Departamento de Ingeniería Eléctrica - Panel de Estado · En la teoría de circuitos y redes...

Universidad Nacional

de Mar del Plata

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Área Electrotecnia

Electrotecnia General

(para la Carrera Ingeniería Industrial)

Estudio de los circuitos eléctricos en Régimen Transitorio

Profesor Adjunto: Ingeniero Electricista y Laboral Gustavo L. Ferro Mail: [email protected] EDICIÓN 2015

Electrotecnia General – Capítulo 7 – Estudio de los circuitos eléctricos en Régimen Transitorio

Ing. Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia Página 2

ÍNDICE

Capítulo 7 Estudio de los circuitos eléctricos en Régimen Transitorio 7.1. Introducción 7.2. Conmutación 7.3. Régimen eléctrico 7.4. Ecuaciones fundamentales: Relación tensión – corriente. Energías. 7.5. Fuentes. Función excitación. 7.6. Comportamiento de los elementos ante conmutaciones. 7.7. Leyes de conmutación. 7.8. Circuitos equivalentes en t = 0+ 7.9. Las ecuaciones diferenciales en los circuitos eléctricos. 7.10. Las condiciones iniciales 7.11. Circuitos de primer orden 7.12. Circuitos de segundo orden 7.13. Los circuitos resonantes

7.13.1. El circuito resonante serie 7.13.2. El circuito resonante paralelo

7.14 Ejemplos de aplicación BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA:

Fundamentos de Circuitos Eléctricos Autor: Charles K. Alexander – Mattheu N. O. Sadiku Capítulo 7 y 8

Circuitos Eléctricos y Magnéticos Autor: Marcelo Sobrevila.

Capítulo 6 /Capítulo 9

Ingeniería de energía eléctrica. Libro 1. Circuitos.

Autor: Marcelo Sobrevila. Capítulo 1.4

Archivo en la red http://www3.fi.mdp.edu.ar/dtoelectrica/catedras_3e4.htm



7.1. Introducción En la teoría de circuitos y redes desarrollados hasta aquí, se ha supuesto tácitamente que aquéllos operaban bajo condiciones conocidas como de “régimen permanente” El criterio con que definiremos al régimen mencionado es el siguiente:

“Un circuito se encuentra operando bajo condiciones de régimen permanente, cuando los valores eficaces de tensión e intensidad de corriente se mantienen constantes”

Surge así el siguiente interrogante: ¿Qué efectos se producen en caso de una alteración súbita de los valores de los parámetros o del modo de funcionamiento del circuito? Tales variaciones pueden consistir en una brusca inserción o remoción de un componente pasivo o de una fuente de fuerza electromotriz. El estudio del comportamiento de circuitos lineales que contienen uno o más elementos capaces de almacenar energía tales como un inductor o un capacitor, resulta de considerable importancia por dos razones: a) Para conocer como se comportará el circuito al aplicársele una excitación. b) Cuando hay presentes dos o más de los mencionados elementos, deberá poder

preverse la ocurrencia de oscilaciones peligrosas a medida que el circuito cambia de un estado de energía a otro.

Tanto en un inductor como en un capacitor, la energía almacenada no puede variar instantáneamente. En consecuencia, una variación de la energía almacenada en el circuito, deberá ocurrir en forma gradual. Además, el cambio no podrá producirse de manera discontinua, ya que en tal caso deberían entrar en juego fuerzas infinitas. Deberá pues, transcurrir un período de tiempo durante el cual la energía almacenada cambie desde un cierto nivel inicial a un nuevo valor final. Si la corriente y la tensión permanecen constantes, las energías recién citadas también permanecen almacenadas en los inductores y capacitores e invariables mientras esa corriente o sea tensión no varíen. Si la corriente y la tensión varían sinusoidalmente, las energías de los campos eléctricos y magnéticos también varían, constituyendo lo que se estudió como potencia reactiva. Precisamente el “transitorio” es un fenómeno que tiene lugar entre dos condiciones permanentes (o de régimen permanente) diferentes entre sí.

Normalmente los fenómenos transitorios tienen lugar en los circuitos eléctricos debido a operaciones de conmutación, es decir, por el cierre o la apertura de interruptores.

Sin embargo, pueden producirse transitorios debido a otras causas, tales como cortocircuitos o fallas eléctricas. En los diagramas representativos de los circuitos eléctricos, la operación de conmutación es llevada a cabo mediante el cierre o la apertura de interruptores, se simboliza con una flecha que indica el sentido en que será actuado el interruptor.



Los transitorios usualmente tienen una duración medida en fracciones de segundo, sin embargo, resulta de suma importancia su estudio, ya que permite anticipar la posibilidad de alcanzar valores de sobrecorrientes o sobretensiones peligrosas en los circuitos eléctricos. Desarrollaremos el análisis de los fenómenos transitorios por el denominado “método clásico”, es decir resolviendo las ecuaciones integro - diferenciales (en definitiva diferenciales), que resultan al aplicar las Leyes de Kirchhoff al circuito y determinar las constantes de integración que resultan, conociendo las condiciones iniciales de la red. Este método es fácil de aplicar a circuitos simples, representados a lo sumo por una ecuación diferencial de segundo orden, pero resulta complicada y tediosa su aplicación en circuitos de mayor orden por la dificultad en determinar correctamente las condiciones iniciales de la red. En este capítulo se estudiarán por este procedimiento las redes de orden uno y dos, en las que se incluyen conceptos y terminologías de gran interés en el análisis transitorio. El otro método que excede a este curso es el de la “Transformada de Laplace”, que consiste en transformar las funciones y operaciones temporales en otras funciones

que dependen de la frecuencia compleja generalizada s = + j , el método es muy sistemático ya que permite resolver las ecuaciones diferenciales lineales de un circuito a través de ecuaciones algebraicas función de la frecuencia compleja “s”, con la ventaja que las condiciones iniciales del circuito quedan incorporadas de un modo automático. 7.2 Conmutación Se utiliza el término conmutación para referir cualquier modificación que se produzca en un circuito eléctrico, ya sea por alteración de alguno de sus elementos o de su topología. Las alteraciones de elementos pueden ser las siguientes: a) Cambio de la función matemática que describe el comportamiento de una fuente. b) Cambio del parámetro que caracteriza un elemento pasivo. El análisis que se

realiza en este capítulo asume que entre conmutaciones, los elementos pasivos son invariantes en el tiempo.

La alteración topológica consiste en la modificación de la cantidad de ramas y/o de nudos del circuito, y/o de la forma en que se vinculan las ramas. Normalmente se realizan accionando interruptores o conmutadores. 7.3 Régimen eléctrico El régimen de un circuito eléctrico es el conjunto de corrientes de sus ramas y de tensiones de sus nudos. Cualquiera de estos conjuntos determina por si solo el régimen del circuito. Régimen permanente: Es el régimen al que tiende un circuito después de haber

experimentado una conmutación. Régimen transitorio: Es el régimen de un circuito desde el momento en que se

produce una conmutación hasta que se alcanza el régimen permanente.



Régimen previo: Llamaremos así al régimen que existe antes de una conmutación.

La siguiente figura muestra la relación temporal entre estos regímenes y una conmutación producida en el circuito.

La transición entre régimen transitorio y permanente es indefinida; en teoría,

según veremos, el régimen permanente se alcanza en t =, pero en la práctica, dependiendo del circuito, puede alcanzarse en segundos o fracciones de segundos después de una conmutación.

Evolución de los regímenes eléctricos 7.4 Ecuaciones fundamentales: Relación tensión – corriente. Energías. 7.4.1 Relación tensión – corriente El estudio del régimen transitorio que se desarrollará aquí corresponde a circuitos con elementos lineales, cuyas relaciones tensión – corriente resultantes de la experimentación son las siguientes: Resistor

Ley de Ohm: R

)t(v)t(ibieno)t(iR)t(v R

R

R es el parámetro que define el comportamiento del resistor y

se llama resistencia” Inductor

Cuando en un inductor lineal circula una corriente, se produce una caída de tensión proporcional a las variaciones de esa corriente.

dt

)t(diL)t(vL

El factor de proporcionalidad es la inductancia L, que es el parámetro característico del inductor. La ley de Faraday/Lenz establece que en un inductor aparece una fuerza contra electromotriz proporcional a las variaciones de flujo, lo que se expresa de la siguiente

manera: dt

d)t(eL



El signo menos es el que le proporciona a la tensión sobre el inductor el carácter de “fuerza contra electromotriz”, la cual, no es más que una fuerza electromotriz negativa, o sea una caída de tensión.

