DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Libro del docente

Matemáticas

Viceministra de Gestión EducativaMónica Franco Pombo

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pág.Advertencia 7Presentación 9Objetivosgeneralesdelcurso 11Plandesesiones 13Criteriosdeevaluación 19

UNIDAD1:NÚMEROSRACIONALES

Sesión1:Conceptoyrepresentacióndelosnúmerosracionales 21 Lectura:UtilizacióndeMaterialConcretoparaunaComprensión MatemáticaEfectiva 22 Elementosdelafracción 25 Ubicacióndefraccionariosenlarectanumérica 26

Sesión2:Ejerciciosyproblemassobreconceptosyrepresentacióndelosnúmeros racionales 29 Descubriendolasfracciones 30 Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales 33 SignificadodelasFracciones 36 Lafraccióncomorazón 37 Lectura:ComentarioSamuelVillarealSuárez 39 Lectura:LanocióndeordenenMatemática 40

Sesión3:Reducciones:amplificaciónysimplificación 45 Amplificaciónysimplificacióndefracciones 46 Fracciónirreducible 47

Sesión4:Reducciones:Formadecimaldelosnúmerosracionalesydecimales quesepuedenexpresarcomoracionales 51 Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzaporresoluciónde problemas.“LaHeurísticaProblemSolving” 57 Lectura:Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomo fracción 62

Sesión5:Reducciones:conversiónadecimal,conversiónamixtoyviceversa 67 Lectura:Fraccionespropiaseimpropias 68

INDICE

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UNIDAD2:CONGRUENCIANUMÉRICAYDIVISIBILIDAD

Sesión6:Congruencianumérica 71 Lectura:“Laaritméticadelrelojysistemasmodulares” 72

Sesión7:Aplicacionesdelacongruencianumérica 77

Sesión8:Criteriosdedivisibilidad 81 Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelas demostracionesmatemáticas(parte1) 82 Criteriosdedivisibilidad 84 Divisibilidadparados 85 Divisibilidadparatres 85 Divisibilidadparacuatro 86 Divisibilidadparacinco 86 Divisibilidadparaseis 87 Divisibilidadparasiete 87 Divisibilidadparaocho 87 Divisibilidadparanueve 88 Divisibilidadparadiez 88 Divisibilidadparaonce 89 Divisibilidadparatrece 89 Matrizparaautoevaluación 91 Demostracionesdelasdivisibilidadespropuestas 92

Sesión9:Problemasdeaplicacióndedivisibilidad 99 Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelas demostracionesmatemáticas(parte2) 101

UNIDAD3:PROPIEDADESDELASOPERACIONESYSUSAPLICACIONES

Sesión10:Propiedadesdelasumayresta:operacionesyproblemas 107 Denominadorcomúnsemasyrestasconsustitucióndepiezas 107 Lectura:Fraccioneshomogéneasyheterogéneas 108 Sumaorestadefracciones 109 Cálculodelmáximocomúndivisorpordiferenciasucesivas 112 Mínimocomúnmúltiplo 112 Lectura:ElojodeHorus 115

Sesión11:Propiedadesdelamultiplicaciónydivisión:operacionesyproblemas 125

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Sesión12:Propiedadesdelapotenciaciónyradicación:operacionesy problemas 129 Propiedadesdelapotenciaciónyradicación 132

UNIDAD4:PROPORCIONALIDAD

Sesión13:Proporcionalidad:datosestadísticosyrepresentacionesenelplano cartesiano 133

Sesión14:Equivalenciasgeométricas 139

Sesión15:Regladetres 145

Sesión16:Porcentajeeinterés 151 Lectura:Lacrisisinternacionalysugestiónglobal 151 Lectura:Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales 154

Sesión17:Repartoproporcional 159

UNIDAD5:PROBLEMASINTEGRADORES

Sesión18:ProblemasIntegradores 163 Desarrolloconceptualdelnúmerobase10 164 Problema1:Proporciónáurea 166 Problema2:Fondosdereserva 168 Problema3:Desechossólidos 168 Problema4:Fraccionesyporcentajes 169 Problema5:Lasposicionesdelosnúmerosdel0a10 171

Sesión19:Problemasintegradores 175

ANEXOS

Anexos1:Característicasdelasmejoresprácticasparaenseñar matemáticas 179

Anexos2:Laeducaciónmatemática.Elpapeldelaresolucióndeproblemas enelaprendizaje 184

Anexos3:Constructivismoymatemáticas 189

Anexos4:LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemas 195

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Anexos5:ConsejosprácticosparalaenseñanzadelasMatemáticas 202

Anexos6:Recomendacionesmetodológicasendoscontenidosespecíficos: Elcuadradodel100yDominoparalastablasdemultiplicación 208

Anexos7:Plandeclase 215

Anexos8:Fichadeobservaciónenelaula 216

BIBLIOGRAFÍA

BibliografíaConsultada 219BibliografíaSugerida 221

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UnobjetivomanifiestodelMinisteriodeEducaciónescombatirelsexismoyladiscriminacióndegéneroenlasociedadecuatorianaypromover,atravésdelsistemaeducativo,laequidadentremujeresyhombres.Paraalcanzaresteobjetivo,promovemoselusodeunlenguajequenoreproduzcaesquemassexistas,ydeconformidadconestaprácticapreferimosemplearennuestrosdocumentosoficialespalabrasneutrastalescomo“laspersonas”(enlugarde“loshombres”)o“elprofesorado”(enlugarde“losprofesores”),etc.Soloencasosenquetalesexpresionesnoexistan,seusarálaformamasculinacomogenéricaparahacerreferenciatantoapersonasdelsexofemeninocomodelmasculino.Estaprácticacomunicativa,queesrecomendadaporlaRealAcademiaEspañolaensuDiccionarioPanhispánicodeDudas,obedeceadosrazones:(a)enespañolesposible“referirseacolectivosmixtosatravésdelgénerogramaticalmasculino”,y(b)espreferibleaplicar“laleylingüísticadelaeconomíaexpresiva”,paraasíevitarelabultamientográficoylaconsiguienteilegibilidadqueocurriríaenelcasodeutilizarexpresionestalescomo“lasylos”,“os/as”,yotrasfórmulasquebuscanvisibilizarlapresenciadeambossexos.

ADVERTENCIA

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Este cursodeDidácticade lasMatemáti-cas tiene la valiosamisióndedesarrollar elpensamiento matemático de los niños conalegría y confianza en el futuro y para ellopresentaunarecopilacióndeactividadesquesonresultadodelabúsquedapermanentedeclarificar conceptos en los que los docentespresentanmayor dificultad en la transferen-ciaalosestudiantesdeprimeroaséptimodeEducaciónGeneralBásica.

Para asumir este reto pensamos que esimportante primero hacer un recorrido por elconjuntonuméricoquemásapareceennues-travidacotidiana,enlosfenómenosnaturales,sociales,etc.yquesinembargoeselmenosco-nocido,imbuirlodecotidianidadyvincularloaloconcreto:eldelosnúmerosracionalesnone-gativos,utilizandosiemprecomometodologíalaresolucióndeproblemasycomoherramientafundamentaleldesarrolloconceptualasociado.

Como saben, el conjunto numérico queencierra a todos los números se denomina“delosnúmerosreales”,dentrodeésteexis-tendosgrandesconjuntosnuméricos:losra-cionalesylosirracionales.

En el interior de los números racionalesse encuentran los números enteros, los car-dinales y los naturales. Hay otros númerosllamados irracionalesquenopueden repre-sentarsedemaneraexactacomoelcocientedeenteros.

Estelibroabordalosnúmerosracionales,considerandosólo losracionalespositivos,ylosnúmerosenterospositivos,yaquedebidoalosgradosdeescolaridadporlosquepa-san sus estudiantes, todavíano conocen losnúmeros negativos, principalmente desde elpuntodevistaconceptual.

Lasfraccionespresentanlaparticularidad:dequelaUnidadpuedepresentarseendife-rentesformasytamañosyelreferentecam-biacontinuamente.Estoincrementaunejerci-

cioadicional,delnormalconteoenlosenterosparalashabilidadesdelpensamiento,porestarazón cuidaremos del desarrollo conceptualparallegaralosniñosytrabajaremosconéstasoperacionesypropiedades:suma, resta,mul-tiplicación,división,potenciaciónyradicación.

Los decimales y los porcentajes tendránunaespecialatenciónconelfindecompren-derelorigendeestaparticularrepresentaciónnumérica.

Conoceremos la congruencianumérica yladivisibilidaddesdeelmarcodelasdemos-tracionesmatemáticas comounaporte a laformacióndelpensamientomatemático.

Laproporcionalidadseráabordadacomoconceptomatemáticoque cruza los diferen-tes sistemasdel currículoparapromoverunaprendizajeglobalizadoyquea la vezper-mitaprofundizar conceptosdesdediferentesenfoques: trataremos la regla de tres, reglade interés, tanto por ciento, repartimientosproporcionales; todos los temas serán estu-diadosmediantelaresolucióndeproblemasconaplicacionesdelaGeometría.

En todos los temasseleccionadosenestelibrocuidaremossiempredelaetapadelde-sarrolloconceptualporqueenocasionesatro-pelladamente queremos devorar contenidossinafianzarlasbasesquevanadarsoportealaespiraldeaprendizaje.Porello,noduda-remosenreforzarconactividadesdiferentesydesdedistintosánguloslaconstrucciónylainstalacióndelosconceptosenelpensamien-todelosestudiantes.

Tomemos como ejemplo, el origen del0. Es conocido que no apareció junto conlos otros conceptos numéricos, sino hastaque sepercibió lanecesidaddeun símbolopararepresentarla“faltadealgo”,“vacíoovacante”. Si la humanidad tardómucho enreconoceresteconceptocomoexistente,¿porqué nosotros pretenderíamos comenzar por

PRESENTACIÓN

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élparaestudiarelconjuntonuméricodeloscardinales? El docente de educación inicialconoce que para construir el concepto decerohayunprocesodeadaptacióndelpen-samientodondeseenseñaalosniñosyniñasareconocerlanada,elconjuntovacío,antesdedaraconocerelcódigoquelorepresenta.

Delamismaforma,todotrabajodecon-tenidos,requiereunprocesopreviodedesa-rrolloconceptualquenopuedeserobviado.Sólo así se convertirá luego en un eslabónfuerteenlacadenadelaprendizaje.

Siempre escuchamos decir “los estudian-tesnotienenbases”…pensamosqueloqueenrealidadsucedeesque“losestudiantesnoconocen losconceptos”…mecanizanproce-sosperonoentiendenlaverdaderarazóndesuaplicación.

Nopiensedeningunamaneraqueparasupreparación comodocentedematemáti-

cassussaberesestáncompletosconestelibroylosconceptostrabajadosaquí.Laintencióndeestecursoesdejarlelapuertaabiertaparaqueustedsigainvestigando,sigatrabajandoen otros desarrollos conceptuales que con-siderenecesariosy fomenteunaactitud res-ponsable,deustedcomoeducador,frenteal“otro”.

Siestetrabajo,ayudaacambiarlaformadeconcebirytratarlostemasaquíabordadosydesarrollarotrosconceptosdesdeunavisiónactual,a tan sóloundocente,nosdaremosporsatisfechos.

LosAutores

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Estecursode40horasdeduraciónestáorientadoalosdocentesdeprimeroaséptimoañodeEducaciónGeneralBásica,quequierenprofundizarenlaasignaturadeMatemáticas.

Altérminodelcursoseesperaquelosparticipantesesténencapacidadde:

Encontenidos:

• Conceptualizaryrepresentarlosnúmerosracionalesenformaordenadaparacomparardis-tintascantidades.

• Representar cantidades y situaciones que no se pueden expresar utilizando únicamentenúmerosenteros.

• Reconocerlautilizacióndelasfraccionesenlocotidianoysuaplicaciónenlaresolucióndeproblemasquecontienenoperaciones,propiedades,ampliacióny reducción,conversionesnosólodesdeelpuntodevistaalgorítmico,sinotambiénconsurespectivarepresentacióngeométrica.

• Relacionarlosenterospositivosylosnúmerosracionalespositivos.

• Conocerel concepto y laspropiedadesde la congruencianuméricaparaaplicarlasen laresolucióndeproblemas.

• Revisarloscriteriosdedivisibilidad,algunosdeéstosoriginalesdelautor,ysusdemostracio-nesparautilizarlosenlaresolucióndeproblemas.

• Analizar el conceptodeproporcionalidaddesdeel puntode vista estadístico,gráfico,nu-mérico,consusaplicacionesdeporcentajeeinterés,repartoproporcional,ygeométricoconlaproporcionalidaddesegmentosyelTeoremadeThales.

Endidáctica:

• Utilizarelmaterialconcretocomouncomplementopara lacomprensiónde losconceptosbásicos.

• Lograrundesarrolloconceptualadecuadoenlosniñosconelfindeafianzarelaprendizaje,reflexionandosobreuncontenidomatemáticoyademáspermitiendoalosniñosdarexplica-ciones,exponerrazones,argumentar,etc.

• Verificarlatransversalidaddelosconceptosatravésdelosdiferentessistemas.Estoayudaráalosdocentesaentenderlasmatemáticascomountodocoherente,enlugardeunacolec-cióndetécnicasaisladasydereglasarbitrarias.

OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO

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• Utilizar lasdemostracionescomomedionosólodecomprobaciónyconvencimiento,sinotambiénparaentenderunalgoritmo, concluir conunprocesodebúsqueda, exponerunmétodo,mostrarelsignificadodeunadefinición,manteneractitudcríticafrenteaunaideaydesarrollarautonomíaintelectual.

• Desarrollar,desde lasmatemáticas,habilidadescomunicativasy ladestrezadeestablecerrelacionesconotrasciencias.Estolespermitirá,conunaideaobtenidaenuncontexto,apli-carlaaotro,haciendolasconexionesnosóloconotrasasignaturas,sinotambiénconsusinteresesparticularesycotidianos.

• Practicarelmétododeresolucióndeproblemascomomedioparaqueelestudianteactivesucapacidadmental,ejercitesucreatividad,reflexioneacercadesupropioprocesodepensam-ientoyaprendizaje(mejorándoloenformaconsciente/metacognición),hagatransferenciasaotrasáreasdesutrabajomental,preparesupensamientoparaotrosproblemasdelaciencia,yparalosnuevosretosdelatecnología.

• Aplicartodoloantesmencionadoenlaprácticaparamejorarelejerciciodocente,reflexion-andoapartirdenuestrasexperienciasactuales.

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Capítulosdellibro

Sesión Objetivo Contenidos Tema

•Evaluarlosconocimien-tospreviosenformaobjetiva,deopciónmúl-tiple,dondesolamenteunadelasopcionesserácorrecta.

•Considerarestaeva-luacióncomoelprimerescalónentuautoeva-luacióndeconocimien-tosenlaasignatura.

•Representarcantida-desysituacionesquenosepuedenexpresarutilizandoúnicamentenúmerosenteros.

•Evaluarcuándounnúmeroracionalposi-tivoesmayorqueotro,relacionándolosconlarepresentacióndelosnúmerosenlarectanuméricapermitiendocomparardistintascan-tidades.

•Lecturayreflexiónsobrelautilizacióndelmaterialconcretoparaunacompren-siónmatemáticaefectiva.

•Tallersobreforma-cióndelconceptodefracción.

•Elementosdelafracción.

•Ubicacióndefraccio-nesenlarectanumé-ricaparacompararcantidades.

EvaluaciónDiag-nóstica(1hora).

ConceptoyRepresentacióndelosNúmerosRacionales(1hora)

Capítulo1:LosNúmerosRacionales

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•Determinarquelasfraccionespermitenencontrarelresultadodedividirunnúmeroenteroentrecualquierotro.

•Resolveryelaborarproblemasconceptualesyderepresentaciónenlarectanumérica.

•Descubriendolasfracciones.

•Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales.

•Dóndeaparecenlasfracciones.

•Significadodelasfracciones.

•Ordenenlasfracciones.

•Lectura:Lanocióndeordenenlasfracciones.

Ejerciciosyproblemassobreconceptoyrepre-sentacióndelosnúmerosracio-nales(2horas).

Capítulo12

PLAN DE SESIONES

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Capítulosdellibro


•Hallarlarelaciónqueexisteentrelosenterospositivosqueexisteen-trelosenterospositivosylosnúmerosraciona-lespositivos.

•Encontrarfraccionesequivalentesaunnú-merofraccionariodado.

•Descubrirelconceptodefraccionesirreducibles.

•Fraccionesequivalentes.

•Amplificaciónysim-plificacióndefracciones.

•Fracciónirreducible.

Reducciones:amplificación,simplificación,conversiónadeci-mal(2horas).

Capítulo13

•Representarunracionalpormediodeexpresio-nesdecimales.

•Formadecimaldelosnúmerosracionales.

•Losdecimalesensituacionesdemedi-ción.

•Fraccionesdecimales.

•Losnúmerosracio-nalesyelenfoquedelaenseñanzadelasmatemáticasenlaescuelaprimaria.

•Lectura:Métodoparti-cipativodeenseñanzaporresolucióndepro-blemas.LaheurísticaProblemSolving.

•¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpre-sarsecomofracción?

Reducciones:De-cimalesquesepuedenexpresarcomoracionales.(2horas).

Capítulo14

•Utilizarlaamplifica-ción,simplificación,conversiónadecimal,conversiónamixtoenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.

•Clasificacióndelasfracciones.

•Fraccionespropiaseimpropias.


•Conexiónconlaciencia.

Reducciones:Con-versiónadecimal,conversiónamixtoyviceversa.(2horas).

Capítulo15

•Conocerelconceptoylaspropiedadesdelacongruencia.

•Laaritméticadelrelojydelossistemasmodulares.

•Criteriodecongruen-cianumérica.

•Propiedadesdelacongruencia.

Congruencianu-mérica(2horas).

Capítulo2:CongruenciaNuméricayDivisibilidad

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Capítulosdellibro


•Aplicarlaspropiedadesdelacongruencia.

•Problemasdeaplica-ciónqueseresuelvenconcongruencianumérica.

•Actividadmultidisci-plinaria.

Aplicacionesdelacongruencianu-mérica(2horas).

Capítulo27

•Reconocerfácilmentecuándounnúmeroesmúltiplodeotro.

•Criteriosdedivisibilidad.

•Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemos-tracionesma-temáticas(parte1).

•Divisibilidadpara2.











•Númerosprimos.

•Matrizdeautoevaluación.

Criteriosdedivisi-bilidad(2horas).

Capítulo28

•Utilizarladivisibilidadylacongruencianuméri-caenlasolución.

•Demostrarlanecesidaddelautilizacióndeloscriteriosdedivisibilidadenlaresolucióndeproblemas.

•Aplicarestoscriteriosenlasolucióndeproblemas.

•Resolverproblemasdondeseaplicaladivisibilidad.

•Resolverproblemasdondeseaplicalacongruencianumérica.

•Lecturasobrealgu-nasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesma-temáticas(parte2).

•ViñetasconMafaldapararefleción.

Problemasdeaplicacióndedivisibilidadycon-gruencianumérica(2horas).

Capítulo29

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Capítulosdellibro


•Reconocerqueestasoperacionessóloserealizanconfraccioneshomogéneas.

•Aplicarlaspropiedadesdelasuma.

•Utilizarlasumayrestaenlasoluciónyelabo-racióndeproblemas.

•Denominadorco-mún,sumasyrestasconsustitucióndepiezas.

•Fraccioneshomogé-neasyheterogéas.

•Sumaorestadefrac-ciones.

•Máximocomúndivisor.

•Mínimocomúnmúltiplo.

•LasmatemáticasenelantiguoEgipto.

Propiedadesdelasumayres-ta:operacionesyproblemas(2horas).

Capítulo3:Propiedadesdelaopera-cionesysusaplicaciones

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•Verificarelsentidoquetieneconsiderar,noso-lamentepartesdeunaunidad,sinounaomáspartesdeunafracción.

•Descubrirelsignificadodelinversomultipli-cativodeunnúmerofraccionario.

•Aplicarlaspropiedadesdelamultiplicaciónydivisión.

•Conocerlarelacióndeestasoperacionesconlamultiplicaciónydivisióndenúmerosenteros.

•Utilizarlamultiplica-ciónyladivisiónenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.

•Lasfraccionesensi-tuacionesderepartoymedición.

•Multiplicaciónodivi-sióndefracciones.

•Propiedadesdelamultiplicación.

•Lafraccióncomoope-radormultiplicativo.

Propiedadesdelamultiplicaciónydivisión:opera-cionesyproble-mas(2horas).

Capítulo311

•Aplicarlaspropiedadesdelapotenciaciónyradicación.

•Utilizarlapotenciaciónyradicaciónenlasolu-ciónyelaboracióndeproblemas.

•Conceptualizacióndelapotenciaciónatravésderesolucióndeproblemas.

•Propiedadesdelapotenciaciónyradi-cación.

Propiedadesdelapotenciaciónyradicación:ope-racionesyproble-mas(2horas).

Capítulo312

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Capítulosdellibro


•Aprenderareconocereltipoderelacionesllamadasproporcionali-daddirectaoinversa,apartirdeacontecimien-toscotidianos.

•Aplicaralgunaspropieda-desdelasproporciones.

•Utilizarlaproporcionali-dadenlasoluciónyela-boracióndeproblemas.

•Lafraccióncomorazón.

•Conceptodeproporcionalidad.

•Proporcionalidaddirecta.

•Proporcionalidadinversa.

Proporcionalidad:datosestadísticosyrepresentacionesenplanocartesia-no(2horas)

Capítulo4:Proporciona-lidad.

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•Aplicarlaproporciona-lidadenlosproblemasdelallamadaregladetres.

•Regladetressimple:directaeinversa.

•Regladetrescom-puesta:directa,inversaymixta.

Regladetres.(2horas).

Capítulo415

•Aplicarlaproporcionali-dadenlosproblemasderepartoproporcional.

•Lasfraccionesensi-tuacionesdereparto.

•Problemasdeapli-caciónsobrerepartoproporcional.

Repartopropor-cional.(2horas).

Capítulo417

•Aprenderquelade-mostracióndelTeoremadePitágorassepuedehacerutilizandodiferen-tesfiguras.

•TeoremadePitágoras.

•TeoremadePitágo-rasgeneralizado.

•Rompecabezaspita-góricos.

Equivalenciasgeométricas(2horas).

Capítulo414

•Aplicarlaproporciona-lidadenlosproblemasdeporcentajeeinterés.

•Losporcentajesenlavidacotidiana.


•Relaciónentrepor-centajes,fraccionesydecimales.

•ElTangramylosporcentajes.

•Interés.

Porcentajeeinte-rés.(2horas).

Capítulo416

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Capítulosdellibro


•Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndepro-blemasqueinvolucrentodosloscontenidos.

•Problemasobrepro-porciónáurea.

•Problemasobrefon-dosdereserva.

•Problemasobredese-chossólidos.

•Problemassobrepor-centajesyfracciones:ensaladadefrutas,representacionesgráficas.

Problemasintegra-dores(2horas).

Capítulo5:Problemasintegradores

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•Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndepro-blemasqueinvolucrentodosloscontenidos.

•Planificaryevaluarunaclaseprácticautilizandounaplanificacióncons-tructivistayevaluarlaconindicadorespre-establecidos.

•Problemassobrepotenciación.

•ProblemassobreRegladeTres.

•Problemassobrera-zonesyproporciones.

•Problemassobrepor-centajes,fraccionesydecimales.

•Planificarunaclasedesdeelpuntodevistaconstructivistayevaluarlaconunafichadeobservaciónáulica.

Problemasintegra-dores(2horas).

Capítulo519

•Evaluarelprocesoylosresultadosdeestecursode40horas.

•Trabajosrealizadosenclase.

•Clasegrabada.

•Evaluaciónfinal.

Conclusionesyevaluaciónfinal(2horas).

EvaluaciónFinal.

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Paralaevaluacióndelpresentecursosetomaráencuenta:

1.Evaluaciónescrita:

•60%Pruebadesalida.

2.Evaluacióndelproceso:

2.1Laasistencianoformapartedelacalificacióndelcursosinembargoparaaprobarlodebeasistiral90%delashorastotalesdelcurso.

2.210%Participación1(basadaenlostrabajosrecogidosdurantelasclases).-Tienequeverconeldominiodelossaberesmatemáticosimpartidosenelcurso:

•Clasificacióndelosconjuntosnuméricos.

•Sistemadelosnúmerosracionales.

•Congruencianumérica.

•Criteriosdedivisibilidad.

•Proporcionalidad.

•Nocióndeordencomoconceptoindispensablenosóloparacontarsinoparaentendercasicualquierconceptodematemáticas.

2.310%Paticipación2(basadaenelperfil).

2.3.1Dominiodehabilidades,estrategiasymetodologías:

•Resolucióndeproblemas.

•Utilizacióndellenguajematemático.

•Utilizacióndematerialconcreto.

•Aprendizajebasadoenproblemas.

•Aplicacióndedemostraciones.

•Implementacióndenuevasmetodologías.

2.3.2Profundizaciónteórica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

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•Dominiodeconceptos.

•Investigación.

•Metacognición.

•Culturamatemática.

•Pedagogíadelasmatemáticas.

2.3.3Actitudesyhabilidadesycomunicaciónfluida.

•Calidadexpositivaycomunicaciónfluida.

•Trabajoenequipo.

•Actitudcrítica.

2.420%Evaluacióndelaplanificación.

2.4.15%Planificacióndelaclase.

2.4.25%Presentacióndelaclase.

2.4.310%Videodelaclasedictada.

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Concepto y representación delos números racionales1

SESIÓN1 Duración:1hora

• Reflexionaracercadecómoplanteartrabajosdeinvestigación.

• Reconocer la importanciadeutilizarmate-rialconcretoenelaula.

• Representar cantidades y situacionesquenosepuedenexpresarutilizandoúnicamentenú-merosenteros.

• Evaluarcuándounnúmeroracionalpositivoesmayorqueotro, relacionándoloscon larepresentaciónde los números en la rectanuméricaypermitiendocomparardistintascantidades.

• Conoceralosprincipalesautoresdeladis-ciplina.

• Lectura y reflexión sobre la utilización delmaterial concreto para una comprensiónmatemáticaefectiva.

• Tallersobreformacióndelconceptodefrac-ción.

• Elementosdelafracción.

• Ubicacióndefraccionesenlarectanuméri-caparacompararcantidades.

Objetivos Contenidos

1.Realicenenparejas la lectura“Utilizacióndelmaterial concretoparaunacomprensiónmatemáticaefectiva”.

2.Identifiqueneneltexto,segúnsujuicio,tresideasconlasqueesténdeacuerdoytresideasconlasqueesténendesacuerdoconlalectura.Indiquenlasrazones.

3.¿Cuálcreenustedesqueeslaideacentraldelalectura?

4.¿Conocenalgunosdelosautoresmencionadosenlalectura?¿Quéhaescuchadosobreellos?

5.Compartanlasrespuestasanterioresconunadelasparejasqueestájuntoaustedesparaintercambiaropiniones.

Compartansutrabajoconlosdemásparticipantesdelcurso.

Actividadenparejas:materialconcreto

Actividadplenaria

UNIDAD 1 números racionales

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Hoyendía,escomúnestardeacuerdoenqueparaunacomprensiónmatemáticaefectivaenlosprime-rosgradosocuandoseintroduceunnuevoconcepto,esadecuadoelusodematerialesmanipulables.Elusodematerialesconcretos,comounprimeracercamiento,seasumeenformaincuestionable.Laaparicióndelosmaterialesconcretossurgieronenladécadadelos60’s,conlapublicacióndelasbasesteóricaspropuestasporZoltanDienes(1960)yporJeromeBruner(1961).

Losestudiantes, con lamanipulaciónde laspiezasgeométricas,hicieronde lamatemáticaunadisciplinaexperimentaldondeelestudianteobservayestudiapatronesgeométricos.

Lectura:UtilizacióndelMaterialConcretoparaunaComprensiónMatemáticaEfectiva

Ventajas Desventajas

Siempre tendremosa lamano la intuicióncomomecanismodecomprensión.

Tieneunfuertecarácterexploratorio,loquepermiteelusodelrazonamientoylasdiscu-siones como sólida referenciapara juzgarlavalidezdelasafirmaciones.

Sirve como marco para la resolución deproblemas, discusión, comunicación, co-rreccióndeerrores.

Las limitaciones del modelo manipulativogenerandiscusionesinteresantesenelaula.

Sedesarrollamuchomáselentendimientoconceptual,queamedidaqueavanzaper-mite ir dejando de lado las herramientasconcretas y se vuelven unpuente hacia elentendimientodeideasabstractas.

Aportaenlosestudiantesmuchosentidodeindependenciaypor tantoseguridadensímismos.

Laspiezas concretasno tienen la “soluciónmágica”alosproblemasenelterrenoma-temático que algunos profesores le suelenasignar.

El poder de las piezas manipulativas nopuedeserusadoefectivamentesinunaade-cuadapreparacióndel docente. Laspiezasmanipulables no hacen “fácil” a lasmate-máticas,ylosprofesoresnecesitanaprendercómousarlas.

Cuando los estudiantes alcanzan un nivelsofisticado de manipulación de las piezas,pueden dar la imagen de que entiendenbienlosconceptosmatemáticospero,nosedebeolvidarquelaspiezassólosonunpre-textoparallegaralaetapasimbólica.

Laatencióndebeponerseenayudaratrans-ferir lo que los estudiantes descubren conlaspiezasmanipulables,aotrasrepresenta-ciones,incluidalasimbólica,numérica,etc.Recuerdeque la transferencianosedaes-pontáneamente.

Existe el peligro de que el uso de piezasgeométricas “fije” al estudiante solamentealmomentoconcreto.Esdecir,sinoseem-pleanadecuadamente laspiezasgeométri-casoseabusadeellas,elusodemodelosconcretospuedeocultar loquesepretendeenseñar. Los modelos con piezas geomé-tricaspuedenanclara losestudiantesauncontexto concreto progresando dentro deéste, demorando la construcciónde la sin-taxismatemática.

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Sesi

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Elmaterialdidácticomanipulableesuncomplemento,nounsustitutodeotrasrepresentaciones.Enparticular,lasrepresentacionesgráficas,lalistasistemática,laestimaciónysobretodolaalgebrai-casonotrasrepresentacionesextremadamenteimportantes.

Lafuncióndelaspiezasmanipulablesenelplandeestudiosesenseñarmatemáticaparaquesirvadepuenteparaotrasrepresentaciones.

Uncomponentecríticodelusodematerialdidácticoconcretoesestarseguroquelosestudian-teshaganlaconexiónentreeltrabajoconceptualhechoyelconocimientoquesupuestamentesoporta.Parahacerestavinculación,latransferenciadesdeuntópicoAhastauntópicoBsuce-derásolamentebajociertascondiciones.

Dentrodelascondicionesmásimportantestenemos:

a.Debenexistirelementoscomunesentredostópicos.

b.Elestudiantedebeestarconscientedelaexistenciadedichoselementoscomunes1.

1Tomadoyadaptadode:ElUsodeMaterialConcretoparalaEnseñanzadelaMatemática.Báez,MaríadeJesús,Hernández,Salvador(2002).http://www.google.com.ec/search?q=utilizaci%C3%B3n+material+concreto+en+pedagog%ADa&ie=utf&&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-ES:official&client=firefox-a

Actividadindividual:reflexionesadicionales

Actividadengrupo:motivación.Plantillasdefracciones

Respondaenformaindividual:

1.¿Conquéfrecuenciaustedutilizamaterialconcretoenelaula?

2.¿Quépuedehacerustedparaincrementarelusodematerialconcretoenelaula?

3.¿Enquétemasdesuclasepodríautilizarmaterialconcreto?

Aunqueelnombrede lasdistintasetapasvaría, los

defensoresdel

usodelaspiezasconcretas,conloscualesestamos

deacuerdo,su-

gierenquelosestudiantesdebenprogresaratravésde

diferenteseta-

pas.Nosotroslasllamaremosaestasetapas:concr

eta,geométrica

ysimbólica.

Compartansusideasconlosdemásparticipantes.

1.Formengruposdecuatroparticipantes.

2.Trabajenconeltablerocuadradodefracciones:dibujenenunacartulinauncuadradode23x23cm.yrecórtenlo.Dividanelcuadradodelasiguienteforma:

ActividadPlenaria

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Las FraccionesCirculares y el TableroCuadradode Fracciones, le permitiránmostrar cómo sedividen loscírculosy lasbarrasensecciones iguales;muestreprimero lasfigurascompletas, loquerepresentaunenteroyposteriormentelosdemásfraccionadasendos,tres,cuatro,seisyochorespectivamente.

3.Ahoratrabajenconlasfraccionescirculares:Dibujenenunacartulina6círculosde10cm.deradioyrecórtenlos.Dividanloscículosdelasiguienteforma:

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Sesi

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Elementosdelafracción

PROCEDIMIENTO

Comprendanquelapalabraquebradoprovienede“quebrar”unenteroenfraccionesiguales,in-dependientementedelaformaquetengaelentero,detalmaneraquesíhablamosde2/2quieredecirqueesunentero,yaseaunabarradelatabladefraccionesoelcírculodefracciones,ocual-quierotracosaqueseaconsideradacomounentero,sedivideendospartesiguales.

Tomenencuentaquelosnúmerosenterosnopermitendescribirtodaslassituacionesquesomoscapacesdeimaginar.Porejemplo,nopodemosexpresarconunnúmeroenterolashorasconte-nidasen30minutos.Estosucedeporque30minutossonsólopartedeunahora.Ademásenelconjuntodelosnúmerosnaturaleshayoperacionesquenosepuedenrealizar,comoladivisiónde5entre2,porejemplo;repartir5unidadesentre2, implicapartirunaunidad.Tambiénhayecuacionesquenosepuedenresolverenlosnaturales;nohayunnúmeroenteroquemultiplicadocomopor7decómoresultado20.Esdecir,laecuación7a=20notienesoluciónenelconjuntodelosnúmerosenteros.

Losnúmeros fraccionariosnospermitensolucionarestasdificultades.Utilizamos fraccionespararepresentarpartesdeunaunidad.

4.Observenelcírculoqueformaunentero(elprimero)ycompáreloconlaTabladefracciones,quetambiénformaunentero.

5.Mencionenalgunoselementosdelavidacotidianaquepuedenserconsideradoscomoen-terosparafraccionarlos,porejemplo:unpastelcircular,unpastelenformadebarra,unabarradeplastilina,etc.

6.Verifiquenelconceptodefracciónutilizandoloscírculosylasbarrasfraccionadassobrelasplantillas,queforman2/2,3/3…hasta9/9.

1.Tomandounafraccióncomoelemplo,hacernotarquenosindicaqueunenterosehafraccionadoen2,yqueestoloindicaelnúmero2queaparecedebajodelalíneadelquebrado,poresoselallamadenominador,porqueindicaencuántaspartesfraccionaremoselentero.Elnúmero1nosindicacuántasfraccionestomaremosencuentayporesoselallamanumerador.

Note,conayudadeltablerocuadradodefraccionesylasfraccionescirculares,quelosen-terossoncadacírculocompletoycadabarracompleta,mientrasque las fraccionesestánrepresentadasporloscírculosylasbarrasdivididas.

2.Tomenlabarrayelcírculofraccionadosen2partesyseñalenunadeesaspartes.Escribansufraccióncorrespondiente1/2,“asísemuestraunmedio”.Analicenlaformaenqueseescribelafracción;notenqueelnumeradoresel1yeldenominadoresel2(pueselenterosehadivididoen2partesysólotomaremosencuenta1deéstas).

3.Delamismamanera,haganparticiparalosestudiantesparaquecoloquenenlasPlantillasdeFracciones:

a.1/3;esdecirquedelcírculoobarrafraccionadaen3secolocaráunapieza,ysedirá“untercio”,identificandoal1comonumeradoryal3comodenominador.

b.4/6;esdecirdelcírculoobarrafraccionadaen6secolocarán4piezas,sedirá“cuatrosextos”,identificandoal4comonumeradoryal6comodenominador.

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NumeradorDenominador

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c.7/8;esdecirdelcírculoobarrafraccionadaen8secolocarán7piezas,sedirá“sieteoc-tavos”,identificandoal7comonumeradoryal8comodenominador.

4.Trabajenlossiguientesejemplos.Expresenlassiguientescantidadesutilizandonúmerosfrac-cionariosyrepreséntenlasluegoconlasfraccionescircularesyeltablerocuadradodefrac-ciones:

a.Elnúmerodehorasquehayen30minutos.

b.Elnúmerodemetrosquehayen75centímetros.

c.Elnúmerodeminutosquehayen15segundos.

Lasgráficascircularespermitenrepresentardiversassituaciones.

1.Busquelasiguienteinformación:

a.¿Quéfracciónrepresentanennuestropaíslaspersonasderazablanca? b.¿Quéfracciónrepresentanennuestropaíslaspersonasindígenas? c.¿Quéfraccióndelapoblacióndenuestropaísesmestiza?

d.¿Quéfraccióndelapoblacióndenuestropaíssonlosafroecuatorianos?

2.Representelosítemsanterioresenundiagramacircular.3.Sugieraotrasáreasdeaplicacióndondeseutilizanfraccionesycreeunproblema,comoelan-terior,paraalgunadelasáreassugeridas.

Deber:Investigaciónindividual

Ubicacióndefraccionariosenlarectanumérica

Enmuchas situacionesde la vidadiaria resultaútil representar losnúmeros fraccionariosenla recta numérica. Por ejemplo, para leer nuestra temperatura corporal en un termómetro,necesitamossaberubicarenlarectaunnúmerofraccionariomayorque37,peromenorque38.

Paraubicarlosnúmerosfraccionariosenlarecta,consideramosqueelsegmentoderectacom-prendidoentredosnúmerosnaturalesconsecutivosesunaunidad.Así,laprimeraunidadqueconsideramoseselsegmentocomprendidoentre0y1,lasegundaunidadeselsegmentocom-prendidoentre1y2,etc.

Dividiendoelsegmentocomprendidoentre0y1endossegmentoscongruentesencontramoselpuntoquecorrespondealfraccionario1/2;ytomandocomoreferenciaelsegmentocomprendidoentre0y1/2,podemosubicarsobrelarectatodoslosfraccionariosdedenominadoriguala2,dividiendocadaunidadendossegmentoscongruentesycontando,apartirdelprimersegmento,hastallegaralnumeradordelafracciónquesebusca.

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TomadodeNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemáticaenconstrucción7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002.

Cantidad(millonesdebarriles) Años Lugar

6/5 1878 Bretaña3 1979 GolfodeCampeche8/5 1979 MarCaribe8/5 1983 CaboBuenaEsperanza9/10 1989 IslasCanarias5 1991 GolfoPérsico

Paraubicarelfraccionarioc/denlarecta,aplicamoseloperador(c/dx)alnúmero1.Geomé-tricamenteestosignificadividirelsegmento0a1endsegmentoscongruentesytomarapartirde0,cdeestossegmentos(numerador).Porejemplo,silafracciónes1/4,sedivideelsegmentode0a1en4partesysetoma,apartirde0,1deestossegmentos.

Silafracciónes11/4,noalcanzacondividirsóloelsegmentode0a1,porloquesecontinúandividiendolossegmentossiguientes(de1a2,de2a3)en4partesigualeshastaque,contandoapartirde0,selleguealnúmero11,queeselnumeradordelafracción.

Actividadindividual:practicandoenlarectanumérica

1. Realiceelsiguienteejercicio:

a. Dibujeenunahojaunsegmentode10cm.de longitudydivídaloen5segmentoscongruentes.

b. Luegodibujeotrosegmentode10cm.ydivídaloen3segmentoscongruentes.

c. Ahoradibujeotrosegmentode10cm.de longitudydivídaloen7segmentoscon-gruentes.

d. Ubiquesobrealgunadelasrectasnuméricaslosfraccionarios3/5y7/4.

