguiente 5 cuaacutento tendraacute que pagar el cliente al vencimiento del siguiente para cancelar la totalidad de la deuda si el intereacutes es del 609 efectivo bimensual Respuesta $26976 20

~ Un automoacutevil se oferta a traveacutes de un pago inicial de $1600 Y50 cuotas de n $28740 mensuales el primero al teacutermino del mes 3 Si la tasa de intereacutes sobre - - saldos es del 182714 e T Determine a) el valor del auto al contado b) al

teacutermino del uacuteltimo pago mensual Respuestas a) $1136380 Y b) $2464664

~ El costo de adquisicioacuten de una maacutequina es de $30000 Los costos de operacioacuten y mantenimiento se estiman en $50000 mensuales comenzando en el mes 6

(1 despueacutes de iniciar operaciones Si la tasa que se le carga es del 1 mensual2 determinemos a) el costo anual equivalente b) costo uniforme equivalente

semestral ambos caacutelculos hasta el antildeo 3 Respuestas a) $1795624 y b)$871 024

Introduccioacuten a la Gestioacuten Financiera Noel Reyes Alvarado 193