Entonces podemos escribir: )t(iL)t(condt

)t(d)t(vL

Integrando la expresión anterior podemos obtener la corriente en función de la tensión:

t

LL dt)t(vL

)t(i1

Capacitor Cuando circula corriente a través de un capacitor se acumula

una carga eléctrica dada por:

t

C dt)t(i)t(q

Se integra desde - para abarcar todo el período en el que pudo haber alguna circulación de corriente. La carga produce una tensión proporcional, con un factor de proporcionalidad 1/C, siendo C el parámetro característico del capacitor, llamado capacidad.

t

CC dt)t(iC

)t(v1

El hecho de que la tensión sea inversamente proporcional a la capacidad es consistente con la idea que se pretende transmitir con el nombre del parámetro. Frente a una determinada carga, cuanto menor sea C, mayor será la tensión que aparecerá en el capacitor y por ende estará más próximo a la ruptura del dieléctrico. Por el contrario, un capacitor grande elevará poco su tensión pudiendo almacenar más carga antes de que se produzca esa ruptura.

El valor de C se puede expresar como: )t(v

)t(qC

C

Si se conociera el valor de la tensión del capacitor en un instante T0, podríamos dividir el intervalo de integración anterior de la siguiente manera:

t

T

C

T

CC dt)t(iC

dt)t(iC

)t(v

0

0 11

Donde la primera integral es la tensión acumulada hasta el instante T0, y la segunda integral es la tensión en el capacitor que se agrega desde allí en adelante.

t

T

CCC dt)t(iC

)T(v)t(v

0

10

De la ecuación anterior podemos despejar la corriente en función de la tensión:

dt

)t(dvC)t(i C

C

7.4.2 Energía Los elementos básicos de los circuitos pueden dividirse en disipadores de energía o acumuladores de energía. Los resistores son disipadores de energía. Toda la energía eléctrica que se les aplica se transforma en energía calórica. No tienen ninguna capacidad de acumulación. Los inductores y capacitores pueden acumular energía. La energía acumulada en un momento puede entregarse en otro momento al resto del circuito. No disipan energía.



En general, la energía es la integral de la potencia:

t

dt)t(p)t(

La potencia en caso de un componente eléctrico viene expresada por:

)t(i)t(v)t(p

Veamos cómo interpretar esa expresión de la energía y a qué resultados nos conduce cuando se aplica a cada uno de los componentes básicos de los circuitos.

Nota: Se debe entender que una integral siempre tiene extremos de integración. Cuando los extremos no se explicitan se dice que es una integral indefinida. En ese caso, el extremo inferior de integración debe ser un tiempo tan remoto que nos asegure que no quedan valores

no nulos del integrando excluidos del intervalo de integración. Sólo en t = - puede asegurarse eso para cualquier caso. Por su parte el extremo superior es “t”, o sea que su valor está indefinido. De ese modo, el resultado de la integral es una función del tiempo. Al reemplazar “t” por un valor de tiempo, se obtendrá un valor definido: el valor de la función en ese instante de tiempo.

a) Energía en el Resistor La expresión general de la energía, representa la energía disipada por el resistor desde que fue energizado hasta cualquier instante t.

t

R

t

R dt)t(iRdt)t(p)t( , y como:

dtiR)t()t(iR)t(v

t

RRR

2

La energía disipada hasta un instante definido, por ejemplo t = T1, resulta:

dtiR)T(

T

RR

1

2

1

Si se deseara obtener la cantidad de energía disipada en un intervalo comprendido entre t = T1 y t = T2, habría que restar de la energía disipada hasta T2 la energía disipada hasta T1.

dtiRdtiRdtiR)T()T(

T

T

R

T

R

T

RRR

2

1

12

222

12

b) Energía en el inductor En este caso, la ecuación general nos da la energía acumulada en el inductor hasta un instante t, o lo que es lo mismo, la energía que tiene el inductor en ese instante.

t

LL

t

LL dtv)t(idt)t(p)t(

Para tener una sola variable, reemplazamos: dt

diL)t(v L

L

Así:

)t(l

)(i

LL

t

LLL

L

L

)t(di)t(iLdtdt

di)t(iL)t( . Nótese que cuando la variable de

integración es t, los extremos de integración son - y t; cuando la variable de integración es la corriente, los extremos de integración son los valores de la corriente

en - y t.



La primitiva de la integral es:

)t(i

)(i

LL

L

L

)t(iL)t(

2

2

y luego de reemplazar por los

extremos, asumiendo que la corriente en - es nula, resulta: )t(iL)t( LL

2

2

1

c) Energía en el capacitor En este caso, la ecuación general nos da la energía acumulada en el capacitor hasta un instante t, o lo que es lo mismo, la energía que tiene el capacitor en ese instante.

t

CC

t

CC dtv)t(idt)t(p)t(

Para tener una sola variable, reemplazamos: dt

dvC)t(i C

C

Así:

)t(v

)(v

CC

t

CCC

C

C

)t(dv)t(vCdtdt

dv)t(vC)t(

Nótese que cuando la variable de integración es t, los extremos de integración son - y t; cuando la variable de integración es la tensión, los extremos de integración son los

valores de la tensión en - y t.

La primitiva de la integral es:

)t(v

)(v

C

C

C

C

)t(vC)t(

2

2

y luego de reemplazar por los

extremos, asumiendo que la tensión en - es nula, resulta:

)t(vC)t( CC

2

2

1

7.5 Fuentes. Función excitación Hasta aquí nos hemos referido a los elementos pasivos de los circuitos, cada uno de los cuales se define por un parámetro constante. Una fuente se define por la función del tiempo que representa la tensión o la corriente que produce, llamada función excitación. En general vamos a considerar sólo el semieje positivo de tiempos, asumiendo que las funciones son nulas para tiempos negativos. Las mayor parte de las fuentes se pueden representar mediante cuatro funciones que llamamos básicas o por combinación de ellas, a saber: continua, alterna, exponencial y rampa lineal. Pueden existir fuentes que respondan a otras funciones básicas, como parábolas, hipérbolas, etc., pero son poco comunes.



7.6 Comportamiento de los elementos ante conmutaciones. 7.6.1 Resistores La ley de Ohm establece una relación de proporcionalidad entre la tensión y la corriente en un resistor, es decir que cualquiera de estas variables que se fuerce mediante una fuente, es seguida en sus variaciones por la otra. La gráfica muestra que aunque con distintas escalas, la forma de la tensión y la corriente en función del tiempo es la misma. 7.6.2 Inductor y capacitor Las relaciones entre la tensión y la corriente en los inductores y en los capacitores no son proporciones como en los resistores, sino derivadas e integrales. De allí que no podamos esperar que las variaciones de una variable sean seguidas por la otra. Si una variable es la integral de otra, tiene la propiedad de que su variación es continua, independientemente de cómo varíe el integrando. En la figura se muestra una función con varias discontinuidades y su integral, que resulta continua. Por el contrario, la derivada de una función continua, puede tener discontinuidades.

Como: dtvL

iydtiC

v LLCC

11, podemos decir que la tensión en el

capacitor y la corriente en el inductor variarán en forma continua.

No podemos decir lo mismo sobre la corriente en un capacitor o la tensión en un inductor, que se obtienen a partir de sendas derivadas.

dt

diLvy

dt

dvC)t(i L

LC

C

Otra forma de deducir la continuidad de la tensión en un capacitor y la corriente en un inductor es en base al principio de la física que establece que la energía almacenada en un cuerpo no puede variar en forma discontinua. Para ello utilizamos las ecuaciones que establecen la dependencia directa de energía con corriente para el inductor y de energía con tensión para el capacitor.

)t(iL)t( LL

2

2

1

)t(vC)t( CC

2

2

1

7.7 Leyes de conmutación. Como conclusión del análisis desarrollado en el punto anterior se establecen ecuaciones, denominadas “leyes de la conmutación”, que según veremos serán de gran utilidad para el estudio del régimen transitorio. Matemáticamente podemos expresar la continuidad de una función estableciendo que la diferencia entre valores separados un tiempo de orden diferencial es también diferencial.

LLLCCC di)dtt(i)dtt(idv)dtt(v)dtt(v



A los fines prácticos podemos despreciar los diferenciales de tensión o corriente y escribir:

)dtt(i)dtt(i)dtt(v)dtt(v LLCC

o bien, usando una notación más sencilla, donde:

)t(i)t(iy)t(v)t(vt)dtt(ytdtt LLCC

Siempre que es posible, para simplificar el análisis, se ubica el eje tiempo de manera que el instante de una conmutación coincide con t = 0. De tal manera, salvo indicación explícita en contrario, al referirnos a t = 0 entenderemos que es el instante de una conmutación, y t = 0– y t = 0+, el instante inmediato anterior y posterior respectivamente. Siendo así, las ecuaciones anteriores se escriben:

)(i)(iy)(v)(v LLCC

0000

7.8 Circuitos equivalentes en t = 0+ Para determinar el régimen de un circuito en t = 0+ debemos aplicar las leyes de la conmutación, o sea considerar que los capacitores preservan la tensión y los inductores la corriente que tenían en t = 0-, mientras que los resistores no preservan ninguna variable. Lo anterior puede materializarse mediante un circuito equivalente para el instante t = 0+ donde cada capacitor se reemplaza por una fuente de tensión igual a su tensión en t = 0- y cada inductor por una fuente de corriente igual a su corriente en t = 0- . Esto se muestra en la figura que sigue.