2. Reflexioneyescribasusideassobrelasestrategiasquepuedenusarseparaubicarlasfraccio-nesenlarectanumérica.

Deber:Investigación

Enlaactualidadtodoslosmaresdelmundoestánafectadosporlosderramesdepetróleo.Casicadaañosederramanenelmar7/2demillonesdebarriles,deliberadamenteoporaccidente.Lasiguientetablaresumelosmayoresderramesdepetróleoenelmundohasta1991.

• Investigueapartirdeesafechahastalaactualidadcuáleshansidolosmayoresderramesycompletelatablaconlosdatos.

• Utiliceunarectanuméricaparaubicarlascantidadesquesederramaroncadavez.

Ubicartodoslosfraccionariosdecualquierdenominador

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Ejercicios y problemas sobreconceptos y representación de los números racionales

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SESIÓN2 Duración:2horas

• Relacionar temas de matemáticas con lavidacotidiana.

• Repensarlamaneradeenseñarfracciones.

• Comprender que concentrar en una cua-drolainformacióndeunproblemaayudaaaclararcómoresolverlo.

• Determinarquelasfraccionespermitenen-contrar el resultado de dividir un númeroenteroentrecualquierotro.

• Resolveryelaborarproblemasconceptualesyderepresentaciónenlarectanumérica.

• Reflexionar acercadel usode juegosparaafianzarconceptosmatemáticos.

• Descubriendolasfracciones.

• Lectura:Densidad de los números racionales.

• Dóndeaparecenlasfracciones.

• Significadodelasfracciones.

• Ordenenlasfracciones.

• Lectura:La noción de orden en las fracciones.

1.Juego:“Jugandoconlarectanumérica”

a. Eljuegoserealizaporparejas.

b. Tomandocomobaseunarectanumérica,eljugador“A”escogeunnúmeroentre100y200.

c. Eljugador“B”escogeunnúmeroentre800y900.

d. Eljugador“A”sumaunnúmerocualquieraalqueescogióoriginalmente.

e. Eljugador“B”restaunnúmerocualquieraalqueseleccionó.

f. Serepitenlasmismaaccionescuidandonoalcanzarorebasarelnúmerodelcontrario.

g.Pierdeeljugadorquealcanceorebaseasucompañero.


Actividadenparejas:Juego

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2.Conlamismaparejaquetrabajaroneneljuegoanterior,comentenenrelaciónalostemassiguientes:

a. Contenidosmatemáticosquesetrabajaronduranteeldesarrollodeljuego.

b. Propiedaddedensidaddelosnúmerosracionales.

3.Entreguenalinstructorsusreflexionesindividualesporescrito.

Actividaddegrupo:Descubriendofracciones

1.Formengruposde4personasyleaneltexto“Descubriendolasfracciones”.

2.Propongan,consuscompañerosdegrupo,cómoexplicaríanestetemaasusestudiantes.

Actividadplenaria

Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes.

Descubriendolasfracciones

El solohechode leer lapalabra fracción crea, amenudo, inquietuden losdocentes ya seaporquerecuerdansupropioaprendizaje(seguramentelaborioso)oporquetienenpresenteslasdificultadesdidácticasparaenseñaresapartedelprogramadematemáticas.

Enloslibrosyprogramasestetemageneralmenteapareceasí:

Ylededicanmuchotiempoypapelaltemadelasoperacionesporquees“elmásdifícil”.Todoslosdocentessabemoscuántolecuestaalestudiantenomezclarlasreglaspararesolverlasope-raciones:

Porejemplo,pararesolver: Quesecalculacorrectamenteasí:

Losestudiantesrealizanmuchasvecesoperacionesincorrectascomo:

Nopretendemosdarsolucionesmágicasa losproblemasdecálculoconfraccionesymuchomenosplantearqueconnuestrassugerenciasesosproblemasnosepresentarán.LaintenciónesseñalaralgunosaspectosquedeberíansercontempladosenlaEducaciónGeneralBásica.

Lasfraccionesformanunconjuntodenúmerosconprop

iedadesespecí-

ficas,distintasdelaspropiedadesdelosnúmerosenteros

.Muchosdelos

problemasseoriginanpornotenerclarasesasdiferenci

as.

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1. Enlosnúmerosenterossabemosque3esmenorque5yloescribimosasí:3<5pero¿quépasaconlasfracciones1/3y1/5?.Podemospensarque,comolosnumeradosdelasdosfraccionessonigualesy3<5,entonces:

1/3<1/5

Sabemosqueestonoescierto,comopuedeverseenundibujooenlarectanumérica:

2. Lamayoríadelosniñosqueingresanalaescuelapueden“recitar”losprimerosnúmeros:

1,2,3,4,5,6...

Mostramosasíque:1/3>1/5

¿Porquédecimosquelasfraccionessonnúmerosdistintosquelosenteros?

Veamosdosejemplosquemuestranalgunasdelasdiferencias:

Habitualmentedecimos:“yasabecontarhastaelseis”.Saber“contar”seasociaconlanociónde“siguiente”o“sucesor”esdecir,nombrarelnúmeroquetieneunaunidadmásqueelanterior.

¿Quésonlasfracciones?

“Sonnúmerospequeñitosquedividenaunoomás

enteros”.

(Pepe)

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Yenlasfracciones¿cuáleselsiguientede1/2?

Si1/3esmenorque1/2,entoncesnopuedeserelnúmeroquesiguea1/2,¿ylosdemásnúmeros?Sonmayoresque1/2pero¿cuáleselnúmeroquesigueinmediatamentea1/2?,¿seráel2/3?Representemosenunarectanuméricalasfraccionesanterioresparapoderanalizarmejor:

Estenúmerosecalculasumandolosextremosdelsegmento(1/2y2/3)ydividiéndoloentre2,así:

Parasumar1/2más2/3transformamosestasfraccionesafraccionesdeigualdenominador,esdecirafraccioneshomogéneas.

Recordemosqueparadividirunafracciónporunenteroseescribeelmismonumeradorycomodenominadorelproductodelenteroporeldenominadordelafraccióninicial.Sihaycomosimpli-ficar,sesimplifica.

¿Nohabráotrasfraccionesentre1/2y2/3?

Sí,siconsideramoselsegmentocuyosextremosson1/2y2/3,podemosencontrarelpuntomediodeélyverquénúmerolecorresponde.

* Nota: Por razones tipográficas algunas veces las

fracciones se

indicarán con la líneaoblícua1/2aunque creemo

squeen la

escuelaprimariasedebeusarelformato.12

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¿Nohabráotrospuntosentre1/2y7/12?

Puessí,siemprepodemosencontrarelpuntomediodelsegmentoyasíobtenemosotrafracciónmáscercanaa1/2.Nuncapodremosdecircuáleslafracciónquesiguea1/2.

Esolepasaatodoslosnúmerosfraccionariosysabemosquealosenterosno.

Todoslosnúmerosenterostienenunúniconúmeroquelessigue,quesellama“siguiente”o“su-cesor”deesenúmero,unsolonúmeroanterior,asícomoentredosnúmerosenterosconsecutivosnohayningúnnúmeroentero;mientrasqueentredosnúmerosracionalesexisteuninfinitonúmerodefracciones.

1. Realicenlalectura:Densidad de los números racionales.

2. ¿Cuálcreenustedesqueeslaideacentraldelalectura?

3. ¿Quétrascendenciacreenquetieneelconceptodedensidaddelosnúmerosracionalesenlaasignatura?

4. Identifiquencómosellamaesteconjuntonuméricoquelosmatemáticosyfilósofosgriegosdescubrieronquenosonelcocienteentredosenteros.RepreséntenloenundiagramadeVennconrespectoalosotrosconjuntosnuméricos.

5. Compartansusrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedesparaintercam-biaropiniones.

Actividadenparejas:Densidaddelosnúmerosracionales

Lectura:Densidaddelosnúmerosracionales

Elconjuntodelosnúmerosnaturalesconlasumaylamultiplicaciónusualsatisfacenlasleyesasociativas,conmutativas,distributivasydecancelación.Sinembargo,lasoperacionesinver-sas,sustracciónydivisión,nosonsiempreposiblesenestesistemanumérico;porejemplo,larespuestadedividir3para2noestáenelconjuntodelosnaturales.Parapoderrealizarestasoperacionessinningunarestriccióndebemosextenderelsistemaconlosnaturalesnegativosylosquebrados,osea,losnúmerosenteros,ylasfracciones.Launióndeestosdosnuevoscon-juntosdaorigenalconjuntodenúmerosracionales,debidoaqueseobtienenporoperacionesracionalesdearitmética,comosustracción,adición,multiplicaciónydivisión.Esteconjuntomásampliodenúmerosseextiendealosnaturales,nosóloporelhechodecontenerlossinoquelasleyesdescritasenlosnaturalesrigenenlosracionales,exceptoladivisiónporcero.

Losnúmerosracionalesserepresentangráficamenteporpuntosenunalínearecta(rectareal).Tomandounpunto0comoelorigenyunaunidaddemedidaquellamaremos1.Lospuntoscorrespondientesalosnúmerosenterossubdividenesteejenuméricoenintervalosdelongitud1.Luego,cualquierpuntodeesteejeoesunenterooestáentredosenteros.Sisubdividimoscadaintervaloenqpartesiguales,entonceshemosconstruidounasubdivisióndelarectaenintervalosdelongitud1/qdondelosextremosdeestosintervalossondelaformap/q.Demodoque,cualquierpuntodeestarectaoesunracionaldeestaformaoestáentredosdeellos.


ActividadPlenaria

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Elhechoesquecualquierpuntodelarectarealestátancercacomounoquieradeunracional;

estoseexpresadiciendoquelosracionalessondensosenlarectareal,loqueimplicaqueentre

dosracionalessiempreexisteninfinitospuntosdelarectareal.

Comodatoadicionalpodemosdecirqueaunquelosracionalestienenestaparticularcaracterís-

ticaantesdescrita,yadesdeépocasremotasenlossiglosVoVIa.C.losmatemáticosyfilósofos

griegosdescubrieronquehaycantidadesquenosonelcocienteentredosenteros,porejemplo,

ladiagonaldeuncuadradodelado1,queactualmentesabemosqueesraízde2.

Tomado deStewartJamesyotros,RodrigoHernándezyConstanzaSanmiguel.Introducción al cálculo.

EditorialThompson.2007.

Actividadindividual:Reflexión

Actividadplenaria


Actividadplenaria

1. ¿Habíaescuchadoantessobreesteconceptode“densidaddelosnúmerosracionales”?

2.Mencione en qué otro contenido de las matemáticas posteriores será de utilidad

esteconcepto.

3. ComodocentedelaasignaturadeMatemáticas,¿cuálconsideraustedqueeslaimpor-

tanciadediferenciarlosnúmerosracionalesdelosenterosydelosnaturales?

1. Formengruposde4participantes.

2. Leaneltexto:“Enterosyfracciones”queseencuentraacontinuación.

3. Proponganestrategiasquepodríanusarparaexplicarestetemaasusestudiantes.

Respondalassiguientespreguntasenformaindividual:

Compartansusideasconlosdemásparticipantes:

Actividadengrupo:LasFracciones

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Sesi

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Esdecir,elconjuntodelosenterosestáincluidoenelconjuntodelasfracciones.


“Lasfraccionessonlamitadodistintacantidaddeu

nentero.Estosirve

cuandorepartesunacosa,lapartesyaparecenlasfr

acciones”.

(Jacobo)

Actividadengrupo:Fraccionesenlavidacotidiana

1. Reúnanseengruposde4docentes.

2. Resuelvanlassiguientesactividadessugeridas,parareforzarlosconceptosarribamencionados.

3. Escribansusrespuestasenunahoja,individualmente,yentréguelaalinstructor.

a. Rayen2/3enlasiguientefigura:

b. Indiquenquépartedelasiguientefiguraestárayada:

Todossabemosque3/3,16/8,15/5y8/2sonnúm

erosenteros,porquesonformas

diferentesdeescribir1,2,3y4.

Ytambiénsabemosquetodonúmeroenteropuedee

scribirseenformadefracción,así:

7=14/2=7/1=28/4=49/7=...

Esverdadquetodoslosnúmerosenterossonfraccio

nes,peronolainversa.Existen

infinitasfraccionesquenosonequivalentesanúmero

senteros,porejemplo,7/3o2/5.

Lectura: Enterosyfracciones

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“Soncosasquesedividenenpartesiguales”.

(Clemencia)

“Sonlaspartesquequedaniguales”. (Lucía)

SignificadodelasFracciones

c.Enlafiguraanterior¿Cuáleslarelaciónentrelapartepintadaylablanca?

d.Lacuartapartedelgrupode2do.gradosonniñas.Losniñosson24,¿Quécantidaddeestudianteshayentodoelgrupo?¿Quéporcentajedelgruposonniños?

e.Altirarundadolosposiblesresultadosson:1-2-3-4-5-6,¿Cuáleslaprobabilidaddeobtenercomoresultadounnúmeropar?

f.Sequierenrepartirochochocolatesentrecuatroniños¿Cuántoletocaacadauno?,ysisólotienencincochocolates,¿cuántoletocaacadauno?

g.Enlaferiamedancuatrodulcespor$9.¿Cuántosdulcesmedanpor$18?¿cuántodineronecesitopara28dulces?Completalatabla:

dulces

4

____

28

____

9

18

____

1836

dólares

Alcomparardoscantidadesenteraspormediodelad

ivisiónseoriginanlasfracciones,

lasmismasquenosonotracosaqueladivisiónde

lnumerador(dividendo),parael

denominador(divisor).

Sielnumeradoresunmúltiplodeldenominadorob

tendremoscomoresultadounen-

tero.

Ejemplos: 12/3=4; 42/7=6; 119/17=7; 45/9=5

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Sesi

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1.Leanenparejas,elsiguienteproblema:

Lafraccióncomorazón

EnlaEscuela“Francisco”haycuatrogruposdeprimeraño.Enlasección“A”haysietehombresysietemujeres;enlasección“B”,treintahombresyveinticincomujeres;enlasección“C”,veintehombresydiecinuevemujeresyenlasección“D”,dieciochohombresyquincemujeres.Alpresentarelexamendematemáticas,enlasección“A”reprobarontreshombresycuatromujeres;enlasección“B”,seishombresyseismujeres;enlasección“C”,ochohombresysietemujeresyenlasección“D”,treshombresydosmujeres.

GrupoNúmerodeestudiantes

Númerodereprobados

Partedeestudiantesreprobados

A

B

C

D

Hombres Hombres HombresMujeres Mujeres MujeresTotal Total Total

2. Concentrenlainformaciónqueserequiereenelsiguientecuadro:

Actividadenparejas:Lafraccióncomorazón

3. Contestenlassiguientespreguntas:

a. ¿Quégrupotienemásestudiantes?

b. ¿Quégrupotienemenosestudiantes?

c. ¿Enquégruporeprobaronmásestudiantes?

d. ¿Enquégruporeprobaronmenosestudiantes?

e. ¿Enquégrupoesmáselevadoelíndicedereprobación?

f. Delosgrupos“A“y“C”¿cuáltienemayoríndicedeaprobación?

g. ¿Quépartedeltotaldeestudiantesdelosgrupos“B”y“D”reprobaron?

h. Del total de estudiantes del grado, ¿cuál es el índice de aprobación de hombresymujeres?

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i. Enlasfraccionesanteriores,¿quérepresentaelnumerador?

j. ¿Quérepresentaeldenominador?

Compartansuconceptoconstruidoconlosotrosgrupos.

4. Representenencadacírculoeltotaldereprobados.

Grupo“A” Grupo“C”Grupo“B” Grupo“D”

5.¿Quéesunarazón?

6. ¿Paraquésirveconcentrarlainformacióndeunproblemaenuncuadro?

¿Quéesmás?

¿LainactividaddelChimborazodurante3/4desigl

oolasemanacionesde

materiaincandescenterealizadasdurante3/4deun

día?.

Actividadplenaria

Actividadenparejas:Ordenenlafracciones

1.Recortenlas3/5partesdeunahojadepapeltamañoA4ylas7/8partesdeotrahojadepapeldeigualtamaño.

2. Comparenlostrozosobtenidosycontesten:¿encuáldelosdoscasosseutilizamáspapel?

3. Representenenunamismarectanuméricalosnúmeros3/5y7/8.

4. ¿Cuáldeestosnúmerosseencuentraubicadoaladerechadelotro?

5. Contestenlasiguientepregunta:

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1. Expongan,suspuntosdevistaenrelaciónalosproblemasanteriores.

1. LeaelsiguienteComentariodeSamuelVillarrealSuárez.

2. Escribaunaopiniónindividualdeloleídoyentréguelaalinstructorenunahoja.

Lectura: ComentarioSamuelVillarrealSuárez

Adecirverdad,sonpocoslosestudiantesqueenlaclasedematemáticaslevantanlamanoyafirmanconmarcadapreocupación-profesor,noentiendo-.Estonodebehalagarnos,sinomásbieninquietarnos,especialmentesiestamosconscientesqueelrestodelosestudiantesnohanexternadoestapreocupa-ciónporeltemoralridículoolavergüenza,alponerenevidenciasuaparenteignoranciaobligándoloapermanecerinmóvilesperandoquealgúncompañerocuestioneporél,oensudefecto,queelprofesor,pormeracasualidad,hagaunaexposiciónaclarandosusdudassobreeltematrabajado.

Ojalácadavezseanmenoslosestudiantesquepresentenesasinterrogantesdentrodenuestrasaulas.Estogarantizaquelasclasesconsideranalmenosdoselementossustantivos:laoportunidadquelees-tamosdandoalniñoparaqueconstruyaporsímismoelconocimientomatemático,locualaseguraríaquenuestrosniñoscadaveztendríanmenosdudasrespectoaloqueestáncreandoy,elabandonodelas“exposicionesmagistrales”quepormuchotiempohancaracterizadolasprácticasdeldocente.

Pocasvecesreflexionamossobreestasituaciónpuespensamosqueunplanteamientodeestetipoespro-ductodelamismacuriosidadnaturaldelosestudiantescuandoenlamayoríadelasocasiones,estoesconsecuenciadenuestraspropiasimprecisionesalestartrabajandoconunaasignaturacuyoelementosustantivoesprecisamentelocontrario:laprecisión.Enelplanteamientoinicial,enrelacióna¿Qué es más?esclaroque,sihacemosalusiónaltiempo,evidentementeque3/4deunsigloesmuchomásqueundía,sinembargo,sinosreferimosalnumeralqueesmotivodelacomparación,entoncestendríamosunaequivalencia(3/4=3/4)yfinalmente,sialestablecerlacomparaciónenfocamosnuestraatenciónalvolumendemateriaarrojadoporelvolcán,tendríamosque3/4deundíaesmásqueelsilenciode3/4deunsiglo.Nuestrosestudiantesnoescuchanloqueestamospensandoyloserroresnosiempresonproductodesuincapacidadpararesolverlosplanteamientosquelespresentamos,sinomásbien,delasimprecisionesquehacemosalpresentarlasmatemáticas.

Actividadplenaria

Actividadindividual:¿Quéesmás?

1.RealicenlalecturaLa Noción de orden en matemáticas.

2.Contestenlaspreguntasqueestánacontinuación:

a. ¿Cuálcreenqueeslaideacentralentornoalacualgiralalectura?

b. ¿Quétrascendenciatienelanocióndeordenenlaasignatura?

c. ¿CuálessonlosprincipiosquefundamentanlanocióndeordenenMatemáticas?

d. ¿Cuálconsideranqueeselprincipiomásimportante?

e. Compartansusrespuestasconlaparejaqueestájuntoaustedesparaintercambiaropiniones.

Actividadenparejas:NocióndeordenenMatemáticas

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Lectura:LanocióndeordenenMatemáticas

Losniñosylasniñasaprendenmuyprontoadecirlosnúmerosenvozaltaydehechoadecirlosenelordencorrecto.Alprincipioúnicamentepodrándecirlosdel1al5,porejemplo,peroconformevancreciendosoncapacesderepetirsecuenciascadavezmáslargas.

¿Quiereestodecirquesabencontar?

Piagetnosdicequeestahabilidadquedesarrollanlosniñosde“repetirnúmeros”puedefácilmenteengañaralosadultosquienespiensanquesushijosoestudiantes,desdemuytempranaedadyasabencontar.Perolarealidadnoesesa, losniñospequeñosquesabendecir losnúmerosmuydifícilmenteentiendenloquesignificacontarymenosaúnloquesignificaelconceptodenúmero.

Recitar los nombres de los números en ausencia de objetos reales es una actividad sin sentido. Reci-tar los nombres de números en orden es a la matemática lo que una repetición exacta del alfabeto es a la lectura... (Evelyn Sharp, Thinking is child´s play. Ed. Dutton, Nueva York, 1986).

Asípuesesfácilcomprobarqueunniñopequeñoaúncuandopuedapronunciarlosnombresdelos números en orden correcto tienemuchas dificultades para asignarlos adecuadamente a unconjuntodeobjetosquesedeseecontar.Porejemplo,cuandoaunniñooniñade4ó5añosselepidequecuenteunacoleccióndeobjetos,esmuyposiblequecuentemásdeunavezvariosdelosobjetosyquedejesincontarotros.

Losniñospequeños,deentre4y7años,noreconocen,ynotienenporquéhacerlo,lanecesidadlógicadeordenarlosobjetosparacontarlosyporelloelresultadoesincorrecto;sinunordenade-cuado,elconteoocurrealazarynosepuedeevitarsaltaroduplicarlosnúmerosalcontar.

Finalmenteesfácilconcluirqueunrequisitoindispensableparasabercontaressaberordenar,peronoeselúnico.

“...Cuandolosniñosylasniñasempiezanacontarcosasnosólotienenquevérselasconlaactivi-dadmismadecontar,deben,además,recordarlaspalabrasnuméricas,contarcadaobjetoenunconjunto-siestáncontandounconjunto-unasolavez,yentenderqueelnúmerodeobjetosestárepresentadoporelúltimonúmeroquepronunciancuandocuentanelconjunto.Enotraspalabras,tienenqueaprenderacontaradecuadamente.

Existen tres principios para aprender a contar, pero debe añadirse aquí que sería más preciso denominar-los principios para contar un solo conjunto de objetos...

El primer principioeseldecorrespondencia biunívoca.Alcontar,debencontarsetodoslosobjetos,ycadaunodebecontarseunavezysolounavez.Sicontáramosunobjetodosveces,sinossaltára-mosunobjetoosicontáramoslosespaciosentreobjetosenelgrupo,obtendríamosunresultadototalmenteequivocado.

El segundo principioeseldeorden constante.Cadavezquecontamosdebemospronunciarpalabrasnuméricasenelmismoorden.Sicambiáramoselordendelosnúmeros(1,2,3,4,5,6,enunaocasión,1,3,6,5,4,2enotra),obtendríamosunnúmerototaldistintocadavezquecontáramoselmismoconjuntodeobjetos.

El tercer principioparacontarserelacionaconlamaneradedecidirlacantidadrealdeobjetosenelconjuntoqueseestácontando,esdecir,cómosabersieltotaldeobjetoscorrespondealaúltimapalabranuméricapronunciadaalcontar...”

ActividadplenariaExpongansutrabajoalosdemásparticipantes.

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(TomadodeTerezinhaNunesyPeterBryant,Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño.Ed.sigloXXI.México,1997.pp.36-37).

Hoyendíasonvarioslospedagogosylosmatemáticosqueapuntanlanecesidadderealizarac-tividadesquepermitanalosniñosaprenderaordenaryaentenderelconceptodeordenytodoscoincidenenqueesindispensablequeestasactividadessepropongannosóloenlosprimerosañossinoalolargodetodalaEducaciónGeneralBásicaydeserposibletambiénenlasecundaria.Conformeseavanceenelgradodedificultaddeestasactividades,lanociónde ordenseirácon-solidandoylosestudiantesiránentendiendoqueeste concepto es indispensable no sólo para contar sino para entender casi cualquier concepto de matemáticas.

Tomado y adaptado de Redescolar. La noción de orden en las matemáticas.http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/orden/matecl1.htmFechadeacceso16-11-2009.

Respondaalasiguientespreguntas:

1. Formengruposde3docentes.

2. Resuelvanlossiguientesproblemassobreelordendelosracionalespositivos:

Asícomoresultaútilordenarlosnúmerosenteros,esconvenientedeterminarunordenenelconjuntodelosnúmerosracionalespositivos.Imagina,porejemplo,quetúhasleídolas4/5partesdeunlibroyunodetuscompañerosleyólas2/3partesdelmismolibro.Parasaberquiénhaleídomás,necesitassabercuáldelosnúmerosesmayor(4/5ó2/3).

1. ¿Habíaescuchadoantessobreesteconceptode“nocióndeordenenlasmatemáticas”?

2.Mencioneenquéotroscontenidosposterioresdelasmatemáticasserádeutilidadesteconcepto.

3. ¿Cómoasociaríaustedla“nocióndeorden”conlosvaloreshumanos?

4. Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.

Actividadindividual:Reflexiónnocióndelorden

Actividadengrupo:Racionalespositivos

Expongasusreflexionesalosdemásparticipantes.

Actividadplenaria

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Recordemosqueelnúmeroa/besmenorqueelnúmeroc/dsi,enlarectanumérica,elpuntoquerepresentaa/bestáalaizquierdadelpuntoquerepresentaalnúmeroc/d.Enestecasoescribiremosa/b<c/d.

a. Ayudadosconlarectanuméricadeterminencuáldelosnúmeroseselmenor:4/5ó2/3.

b. Imaginenahoraquedos fraccionarios tienenelmismodenominador.Cuando losrepresentamos sobre la recta numérica, el que tenga elmenor numerador estaráubicadoalaizquierda(y,portanto,serámenor).Porejemplo,5/4esmenorque7/4.Sidosfraccionariostienenelmismodenominador,elmenordeelloseseldemenornumerador.

3. Preparen,engrupo,cómoharíanparaexplicarasusestudianteseltemaanterior,Orden en los Racionales Positivos.Escribanlospasosqueseguiránparadesarrollarlaclase.

a. PetitayEduardopracticanciclismoenelParqueLaCarolinaydespuésde20minutosderecorridoPetitaharecorridolas7/12partesdelcaminoyRobertolas6/11partes.¿Quiénvaganandolacarrera?

b. LasempresasRefrescosS.A.yJugosCía.Ltda.producenbebidasquevendenalmismoprecio.SicadabotellaproducidaporRefrescosS.A.contienen4/5delitrodeproductoycadabotellaproducidaporJugosCía.Ltda.contiene8/10delitro.¿Cuáleselrefrescomáseconómico?

c. Inventeyresuelvaunproblemacuyasoluciónrequieradeterminarcuáldelosfraccionarios3/7y5/9eselmayor.

d. Ordenedemenoramayorlassiguientesfracciones:3/25;7/11;9/16y14/101.

e. Delasiguientelista,encuentretodoslosracionalespositivosmayoresque1/3yademásmenoresque6/5:3/4,2/5,9/3,5/8,4/6,3/7,2/4,26/100,78/92,14/31,12/7,15/9,11/63,1/4,15/152,4/23.

Comparaciónentredosfracciones

1. Engruposdetres,yutilizandolaspiezasdelasplantillasdefracciones,comparelasfrac-ciones1/2y1/3yverifiquecuáldeellasesmayor.Observequemientrasmásgrandeeselvalordeldenominadormenoresunafracción.

1/2>1/3

2. Delamismaforma,acomodandolaspiezassobrelasplantillasdefracciones,comparediciendocuálfracciónesmayor:

1/3 y1/4 5/6 y7/9 3/8 y1/2 6/7 y4/5

Actividadengrupo:Comparaciónentre2fracciones

Deber:Practicandoconfracciones

Actividadplenaria

Expongansutrabajoalosdemásparticipantes.

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1.Resuelvanlossiguientesproblemas:

Endosfraccionesequivalentes,simultiplicamoselnumeradordelaprimerafracciónporeldenominadordelasegundafracción,elproductodebeserigual,alproductodeldeno-minadordelaprimerafracciónporelnumeradordelasegundafracción.

Esterecursotambiénnossirveparareconocersiunafracciónesmenor,igualomayorqueotra;loquedependedequeelprimerproductoseamenor,igualomayorqueelsegundo.

Ejemplos:

3/8 esiguala 15/40 porque3x40esiguala 8x15

7/11 esmayorque 8/13 porque7x13esmayorque 11x8

5/8 esmenorque 9/14 porque5x14esmenorque 8x9

Recordemos también las propiedades de los quebrados:

• Devariosquebradosquetienenigualdenominadoresmayorelquetienemayornu-merador.

• Devariosquebradosquetienenigualnumeradoresmenorelquetienemayordeno-minador.

Siaunacantidadlefaltamenosqueaotra,parallegaraunamismacantidad,laprimeraesmayorquelasegunda.

Siaunapersonalefaltan$20parallegara$100,esporquetiene$80;siaunasegun-dapersonalefalta$40parallegara$100,esporquetiene$60.Entonceslaprimerapersonatienemásquelasegunda,puestoqueaquellatiene$80ylasegundasolamente$60.Notemosquealaprimeralefaltabamenosquealasegunda,parallegara$100.

Igualcosaocurresicomparamos19/21con23/25,alprimerolefaltan2/21,yalsegun-do2/25;entoncesalprimerole falta másquealsegundo,porlotantoes menorqueelsegundo.Observemosque2/21esmayorque2/25,porque“devariosquebradosquetienenigualnumeradormayoreselquetienemenordenominador”.

ElbuquedeguerraBovercraft,delaMarinadeEstadosUnidos,avanzaunavelocidadde919/10nudos.EldestructormásrápidoeselfrancésLeTerriblequeenelañode1935al-canzóunavelocidadde181/40nudos.¿Cuáldelasdosembarcacionesalcanzólamayorvelocidad?

(InformacióntomadadeNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemática en construcción 7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002)

2. Leanelsiguientetexto:

3. Proponganestrategiasquepodríanusarparaexplicarlesloanteriorasusestudiantes.

Actividadenparejas:Embarcacionesveloces

Actividadplenaria

Expongansutrabajotalcomoharíaparaexplicarlesloanteriorasusestudiantes.

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Reducciones: amplificación,simplificación3


• Hallarlarelaciónqueexisteentrelosenterospositivosylosnúmerosracionalespositivos.

• Encontrar fraccionesequivalentesaunnú-merofraccionariodado.

• Descubrirelconceptodefraccionesirreduc-tibles.

• Reconocerlaimportanciadeutilizardemos-traciones con los estudiantes en las clasesdematemáticas.

• Fraccionesequivalentes.

• Amplificaciónysimplificacióndefracciones.

• Fracciónirreducible.


Actividadengrupo:Fraccionesequivalentes

FraccionesEquivalentes

1. Formengruposdetresdocentes.

2. Contestenlassiguientespreguntasyanoten,individualmente,lasrespuestasalosítems2y4enunahoja:

a. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformarunaunidad?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?

b. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformar2unidades?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?

c. ¿Cuántosoctavosnecesitoparaformar3unidades?,¿Cuántossextos?,¿Cuántostercios?

Haciendo las demostraciones con las plantillas de Fracciones y mostrando la escritura de 8/8, 6/6 y 3/3 note que siempre que el numerador es igual que el denominador estamos hablando de la unidad.

d. ¿Cuántoscuartosnecesitoparaformar1/2?

e. ¿Concuántosoctavosseformarán3/6?

f. ¿Concuántosoctavosseformarán3/4?

3. Leanelsiguientetexto:

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Actividadenparejas:Amplificaciónysimplificacióndefracciones

1.Leaneltexto:“Amplificaciónysimplificacióndefracciones”.

2.Escribanenunahojalosmétodosqueustedesconocenparaamplificarysimplificarfracciones.Amplificaciónysimplificacióndefracciones

Los fraccionariosequivalentes representan lamismacantidad,esdecirqueparaexpresarunnúmerofraccionarioa/bpodemosutilizarcualquieradesusfraccionesequivalentes.

Asíporejemplo,paraexpresarenmetroslaalturadeunedificiode3pisospodemosutilizar45/10,90/20,135/30,ócualquierotrafracciónequivalenteaéstas.

Observaqueesposibleobtenerelfraccionario90/20apartirde45/10,multiplicandoelnume-radoryeldenominadorde45/10por2/2.

Enestecasodecimosquehemosamplificadoelnúmeroracionalpositivo45/10X2/2,loqueequivaleamultiplicarpor1alafracción.

Si multiplicamos o dividimos ambos términos de

la fracción por un mismo número el valor de la

fracciónnosealtera.

Dosfraccionessonequivalentessiladivisiónentreambasequivaleaunafracciónaparente(unaunidad),esdecir,si la multiplicación del denominador de la primera por el numerador de la se-gunda es igual a la multiplicación del numerador de la primera por el denominador de la segunda.

Porejemplo:

4.Enrelaciónasusrespuestasanteriores,contesten:a. ¿Quéestrategiasusaronparacontestarlaspreguntas?

b. ¿Enquérespuestasacertaron?

c. ¿Encuálesnoacertaron?

5. Compruebenconelusodelasplantillasdefraccioneslosiguiente:

a. 2/3y4/6sonequivalentesporque3x4=12y2x6=12.

b. 2/4y4/8sonequivalentesporque4x4=16y2x8=16.

c. 4/8y2/3nosonequivalentesporque8x2=16y4x3=12;16noesiguala12.

6. Demuestrenmediante la Plantilla de Fracciones ymediante la escrituramatemática si lassiguientesfraccionessonequivalentes:

a. 1/2y4/8

b. 3/6y2/4

c. 2/2y4/4

7. Entreguen,individualmente,sushojasconlasrespuestasalinstructor.

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Actividadplenaria

Actividadindividual:Fracciónirreducible

Compartaconlosdemásparticipantes:

a.Sumétodoparalaamplificaciónysimplificacióndefracciones,utilizandolasplantillasdefracciones.

b.Lasestrategiasqueusaríaparaexplicarestetemaasusestudiantes.

1. Utilizando lasplantillasde fracciones, responda¿cómo reconocecuándouna fracciónesirreducible?

2. Leaeltexto:“fracciónirreducible”ycompáreloconsurespuestaanterior.

3. Responda,¿quésimilitudesencontróentrelasideasdeltextoylassuyas?

4. Escribaesassimilitudesenunahojayentréguelasalinstructor.

Ejemplo:

9/15=3/5;hemosdivididoambostérminosdelafracciónpor3.

Aldividirambostérminosdeunafracciónporunmismonúmerosedicequehemossimplificadolafracción.

Simultiplicamosambostérminosporunmismonúmerosedicequehemosamplificadolafracción;

Enelejemploanterior,¿simplificamosoamplificamoslafracción?Siamplificamososimplificamosunafracción,encontramosotrafracciónquetieneelmismo valor quelaprimera,porestarazónsellaman fracciones equivalentes.

2/9=14/63=18/81

Lasmatemáticasnosenseñanquedebemosserobservadores,quelasoperacionesserealizanporunarazón,yquedebenjustificarse.Observeconatenciónlassiguientesfraccionesequivalentes:

1/2=4/8=7/14=11/22; 1/3=2/6=4/12=7/21

En el primer grupotodaslasfraccionessonigualesaunmedio,esdecir,alamitad,observequeelnumeradoressiemprelamitaddeldenominador,oloqueeslomismo,eldenominadoreseldobledelnumerador.

En el segundo grupotodaslasfraccionessonigualesauntercio,porloqueelnumeradoressiemprelatercerapartedeldenominador,oloqueeslomismo,eldenominadoreseltripledelnumerador.

Fracciónirreducible

Sia/besunnúmerofraccionariopositivoyelmáximocomúndivisorentreaybes1,noespo-sibleencontrarunaexpresiónmássencillaparaa/b.Decimosquea/besirreducible.

Cuandoyanopodemossimplificarlafracciónesporqueelnumeradorydenominadordelafracciónson primos entre sí,puestoqueentreelloselmáximocomúndivisor,eslaunidad,en-toncestenemosunafracción irreducible,enelejemploanterior3/5esunafracciónirreducible,porquenoselapuedesimplificar,elmáximocomúndivisorentreelloses1.

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Actividadenparejas:Propiedadesdelasfraccionesequivalentes

Actividadplenaria

Actividadengrupo:Ejercicios

1. Leanlassiguientesaseveracionesquesepuedenrealizarconfraccionesequivalentes:

Si a = cb d entonces podemos afirmar que =a+b

bc+dd ; y también que =a-b c-d

b d

Tambiénpodemoscomprobarquesi= = = =ka

bef

cd

gh ,entonces

a+c-e+gb+d-f+h

=k

2. Encuentrenustedeselporquédeestasaseveraciones.

Observequeexistennúmerosracionalespositivosqu

esonequivalentesanúmeros

enterospositivos.Enrealidadcadaenteropositivoes

unnúmeroracionalpositivo.

Enotraspalabras,elconjuntodelosnúmerosentero

spositivosesunsubconjunto

delosnúmerosracionalespositivos.

5. Expresecomounfraccionarioirreduciblelossiguientesracionalespositivosyescríbalostam-biénenlahojaqueentregaráalinstructor

a.24/32

b.150/30

Compartanconlosdemásparticipanteslodesarrolladoenlaactividadanterior.

1.Reúnanseengruposdetresparticipantes.

2. Aplicandolosprincipiosantesdemostradosresuelvanlossiguientesproblemas:

a.Encuentrelosdosquintosde30.

b.Despuésdegastarse lossieteonceavosdesudinero,Gabrielsehaquedadocon$12.¿CuántodineroteníaGabrielalprincipio?

c.Dosnúmerosestánenrelaciónde3a5;sielmayores75,¿cuáleselmenor?

d.Lasumadedosnúmeroses105,silarelacióndelosnúmerosesde7a8,encuentrelosnúmeros.

e.Unnúmeroeslosochoonceavosdeotro,siladiferenciadelosnúmeroses27,¿cuálessonlosnúmeros?

f.Expresecomounfraccionarioirreducibleelsiguienteracionalpositivo:150/30.

3.Cadaintegrantedelgrupodebeentregaralinstructorsutrabajoindividualmente.

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1. Investiguecuáleselaportemásimportantealaenseñanzadelasmatemáticasdelossiguien-tesautores:GeorgePólya,MiguelDeGuzmán,JuanGarcíaCruz.

2. Traigacalculadoraparalapróximasesión.

Deberindividual

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Reducciones: forma decimal de los números racionales y decimales que se pueden expresar comoracionales

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• Descubrir la importancia de enseñar a losestudiantesacrearestrategiasantesdeso-lucionarunproblema.

• Valorar el uso del aprendizaje basado enproblemas para desarrollar habilidadescognitivas.

• Reflexionar sobre el uso de “casos” comootraformadepresentarunproblemaalosestudiantes.

• Comprender cuándo puede utilizarse unacalculadoracomorecursoenclases.

• Representar un racional pormedio de ex-presionesdecimales.

• Formadecimaldelosnúmerosracionales.

• Losdecimalesensituacionesdemedición.

• Fraccionesdecimales.

• Los números racionales y el enfoque dela enseñanza de lasmatemáticas en Edu-caciónGeneralBásica.

• Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzapor resolucióndeproblemas.LaheurísticaProblemSolving.

• ¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpre-sarsecomofracción?


Actividadengrupo:Formadecimaldelosnúmerosracionales

1.Formengruposdetresintegrantes,yrealicenlassiguientesactividadesutilizandocalculadora:

a.¿Quénúmeromultiplicadopor0.5seencuentraentreel0.5y0.51?

b.¿Cuántosnúmerospuedencontestarcorrectamenteaestapregunta?

c.Sinutilizarlafunciónraízcuadrada,encuentrenlamedidamásaproximadaquequedadelladodeuncuadradocuyasuperficieesde11cm2.