Ejemplo: En el circuito de la figura el conmutador está inicialmente en la posición 1, habiendo 5 V en el capacitor y una corriente de 1 A a través del inductor. En t = 0 el conmutador pasa a la posición 2. Se desea determinar el régimen del circuito en t=0+ Para ello reemplazamos los elementos del circuito por su equivalente en t=0+, incluso el conmutador. De tal manera, el potencial entre a y b queda fijado por la fuente de 5V que sustituye al capacitor. La tensión en la resistencia de la izquierda es 5V por lo que la corriente es 1A (saliendo de a).



La corriente en la otra resistencia queda determinada por la fuente de corriente de 1A que reemplaza al inductor, por lo tanto su tensión es de 5V. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones en la malla de la derecha deducimos que la tensión en el inductor es nula, y aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes en el nudo a resulta que la corriente por el capacitor es de 2A. 7.9 Las ecuaciones diferenciales en los circuitos eléctricos. Al aplicar las Leyes de Kirchhoff a circuitos eléctricos simples (serie o paralelo), se obtienen unas ecuaciones integro – diferenciales de orden 1 o 2, según la cantidad de elementos que almacenan energía (inductores y capacitores) que formen parte del circuito.

Las ecuaciones de primer orden responden a la forma general: )t(gfbdt

dfa

que corresponde a la expresión normalizada: )t(gf

dt

df

Las ecuaciones de segundo orden son de la forma: )t(gfcdt

dfb

dt

fda

2

2

donde: f = f (t) puede representar una tensión, una corriente o una carga; g (t) es la tensión o corriente de excitación de la red (generadores);

a, b, c y son coeficientes constantes y t es el tiempo. Las ecuaciones diferenciales anteriores reciben también el calificativo de lineales, debido a que los coeficientes que aparecen en cada término son parámetros constantes y no son función de la variable dependiente f(t). En circuitos más complejos que estén formados por más mallas y nodos, la aplicación de las leyes de Kirchhoff da lugar a una serie de ecuaciones integro – diferenciales, en las que, cada variable dependiente (corriente de malla o tensión de nodo) responde a una ecuación diferencial lineal de un orden que en general es superior a dos, de la forma:

)t(Gfadt

dfa

dt

fda

dt

fda

n

n

nn

n

n

01

1

1

donde G(t) es en general una función lineal de g(t) y sus derivadas. Como se conoce por matemáticas, la solución completa de una ecuación diferencial lineal (con coeficientes constantes) se compone de dos términos: el primero de ellos se obtiene resolviendo la homogénea de la ecuación diferencial, es decir es la solución general de la ecuación diferencial cuando g(t) ó G(t) se hace igual a cero, o de otro modo cuando se anula la función de excitación del circuito. Esta solución fn (t) se conoce en ingeniería eléctrica como respuesta natural, propia y también libre del circuito; físicamente, representa la respuesta del circuito cuando se anulan los generadores existentes en el mismo y donde se consideran únicamente como fuentes, las debidas a las energías almacenadas en los elementos reactivos de la red: inductancias y capacitores como consecuencia de una alimentación previa de los mismos. La respuesta natural recibe este nombre porque es así como responde el circuito naturalmente, libremente, sin estar forzado. El sistema se comporta de este modo debido a su propia estructura, ya que no hay fuentes conectadas que lo exciten.



El otro término que se incluye en la solución de la ecuación diferencial depende del tipo de excitación del circuito y corresponde a la solución particular fp (t) de la ecuación diferencial, se conoce con el nombre de respuesta forzada del circuito ya que depende de la forma particular de la fuente (o fuentes) de excitación. En definitiva la solución completa de una ecuación diferencial lineal como la explicitada

es de la forma: )t(f)t(f)t(f pn

La respuesta natural del circuito fn(t) contiene las constantes de integración de la ecuación diferencial correspondiente. En circuitos pasivos que contengan resistencias, esta respuesta debe ser necesariamente amortiguada, viniendo caracterizada por términos exponenciales decrecientes. Al cabo de un cierto tiempo estos términos pueden considerarse despreciables, quedando como única respuesta, la solución particular fp (t); en este caso se dice que el circuito funciona o ha llegado al régimen permanente. La respuesta forzada del circuito fp (t) no contiene constantes de integración arbitrarias ya que están definidas por la excitación correspondiente. Para determinar las constantes de integración de la respuesta compuesta, que están presentes en la respuesta natural, es preciso conocer el estado del circuito en algún instante de tiempo. En la práctica este instante corresponde al momento en el que se produce la conexión (o desconexión en su caso) de los interruptores del circuito. Por conveniencia matemática, se considera casi siempre, que la conmutación (conexión o desconexión) se produce en tiempo t = 0, de tal modo que el tiempo inmediatamente anterior se define por t = 0- y el tiempo inmediatamente posterior a la conmutación se denota por t= 0+.

El estado previo del circuito anterior a la conmutación (en t=0- ) se define generalmente con el conocimiento de la tensión en bornes de los elementos capacitivos y la corriente en los elementos inductivos.

Estas condiciones de contorno definidas en t = 0- se denominan condiciones iniciales. Sin embargo, hay que tener en cuenta que para evaluar las constantes de integración debe conocerse los valores inmediatamente después de que se ha producido la conmutación, puesto que se pretende analizar el comportamiento del circuito a partir de ese instante. Esta determinación requiere un conocimiento claro del comportamiento de los elementos pasivos simples, en el instante de la conmutación y se analizan con detalle en el siguiente punto. 7.10 Las condiciones iniciales Las condiciones iniciales de una red dependen de las energías almacenadas en los elementos reactivos en t = 0- y la estructura topológica de la misma en t = 0+ después de la conmutación. Lo que haya pasado antes se manifestará en los valores que tengan las tensiones en los capacitores y las corrientes en los inductores. Los detalles de este proceso no tienen importancia y lo único que interesa es conocer los valores en t = 0- . Una vez realizada la conmutación en t = 0+, pueden aparecer nuevas tensiones y corrientes en la red, como resultado de los valores iniciales anteriores y debido a las



fuentes que ahora se introducen. La evaluación de las tensiones y corrientes en t = 0+

permitirá determinar las constantes de integración que aparecen en la respuesta

completa de la red para t 0. Veamos el comportamiento de los elementos pasivos simples en el momento de la conmutación. RESISTENCIA En una resistencia, la relación entre la tensión y la corriente viene expresada por la Ley de Ohm: v (t) = R i(t), según esta ecuación, existe proporcionalidad directa entre la tensión y la corriente en una resistencia, lo que equivale a decir que la corriente sigue los cambios (forma) que imponga la tensión; si esta cambia instantáneamente, la corriente también cambiará de un modo instantáneo con una magnitud 1/R de la tensión. INDUCTANCIA En una inductancia, la relación entre la tensión y la corriente es de la forma: v(t) = LdiL(t)/dt. De esta ecuación se deduce que la corriente en una inductancia NO PUEDE VARIAR BRUSCAMENTE, ya que la tensión debería hacerse infinita, lo cual no tiene sentido físico. Luego en una inductancia al producirse un transitorio se cumple que: iL (0+) = iL (0-), que representa la continuidad física de la corriente en una inductancia en el momento de la conmutación. CAPACIDAD

En un capacitor la relación tensión corriente viene dada por: vC (t)= 1/C i(t) dt .O de un modo equivalente: i(t) = C dv(t)/dt . Esta ecuación nos permite deducir que la tensión en un capacitor NO PUEDE VARIAR BRUSCAMENTE, ya que la corriente debería hacerse infinita, lo cual no tiene sentido físico. Luego al producirse un transitorio en un capacitor se cumple que: vC (0+) = vC (0-). Que representa la continuidad de la tensión de un capacitor en el momento de la conmutación. 7.11 Circuitos de primer orden. Circuitos RL y RC Conociendo en comportamiento de los tres elementos pasivos (resistores, capacitores e inductores), se está preparado para considerar circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres de los elementos pasivos. En este punto estudiaremos dos tipos de circuitos simples: un circuito que comprende un resistor y un capacitor y un circuito que comprende un resistor y un inductor. Estos circuitos se llaman circuito RC y circuito RL, respectivamente. Estos circuitos hallan continuas aplicaciones en electrónica, comunicaciones y sistemas de control. Para analizar los mismos utilizaremos las Leyes de Kirchhoff, tal como se realizó al estudiar los circuitos puramente resistivos, radicando su diferencia fundamental en que resultarán “ecuaciones diferenciales” y no algebraicas. Dichas ecuaciones diferenciales son de primer orden. Así que a estos circuitos se los conoce como circuitos de primer orden.

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden

Además de haber dos circuitos de primer orden (RC y RL), hay dos maneras de excitarlos. La primera es mediante las condiciones iniciales de los elementos de



almacenamiento de energía (capacitores e inductores). Se supone que en estos circuitos conocidos como “circuitos sin fuente”, la energía se almacena inicialmente en el elemento capacitivo o inductivo. La energía causa que fluya corriente en el circuito y se disipe gradualmente en los resistores. La segunda manera de excitar circuitos de primer orden es mediante fuentes independientes. Estudiaremos la respuesta transitoria de los circuitos simples cuando son alimentados por fuentes de corriente continua (cc) y fuentes de corriente alterna (ca). 7.11.1 Circuito RC sin fuente Un circuito RC sin fuente lo podemos pensar cuando su fuente de cc se desconecta súbitamente. La energía ya almacenada en el capacitor se libera hacia los resistores. Considérese una combinación en serie de un resistor y un capacitor inicialmente cargado, como se muestra en la figura. El objetivo es determinar la respuesta del circuito, la que supondremos como la tensión v(t) a lo largo del capacitor. Puesto que el capacitor está inicialmente cargado, es posible suponer que en el momento t=0 la tensión inicial es: v(0) = V0, que se corresponde con una energía almacenada como w(0) = ½ C V0

2. La aplicación de la primera ley de Kirchhoff al nodo superior del circuito de la figura produce la siguiente relación: iC + iR = 0 Por definición: iC = C dv/dt e iR = v(t) /R Así: C dv/dt + v(t) /R = 0 o sea: dv/dt + v(t) /RC = 0 Esta es una ecuación diferencial de primer orden, ya que sólo implica la primera derivada de v(t). Para resolverla, los términos se reordenan como: dv/v = - 1/ RC dt Al integrar ambos miembros: ln v = - t/RC + ln A donde ln A es la constante de integración. Por lo tanto: ln v/A = - t / RC Al tomar las potencias de e se tiene: v(t) = A e – t /RC Pero desde las condiciones iniciales, v(0) = A = V0. En consecuencia: v(t) = V0 e – t /RC Esto demuestra que la respuesta en tensión del circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. Como la respuesta se debe a la energía inicial almacenada y a las características físicas del circuito y no a una fuente externa de tensión o de corriente, se le llama “respuesta natural del circuito”.

La respuesta natural de un circuito se refiere al comportamiento (en términos de tensiones y corrientes) del circuito, sin fuentes externas de excitación.



La respuesta natural depende solo de la naturaleza del circuito, sin fuentes externas. De hecho, el circuito tiene sólo la energía almacenada inicialmente en el capacitor. La respuesta natural se ilustra gráficamente en la figura. Adviértase que en t=0, se tiene la condición inicial correcta. Es decir en t=0 la tensión en el capacitor vale V0 ya que no puede existir un cambio en la tensión del capacitor, al aumentar t, la tensión decrece a cero. La rapidez con la cual la tensión decrece se expresa en términos de la constante de tiempo, denotada

por “”. La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, o 36,8 % de su valor inicial. Esto implica que

t = la tensión v(t) vale: v () = 0.368 V0 , donde = RC En términos de la constante de tiempo la tensión en el capacitor v(t) puede escribirse:

t

eV)t(v

0

La potencia disipada en el resistor es:

t

R eR

Viv)t(p

220

La energía disipada en el resistor valdrá:

RCdonde)e(VCdteR

Vdtp)t(w

tttt

R

22

0

2

0

2

0

0

12

1

Nótese que conforme t , wR () ½ C V20, que lo mismo que wC (0) representa la

energía inicialmente almacenada en el capacitor. La energía que se almacenó al inicio en el capacitor se disipa a la larga en el resistor. La clave para trabajar con un circuito RC sin fuente es hallar: 1. La tensión inicial v(0) = V0 a la largo del capacitor.

2. La constante de tiempo . Con estos dos elementos, se obtiene la respuesta como la tensión del capacitor:

t

C eV)t(v)t(v

0



Una vez que se determina la tensión del capacitor, pueden determinarse otras variables (la corriente del capacitor iC, la tensión del resistor vR y la corriente en el resistor iR).

En la búsqueda de la constante de tiempo = RC, R suele ser la resistencia equivalente de Thevenin en los bornes del capacitor, es decir se elimina el capacitor y se calcula la resistencia RTH en sus terminales. 7.11.2 Circuito RL sin fuente Considere la conexión en serie de un resistor y un inductor, como se muestra en la figura. La meta es determinar la respuesta del circuito, la cual se supondrá como la corriente i(t) a través del inductor. Se selecciona la corriente del inductor como la respuesta para aprovechar la idea de que la corriente en el inductor no puede cambiar instantáneamente. En t = 0, supóngase que el inductor tiene una corriente inicial I0, o i(0) = I0 , con la correspondiente energía almacenada en el inductor como w(0) = ½ L I2

0. Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff a lo largo de la figura, resulta: vL + vR = 0 Pero vL = L di/dt y vR = i R. Así, L di/dt + R i = 0 o sea: di/dt + R/L i = 0 La reordenación de los términos y la integración dan como resultado:

00

0

00

0

L

tRIln)t(iln

L

tRilndt

L

R

i

di )t(i

I

)t(i

I

t)t(i

I

L

tR

I

)t(iln

0

Al tomar las potencias de e se tiene:

t

eI)t(i

0

Esto demuestra que la respuesta natural del circuito RL es una caída exponencial de la corriente inicial. La respuesta de la corriente aparece en la figura. De la ecuación se desprende claramente que la constante de

tiempo del circuito RL es = L/R, de nuevo con la unidad de segundos. Así, la ecuación de la corriente puede expresarse

como:

t

eI)t(i

0

Con la corriente de la ecuación anterior se puede hallar la

tensión a lo largo del resistor como:

t

R eIR)t(v

0

La potencia disipada en el resistor es:

t

eRIp

22

0

La energía absorbida por el resistor es:

R

Ldonde)e(ILdteRIdtp)t(w

tttt

R

22

0

2

0

02

0

12

1



Nótese que conforme t , wR () ½ L I20, que lo mismo que wC (0) representa la energía inicialmente almacenada en el inductor. La energía que se almacenó al inicio en el inductor se disipa en el resistor. La clave para trabajar con un circuito RL sin fuente es hallar: 1. La corriente inicial i(0) = I0 a la largo del inductor.

2. La constante de tiempo . Con estos dos elementos, se obtiene la respuesta como la corriente en el inductor:

iL (t) = i (t) = I(0) e – t / Una vez determinada la corriente en el inductor que se obtiene primero, pueden determinarse otras variables (la tensión en el inductor vL, la tensión del resistor vR y la

corriente en el resistor iR). En la búsqueda de la constante de tiempo = L/R, R suele ser la resistencia equivalente de Thevenin en los bornes del inductor. 7.11.3 Circuitos RL y RC alimentados por una fuente independiente de corriente continua (cc) 7.11.3.1 El circuito RL En la figura tenemos una impedancia con R y L que se puede conectar a un generador de corriente continua G por medio del interruptor “Int.”. La ecuación de los estados instantáneos será:

)1(Ui.Rdt

diL

Al cerrar el interruptor la corriente es cero luego el producto i . R es igual a cero y toda la tensión U es aplicada sobre L. En el análisis que sigue debemos considerar que al pasar el circuito de un estado a otro hay variación de energía y aparece una corriente extra que desaparecerá cuando el circuito recobre el régimen permanente de corriente continua. Esta corriente transitoria it se superpone a la permanente, de manera tal que, en

general: pt ii)t(i

En este ejemplo, la corriente de régimen permanente valdrá: R

UIip

La corriente transitoria se obtendrá al resolver la ecuación diferencial (1) igualada a

cero (solución de la homogénea) y valdrá: t

L

R

t eKi

(ver punto 7.11.2)

La solución total será: t

L

R

pt eKR

Uii)t(i

La constante K se obtiene de plantear la condición inicial en t=0 donde se debe cumplir que la corriente en la inductancia L no puede variar al cerrar el interruptor, luego i (0 -) = i (0+ ) = 0, por lo que reemplazando esta condición en la expresión de la corriente total será:

IR

UK0eK

R

U)t(i

tL

R

Sustituyendo la corriente total valdrá: )e1(I)e1(R

U)t(i

tL

Rt

L

R

Esta expresión está representada en la figura.