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d. Utilizandounacalculadorarepresenten3/8enformadecimal,dividiendo3para8.Larespuestaserá0.375.

e. Representen1/4enformadecimal,dividiendo1para4.Larespuestaserá0.25.

f. Dividanahora7para10.

g. Respondan:¿quétienenencomúnestosdecimales?

h. Hastaahorahemosestudiadolosnúmerosracionalesenformadecocientesdeenteros.Losnúmerosracionalestambiénsepuedenexpresarcomodecimales.

i. Utilizandounacalculadorarepresenten4/11enformadecimal,dividiendo4para11.

Aunqueaquíhemosdistinguidoentredecimalesque terminanydecimalesqueserepiten,algunosmatemáticosprefierenconsiderartodoslosnúmerosracionalescomodecimalesqueserepiten.

j. ¿Cómojustificaustedestaafirmación?

k. ¿Cuándolesparecequeesbeneficiosoycuándoperjudicialpermitirelusodelacalcula-doraenelaula?

Actividadenparejas:Usandoelgraduador

1. Reúnanseparejasyrealicenlosiguiente:

a.Enelgraduadorcircularmarqueunagraduacióndel0al100,enquelos90ºequiva-lena25unidades,180ºa50,270ºa75y360ºa100unidades.

b.Notenquetomandolacircunferenciacomounidadsepuedefraccionaren100/100(ciencentésimas),queequivalena1.00.

c.Tomandocomoejemplo1/2decircunferenciaobservenque1/2equivalea50/100yestoasuvezequivalea0.50.

2.Observenahoraque:

1/2esiguala0.5yseleecincodécimas.

Que1/2esigualque0.50yseleecincuentacentécimas.

3. Concluyanqueporlaposicióndel5sepodríanleer5décimasyporlaposicióndel50queestáocupando2lugaresselee50centésimasyasísucesivamentesepodríaaumentarotroceroyleer500milésimas;siendotodasestasfraccionesequivalentes.

Loúnicoquenosindicanconelnúmerodecifrasescritaseseldenominadorqueestamosusando,recordandoqueeldenominadornosindicaencuántaspartesestamosfraccionan-doelentero,entonces:0.50nosindicaqueestamosfraccionandoalenteroencentésimasyqueestamostomando50partesdedichascentésimas.

Podemosdecirentoncesquenotodoslosnúmerosracionalespuedenrepresentarsepormediodedecimalesterminales.

Actividadplenaria

Discutaconlosdemásparticipantesacercadelusodelacalculadoraenelaula.

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4.Manejandolasfraccionescircularessobreelgraduadordivididodel1al100digancuáleslafracciónequivalenteconpuntodecimaltomandolecturadelaspropiasplantillas:

a.5/6=

b.5/8=

c.3/4=

d.2/3=

e.1/8=

f.1/4=

5. Escribaindividualmenteestosresultadosenunahojayentréguelaalinstructor.

Actividadengrupo:Losdecimalesensituacionesdemedición

1. Formengruposde4personas.

2.Midanlasrectasqueaparecenenlasiguientepágina,utilizandoprocedimientosnocon-vencionales(sinutilizarunareglaoescuadragraduadaysindoblarelpapel).

3. Enequipo,ordenenlasrectasdemenoramayorconsiderandosulongitud.

4. Registrenycomparensusresultadosconlosdelosotrosgrupos.

5. Analicenycomentenenrelaciónalprocedimientoutilizadoporlosdiferentesgrupos.

6. Verifiquenlosresultadosutilizandola“tiraunidad”queapareceráacontinuación.

7. Utilizandocomobasela“tiraunidad”midancadaunadelasrectas.

8. Representenconnúmerosdecimaleslamedidadecadarectayconcentrenlainformaciónenelcuadroqueapareceacontinuación.

9. Elcontenidodelcuadroylasconclusionesdelgrupo,entréguenlasalinstructorescritasenunahoja.

Concentracióndelainformación

Grupo

Tira

Grupo1 Grupo2 Grupo3 Grupo4 Grupo5

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Orden Orden Orden Orden OrdenMedida Medida Medida Medida Medida

Actividadplenaria

Compartanconlosdemásparticipanteslodesarrolladoenlaactividadanterior.

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Actividadindividual:Fraccionesdecimales

1.Leaeltextodelrecuadroescritoacontinuaciónquerefuerzalorealizadoenlaactividadanterior.

2.Muestreasuscompañeros¿Cómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes?

Unnúmeroracionalpositivoesunafraccióndeci-

malsisudenominadoresunapotenciade10.

3. Escribacomounnúmerodecimallassiguientesfraccionesdecimales.

a. 3215/1000=3000/1000+200/1000+10/1000+5/1000

=3+2/10+1/100+5/1000

=3,215

b. 25/4

25/4esequivalentea625/100

625/100 =600/100+20/100+5/100

=6+2/10+5/100

=6,25

Actividadenparejas:LosnúmerosracionalesyelenfoquedelaenseñanzadelasmatemáticasenlaEducaciónGeneralBásica

¿Cuántohilohabíaenuncarretesiprimerosequitalamitaddelhilo,despuéslamitaddeloquequeda,luegosetomanuevamentelamitaddelrestoy,finalmente,los2/5deloquequeda,equivalena0,30m.dehilo?

1. Diseñenindividualmenteunaestrategiadesoluciónalproblemaanterior.

2. Reúnanseporparejasycomentenalinteriorlaestrategiaquediseñaronpararesolverelpro-blema.

3. Describansuestrategiaenunahoja.

4. ¿Cuálestrategiacontienemásclaridadyprecisióndetalmaneraquepermitellegaralresul-tadocorrectoconmayorrapidez?

5. ¿Quérelaciónexisteentrelasactividadesrealizadasanteriormenteyelenfoquedelaense-ñanzadelasmatemáticasenlaescuelaprimaria?

6.Exponganenlaplenarialaestrategiaconrespectoalafuncióndelosproblemasenelaula.

Actividadplenaria

Actividadplenaria

Compartanconlosdemásparticipantescómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes.

Compartanconlosdemásparticipanteslaestrategiaqueutilizaronpararesolverelproblema.

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Continuamentenosenfrentamosconunaseriedegr

andesoportunidades

brillantementedisfrazadasdeproblemasinsolubles.

(JohnW.Gardner)


Tomandoencuentaloqueescuchóenlaactividadplenariaconteste:

1. ¿Cuálde lasestrategiascontienemásclaridadyprecisiónypermite llegaralresultadocorrectoconmayorrapidez?

2. ¿Quérelaciónexisteentrelasactividadesrealizadasanteriormenteyelenfoquedelaen-señanzadelasmatemáticasenlaeducacióngeneralbásica?

3. Expongasupuntodevistaconrespectoalafuncióndelosproblemasenelaula.

4. ¿Paraquésirveplantearseunaestrategiaantesderesolverunproblemaycómopodríaestoayudarasusestudiantes?

5. Escríbaloenunahojayentréguelaalinstructor.

Actividadenparejas:“Laheurísticaproblemsolving”

Realicen la lectura “Método Participativo de enseñanza por resolución de problemas” (LaHeurísticaProblemSolving).(Abarca,SadithP.)yluegocontesten:

a. ¿Cuáleslaideacentraldelalectura?

b. ¿Quétrascendenciacreenustedesquetieneelaprendizajebasadoenproblemasenlaasignatura?

c. ¿Cuáles son losprincipiospedagógicosen losquese fundamentaelABP (AprendizajeBasadoenProblemas).

d.¿Cuálconsideranustedesqueeselmásimportante?

e.¿CuálessonlasventajasparaelestudianteyeldocentedeltrabajoenABP?

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Actividadindividual:Enseñanzaporresolucióndeproblemas

Escribasuopiniónsobrelalectura:MétodoParticipativodeEnseñanzaporResolucióndeProble-mas“LaHeurísticaProblemSolving”enunahojayentréguelaalinstructor.

f.¿QuéactitudesyvaloreshumanosconsideraqueestánasociadosalAprendizaje Basado en Problemas?

g.Compartanlasrespuestasanterioresconotraparejadelcurso,paraintercambiaropiniones.

Actividadplenaria

Expongasusrespuestasacadaunadelaspreguntas,delaactividadenparejas,comounaex-posicióndesusconclusionesenformaoral.

Lectura:Métodoparticipativodeenseñanzaporresolucióndeproblemas“LaHeurísticaProblemSolvin” (Abarca,SadithP.)

El consejo nacional de docentes dematemáticas (National Council of Teachers of MathematicNCTM),propusoparaladécadadelos80laresolucióndeproblemascomoesloganeducativodelamatemáticaescolar;en la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.

Laenseñanzaporresolucióndeproblemasteníaporobjetoelestudiodelasreglasydelosmétodosdedescubrimientoydelainvención.Laheurísticamoderna,inauguradaporGeorgePolyaconlapublicacióndesuobra“Cómoresolverlo”(Howtosolveit),tratadecomprenderelmétodoquecon-ducealasolucióndeproblemas,enparticularlasoperacionestípicamenteútilesenesteproceso.

MigueldeGuzmánpartiendodelaideasdeGeorgePólya,Mason,BurtonyStaceyen1988ydelostrabajosdeSchoenfeld,haelaboradounmodeloparaeltrabajoenclaseconproblemas,dondeseincluyentantolasdecisionesejecutivasydecontrolcomolasheurísticas.Lafinalidaddetalmodeloesquelapersonaexamineyremodelesuspropiosmétodosdepensamientodeformasistemáticaafindeeliminarobstáculosydellegaraestablecerhábitosmentaleseficaces,enotraspalabrasloquePólyadenominócomopensamientoproductivo.

Enlaresolucióndeproblemashayoperacionesmentalestípicamenteútilescomolaheurísticaqueescomoreglasomodosdecomportamientoquefavoreceneléxitoenelprocesoderesolución,sugerenciasgeneralesqueayudanalindividuoogrupoacomprendermejorelproblemayahacerprogresoshaciasusolución.

Laenseñanzaporresolucióndeproblemasponeelénfasisenlosprocesosdepensamiento,enlosprocesosdeaprendizajey tomaloscontenidosmatemáticos,cuyovalornosedebeenabsolutodejaraunlado,comocampodeoperacionesprivilegiadoparalatareadehacerseconformadepensamientoseficaces.

LaenseñanzapararesolverproblemastienealmenostresinterpretacionessegúnGarcíaCruz,JuanA.,(2001):

1. Proponeralosestudiantesmásproblemas.2. Emplearaplicacionesdelosproblemasalavidadiariayalasciencias.3. Proponernosóloejerciciossinotambiénproblemasgenuinosquepromuevanlabúsqueda,lainvestigaciónporpartedelosestudiantes.

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• Elcontextodelproblema,lasituaciónenlacualseenmarcaelproblemamismo.• Laformulacióndelproblema,definiciónexplicitadelatareaarealizar.• Elconjuntodesolucionesquepuedenconsiderarsecomoaceptablesparaelproblema.• Elmétododeaproximaciónquepodríausarseparaalcanzarlasolución.

Loquesepersigueenelfondoconestemétodoestransmitirenloposibledeunamanerasistemá-ticalosprocesosdepensamientoeficacesenlaresolucióndeverdaderosproblemas.

Haexistidounaciertapolémicasobreladiferenciaquehayentreunejercicioyunauténticoproble-ma.Loqueparaalgunosesunproblemaporfaltadeconocimientosespecíficossobreeldominiodemétodosoalgoritmosdesolución,paralosquesílostienenesunejercicio.

SegúnelplanteamientodeR.Borasi(1986)enunodesusprimerosintentosenclarificarlanocióndeproblemaoriginadaporsuinterésenmejorarlaenseñanzadelaresolucióndeproblemas,uti-lizalossiguienteselementosestructuralesparaunatipologíadeproblemas:

Tenerunproblemasignificabuscardeformaconcienteunaacciónapropiadaparalograrunob-jetivoclaramenteconcebidoperonoalcanzabledeformainmediata.(Pólya,enGarcíaCruz,JuanA.2001).

OtradefiniciónparecidaaladePólyaesladeKrulikyRudnik,(1980)paraellosunproblemaesunasituación,cuantitativaodeotraclase,alaqueseenfrentaunindividuooungrupo,quere-quieresoluciónyparalacualnosevislumbraunmedioocaminoaparenteyobvioqueconduzcaalamisma.

SegúnJuanGarcíaCruz,unproblemadebesatisfacerlostresrequisitossiguientes:

SegúnelMinisteriodeEducacióndeMéxico:resolverproblemasimplicaencontraruncaminoquenoseconocedeantemano,esdecirunaestrategiaparaencontrarunasolución.Paraellosere-quiereconocimientospreviosycapacidades.Atravésdeellomuchasvecesseconstruyennuevosconocimientosmatemáticos.

Apartirdelaresolucióndeproblemas,secreanambientesdeaprendizajequepermitenlaforma-cióndesujetosautónomos,críticos,ademásadquierenformasdepensar,hábitosdeperseverancia,curiosidadyconfianzaensituacionesnofamiliaresquelessirvanfueradelaclase.

ElconceptoqueplanteaMiguelGuzmán(1991)sobrelosverdaderos problemasenmatemáticas:

¿Quéesunproblema?

1. Aceptación:Elindividuoogrupodebeaceptarelproblema,debeexistiruncompromisofor-mal,quepuedeserdebidoamotivacionestantoexternascomointernas.

2. Bloqueo:Losintentosinicialesnodanfruto,lastécnicashabitualesdeabordarelproblemanofuncionan.

3. Exploración:Elcompromisopersonalodelgrupofuerzalaexploracióndenuevosmétodosparaatacarelproblema.

Unproblemamatemáticoescuandomeencuentroe

nunasituacióndesdelaquequierolle-

garaotra,unasvecesbienconocida,otrasuntantoc

onfusamenteperfiladas,ynoconozco

elcaminoquemepuedellevardeunaaotrasituació

n.

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Laenseñanzapor resolucióndeproblemasponeénfasisenconsiderarcomo lomásimportantelosiguiente:

• Queelestudiantemanipulelosobjetosmatemáticos.

• Queactivesupropiacapacidadmental.

• Queejercitesucreatividad.

• Quereflexionesobresupropioprocesodepensamientoafindemejorarloconcientemente.

• Que,de serposible,haga transferenciasdeestasactividadesaotrosaspectosdesu trabajomental.

• Queadquieraconfianzaensímismo.

• Quesediviertaconsupropiaactividadmental.

• Queseprepareasímismoparaotrosproblemasdelacienciay,posiblemente,desuvidacotidiana.

• Queseprepareparalosnuevosretosdelatecnologíaydelaciencia.

• Eslomejorquepodemosproporcionaranuestrosjóvenes:capacidadautónomapararesol-versuspropiosproblemas.

• Elmundoevolucionamuyrápidamente:losprocesosefectivosdeadaptaciónaloscambiosdenuestracienciaydenuestraculturanosehacenobsoletos.

• Eltrabajosepuedehaceratrayente,divertido,satisfactorio,autorrealizadorycreativo.

• Muchosdeloshábitosqueasíseconsolidantienenunvaloruniversal,nolimitadoalmundodelasmatemáticas.

• Esaplicableatodaslasedades.

Lasventajasdeestetipodeenseñanza

Sunovedad

Estáenlaformadepresentacióndeuntemamatemáticobasadaenelespíritudelaresolucióndeproblemas.Procedimientoquedebeseguirseenestemétodo:

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• Proporcionalaposibilidaddeungranenriquecimientoalpermitirnospercibirlasdistintasfor-masdeafrontarunamismasituación–problema.

• Sepuedeaplicarelmétododesdediferentesperspectivas,unasvecesenelpapeldemoderadordelgrupoyotraseneldeobservadordesudinámica.

• Elgrupoproporcionaapoyoyestimuloenunalabor,quedeotramanerapuederesultardura,porsucomplejidadyporlaconstanciaquerequiere.

• Eltrabajoconotrosnosdalaposibilidaddecontrastarlosprogresosqueelmétodoescapazdeproducirenunomismoyenotros.

•Propuestadelasituaciónproblemadelaquesurgeeltema(basadaenlahistoria,aplicaciones,modelos,juegos...).

• Manipulaciónautónomadelproblemadematemáticaporlosestudiantes.

• Familiarizaciónconlasituaciónysusdificultades.

• Elaboracióndeestrategiasposiblesparalaresolucióndelproblemamatemático.

• Ensayosdiversosparalaresolucióndeproblemasmatemáticosporlosestudiantes.

• Herramientaselaboradosalolargodelahistoria(contenidosdeltemamatemático,motivados).

• Eleccióndeestrategias.

• Ataqueyresolucióndelosproblemas.

• Recorridocriticodeloresueltodelproblemamatemático(reflexiónsobreelproceso).

• Afianzamientoformalizado(siconviene).

•Generalización.

•Nuevosproblemas.

•Posiblestransferenciasderesultados,demétodos,deideas.

Entodoelprocesoelejeprincipalhadeserlapropiaactividaddirigidaconeltinoporelprofesor,colocandoalestudianteensituacióndeparticipar,sinaniquilarelplacerdeirdescubriendoporsímismoloquelosgrandesmatemáticoshanlogradocontantoesfuerzo.

Setratadearmonizaradecuadamentelosdoscomponentesquelointegran:

•Elcomponenteheurísticoesdecir,laatenciónalosprocesosdepensamiento.•Loscontenidosespecíficosdelpensamientomatemático.

Miguel De Guzmánenunciaalgunaslíneasdetrabajosobrelapreparaciónnecesariaparalaense-ñanzadelamatemáticaatravésdelaresolucióndeproblemas:

• Primerorequieredeunainmersiónpersonal,seriayprofundaparaadquirirnuevasactitudesquecalenysevivanprofundamente.

• Elmétododeenseñanzaporresolucióndeproblemas,serealizamásefectivamentemediantelaformacióndepequeñosgruposdetrabajo.

Eltrabajoengrupoenestetematieneunaseriedeventajasimportantes

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• El trabajoengrupoproporciona laposibilidaddeprepararsemejorparaayudaranuestrosestudiantesenunalaborsemejanteconmayorconocimientodelosresortesquefuncionanendiferentescircunstanciasypersonas.

Algunosdelosaspectosqueesprecisoatenderenlaprácticainicialadecuadadeestemétodosonlossiguientes:

• Exploracióndelosdiferentesbloqueosqueactúanencadaunodenosotros,losdocentes,afindeconseguirunaactitudsanayagradablefrentealatareaderesolucióndeproblemas.

• Prácticadelosdiferentesmétodosytécnicasconcretasdedesbloqueo.

• Explorarlasaptitudesydefectospropiosmáscaracterísticos,conlaelaboracióndeunaespeciedeautorretratoheurístico.

• Ejerciciosdediferentesmétodosyalternativas.

• Prácticasometidaderesolucióndeproblemasconlaelaboracióndesusprotocolosysuanálisisenprofundidad.

TomadodeAbarca,SadithP.Métodoparticipativodeenseñanzaporresolucióndeproblemas“LaHeurística.Pro-blem solving”. http://www.utchvirtual.net/recursos_didacticos/documentos/matematicas/metodo-matematicas.pdfFechadeacceso5-11-2009.

Actividadindividual:reflexión

1. ¿Habíaescuchadoantesacercadelaaplicacióndeesteconceptodeaprendizajebasadoenproblemasenlasmatemáticas?

2.Mencioneenquéotrocontenidodelasmatemáticas,queustedconozca,puedeserledeutilidadesteconcepto.

Actividadindividual:enelsalóndeclase(Autor:SamuelVillareal)

1. Realicelasiguientelectura.

Actividadplenaria

Compartansusideasconlosdemásparticipantes.

¿Es1/3=3/10?

Aracelisedirigióasudocentede6ºgradoparapedirleunaexplicaciónsobreporquéeraincorrectalaequivalenciaquehabíapresentadoensutareayseñaló:“Si al convertir 1/3 a decimal obtuve como resultado 0.3 y, 0.3 es igual a 3/10 entonces 1/3 es igual a 3/10 ¿En dónde está mi error?”.

Mario,quienescuchabamuyatentolaconversaciónsobreeltemadefraccionesaprovechólaoportunidadypreguntó:“maestra, usted nos dijo que los números que tienen enteros y deci-males como el 3.5 los podemos representar como fracción mixta, y escribió en el pizarrón 3.5 = 3 5/10 = 3 1/2, entonces ¿cómo podemos representar el número “π“ como fracción mixta si usted nos dijo que ese número tiene muchísimos decimales?”.

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Lectura:Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción

Siunnúmeroracionalpodráserrepresentadoporundecimalterminaloporundecimalqueserepite¿quéhaydelprocesoinverso?Estoes,¿Acasoundecimalterminaloundecimalqueserepitedeberepresentarunnúmeroracional?

Larespuestaessí.Porejemplo,eldecimalterminal0.6representaunnúmeroracional6/10,3/5.

Sin embargo, los decimales que se repitennopueden convertirse en cocientes de enterosdeformatanrápida.Lospasospararealizarestaconversiónutilizanelementosdeálgebrabásicaydebemostomarciertasprecauciones,yaque:

Actividadengrupo:¿Cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción?

Actividadplenaria

Contesteenformaoral,cuandoelinstructorselopida,cuálseríasurespuestaaAracely,aMa-rioyaGloriaydiscutasobreestoconlosotrosdocentes.

Gloria,quenoquisoquedarseatrás,intervinoconacentoorgulloso:“Mi hermano que está en la secundaria dice que los números como los que escribieron Araceli y Mario en realidad se llaman números racionales, ¿es esto cierto?”.

Ladocente,unadetantaspersonasquedesdesuinfanciahabíansentidociertaaversiónporlasmatemáticasy,enconsecuencia,éstanoeraunadesusasignaturas favoritas,mostróciertasdudasantelaspreguntasydecidióanalizarsusrespuestasantesdecontestaralosestudiantes.

2. ¿Quécontestaríaustedacadaunodeestosestudiantes?

AAracely

AMario

AGloria

3. Reúnaseenparejasydiscutasusrespuestas.

• Formengruposde4participantes.

• Apartirdelalecturadeltexto¿cuándoycómoundecimalpuedeexpresarsecomofracción?muestreconsuscompañerosdegrupo¿cómotrabajaríaestetemaconsusestudiantes?Pararealizarestetrabajoconsiderelosrecursosdidácticosquehemosrevisadohastaahora.

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Comoúltimocomentariolafracciónquevamosaobtenerdecadanúmerodecimalnovaaserengeneralunafracciónirreducible,esdecir,cuandoyatengamoslafracciónasociadaalnúmerodecimalpodremosencontrarunafracciónequivalentealaobtenidaqueseráirreducibledividiendonumeradorydenominadorporelmáximocomúndivisordeambos.Veremosejemploseneldesa-rrollodelasiguienteactividad.

Parahacerlasconversionesvamosadistinguirtrescasos:

R Q28

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Losnúmerosdecimalesquepodemosexpresarcomofracciónsonlosnúmerosdecimalesexactos,como7,3ó0.527,ylosnúmerosdecimalesencuyaexpresióndecimalserepiteapartirdeunciertomomentounamismacantidaddecifras,denominadaperíodo,como23,4o5,4378.Losnúmerosdecimalesquenopodemosexpresarcomofracciónsonlosnúmerosirracionales,quesuelendenotarsecomo=-.Algunosejemplosdeestosnúmerosson:elnúmero,elnúmerooelnúmero.

1. Númerodecimalexacto:

Ésteeselcasomássencillodetodos.Lafracciónbuscadaes:

Numerador:Número completo sin coma.

Denominador:Un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial.

Silafracciónobtenidanoesirreduciblepodemossimplificarlacomocomentamosantesdivi-diendoporelmáximocomúndivisordenumeradorydenominador.Expliquemoselporquéconunejemplo:

Seax=4,1347,Multiplicamosxpor10000yqueda:

10000x=41347

Despejandoxobtenemoslobuscado

x=4,1347=41347/10000

Alserunafracciónirreduciblenosquedamosconella.

Porelmismoprocedimiento,paraesteotronúmerollegamosalasiguientefracción:

0,18=18/100=9/50

Comoenestecasolafracciónobtenidanoesirreduciblelasimplificamosdividiendoentre2numeradorydenominador.

2. Númerodecimalperiódicopuro:

Enestecasolafracciónbuscadaeslasiguiente:

Numerador:Parte entera del número inicial junto con el período.

Denominador:Tantos nueves como cifras tenga el período.

Laexpresióndecimaldeestosnúmeros(comolade

todoslosirracionales)

es infinita y no periódica.Porellonopuedenexpresarsecomounafracción.

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3.Númerodecimalperiódicomixto:

Enestecasolafracciónquedaríadelasiguientemanera:

Numerador:Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica.

Denominador:Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como de-cimales no periódicos teníamos.

Vamosaexplicarestecasotambiénmedianteunejemplo:

Silafracciónobtenidanoesirreducibletambiénpodemossimplificarla.Explicamoseltemaconunejemplo:

Seax=1,8Multiplicamosxpor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastieneelpe-ríodo)ydespuésrestamosxalresultado.Queda:

10x-x=18,8-1,8=17

Tenemosentonces9x=17.Despejamosxyllegamosalresultadoesperado:

x=1,8=17/9

Comoloqueobtenemosesunafracciónirreduciblenoslaquedamos.

Delamismaforma,paraesteotronúmerollegamosalosiguiente:

13,273=(13273-13)/999=13260/999=4420/333

Comoenestecasoobtenemosunafracciónnoirreduciblelasimplificamosdividiendopor3numeradorydenominador.

Seax=0,34.Multiplicamosxpor10(ununoseguidode tantosceroscomocifras tiene lapartedecimalnoperiódica)yrestamosx:

10x-x=3,4-0,34=3,1

Tenemosentoncesque9x=3,1.Volvemosamultiplicarpor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalquehaquedado):

90x=31

Despejandoxobtenemoslobuscado:x=0,34=31/90

Comolafracciónobtenidaesirreduciblenoslaquedamos.

Veamosotroejemplo:

Seax=12,237.Multiplicamosxpor100(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalnoperiódica)obteniendo100x=1223,7.Multiplicamosahorapor10(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelaparteperiódicaquenosqueda)llegandoa1000x=12237,7.Ahoratomamoselnúmeroporelquemultiplicamosaxenelprimerpaso,queenestecasoes100,lomultiplicamosporxyselorestamosaloquehabíamosobtenido:

1000x-100x=12237,7-1223,7=11014

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Nosquedaentonces:

900x=11014

Dedondeobtenemoselresultadodespejandox:

x=12,237=11014/900=5507/450

Comolafracciónobtenidanoerairreduciblelasimplificamosdividiendopor2numeradorydenominador.

Yunomás:

Seax=31,7755692.Multiplicamosxpor1000(ununoseguidodetantosceroscomocifrastienelapartedecimalnoperiódica)ynosqueda1000x=31775,5692.Ahoramultiplicamospor10000(ununoseguidodetantosceroscomocifrastieneelperíodoquenoshaquedado)yobtenemos10000000x=317755692,5692.Tomamosahoraelnúmeroporelquemul-tiplicamosenelprimerpaso,1000enestecaso,lomultiplicamosporxyselorestamosaloquehabíamosobtenido:

10000000x-1000x=317755692,5692-31775,5692=317723917

Obtenemos:

9999000x=317723917

Despejandox:

x=31,7755692=317723917/9999000

Comolafracciónobtenidaesirreduciblenosquedamosconella.

Pornormageneral,esmuchomáscomplicadooperarconvariosnúmerosdecimalesdedis-tintostipos,condistintoperíodos,etc.,quehacerloconfracciones.Conestosprocedimientosconseguimosprecisamenteexpresarcualquiernúmerodecimal(racional)enformadefrac-ción,esdecir,pasarcualquiertipodenumerodecimal(racional)aunúnicotipodenúmero,unafracción,paraasísimplificarelmanejoylasoperacionesentrelosmismos.

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Reducciones: conversión adecimal, conversión a mixto yviceversa

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• Utilizar la amplificación, simplificación, con-versiónadecimal, conversiónamixto en lasoluciónyelaboracióndeproblemas.

• Clasificacióndelasfracciones.

• Fraccionespropiaseimpropias.

• Conexióndelasmatemáticasconotrasciencias.


Actividadenparejas:Clasificacióndelasfracciones

1. FormenconlasPlantillasdeFraccioneslosiguiente:1/2,2/5,3/7,3/4,1/3.

Reconozcaqueestasfraccionesquenollenanelcírculoounabarraenteraselesdeno-mina“FraccionesPropias”,yenlaescrituradelasfraccionespropiaselnumeradorserásiempremenorqueeldenominador.Porlotanto,aaquellasfraccionesdondeelnumera-doresmayorqueeldenominadorselasllamará“FraccionesImpropias”.

2. Formenahoraenlasplantillasdefraccioneslassiguientesfraccionesimpropias:9/4,7/6,16/7,5/2,5/3.

3.ObservenqueconlasfraccionesimpropiassiempresellenóunoomásveceselcírculoolabarradelasPlantillasdeFracciones;esdecirquetenemosmásdeunentero,porejemplo:

7/6lopodemosescribircomo11/6yseleeunentero,unsexto.

9/4lopodemosescribircomo21/4yseleedosenteros,uncuarto.

Aestasfraccionesselasllama“fraccionesmixtas”yestánformadasporunnúmeroexpre-sadocomounenteroyunaFracciónPropia.

4. FormenconlasPlantillasdeFraccioneslosiguiente:

1/2,15/8,32/3,3/8,5/9,9/7,8/6,5/4,6/3,3/6,7/4.

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Actividadindividual:Ordenefraccionespropiaseimpropias

Actividadplenaria

Actividadengrupo:Fraccionespropiaseimpropias

Lectura:fraccionespropiaseimpropias

1. Determinecuálesdelossiguientesnúmerossonmenoresycuálesmayoresque1:2/5,11/4,5/8,7/7,44/95,32/25,16/16,1/34,11/931,13/31.

2. Escribaahora3númerosracionalespositivosmayoresque6peromenoresque7yrepresen-teestosnúmerosenunarectanumérica.

3. Entreguesutrabajoalinstructor.

Cadagrupoexponesuplanificación.

1. Formengruposde4docentesyleaneltexto“fraccionespropiaseimpropias”.

2. Apartirdelalecturaanterior,elaborenpasoapasolaplanificacióndeunaclaseenlaqueexplicaríanestetemaasusestudiantes.

3. Escríbanloenunpapelógrafo.Recuerdenhacerloconbuenaortografíayexpresandoclara-mentelasideas.

5. Indiquen¿dequétipodefracciónsetrata:propia,impropiaomixta?

6. Deestasfracciones,conviertanlasquesonimpropiasenmixtasylasmixtasenimpropias.

7. Conservenensucuadernodeapuntesestetrabajoyguardenelmaterialparatrabajarconéstemásadelante.

Losnúmerosracionalespositivosmenoresque1,losqueenlarectanuméricaestánubicadosalaizquierdade1.

Tienenunaparticularidadespecial:sunumeradoresmenorquesudenominador.Estosucedecon1/2,3/5,2/7y150/151.

Estosnúmeros fraccionariosmenoresque1,esdeciraquelloscuyonumeradoresmenorqueeldenominadorsellamanfraccionariospropios.

Unfraccionariopropiorepresentaunapartedelaunidad.

Noocurrelomismosirepresentamoselnúmero4/3o22/5.Enlosdoscasoselnumeradoresmayorqueeldenominadoryporestarazóncadaunodelosfraccionariosrepresentamásdeunaunidad.Esdecirqueesmayorque1.

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Sielnumeradordelafracciónesmayorqueeldenominador,peronoesmúltiplodeéste,entoncesaldividirobtendremosunnúmeromixto,formadoporelcocienteenteroyelresiduo,alquelees-cribimoscomonumeradorycomodenominadorelmismodelafracción.

Engeneral,cualquierfraccionarioimpropioeslasumadeunnúmeroenteropositivoyunfraccio-nariopropioysepuedeescribircomounnúmeromixto.

Ejemplo: 26/7=35/7puestoquealdividir26para7,dacomocociente3ycomoresiduo5.

1.Leaelsiguienteproblema:

LadistanciadesdeelSolalaestrellamáscercana,CentauroPróxima,ubicadaenlaconste-laciónCentauroesde21/5deañoluz;mientrasqueladistanciaentreelSolyelcentrodenuestragalaxiaes125000/21desudistanciaalaestrellaCentauro.AdemásladistanciaentreelSolyelcentrodelaVíaLáctea,es1/80deladistanciaentreelSolylagalaxiaAn-drómeda.

2. Exprese los fraccionarios impropios que aparecen en esta información como expresionesmixtasycalcule,enañosluz,lasdistanciasdelSolalcentrodenuestragalaxiayalagalaxiaAndrómeda.

Tomado de MatemáticaNeira,Ochoa,BautistayHerrera.Matemática en construcción 7.EditorialOxfordUniversityPress.Segundaedición.2002.

DeberIndividual

Lafracciónsedenominapropia o impropia,segúnseamenor o mayorque

launidadrespectivamente.Sereconocesilafracció

nespropiacuandoel

numeradoresmenorqueeldenominador,y,seráimp

ropiasielnumerador

esmayorqueeldenominador.

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Congruencia numérica6SESIÓN6 Duración:2horas

• Reconocerlasventajasdeutilizarmatricesdeautoevaluaciónconlosestudiantes.

• Conocer el concepto y las propiedades dela congruencia numérica como herramientaparalasolucióndeproblemas.

• Laaritméticadelrelojysistemasmodulares.

• Criteriodecongruencianumérica.

• Propiedadesdelacongruencianumérica.

• Untrucoconlosnaipes.


1.RealicenlalecturaLa aritmética del reloj y sistemas modulares.

2.Identifiqueneneltextolastresideasenlasqueustedesestándeacuerdoconlalectura.Indiquenlasrazones.

3.¿Cuáleslaideacentraldelalectura?

4.¿Consideranimportanteelconceptodesistemamatemático?Expliquenlasrazones.

5.¿Nuestrosistemanuméricopuedeserconsideradofinito?¿Porqué?

6.Compartanlasrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedes.

Compartasutrabajoconlosdemásparticipantes.

Actividadenparejas:Sistemasmodulares

Actividadplenaria

UNIDAD 2 congruencia numérica ydivisibilidad

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Anteriormente,hemosestudiadoelconceptodeconjuntooreunióndeelementos.Unconjuntoensímismopuedenotenerunaestructuraparticular,perocuandointroducimosformasdecombinarloselementos(llamadosoperaciones)yformasdecompararloselementos(denominadosrelaciones)obtenemosunsistemamatemático.

Unsistemamatemáticoconstadetrespartes:a)Unconjuntodeelementos;b)unaomásoperacionesparacombinarloselementos;c)unaomásrelacionesparacompararloselementos.

Unejemplodesistemamatemático,conocidoportodos,eselconjuntodelosenterosnonegativos{0,1,2,3…},juntoconlaoperacióndesumaylarelacióndeigualdad.

Elsistemamatemáticomásprimitivoincluíaelconjuntodelosnúmerosnaturales,oinicialmenteunsubconjuntoconstituidoporlosnúmeros“máspequeños”utilizadosparacontar.Eldesarrollodeestesistemafueelmásbásico,asícomounodelosmásútilesdetodaslasideasmatemáticas.

Ahorabien,existensistemasno tanconocidos,constituidosprincipalmenteporconjuntosfinitos,comoelsistemallamadodelrelojde12horas,basadoenlacarátuladeunrelojordinario,conladiferenciadequeel12esreemplazadoporel0yseexcluyeelminutero:

Lacarátuladelrelojdalugaralconjuntofinito{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.Comoopera-ciónparaestesistemadelreloj,definalasumacomosigue:sumedesplazandolamanecilladelashorasenelsentidodelasmanecillasdelreloj.Porejemplo,parasumar5y2enunreloj,primeromuevalamanecilladelashorasal5,luegoparasumar2,desplacelamanecilla2horasmásenelsentidodelasmanecillasdelreloj.

Lamanecillasedetieneenel7,porlotanto,5+2=7

Sin embargo, si sumamos 8+ 9,movemos lamanecilla de las horas al 8, luego avanzamoslamanecillaensentidodelasmanecillasdelreloj9horasmás.Sedetieneenel5,por loque8+9=5;11+3=2.

Puestoqueelsistemadelrelojestáconstituidoporunconjuntofinito,sellamasistemamatemáticofinito.

Ahoraextendamoslasideasdelaaritméticadelrelojalossistemasmodularesengeneral.

Lasumatradicional,11+3=14,reflejaelhechoquemoverlamanecilladelreloj11horasha-ciaadelante,desdeel0,ydespués3horashaciaadelante,equivaleamoverlahaciaadelante14horasentotal.Pero,dadoquelaposiciónfinaldelamanecilladelrelojesenel2,vemosque14y2son,enciertosentido,equivalentes.Formalmentedecimosque14y2soncongruentesmódulo12,locualseescribeasí: 142(mód12)

Lectura:“Laaritméticadelrelojysistemasmoduales”

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1.¿Hautilizadoelconceptodecongruencianuméricaenelaula?

2.¿Enquétemascreequepuedeaplicarelconceptodecongruencianumérica?

Compartansusrespuestasconlosdemásparticipantes.

Actividadplenaria

Observandoelmovimientodelamanecilladelreloj,tambiénpuedeverseque,porejemplo:

262(mód12), 382(mód12),yasísucesivamente.

Encadacaso, lacongruenciaescierta,porqueladiferenciadedosnúmeroscongruentesesunmúltiplode12: 14-2=12=1x12 26-2=24=2X12 38-2=36=3X12

Estosugierelasiguientedefinición:

ab(módm)si,ysolosiseobtieneelmismoresiduoaldividiraybentrem.

Losenterosaybsoncongruentes módulo m(dondemesunnúmeronaturalmayorque1llamadomódulo)si,ysólosiladiferenciaa–besdivisibleentrem.Simbólicamente,estacongruenciaseescribe: a b (módulo m)

Porejemplo,sabemosque279(mód6),porque27–9=18,queesdivisibleentre6.Ahora,si27sedivideentre6,elcocienteesiguala4yelresiduoes3.Tambiénsi9sedivideentre6,elcocienteesiguala1yelresiduoes3.Deacuerdoconelcriterioanterior,279(mód6)yaqueelresiduoeselmismoencadacaso.

Lectura y ejemplos tomados de:Miller,HeerenyHornsby.Matemática: razonamiento y aplicaciones.EditorialPear-son.Octavaedición.1999.

Muchosdelosproblemasqueinvolucranenterosmuy

grandespuedensim-

plificarseconaritmética modular, en laque seutilizacongruencia en vez

de ecuaciones.Laideabásicaeselegirundeterminadoenterom,

llamado

móduloysustituircualquierenteroporelrestodesudivisió

nentrem.

Engeneral,losrestossonpequeñosy,portanto,má

sfácildetrabajarcon

ellos.

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232(módulo3);431(módulo3);lasumadelosprimerosmiembrosdelacongruencia23+432+1(módulo3)0(módulo3),esdecirlasuma66esmúltiplode3.

311(módulo5);183(módulo5);ladiferenciadelosprimerosmiembrosdelacon-gruenciaescongruenteconladiferenciadelossegundosmiembros,esdecir,

31–181–3(módulo5)-2(módulo5)3(módulo5),porlotanto133(mód.5)

2.Reviseelsiguientetexto:

Elproblemaresueltosefundamentaenlosiguiente:

Dosnúmerossoncongruentessialdividirlosparaelmismodivisor,queenestecasoseloconoceconelnombredemódulo,yqueserepresentaconuna m,dejanelmismoresto.

Porejemplosia=qm+r;dondeqesunenteroyeselcocientedeladivisión,mientrasquereselresiduo;siendo0≤r<m,porloqueresunenteropositivo.

Ejemplos:

422(módulo8)porquealdividir42para8nosquedacomoresiduo2.

742(módulo8)porquealdividir74para8dejacomoresiduo2.