Al valor L/R se lo llama “constante de tiempo” del circuito, porque es el valor que gobierna el tiempo de establecimiento del régimen final. Si en vez de cerrar el interruptor una vez establecido el régimen permanente abrimos

el interruptor, la ecuación diferencial de equilibrio resulta: 0i.Rdt

diL

La solución de esta última será: t

L

R

t eKii

Si en el momento de la apertura t =0 y la corriente i(t) = I = U/R la constante resulta: K=U/R y la corriente total resultará:

tL

Rt

L

R

eIeR

U)t(i

, cuya representación podemos verla en

la figura. 7.11.3.2 El circuito RC Consideremos el circuito de la figura en el cual se alimenta un circuito RC con un generador G de corriente continua. Cuando cerramos el interruptor Int. la corriente está únicamente limitada por la resistencia R, pero a medida que el capacitor se va cargando, crece la tensión entre sus placas, se opone a la corriente, hasta que finalmente, cuando está completamente cargado, su tensión es igual y opuesta a la de la red y la corriente cesa. La ecuación diferencial de equilibrio es:

UdtiC

1i.R

C

qi.R

La solución es del tipo: CR

t

eKi

En el momento de la conexión t = 0 e i= U/R = I, luego reemplazando resulta que:

tCR

1

CR

t

eIeR

Ui

, siendo su representación la de la figura que

sigue. Una vez extinguido el régimen transitorio de cierre, la corriente se torna nula y el capacitor queda cargado en forma opuesta a la red con la tensión – U. Si en ese momento abrimos el interruptor no sucede nada, pero si cerramos el circuito sobre sí mismo como vemos en la siguiente figura, hay un régimen transitorio cuya

ecuación de equilibrio será: 0dtiC

1i.R , cuya

solución será: CR

t

eKi

En t = 0 IR

Ui

. La constante K valdrá:

IR

UK y por lo tanto la corriente valdrá:

tCR

1

CR

t

eIeR

Ui



7.11.4 Circuitos RL y RC alimentados por una fuente independiente de corriente alterna (ca) 7.11.4.1 El circuito RL Si se aplica una tensión sinusoidal a un circuito RL en serie la corriente que se establece inmediatamente depende del valor instantáneo de la tensión en el momento en que cerramos el interruptor.

Consideremos que la tensión aplicada es: )( 0 twsenUu mx donde 0 es el

desfasaje de la onda de tensión con respecto al origen de los tiempos.

La ecuación de equilibrio dinámico será: )tw(sen.Ui.Rdt

diL 0mx

La solución de este tipo de ecuación será la suma de la corriente de régimen permanente más la de régimen transitorio.

Componente de régimen permanente: La componente de régimen permanente, al ser la excitación una fuente de corriente alterna, se calculará utilizando el método fasorial para luego expresar la corriente en función del tiempo. La corriente en forma fasorial será: I = U/Z, donde:

U = Umx /2 0 y R

LwtgyLwRZ 1222

Luego: I = (Umx /2) 0 / Z = (Umx / 2 Z) 0 - , expresando la corriente en el

dominio del tiempo resultará:

)wt(senZ

Ui 0

mxp

Componente de régimen transitorio: t

L

R

t eKi

La corriente total será: t

L

R

0mx

pt eK)tw(senZ

Uii)t(i

Para evaluar la constante K debemos considerar las condiciones iniciales en t = 0 (cierre del interruptor), luego se cumple que:

En t = 0 la corriente es i (t) = 0 luego la constante K

valdrá: )(sen.Z

UK 0

mx

La corriente valdrá:

])(sene)tw(sen[Z

U)t(i 0

tL

R

0mx

y su representación podemos verla en la figura. Veamos dos momentos de cierre del interruptor particulares, cuando:

a) 0 - = 0 en estos casos el término transitorio es cero y la corriente es sinusoidal;

b) sen (0 - ) = 1 porque 0 - = /2 el término transitorio es máximo y vale:

]e)tw(sen[Z

U)t(i

tL

R

0mx



Las representaciones gráficas de la corriente para las dos posibilidades son la que vemos a continuación, donde podemos observar que la corriente total puede superar a la corriente de régimen permanente, por lo que podemos afirmar que en estos casos puede haber “sobre intensidad.

La corriente de apertura en estos circuitos se obtiene con la ecuación de equilibrio igualada a cero. La solución conduce a una curva como la de la figura que sigue, cuyo valor máximo es igual al valor que tiene la corriente en el momento de abrir el interruptor. 7.11.4.2. El circuito RC Consideremos un circuito RC alimentado por una tensión sinusoidal en el cual cerramos en interruptor en t = 0. La ecuación de equilibrio es:

)tw(sen.UdtiC

1i.R 0mx

Por idéntico razonamiento al visto en el caso del circuito RL se llega a que la corriente

total valdrá: t

CR

1

0mx

pt eK)tw(senZ

Uii)t(i

Las condiciones iniciales son: en t = 0 R

sen.Ui 0mx , que reemplazada para

evaluar la constante K nos permite encontrar la expresión para la corriente total “i”

tCR

1

0mx

0mx e.)(cos.sen

R

U)tw(sen

Z

U)t(i

Existen dos condiciones bajo la cuales la componente transitoria puede ser nula:

a) sen = 0 o bien

b) cos (0 - ) = 0 luego (0 - ) = /2 La primera no debe tenerse en cuenta porque un

circuito con sen = 0 no posee capacidad. La segunda es factible y en la figura que sigue lo representamos.



Si ahora tomamos un instante de cierre tal que se cumpla la condición:

cos(0 - ) = 1 es decir (0 - ) = 0, la corriente transitoria es máxima y debido a que normalmente R es pequeña, toma valores elevados.

En la figura mostramos el caso en que (0 - ) =

En caso de apertura del circuito, no ocurre nada anormal, quedando únicamente cargado el capacitor con la tensión que tenía el generador en el momento de la apertura del interruptor, teniendo una respuesta igual a la estudiada en el caso de circuito RC sin fuentes. 7.12 Circuitos de segundo orden. Circuito RLC En el capítulo anterior se trataron circuitos con un solo elemento de almacenamiento (un capacitor o un inductor). Esos circuitos son de primer orden porque las ecuaciones diferenciales que los describen son de primer orden. En este punto se analizan circuitos que contienen dos elementos de almacenamiento. A estos circuitos se les conoce como circuitos de segundo orden, porque sus respuestas se describen con ecuaciones diferenciales que contienen segundas derivadas. Ejemplos habituales de circuitos de segundo orden son los circuitos RLC, en los que están presentes los tres tipos de elementos pasivos. Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de segundo orden. Consta de resistores y el equivalente de dos elementos de almacenamiento de energía. El análisis de circuitos de segundo orden será similar al realizado con los de primer orden. Primero estudiaremos los circuitos excitados por las condiciones iniciales de los elementos de almacenamiento, es decir sin fuentes de energía independientes. Luego se tratarán los circuitos excitados por fuentes independientes. Estos circuitos darán tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, se analizarán fuentes independientes de cc y ca. 7.12.1 Determinación de las condiciones iniciales y finales. El principal problema que se presenta en el estudio de los circuitos de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales y finales de las variables de circuitos. Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las condiciones iniciales.



Primero, como siempre en análisis de circuitos, se debe manejar con cuidado la polaridad de la tensión v(t) en el capacitor y la dirección de la corriente i(t) a través del inductor. Segundo, tener presente que la tensión del capacitor siempre es continua, de modo que: v(0+) = v(0- ) y la corriente en el inductor siempre es continua, de modo que i(0+) = i(0-); donde t = 0- denota el momento justo antes de un evento de conmutación y t = 0+ es el momento justo después del evento de conmutación, suponiendo que este tiene lugar en t = 0. Así, para determinar las condiciones iniciales primero hay que enfocarse en las variables que no pueden cambiar abruptamente, la tensión en el capacitor y la corriente del inductor. 7.12.2. Circuito RLC en serie sin fuente. Consideremos el circuito RLC de la figura. Este circuito se excita inicialmente con la energía almacenada en el capacitor y en el inductor. Tal energía está representada por la tensión en el capacitor V0, con la polaridad indicada; y la corriente en el inductor I0. Así en t = 0, se cumple que:

00

0

01

0 I)(iVdtiC

)(v

Al aplicar la segunda Ley de Kirchhoff al circuito resulta: 01

t

dtiCdt

diLi.R

Para eliminar la integral, se deriva con respecto al t y se reordenan los términos. Así

se obtiene: 02

2

LC

i

dt

di

L

R

dt

id

Esta es una ecuación de segundo orden y es la razón de que a los circuitos RLC se les llame circuitos de segundo orden. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de alguna i y v. El valor inicial de i es I0. Se obtiene el valor inicial de la derivada de i de la ecuación de equilibrio de tensiones y de ecuación de la tensión en el capacitor en t = 0, es decir:

)VRI(Ldt

)(diV

dt

)(diL)(iR 000

100

00

Con las dos condiciones iniciales conocidas se puede resolver la ecuación diferencial, para lo cual en base a lo definido al estudiar los circuitos de primer orden, consideremos que la solución de la ecuación se corresponderá con una función exponencial de la forma: i(t) = A e – s t , donde A y s son constantes a determinar. De la sustitución de la ecuación de la corriente en la ecuación diferencial de equilibrio y de la realización de las derivadas necesarias se obtiene:

01

022 )

LCs

L

Rs(eAe

LC

Aes

L

RAesA

stststst



Puesto que i(t) = A e – s t es solución de la ecuación, solo la expresión entre paréntesis puede ser cero.

012

LCs

L

Rs

La ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial, ya que sus raíces dictan el carácter de la corriente. Las dos raíces valen:

LC)

L

R(

L

Rs

1

22

2

1 LC

)L

R(

L

Rs

1

22

2

2

Una forma más compacta de expresar estas raíces es:

2

0

2

2

2

0

2

1 ss

Donde: LCL

R 1

20

Las raíces s1 y s2 se denominan frecuencias naturales, porque se asocian con la

respuesta natural del circuito; 0 se conoce como frecuencia resonante expresada

en rad/seg y es el factor de amortiguamiento.

En términos de y 0 la ecuación característica puede escribirse

como: 022

0

2 ss

Los dos valores de “s” indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solución de la ecuación diferencial, es decir:

tstseAieAi 21

21

Como la ecuación diferencial es una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de las dos distintas soluciones i1 e i2 también es la solución de la ecuación diferencial. Una solución completa o total de la ecuación diferencial requeriría por lo tanto una combinación lineal de i1 e i2. Así, la respuesta natural del circuito RLC en serie es:

tstseAeA)t(i 21

21

donde las constantes A1 y A2 se determinan a partir de los valores iniciales de i(0) y di(0) /dt. De la ecuación característica se puede inferir que hay tres tipos de soluciones:

1. Si 0 se tiene el caso sobreamortiguado (no oscilatorio)

2. Si = 0 se tiene el caso críticamente amortiguado.

3. Si 0 se tiene el caso subamortiguado (oscilatorio)

1. CASO SOBREAMORTIGUADO ( 0)

En este caso resulta cuando 0 lo que implica que C 4L /R2, las raíces resultan reales negativas y distintas y la respuesta es:

tstseAeA)t(i 21

21 la cual decrece y tiende a cero al

aumentar t. La figura que sigue ilustra una respuesta sobre amortiguada común.



2. CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO ( = 0 )

Cuando = 0 lo que implica que C = 4L /R2, entonces: s1 = s2 = - = - R/ 2L, resultando dos raíces reales negativas e iguales. En este caso, la ecuación de la i (t) da por resultado: Donde A3 = A1 + A2. Esta no puede ser la solución, porque las dos condiciones iniciales no pueden satisfacerse con la constante sencilla A3. La suposición de una solución exponencial es incorrecta para el caso especial de amortiguamiento crítico. Consideremos la ecuación diferencial de equilibrio del circuito,

cuando = - R/ 2L = 0, la ecuación se convierte en:

Si se define como: f = di/dt + i , la ecuación se convierte en: df/dt + f = 0, la cual

es una ecuación diferencial de primer orden con solución: f = A1 e - t , donde A1 es una constante. La diferencial se convierte entonces en:

Esta última puede escribirse:

Integrando ambos miembros resulta: Donde A2 es otra constante. Así la respuesta del circuito críticamente amortiguado resulta:

Una respuesta críticamente amortiguada común se presenta en la figura que sigue. Esta ultima figura es una

aproximación gráfica de i(t) = t e - t , la cual alcanza un

valor máximo de e – 1 / en t = 1/, una constante de tiempo y después decrece hasta cero.

3. CASO SUBAMORTIGUADO ( 0 )

Para 0 , lo que implica que C 4L /R2, las raíces pueden escribirse como:

Donde j = - 1 y d = 02 - 2 , la cual se llama frecuencia de amortiguamiento.

Tanto 0 como d son frecuencias naturales, porque contribuyen a determinar la respuesta natural.



La respuesta natural es:

Usando las identidades de Euler,

Se obtiene:

Al remplazar las constantes (A1 + A2) y j (A1 – A2) por las constantes B1 y B2 se escribe:

Con la presencia de las funciones seno y coseno, la respuesta natural para este caso está amortiguada exponencialmente y es de naturaleza oscilatoria. Tal respuesta tiene una constante de tiempo

de 1/ y un periodo T = 2/d. En la figura que sigue se representa gráficamente una respuesta subamortiguada común. 7.12.3 El circuito con resistencia, autoinducción y capacidad (RLC) alimentado por una fuente de corriente continua (cc) Supongamos que se posee un circuito completo en serie, como el representado en la figura.

La ecuación de equilibrio será: UdtiC

1

dt

diLi.R

La solución es del tipo: st

eKi

Habrá dos tipos de soluciones de acuerdo a lo visto al tratar el circuito RLC sin fuente, que obedecerán al:

Caso sobreamortiguado (no oscilatorio) si 0

Caso subamortiguado (oscilatorio) si 0 Siguiendo con lo expuesto al tratar el circuito sin fuentes, se llega finalmente a las siguientes soluciones:

Caso sobreamortiguado (no oscilatorio)

Como 2 w02, w resulta un número real, y la solución de la ecuación diferencial

será del tipo: tsts

eKeKi 21

21



dwws 2

0

2

1

dwws 2

0

2

2

ientoamortiguamdefactorL

R

2

naturalopropiapulsación

CL

1w0

pulsaciónwwd

2

0

2

Asumiendo las condiciones iniciales:

Para t = 0+ La corriente tiene que valer i(t) = 0, ya que el capacitor se comporta como un circuito abierto dado que la excitación es de c.c., luego reemplazando en la

ecuación: 0 = K1 + K2 K1 = – K2

Para t = 0+ i = 0 la caída en la resistencia valdrá: R.i = 0 , luego reemplazando en la ecuación diferencial, resulta:

001

Udt

diLdti

Cdt

diLiR U0 = L di/dt

Reemplazando:

U0 = L di/dt = L [K1(-+ wd) e s1t + K2 (--wd) e s2

t ] Esta ecuación es solo válida para t = 0 con K1 = - K2, por lo tanto:

U0 = L [K1 (- + wd) + K2 (- - wd)] = L K1 (2 wd) Luego las constantes serán: K1 = - K2 = U0 / (2wd) L

Reemplazando: ts

d

ts

d

eLw

Ue

Lw

Ui 21

22

00

22

00 ]ee[e

Lw

U]eeee[

Lw

Ui

twtw

tatwttwt

d

dd

dd

Recordando que: 2

]ee[twtw dd

representa el seno hiperbólico de wd t (senh wd t)

obtenemos finalmente:

twsenheLw

Ui d

t 0

Caso subamortiguado (Oscilatorio) Dado que la pulsación wd es un número imaginario, haremos algunas transformaciones:

'wj)w(wwd 22

0

2

0

2

Luego las raíces quedan: 'wjs'wjs 21



Haciendo análogo que para el caso aperiódico resulta:L'wj2

UKK 0

21

Reemplazando las constantes en la expresión de la corriente:

t'wjtt'wjt eeeeL'wj

Ui

2

0

j

eee

L'w

Ui

t'wjt'wjt

2

0

t'wseneL'w

Ui t 0

La diferencia fundamental entre el caso aperiódico y el caso oscilatorio, ambos reales, difiere en el valor de la resistencia presente en el circuito. Si la resistencia es elevada – y mayor que la crítica – actúa como un freno e impide que la energía del capacitor se traslade al inductor y recomience el proceso de carga. Si la resistencia es baja – menor que la crítica – al descargarse el capacitor esta resistencia no alcanza a disipar toda la energía del mismo y el excedente se ubica en el inductor, que al bajar la corriente debe entregar su energía al capacitor, pero lo hace con sentido opuesto debido a que la energía inductiva es de signo diferente. Si en vez de cerrar el circuito sobre el generador G, una vez cargado el capacitor a la tensión U, lo cerramos sobre sí mismo como se ilustra en la figura, la ecuación de equilibrio es:

0dtiC

1

dt

diLi.R

Con un desarrollo exactamente igual al visto al tratar el circuito sin fuentes, llegamos a las ecuaciones que siguen, en las cuales notamos un cambio de signo con respecto a las expresiones de la corriente i, porque el capacitor tiene una carga que originará corrientes de sentido relativo contrario al caso del cierre. Luego valdrán:

Caso no oscilatorio: twseneLw

Ui d

tL

R

d

2

Caso oscilatorio: twseneLw

Ui

tL

R

2

Estas soluciones se encuentran representadas en las figuras que siguen.