Sediceentoncesque7442(módulo8)

Sirestamosmiembroamiembroobtenemos:

422(módulo8)

742(módulo8)

74–420(módulo8),

320(módulo8)

Estosignificaqueladiferenciadedosnúmeroscongruentesesmúltiplodelmódulo.Deestamaneratambiénsepuedecomprobarsidosnúmerossoncongruentes.

1.Reviseelsiguienteproblemaresueltodondeseaplicalacongruencianumérica:

Asínuestromes7.

Portanto:9378=1339·7+5,elrestoresultaser5,esasíqueen9378díasmás,eldíaseráMartes.

¿Sicontamos9378díasapartirdehoy(suponerquehoyesjueves),¿enquédíadelasemanacaerá?

Podemosresolverlo tomandouncalendarioycomenzaracontar,peroestoresultamuytedioso.Sinosdamoscuentalosdíasdelasemanaserepitencada7días.

Actividadindividual:Problemasobrecongruencianumérica

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Tomadodematemática:Miller,HeerenyHornsby.Matemática,razonamientoyaplicaciones.Edi-torialPearson,octavaedición.1999.Ejemplos:

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Enelejercicioanteriorseexpresóque-2(módulo5)3(módulo5),sepuedeleerel-2comoloquelefalta,cuántoledeboañadiraunnúmeroparasermúltiplodelmódulo,enestecasoa3lefaltan2parasermúltiplode5.

Sielmóduloes3,unnúmerocualquieraserádelaforma3k,3k+1,3k+2;peroestaúltimaformapuedeescribirsecomo3k–1.Porloquesiunnúmeronoesmúltiplode3,serádeforma3k±1.Estotambiénsignificaquesiunnúmeronoesmúltiplode3,bastaráunadelasdosopciones,peronoambas,sumarleorestarle1,paraquelosea.

Entredosnúmeros,múltiplosconsecutivosde3,haysolamentedosenterosquenoloson,porloqueentresenterosconsecutivosexisteporlomenosunnúmeropar,yunnúmeromúltiplode3.

n-1;n;n+1,sontresnúmerosconsecutivosporestarazónobligatoriamente,porlomenos,unodelostresespar,ytambiénunodeellosesmúltiplode3.

3.Escribasuscomentariosenunahojayentrégueselaalinstructor.

Expongasuscomentariossobrelorevisado.

Actividadplenaria

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Sesión 6: Congruencia numérica

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Aplicación de la congruencianumérica7


• Aplicar las propiedades de la congruencianuméricaenlaresolucióndeproblemasqueimplicancambioscíclicos.

• Problemas de aplicación que se resuelvenconcongruencianumérica.

• Actividadmultidisciplinaria.


1.Resuelvanlossiguientesproblemas:

a. JavierquierearreglarsucoleccióndeDVDengruposdelmismotamaño.Intentógru-posde4,de5yde6,perosedacuentaquesiemprelequedaundiscofuera.Supo-niendoqueJaviertienemásdeunDVD,¿Cuáleselmenornúmeroposibledediscosensucolección?

Entérminosdecongruencianumérica,podemosrepresentarlodelasiguienteforma:

Gruposde4:x=1(mód4)=>40(mód4) Gruposde5:x=1(mód5)=>51(mód4) Gruposde6:x=1(mód6)=>62(mód4)

Actividadenparejas:Problemassobrecongruencianumérica

Lacongruencianuméricanospermiteresolvermuchostiposdeproblemasqueantesnoestabanalalcancedelaeducacióngeneralbásica,puestoquerequeríanconocimientosdeálgebraoutiliza-bannúmerosdemasiadograndesparacalcular.Ademásesmuyútilcuandotenemosproblemasqueimplicancambioscíclicos.

Realizaremosalgunosproblemasquesepuedenresolverutilizandolacongruencianumérica.

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Actividadplenaria

Expongan,alosdemásparticipantes,susrespuestasycómollegaronaesassoluciones.

1.Intercambienconsuparejadetrabajo,eldíadelasemanaenqueustedesnacieron.

2.Determineneldíadelasemanaenqueocurrieronlossiguienteshechoshistóricos:

a.24demayode1822

b.9deoctubrede1820

c.10deagostode1809

Actividadenparejas:Preguntasparadiscusión

b. LauraencuentraquesiclasificalostalonariosdesusentradasparaelconciertodeJuanFernandoVelascoengruposde10,gruposde15ogruposde20,siempresobran2.¿Cuáleselnúmeromínimodetalonariosquepodríatener?(Suponganquetienenmásde2talonarios).

Entérminosdecongruencianumérica,podemosrepresentarlodelasiguienteforma:

x=2(mód10)yenformadeconjuntosx={2,12,22,32,42,52,62,...}

x=2(mód15)yenformadeconjuntosx={2,17,32,47,62,...}

x=2(mód20)yenformadeconjuntosx={2,22,42,62,...}

c. Sihoyesjueves12dediciembreyelañopróximoesañobisiesto,¿Quédíadelase-manaserádentrodeunaño?¿Quédíaserá12dediciembreenelpróximoaño?

2.Unavezresueltoslosproblemas,reúnanseconlaparejaqueestéasuladoycomparensussolucionesylosmétodosutilizadosparatrabajar.

Tomado de Matemática:Miller,HeerenyHornsby.Matemática: razonamiento y aplicaciones.EditorialPear-son.Octavaedición.1999.

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3.¿Recuerdanustedesaquéhechoshistóricosdenuestropaíscorrespondenlasfechasantesmencionadasyquérelaciónexisteentreellas?

4.¿Quéconceptomatemáticocreenqueestádetrásdelalgoritmorevisado?

Actividadplenaria

Expongansusrespuestasalaspreguntasdelaactividadanterior.

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Criterios de divisibilidad8SESIÓN8 Duración:2horas

• Reconocer fácilmente cuándounnúmero esmúltiplodeotro.

• Conocerelvalordelusodedemostracionesenelaulacomoherramientadetrabajo.

• Criteriosdedivisibilidad.

• Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(parteI).

• Divisibilidadpara2.











• Númerosprimos.

• Matrizdeautoevaluación.


Criteriosdedivisibilidad

Decimosqueunnúmeroaesdivisordeb,sialdividirbparaaobtenemosunvalorc,quemultipli-cadopora,nosdacomoresultadob,serepresentaa|b,dondebeseldividendoyaeseldivisor;siendoa,b,cZ.

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Sedicetambiénqueaestácontenidoenbunnúmeroexactodevecessielresiduoescero.Silee-mosdederechaaizquierdadiremosquebcontieneaa,unnúmeroexactodeveces,oquebesmúltiplodea.

Loscriteriosquesederivandeladivisibilidadsonampliamenteconocidosportodoslosdocentesdematemáticas,pero¿algunavezhaintentadodemostrarlos?

Anteestapreguntahaysólodosrespuestas,quevamosacompartirluegoderealizarlalecturaenparejas.

Actividadenparejas:Demostracionesenmatemáticas

Apartirdelalectura“Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemá-ticas(Parte1)”trabajenlosiguiente:

1.Realicenuncuadrodedobleentradaquecrucelasdiferentesfuncionesdelasdemos-tracionesmatemáticasconlosautoresquelassostienen.

2.¿Cuáleslaideacentraldelartículo?

3.¿Quéfunciónseleccionaríaustedcomolamásimportanteyporqué?

4.¿Cuálessonlasventajasparaelestudianteyeldocentealtrabajarcondemostracionesmatemáticasenelaula?

5.¿Paraquépuedeservirelutilizarcuadrosdedobleentradaconlosestudiantes?

6.Compartanlasrespuestasanterioresconlaparejaqueestájuntoaustedes.

Actividadplenaria

Exponganalosdemásparticipantes,laactividadquerealizaronenparejas.

Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(ParteI)

María de Lourdes Bravo Estévez, UniversidaddeCienfuegos,Cuba. José Joaquín Arrieta Gallastegui, UniversidaddeOviedo,España.

Sinosdetenemosapensarquéaportaunademostraciónalaformaciónintelectualdeunindividuo,asuformadepensaryactuar,entoncesestamosvalorandosufuncióncomoparteintegrantedelcurrículodelaMatemática.

Cuandosehabladelasfuncionesdelademostración,siemprenosvienealamenteladeveri-ficación,laquetradicionalmentesehaconsideradoenprimerlugar.Losdocentesnoasumensuverdaderopapelcuandopiensandeestaformaestricta,sincuestionarsecómolaenseñanzayelaprendizajedelasdemostraciones,puedenaportaralaformaciónintegraldelosestudiantes.Sinembargo,variasinvestigacionessehandesarrolladoentornoaltema,detalformaquesehaam-pliadolalistadesusfunciones.

Sedescribenacontinuaciónalgunosdelostrabajosdeinvestigaciónquesehandedicadoalestudiodelasfuncionesquetienenlasdemostracionesyenunasegundapartenuestrapropiareflexión

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incorporando la función formativa que pueden tener intrínsecamente las demostracionesmatemáticas.

ContinúaconestasideasDeVilliers(1993),quiencriticaalosquesóloleadjudicanalademos-traciónlafuncióntradicionaldeverificación,inclusosospechaquelamayoríadelosdocentesdeMatemáticas en secundariamantienen exclusivamente esta visión formalista. Este autor destacaademáslafunciónde explicación delasdemostraciones(demanerasimilaracomohacíaBellconlade iluminación),puesnoessólocuestióndeasegurarse,sinodeexplicarporquélaproposiciónescierta,dehacerlaactividadsignificativa,sinoquealavezconstituyeunamotivación.Enco-rrespondenciaconBelltomatambiénlafunciónde sistematización,pueslademostraciónintegraconceptos,afirmacionesyteoremasensí,exponiendosuestructuraaxiomáticayayudandoalasaplicacionestantodentrocomofueradelasMatemáticas.

Incluyeensulistadefunciones ladedescubrimiento,puesamenudoesunmétododeexplora-ción,análisis, inventivaqueenocasionesllevaanuevosresultados;yladecomunicación,comounamaneradeexpresarlosresultadosanteotrosprofesionales,alprofesoradoyantelospropiosestudiantes,esunforoparaelanálisiscríticodeaciertosydesaciertos.Enfin,esunreto intelectualentrelodesconocidoyconocido.

SiguiendoelmodelodeDeVilliers,(Ibañes,2001)desdoblalafuncióndeverificaciónendosdife-rentes:comprobaciónyconvencimiento.Además,juntoalasconsideracionesrealizadasporante-rioresinvestigadores,proponeunejemplodelafuncióndescubrimientoyobtieneungrannúmerodeteoremasderivadosdeunoinicialaplicandolasestrategiasdedescubrimientodePólya.

Hanna(2000),siguiendoaBellyDeVilliersincorporaademáslafuncióndeconstruccióndeunateoríaempírica,ladeexploración delsignificadodeunadefiniciónolaconsecuenciadeunasupo-siciónyla incorporacióndeunnuevoconocimientohechoaunanuevaestructuración.

Otros investigadoresanalizanlasfuncionesdelademostracióndesdesuexperienciaenelaula;comoenelcasodeHersh(citadoporIbañes,2001)quediferenciaentrelafuncióndeconvencer aexpertosenunamateriayladeexplicarunresultadoatravésdelademostraciónenelaula.

Porsuparte,Reid(citadoporIbañes,2001)pretendeconciliarlospuntosdevistadelosestudian-tesydelosdocentesacercadelasdemostraciones.Másadelanteelautor(2002)propusocincodimensionesdeunademostración,entrelasquedestacaremoslanecesidadyel rol quejueganenlacomunidadmatemáticaporsu importancia reconocidacomounacaracterísticadefinidayunelementocentraldelasMatemáticas.Lanecesidadladefinecomoelpropósitoolafuncióndelademostracióny lavaloracomoexplicación(coincideconDeVilliersenqueestopuedeconstituirunelementodemotivación),exploraciónyverificaciónfundamentalmente,aunquecitatambiénlailuminaciónylacomprensión.

VanAsch(citadopor Ibañes,2001)haceunadistinciónentre losestudiantesquehacen demos-tracionesylosquesólolesdanlautilidadinstrumental,yportantonoladesarrollan,limitándoseaconocerelsignificadodelasmismasparautilizarlasenlaresolucióndeposterioresproblemas.Aportaademásunconjuntodefuncionessegúnlarespuestaalaprimerapartedelasiguientepre-gunta:¿quéargumentospuedehaberparapresentaruomitirdemostraciones?,funcionesquecita-

Alafuncióndeverificacióndeunademostración,queeslaqueto-doscomúnmenteleatribuimos,yaqueconellasebuscalacertezaoverdaddeunaproposición,Bell(citadoporIbañes,2001),leotorgaotrascomoladeiluminación(seesperaqueunabuenademostraciónproporcioneideasdelporquéescierta)yladesistematización(orga-nizacióndeunsistemadeductivodelateoría:axiomas,definicionesyteoremasyademostradosconanterioridad).

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mosacontinuación:convencer, entender, memorizar, contener un algoritmo, finalizar un proceso de búsqueda, exponer un método, mostrar el significado de una definición.Expone,también,lasfun-cionesdelaenseñanzadelademostraciónconrespectoalosestudiantes,quesonlassiguientes:aprender, entender, comprender, desarrollar habilidades comunicativas, obtener los conceptos de generalización, particularización y analogía.

Enestesentido,Recio(2001)seplanteadiferenciarentreelpapeldela:

•Demostraciónenlaenseñanza(loqueocurreconlademostraciónenelquehacerdocente).•Enseñanzadelademostración(loquehabríaquehacerparaenseñarademostrar).

Distingueademáselautor,paralademostraciónenlaenseñanzauniversitaria,dosfuncionesquepodríanincorporarsealasyacitadas:

1)ComoparteesencialdelcontratodidácticoenMatemáticas:porunaparteelprofesoradoseveobligadoademostrarenclasesylosestudiantesdebenestaratentosadescubrircualquiererrorenlapruebaquelepresentan.

2)Unafuenteinsustituibledeentretenimiento:consideraelanálisisylacomprensióndelasmismasporlosestudiantescomoformaspeculiaresderazonaryusarloshechosbásicosdelateoríaqueexplica.

Tomado deBravoEstevez,Ma.DeLourdes;ArrietaGallástegui,JoséJoaquín.Reflexiones sobre lasfunciones de las demostraciones matemáticas.RevistaIberoamericanadeEducación.

http://www.rieoei.org/deloslectores/838Bravo.Fechadeacceso25-10-2009.

Recio(2001)destacaunacitadeVilliersdondeéstesepronunciaenelsentidodequesiqueremosquelosdocentesdeMatemáticasaprove-chenlasfuncionesdelademostraciónparaconvertirlasenunaactividadsignificativa,entoncesdeberíanhaberseformadoensituacionessimila-resdurantesupropioprocesodeformaciónprofesionaldocente.

Actividadindividual:Lasdemostraciones

1.¿Cuálcreeustedqueseráelbeneficiofuturoparalosestudiantesquehanrealizadode-mostracionesdesdeedadestempranas?

2.¿Algunavezhautilizadolasdemostracionesmatemáticasensuprocesodeclase?¿Quérespuestaobtuvodelosestudiantes?

3.¿Quépuedehacerparaincrementarlacomprensióndelasdemostracionesporpartedesusestudiantesenelaula?

4.Escribaenunpapelsusrespuestasycompártalasconelgrupo.

5.Entreguelahojaderespuestasalinstructor.

Criteriosdedivisibilidad

Unaformadequeestoscriteriosseancomprendidosensutotalidad,esdemostrarlosalosestudian-tesafindeevitarqueellosrepitanlasreglasenformamemorísticaypuedanutilizarlaconceptua-lizaciónpararesolverproblemas.

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1.Leaelsiguienteenunciado:

2.Escribaenunpapelcómoharíaustedparademostrarestecriterio.

1.Leaelsiguienteenunciado:

2.¿Cómoharíaustedparademostrarestecriterio?Socialíceloconsuscompañeros.

3.Contesteahoralosiguiente:

a.¿Esverdadque12esiguala10+2;oque12esiguala11+1;etc?

b.¿Entonces1000esiguala990+10;otambién1008esiguala99veces10más18?

4.Escribasusrespuestasenunahojayentrégueselaalinstructor.

Ejemplo:

741=100(7)+10(4)+1=99(7)+9(4)+(7+4+1)

Sidividoestaúltimaexpresiónpara3puedodarmecuentaque,99(7)esunmúltiplodetresporqueelfactor99contieneexactamentea3,igualcosaocurrecon9(4)puestoqueelfactor9contieneexactamentea3,entoncessólomerestaverificarsieltercersumando,esdecir,

1.Formenparejasydiscutanlasdemostracionesquehicieron.

2.Respondanalasiguientepregunta:¿Podemos,contodacerteza,afirmarquetodadecenaesmúltiplode2?

1.Comparensusrespuestasconlaexplicacióndelinstructoryexplique¿quédiferenciasoquésimilitudesencontraron?

2.Exponganatodoelgruposusresultados.

Comparesusrespuestasindividualesconlapropuestadelinstructor.¿Quésimilitudesyquédiferenciasencuentra?

Actividadindividual:Divisibilidadparados

Actividadindividual:Divisibilidadparatres

Actividadenparejas:Demostraciones

Actividadplenaria

Actividadplenaria

DivisibilidadparadosUnnúmeroesdivisibleparadossiespar,esdecir,siterminaen:0,2,4,6,8.

DivisibilidadparatresUnnúmeroesdivisibleparatressilasumadesuscifrasesmúltiplodetres.

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1.Leanelsiguienteenunciado:

DivisibilidadparacuatroUnnúmeroesdivisibleparacuatrosisusdosúltimascifrasformanunnúmeromúltiplodecuatro.

2.Contestelassiguientespreguntasyluegodiscútanlasenunaplenaria.

a.¿Enquéforma“demuestra”ustedasusestudiantes?

b.¿Podemosasegurarquecualquierdecenaesmúltiplode4?¿Porqué?

c.¿Quédecenassípodemosaseverarquesonmúltiplosde4?

3.Entreguenalinstructoreltrabajoquerealizaronenparejas.

Actividadindividual:Análisis

Analicelademostracióndelinstructoryexpliquequédiferenciasencuentraconsudemostra-ción.Entreguealinstructorsuanálisis.

Actividadplenaria

Expongaeltrabajoquerealizó.

Actividadenparejas:Divisibilidadparacinco


DivisibilidadparacincoUnnúmeroesdivisibleparacincositerminaen0oen5.

2.Revisenlasiguientedemostraciónyjustifíquenla,luegodiscútanlaenunaactividadplenaria.

Demostración:Sisumamosunnúmeroimpardeveceselnúmero5,lasumasiempreterminaen5,deloqueseconcluyequetodonúmeroimparmultiplicadopor5,terminaen5;ytodonúmeroparmultiplicadopor5terminaencero.

Actividadplenaria

Discutanconlosdemásparticipanteslademostraciónqueleyeron.

Actividadenparejas:Divisibilidadparacuatro

lasumadelascifrasdelnúmeroesdivisiblepara3,queenestecasosíloes.Comolodelosdosprimerossumandossiempreocurre,bastaconcomprobarsilassumasdelascifrassondivisiblespara3,paraqueelnúmeroseadivisiblepara3.

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Actividadengrupo:Divisibilidadparaseis


DivisibilidadparaseisUnnúmeroesdivisibleparaseissialmismotiempoloesparadosyparatres.

2.Engruposde4personasexpliquen¿porquésecumple?,escribanlarespuestaenunahoja.Entreguenalinstructor.

Actividadplenaria

Compartasutrabajoconlosdemásparticipantes.

Actividadindividual:Divisibilidadparasiete

1.Enformaindividual,leaelsiguienteenunciado:

DivisibilidadparasieteUnnúmeroesdivisibleparasietesialsepararlaúltimacifradeladerecha,restamoseldobledeesacifradelacantidadquenoshayaquedadoalquitarlaúltimacifra,asísucesivamentehastatenerunnúmeropequeñodelcualpo-damosafirmarsiesmúltiplodesieteono;siloes,elnúmeroinicialtambiénloes,encasocontrarionoserámúltiplode7.

2.¿Porquécreeustedquesecumpleestecriterio?

3.Multipliqueahora40por12.

4.¿Porcuántotengoquemultiplicar80paraobtenerelmismoproducto?

5.¿Porquérazón?

6.Basándoseenesterazonamiento,justifiqueelprocedimientoydemostraciónqueestánalfinaldelaunidad.

7.¿Quéconclusionespuedesacarusteddeloanterior?


Actividadplenaria

Reviselademostraciónconelinstructorylosdemásparticipantes.

Actividadenparejas:Divisibilidadparaocho

1.Reúnanseyleanelsiguienteenunciado:

DivisibilidadparaochoUnnúmeroesdivisibleparaochosisustresúltimascifrasformanunnúmeromúltiplodeocho.

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2.Contestenlassiguientespreguntas:

a.¿Hanpensadoenqueunnúmeroqueterminaentrescerosesobligatoriamentemúltiplode8?¿Porqué?

b.¿Sabríanfácilmentedecirustedes,si682esmúltiplode8?¿Cómoharíaparasaber larespuesta?

c.¿CreenqueestaoperaciónesfácilparaunestudiantedeEGB?¿Porqué?

3.Realicenunademostracióndeestecriteriodedivisibilidadycompárenlacon lade laotrapareja.

4.Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.

5.Observenlademostraciónqueproponeelinstructoracontinuaciónycompárenlaconlasuya.

Actividadindividual:Divisibilidadparanueve

1.Leaenformaindividualelsiguienteenunciado:

DivisibilidadparanueveUnnúmeroesdivisibleparanuevesilasumadesuscifrasesunmúltiplodenueve.

2.Efectúeunademostraciónbasándoseenlaquehicimosenladivisibilidadpara3,tomandoencuentaquelademostracióndeladivisibilidadpara9esidénticaalaquerealizamosparademostrarladivisibilidadpara3.

3.Anotesudemostraciónenunahojayentrégueselaalinstructor.

4.Compárelaconlaquepresentaelinstructor.

Actividadindividual:Divisibilidadparadiez

1.Leaenformaindividualelsiguienteenunciado:

DivisibilidadparadiezUnnúmeroesdivisibleparadiezsiterminaenunoomásceros.

2.¿Conquéotrocriteriosepuederelacionar?Demuéstrelo.

3.Escríbaloenunahojayentréguelaalinstructor.

4.Comparesusrespuestasconlasdelinstructor.

Ejemplo:

3750;todadecenaesmúltiplode10,puestoquetambiénesmúltiplode2porserpar,yde5porquealsumarunpardevecesel5,siempreobtengounaomásdecenas,yademáscomolasunidadessoncero,recordemosqueelceroesmúltiplodetodoslosnúmerosconexcepcióndeélmismo.

Observemostambiénenestecasoquelaúnicacifradelasunidadesqueesmúltiplode10escero.

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Actividadenparejas:Divisibilidadparaonce


DivisibilidadparaonceUnnúmeroesdivisibleparaoncecuandoladiferenciaentrelasumadelascifrasdeordenparconlasumadelascifrasdeordenimparresultaunmúltiplode11.


a.¿Conocenustedeslademostracióndeestecriterio?¿Porquésecumpleelenunciadodearriba?

b.Sitienenunasolaunidadyladividenentre11,¿cuántolessobra?

c.Sitienenunadecena¿cuántolesfalta?

d.Sitienenunacentena¿lessobraolesfalta?¿Cuánto?

e.Escribanapartirdeestolademostracióndelenunciadoenunahojayentréguenselaalinstructor.

Actividadengrupo:Divisibilidadparatrece

1.Formengruposde4personasyleanelsiguientecriterio:

DivisibilidadparatreceParareconocersiunnúmeromayordetrescifrasesdivisiblepara13,separa-moslascifrasdelnúmeroengruposde3dederechaaizquierda;luegores-tamoselprimergrupomenoselsegundo,siempretomandoencuentaqueelresultadoseapositivo,máseltercergrupomenoselcuarto;etc.Siladiferenciaquenosquedaesmúltiplode13elnúmeroinicialtambiénesmúltiplode13.

2.Sigan lademostraciónquehemoshechocon ladivisibilidadparaonceyconstruyaunademostracióndelcriteriodedivisibilidadparatrece.

3.Comiencenporpreguntase:sitenemosunasolaunidad,¿cuántonossobra?

4.Sitenemosunadecena,¿cuántonosfalta?.

5.Entreguenlademostraciónenhojaindividualalinstructor.

Actividadenparejas:Múltiplosydivisores

Contestenlassiguientespreguntas:

1.¿Cuántosmúltiplostieneunnúmero?

2.¿Cuántosdivisorescomomínimo?¿Ycomomáximo?

3.¿Quénúmeroesdivisordetodoslosnúmeros?

4.¿Quénúmeronoesdivisordeningúnotronúmero?

5.Escribasusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.

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1.Encuentrenlosnúmerosprimosmenoresque100.

2.Revisenlasrespuestasenelpizarrónconeldocente.

Actividadenparejas:Númerosprimosmenoresque100

Actividadplenaria

Discutanconlosdemásparticipanteslasrespuestasalaactividadanterior.

Parareflexionar:

Noolvidemosqueel1,eselúniconúmeroquetieneunsolodivisor;todoslosdemástienen

porlomenosdosdivisores,el1yelmismonúmero.

Tomandoencuentaestecriterio,(elnúmerodedivisores),losnúmerosenterosseclasifican

enprimosycompuestos;denominándoseprimosalosquetienendosdivisoresycompuestos

alosquetienenmásdedosdivisores.

Porloantesexpuestointroducimoselsiguienteconcepto.

NúmerosPrimos

Toman este nombre aquellos números que solamente tienen dos divisores,ellosmismosylaunidad.Recuerdequehayunúnicoparprimoqueesel2,todoslosdemásnúmerosprimossonimpares.

1.Reviselamatrizdeautoevaluaciónyaplíqueselaustedmismo.

2.Detalletresventajasytresdesventajassobreestaformadeevaluarse.

3.¿Creeustedquepodríautilizarmatricesdeevaluaciónenlaclasequeimparteasusestudiantes?.

4.Déunejemplodeuntemaenelquepodríaaplicarestaherramienta.

5.Coméntelofrentealgrupoenlapróximasesión.

TareaIndividual

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Actividadindividual

Matrizparaautoevaluación

2,5-2,0 1,9-1,4 1,3-0,8 0,8-0,3

3-2,4 2,3-1,7 1,6-1,0 0,9-0,3

EXPERIENCIASPREVIAS25%(2,5/10)

PROCESO30%(3/10)

Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasenriquecenmisconceptos;misrespuestassonpertinentesypar-ticipoactivamenteenplenaria.

Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonsiemprepertinen-tesynoparticipoactivamenteenplenarias.

Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañerosylovaloro;misex-perienciaspropiasnoenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonpertinentesynoparticipoactiva-menteenplenarias.

Escuchoconaten-ciónelaportedemiscompañeros,peronolovalo-ro;mispropiasexperienciasnoenriquecenmisconceptos;misrespuestasnosonpertinentesynoparticipoactiva-menteenplenarias.

Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático;utilizolainfor-maciónpropor-porcionadaeneltexto,porelinstructor,yotrasfuentes;justificolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemostraciones,cumpliendocontodoslosplantea-mientospropuestos.

Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático;utili-zolainformaciónproporcionadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes;justificolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemostraciones,peronocumplocontodoslosplanteamientospropuestos.

Conozcoyem-pleoadecuada-menteellenguajematemático,utili-zolainformaciónproporcionadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes,nojusti-ficolaaplicacióndelasimbologíaenlasdemos-traciones,ynocumplocontodoslosplanteamien-tospropuestos.

Conozcoellen-guajematemático,peronoloempleoadecuadamente,noutilizolainfor-maciónproporcio-nadaeneltexto,porelinstructoryotrasfuentes,nojustificolaaplica-cióndelasimbolo-gíaenlasdemos-tracionesynocumplocontodoslosplanteamientospropuestos.

4,5-3,4 3,3-2,2 2,1-1,0 0,9-0

APLICACIÓN45%(4,5/10)

Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,logrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrascienciasydemuestracreatividad.

Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,logrodiscernirytrasferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,peronodemuestrocreatividad.

Misdemostracio-nespresentanunasecuencialógica,nologrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,ynodemuestrocreatividad.

Misdemostracio-nesnosiemprepresentanunasecuencialógica,nologrodiscernirytransferirmisconocimientosaotrossistemasdelaciencia,aotrasciencias,ynodemuestrocreatividad.

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Demostracionesdelasdivisibilidadespropuestas

Divisibilidadpara2

Seaelnúmero abcd unacantidadde4cifras,entonces d seránlasunidades,clasdecenas,blascentenasya lasunidadesdemil,pudiendoexpresarseestenúmerocomoabc decenas,másdunidades.Comotodadecenaesmúltiplode2paraquetodoelnúmeroseamúltiplode2esobli-gatorioquedtambiénseaunmúltiplode2.

Divisibilidadpara3

Seabcdunnúmerodetrescifras,entonces:

bcd=100b+10c+dexpresandoelnúmeroennotacióncanónica

110b+10c+d=99b+9c+(b+c+d)descomponiendoconvenientemente,

Sidetressumandos,dosdeellossonmúltiplosde3,enestecasopodemosasegurarquecadaunodelosdosprimerossumandosesmúltiplode3,porquecadasumandoasuvezesunproductodeunfactormúltiplode3,ydeundígitocualquiera;enconsecuencia,eltercersumando,(queeslasumadelascifrasdelnúmero),tambiéndebeserloparaquelasumaseamúltiplode3.Quedaentoncesdemostradalareglaarribaenunciada.

Ejemplos:

741=100(7)+10(4)+1=99(7)+9(4)+(7+4+1)

Sidividoestaúltimaexpresiónpara3,puedodarmecuentaque99(7)esunmúltiplode3porqueelfactor99contieneexactamentea3,igualcosaocurrecon9(4)puestoqueelfactor9contieneexactamentea3,entoncessólomerestaverificarsieltercersumando,esdecirlasumadelascifrasdelnúmeroesdivisiblepara3,queenestecasosíloes.Comolodelosdosprimerossumandossiempreocurre,bastaconcomprobarsilasumadelascifrasesdivisiblepara3paraqueelnúmeroseadivisiblepara3.

Divisibilidadpara4

Escorrectoelenunciadopropuesto,porquealsepararlasdosúltimascifrasdeunnúmero,elrestodecifrasquequedan,constituyenlascentenasdelnúmeroyporcierto,todacentenaesmúltiplode4;porloquelasdosúltimascifrasdebenformarunmúltiplode4,paraquetodoelnúmeroseamúltiplode4.

Conozcamos una forma de demostrar cuándo un número es divisible para 4.

Buscandounaformaqueseamásfácildecomprenderporpartedelestudiante,mehepermitidocambiarelenunciadoanterior,porelsiguiente:

Unnúmeroserámúltiplode4enlossiguientescasos:

Primero: Silacifrasdelasdecenasesimpar,lacifradelasunidadesdeberáser:2,6;

Segundo: Silacifradelasdecenasespar,lasunidadesserán:0,4,8.

Ejemplos:

2796,siobservamosestenúmeronosdaremoscuentaquelacifradelasdecenasesimpar,comolaregladicequesiendoimpardebeterminaren2oen6parasermúltiplode4,enestecasolareglasecumpleporloque2796síesmúltiplode4.

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37582,enestecasolareglanosecumple,porquelacifradelasdecenasespar,ylasunidadesdebenser0,4,8;yno2comoenelpresentecaso.Podemosafirmarque37582noesdivisiblepara4.

Divisibilidadpara5

Sisumamosunnúmeroimpardeveceselnúmero5,lasumasiempreterminaen5,deloqueseconcluyequetodonúmeroimparmultiplicadopor5,terminaen5;ytodonúmeroparmultiplicadopor5terminaencero.

Divisibilidadpara6

Sidosnúmerosay b,primosentresíocoprimos,sondivisoresdeotronúmeroc,entonceselpro-ductoab,tambiénserádivisordec.

Ejemplos:

2y3sonprimosentresí,ocoprimos,pornotenerningúnfactorcomúndistintodelaunidad;18esmúltiplode2porserpar,ytambiénesmúltiplode3porquelasumadesuscifrases9,porlotanto18estambiénmúltiplode6,comoenefectoloes,porcontenerloexactamentetresveces.

4y6nosoncoprimos,12esmúltiplode4,tambiénesmúltiplode6;sinembargo,12noesmúl-tiplode24,queeselproductode4por6.

Unnúmeroqueseamúltiplode2yde5almismotiempo,obligatoriamenteterminaráencero,yporlotantoserámúltiplode10,elproductode2y5,quesoncoprimos.Sepuedepensarerrónea-mentequeesnecesarioquelosnúmerosseanprimos,estonoesverdad,puestoqueporejemplo72esmúltiplode4,ytambiénesmúltiplode9,perotambién72esmúltiplode36,elproductode4y9.Comovemosenesteejemploniel4,niel9sonprimos,perolosdossoncoprimos.

Divisibilidadpara7

Regla para encontrar el producto de un número por siete:

• Tomolatercerapartedelnúmero,obteniendoasílasunidadesdelproducto.

• Duplicolacantidaddeunidadesqueobtuve,siendoestacantidadlasdecenasdelproducto.

• Silacantidaddeunidadesobtenidas,esmayorque9,tengoquesumarlacifradelasdecenasalasdecenasobtenidasporelduplodelasunidades.

Ejemplos:

18x7=

•Latercerapartede18es6(unidades).

•Duplico6x2=12(decenas).

•Enestecasolacantidaddeunidadesesmenorque9,porlotantoelproductode18x7es126.

45x7=

•Latercerapartede45es15unidades(15esmayorque9,porloquetendréquesumar1alasdecenasdelduplo).

•Elduplode15es30.30+1=31(decenas),porloqueelproductode45x7es315.

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Multiplicar por siete equivale a multiplicar la tercera parte del número por 21.

Alrestarelduplodelaúltimacifraestoyrestandounnúmeromúltiplode21;siladiferenciaesmúltiplode7,entoncesestenúmeroserátambiénmúltiplode7,puestoque21eselproductode3x7,númerosquesoncoprimos.

Ejemplo:

Deseosabersi3948esmúltiplode7,separandolaúltimacifrayrestandoelduplodeestacifrade394,obtengo378;separandolaúltimacifra(8),yrestandoelduplodeestacifra,de37,obtengo21,porloque3948siesmúltiplode7.

Observemoselnúmero112,separamoslaúltimacifra,restandoelduplodeestacifraobtenemos:11–4=7,porloque112síesmúltiplode7.

Conestemismocriteriosepuedeaveriguarsiunnúmeroesmúltiplode17,separandolaúltimacifra,multiplicándolapor5,restandoesteproductodelacantidadquenosquedaalquitarlaúlti-macifra,asísucesivamente,hastatenerunnúmeropequeñodelcualpuedaafirmarqueesonomúltiplode17.

¿Porquésecumpleesto?Puessimplementeporquemultiplicarpor17eslomismoquemultiplicarlatercerapartedelnúmeropor51.

Ejemplo:

Deseosabersi1972esmúltiplode17:

197|2 separolaúltimacifradelnúmero1972,quees2,

-10 multiplicandoel2por5

18|7; vuelvoasepararlaúltimacifraquees7

-35 vuelvoamultiplicar7x5

17 comoel35esmayorque18,alrestarmeda17;entonces1972síesmúl- tiplode17.

Divisibilidadpara8

Siaunnúmeroseleseparansustresúltimascifras,lasquequedanseránlosmilesdelnúmero,comocualquiercantidaddemilesesmúltiplode8,lastresúltimascifras,quefueronseparadas,debenformarunmúltiplode8,paraquetodoelnúmeroseamúltiplode8.

Seríamásfácildereconocersiunnúmeroesmúltiplodeocho,cuandolamitaddelnúmeroqueformenlascifrasseparadascumplalaregladeladivisibilidadpara4.

Ejemplos:

1472esunmúltiplode8porquelamitadde472,esdecir,236esunmúltiplode4,porcuantolacifradelasdecenasesimparyladelasunidadeses6.

3579244noesdivisiblepara8porquelamitadde244,esdecir,122noesmúltiplode4,puestoquelasdecenassonparylasunidadeses2.

Divisibilidadpara9

Lademostracióndeladivisibilidadpara9esidénticaalaquerealizamosparademostrarladivisi-bilidadpara3,recordemosque:

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Sesi

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bcd esunnúmerodetrescifras,

Expresándoloennotacióncanónica:bcd=100b+10c+d

Descomponiendoestaúltimaexpresión:100b+10c+d=99b+9c+(b+c+d)

Observamosque losdosprimerossumandossonmúltiplosde9,por loqueel tercersumando,esdecirb+c+d,debetambiénsermúltiplode9paraquelasumaseamúltiplode9.

Ejemplos:

Veamossi2346813esdivisiblepara9;sumandosuscifrasseobtiene27,queesmúltiplode9,porloque2346813síesmúltiplode9.

Divisibilidadpor10

Loindicamosenunejemploanteriorquesiunnúmeroesmúltiplode2yde5almismotiempo,debeterminarencero,yporlotantoserámúltiplode10.

Divisibilidadpor11

a.Observenconatenciónelsiguientecuadroconelquelesproponemosunademostración.

Sepuedeobservarquelaspotenciasparesdediezdejanresto1positivo,mientrasquelasimparesdejanresto1negativo,cadaunodeestosrestossemultiplicaporeldígitocorrespondienteacadapotencia,porloquelareglaarribaenunciadasecumple.

Ejemplos:

Sielnúmeroesdedoscifrasobviamenteéstasdebenseriguales,puestoqueladiferenciaserácero,queesmúltiplode11,noexisteotraposibilidad.

Sielnúmeroesdetresomáscifrasyasepudeaplicarlaregladeladivisibilidadpara11,veamos:

Deseosabersielnúmero435678esmúltiplode11.

Sumolacifrasdeordenpar:8+6+3=17

Sumolascifrasdeordenimpar:7+5+4=16

Establezcoladiferenciadelassumas:17–16=1

Como1noesmúltiplode11seconcluyequeelnúmero435678noesmúltiplode11;paraquetengamosunnúmeromúltiplode11bastarestar1acualesquieradelascifrasdeordenpar,osumar1acualesquieradelascifrasdeordenimpar,entoncespodemosafirmarqueelnúmero425678síesmúltiplode11.Encuentrerápidamentecinconúmerosqueseanmúltiplosde11.

Divisibilidadpor13

Escribanunnúmerodetrescifras,mejorsi lascifrassondistintas;aladerechadeestenúmerorepitanlascifrasenelmismoorden;dividanestenúmerodeseiscifraspara13,ahoradividanelre-sultadopara11yestenuevococientedivídanlopara7.¿Verdadqueelresultadoessorprendente?

CANTIDAD 105 104 103 102 101 100

RESTOS -1 1 -1 1 -1 1

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Estonoesningúntruco,simplementealrepetirlastrescifras,multiplicaronelnúmeroinicialdetrescifraspor1001,queesunmúltiplode13.

Alestablecerladiferenciaentrelosgruposdetrescifras,loqueestamoshaciendoesrestandounmúltiplode1001,queasuvezesmúltiplode13,porloquesielrestoesdivisiblepara13,tambiénelnúmeroinicialserámúltiplode13.

Ejemplos:

Establezcasilossiguientesnúmerossondivisiblespara13:

426829;restamos829–426=403queesmúltiplode13puestoqueobservamosque403=390+13,ambossumandossonmúltiplosde13.Deestosededuceque426829esdivisiblepara13.

57356;restamos356–57=299,quesíesmúltiplode13,puestoque299=260+39,ambossumandosmúltiplode13.Deducimosque57356esdivisiblepara13.

Estemismocriteriosepuedeaplicarparareconocersielnúmeroesdivisiblepara7,opara11;paraelloladiferenciaentrelosgruposdetrescifrasdebesermúltiplode7,ode11.

835247;restamos835–247=588,aestenúmeropodemostomarlelaséptimayconstatarqueesmúltiplode7,porloquededucimosque835247tambiénesdivisiblepara7.