7.12.4. El circuito con resistencia, autoinducción y capacidad (RLC) alimentado por una fuente de corriente alterna (ca)

La ecuación de equilibrio será: )wt(sen.UdtiC

1

dt

diLi.R 0

mx

La corriente de régimen permanente valdrá: )wt(senZ

Ui 0

mxp

La solución de la ecuación será:

tstsmx eKeK)tw(sen[Z

U)t(i 21

210

Igual que en el caso del circuito oscilante libre tendremos:

Caso no oscilatorio Caso oscilatorio

Caso no oscilatorio (R RC)

La solución será: t)w(t)w(mx dd eKeK)tw(sen[

Z

U)t(i

210

Para t = 0 se cumple que: i = 0 y L di/dt = Umx sen 0 Sustituyendo estas condiciones en la ecuación de la solución podemos obtener las constantes K1 y K2, para luego reemplazadas y obtener la respuesta total para este caso no oscilatorio.

twcosh)(senZ

Utwsenh

Lw

Ke)tw(sen[

Z

U)t(i d

mxd

d

tmx

00

0

donde: )(senZ

UL)(cos

Z

ULwsenUK mxmx

mx

0000

Caso oscilatorio (R < RC) Con igual procedimiento que en el caso anterior y considerando lo visto al tratar el circuito sin fuentes, resulta:

]t'wcos)(senZ

Ut'wsen

L'w

K[e)tw(sen[

Z

U)t(i mxtmx

00

0

Realizando transformaciones la corriente i (t) resultará:

Su representación la vemos en la figura.

)t'w(seneI)tw(sen[Z

U)t(i

tmx

00



7.13 Los circuitos resonantes El estudio del régimen libre demuestra que si se cumple que R < RC (caso oscilatorio) el circuito puede oscilar con su período propio y frecuencia w’ y la corriente se irá extinguiendo según se muestra en la figura correspondiente. Si deseamos que esta oscilación continúe indefinidamente, debemos suplir con una fuente exterior adecuada, la energía que consume la resistencia R, que es la causa del decrecimiento de las oscilaciones. En este caso tendremos “oscilaciones forzadas” impuestas por el generador exterior, y si las oscilaciones forzadas están en concordancia, o sea son de igual pulsación que la propia, el circuito se dice que está en “resonancia” Hay dos formas de alimentación de un circuito RLC para que se encuentre en resonancia, que ilustramos en la figura, la alimentación se efectúa a un circuito serie o a un circuito paralelo. 7.13.1 El circuito resonante serie Por definición decimos que un circuito está en resonancia cuando la pulsación alterna sinusoidal aplicada como excitación (w) es igual a la pulsación natural (w0)

Condición de resonancia: 0ww

Si en el circuito de la figura aplicamos una tensión senoidal de valor eficaz U y

frecuencia f, resultará que la impedancia vale: Cw

1jLwjRZ .

Luego debe cumplirse que en resonancia: CL

1ww 0 es decir se cumple que:

0R

XXtgRZXX0

Cw

1jLwj CL1

00CL

Podemos afirmar que: Un circuito serie en resonancia tiene una reactancia inductiva igual a la reactancia

capacitiva. El desfasaje entre tensión y corriente es cero. La impedancia se comporta como resistiva pura.

La frecuencia en resonancia será: CL2

1f0

La corriente en resonancia será: R

U

Z

UI

0

Las tensiones (en módulo) en los distintos elementos valdrán:

UR

Lw

RCw

U

Cw

IU;U

R

LwILwU;UIRU

n

nn

0C

n

0nL0R 000

Definimos el factor de mérito Q como: R

LwQ n



Si el factor de mérito es mayor que 1, la tensión parcial sea en la capacidad como en la autoinducción es mayor que la tensión total aplicada entre extremos de la impedancia. En estos casos se dice que existe una sobretensión. Resonancia variando la frecuencia Observemos que ocurre con los integrantes del circuito, cuando la frecuencia varia, y para ello utilicemos la figura que sigue: (a) La resistencia no varía con la frecuencia f, salvo para valores

muy altos (línea a trazos). (b) La reactancia inductiva varía linealmente con f.

(c) La reactancia capacitiva varía en forma inversa con f. En la figura que sigue se han reunido los distintos elementos y se ha dibujado la variación de la impedancia Z en función de la frecuencia f. En los diagramas de fasores que siguen vemos tres casos típicos.

La variación del ángulo de la impedancia será:

R

Cf2

1Lf2

tg 1

y su representación gráfica puede verse en la figura. 7.13.2 Resonancia de un circuito compuesto por una capacidad real y un

inductor real, conectados en paralelo. El circuito de la figura se denomina “circuito tanque” y es muy común en muchos circuitos electrónicos. En este circuito presenta la condición de resonancia, denominada “anti resonancia”, cuando: 1cos

En la figura que sigue vemos distintos diagramas fasoriales en donde se puede apreciar que a medida que la frecuencia aumente, los fasores representativos de las intensidades en las dos ramas se van ordenando en forma tal, que para un determinado valor de f quedan en fase la tensión aplicada y la corriente total. Cuando se cumple esta condición se dice que hay resonancia.



Por lo tanto, la condición de resonancia, ya sea en un circuito serie o en un circuito paralelo, consiste en la coincidencia entre la tensión y la intensidad, es decir, que el factor de potencia del circuito es unitario. Analicemos esta condición, viendo la figura apreciamos los fasores de corrientes y tensión y la condición de resonancia fijada se

cumple cuando: LC "I"I

Esta se cumple cuando: LCLC BB0)BB(U

Reemplazando por los valores: C

2C

2

C

L2

L2

L

XR

X

XR

X

Reemplazando los valores de las respectivas reactancias se llega finalmente a:

0])LRC()LRC(CLw[w L2

C22

Para que esta igualdad se cumpla, tienen que darse alguna de estas tres condiciones: a) w = 0, que sólo puede darse cuando aplicamos una corriente continua. Este caso

lo descartamos ya que estamos estudiando el circuito alimentado por corriente alterna.

b) C

LRR LC , que sólo puede darse cuando RC = RL. Este caso es

muy improbable, ya que los elementos corrientes empleados se

verifica que RL RC c) La tercera condición es que:

0])LRC()LRC(CLw[ L2

C22 . Con esta igualdad se pueden hacer

los siguientes razonamientos.

Despejando w de la expresión obtenemos: LRC

LRC

CL

1w

C2

L2

Para los casos en que: LRCqueoLRC C2

L2 , la raíz es imaginaria, y no

existe frecuencia real posible que provoca este tipo de resonancia. En la práctica se utilizan capacitores por resistencia de pérdidas prácticamente nulas; luego RC = 0, por lo que la frecuencia resulta:

L

RC1

CL

1w

L2

esta fórmula es la más

utilizada. Si hacemos RL = 0 se cumple entonces que:

CL

1w0

En la figura que sigue ilustramos comparativamente la resonancia serie con la paralelo.