28622;restamos622–28=594,comolacifradelmedioeslasumadelasotrasdoscifrasdelnúmero,afirmamosque594esmúltiplode11,porloquededucimosque28622tambiénesmúltiplode11.

Algunasdemostracionesdedivisibilidadesporcongruencianumérica

A.Divisibilidadpor2

Tenemosque10k0(mód.2)parak=1,2,…..n,porCorolariodelLema1

Porlotanto,ak•10k0(mód.2),porlapropiedad4)delLema3

Sia00(mód.2)(esdecir,sia0esnúmeropar),entonces

a00(mód.2)

a1•100(mód.2)

a2•1020(mód.2)

………………………

an•10n0(mód.2)

Sumandoestascongruenciassetiene

z0(mód.2)

locualsignificaquezesdivisiblepor2.

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Sesi

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Deaquíseobtienelaregla:

A) Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2

B.Divisibilidadpara3

Tenemosque10k1(mód.3)parak=1,2,3,…….,n

Ademása0a0(mód.3)

a1•10a1(mód.3)porlapropiedad4)dellema3

……………………..

an•10nan(mód.3)

Sumandoestascongruencias,resulta

za0+a1+a2+..........+an(mód.3)

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Sesi

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Problemas de aplicación dedivisibilidad9


• Comprenderlaimportanciadereflexionaracercadecómosehizoundeterminadoejercicio.

• Reflexionaracercadelusodemateriales“alternativos”enlaclasedematemáticas.

• Utilizarladivisibilidadylacongruencianu-méricaenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.

• Demostrarlanecesidaddelautilizacióndeloscriteriosdedivisibilidadenlaresolucióndeproblemas.

• Aplicarestoscriteriosenlasolucióndeproblemas.

• Resolverproblemadondeseaplicaladivisi-bilidad.

• Resolverproblemadondeseaplicalacon-gruencianumérica.

• Lectura Algunas reflexiones sobre las fun-ciones de las demostraciones matemáticas (parteII).

• ViñetasconMafaldaparareflexión.


1.Resuelvanelsiguienteproblema.Mientraslohacen,anotenlospasosquevansiguiendopararesolverlo.(Noesnecesarioelusodecalculadoras).

Problema:

EnlaciudaddeQuitohay716a5bvotantesquedebenregresarasushogares,aquienessehaofrecidotransportarlosenbusesconcapacidadpara36personas.¿Cuálessonlosvaloresdelasumadea+bafindequetodoslosbusesvayanllenos,ynoquedeningunapersonasinesteservicio?

Actividadenparejas:Problemadeaplicación

Actividadplenaria

Compartasusrespuestasdeldeberconlosdemásparticipantesyluegoentréguelo.

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1.LeaahoraelsiguienteprocesoderesolucióndeproblemaspalanteadoporPólya.

2.¿EncuentraalgunasimilitudodiferenciaentreelprocedimientoplanteadoporPólyayelsuyo?


Actividadindividual:Reflexiónacercadelproceso

1.Leaneltexto:Algunas reflexiones sobre las funciones de las demostraciones matemáticas(ParteII).

2.Tomandoencuentalascuatrolecturasrealizadascontestenyrecordandocómoaprendenaresolversusestudiantesproblemasenelaula,contestenlassiguientespreguntas:

a.Describanlasdiferenciasconrespectoaloquesehaplanteadoenlascuatrolecturasanteriores.

b.Relacionenlascuatrolecturasanterioresconlorealizadopararesolverelúltimopro-blema.

¿Creenustedesquetieneventajasestanuevaformadeplantearlaresolucióndepro-blemas?Deserasí,¿cuálesson?

c.¿Quéindicadoreslessirvieronparaestablecerlascomparaciones?

d.ReplanifiquenunaclasedeMatemáticasdondeseapliqueelmétodoproblémicopro-puestoporPólya.(verAnexo4:“LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemas”).

Actividadenparejas:Demostracionesenmatemáticas(ParteII)

Actividadplenaria

Compartanconlosdemásparticipantescómoresolvieronelproblemaycuálessonlospasosquesiguieron.

Pasospararesolverunproblema(Pólya)

1. Leaelproblema.

2. ¿Tieneunplanpararesolverlo?Discútaloconsucompañero.

3. ¿Haresueltoalgúnproblemaparecido,oquetengaalgunarelaciónconestepro-blema?

4. ¿Cuándounnúmeroesdivisibleparaseis?

5. ¿Tieneelproblemaalgunaconexiónorelaciónconlapreguntaanterior?

6. ¿Puedeexpresaresarelación?

7. Reviselasreglasparallegaralasolución.

NOTAACLARATORIA:Éstaesunaversiónampliada.Pólyatiene4pasosbásicos.

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Lectura:Algunasreflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas(ParteII)

María de Lourdes Bravo Estévez, UniversidaddeCienfuegos,Cuba José Joaquín Arrieta Gallastegui, UniversidaddeOviedo,España

(…)Estaposiciónimplicaentregarlademostracióndemanerayadecodificada,locualentendemosquesuponeplantearunaactividadconpocosignificado,queseolvidahabitualmentealcruzarlasfronterasdelaula.CompartimoslaideadeRecio(2001)cuandoafirmaquelo que arroja compren-sión es la acción de intentar demostrar personalmente o al menos intentar descifrar personalmente una demostración de otro.

Tradicionalmentesehaintentadodesarrollarlahabilidad“demostrar”enMatemáticas,ademásdeintentarconcretarlasfuncionesaportadaspordichosautores,pretendemoscontribuiraldesarrollodeunafunciónformativa,deformamásintegradora,comoexplicamosacontinuación.

Esindispensablesignificarelvalordequelosestudiantesapliquenenlaprácticaelsaberyelpoderadquiridos,paracomprenderdeformamásexactacómopormediodesusconocimientosespo-sibledescribirprocesosdelarealidadobjetiva,alanecesidaddelporquévincularlateoríaconlavidaparafundamentary/odemostrarlosfenómenosqueocurren.Todoestocontribuyealaconso-lidaciónmásduraderadelosconocimientos,asícomoalaformación de una concepción científicadelmundo.Poresolarelaciónentrelateoríaylaprácticadebetenerseencuentatambiéncomounprincipiodidácticoencadaclase,buscandosiemprequeseaposible,losnexosentrelasdemostra-cionesdeteoremasyconceptosconsusaplicacionesyhechosdelavidadiaria.

Porotraparte,debeevitarsequeconlaadquisicióndeconocimientosquesetransmitenenlasau-las,losestudiantestenganlaideadequelaasignaturadematemáticasessóloelsistemadecono-cimientosqueellosreciben,unanocióndeteoríasacabadas,quetieneunavalidezabsoluta,paraque,ensulugar,aceptensindificultadesnuevasyvariadasteoríasquenieguendialécticamente,completenyabarquenalasanteriores.Sinembargo,losconocimientosrecibidospreviamentesonciertos,reflejandeformaobjetivalapartedelarealidadestudiada,perolosestudiantes,conlosescasosrecursosdequedisponedebenverificarlosporsuspropiosmedios,comprobandoyconven-ciéndoseasímismosyalrestodelaspersonasqueinteractúanconellos.

Deestaformalosestudiantesvanvinculandolosentesmatemáticosconlosobjetosdelmundorealylaspropie-dadesdeellosdadasporlasdefiniciones,teoremasysusdemostracionesconsusrelacionesyleyes.

Poniéndosedemanifiestoladialécticadelaverdadab-soluta y la verdad relativa.Esdecir, ladialécticaentrelosconocimientosrelativos,queencierranuncontenidoobjetivamenteverdaderoqueseconservaenelprocesodeadquisicióndelosconocimientos,ylosconocimientosincompletos,nodefinitivosensureflejodelanaturaleza,lasociedadyelpensamiento.Secontribuyeasí,atravésdelaenseñanzadelasdemostracionesaampliarsufor-mación filosófico-ideológica.

Enesteprocesose llegaapropiedadesquesonparaelestudiantedescubrimientos,pueshastaelmomento leerandesconocidas,a lavezquevaexplicandoelporquéde lanecesidaddesudemostración.

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Puntodesumocuidadotambiéneseldenocaerenelformalismoconlaelaboracióndelosteore-masysusdemostraciones,evitarquesereproduzcandemostracionesfijandounpatrón,yqueseancapacesde interpretar, valorar o comprenderlasmismascuandosevaríanalgunasdelascondi-cionesiniciales.Porello,debedarsepasoalarealizacióndeunaampliaejercitaciónyaplicacióndelosteoremasysusdemostracionesdeformagradualysistemática,alaexplicación detodaslasposiblesvariantesmediante la reflexión individualy/ocolectivadecadaposiblevíadesolución,dondelosestudiantesbuscan, discuten y analizandiferentesformasdeproceder,diversasvíasdesoluciónymúltiplesposibilidadesdemodelarsituacionesbajolasistematización y actualización delosconocimientos.Asíesposiblequesepongademanifiestoelpensamiento creativo y la fantasía, el pensamiento lateral o divergente, el pensamiento especulativo, el pensamiento heurístico y el pen-samiento lógico-deductivo.

Almodelar lasituaciónatravésdeunafigurageométricadeanálisisdebetenerseencuenta laestética,reflejadaenlalimpieza,elcuidado,elesmeroylacuriosidadenlostrazosenfuncióndequelasrepresentacionesdelasfigurastridimensionalestiendenadesfigurarseenelplano,porloquedebenserlomáslegibleposible.Estacualidadesademásunrasgodelaética pedagógicaporlaqueserigelaformacióndedocentesenMatemáticas.Tambiénsedapasoaldesarrollo del pensamiento geométrico espacial,comounreflejogeneralizadodelespacio físico tridimensionalbasadoenmodelos,elcualsemanifiestacuandolosestudiantesformanunsistemadeconceptosyrelacionesmedianteabstraccióndelespacioreal,enquepuedenrepresentar,mediantedibujosomodelosreflejosdelespacioeimaginarnuevoscuerposyrelacionesgeométrico-espaciales.

Precisamenteeneldebatedelasvíasdesolución,delasfiguraspertinentes,enlosaportesdelademostración,debeexigirseunacorrectaexpresiónoral,noconsideradasólocomounmediodecomunicación,sinotambiéncomounamanifestacióndelpensamiento.Estosedebeaqueelhechodeexigirunaexpresiónadecuadacontribuyealaformación lingüística,aldesarrollodellenguajepropiamentematemáticocon lautilizacióncorrectadel vocabulario técnicode ladisciplinay seponendemanifiestorasgosdelaconductacomosonel rigor de sus razonamientos, la exigencia y el carácter reflexivo.

Alosefectosdelaformaciónmultilateraldelosestudiantes,deldesarrollodesupensamientoydesulenguaje,tienetambiéneltrabajoconteoremasmatemáticosysusdemostracionesunapodero-sainfluenciasobreeldesarrollodecapacidadesgeneralesparaargumentar, fundamentar, inferir, refutar y deducir.

Lasdemostraciones también contribuyenaldesarrollodeoperacionesmentalesgenerales, talescomoabstraer, concretar, analizar, sintetizar, comparar, clasificar, particularizar y generalizar.

Sedestacalaimportanciadelprocesoseguidoporencimadelresultado,porloquebrindamétodos y procedimientosdetrabajo,nosóloeslaproposicióndelademostraciónparaelenriquecimientodelcuerpo teóricoqueampliaráelestudianteparasímismo/a,sinoelprocedimientoymétodoempleadoqueconstituyeunmodeloparaotrasdemostraciones.

Al tratar lasdemostraciones, losdocentesdebenpropiciarundominiodeacciones,deprocedi-mientosheurísticosymétodosdedemostración,desolidezdelosconocimientosparasuaplicaciónsegura,deformaquecontribuyanatrabajardemodo racional, planificado y orientado.Alplantearexigenciasalosestudiantesparaevaluarelrendimientodesuscompañerosenlasdemostraciones,paradiscutirsolucionesverdaderasyfalsas,parajuzgarpropuestasyasumirposiciones,semani-fiestancualidadescomolasinceridad, la crítica y la autocrítica.

Portodosesconocidoquelasdemostracionesdeproposicionesmatemáticassonunpuntoneurál-gicoparalosestudiantesenelestudiodelasMatemáticas,porloquehayqueincentivarlatena-cidad, perseverancia, esfuerzo, disciplina y constanciaalolargodelprocesoderesolucióndeunproblemadedemostración,paraasíllegaralograrlaindependenciaenlarealizacióndeéstas,seconvierteenunreto intelectual anteeldeseodeadquirirnuevosconocimientos,métodosdetrabajoydesarrollodelpensamientoensentidoamplio.

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Noolvidarquelosdocentespuedenrealizarvaloracionesdelcomportamientodesusestudiantesenelprocesodedemostraciónanteelcolectivo,estimulandolasactitudespositivasyseñalandolasqueaúndebensermejoradas,laatenciónpersonalizadayelrespetoaladiversidad.Deestamanera,sepropiciael compañerismo, la complacencia y la conducta colectiva.

Siintegramosloquereportaelprocesodedemostrar desdeloinstructivoyloeducativo,concluimos,alavezqueampliamos,elconjuntodefuncionesdescritasenelapartadoanteriorconlafunciónformativa.

Sitrabajamosconlasdemostracioneshastaconvertirlasenunaactividadsignificativaynecesaria;entonces,desdenuestropuntodevista,perduraránenlaformaciónprofesionaldelosestudiantes,detalmaneraquepodrántransmitirsussignificadosaotrosindividuos,lograndoasíelverdaderopapeldelosproblemasdedemostraciónenelcurrículodelasMatemáticas,enlasdiferentesense-ñanzassegúncorrespondaasuposterioractividadprofesional.

Por tanto, es indiscutible el destacadoaporte del tratamiento de las demostraciones al procesodocenteeducativodesdelastresdimensionescitadasporÁlvarez(1999),asaber,lasdimensionesinstructiva,educativaydesarrolladora,puespermitenfijarelsistemadeconocimientos,elsistemadehabilidadesydevaloresdeunadeterminadaasignaturay/odisciplina,entreotrosaspectos.Esunrecursodidácticouniversalparadesarrollarconocimientos,habilidadesyvalores;deaquísuim-portanciaenlaformacióndedocentesy,porende,enlaenseñanzaengeneral.Luegodeabordaryfundamentarlasfuncionesdelademostración,reflexionamosanteelinteresanteinterrogantedeRecio(2001:1)cuandosepregunta:“¿Esposible,esconveniente,esnecesarioenseñarademostrarenlaGeometríaqueseimparteenunsistemaeducativogeneralizado?”

Encorrespondenciaconlosestudiosdeinvestigacionesrealizados,lapropiaexperienciaprofesio-nal,lasopinioneshastaelmomentoexpresadasyrespetandoloscriteriosdevocesautorizadasquepuedanseropuestosalosargumentosqueexponemos,nuestrarespuestaeslasiguiente:

· Síesposibleenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,teniendoencuentalosdiferentesnivelesdedemostración,encorrespondenciaconlosobjetivosdecadaense-ñanzaylascaracterísticastantoindividualescomocolectivasdelosestudiantes,delcontextoydelmomento.

· Síesconvenienteenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,dadalariquezadelasdistintasfuncionesdelademostración,comohemosvisto,porsucarácterformativoeintegral;esdecir,porintegrarlocognitivoenloeducativoensentidogeneral.

· Síesnecesarioenseñarademostrarenunsistemaeducativogeneralizado,comolopuedesersabercontar,apartirdesuutilidadprácticacomoelementoquecontribuye,entreotros,aldesarrollodelpensamiento,deoperacionesmentalesgenerales,dehabilidadesgeneralesyespecíficas,asícomoalaformaciónlingüística,aspectossontodosellosdegranutilidadparaprepararalaspersonasaenfrentarsedeunaformamásracionalalasolucióndelosproblemasqueselespuedenpresentarensuquehacerdiario.

Lastresrespuestasserelacionanentresí,unanorespondelasinterrogantesqueencierralapregun-ta,porquecadaunadeellastienesusatenuantesquelafundamentandesdeelprocesodocenteeducativogeneralizado,ysuconsecuenteimportanciaparaquelosdocentesenformaciónapren-danademostrarparaluegopoderenseñarlas.

Enresumen,defendemosenestetrabajoquelasdemostracionesvanmuchomásalládeloqueaenseñanzayaprendizajeserefiere,llegandoalosmarcoseducativos.Así,concluimosquelaense-ñanzadelasdemostracionesgeométricastieneunsignificativovaloreducativo,puescumplenconunafunciónformativaesencial.

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Observelasiguientesecuencia,relaciónelaconlasdosúltimaslecturasyrespondalaspre-guntasdeMafalda.

1. ¿CómointerpretaustedlaexpresiónenelrostrodeMafal-da?

2. ¿Cuálhabríansidosusrespuestasa laspreguntasde ladocente?

3. De acuerdo con todas las lecturas anteriores, ¿por quécreequeLibertadproporcionaesasrespuestas?

4. ¿Esellenguajematemáticounidiomauniversal?

5. ¿Quécaracterísticasleatribuyeustedalpensamientomate-mático?.

6. ¿Quéhaceustedcomodocenteparaquesusestudiantesdesarrollenesepensamientoenelaula?

7. Realiceunanuevasecuenciadecómolegustaríaquesu-cedaensuaula.

8. ¿Cómosesintióustedtrabajandocontirascómicasenestaactividad?

Actividadindividual:“Libertadylasmatemáticas”

Enlaenseñanzadelasdemostracionesgeométricasseconcatenanlocognoscitivoconloeducativo.Potenciarloúltimoconllevaaunaeducaciónmásintegral,dondesebuscanlosmodosdeactua-ción,enelcasodelascarreraspedagógicasconlaformacióndelprofesorado.

BravoEstevez,Ma.DeLourdes;ArrietaGallástegui,JoséJoaquín.“Reflexionessobrelasfuncionesdelasdemostracionesmatemáticas”.Revista Iberoamericana de Educación.

En:http://www.rieoei.org/deloslectores/838Bravo.PDF.Enlínea:25-10-2009.

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Compartansusrespuestasalaactividadanterior.Debatanalrespectoybusquenunacuerdoentretodos.

Actividadplenaria

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Propiedades de la suma y resta:operaciones y problemas10

SESIÓN10Duración:2horas

• Reforzarelconceptodemínimocomúnmúlti-plo,atravésdelaprendizajebasadoenpro-blemas.

• Reflexionarsobreelroldeldocentefrentealprocesodeenseñanza-aprendizaje.

• Incentivarelusodelasplantillasdefracciones,pararealizardemostracionessimbólicas,pre-vioalaabstracciónalgebraica.

• Reconocerqueestasoperacionessóloserea-lizanconfraccioneshomogéneas.

• Aplicarlaspropiedadesdelasuma.

• Utilizarlasumaylarestaenlasoluciónyela-boracióndeproblemas.

• Denominador común, sumas y restas consustitucióndepiezas.

• Fraccioneshomogéneasyheterogéneas.

• Sumaorestadefracciones.

• Máximocomúndivisor(mcd).

• Mínimocomúnmúltiplo(mcm).

• LasmatemáticasenelantiguoEgipto.


1.LeaeltextoDenominador común, sumas y restas con sustitución de piezas.

2.Sigalasinstruccionesdeltextoeinteractúeconelmaterialconcreto,realizandosumasyrestasconlasplantillasdefracciones.

Actividadindividual:leyendosumasyrestas

UNIDAD 3 Propiedades de las operaciones ysus aplicaciones

Denominadorcomún,sumasyrestasconsustitucióndepiezas

Unavezcomprendidoelconceptodefraccionesequivalentes,revisadoenlasesión3delaprimeraunidad,ustedpodráexplicarqueparasumaresnecesariohacerloconelmismotipodeelementos,paraobtenerunresultadoadecuad;,esdecir,sedebensumarelementosdelamismanaturaleza.Porejemplo,sisumamos:

2peras+3peras=5perasanálogamente:1/3+2/3=3/3

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Podemosverquesisumamostercioscontercios,sesumansólolosnumeradoresyelresultadofinalserántercios;perosisumamoscuartosconmedios,elresultadofinaldebensercuartosomedios,paralocualesnecesariousarfraccionesequivalentes.

Utilizandolasplantillasdefracciones,podemosvisualizarque:2/4+1/4=3/4

Enlaformamatemáticanotamosquesólosesumanlosnumeradores,porquelasdosfraccionestienendedenominadorcomúnel4.

Sisumamosenlasplantillasdefracciones1/4+1/2,obtenemosunresultadoquedebemosexpre-sarencuartos,porqueseríaimposibledeterminarloenmedios.Entonces,hayqueconvertir1/2ensufracciónequivalenteexpresadaencuartos:

1/2=2/4,luegosumamos1/2+1/4=2/4+1/4=3/4

Sepuedecomprobaryentenderclarayobjetivamenteestasustituciónsiseutilizalasplantillasdefracciones.

Demaneraidénticaseprocedeenlaresta.Porejemplo,pararealizarlaoperación7/8-1/4,ubi-que,enlaplantilladefracciones,los7/8yluegolapartecorrespondientea1/4.Paracontinuarconlaoperación,esnecesarioqueseigualenlosdenominadoresdeambasfracciones;esdecirquelosdoscasosseexpresenenoctavos.Entonces,deberáencontrarlafracciónequivalentede1/4,quesería2/8.Así,laoperaciónquedaría:7/8–2/8=5/8.

1.Sume2/8+3/8enlasplantillasdefracciones.

2.Sumeconlasplantillasdefraccionesyconlaformaexpresiónmatemática.

1/6+1/3;1/2+3/8;2/3+1/2

3.Resteconlasplantillasdefraccionesyconlaescrituramatemática.

7/8-1/2;1/2-1/3;5/6-2/3;7/8-1/4

4.LeaeltextoFracciones homogéneas y heterogéneas.

Lectura:Fraccioneshomogéneasyheterogéneas

Paraestablecersilasfraccionessonhomogéneasoheterogéneasdebemostener,porlomenos,dosfraccionesparapodercompararsusdenominadores.Sellamanfraccioneshomogéneasaaquellasquetienenelmismodenominadorentresíyheterogéneasalasqueposeendistintodenominador.Observe:

Homogéneas: 26/7y5/7;3/5y11/5 Heterogéneas: 6/13y9/2;3/8y3/10,ytodasentresí.

Para transformar las fraccionesheterogéneas en fraccioneshomogéneas, busque las fraccionesequivalentesparaigualarlosdenominadores;porejemplo:

6/11y2/5sonfraccionesheterogéneasportenerdistintodenominador.

Actividadindividual:Sumandoyrestandoconlasplantillas

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• Sicompra1/2cartulinadedibujoyluegocompraotro1/2deunacartulinadeigualtamañoquelaanterior,eslógicoquehacomprado:1/2+1/2=2/2=1;esdecirquehaadquiridolacartulinacompleta.

• Parasumarfracciones,sesumalosnumeradoresyseescribeelmismodenominador.

• Pararestarfracciones,alnumeradordelminuendoresteelnumeradordelsustraendoyescribaelmismodenominadordelasfracciones.

• Porejemplo,paracalcular5/8+13/6debeencontrarfraccionesqueseanequivalentesacadaunadelasfraccionesanterioresyqueademástenganigualdenominador.

• Paraquedosfraccionesconigualdenominadorseanequivalentesa5/8y13/6,susdenomina-doresdebensermúltiplostantode8comode6.Esdecirquesedebeobtenerelmínimocomúnmúltiploentre8y6mparasacareldenominadorcomún.Enestecasoes24.

• Entonces,obtengaunafracciónequivalentea5/8quetengael24dedenominadorporloqueamplifiquelafracciónpor3,así:

5/8x3/3=15/24

• Delamismaforma,paraobtenerunafracciónequivalentede13/6quetenga24dedenomi-nador,amplifiqueestafracciónpor4,así:

13/6x4/4=52/24

Entonces:

5/8+13/6=15/24+52/24=67/24

perosimultiplicapor5tantoelnumeradorcomoeldenominadordelaprimerafracción,ypor11alostérminosdelasegundafracción,ambassetransformanenfraccioneshomogéneasportenerelmismodenominador:

6/11X5/5=30/55;2/5x11/11=22/5530/50y22/55sonfraccioneshomogéneas.

Solamentepodemossumarorestarfraccioneshom

ogéneas.

Parapodersumarorestarfraccionesheterogéneas,

obligatoriamentedebe-

mostransformarlasenhomogéneas.

Sumaorestadefracciones

1.Elaborentresejemplosquedemuestrenmatemáticamenteloexplicadoenlalecturaante-rior,sobresumayrestadefracciones.

Actividadenparejas:Construyendoejemplospropios

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as Compartan su trabajo con losdemásparticipantes.Muestren losejemplosque realizarontantoconsuexpresiónmatemáticacomoconlasplantillasdefracciones.

Actividadplenaria


a. ¿Funcionaelmétododeamplificaciónparalasumasielresultadoesmayorque1?

b. ¿Funcionaconfraccionesimpropias?

c. ¿Enquésituacióneldenominadorcomúnesigualaldeunodelossumandos?

d. ¿Enquésituacioneshayquemultiplicarlosdenominadoresdelossumandos?

e.¿Porquétenemosquesumarconelmétododeamplificaciónynopodemossimple-mentesumarlosnumeradoresylosdenominadoresentresí?

f. Registrenlasrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.

g. Comentenlasrespuestasconsuscompañeros.

2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesdetalladasacontinuación.

Losestudiantesdeuninstitutosepuedenrepartirenunnúmeroexactodegruposde36,de30ytambiénde16personas.¿Cuáleselnúmerodeestudiantesdeesteinstitutosiseconocequeelnúmerototaldematriculadosnollegaa1000?

Contesten:

a.¿Tienenunplanpararesolverelproblema?

b.¿Hanresueltoalgúnproblemaparecidooquetengaalgunarelaciónconéste?

c.Resuelvanelproblemayanotenlospasosrealizadoshastaalcanzarsusolución.

d.¿Cuándoseutilizaelmínimocomúnmúltiplo?

e.Analicen:¿tieneesteproblemaalgunarelaciónconlapreguntaanterior?Porqué?

3. Reflexionen acerca del problema y de su procedimiento para resolverlo. Registren susconclusiones.

a. ¿Cómoharíanparaquesusestudiantesresuelvanesteproblema?

b.¿Dequémaneralohicieronustedes?

c.¿Cómodiseñaríansuclaseparagenerarespaciosnuevosquepermitanexplorardife-rentesformasderesoluciónparaestetipodeproblemas?

d.Creenunnuevoproblemaapartirdeéste.

e.¿Quéventajasobservanquetieneestaformadetrabajarconlosestudiantes?

f. ¿Cuáleselroldeldocentefrentealprocesodeenseñanza-aprendizaje?(Leeranexo1)

Actividadenparejas:Análisisdeproblemasyreflexióndidáctica

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a.Losmétodosypasosqueusaronpararesolverelproblema.

b.Lasestrategiasquediseñaronparatrabajarestetipodeproblemasensusclases.

c.Elnuevoproblemaquepropusieron.

d.Lasreflexionesdidácticasquesurgierondeestaactividad.


2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesdetalladasacontinuación:

ElcaminoqueuneelPalaciodeJusticia,queseencuentraenlascoordenadas(0,0)enlanuevanomenclaturadelMunicipiodeGuayaquil,yelGobiernodelLitoral,queestáenlascoordenadas(120,84),serecorreráentramoshorizontalesoverticales,todosdeiguallongitud,yencuyosextremosexistencoordenadasenteras.¿Cuáleselmínimonúmerodetramosquepuedetenerelcamino?

a.Contesten:¿tienenunplanpararesolverlo?¿Enquéconsiste?

b.Resuelvanelproblemayanotenlospasosqueaplicaronhastaalcanzarsusolución.

c.Analicen:¿tieneelproblemaalgunarelaciónconlapreguntaanterior?¿Porqué?

3.Leanelsiguiente textoycomparen las ideasdelmismoconlasestrategiasqueustedesusaronpararesolverelproblema.

Lanotacióndelmáximocomúndivisor(mcd),es(a:b)ysetratadelmayornúmeroenteropositivoqueesdivisordelosnúmerosayb.

Elmáximocomúndivisornosóloeselmayordetodoslosdivisorescomunes,sinoqueademásesmúltiplodetodosellos.

Porconsiguientea|bsiysólosi(a:b)=a.O,loqueeslomismo,paraqueaseaelmáxi-mocomúndivisordeayb,esnecesarioqueaseadivisordeb.

Ejemplo:

(12:48)=12porque12|48

Diremosentoncesqueelmcddebecumplirconlasdoscondicionessiguientes:

•(a:b)=d;portantodesdivisordeaydeb.

•desmúltiplodetodoslosdivisorescomunesdeaydeb.

Estadefiniciónpodemosextenderlaacualquiercantidaddenúmeros.

(a:b:c:d:e)=((a:b:c:d):e)=(((a:b:c):d):e)=((((a:b):c):d):e)

Compartansutrabajoconlosdemásparticipantes,teniendoencuenta:

Actividadplenaria

Actividadengrupo:Usandoelmáximocomúndivisor

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Ejemplo:

(18:36:54:42)=((18:36:54):42)=(((18:36):54):42)=((18:54):42)=(18:42)=6

Sid=(a:b)entoncesa/dyb/dsoncoprimos.

Elmáximocomúndivisorentre84yunnúmerones14.¿Cuálpuedeserelrestodedividirnpor84?

Sabemosquen=84k+r 0<r<84

Entonceslosdivisorescomunesentreny84sonlosmismosqueentrery84,porloque(n:84)=(r:84)=14;porestarazónrdebesermúltiplode14;digamosquer=14t,contmenorque6,porquesiesmayorseríamayorque84.

Sidespejamost=r/14y84/14=6,sededucequety6debensercoprimos,porloquelasúnicasposibilidadesparatson1y5,quesoncoprimoscon6;mientrasqueelvalorder=14or=70.

Mínimocomúnmúltiplo

Recuerdequesellamamúltiploaunnúmeroquealdividirloporotro,ladivisiónesexacta.

Porejemplo,10esmúltiplode2,porqueelprimerocontienealsegundoexactamente5veces.

Deacuerdoconladefiniciónanterior,elmínimocomúnmúltiplo(mcm)eselmenornúmeropositivoquecontiene,unacantidadexactadeveces,todoslosnúmerosdados,unnúmeroexactodeveces.

Hayvariosmétodosparadeterminarlo:

Cálculodelmáximocomúndivisorpordiferenciassucesivas

Ejemplo:

Paracalcularelmcdde360y220: (360:220)=(140:220)=(140:80)=(60:80)=(60:20)=20

Sinnecesidaddeconocerlosdivisoresdeayb,ysimplemente restando,apareceelmáximocomúndivisordeayb.

Aplicandoelalgoritmo de Euclides,sistematiceconvenientementeelmétodoanteriordediferenciassucesivas.

Ejemplo:

Paracalcularelmcdde1580y255: 1380=5x255+105 255=2x105+45 105=2x45+15 45=3x15 (1380:255)=15

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•Porinterseccióndeconjuntos.A={múltiplosde8} B={múltiplosde18} D={múltiplosde24}A={0,8,16,24,…} B={0,18,36,54,72,…} D={0,24,48,72,…}ABD={0,72,144,…}

Deaquísededucequeelmcmes72,porserelmenornúmeropositivoquecontienea8,18y24,unnúmeroexactodeveces.Así,8estácontenido9veces;18,4veces;y24,3veces.

U U

1226233131

4929191311

24188 2

8 242221

18 293331

24 212262331

8=23 18=2(3)2 24=23(3)

Parahallarelmcm,tomelosfactorescomunesquemásaparecenaldescomponercadanúmero.Elévelosalapotenciasegúnlacantidaddevecesqueserepiten.Así,aldescomponerel8yel18,tenemosqueenelprimercasoel2eslacifraquemásserepiteyseloelevaalatercerapotencia(23);mientrasqueenelsegundo,eltressereiteradosveces,porloquequedaríaelevadoalcuadra-do(32).Luego,multipliquelosfactoresconsusrespectivaspotencias.Elproductoseráelmcm.Así:

mcm=23x32=8x9=72

Métodoabreviado:

ELmcmeselproductodetodoslosfactoresencontrados,enestecaso:mcm=2x2x2x3x3=23x32=8x9=72Cuandolosnúmerosdadosnosontangrandes,comoenelpresentecaso,puedeencontrarloporrazonamiento:

•Observequeel8estácontenidoporel24;entonces,notomaencuentaelmenor;esdecir,8;

•Trabajeconel24yel18;observequeeldoblede24(48)nocontieneexactamenteel18,pues48solamenteselopuededividirexactamenteunavezpor3o,loqueeslomismo,noesdivisiblepara9;18síesmúltiplode9,yaqueelprimerocontienedosvecesalsegundo.

•Eltriplede24(72)sícontieneexactamenteel18;porlotantoeselmcm.

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Cuandoelinstructorlessolicite,expongancómodemostraronlaspropiedadesatravésdelasplantillasdefracciones.

1.LeaeltextoEl ojo de Horus.

2.Escribasuopiniónpersonalsobrelalectura.

Actividadplenaria

Actividadindividual:LasmatemáticasenelantiguoEgipto

1. Formengruposdecuatrodocentes.

2. Demuestren,conlasplantillasdefracciones,lassiguientespropiedadesdelasumanúme-rosderacionales.

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Conmutativa: a+b=b+a

Elementoneutro: elceroesunnúmeroracionalquehacedeelementoneutroenla suma;porejemplo:a+0=a.

Elementoopuesto: elopuestodeunnúmeroracionalaesotronúmeroracional-a: a+(-a)=0

Actividadengrupo:Usandolasplantillasdefracciones

tropezóysequebraronalgunoshuevos.“Unachicaseacercóaayudarlaylepreguntócuántoshuevostraía.Laseñoralerespondió:¡Nosé!Solamentemeacuerdoqueeranentre50y100;siloscontabadedosendos,mesobrabauno;siloscontabadetresentres,mesobrabandos;silohacíadecuatroencuatro,mesobrabantres;silohacíadecincoencinco,quedabancuatro;ysiloscontabade6en6,tenía5.¿Cuáleralacantidadmínimadehuevosquepodíallevarlaseñora?

2.Escribaelprocedimientoqueutilizópararesolverelproblema.

3.¿Quépreguntasmetacognitivaspodríaustedhacerasusestudiantesenrelaciónalareso-lucióndeproblemascomoéste?Escríbalas.

Cuandoelinstructorselopida,compartalasrespuestasalaspreguntas3y4conlosdemásparticipantes.

Actividadplenaria

1.Resuelvaesteproblema:

Unaseñorasalióconuncanastodehuevosparavenderenelmercado.Albajardelbus

Actividadindividual:Resolviendoproblemas

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3.Responda:

a. ¿Qué sabe de las matemáticas en el antiguo Egipto?

b.¿Le parece importante el tema? ¿Por qué?

5.Entregue al instructor sus respuestas.

Lectura:ElojodeHorus

Horus,hijopóstumodeOsirisyeducadoconseddevenganzaporsumadreIsis,desafióasutíoSeth,porelasesinatodesupadre,yentablóconélunterriblecombate.Enlarefriega,SethlearrancóunojoaHorus,locortóenseispedazosyloesparcióportodoEgipto.LaasambleadelosdiosesdecidióintervenirenfavordeHorusyleencargóaToth,maestrosupremodelaaritmética,lapalabra,laescrituraylosescribas,reunirlaspartesdelojomutiladoyreconstruirconellas,graciasasuspotentessortilegios,unojosanoycompleto.(EnelhimnoXXdelLibrodelosmuertossediceque“EstohizoTothconsumismodedo”,loquealgunosinterpretancomoelusodelosdedosparacalcular).

Poreso,elOjodeHorus,alavezojohumanoydehalcón,mutiladoyrestaurado,eraunodelosamuletosmásimportantesparalosegipcios,puesseconvirtióensímbolodelaintegridadfísica,elconocimiento,lavisióntotalylafertilidad.Yparaqueestesímbolomantuviesetodossussentidos,losescribasutilizabansusdistintaspartespararepresentarlasfraccionesdel héqat,unidaddecapacidadquecorrespondíaaproximadamentea4.784litros.

Si sumamos las seis fraccionesdelhéqat,obtenemos63/64.¿Quépasaría conel1/64quefalta?

Latradiciónnosdaunarespuesta:cuandounaprendizdeescribaleplanteólacuestiónasumaestro,éstelerespondióqueel1/64quefaltabaseríasiempreproporcionadoporTothalcal-culadorquesecoloquebajosuprotección,locualpodemosinterpretarcomounapruebadefeocomoelpagoestipuladoparaloscalculadoresporsusservicios.

(Puedes encontrar respuestas y actividades de este tipo muy interesantes en:RodríguezSantos,Alberto.El Ojo de Horus.

http://www.epsilones.com/paginas/t-historias1.html#historias-ojohorus.Últimaactualización:25-10-2008.

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Elinstructorlesolicitaráaalgunosdocentesexpongansusrespuestasalaspreguntasplan-teadas

Traigaparalapróximasesión,unabarradechocolate.Póngasedeunavezdeacuerdoconelgrupodecuatropersonasquetrabajaránlapróximasesiónyaquetodoslosdelgrupodebentraerlamismamarcayelmismotamañodechocolateparapoderrealizarelejercicio.

Actividadplenaria

Tareaindividual

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Sesi

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Propiedades de la multiplicacióny división: operaciones yproblemas

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• Verificar el sentido que tiene considerar laspartes de una unidad y las partes de unafracción.

• Descubrirelsignificadodelinversomultiplica-tivodeunnúmerofraccionario.

• Aplicarlaspropiedadesdelamultiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios.

• Conocerlarelacióndeestasoperacionesconlamultiplicaciónydivisióndenúmerosenteros.

• Utilizarlamultiplicaciónyladivisiónenlaso-luciónyelaboracióndeproblemas.

• Lasfraccionesensituacionesderepartoymedición.

• Multiplicaciónodivisióndefracciones.

• Propiedadesdelamultiplicación.

• Lafraccióncomooperadormultiplicativo.

ObjetivosContenidos

1.Formengruposdecuatropersonas.

2.Leanelsiguienteplanteamiento:

Unadocentedeberepartircuatrobarrasdechocolateenpartesigualesentrecincoestu-diantes.Comosolucióndecidepartircadabarraencincopartesiguales,delascualesdacuatroacadauno.

3.¿Cómohubierasidomásprácticalarepartición?Demuéstrenloconlasbarrasdechoco-latequetrajeronalasesión.

4.Construyanunamejorestrategiapararesolverelproblemaplanteado.

Actividadengrupo:Lasfraccionesensituacionesderepartoymedición

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Elinstructorsolicitaráadosgruposqueindiquenantesuscompañeroscómoresolvieronelproblema.

Expongansusejemplosanteelcursoyexpliquencuáleselalgoritmodelamultiplicacióndelosnúmerosracionalesquehanusado.

Actividadplenaria

Actividadplenaria

1.Encuentrelas2/3partesdelamitaddeunaunidad.

Esto equivale a dividir en la recta numérica el segmento comprendido entre 0 y 1/2 en tres partes iguales y tomar las dos primeras partes; es decir, que debe aplicar, de manera con-secutiva al número 1, los operadores (1/2x) y (2/3x).

2.Verifiquequelatercerapartedelsegmentocomprendidoentre0y1/2eslasextapartedelsegmentocomprendidoentre0y1.Estoequivaleadecirque2/3X1/2=2/6.

1.Elaborentresejemplosqueilustrenmatemáticamenteloexplicadoenlaactividadanterior.

2.Demuéstrenlosutilizandolasplantillasdefracciones.


2. Verifiquen si cada una de las propiedades de la suma trabajadas en la sesión 10 secumplenparaelproductoqueexpusieronenparejas.

3.Respondan:¿silaspropiedadessecumplenparaelproducto,tambiénsecumplenparaladivisión?¿Porqué?

4.Enelcasodenocumplirse,¿quédebemoscorregirparaqueseden?

Acontinuación,sedescribenlaspropiedadesdelproductodenúmerosracionales.

Elproductodedosnúmerosracionalesesotronúmeroracional,ycumpleconlassiguientespropiedades:

Asociativa: (a•b)•c=a•(b•c)

Conmutativa: a•b=b•a

Distributiva respecto a la suma: a•(b+c)=a•b+a•c

Elemento neutro: el1esunnúmeroracionalquehacedeelemento neutrodelproducto:a•1=a

Actividadindividual:Trabajoenlarectanumérica

Actividadenparejas:Construyendoejemplospropios

Actividadengrupo:Verificacióndepropiedades

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Sesi

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1.Construyan un rompecabezas como el que está a continuación, peromás grande, demaneraquelapartequemide4cuadradoseneldibujo,mida9cuadradosenelnuevorompecabezas.

2.Registrenelprocedimientoqueutilizaronparalaconstruccióndelnuevorompecabezas.

Recuerden queparadividirdosnúmerosracionalespositivos,sedebemultiplicareldividendoporelinversomultiplicativodeldivisor.

Elcocientededosnúmerosfraccionariosesigualalproductoentreeldividendoyelinversodeldivisor.

Ejemplo:

2/5:4/3=2/5

2/5•3/4=6/20=3/10

Elemento inverso: elinversodeunnúmeroracionala≠0esotro númeroracionalquemultiplicadoporada1: 1/a•a=1

5.Piensencuáleslaimportanciadelapropiedaddelinversomultiplicativoenladivisióndenúmerosracionales.Discutansusideasenelgrupo.

Actividadenparejas:Lafraccióncomooperadormultiplicativo

Expongansutrabajo:expliquenelprocedimientoqueusaronparaconstruirelrompecabezas,lasdificultadesqueencontraronenelprocesoycomolasuperaron.

Actividadplenaria

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Sesión 11: Propiedades de la multiplicación y división: operaciones y problemas

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Sesión 12: Propiedades de la potenciación y radicación: operaciones y problemas

Propiedades de la potenciación yradicación: operaciones yproblemas

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• Aplicarlaspropiedadesdelapotenciaciónyradicación.

• Utilizarlapotenciaciónylaradicaciónenlasoluciónyelaboracióndeproblemas.

• Conceptualizacióndelapotenciaciónatravésdelaresolucióndeproblemas.

• Propiedadesdelapotenciaciónyradicación.


1. Formenunapareja.

2. Discutanconsucompañerosobrelasrazonesdelaseleccionesquehicieron,lleguenaunaconclusiónconrespectoaéstasyregístrenlasporescrito.

3. Lean,acontinuación,eltextosobrelamultiplicaciónabreviada.

Seguramentesurespuestasebasaenelsiguientedesarrolloconceptual:

Lapotenciaciónesunamultiplicaciónabreviadaqueseutilizacuandohayquemultiplicarporelmismofactorvariasveces.

1.Resuelvaelsiguienteproblema:

Siaustedlepropusieranqueescojaunadelasdosopcionessiguientes:

a. Recibirunmillónymediodedólarescadadíaduranteunmes(30días).

b. Recibir10centavoselprimerdía,20centavoselsegundodía,40centavoseltercerdía,80centavoselcuartodíayasísucesivamentehastacompletarlos30días.

¿Cuáldelasdosopcionesaceptaría?¿Porqué?

Actividadenparejas:Reflexión

Actividadindividual:Reflexiónsobreganancias

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Ejemplo

Sitengoquemultiplicar2x2x2x2x2x2,estoeslomismoque26=64.Enestaopera-ción,elfactorqueserepitetomaelnombredebase;elnúmeropequeñoqueseescribeenlapartesuperiorderechadelabasesellamaexponenteeindicalasvecesquelabaseserepitecomofactor.Porsulado,alresultado,enestecaso64,seconoceconelnombredepotencia.Así,lasextapotenciade2es64.

Ejemplos

Calculenmentalmentelassiguientesoperacionesyescribanelresultadoensuscuadernos:

•105+103+101+1=

•104x102x10=

1.Observenelprocedimientoutilizadopararesolveresteproblema:

Lamayoríadelasbacteriassereproducedemaneraasexuada,pormediodeunasimpledivisióncelularllamadafisiónbinaria,queproducecopiasgenéticamenteidénticasalaformadelacélulaoriginal.

Bajocondicionesideales,unabacteriasepuededividirunavezcada20minutos;esdecir,1/3deunahora.

1.Formengruposdecuatropersonas.2.Leanelsiguientetexto: EljuegodelastorresdeHanoiseresuelveconunmínimodeunpaso,cuandohayunsoloanillo;trespasos,cuandohaydosanillos;sietepasos,cuan-dohaytresanillos;15pasos,concuatroanillos;treintayunpasosconcincoanillos;etc.

3.Expresenestasecuenciaconsímbolosmatemáticosyentreguensusrespuestasalinstructor.

Actividadenparejas:Análisisdeproblemas

Actividadengrupo:“LasTorresdeHanoi”(busqueninformaciónenes.wikipedia.org/wiki/torresdehanoi)

Esdecirquesitenemosunabacteria:

en20minutostendremos2,21=1/31





.

.

.

¿En6horas?...

Expliquenasuscompañeroscómoharíanparatrabajaresteconceptoconsusestudiantes.

Actividadplenaria

Célula

CromosomaReproducción del ADN

Separación del cromosoma

Citocinesis

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1.Formengruposdetresparticipantes.

2.Leanelsiguienteproblemayrealicenlasactividadesquesedetallanacontinuación.

Se tienencuatropesas,con lasquesepuedemedirdesde1kghasta40kg inclusive,(siempresepesankilogramosenteros,nofraccionesdekilogramo),¿dequévalordebesercadaunadelaspesas?

a. Contesten:¿tienenalgúnplanpararesolverelproblema?¿Cuál?

b. ¿Hanresueltoalgúnproblemaparecidooquetengaalgunarelaciónconelexpuestoproblema?¿Cuál?

c. Resuelvanelproblema.

d. ¿Cuándoseutilizaelconceptodepotenciación?

e. Analicensiesteproblematienealgunarelaciónconlapreguntaanterior?

f. Revisenyescribanlospasosqueaplicaronparasolucionarelproblema.

3.Reflexionenyregistrensusconclusiones.Guíenseporlaspreguntas.

a. ¿Quéharíanparacontribuiraquesusestudiantesresuelvanesteproblema?

b. ¿Cómodiseñaríansuclaseparagenerarespaciosnuevosquepermitanexplorardife-rentesformasderesolucióndeestetipodeproblemas?

c. ¿Enquéotrocontenidodelasmatemáticasvaaserútilesteconceptodepotenciación?

d. ¿Enquétipodeproblemassepuedepresentarlapotenciación?

e. ¿Quéventajasobservanustedesenestaformadetrabajarconlosestudiantes?

2.Respondan:¿Encuentranustedesalgúnerrorenlaformaderesolverelproblema?¿Cuál?

3.Resuelvan:sielcultivoenunlaboratoriocomienzaconunabacteria,¿cuántasbacteriastendráelcultivoenseishoras?

Actividadengrupo:Análisisdeproblemasyreflexióndidáctica

Elinstructorlepediráaunadelasparejasqueexpongasusconclusiones.

Actividadplenaria

Cuandoelinstructorselossolicite,compartansustrabajosconlosdemásparticipantes.

Actividadplenaria

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2.Ensayencómodemostraríanasusestudianteslassiguientespropiedadesdelapotencia-ciónyradicación,atravésdelusodematerialconcreto.

Actividadengrupo:Usodematerialconcreto

Propiedadesdelapotenciaciónyradicación

a.Elproductodepotenciasdelamismabaseesigualalabaseelevadaalasumadelosexponentes.

75•72=7•7•7•7•7•7•7=77

b.Elcocientedepotenciasdelamismabaseesigualalabaseelevadaaladiferenciadelosexpo-nentesdeldividendomenoseldivisor.

54:53=54-3=51=5

c.Unaconsecuenciadelapropiedadanterioreselexponentecero.

70=493/493=(72)3/(72)3=76/76=76-6=70;pero493/493=1;porloque70=1

d.Potenciadeunapotencia:enestecasoseescribelamismabaseysemultiplicanlosexponentes.

(a3)2=a3•2=a6

e.Potenciadeunaraízoviceversa:enestecaso,elíndicedelaraízdividealexponente.

b6=b6/2=b3;pongamosunejemplo:

26=26/2=23=8.

Otramaneraes:26=64=8

Cuandoelinstructorlosolicite,compartansustrabajosconlosdemásparticipantes.

Cuandoelinstructorloindique,intervenganconsusanálisisfrentealoplanteado.

1.Exponga,porescrito,sucriteriosobreelsiguienteprocedimiento:

Actividadplenaria

Actividadplenaria

Actividadindividual:Análisis

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=

Paralapróximasesión,traigalasfacturasdeenergíaeléctricadesuresidenciadelosúltimosseismeses.

Tareaindividual:Facturaseléctricas

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Proporcionalidad: datosestadísticos y representacionesen el plano cartesiano

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• Reconocerlasventajasdetrabajarproporcio-nalidadapartirdeunatabladedatosygráfi-casenelplanocartesiano.

• Aprenderareconocereltipoderelacioneslla-madasproporcionalidaddirectaoinversa,apartirdeacontecimientoscotidianos.

• Aplicar algunas propiedades de las propor-ciones.

• Utilizar laproporcionalidaden la solución yelaboracióndeproblemas.

• Lafraccióncomorazón.

• Conceptodeproporcionalidad.

• Proporcionalidaddirecta.

• Proporcionalidadinversa.


1.Leanlosiguiente:

Actividadenparejas:Conceptoderazón

UNIDAD 4 Proporcionalidad

Lectura:Lafraccióncomorazón

EnlaEscuela“Francisco”haycuatrogruposdeprimeraño.Enlasección“A”haysietehombresysietemujeres;enlasección“B”,treintahombresyveinticincomujeres;enlasección“C”,veintehombresydiecinuevemujeres,yenlasección“D”,dieciochohombresyquincemujeres.Alpresentarelexamendematemáticas,enlasección“A”reprobarontreshombresycuatromujeres;enlasección“B”,seishombresyseismujeres;enlasección“C”,ochohombresysietemujeres,yenlasección“D”,treshombresydosmujeres.

En este capítulo sepuede verificar conmayor claridad la transversalidad de los conceptos a través de los diferentes sistemas,queayudaránaentenderlasmatemáticascomountodocohe-rente,enlugardeunacoleccióndetécnicasaisladasydereglasarbitrarias.

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2.Apuntenlainformaciónqueserequiereenelsiguientecuadro.

Grupo Númerodeestudiantes Númerodereprobados Partedeestudiantesreprobados

A

B

C

D

HombresMujeresTotal HombresMujeresTotal HombresMujeresTotal

3.Conteste:

a.¿Quégrupotienemásestudiantes?

b.¿Quéparalelotienemenosestudiantes?

c.¿Enquégruporeprobaronmásestudiantes?

d.¿Encuálreprobaronmenosestudiantes?

e.¿Enquéparaleloesmáselevadoelíndicedereprobación?

f.Delosgrupos“A”y“C”,¿cuáltienemayoríndicedeaprobación?

g.¿Quépartedeltotaldeestudiantesdelosgrupos“B”y“D”reprobaron?

h.Del total de estudiantes del grado, ¿cuál es el índice de aprobación de hombres ymujeres?

i.Enlasfraccionesanteriores,¿quérepresentaelnumerador?

j.¿Quérepresentaeldenominador?

k.Representeneltotaldereprobadosencadacírculo:

Grupo“A” Grupo“B” Grupo“C” Grupo“D”

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l.¿Quéesunarazón?

Actividadindividual:Razonesenlavidacotidiana

Actividadindividual:Razonesyfracciones

1.Resuelvaelsiguienteplanteamiento:

Enlasinstruccionesdelusodeunsuavizantederopaseindicaquecada8medidasdeaguahayqueusar2medidasdelproducto.¿Cuántasmedidasdelsuavizantesenecesitaránparamezclarlascon24medidasdeagua?

Ladivisiónindicadaquerepresentelarazóndelacantidaddeaguaalacantidaddesuavi-zantees:

Cantidaddeagua 8Cantidaddesuavizante 2

Paradeterminareldatorequeridodebeencontrarelnúmeroporelcualdividirálas24paraobtenerelmismocociente.

Cuandodosrazonestienenelmismocociente,laspuedeigualardandolugaraunaproporciónquesimbólicamenteserepresentanasí: a/b=c/d,seleeaesabcomocesad.

Todafracciónesunarazón,peronotodarazónesunafracción.

1.Lealosiguiente:

2.Contestelaspreguntas:

a.¿Quécomentariospuedehaceracercadelafraseanterior?

b.¿Cómojustificaesoscomentarios?

Realicensuscomentariossobrelasdosactividadesrevisadas.

Actividadplenaria

Difundansuconceptoderazónconsuscompañerosyconstruyanunconceptoentretodos.

Actividadplenaria

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1. Paralastresactividadessiguientes,formengruposdetrespersonas.

2. Considerencincorectángulosde3cmdebaseyalturasdiferentesyluego:

a. Determineneláreadecadaunoenunidadescuadradas.

b. Elaborenunatabladedatosenqueseasignenalvalordelasabscisaslaalturadelrectánguloyalasordenadaselárea.

c. Grafiquenenunplanocartesianolasdosmagnitudes:laalturadelrectánguloyelárea.

d. Indiquensilasmagnitudesestáncorrelacionadas,sisondirectamenteproporcionalesoningunadelasdos.

e. ¿Porquépodemosasegurarqueelladodeunrectánguloyeláreacorrespondienteestándirectamentecorrelacionados?

f. ¿Podemosafirmarqueexisteproporcionalidaddirectaentrelasdosmagnitudes?

g. ¿Dequétipoeslagráficadeunaproporcióndirecta?

h. Siconocencuáleslarelaciónqueexisteentrelafórmuladeláreadeunrectánguloyelresultadodelagráfica,menciónela.

3. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenlaalinstructor.

1. Reunanlasfacturasdeenergíaeléctricadesuresidenciadelosúltimosseismeses.

2. Ubiquenordenadamente,enunatabla,losdatosdeenergíaconsumidadadaenKWporhoraenrelaciónconelvalorfacturado(antesdeimpuestos).

3. Conunplanocartesiano,grafiquenestosdatosydeterminen: a.¿Cuáleslarazónentrelasdosmagnitudes? b.¿Essiemprelamisma? c.¿Quérepresentaestarazón?

4. Encuentranalgunarelaciónentreelconceptoderazónyotroconceptoqueseráanalizadoenlasecundaria?¿Cuál?

5. Escribansusrespuestasenunahojayentréguenselaalinstructor.

Actividadengrupo:Proporcionalidaddirecta

Actividadengrupo:Proporcionalidadenlavidacotidiana

Discutansusrespuestasconlosdemásdocentes.

Actividadplenaria

Cuandoelcocienteentredosmagnitudesesconstante,decimosquelasmagni-tudessondirectamente proporcionales.Estecocientesedenominaconstante de proporcionalidad.

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1. Encuentrencincoejemplosdiferentesderectángulosquetenganlamismaárea.

2. Registren,enunatabla,elanchoyellargodecadaunodeellos.

3. ¿Quésucedeconellargocuandoelanchoaumenta?

4. ¿Podemosafirmarquesonmagnitudesinversamentecorrelacionadas?¿Porqué?

5. ¿Podemosasegurartambiénquesoninversamenteproporcionales?¿Porqué?

6. ¿Cuáleselhechoqueratificalaproporcionalidadenelcasodedosmagnitudesinversas?

7. Revisenlosconceptosenunaactividadplenariaconelinstructor.

8. Entreguenunahojaconsusrespuestasalinstructor.

Actividadengrupo:Proporcionalidadinversa

Ungruposeleccionadoporelinstructorpresentaráalrestodelaclaselaprimeraactividad;otrogrupo,lasegundaylatercera.

Luego,conayudadelinstructor,obtendránconclusionesrespectodeloplanteado.

Actividadplenaria

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Equivalencias geométricas14SESIÓN14Duración:2horas

• AprenderquelademostracióndelteoremadePitágorassepuedehacerutilizandodiferentesfiguras.

• TeoremadePitágoras.

• TeoremadePitágorasgeneralizado.

• Rompecabezaspitagóricos.


Actividadenparejas:TeoremadePitágoras

Seguramente,todossabendequéhablamossisenombraelteoremadePitágoras.Elsiguien-teejerciciolosayudaráarefrescarsuconocimientosobreeltema.

1.Enparejas,realicenlalecturasobreelteoremadePitágoras.

Parauntriángulorectángulo,cuyoscatetosllamaremosaybycuyahipotenusadenomi-naremosh,elteoremadePitágorasindicaque:

Elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadeloscuadradosdeloscatetos;esdecir:h2=a2+b2

Paraunamentalidadalgebraicacomolaactualmenteimperanteenlasmatemáticassuinterpretaciónesclara:enuntriángulorectánguloloquemidelahipotenusaelevadoalcuadradoessiempreigualquelasumadeloscatetoselevadosalcuadrado.

Sinembargo,paraunestudiantedematemáticasdelaGreciaClásica,lainterpretacióndea2noeraladeelnúmeroaelevadoalcuadrado,sinoqueeraladeláreadeuncua-dradodeladoaa2porloquelainterpretacióndelteoremadePitágorasparaunantiguohelenosería:“Enun triángulorectángulosiempreseverificaqueeláreadelcuadradoconstruidosobrelahipotenusaesigualalasumadelasáreasdeloscuadradosconstrui-dossobreloscatetos”.


a.¿CreenqueelteoremadePitágorasfuedemostradoensutiempoenlaformaalge-braicacomoloconocemosahora?¿Porqué?

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Actividadengrupo:TeoremadePitágoras

b.ComparelainterpretacióndelaGreciaClásicadelteoremadePitágorasconlaactual.¿Enquéfavorecealpensamientomatemático?

c. ¿Quéconclusionespuedensacarsobrelaevolucióndelasmatemáticasenlahistoriadelahumanidad?

d. Compareelpensamientodeesaépocadelahumanidadconeldenuestrosniños.

Actividadplenaria

Elinstructorlepreguntaráaalgunasdelasparejassusrespuestasalaspreguntasparadiscutirlasenelgrupo.


2.Leanelsiguientetexto:

Apartir de la interpretacióngeométricadel teoremadePitágoras,podríamospreguntarquéocurriríasienvezdeconstruircuadrados(polígonoregulardecuatrolados)sobreloscatetosylahipotenusadeltriángulorectángulohubiéramosconstruidotriángulosequiláteros(polígonoregularde tres lados). ¿Seguirá siendo ciertoqueel áreadel triánguloequilátero construidosobrelahipotenusadeuntriángulorectánguloessiempreigualalasumadelasáreasdelostriángulosequiláterosconstruidossobreloscatetosdeltriángulorectángulo?

Laspreguntasacontinuación,entonces,seríaconsecuentes:¿quéocurriríasiconstruyásemospentágonos regulares (polígonoregulardecinco lados) sobre loscatetosy lahipotenusadeltriángulorectángulo?¿Seguirásiendociertoqueeláreadelpentágonoregularconstruidosobrelahipotenusadeuntriángulorectánguloessiempreigualalasumadelasáreasdelospentá-gonosregularesconstruidossobreloscatetosdeltriángulorectángulo?

EstasinterrogantesnosllevanalteoremadePitágorasgeneralizado.

Sienlugardeconstruiruncuadrado,sobrecadaunodelosladosdeuntriángulorectángulo,seelaboraotrafigura,¿seguirásiendociertoqueeláreadelafiguraconstruidasobrelahipotenusaesigualalasumadelasáreasdelasfigurassemejantesconformadassobreloscatetos?

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Acontinuación,sepresentanalgunasdemostracionesvisualesdelteoremadePitágorasenformaderompecabezas.Entodosellas,laspiezasenlasquesehadivididoloscuadradosconstruidossobreloscatetoscompletanelcuadradoconstruidosobrelahipotenusa.

Lassiguientesdiseccionessonválidasparacualquiertriángulorectángulo.


2.Concartulina,formencualquieradelosrompecabezasmostradosacontinuación:

Debatanconlosdemássobrelasrespuestasplanteadasduranteeltrabajoengrupo.

Actividadengrupo:Rompecabezaspitagóricos

Actividadplenaria

3. Compruebenmatemáticamente,conlatercerafigura,siloexpuestoeneltextoesposible.

4. Expliquen,demaneraargumentada,surespuestaalapreguntaanterior.


6. EscojanunodelospolígonosyapliquenelteoremadePitágorasparacomprobarlodemane-ragráfica.Paraesto,recortenpiezasconlasfigurasqueconformanelpolígonoseleccionado.Cuandoesténsegurosdesurespuestayqueconfirmasuanteriorexplicación,péguenlasenunpapelógrafo.

7. Cuélguenloenlasparedesdelaclaseparaquetodoslovean.

Losrompecabezasquesiguensólosonválidosenelcasodequeeltriángulorectánguloini-cialseaelqueseindica.

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3.Unavezconcluidalaactividad,acérquesealosotrosgruposparaquearmenloscuatrorompecabezasqueestánenlasdiferentesmesas.

4.Escribanlosnombresdelosmiembrosdelgrupoenelrompecabezasyentréguenselosalinstructor.

1.Respondanlosiguiente:

a.Quécondicióndebencumplirdossegmentosparaquesurazónsea: k=3 k=1 k=1/2

b. Si dos razones son iguales, ¿significa que los segmentos tienen las mismasdimensiones?

c.Grafiquecuatrosegmentosquecumplanconlassiguientescondiciones: c1:LarazónentrelossegmentosCDyEFesk=4/5 c2:LarazónentrelossegmentosGHyJLesk=4/5 c3:LarazónentrelossegmentosEFyMNesk=1

2.Escribansusrespuestasenunahojayentréguenlaalinstructor.

Actividadenparejas:Razonesdesegmentos

Actividadenparejas:Segmentosproporcionales

1. Calculenlasrazonesdeloscuatrosegmentosacontinuación:

CD=2cm;EF=6yGH=3;JL=9

2. ¿Quéinterpretansegúnlosresultadosobtenidos?

3. ¿Cómoseconocealossegmentosquecumplenconlacaracterísticadelliteraladeac-tividad1?


Triángulorectánguloisósceles Triángulo3,4,5

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4Actividadplenaria

Suinstructorlepediráaungrupoqueexpongaelteoremaparadebatiracercadelconceptoproporcionado.

Actividadplenaria

Discutan,conlosdemásparticipantes,susrespuestasalasdosactividadesanteriores.

1.Reúnanseengruposdecuatroparticipantesyobservenelgráficodescrito,asícomolasproporcionalidadesrespectivasquesecumplenbasadasenelteoremadeThales.

2.Apartirdeloobservado,deuzcanelconceptodelteoremadeThales.3.Escríbanloensucuadernodeanotaciones.

Actividadengrupo:TeoremadeThales

• AB/BC=DE/EF=GH/HI• FI/EH=EH/FIóFI/CF=EH/EB=DG/DA• OI/OG=FI/DG=CI/AG

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Regla de tres15SESIÓN15Duración:2horas

• Reflexionarsobrelaimportanciadeutilizarconceptosmatemáticospararesolverproblemasdelavidacotidiana.

• Aplicarlaproporcionalidadenlosproblemasqueameritanlaaplicacióndelaregladetres.

• Regladetressimple:directaeinversa.

• Regladetrescompuesta:directa,inversaymixta.


1.Formengruposdecuatrodocentes.

2.Realicenlosiguiente:

a.Tomenunresorteydosdiferentesobjetosquehayansidopreviamentepesados.

b. Cuelguen el de menor peso de un extremo del resorte y midan el alargamientoprovocado.

c.Relacionenelpesodelprimerobjetoconelalargamiento.

d.Pregúntense:sielsegundoobjetopesamás,¿elalargamientoqueprovocaráenelre-sorteserámayoromenorqueelanterior?

e.¿Cuántomás?

f.Sustentensurespuestaenformaanalítica.

g.Anótenlasensuscuadernos.

h.Participenenlaplenariasobreeltema.

1.Leaneltextoqueconstaacontinuación:

Actividadengrupo:Regladetressimple(directa)

Actividadengrupo:Regladetressimple(inversa)

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2.Compárenloconsusrespuestasalaactividadanterior.

Laregladetressimplerelacionatresmagnitudes

paraobtenerunacuarta.

Siemprelosdatosquecorrespondenalamismamagnituddebenquedarenlamismaco-lumna:$sobre$,kgsobrekg,horassobrehoras,obrerossobreobreros,etc.

Ejemplos:

a.Si12naranjascuestan$72,¿cuálseráelpreciode20naranjas? •Larelaciónentre12y72determinarálarelaciónentre20yelvalordesconocido.

b.Si6obrerostardan12díasenrealizaruntrabajo,¿cuántotardarán8obreros?

•Larelaciónentre6y12nospermitiráaveriguarlarelaciónentre8yelvalordesconocido.

Pero¡cuidado!...Vuelvaaleerlosdosejemplos.Notequeambosseparecen,peronosoniguales;esmás,unotieneuningredienteopuestoaldelotro.

En el primer caso:

Másnaranjascuestanmásdinero.Menosnaranjascuestanmenosdinero.

Amás corresponde más, a menos corresponde menos Sondirectamenteproporcionales.

Esteproblemaseresolveráaplicandolaregla de tres simple directa.

Naranjas $ 12 72 20 x dondex=72•20 12

En el segundo caso:

Másobrerostardaránmenostiempo.Menosobrerostardaránmástiempo.

Amás corresponde menos, a menos corresponde másSoninversamenteproporcionales.

Elproblemaseresolveráatravésdelaregla de tres simple inversa.

Semultiplicanlosvaloresqueestánenladiagonalquenocontieneaxysedivideeseresultadoporelvalorqueestáenladiagonalquecontienealaincognita.

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Obreros días 6 12 8 x dondex=12•6 8

Esdecirquesemultiplicanentresílosdosvaloresdelaprimeralíneahorizontalquenocontieneaxysedivideelresultadoporelvalordelasegundalíneahorizontalqueimplicaalaincognita.

1.Analicenloscasosdelasiguientelistaydeterminensisonmagnitudesdirectasoinversa-menteproporcionalesentresí.EscribasobrelalíneaMDoIPsegúncorresponda.

• Elcostodeunamercaderíaylaantidaddelamisma.

• Elsueldodeunobreroyeltiempodesutrabajo.

• Ellargoyelanchoderectángulosdeigualárea.

• Eltiempoempleadoyeltrabajorealizado.

• Lavelocidaddeunautoyeltiemponecesariopararecorrerunadistancia.

• Elnúmerodeobrerosyeltrabajorealizado.

• Elpesodecuerposdelmismomaterialyelvolumenocupadoporlosmismos.

• Eltiempoempleadoenhaceruntrabajoylacantidaddeobreros.

• Ladistanciarecorridaporunautoyeltiempoempleado.

Actividadenparejas:Magnitudesdirectasoinversas

Elinstructorsolicitaráacadapersonasusrespuestas,paraque,desernecesario,lascorrijan.

El instructor solicitará a algunos grupos que presenten las actividades a los otros partici-pantes,parasometerlasluegoadiscusión.

Actividadplenaria

Actividadplenaria

1.Leanelplanteamientoydesarrollodelossiguientesproblemas.

2.Escribancomentariosalrespectoensucuaderno.

Primero:Se compraron 8 paquetes de materia prima de 150 kg, cada uno. En total se pagó $ 480. ¿Cuánto costarán 20 paquetes de 80 kg, cada uno?

Actividadenparejas:Regladetrescompuesta

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Pero,¿existelaregladetresentrecinco,siete,nueveomásmagnitudes?Porsupuestoqueno.Entalescasosdeberíallamarse“regladecinco”,“regladesiete”,etc.Enrealidadsonvariasreglasdetressimpleaplicadassucesivamente.Ycadaunadeéstaspuedeserdirectaoinversa,conloquelasoperacionesdeproductoococientedependerándeeso.

Análisis:8paquetescostaránmenosque20ylosde150kg,costaránmásquelosde80kg.Sisefijanconcuidado,ambasrelacionessondirectamenteproporcionales(acantidad,mayorseráelcosto).

Varias reglas de tres simple directas y sucesivas formarán una regla de tres compuesta directa. 8 480 20 x

x=480•20 8Nuevamente: 150

80 y

y=480•20•80 8•150

Enlaregladetrescompuestaintervienenmásdetresmagnitudesovaloresylarelaciónestablecidaentrelasconocidaspermiteobtenerunadesconocida.

Ejemplos:

a. Un automovilista sabe que para cubrir cierta distancia en 10 días, a razón de 12 horas diarias de marcha, debe andar un promedio de 42 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad deberá ir para realizar ese mismo trayecto en 8 días, viajando 9 horas diarias?

Análisis:Paracubrirel trayectoenmenosdíasdeberáviajaramásvelocidadysiviajamáshoraspordíapodráhacerloamenorvelocidad.Ambasrelacionessoninversamenteproporcionales.

Variasreglasdetressimpleinversasysucesivasformaránunaregla de tres compuesta inversa.

Lasdosreglasdetressimpleinversasserían:

10 42 8 x

x=42•10 8

Nuevamente:12

9 y

y=42•10•12 8•9

480•208

42•108

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OBSERVACIÓNIMPORTANTE:

Cadadatodirectamenteproporcionalquedaráenelnumerador.Cadadato inversamenteproporcionalquedaráeneldenominador.

b. El dueño de una tejeduría ha calculado que para elaborar 630 m de tela, 8 operarios tar-dan 7 días. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan sólo 6), ¿cuántos días tardarán para hacer 810 m de tela?

Paratejermástelatardaránmásdías(relacióndirecta),peromenosobrerosdemoraránmásdías(relacióninversa).Es,portanto,unaregla de tres compuesta mixta.

Variasreglasdetressimplesucesivas,unasdirectasyotrasinversas,formaránunaregla de tres compuesta mixta.

Ladossucesivasreglasdetressimpleserían:

630 7 810 x

x=7•810 630

Luego: 8

6 y

y=7•810•8 630•6

Cuandoelinstructorlorequiera,comentenconlosdemásdocentesacercadecómolesre-sultamásfáciltrabajar:condosreglasdetressimplesoconunaregladetrescompuesta.

Actividadplenaria

7•810630

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Porcentaje e interés16SESIÓN16Duración:2horas

• Reflexionaracercadelaimportanciadetra-bajarcontemasdelavidacotidiana.

• Aplicarlaproporcionalidadenlosproblemassobreporcentajeeinterés.

• Losporcentajesenlavidacotidiana.

• Fraccionesdecimales.

• Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales.

• Eltangramylosporcentajes.

• Interés.


1.LeaelartículoLa crisis internacional y su gestión global.

Actividadindividual:Losporcentajesenlavidacotidiana

Respectoalcomerciointernacional,elBancoMundialylaOrganizaciónparalaCooperaciónyelDesarrolloEconómicos (OCDE)prevén–31demarzode2009–unacaída“sinprecedentes”de6,1%delvolumendelcomerciomundialdebienesyserviciosen2009,impactadosobretodoporunacontracciónaúnmásdrásticadelosintercambiosdeproductosmanufacturados.Asuvez,laOrganizacióndePaísesExportadoresdePetróleo(OPEP)considera–14deabrilde2009–quelademandamundialdecrudosereduciráen1,6%paraesteaño2009.Otrocapítuloaparteeselimpactoenlascuentaspúblicasdelospaísesindustrializados.

Elporcentajeesunadelasexpresionesmatemáticasquemásusamosenlavidacotidiana.Porotraparte,lainformaciónqueapareceenlosmediosdecomunicaciónestárepletadedatosexpresadosenporcentajes.Porejemplo:“Rebajasdel10%entodoslosartículosdelhogar”o“Lademandamundialdecrudosereduciráen1,6%paraesteaño2009”.

Unporcentajeeslaproporcióndeunacantidadrespectodeotrayrepresentaelnúmerodepartesquenosinteresandeuntotalde100.

Lectura:Lacrisisinternacionalysugestiónglobal

Alfredo Acosta, profesoreinvestigadordelaFLACSO Alfredo Serrano, profesorvisitantedelaFLACSO

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Despuésdehaberabogadoporeldogmadelequilibriopresupuestario–tantoenlaUniónEuropeaconsuPactodeEstabilidadyenlosEstadosUnidos–,lamayoríadelospaíseshanincumplidosuspropiascondicionesimpuestas,quesonlasmismasquehanexigidoalamayoríadelospaísesmáspobresalahoradeconcederlespréstamos.EstadosUnidospuedeterminarsuañocon1,5billonesdedólaresdedéficit,equivalenteal12%delPIB.EuropatambiénrompeloslímitesestablecidosenelcitadoPactodeEstabilidad(del3%comomáximo),dondeeldéficitpúblicosetriplicóconrelacióna2007.ElpaísconmásdéficitdelazonadeleuroesIrlanda(7,1%delPIB),seguidodeGrecia(5%)yMalta(4,7%),mientrasqueEspaña,conundéficitdel3,4%(elGobiernohaelevadoyaestacifraal3,8%)sesitúaenelcuartolugar.EnelconjuntodelaUniónEuropea,elsaldopresupues-tariotambiénempeorósignificativamente,yaquepasódel0,8%al2,3%delPIB.SegúnlosdatosdifundidosporEu-rostat,laoficinaestadísticacomunitaria,tambiéncambiólatendenciadecorreccióndeladeudapública,quepasódel66%al69,3%delPIB.

Eldesempleoesotravariablequetambiénhasufridounfuertedescalabroen lospaíses industrializados.EnEsta-dosUnidosllegóal8,5%enelmesdemarzo.EnlospaísesdelaOCDEfuedel7,3%,mientrasqueenlazonaeuroalcanzóel8,5%.Franciatuvoenfebreropasadoel8,6%.ElcasomásllamativoesEspaña,conun15,5%enlatasade desempleo dandomuestras de la sensibilidad de sutejidolaboralalosvaivenesdelPIB,másaúncuandosetratadeunmodeloproductivoquehacrecidoenbaseaunaburbujainmobiliariaqueahorasehadeshinchado.

Recordemos que un porcentaje no es otra cosa que una fracción de denominador 100, que se escribe de otra manera. Enlosdiariospodemosleer:“Lainflacióncrecióen0,3%enelmesquetermina”,“Enlaligadefútbol,el35%delospartidosterminaenempate”,“AmericanAirLinesplanteare-cortessalarialesdel15%parasalvarsuempresa”,“LaUNESCOcomprobóquequedansolo2,7%delapoblaciónsinsaberleeryescribir”.

Comove,noticiasrelacionadascontrabajo,economía,deportes,política,educación,etc.,utilizanlosporcentajes.

Fíjeseenestafrase:“ElimpuestodelIVAesdel12%”,significaqueporcada$100decomprasenartículosquepaganesteimpuestodeberápagaradicionalmente$12.SiunartículocargadoconIVAcuestaentotal$10;estoquieredecirqueelimpuestocausadoserá$1.20.Sicomprauntelevisorquecuesta$5000,tendráquepagar$600porelIVA.

Unadelasventajasdeutilizarlosporcentajeseslafacilidaddecompararlos:enlugardedecir“los13/20”o“los16/25”,“el65%”o“el64%”.Asífácilmentesepuededarcuentaquelaprimarafracciónesmayorquelasegunda.

Cuandodigo1/2olamitadde...,estoytratandodeencontrarcuántovaleunapartedelacantidadquemehandadosiladividoendospartesiguales.Porejemplo:el1/2de40esiguala20;el1/5de18es3,6.

2.Deacuerdoconeltextoanterior,escribasuscomentariossobre: a.¿Cuáleselusoqueseledaalosporcentajeseneltexto? b.¿Enquéotroscontextossepresentanlosporcentajes? c.¿QuémanejoseledanalosporcentajesenlaEducaciónGeneralBásica?

3. Leaeltextoacontinuación.

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Cuandoelinstructorlosolicite,expongansuscriteriossobrelaslecturasprecedentes.

NOTAIMPORTANTE:Cuandocomparadoscantidadesdeunamagnitud,estáusandolasfraccionescomorazones.

Así,cuandodicequelaproporciónentrehombresymujeresenelinstitutoesde3a2respectivamente,estádiciendoqueporcada3chicoshay2chicas;esdecirquedecadacincoestudiantes,3sonchicosy2sonchicas.

Uncasoparticulardeaplicacióndelas fraccionescomo razónsonlosporcen-tajes,yaqueéstos indican larelacióndeproporcionalidadqueseestableceentreunnúmeroy100(tantoporciento),unnúmeroymil(tantopormil)ounnúmeroyuno(tantoporuno).

1.Conelgraduadorcircular,marquenunaescaladel0al100,enquelos90ºequivalgana25unidades,180ºa50,270ºa75y360ºa100unidades.

2.Notenquealtomarlacircunferenciacomounidadsepuedefraccionaren100/100(ciencentésimas),queequivalena1,00.

1.Formengruposdetrespersonasypiensenenlosiguiente:

a.¿Quésignificalaexpresión.“El50%delasfichasdeunjuegodeajedrezsonblancas”.

b.¿Cómoexpresaríanconelsímbolo%laexpresión.“EnelconciertodeJuanLuisGuerradecada100asistentes,57eranmujeres”.

Actividadenparejas:Fraccionesdecimales

Actividadplenaria

Actividadengrupo:¿Quésignificaeltantoporcientode...?

Tomandocomoejemplo1/2decircunferenciaveanque1/2equivalea50/100yésto,asuvez,correspondea0,50.

1/2esiguala0,5yselee“cincodécimas”.

Que1/2esigualque0,50yselee“cincuentacentésimas”.

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2.Conde lasplantillasde fracciones, formencantidadesdadasenporcentaje,comoporejemplo25%,50%,100%.

3.Representen,conlasplantillasdefracciones,lossiguientesporcentajes:33,33%,66,66%,25%,75%.

4.LeaneltextoRelación entre porcentajes, fracciones y decimales.

5.Escribanensuscuadernoquéconclusionesinteresantesobtuvierondeltexto.

Lectura:Relaciónentreporcentajes,fraccionesydecimales

Cuandodigo1/2olamitadde...,estoytratandodeencontrarcuántovaleunapartedelacan-tidadquemehandadosiladividoendospartesiguales.

Porejemplo:el1/2de40esiguala20;el1/5de18es3.6.

Siemprequedeseoencontrar1/2,1/3,1/4,…,etc.,deunacantidad,bastadividirdichacanti-dadpor:2,3,4,…,etc.

Elcálculo mental debeserunaconstanteentodaslasclasesdematemáticas;estoayudaráadesarrollarlaagilidadmentalyelrazonamientoenlosestudiantes.

Esperamosqueestoayudealosniñosacomprenderlasfraccionesylosporcentajes.

CálculomentalEl10%de200= El5%de500=El20%de35= El25%de32=El50%de6= El331/3%de12=

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Actividadenparejas:Construccióndeuntangram

¿Quéesuntangram?

Esunjuegochinoquetienemuchísimosañosdehabersidoinventado.Setratadeuncuadra-dodivididoencincotriángulos isóscelesdedistintos tamaños,uncuadradopequeñoyunparalelogramo.Elcuadradooriginalsehadivididoensietepiezas,quepuedenserubicadasendiferentes formasparaobtener distintas figuras, ya seadepersonas, animales, letras,cosas,etc.

Procedimiento:

1. Dibujenuncuadradode20cmdelado.

2. DenominenA,B,CyDacadavérticedelcuadrado,ensentidoantihorario,comenzandoporelvérticeinferiorizquierdo.

3.Marquenelpuntomediodecadalado.