7.14 Ejemplos de aplicación Ejemplo 1.- A un circuito serie RL, con R = 50 Ω y L = 10 Hy, se le aplica una tensión constante V = 100 Voltios en el instante t=0 en que se cierra el interruptor. Determinar: a) Las ecuaciones de i(t), vR (t) y vL (t); b) La intensidad para t = 0,5 seg; c) El instante en que vR = vL a) La ecuación diferencial del circuito es:

1051050100 i)D(bienodt

)t(id)t(i

Y la solución completa es: 25 t

pc ecii)t(i

Para t = 0, i = 0, con lo que 0 = c (1) + 2 , de donde c = - 2 . Por los tanto:

)e()t(i t512

Las tensiones correspondientes en bornes de los elementos del circuito son las representadas en la figura.

t

L

t

R edt

diL)t(vy)e(iR)t(v

551001100

b) Haciendo t = 0,5 s en la expresión de la corriente se obtiene:

A,),()e()t(i),(

836108201212505

c) Cuando sea vR = vL , cada una deberá valer 50 V y, puesto que la tensión aplicada es 100, hacemos vR o bien vL igual a 50 V y se halla el valor de t. Numéricamente será:

s,tdondeDe.e)t(vt

L 13860100505

Ejemplo 2.- En el problema 1, hallar las ecuaciones de pR y pL y demostrar que la potencia en la bobina corresponde a la energía almacenada en el régimen permanente en su campo magnético. Con las corrientes y tensiones obtenidas en el problema anterior, las potencias resultan:

)ee()e()e(iv)t(ptttt

RR

1055521200121100

)ee()e(eiv)t(ptttt

LL

1055520012100



)e()t(pt

T

51200

La energía almacenada en el régimen permanente por el campo magnetico es W = ½ L I2 = ½ (10) (2)2 = 20 J

La integral de pL desde t = 0 a t = es Jdt)ee(W tt 20200 105

Ejemplo 3.- En el circuito serie de la figura 16-21 se pone el interruptor en la posición 1 en el instante t=0, aplicando con ello una fuente de 100 V a la rama RL. En el instante t= 500 µseg se conmuta el interruptor a la posición 2. Obtener las ecuaciones de la intensidad de corriente en ambos intervalos y dibujar el período transitorio. En la posición 1 la ecuación es:

50050020100100 i)D(bienodt

)t(id,)t(i

Y la corriente resulta: 1005

1 tec)t(i

Para t = 0 , i = 0. Llevando la condición inicial resulta: .cbieno)(c 1110 11

La corriente resulta: )e(,)t(it005

101

Al llegar a los 500 s, este periodo transitorio se interrumpe, siendo la intensidad:

2210101610500005 ,)e(,)t(i )x(

Con el interruptor en la posición 2 la tensión aplicada es 50 V, con igual polaridad que con la fuente de 100 V, y la ecuación es:

2505002010050 i)D(bienodt

)t(id,)t(i

Y su solución es. 50005

2 ,ec)t(i´)tt(

En donde t´= 500 s. Para t = t´ en la ecuación anterior, el valor de la corriente es 0,221 A, como ya se encontró.

Luego: 27905012210 22 ,cy,)(c,i

Entonces para t t´ resulta: 502790005

,e,)t(i´)tt(



Ejemplo 4.- Repetir el problema 3 suponiendo que la polaridad de la fuente de 50 V se ha invertido. La primera parte del régimen transitorio, con el interruptor en la posición 1, es igual

que la obtenida en el problema anterior; )e(,)t(it005

101 con i= 0,221 para t =

500 s. Al invertir la polaridad de la fuente de 50 V se obtiene la siguiente ecuación:

2505002010050 i)D(bienodt

)t(id,)t(i

cuya solución es: 50005

,ec)t(i´)tt(

Ahora bien, para t = t´ la corriente vale 0,221 A. Sustituyendo en la expresión de la corriente resulta:

72105012210 ,cy,)(c,i

La corriente vale: 507210005

,e,)t(i´)tt(

Ejemplo 5.- A un circuito serie RC, con R= 5000 Ω y C= 20 µF, se le aplica en el instante t=0 una tensión constante V = 100 V (el capacitor no tiene carga inicial).Hallar las ecuaciones de i, vR y vC.

Al cerrar el circuito, la ecuación es:

1001020

1500

6dti

xi

Derivando y utilizando la notación operacional:

teciessolucióncuyai)D(

10010

Haciendo t = 0 en la ecuación diferencial la corriente inicial vale: 02050001000 ,/i

Sustituyendo en la ecuación de la corriente c = 0,02. La corriente es: te,)t(i 1020

Y las tensiones en los elementos del circuito son:

tt

R e)e,(iR)t(v1010

1000205000

)e(e,.

dtiC

)t(v tt

C

1010

61100020

1020

11

Ejemplo 6.- El capacitor de 20 µF del circuito RC de la figura tiene una carga inicial q0 = 500 µC con la polaridad indicada en el esquema. En el instante t=0 se cierra el interruptor aplicándose, en consecuencia, la tensión constante V=50 V. Determinar la intensidad de corriente en el régimen transitorio. Al cerrar el circuito, la ecuación es:

501020

11000

6dti

xi

teciessolucióncuyai)D(

50050



Ahora bien, la fuente de 50 V da lugar a una corriente con el sentido dibujado en la figura, originando una carga + en la placa superior del capacitor. La carga inicial del capacitor q0 tiene una tensión que vale: V0 = q0 / C = 25 V, que también produce una corriente en el sentido indicado de i. Por tanto, para t = 0 la corriente inicial es i0 = (V + q0/C) / R = 0,075 A.

Sustituyendo en la ecuación de la corriente: t

e,)t(i05

0750

Ejemplo 7.- Un circuito serie RLC, con R = 50 Ω, L = 0,1 Hy y C = 50 µF, tiene aplicada una tensión constante V = 100 V en el instante t=0. Hallar el régimen transitorio de la corriente, supuesta cero la carga inicial del capacitor. Al cerrar el circuito, la ecuación diferencial es:

01025001001050

11050 52

6i)xDD(bienodti

xdt

di,i

Las raíces de la ecuación característica son: D1 = - 250 + j 371 y D2 = - 250 – j 371, en consecuencia, la corriente valdrá:

)tsenct(cosceit

371371 21

250

Para t = 0 la corriente es cero. Entonces reemplazando en la ecuación resulta

00010 1210 cy)senccosc()(i . La ecuación de la corriente resulta:

)tsenceit

3712

250

Derivando la expresión de la corriente:

tsen)(etcosecdt

di tt371250371371

250250

2

Para t = 0 resulta: .dt

didondede,

dt

di, 100010010

Sustituyendo para t = 0 y di/dt = 1000 , la constante c2 resulta: c2 = 2,7. Por lo que la

corriente buscada será: )tsen,eit

37172250

Ejemplo 8.- Un circuito serie RL, con R = 50 y L = 0,2 Hy, tiene una fuente de

tensión senoidal v= 150 sen (500 t + ) V, que se aplica en el instante en que = 0º. Hallar la corriente completa. Al cerrar el circuito, la ecuación diferencial es:

tseni)D(bienodt

)t(id,)t(itsen 5007502502050500150

La función complementaria (solución de la homogénea) vale: t

t ec)t(i 250



Para hallar la solución particular, tratándose de un régimen permanente de corriente

alterna resultará: )wt(senZ

Ui mx

p , donde:

R

LwtgyLwRZ 1222

Numéricamente: )º,t(sen,ip 463500341

La corriente completa resulta: )º,t(sen,ecii)t(it

pt 463500341250

Para t = 0 ; i = 0 = c + 1,34 sen (-63.4º) , resultando: c = 1,2

)º,t(sen,e,)t(it

46350034121250

En la figura se representan ic , ip y su suma i. Después de sobrepasado el régimen

transitorio (aproximadamente en t = 5 ), la corriente es senoidal y retrasa respecto de

la tensión aplicada en un ángulo = 63.4º Ejemplo 9.- El circuito serie RLC de la figura tiene una fuente

de tensión senoidal v= 100 sen (1000t + ) V. Si se cierra el

interruptor cuando = 90º, hallar la corriente supuesta cero la carga inicial del capacitor. La ecuación de equilibrio del circuito una vez cerrado el interruptor es:

)ºt(cosi)xDD(bieno

)ºt(sendtixdt

di,i

90100010102500

9010001001050

11050

652

6

Las raíces de la ecuación característica son D1 = - 250 + j 371 y D2 = -250 – j 371

La corriente complementaria es: )tsenctcosc(e)t(i t

c 371371 21

250 y la

particular, hallada como en el problema anterior es: )ºt(sen,ip 321000061



La corriente total será igual a:

)ºt(sen,)tsenctcosc(eii)t(it

pt 321000061371371 21

250

De la ecuación diferencial para t = 0, i = 0 y di/dt = 1000. Sustituyendo en la expresión de la corriente total resulta: i= 0 = c1 + 1,06 sen 32º = c1 + 0.56 de donde c1 = - 0,562. Derivando la corriente e igualando a su valor obtenido de la ecuación diferencial, resulta:

)ºt(cos,

)e)(tsenctcosc()tcosctsenc(edt

di tt

3210001000061

250371371371371371371 250

2121

250

Sustituyendo en t = 0 con c1 = - 0,562 y di/dt = 1000 en la expresión de la derivada resulta:

10509310383713210000612505603711000 222 ,c,cºcos,,cdt

di

La ecuación de la corriente total resulta:

)ºt(sen,)tsen,tcos,(e)t(it

3210000613711050371560250

Glf/2015

Departamento de Ingeniería Eléctrica - Panel de Estado · En la teoría de circuitos y redes...

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