4. Nombrenlospuntosmedios:E,F,G,H.ComiencenporelladoABensentidoantihorario.

5. TracenladiagonalAC.

6. DibujenelsegmentoEF.

7. TracenladiagonalDBhastalaintersecciónconelsegmentoEF.

8. RealicenelsegmentoEHhastalaintersecciónconladiagolnalAC.

9.Marquen el puntode interseccióndel segmento FG con ladiagonalAC.No tracen elsegmento.

10.UnanesteúltimopuntoconeldelainterseccióndeladiagonalDByelsegmentoEF.

1.Encuentrenquépartedelcuadradooriginalescadaunadelasfiguras.

TriángulograndeTriángulomedianoTriángulopequeñoCuadradoParalelogramo

# Figura Partedelcuadradooriginal

1.Expongansusideasantelosdemásdocentes.

2.Sinoformanpartedelgrupoqueexpone,realicepreguntasparadebatir,como:

a.¿Quérelaciónexisteentrelosdecimales,lasfraccionesylosporcentajes?

b.¿Cómoharíaustedparaexplicarleestarelaciónasusestudiantes?

Actividadplenaria

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Actividadindividual:Aplicacióndelaregladetresydelcálculodeinterés

1.Analicelasiguientesituación:

Unbancoparticularprestadineroycadames,exigequeporcada$100prestadosselepaguedeinterés$2,50.

a.¿Cuántodeberíaustedpagarentotalporunpréstamode$100enunmes? b.¿Cuántodeberíaustedpagarentotalporunpréstamode$1000enunmes?

2.Observeelcasoacontinuación:

Debidoaqueporcada$100debedevolver$2,50adicionalesenunmes,entoncestienequedevolver$102,50.

Enelcasodelpréstamode$1000,calculecuántosgruposde$100estáncontenidosenlos$1000…larespuestaes10grupos;porlotanto,siporcada100personasdebendevolver$2,50;almultiplicar10por$2,50seobtieneunvalorde$25porconceptode intereses.Debepuessumarlos$1000ylos$25.Así,eltotalapagares$1025.

1.Leanlosiguiente:

¿Cuáleselvalordelos3/8de40?Estoeslomismoque3/8=?/40.Notequesehaquintuplicadoelvalordel8paraobtener40;entonces:

3/8=15/40,porloqueelvalorbuscadoes15.

Recuerdelapropiedad:

2. Reúnanse enparejas y respondan las diferentes preguntasbasadas en el conceptodeporcentaje:

a.¿Dequénúmero15esel37,5%? b.Side40tomo15,¿cuántodebocogerde100parahabertomadoelmismoporcentaje? c.Yde8,¿cuántodebotomar? d.¿Quéporcentajees3de8? e.Si3representael37,5%deunnúmero,¿cuáleséste?,etc.

Actividadenparejas:Fraccionesyporcentajes

2.Justifiquensusrespuestas.

3.Recortenlasfigurasycompruebesusaciertos.

4.Anotensusresultadosensucuaderno.

Revisen,conlosdemásdocentes,sustrabajosrealizadosenlaactividadanterior.

Actividadplenaria

Siambostérminosdeunafracciónsemultiplicanodividenporelmismonúmero,elvalordelafracciónno se altera.

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3.¿Cómoexplicaríaloanteriorasusestudiantes?

Losinteresessonelresultadodeaplicarlatasadeinterésalcapital.Estatasadeinterésesunoperadormultiplicativoqueseaplicaaunacantidaddedineroqueseladenominacapital,paraobtenercomoresultadoelprecioportenereldineroduranteuntiempodeterminadodeduración.

Actividadenparejas:Cálculodeinterés

1.Reflexionensobrelosiguiente:

¿Podríamosdecirqueelinterésesuncasodeproporcionalidad?Siesasí,¿selopuederesolverutilizandolaregladetres?

2.Apliquenlocomentadoenelnumeralprecedenteparalaresolucióndelsiguienteproblema.

Lorenarecibeunpréstamode$5000aunatasadeinteréssimpledel12%anual.a. ¿Cuántodebepagarentotalalosseismeses?b. ¿Quéprecaucióndebenteneralrealizarestecálculoencuantoalatasadeinterés?c. Planteenunproblemadeinterésatravésdelqueexpliquensurazonamientoyrespues-tasanterior.

1.Cuandoelinstructorlosolicite,respondanlaspreguntasplanteadasenlaactividadanterior.

2.Expongansupropuestadidácticadeclasesdelaprimeraactividadyelproblemasobreinteresescreadoenlasegundaactividad.

1.Averigüesilosbancoseinstitucionesfinancierascobraninteréssimpleocompuestoycuálesladiferenciaentrelosdos.

2.Reflexionesobrelosiguiente:

¿Quéotraformaconocepararesolverlaproporcionalidadademásdelaregladetres?

Actividadplenaria

Tareaindividual

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Reparto proporcional17SESIÓN17Duración:2horas

• Aplicarlaproporcionalidadenproblemasdelavidareal.

• Lasfraccionesensituacionesdereparto.

• Problemasdeaplicaciónsobrerepartoproporcional.


1.Formengruposdecuatropersonasyresuelvancadaunodelosplanteamientosquesepresentanyregistrelainformaciónqueserequiereenelcuadro.

Reparton.º1

Cuatroniñosserepartierontresbarrasigualesdechocolate.Acadaunoletocólamismacantidad,sinquesobrenada.¿Dequétamañoeranlasbarrasqueserepartieron,siloqueletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación?

Reparton.º2

Enotraocasión,tresniñosserepartieroncuatrobarrasdechocolate.Lapartequeletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación:

¿Dequétamañoeranlasbarrasqueserepartieron?

Actividadengrupo:Lasfraccionesensituacionesdereparto

Converseconelinstructorylosdemásparticipantesacercadecómoresolviólatareayporquélohizodeesaforma.

Actividadplenaria

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Reparton.º3

Unosniñosserepartieronvariasbarrasdechocolate.Acadaunoletocólamismacanti-dadsinquesobraranada.Lasbarrasylaporciónquerecibiócadaniñosoncomolasquesedibujanacontinuación:

¿Cuántosniñoseranycuántasbarritasserepartieron?

Reparton.º4

Armandorepartióentresustreshermanosochobarrasdechocolateynolesobrónada.Lapartequeletocóacadaunoesdeltamañoquesemuestraacontinuación:

¿Dequétamañoeracadabarritadechocolate?

Reparton.º5

Variosniñosserepartieronalgunasbarrasdechocolate.Cadaunorecibió5/3debarra.¿Cuántasbarrasserepartieronycuántosniñoseran?

Barraentera. Porciónqueletocóacadaniño.

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Reparto Númerodebarras

Númerodeniños

Tamañodelabarraentera

Porciónqueletocóacadaniño

Cuadrodesíntesisdelainformación


a. ¿Encuál(es)reparto(s)eltamañodelabarraenteradechocolateesmásgrandequelapartequeletocóacadaniño?

b. ¿Encuálesmáspequeña?

c. ¿Encuál(es)reparto(s)seconocíantresdelosdatosdelproblema?

d. ¿Cuálessonesosdatos?

e. ¿Encuál(es)reparto(s)seconocíansólodosdatosdelproblema?

f. ¿Cuálesson?

g. ¿Hayalgúnproblemaquepuedatenermúltiplesrespuestas?

h. Silarespuestaalanteriorliteralesafirmativa,¿cuálesyporquésucedeeso?

i. ¿Cuálesladiferenciaentreelrepartonúmerocincoylosdemás?

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Comenteconlosdemásparticipantessobre:

1.¿Cuálessonlosrepartosmássencillosycuáleslosmáscomplejos?¿Porqué?

2.¿Conquétipodeactividadesconvieneintroducirelconceptodefracciónenlaeducacióngeneralbásica?

3.¿Quéventajas tienen losestudiantesalmanipularelmaterial concretoalmomentoderealizaractividadesdeestetipo?

1.Observenesteproblema:

Dosnúmerosestánenrelaciónde3a7.Sielmayores119,¿cuáleselmenor?

menor/mayor=3/7=x/119

2.Contestenlasinterrogantes:

a.¿Quérelaciónhayentreelproductodedosnúmerosyunodeellos?

b.¿Quérelaciónguardanlosdosfactoresentresícuandoelproductopermanececonstante?

3.Indiquencuántasvecessehamultiplicadoel7hastaconvertirseen119.El3debeincre-mentarseelmismonúmerodeveces.¿Cuáleselvalordelaincógnita?

4.Relacionenloanteriorconelsiguienteproblemayresuélvanlo:

Dosamigosseasocianparaemprenderunnegocio.Elprimeroaportacon$3500yelsegundocon$28000.¿Enquéproporciónserepartiránlasgananciasolaspérdidasdelnegocio?

5.Entreguensutrabajoalinstructor.

Actividadplenaria

Actividadenparejas:Aplicaciónrealderepartoproporcional

Aestaformaderepartirselaconoceconelnombrederepartimientos propor-cionales directos;porqueamayorcapital,mayorgananciaopérdidasegúnelcaso.

Encambio,cuandosereparteunaherencia,sinquehayauntestamento, laparte que corresponde repartir entre los hijos no puede hacerse en partesiguales,sobretodosihaymenoresdeedad,sinoqueselarepartiráenformainversamenteproporcionalalasedadesdelosbeneficiarios.

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Problemas integradores18SESIÓN18Duración:2horas

• Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndeproblemasqueinvolucrentodosloscontenidos.

• Problemasobreproporciónáurea.

• Problemasobrefondosdereserva.

• Problemasobredesechossólidos.

• Problemassobreporcentajesyfracciones:ensaladadefrutas,representacionesgráficas.

• Micropráctica.


UNIDAD 5 Problemasintegradores

Enestecapítulosepresentanpropuestasdiferentesdeproblemasaplicadosenunavariedaddecontextos,conelfindemotivarlosaencontrarlasconexionesdelasmatemáticasconotrascienciasyáreas.

Estosproblemaspuedenserreplanteadosporusted,detalformaqueseconviertanenproyectosdeinvestigaciónyaplicaciónalaciencia.

Lapropuestayaincluye,enelmarcoteórico,losdatosnecesariospararesolverlosproblemas,peroqueremosqueustedesgenerenunanuevapropuestaque,apartirdelainvestigacióncon-ceptual,permitaalosestudiantesaplicarloscontenidosmatemáticosenelmomentooportuno.

¡Adelante!

1.Formengruposdecuatrodocentesyexponganquématerialsuelenutilizarycómoloapli-caránenlaenseñanzadeoperacionesaritméticasbásicasalosestudiantes

2.Respondan:¿quéotroscontenidospodríaenseñarconestematerial?

Actividadengrupo:Operacionesaritméticasbásicas

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Desarrolloconceptualdelnúmerobase10

Objetivos:

•Utilizarmaterialconcretoparaobservarlasunidades,decenasycentenas.

•Reconocerelconocimientoancestraldelosincasylastécnicasqueutilizabanparacalcularyre-solverproblemas.

Sumasinreagrupación

EnlosprimerosañosdelaEducaciónGeneralBásicaserecomiendaverbalizarlosejercicios,porejemplo:Marthatiene25borregosysuhermanaleregala13borregos.¿CuántosborregostieneMarthaentotal?

25+13=38

Parasolucionaresteproblemautilizandolatoptana nikichik,coloquelasfichasoeltipodemaízquecorrespondanalprimersumando,enestecaso25,delasiguientemanera:5motesenlacolumnadelasunidadesydosmaícesenladelasdecenas.Luego,hagalomismoconelsegun-dotérminodelasuma:3motesenlacolumnadelasunidadesyunmaízenladelasdecenas.Acontinuación,cuentelacantidaddemaícesencadacolumna.Elresultadoserá8motesenelordendelasunidadesy3maíceseneldelasdecenas;esdecir:38.

Sumaconreagrupación

Observeelejemplo:

238+125=363

Enestecaso,seutilizaráelhoyomásgrandepararegistrarlascantidadesquenoentrenenlacolumna.

Característicasdelmaterial

Latoptana nikichik,términokichwaquesignifica“ordenadordenúmeros”,esuncontadordemaderadeformarectangular.Po-seecuatrocolumnasconnuevehoyosporcadauna.Enlapartesuperior tiene un hoyomás grande que los anteriores, deno-minado0.Aquíesdondesecolocarálacantidaddeunidades,decenasounidadesdemilquenoalcanzanacontarseen lacolumnaquelecorresponda.Deestamanera,setransformarán10unidadesporunadecena,10decenasporunacentena,etc.

Paracomenzaraoperarconestatabla,senecesitacontarconvarias fichaspara identificar las unidades,decenas, centenas,etc..Losincas,porsuparte,usabanvariostiposdemaíz,comoelmote y el choclo, o cerealespara reconocer los valoresdecadasumando.

Elordendelascolumnas,dederechaaizquierda,es:

• Laprimeracolumna(colorverde)correspondealasunidades.• Lasegundacolumna(colorazul)indicalasdecenas.• Laterceracolumna(colorrojo)señalalascentenas.• La cuarta columna (color amarillo) pertenece a las unidadesdemil.

U D C UM

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8

Coloque las fichasomaícesque correspondanal primer sumando:8 en la columnade lasunidades,3enladelasdecenasy2enladelascentenas.Hagalomismoconeldelsegundosumando:5maícesenlasunidades,2enlasdecenasy1enlascentenas.Comienceasumarporlasunidades;obtendrá13maíces;9enlacolumnay4quelosubicaráenelhoyomayor.

Paraproseguirconlascifrasqueconstanenlacolumnadelasdecenas,reagrupelasunidadesenunadecena,incluyendolas4quecolocóenelhoyomayor.Éstapasaráaconformarunanuevadecenaen lacolumnacorrespondienteyen lasunidadessobrarán3motes;así,enelpresenteejemplo,quedaránseisdecenasytresunidades.

Luego,cuentecuántosmaícesofichastieneenlascentenas;esdecir,3.

Elresultadofinalserá:tresmotesenlasunidades,seismaícesenlasdecenasytresenlascen-tenas:363.

Restasinreagrupación

Carlostenía9trompos,peroluegodeunjuegoperdió4.¿Cuántostromposlequedaron?

9-4=5

Paraoperarconlatoptana,coloque9motesenlacolumnadelasunidades(minuendo).Luegodesdearribahaciaabajo,quite4motes(sustrayendo).Loquequedaeslarespuesta;enestecaso5(diferencia).

Restaconreagrupación

80-35=45

Ubique8maícesen lacolumnade lasdecenasynocoloqueningúnmoteen lasunidades.Paraquitarlas5unidades,procedadelasiguienteforma:cambie1decenapor10unidadesycolóquelasenlacolumnadelasunidades.Quite5motesy3maíces.Elresultadoes4decenasy5unidades;esdecir,45.

Multiplicación

Lamultiplicaciónesunasumaabreviada.Paramultiplicar4x3enlatoptana,sigaestospasos:

1. Realiceagrupacionesdecuatrosemillasomullosydiga“1vez4,2veces4y3veces4”.Fi-nalmente,agrupeycuenteeltotaldesemillasomullos;enestecasoesiguala12unidades.

2. Delas12unidadesqueobtuvo,cambie10unidadespor1decenaytendrá1decenay2unida-Delas12unidadesqueobtuvo,cambie10unidadespor1decenaytendrá1decenay2unida-des;larespuestaes12.

División

Ladivisiónesunareparticiónenpartesiguales.

a. Paradividir15por3,siganlossiguientespasos:

b. Enlatoptana,representeelnúmerocolocando5motesenlacolumnadelasunidadesyunmaízenlacolumnadelasdecenas.

c.Repartalas5unidadespara3(Juan,PedroyCarmen)deunaenuna.Lesobran2unidades.

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2.Leanlosanexos2y3,queseencuentranalfinaldellibro.

3.Escojanunodelosproblemasplanteadosacontinuaciónenestasesión.

4.Planifiquenunaclasedeacuerdoconladidácticaplanteadaenestelibro.

5.Paradiseñarsuunidad,remítansealanexo7sobreelplandeclase.

1.Ponganenprácticalaclasequeprepararon:ustedesseránlosdocentesysuscompañeroslosestudiantes.

2.Luego,preguntenasuscompañeroscuálescreenquefueronlosobjetivosdelaclase.

3.¿Coincidenesosobjetivosconlossuyos?,¿porqué?

4.Recojanlasimpresionesycomentariosdesuscompañerosydelinstructorsobrelaplani-ficaciónyeldesarrollodesuclase,deacuerdocon lafichadeobservaciónenelaulaproporcionadaenelanexo8.

Actividadengrupo:Construirnuevasclases

Actividadplenaria

Actividadenparejas:Resolucióndeproblemas

PROBLEMA1.Proporciónáurea

Objetivos:

•Conocerlasrelacionesentrelasmatemáticasyelarte.

•Encontrarrelacionesentrenuestrasmedidasyelconceptoestéticodeloarmónico.

Marcoteórico:

EnlapelículaDonald en el país de las Matemáticassededicavariosminutosdelapelículaalarazónáurea.Éstaseencuentraenlaarquitectura,enlanaturalezayelcuerpohumano.

Su origen se remonta a los antiguos griegos, quienes pensabanque el rectángulo áureomostrabalaproporciónmásestética.

Unrectánguloáureosedefinecomounrectángulocuyasdimensionessatisfacenlaecuación:

Longitud/ancho=(longitud+ancho)/longitud

Larazónaúreaestádadapor:

d. Comofalta1unidadparacontinuarrepartiendo,cambienladecenapor10unidades.Ahorapuedenseguirconelreparto.

e. Finalmentecuentenelnúmerodemotesqueletocóacadaniño,estoes5unidades.

f. Investiguecómodebesereltrabajoconlatoptanaennúmerosdecimales.Entréguenlaalinstructor.

Adaptación, tomado de AvilésLópez,LuisMario.Taptana Nikichik.http://www.educarecuador.ec/_upload/Taptana%20nikichil.pdf.Fechadeacceso04-11-2009.

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8

Ennuestropropiocuerpoexistenrelacionesentrelamatemáticaylanaturaleza:

2.Formenparejas.

3.Midanlaslongitudesquesepidenenlatabla.

a.Alturadecadaintegrante(h).

b.Distanciaentrelaplantadelospiesyelombligo(n).

c.Distanciaentrelacimadelcráneoyelombligo(m).

d.Conlosdatosanteriores,completenlatablacomolasiguiente:

Anotensusconclusionesdeacuerdoconlosvaloresobtenidosparah/nyn/m.

4.Busquenlasproporcionesentreesasmedidasydeterminenlasqueseacercanalnúmeroáureo.

5.¿Quécuerpossonmásarmónicos?

DurantelaépocadelRenacimiento,lascomposicionespictóricasdebíanserregidasporlaproporciónáureayartistascomoLeonardoDaVincipintarontodassusobrasbasándoseenestarelación.

6.Contesten:¿quéopinanustedesalrespecto?¿porqué?

7.Realicentresmedicionescomparativasentre:

a.Ellargoyelanchodesumano.

b.Ellargoyanchodesupie.

c.Ellargoyanchodesutronco.

8.Determinenlasproporcionesentreestasmagnitudes.

9. Comparenlasproporcionesobtenidasconlasdelgrupoqueestátrabajandojuntoaustedes.

nh m h/n n/m

Cuadrodeconcentracióndelainformación

(1+5)/2=8/5=1,61818181....

Amenudosesimbolizaporlaletragriegaπ(Pi).

Película:Donald en el país de las Matemáticas

1.ObservarenelfilmeDonald en el país de las Matemáticas.

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10.Verifiquencuálrespuestaseajustamásalarazónáurea.

11.Busquenhojasdeárboles,frutasoanimalespequeñosyencuentrenlarelaciónentresuanchoylargoydescubranlaproporciónáurea.

12.Dividansuestaturaentrelaalturaalaqueseencuentrasuombligo.Encuentrenelpro-mediodelgrupoenlaclase.¿Aquévalorseaproximaestepromedio?

13.Creentresactividadesnuevasparasusestudiantesapartirdelconceptoderazónáurea.

PROBLEMA2.Fondosdereserva

Objetivos:

•Aplicarelconceptomatemáticodeporcentajeenelcontextoactual.

Marcoteórico:

Retrasarelcomienzodelosdepósitosparalosfondosdereservatieneunmarcadoefectoenlacantidaddedineroqueunindividuoacumulahastalos65añosdeedad.

1.Resuelvanelsiguienteproblema:

Laura empezó a ahorrar a los 20 años. Ahorró $2000 en su fondo de reserva cadaaño desde los 21 años de edad hasta los 30. Después de esta edad no hizo máscontribuciones.

Sara,encambio,esperéhastalos30añosdeedadparaempezaraahorraryguardó$2000cadaañoentrelos31y65añosdeedad.

Sielfondoderetiropaga12%deinterés,¿quiénrecibirámayorcantidaddedineroacu-mulada?

2.Creenunnuevoproblemaqueutilicecomocontextolosfondosdereserva.

PROBLEMA3.Desechossólidos

Objetivos:

•Aplicarelporcentajeauncontextorealyactual.

•Desarrollarlahabilidadparalalecturadegráficastipopie.

Marcoteórico:

Enelaño2008serealizóunestudiosobrelacomposiciónfísicadelosresiduosenunaciu-daddeAméricaLatina.

El12%correspondearesiduosdeplástico,comoseobservaenlagráficaacontinuación,ensumayoríaenvasesdeunsólousoytodotipodeenvoltoriosyembalajes,asícomoelPVC,unodelosplásticosdeusomásgeneralizado.

Nota: los datos de este problema son ficticios, sólo tienen el objetivo de ilustrar una situación que puede ser real.

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8

1.Contestenlassiguientespreguntasdeacuerdoconelgráfico:

a. Sielestudioserealizósobrelos5000000kgdebasurarecopiladosenunaño,¿acuántoskilogramoscorrespondecadaunadelascategoríasmostradas?

b. ¿Cómoclasificaríanustedesestosresiduosenresiduosorgánicosynobiodegra-dables?c. ¿Quéporcentajerepresentanlosresiduosorgánicosdel100%?d. ¿Quéporcentajerepresentanlosnodegradablesdel100%?e. Silosimpuestosmunicipalesdelaciudadsonde0,15%porcadagramodebasura,¿cuántosdólaresrecaudóelmunicipioporesteservicio?

f. Enlosplanesmunicipalesestádisminuireldesperdiciodeplásticosen5kgporañoydebotellasyvidrioen2kgporaño.¿Cómoquedaríalanuevadistribucióndelgráficoparaelpróximoaño?

g. ¿Quépodríanproponerustedesparadisminuirlosdesperdiciosantesmencionados?h. Investiguenpropuestasparaaprovechar los residuosorgánicosaquímencionadosyquepuedanaplicar.

2.Inventenunnuevoproblemaenelqueutilicenelconceptodeproporción.Solicitenleeryconstruirgráficos.

PROBLEMA4.Fraccionesyporcentajes

Objetivos:

•Aplicarconceptosdefraccionesyporcentajes.

•Utilizarmaterialconcreto.

Fracción

Escribanlafracciónmássimpleposiblequerepresentelaregiónespecificadaencadanumeral.

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1.Lospuntosdentrodelrectángulocomounapartedelospuntosentodalafigura.2.Lospuntosdentrodeltriángulocomopartedelospuntosentodalafigura.3.Lospuntosdentrodelrectángulocomounapartedelospuntosenlaunióndeltriánguloyelrectángulo.

4.Lospuntosenlainterseccióndeltriánguloydelrectángulocomounapartedelospuntosenlaunióndeltriánguloyelrectángulo.

5.Señalelaregiónqueestárepresentadaporlafracción1/12.

4.2Ensaladadefrutas

Preparenalaire libre,encompañíadel instructorydesuscompañeros,unadeliciosaen-saladadefrutasconlossiguientesingredientes:-1/2papaya-31/2bananos-1/4libradequesorallado-4/3manzana-2/4delibradeguanábana-1/4delibradeuvas

1.Realiceyresponda:

a. Dividalaporcióndepapayaen12partesiguales.¿Cómosedenominaacadatrozodepapaya?

b. Dividacadabananoenoctavos.¿Cuántosoctavosreunióentotal?c. Divida cada terciodemanzanaen4partes iguales. ¿Cuántos tercios resultaronentotal?

d. Cuentecuántasuvashayenuncuartodelibra.¿Aquéfraccióndelibracorrespondecadauva?

Luegodeesteanálisis,distribuyalostrozosdepapaya,bananoymanzanaenlabandeja.

Coloque los trocitos de guanábana encima, espolvoree el queso rallado sobre la fruta ydecoreconuvas.Añadaunasgotasdemielalgusto.

¡Buenprovecho!

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4.3Relaciónentrefraccionesyporcentajes

Lamultiplicacióndefraccionespermitecalcularporcentajes,yaqueéstossonfraccionesdedenominador100.Además,eneste tipodesituacionesseutilizaensuexpresióndecimalparaexpresarresultados.

Problema:

1.Observenlasfigurasydeterminenlafracciónquecorrespondealaszonassombreadasencadauna:

2.Determinenlosporcentajesencadacaso.

4.4Nuevoproblema

1. Creen ustedes un nuevo problema donde se combinen los conceptos de fracciónyporcentaje.

PROBLEMA5.Lasposicionesdelosnúmerosdel0al10

Objetivo:

•Conocerycomprenderlosnúmerosdel0al10.

AñodeEducaciónGeneralBásica:

Segundo(ytercer)añodeEducaciónGeneralBásica.

Figura1 Figura2

Figura3 Figura4

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Materialporestudianteparausopersonal:

• ElesquemadeparticióndetamañoA4.

• Unafundacon10canicas(uotrotipodematerial,porejemplotapasdebotellasdeplásticoodevidrio,frijoles,fideos,habas...).

Materialporeldocenteparausoenelpizarrón:

• ElesquemadeparticióndetamañoA3.

• Unafunditacon10canicas(uotrotipodematerial,porejemplotapitasdebotellasdeplásticoodevidrio,frijoles,fideos,habas...).

• Espreferibleusarvelcroparapegarelmaterialquesepueda trabajarverticalmenteenelpizarrón.

Procesodeaprendizaje:•Lafase concretaconmaterialconcreto(porejemplo,losestudiantesmismos,útilesescolares,frutasyverduras,juguetes,...):

- Unamamátiene8carritosyquiererepartirlosentresusdoshijos.Siellada4carritosasuhijomayor,¿cuántosledaráasuhijomenor?Lamamáda4carritosasuhijomenor.

-Seescribe8ysedice“8lorepartoen4y4”.

Materialdidáctico:

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• La fase semi-concretaconmaterialsemi-concreto (elesquemadeparticióny la funditadecanicas):

-Tengo7canicasylasdividoen2grupos.Enelprimeropongo3canicas.¿Cuántascanicasdebocolocarenelsegundogrupo?Hay4canicas.


•Lafase gráficacondibujos:

-Hay9círculosylosrepartoen2grupos.Enelprimergrupohay6círculos.¿Cuántoshayenelsegundogrupo?Hay3círculosenelsegundogrupo.


•Lafase abstractaconnúmeros:

-Losestudiantescompletanlastablasdeparticiones.

-Sedice:0lopartoen0y0;1lopartoen0y1;1lopartoen1y0;2lopartoen0y2;...

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Hojadeevaluación:Esteesunejemplodeunahojadeevaluación.Esimportantequelosestudiantesdibujenlosgruposantesdesolucionarelejercicio,tantoenlosdibujoscomoenloscírculos.Cuandolosestudiantestodavíatienendificultadesconelejercicionúmero3,siemprepuedenusarmate-rialconcreto(lascanicas).

Secuenciadeclases:Noesrecomendableenseñartodaslasparticionesdetodoslosnúmerosdel0al10enunaclase.Hayquedividirloscontenidosentrediferentessesiones.

1.Lasparticionesdelosnúmerosdel0al5.

2.Laparticióndelnúmero6.





7.Lasparticionesdelosnúmerosdel0al10.

Colaboración Annelenn JolieConsultora en Matemáticas de la VVOB.Programa Escuelas Gestoras del Cambio

Para más ejercicios como éstos, consulte el Anexo 6.

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Problemas integradores19SESIÓN19Duración:2horas

• Utilizarlasoperacionesestudiadasenlasoluciónyelaboracióndeproblemasqueinvolucrentodosloscontenidos.

• Problemassobrepotenciación.

• Problemassobreregladetres.

• Problemassobrerazonesyproporciones.

• Problemassobreporcentajes,fraccionesydecimales.


Enestaocasiónlesproponemosalgunosproblemasparaprofundizarlosconceptosquehemosestudiado.

Esmuy,importanteparalosdocentesdeMatemáticasaumentarelpensamientomatemático,loquesóloseconsigueatravésdelaresolucióndeproblemas.

Siemprequetengaunaduda,reviselosconceptostrabajadosenestelibro.Elmarcoconceptualalquenoestamosacostumbradosareferirnos,enlamayoríadeloscasos,reorientayordenanuestropensamiento.

¡Adelante!


2.Resuelvanlossiguientesproblemasyregistrensusrespuestas.

3.Alfinalizar,entreguensushojasderespuestasalinstructor.

Actividadengrupo:Resolverproblemas

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1.Potenciación

a.EncuentrenelvalordeM,siesiguala2129+2130+2132+2134

b.Calculen:(-243)-0.6

c.Encuentrenelvalorde: 128(5128) 128

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3

a. ¿Quénúmerodevasoscompró?b. ¿Quérelaciónhayentrelagananciaylacompra?¿Yentrelagananciaylaventa?c. ¿Cómoobtenemoselvalordelagananciaenunnegocio?d. ¿Quédebemoshacerparaencontrarelvalordelacompra?e. ¿Cuáleselvalorunitariodelatercerapartedelacompra?f. ¿Puedeaplicarestoenlosotrosdatos?g. ¿Cuáleselvalortotaldelacompra?h. ¿Puedenhallarelvalortotaldelaventa?¿Cómo?Pruebensuestrategia.i. ¿Hayotroscaminospararesolveresteproblema?

a.Unjugadorenuncasinopierde,encadajugada,lamitaddeloquetienemásundólar.Alcabodesietejugadassehaquedadosinuncentavo.¿Cuántoteníaaliniciareljuego?

• Panchitocompravasos:latercerapartea4por$6,lamitada6por$7,yelrestoa3por$4.Vendelosdosterciosa3por$5ylosdemása6por$9.Sientotalgana$143,...

• Undomingoapareciólasiguientenoticiaenlaportadadeunperiódico:

• ¿Quépreguntasseharíaustedpararesolveresteproblema?

4.Porcentajes,fraccionesydecimales

2.Regladetres

3.Razonesyproporciones

a.El80%de laspersonas sonbuenas;el80%,guapas;el80%, inteligentesyel80%,educadas.¿Quéporcentajepodemosasegurarquesonbuenas,guapas,inteligentesyeducadasalavez?

“ConelpapeldelperiódicodehoysepodríaunirlaTierraylaLuna”.Lanoticiadecíaasí: “Cadaejemplarconstade324páginas.Elpapelutilizadoesde710225kgyequivalea:

• Unabandadepapelde1mdeanchoy12400kmdelargo.

• Unabandade31cmdeanchoy40000kmdelargoquedaríalavueltaalaTierra.

• Unacintade32,5mmdeanchoy381540kmdelargoqueuniríalaTierraconlaLuna.

Queremosestudiarestacuriosanoticiaparacomprobarsuveracidadytambiénparaanalizarsíesunabuenamaneradeexplicarqueelperiódicodeaqueldíaeramuyvoluminoso.Paraestohemostomadounejemplaryhemosmedidolasdimensionesdeunapágina:49cmdelargoy32cmdeancho.Conestosdatosyapodemosanalizarlanoticia.

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b.Unladrillopesamedioladrillomásuncuartodekilogramo.¿Cuántosgramospesaelladrillo?

c.Descubracuálesmiedad,sabiendoquetengolamitaddemiedadmás20años.

d.MiamigoJuanestáconvencidodehaberresueltoelproblemadeloscombustibles,porlomenosparalosautomóviles.Haconstruidotresdispositivosdistintosquepermitendisminuirelconsumodegasolina:elprimeroahorraun45%degasolina;elsegundo,un30%yeltercero,un25%.Juanargumentaquesicolocalostresdispositivosensuauto,lograráahorrartantocomoel100%,porque45%+30%+25%=100%.Seríafantásticosifueraverdad,porquelosautosfuncionaríansingastargasolina,perolam-entablementehayunpequeñoerrorenelrazonamientodeJuan.¿Cuálseráelahorroquenosproporcionaránlostresdispositivosjuntos?

e.Tenemosunvasoconaguayotroconalcohol,conlamismacantidaddelíquidoencadavaso.Sillenamosunacucharaconaguadelprimervasoylaechamosenelalco-hol;yllenamosdenuevolacucharaconlíquidodelsegundovasoylavertemosenelprimero,¿haymásalcoholenelvasodeaguaoaguaenelvasodealcohol?

f.Unrelojtarda12segundosendarlascampanadasqueindicanlasseis.Suponiendoqueelritmoconqueelrelojtocalascampanasessiempreelmismoyquecadahoratocatantascampanadascomoindicaelnúmerodelahora,¿cuántotiempotardaráentocarlascampanadasdelastres?¿Ydelasdoce?

g.Dibujenuntablerocuadradoformadopor16casillascuadradas,esdecir,untablerode4x4.Divídanloendospartesquetenganlamismaáreasiguiendolaslíneasqueseparanlascasillas.Encuentrentodaslasmanerasposiblesdehacerlo.¿Esposibledi-vidirelmismotableroentrespartesdelamismaáreasincortarningunacasilla?¿Porqué?¿Yencuatropartes?

h.Seisestacionesdetrenestánsituadasenunalíneayseencuentrantodasalamismadistanciadelaanterior.¿Cuántasvecesmáslejosestálasextadelaprimeraquelaterceradelaprimera?

i.Conlascifrasdel1al9formadosnúmeros,utilizándolastodasysinrepetirninguna.¿Cómoloharíanustedesdemaneraquesiunodeelloseselnumeradoryelotroeldenominadordeunafracción,éstaseaequivalentea1/2?Tambiénpuedehacersedeformaquelafracciónseaequivalentea1/3,1/4,...etc.,hasta1/9.

j.Juanitaporfinaprendióasimplificarfracciones;mirecómolohace:16/64=1/4,esdecir,eliminaelsegundodígitodelnumerador(un6)yelprimerdígitodeldenomina-dor(un6),porqueambossoniguales.Esunaauténticabarbaridad,peroresultaqueelresultadoescorrecto.EncuentrenotrasfraccionesformadasporunnumeradordedoscifrasquesepuedansimplificaralestilodeJuanita.

k.Unpastortiene5panesyotrotiene3.Encuentranauncazadorquenollevacomidayentrelostresserepartenlospanesenpartesiguales.Elcazador,almarcharse,lesda8monedasporlacomida.¿Cómodeberánrepartirseeldineroparaquelareparticiónseajusta?

l.Losegipciosteníanunacuriosamaneradehacerrepartosconfracciones,puestoqueéstasúnicamenteseutilizabanconnumerador1.Así,enlugardelafracción5/6,es-cribían1/2+1/3,oenlugarde2/9,escribían1/5+1/45.Deestamanerapodíanexpresarcualquierfracciónmenorquelaunidad.Avecesestemétodopermitíahacerrepartos demaneramuchomás directa que como lo haríamos nosotros. Imaginenquequeremosrepartir4panesentre7personas,demaneraquetodasrecibanigualcantidad.¿Cómoharíanelrepartoconelmínimonúmerodecortes?

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m.Cuandounciclistaharecorrido2/3deuntrayecto,seleestropealabicicletaydecideacabarlaexcursiónapie.Alllegaralfinaldelrecorrido,sedacuentadequehaestadoandandoeldobledetiempoquesipedaleara.¿Cuántasvecesmayorhasidolavelocidadquellevóalirmontadoenlabicicletaquealcaminar?

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Anex

os

Anexos

Anexo1:Característicasdelasmejoresprácticasparaenseñarmatemáticas

Lasquesiguensoncaracterísticas importantese interrelacionadasde lasmejoresprácticasparaenseñarmatemáticasincluidasenlosreportesdelConsejoNacionaldeProfesoresdeMatemáticas(NCTM,porsussiglasenInglés).Alfinalpresentamosuncuadroconsugerenciasdeloquesedebeaumentaryloquesedebedisminuirenlaenseñanzaenelauladeclase.

El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen la capacidad matemática.Losestudiantesdebendesarrollarlacomprensióndelosconceptosyprocedimientosmatemáticos.Debenestarencapacidaddeverycreerquelasmatemáticashacensentidoyquesonútilesparaellos.Docenteyestudiantesdebenreconocerquelahabilidadmatemáticaespartenormaldelahabilidadmentaldetodaslaspersonas,nosolamentedeunospocosdotados.

Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los es-tudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación.Sedebealentaralosestudiantesaformularyresolverproblemasrelacionadosconsuentorno,paraquepuedanverestructurasmatemáticasencadaaspectodesusvidas.Experienciasymaterialesconcretosofrecenlasbasesparaentenderconceptosyconstruirsignificados.Losestudiantesdebentratardecrearsupropiaformadeinterpretarunaidea,relacionarlaconsupropiaexperienciadevida,vercómoencajaconloqueellosyasabenyquépiensandeotrasideasrelacionadas.

Que tan bien los estudiantes lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir.Losdocentesqueayudanalosniñosadesarrollarsucapacidadmatemáticadedicanmenostiempoahablarsobrematemáticas,aasignarlestrabajosdeprácticadecómputoyapedirlesquememoricenmecánicamente.Encam-bio,lesotorganmástiempopararealizaractividadesquepromuevenlaparticipaciónactivadesusestudiantesenaplicarlasmatemáticasensituacionesreales.Esosdocentesregularmenteutilizanlamanipulacióndematerialesconcretosparaconstruir lacomprensión.Hacenalosestudiantespreguntasquepromuevenlaexploración,ladiscusión,elcuestionamientoylasexplicaciones.Losniñosaprenden,además,losmejoresmétodosparadeterminarcuándoycómoutilizarunagamaampliadetécnicascomputacionales, talescomoaritméticamental,estimaciones,calculadorasoprocedimientosconlápizypapel.

Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado.Matemáti-cases lacienciadepatronesy relaciones.Entenderyutilizaresospatronesconstituyeunagranpartedelahabilidadocompetenciamatemática.Losestudiantesnecesitanverlasconexionesentreconceptosyaplicacionesdeprincipiosgeneralesenvariasáreas.Amedidaquerelacionanideasmatemáticasconexperienciascotidianasysituacionesdelmundoreal,sevandandocuentaqueesasideassonútilesypoderosas.Elconocimientomatemáticodelosestudiantesaumentaamedidaqueentiendenquevariasrepresentaciones(ej:física,verbal,numérica,pictóricaygráfica)seinter-relacionan.Paralograrlonecesitanexperimentarconcadaunayentendercómoestánconectadas.

La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática.Ampliamentedefinida,lasolucióndeproblemasesparteintegraldetodaactividadma-

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temática.Enlugardeconsiderarseuntópicoseparado,lasolucióndeproblemasdeberíaserunproceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos yhabilidades.Lasolucióndeproblemasrequierequelosestudiantesinvestiguenpreguntas,tareasysituacionesquetantoelloscomoeldocentepodríansugerir.Losestudiantesgeneranyaplicanestrategiasparatrabajarlosyresolverlos.

Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas. Discutir,escribir,leeryescucharideasmatemáticasprofundizaelentendimientoenestaárea.Losestudiantesaprendenacomunicarsedediferentesmanerasrelacionandoactivamentematerialesfísicos,imágenesydiagramasconideasmatemáticas;reflexionandosobreellasyclarificandosupropio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolosmatemáticosydiscutiendoideasmatemáticasconsuscompañeros.

Unodelosmayorescambiosenlaenseñanzamatemáticasehadadoayudandoalosestudiantesatrabajarengrupospequeños,enproyectosderecoleccióndedatos,construccióndegráficasycuadrosconsushallazgosyresolucióndeproblemas.Daralosestudiantesoportunidadespararealizartrabajoreflexivoycolaborativoconotros,constituyepartecríticadelaenseñanzademate-máticas.Lasideasmatemáticaslasconstruyenlaspersonas;losestudiantesnecesitanexperimentarlainteracciónsocialylaconstrucciónderepresentacionesmatemáticasquetengansignificado,consuscompañerosysusdocentes.Enunenfoquedemocrático,eldocentenoeselúnicoqueconoceytransmiteconocimiento,nidebeserelquesiempretiene“larespuesta”.Losestudiantesdebentomarlainiciativaenelplanteamientodepreguntaseinvestigacionesquelesinteresenyllevaracaboinvestigacionesenformaconjuntaconeldocente.

Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que lasmatemáticashacensentido,quenosonsimplementeunconjuntodereglasyprocedimientosquesedebenmemorizar.Poresemotivonecesitanexperienciasenlasquepuedanexplicar,justificaryrefinarsupropiopensamiento,nolimitarsearepetirloquediceunlibrodetexto.Necesitanplan-tear y justificar suspropias conjeturasaplicando variosprocesosde razonamiento y extrayendoconclusioneslógicas.

Ayudaraquelosestudiantessemuevanporetapasentrevariasideasysusrepresentaciones,estareamuyimportantedeldocente;asícomotambiénloes,promoverenlosestudiantesdemaneracreciente,laabstracciónylageneralización,mediantelareflexiónylaexperimentación,enlugardeserélelúnicoqueexpliqueyqueexponga.Partevitaldehacermatemáticasconlleva,quelosestudiantesdiscutan,haganconjeturas,saquenconclusiones,defiendansus ideasyescribansusconceptualizaciones,todoloanterior,conretroalimentacióndeldocente.

Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y aplicados, ampliamente. Losproblemasdelmundorealrequierenunadiversidaddeherramientasparapodermanejarlainformacióncuantitativa.Losestudiantesdebentenerunabuenacantidaddeexperien-ciasparapoderdesarrollarunsentidointuitivodenúmerosyoperaciones;unaformade“sentir”loqueestáocurriendoenlasdistintassituacionesenlasquesepodríanutilizarvariasoperaciones.Paradarunejemplodeloanterior,dosconcepcionesdiferentesdelarestaestáninvolucradassisepregunta(1)“Sitengotrescanicasyentregodos,¿cuántasconservo?”versus(2)”Sitengotrescanicasyotrapersonatienesiete,¿cuántascanicasdemástienelaotrapersona?”Eldocentenodebeeludirladiferenciaentrelasdossituaciones,invocandosimplementeelprocedimientodelaresta,conelfindeencontrarla“respuestacorrecta”.

Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuandolosestudiantesconstruyensupropioconocimientodegeometríaymediciónestánmejorcapacitadosparausarsucomprensióninicialenambientesdelmundoreal.Desarrollansusentidoespacialendosotresdimensionespormediodeexploraciónconobjetosreales.Losconceptosdemediciónseentiendenmejorconexperienciasverdaderasrealizandomedicionesyestimacióndemedidas.Loqueesmásimportanteesqueesasexperienciassonespecialmentevaliosasparaconstruirsentidonuméricoyoperativo.

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Anex

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La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real. Lanecesidaddetomardecisionesenbaseainformaciónnuméricapermealasociedadymotivatrabajar condatos reales. Laprobabilidad sedesprendede la consideración realistade riesgo,azareincertidumbre.Losestudiantespuedendesarrollarcompetenciamatemáticapormediodelaformulacióndeproblemasysolucionesqueinvolucrendecisionesbasadasenrecoleccióndedatos,organización,representación(gráficas,tablas)yanálisis.

Uno de los mayores propósitos de la evaluación es ayudar a los docentes a entender mejor qué sa-ben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza y aprendizaje. Debeusarseunadiversidaddemétodosdeevaluaciónparavaloraralosestudiantesindividual-mente,incluyendopruebasescritas,oralesydemostraciones,lascualesdebentodasconcordarconelcurrículo.Todoslosaspectosdelconocimientomatemáticoysusrelacionesdebenservaloradosyutilizadosparaayudaraldocenteaplanearactividadesdeenseñanzayaprendizaje.Laspruebasestandarizadascumplenunamejorfunciónenlaevaluacióndeprogramasqueenlaevaluacióndeestudiantesindividuales.

• Usodematerialesmanipulables.• Trabajodegrupocooperativo.• Discusionessobrematemáticas.• Cuestionamientoyrealizacióndeconjeturas.• Justificacióndelpensamiento.• Escrituraacercadelasmatemáticas.• Solución de problemas como enfoque deenseñanza.

• Integracióndecontenidos.• Usodecalculadorasycomputadores.• Facilitadordelaprendizaje.• Evaluacióndelaprendizajecomoparteinte-graldelaenseñanza.

• Prácticamecánica.• Memorizaciónmecánicadereglasyfórmulas.• Respuestas únicas y métodos únicos paraencontrarrespuestas.

• Usodehojasdeejerciciosrutinarios:prácti-casescritasrepetitivas.

• Prácticadelaescriturarepetitiva.• Enseñardiciendo.• Enseñaracalcularfueradecontexto.• Enfatizarlamemorización.• Examinarúnicamenteparalascalificaciones.• Sereldispensadordelconocimiento.

• Discusionesmatemáticas.• Lecturassobrematemáticas.• Escriturasobrematemáticas.• Escuchadeexposicióndeideasmatemáticas.

• Llenarlosespaciosdehojasdetrabajo.• Responderpreguntasquesólonecesitancomorespuestasíono.

• Responderpreguntasquerequierenúnica-menterespuestasnuméricas.

• Conectar lasmatemáticas conotrasmate-riasyconelmundoreal.

• Conectar tópicosdentrodelmismocampomatemático.

• Aplicarlasmatemáticas.

• Aprendertópicosaislados:desarrollarhabi-lidadesfueradecontexto.

AUMENTE DISMINUYA

Prácticasdeenseñanza

Matemáticascomocomunicación

ConexionesMatemáticas

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as • Desarrollarsentidonuméricoydeoperaciones.

• Entenderelsignificadodeconceptosclavescomoposiciónnumérica,fracciones,deci-males,razones,proporcionesyporcentajes.

• Variasestrategiasparaestimar.• Pensarestrategiasparahechosbásicos.• Usodecalculadorasparaoperacionesdecálculocomplejas.

• Usotempranodenotacionessimbólicas.• Cálculos complejos y tediosos con lápiz ypapel.

• Memorización de reglas y procedimientossinentenderlos.

• Desarrollodesentidoespacial.• Medicionesrealesylosconceptosrelaciona-dosconunidadesdemedida.

• Usodegeometríaensolucióndeproblemas.

• Memorizarhechosyrelaciones.• Memorizarequivalenciasentreunidadesdemedida.

• Memorizarfórmulasgeométricas.

• Recolecciónyorganizacióndedatos.• Usar métodos estadísticos para describir,analizar,evaluarytomardecisiones.

• Memorizarfórmulas.

• Reconocimientoydescripcióndepatrones.• Identificaciónyusoderelacionesfuncionales.

• Desarrolloyutilizacióndetablas,gráficasyreglasparadescribirsituaciones.

• Utilizacióndevariablesparaexpresarrelaciones.

• Manipulacióndesímbolos.• Memorizacióndeprocedimientosyejerci-ciosrepetitivos.

• Laevaluación/valoracióncomoparteinte-graldelaenseñanza.

• Enfocarseenunaampliagamadetareasmatemáticasyoptarporunavisiónintegraldelasmatemáticas.

• Desarrollarsituacionesdeproblemasqueparasusoluciónrequieranlaaplicacióndeunnúmerodeideasmatemáticas.

• Hacerusodetécnicasmúltiplesdeevalua-ciónqueincluyanpruebasescritas,oralesydemostraciones.

• Evaluarovalorar,contandosimplementelasrespuestascorrectasdepruebasoexá-menesrealizadosconelúnicopropósitodeotorgarcalificaciones.

• Enfocarseenunamplionúmerodehabili-dadesespecíficasyaisladas.Hacerusodeejerciciosoplanteamientosdeproblemasquerequieranparasusoluciónsolamentedeunaodoshabilidades.

• Utilizarúnicamenteexámenesopruebasescritas.

Números/Operaciones/Cálculos

Geometría/Mediciones

Estadísticas/Probabilidad

Patrones/Funciones/Álgebra

Evaluación

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Anex

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Créditos

Traducción al español realizada por EDUTEKA de algunos apartes del capítulo cuatro (BestPractice inMathematics) del libroBest Practice: New Standards for Teaching and Learning in America’s Schools,escritoporStevenZemelman,HarveyDanielsyArthurHyde;segundaedición,1998,EditorialHinemann.Estelibro,ensuediciónoriginal(1992),fueelprimeroenresumirlosestándaresparalaenseñanzaenlasescuelasnorteamericanas,ofreciendodescripcionesprác-ticasdeexcelenciaenelcurrículo.Lasegundaediciónfueextensamenterevisadayampliadacondescripcionesactualizadasdeloqueeslaenseñanzadeavanzadaenseisáreas:lectura,escritura,matemáticas, ciencias, estudios sociales yarte. EDUTEKA recomiendaampliamenteestelibro,elcualsepuedecomprarporInternetdirectamentedeleditor:http://www.heinemann.com/shared/products/E00091.asp

Publicación de este documento en EDUTEKA: Septiembre 20 de 2003.

Última modificación de este documento: Septiembre 20 de 2003.

http://www.eduteka.org/MejoresPracticas.php

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Anexo2:LaeducaciónmatemáticaElpapeldelaresolucióndeproblemasenelaprendizaje1

SilviaVilanova,MaríaRocerau,GuillermoValdez,MaríaOliver,SusanaVecinoPerlaMedina,MercedesAstiz,EstellaAlvarez.DepartamentodeMatemática

FacultaddeCienciasExactasyNaturales.UniversidadNacionaldeMardelPlata.Argentina

ApartirdelareformadelsistemaeducativoenlaArgentina,podemosobservarenlosContenidosBásicosComunesparalaEducaciónGeneralBásica(1995)unespecialénfasisenlaresolucióndeproblemascomométodointegralenlaenseñanzadelaMatemática.(…)

EstarecomendacióndescansaenunaconcepciónparticularsobreloquesignificalaMatemática,suenseñanzaysuaprendizaje.

LasiguientecitadeHersh(1986)ilustraestacuestión:“Laconcepciónsobrelamatemáticaafectalapropiaconcepciónsobrecómodebeserenseñada.Lamaneradeenseñaresunindicadorsobreloqueunocreequeesesencialenella...Elpuntoentoncesnoes¿cuáles lamejormaneradeenseñar?sino,¿dequésetratalamatemática?”

Sinembargo,estasconcepciones,aligualqueeltérmino“resolucióndeproblemas”varíanam-pliamente.Thompson(1992)señalaqueexisteunavisióndelamatemáticacomounadisciplinacaracterizadaporresultadosprecisosyprocedimientosinfalibles,cuyoselementosbásicossonlasoperacionesaritméticas,losprocedimientosalgebraicosylostérminosgeométricosyteoremas;sa-bermatemáticaesequivalenteaserhábilendesarrollarprocedimientoseidentificarlosconceptosbásicosdeladisciplina.Laconcepcióndeenseñanzadelamatemáticaquesedesprendedeestavisiónconduceaunaeducaciónqueponeelénfasisenlamanipulacióndesímboloscuyosignifi-cadoraramenteescomprendido.

Unavisiónalternativaacercadelsignificadoylanaturalezadelamatemáticaconsisteenconsi-derarlaunaconstrucción socialque incluyeconjeturas,pruebasy refutaciones, cuyos resultadosdebenserjuzgadosenrelaciónalambientesocialycultural.Laideaquesubyaceaestavisiónesque“sabermatemática”es“hacermatemática”.Loquecaracterizaalamatemáticaesprecisamen-tesuhacer,susprocesoscreativosygenerativos.Laideadelaenseñanzadelamatemáticaquesurgedeestaconcepciónesquelosestudiantesdebencomprometerseenactividadesconsentido,originadasapartirdesituacionesproblemáticas.Estassituacionesrequierendeunpensamientocreativo,quepermitaconjeturaryaplicarinformación,descubrir,inventarycomunicarideas,asícomoprobaresasideasatravésdelareflexióncríticaylaargumentación.Estavisióndelaedu-caciónmatemáticaestáenagudocontrasteconlaanteriorenlacualelconocimientoymanejodeconceptosyprocedimientoseselobjetivoúltimodelainstrucción.

ElénfasisenlaresolucióndeproblemascomométodointegralparalaenseñanzadelamatemáticaobservadoenlosContenidosBásicosComunes,seapoyaenlaconcepciónqueErnest(1988)sin-tetizaasí:“...hayunavisióndelamatemática(conducidaporlaresolucióndeproblemas)comouncampodelacreaciónylainvenciónhumanaencontinuaexpansión,enelcuallospatronessongeneradosyluegoconvertidosenconocimiento.Así,lamatemáticaesunprocesodeconjeturasyacercamientosalconocimiento(...).Lamatemáticanoesunproductoterminado,porquesusresul-tadospermanecenabiertosarevisión”.

1EditadoparaelCurso“DidácticadelasMatemáticas”delMinisteriodeEducacióndelEcuador,2009.

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Anex

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Laresolucióndeproblemasenlaeducaciónmatemática

Apartirdeloanterior,existeunacuerdogeneralenaceptarlaideadequeelobjetivoprimariodelaeducaciónmatemáticadeberíaserquelosalumnosaprendanmatemáticadesdelaresolucióndeproblemas.Sinembargo,dadaslasmúltiplesinterpretacionesdeltérmino,esteobjetivodifícilmenteesclaro.

Enefecto,el término resolución de problemashasidousadocondiversos significados,quevandesdetrabajarconejerciciosrutinarioshastahacermatemáticaprofesionalmente.(…)

SegúnStanicyKilpatrick (1988), lautilizaciónde los términos“problema”y“resolucióndepro-blemas”hatenidomúltiplesyavecescontradictoriossignificadosatravésdelosaños,comosedescribebrevementeacontinuación:

Primersignificado:resolverproblemascomocontexto

Desdeestaconcepción,losproblemassonutilizadoscomovehículosalserviciodeotrosobjetivoscurriculares,jugandocincorolesprincipales:

• Como una justificación para enseñar matemática: almenosalgunosproblemasrelacionadosconex-perienciasdelavidacotidianasonincluídosenlaenseñanzaparamostrarelvalordelamatemática.

• Para proveer especial motivación a ciertos temas: losproblemassonfrecuentementeusadosparaintroducirtemas,conelconvencimientoimplícitooexplícitodequefavoreceránelaprendizajedeundeterminadocontenido.

• Como actividad recreativa:muestranquelamatemáticapuedeser“divertida”yquehayusosentre-tenidosparalosconocimientosmatemáticos.

• Como medio para desarrollar nuevas habilidades:secreeque,cuidadosamentesecuenciados,losproblemaspuedenproporcionara losestudiantesnuevashabilidadesyproveerelcontextoparadiscusionesrelacionadasconalgúntema.

• Como práctica: lamayoría de las tareasmatemáticas en la escuela caen en esta categoría. Semuestraunatécnicaalosestudiantesyluegosepresentanproblemasdeprácticahastaquesehadominadolatécnica.

Sinembargo,encualquieradeestascincoformas,losproblemassonusadoscomomediosparaalgunasdelasmetasseñaladasarriba.Estoes,laresolucióndeproblemasnoesvistacomounameta en símisma, sino como facilitadordel logrodeotrosobjetivos y tieneuna interpretaciónmínima:resolverlastareasquehansidopropuestas.

Segundosignificado:resolverproblemascomohabilidad

Lamayoríadelosdesarrolloscurricularesquehahabidobajoeltérminoresolución de problemas apartirdeladécadadelos80sondeestetipo.

Laresolucióndeproblemasesfrecuentementevistacomounadetantashabilidadesaserenseña-dasenelcurriculum.Estoes,resolverproblemasnorutinariosescaracterizadocomounahabilidaddenivelsuperior,aseradquiridaluegodehaberresueltoproblemasrutinarios(habilidadque,asuvez,esadquiridaapartirdelaprendizajedeconceptosyhabilidadesmatemáticasbásicas).

Esimportanteseñalarque,aúncuandoenestasegundainterpretacióndeltérminolosproblemassonvistoscomounahabilidadensímisma,lasconcepcionespedagógicasyepistemológicasquesubyacensonprecisamentelasmismasquelasseñaladasenlainterpretaciónanterior:lastécnicasderesolucióndeproblemassonenseñadascomouncontenido,conproblemasdeprácticarelacio-nados,paraquelastécnicaspuedanserdominadas.

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Tercersignificado:resolverproblemases“hacermatemática”

Hayunpuntodevistaparticularmentematemáticoacercadelrolquelosproblemasjueganenlavidadeaquellosquehacenmatemática.Consisteencreerqueeltrabajodelosmatemáticosesresolverproblemasyquelamatemáticarealmenteconsisteenproblemasysoluciones.

ElmatemáticomásconocidoquesostieneestaideadelaactividadmatemáticaesPólya.NoshemosfamiliarizadoconsutrabajoatravésdellibroHow to solve it(1954),enelcualintroduceeltérmino“heurística”paradescribirelartede la resolucióndeproblemas,conceptoquedesarrolla luegoenMatemática y razonamiento plausible(1957)yMathematical Discovery(1981).

LaconceptualizacióndePólyasobrelamatemáticacomounaactividadseevidenciaenlasiguientecita:“Paraunmatemático,queesactivoenlainvestigación,lamatemáticapuedeapareceralgunasvecescomounjuegodeimaginación:hayqueimaginarunteoremamatemáticoantesdeprobarlo;hayqueimaginarlaideadelapruebaantesdeponerlaenpráctica.Losaspectosmatemáticossonprimeroimaginadosyluegoprobados,ycasitodoslospasajesdeestelibroestándestinadosamostrarqueésteeselprocedimientonormal.Sielaprendizajedelamatemáticatienealgoqueverconeldescubrimientoenmatemática,a losestudiantesse lesdebebrindaralgunaoportunidadderesolverproblemasenlosqueprimeroimaginenyluegopruebenalgunacuestiónmatemáticaadecuadaasunivel.”(Pólya,1954).

ParaPólya, lapedagogía y laepistemologíade lamatemáticaestánestrechamente relacionadas yconsideraquelosestudiantestienenqueadquirirelsentidodelamatemáticacomounaactividad;esdecir,susexperienciasconlamatemáticadebenserconsistentesconlaformaenquelamatemáticaeshecha.(…)

Laenseñanzadelamatemáticadesdeunaconcepciónbasadaenlaresolucióndeproblemas

Enseñarapartirdelaresolucióndeproblemas,talcomoloplanteaPólya,sevuelvedifícilparalosdo-centesportresrazonesdiferentes:

1. Matemáticamente, porque los docentes debenpoder percibir las implicaciones de las diferentesaproximacionesquerealizanlosestudiantes,darsecuentasipuedenserfructíferasonoyquépo-dríanhacerenlugardeeso.

2. Pedagógicamente,porqueeldocentedebedecidircuándointervenir,quésugerenciasayudaránalosestudiantes,sinimpedirquelaresoluciónsigaquedandoensusmanos,yrealizaréstoparacadaestudianteogrupodelaclase.

3. Personalmente,porqueeldocenteestaráamenudoenlaposición(inusualeincómodaparamuchosprofesores)denosaber.Trabajarbiensinconocertodaslasrespuestas,requiereexperiencia,confi-anzayautoestima.(…)

Consideracionesfinales

Laeducaciónmatemáticadeberíaproveeralosestudiantesdeunaconcepcióndelamatemática,deunsentidodeladisciplina(sualcance,supoder,sususosysuhistoria),ydeunaaproximaciónalhacermatemático,enelniveladecuadoasusposibilidades.Desdeestaperspectiva, laense-ñanzadeberíaserencaradacomounacomprensiónconceptualmásquecomounmerodesarrollomecánicodehabilidades,quedesarrolleenlosestudianteslahabilidaddeaplicarloscontenidosquehanaprendidoconflexibilidadycriterio.Deberíatambiénproveeralosestudiantesdelaopor-tunidaddeexplicarunampliorangodeproblemasysituacionesproblemáticas,quevayandesdelosejercicioshasta losproblemasabiertosysituacionesdeexploración,ayudandoadesarrollar“unpuntodevistamatemático”(Schoenfeld,1992),caracterizadoporlahabilidaddeanalizarycomprender,depercibirestructurasyrelacionesestructurales,deexpresarseoralmenteyporescritoconargumentosclarosycoherentes.Ensuma,deberíaprepararalosestudiantesparaconvertirse,lomásprontoposible,enaprendicesindependientes,intérpretesyusuariosdelamatemática.

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Anex

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Paracumplirestosobjetivos,lacomunidaddeprácticaenlacualellosaprendenmatemáticadebereflejarysostenerestasformasdepensar.Estoes,lasaulasdebensercomunidadesenlascualeslamatemáticaadquierasentidoyloquecomodocentesesperamosdelosestudiantes,searealmentepracticado(Schoenfeld,1992).

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Anex

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Introducción

Despuésdelmovimientodelasmatemáticasmodernasomatemáticasnuevasenlaescueladurantelosañossesenta–cuandoseenseñaba,porejemplo, lateoríadeconjuntosdentrodecurrículosbasadosenlaorganizacióndecontenidos–,losañossetentasevieronmarcadosporlaeradelatecnologíaeducativa.Elcurrículosesustentabaentoncesenlapsicologíaconductistaylaeducaciónprogramadayprivilegiabaelaprendizajedealgoritmos.Fuedurantelosochentaquelasideasdeconstructivismosobreelaprendizajehumanocomenzaronainfluirenelcurrículo,bajolainterpre-taciónexageradadequeelniñoaprendesolo.

Durantelosañosnoventasepopularizólacreencia,tambiénalimentadadesdeelconstructivismo,dequeparaquealguienpudieraaprendermatemáticaseranecesarioaplicarlasacontextoscon-cretosqueconstituyeransituacionessignificativas.Sedioentoncesdemasiadoénfasisaéstasylaenseñanzadeprocesosdeabstracciónydelformalismopropiodeladisciplinasealejócadavezmásdelcurrículodematemáticas.Porotrolado,alfinalizarlosañosnoventalosresultadosdelaspruebasinternacionalesTIMSS(TIMSS,1995;TIMSS,1999)mostraronqueenpaísesdondelosniñosalcanzaronaltospuntajescomoJapónyAlemania,lametadelaenseñanzadematemáti-caseraquelosalumnoscomprendieranconceptosmatemáticos,mientrasqueenEstadosUnidos,dondelosniñosobtuvieronbajospuntajes,lametaerautilizarprocedimientosmatemáticosaplica-dosadiversassituacionesreales.

El resultadode esto fue elmovimiento de reformadel año2000 en ese país y otros sitios delmundo,quehatratadodeequilibrarelaprendizajedelasmatemáticascomoherramientaparamodelarfenómenosdelavidarealyelaprendizajedelaabstraccióncomosoportedelaestructuraconceptualyfuentedepoderdelasmatemáticas(Porlán,1995;RAND,2002).Lareformabusca,ademásdelasconexionesentrelasideasmatemáticasysusaplicaciones,unaprendizajedelasmatemáticasquepropicieelrazonamiento,laformulacióndeconjeturasylainvenciónyresolucióndeproblemasconbaseenlabúsquedadeevidencialógica(estándaresdelNCTM,2000).

Enestedocumentopresentaremosevidenciadequelosprincipiosdelconstructivismo,enlaapli-caciónmoderadaqueapareceenlosestándaresdelNCTM,funcionanparaorientarelcurrículoespecífico del área dematemáticas (…). Presentamos en primer lugar una definición del área.Luego,relacionamoslaformaciónenmatemáticasconlosprincipiosconstructivistas(…).

LasMatemáticas

Vemoslasmatemáticascomounaconstruccióndelhombreparamodelaryjustificarsuscomprensio-nesdesímismoydelmedioquelorodea,comounproductodelaculturaligadoavaloressociales,comounaconstrucciónintelectualarmónicaybellaqueretaalainteligenciaadesentrañarsus

CristinaCarulladeRojasMargaritaBoterodeMeza

Anexo3:Constructivismoymatemáticas2

Caro amigo Jorge Amado: pensándolo bien, no hay receta para la tarta de mandioca que yo hago. Algo me dijo doña Alda, la mujer del Renato, el del Museo, pero aprendí haciéndola, rompiéndome la cabeza hasta encontrarle

el punto. (¿No fue amando como aprendí a amar? ¿No fue viviendo como aprendí a vivir?)

Jorge Amado,DoñaFlorysusdosMaridos

2EditadoparaelCurso“DidácticadelasMatemáticas”delMinisteriodeEducacióndelEcuador,2009.

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relacionesycomounapiezafundamentaleneldesarrollocientíficoytecnológicodelahumanidad.Portodoesto,laenseñanzayelaprendizajedelasmatemáticasexigentenerpermanentementepre-sentescuatroaspectos:lasmatemáticascomolenguaje,comosistemaformal,comoherramientaycomonecesidadsocial.

1.Lenguaje

Lasmatemáticas sonun lenguaje;esdecir,un sistemayunaactividaddesarrolladosporel serhumanoparaexpresarnocionesyrelacionesquedancuentadesucomprensióndeluniverso,delmundoodesímismo.Comolenguaje,lasmatemáticasseconviertenenuninstrumentoparaeldesarrollodelconocimientoylainterpretacióndelarealidadsocial.

2.Sistemaformal

Lasmatemáticastambiénsonunsistemaformalconformadoporunareddeabstracciones,gene-ralizacionesyformalizacionessustentadasenlasolidezlógicadesusargumentaciones.Comosis-temaformal,lasmatemáticassustentanlavalidezdelasexplicacionesyprediccionesdelaciencia.

3.Herramienta

Lasmatemáticassonunaherramientaquepermiteavanzarenlacomprensióndelmundoquenosrodea,resolverproblemasdedistintasnaturalezasymodelarsituacionesdelavidareal,delatéc-nica,delascienciasydelasmatemáticasmismas.

4.Necesidadsocial

Creemosquetodoslosestudiantestienenlacapacidadylanecesidaddeaprendermatemáticasyqueportantodebemosofrecerlesatodoslasoportunidadesquelespermitanlograrlo.Enefecto,sinotodoslosestudiantestienelasposibilidadesdeaprendermatemáticas,enfrentamoselpeligrodecrearunaéliteintelectualyunasociedadpolarizada.Laimagendeunasociedadenlaqueunospocostienenelconocimientomatemáticoquesenecesitaparaelcontroldeldesarrolloeconómicoycientíficonoesconsistenteniconlosvaloresdeunsistemademocráticojusto,niconsusnece-sidadeseconómicas(NCTM,1989).Laequidades,pues,unobjetivobásicodenuestrocurrículo.

Alahoradeenseñarmatemáticassedebetenerencuentaqueexisten,ennuestroentornosocio-cultural,numerosassituacionesmásomenoscercanasa lacotidianidadde los individuosy lascomunidadesquenecesitandeconocimientomatemáticoparasucomprensiónymanejo,desdelosnúmerosqueorganizanunafilaenunbancoylastransaccionesmonetariasnecesariasparalaeconomíapersonalyfamiliar,hastaelmovimientodelaeconomíanacional,lasestadísticasquesustentangrandesdecisionesolosprincipiosyherramientasmatemáticasquepermitenlosavancestecnológicos.

Losciudadanoscomunesdebentenerunmínimodeconocimientosmatemáticosquelespermitantomardecisionesyactuar(Skovsmose,1999)socialmente,demodoquepuedanmanejareficien-tementesusasuntospersonalesyparticiparrealmenteenlavidacomunitariaynacional.Enunasociedaddemocráticaesunderechodelosciudadanosteneraccesoalacomprensiónypodercon-tribuiralaconstruccióndelsistemasocialimperante;estorequieredeconocimientosyposibilidaddedesempeñosrealesconlasmatemáticas(Yasukawa,2002;Niss,1983).ComoloseñalaNiss(1983),laeducaciónmatemáticadebetenercomometaformaralosestudiantesparaquepuedanutilizarlasmatemáticasdentrodelasociedadenlaqueviven.DiceNiss(1983)queelestudiantedeberápoderdarsecuentade lassituacionesendonde lasmatemáticassonútiles,comprendercómoyporquéseutilizan,juzgarcuandosonpertinentesyaplicarsusconocimientosmatemáticosensituacionesqueleseansignificativasparasuvidaprivada,socialyprofesional.

Nuestrocurrículopretendequelosestudiantes,alterminarlaescuela,seancapacesdecomprenderyutilizarellenguajematemático,decomprenderlaestructuralógicaquesubyacealaconstruccióndelasmatemáticasenlasolucióndeproblemasydemodelarsituacionesdelasmatemáticas,delascienciasydelavidareal.Peroestonoessólounpropósitoacadémicopropiodelaescuelaydi-

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rigidoaquienestienecapacidadesointerésespecialesenelárea.Aprendermatemáticasesne-cesarioparatodosyparalavidaindividualylasocial.Enunalógicaconstructivista,eslapersonaglobalmenteentendida laqueaprende, y eseaprendizaje repercuteglobalmenteenella, en loquesabe,ensuformadeverseyderelacionarseconlosdemás(SoléyColle,Coll,Martín,Mauri,Miras,Onrubia,Solé&Zabala,1993).Ésteyotrosprincipiosdelconstructivismoorientannuestrocurrículodelárea.

Lasmatemáticasylosprincipiosconstructivistas

1.Procesoconstructivo

Tambiénenmatemáticaselaprendizajeesunprocesoduranteel cual cada individuovacons-truyendosupropiosignificadodelosconceptosmatemáticos.Elaprendizajedeunconceptoma-temáticopuedetomarmuchosaños.Cadacontactoqueelestudiantetengaconeseconceptoledaránuevainformaciónacercadelamaneracomofunciona.Esasícomo,cuandounestudianteresuelvediferentesproblemasendondedebeutilizarelconcepto,cadaunodeellosledaráaccesoaunconocimientocadavezmáscomplejodelmismo.Esporestarazónquecadaindividuoten-dráunconocimientodiferenteyquenopodemoshablardeunconocimientolimitadoyterminado(Moreno,1997;Rico,1997;Tall,1992;Sfard,2001a).Porejemplo,unestudianteengradoceropuede aprender a contar objetos y a clasificarlos.Más adelante podrá hacer representacionespictóricasdelamismasituaciónconcretayentercerodeprimariapodráestablecerunarelaciónentrelarepresentaciónpictórica,lasituaciónconcretayunaexpresiónalgebraicaconformadaporletras,númerosyoperaciones.Perotodavíalequedamuchoporaprenderycadasituaciónqueelestudiantetengaparaaplicarelconceptoleenseñaráalgonuevoacercadelmismoysuconexiónconotrosconceptos.

Elaprendizajetampocosedademaneralineal.Elconocimientoesunaredderelacionesdesig-nificadoquesevamodificandoyalacualseadhierenydelacualdesaparecennuevosyviejosconceptoseideas,cuyasconexionessetransformanpermanentemente.Estaredderelacionessemodificaenlapersonaapartirdelasexperienciasquevivetantoenlaescuelacomoensucon-textosocialcotidiano(Moreno,1997;Rico,1997;Kieran,1992).Porejemplo,esprobablequelasideasqueunniñohaconstruidosobre losnúmerosnaturalesprovengandesusexperienciasenclase,perotambiéndesuexperienciahaciendocomprasenlatiendadelbarriooaloírhablaralosadultos.Tantoelcurrículocomolosdocentesquelodesarrollandebentenerencuentaestasdiversasposibilidadesdeaprendizajeparautilizarlasenelprocesodeayudaralosestudiantesenestaconstruccióndesuaprendizaje.

2.Aprendizajeprevio

Deacuerdoconelprincipioanterior,nadie llegaalsalóndeclasecompletamente ignoranteenmatemáticas.Esprobablequecadaexperienciaquehayatenidoendondeelconceptoquevaaaprenderhayafuncionadodemanera implícitaoexplícita, lehayadadoinformaciónacercadeél(Sfard,2002a;Rico,1997).Estosconocimientosprevios,construidosatravésdesuexperienciadiaria,pueden ser intuitivoso formales yes importanteexplorarlosparaque las situacionesdeaprendizajeescolarenriquezcanlasvisionesquetraenlosestudiantes.

Peroporotrolado,esmuyimportantereconocerqueestosconocimientospreviospuedensererra-doso incompletos.Sfardseñalaque losniñosnecesitandarsignificadoa losconceptosya lasacciones que van realizando y que “es precisamente por razón de su necesidad de acomodarnuevosconocimientosasuconocimientoprevioquesuscomprensionesalgunasvecesdiscrepandelasversionesoficiales”(Sfard,2001a,p.105).Elniñoharáaproximacionesdistintasalacom-prensióndeun concepto y seguirá resignificándoloalmanejarlo endiferentes contextos (Sfard,2001a).Muchosinvestigadorescoincidenenlaideadequeloserroresquecometenlosestudiantesduranteelprocesodeaprendizajeseasemejanalrecorridohistóricodelaconstruccióndeloscon-ceptos(Tall,1991;Sfard,2001a).Sfarddicequealobservarlahistoriadeldesarrollodeuncon-

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ceptomatemático,unosedacuentadequeesigualalamaneracomolosestudiantesaprendenmatemáticas;losmatemáticospensaroninicialmenteelconceptodeacuerdoconsusconocimientospreviosynollegaroninmediatamentealsignificadoquepodemosencontrarennuestrosdías.

Así,elconocimientomatemáticode losestudiantesnonecesariamentesemanifiestademaneracorrectaalosojosdeunobservadorqueposeeunconocimientomásestructurado,peroelerrordebeversecomonecesarioenelprocesodeaprendizaje(Sierpinska;1999).Nosepuedepensarqueporhaberenseñadountema,ésteyaquedaaprendidocomoeldocenteloespera.Avecesparecequesí,porquehayconcepcionesquefuncionanadecuadamenteenalgunassituaciones;peroesasmismasconcepcionesaparentementecorrectaspuedennoresultarcoherentesenotroscontextos(Tall,1991).

3.Desempeñosydesempeñosauténticos

Elestudianteaprendelosconceptosmatemáticosysusignificadoalutilizarlosendiferentescon-textos.Entremássituacionesdiferentes se lepresentenalestudiante,másaprenderá, yaqueelsignificadoquelos individuosdanalosconceptosestárelacionadoconlamaneradecómolosutilizanencontextoyconlavariedaddecontextosenquelohagan.Elprocesodeaprendizajeenmatemáticasesdialéctico:alutilizarelconceptoserefuerzaelconocimientoestructuraloteórico,yalreforzarlateoríasefacilitalautilizacióndelconcepto.Noessuficienteconocerdefinicionesosaberrealizarprocesosyusaralgoritmosparaquelosestudiantespuedandarsignificadoalasideasmatemáticas(Sfard,2001b).

Variosinvestigadoresreconocenlaimportanciadequehacermatemáticasenlaescuelaseacerquealoquesignificasabermatemáticasenladisciplina.(Ritchhart,1999).Algunosinclusoobservanquelosdesempeñosbásicosdequienhacematemáticas,como“lacapacidadparadetectarpa-tronesyexpresargeneralidad”sepuedenidentificar“enelniñodesdesunacimientoy,ciertamente,desde su ingresoa la escuela” (Mason, 1999, p. 232). SegúnRitchhart (1999), las actividadesmatemáticasauténticas,aquellasquesebasanenelquehacerrealdeladisciplina,selocalizanencuatrodimensionesdiferentes:cómosehace,paraquésehace,cómosepresentayquéseestudiaenmatemáticas.

Elcómohacereferenciaaaccionesymétodosutilizadosenlasmatemáticas,comoexperimentar,observar,detectarpatrones,hacerconexionesentreconceptosysusrepresentaciones,organizardatos,inducirodeducir,generarhipótesisogeneralizar.Elpara quéenmatemáticases,porejem-plo,paramodelarfenómenos,hacerpredicciones,buscarordenyregularidades,buscarrelacionesoexperimentarelplacerdejugarconideas.El cómo se presentaremitealasformasenquelosmatemáticosorganizan la informaciónypresentansus ideas:Un lenguaje ideográficouniversalqueseexpresaentablas,fórmulas,ecuaciones,símbolos,variables,modelos,etc.El quésonloscontenidosdelasmatemáticas,comolageometría,laaritmética,laprobabilidad,elálgebra,elcálculo,etc.(Ritchhart,1999,p.35).

Losdesempeñosauténticosenmatemáticasseránentoncesaquellosquecomprometenaquienesaprendenenlasdiferentesactividadesyáreasincluidasenestascuatrodimensiones.Éstosdaránalestudiantelaoportunidaddevivirunambientericoparaconstruirconocimientoygenerarcomp-rensiónenladisciplina.Silosmatemáticosobservanyanalizanpatronesyrealizanestimacionesyprediccionesapartirdeellos(Rithchhart,1999;Mason,1999);si“buscanpatronesenlosnúmeros,enelespacio,enlasciencias,enloscomputadoresyenlaimaginación”(Oteen,citadoenRitch-hart,1999,p.39);si“lasteoríasmatemáticasexplicanlasrelacionesentrelospatrones[y]…lasaplicacionesmatemáticasusan lospatronespara ‘explicar’ ypredecir fenómenosnaturalesquesiguenestospatrones”(Oteen,citadoenRitchhart,1999,p.39),entoncesdeberemosverenclasealosestudiantesdenuestroscolegiosrealizandoactividadessimilares.

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Sfard(2001b)aseguraquenoesfácildiseñarproblemas genuinosqueaportenalaprendizajedelindividuoyqueconduzcanaideasmatemáticasimportantes.Entiendeporproblema genuinoaquelque confronta al estudiante con una dificultad auténtica peromanejable, con preguntas clarasysignificativasperoderespuestasdesconocidas,inmersoenuncontextorealperoestrechamenteconectadoconunaideamatemáticaimportanteyquepermitautilizarunamplioespectrodehabi-lidadesdelosestudiantesysatisfacersusintereses.Sfardtambiénhabladelpeligrodeconvertirloscursosdematemáticasenunacoleccióndepasatiemposyactividadesagradablesperocarentesdesentidomatemático.

4.Lainteracciónsocial

SegúnSfard(2001b),paraunaprendizajerealmenteefectivoenmatemáticas,eltrabajoindividualy las intervenciones sustancialesdelprofesorpuedenser tanvitales comoel trabajoenequipo.Elaprendizajede lasmatemáticases,por tanto,unamezcla intrincadadereflexión individualeinteracciónsocial.Ennuestrocurrículoelaprendizajeencolaboraciónesdesumaimportancia.Es-peramosqueelestudiantetomeporsucuentalaresponsabilidaddedarlesignificadoindividualaloqueestáaprendiendoalavezqueayudaalaconstruccióndeunsignificadocolectivo(Garrison,1993citadoenStacey,1999).

Cadaestudiantequehaceelesfuerzodecomunicar ideasmatemáticasaprendeymuestraasuvez su pensamientomatemático (Sfard, 2000). Esto puede hacerse para otros tanto oralmentecomoporescrito.Variosautoreshan identificado la importanciade la comunicaciónescrita enelaprendizajedelasmatemáticas.Porejemplo,Pegalee(2001),ensuestudioacercadelroldelametacogniciónenelaprendizaje,dicequepareceserdevitalimportanciaescribirenclasedematemáticasparaquelosestudiantespuedanactuarsobresuspropiosprocesosdepensamiento.Indicaquequienescribeestárealizandodeliberadamenteunaacciónanalítica.Laescriturapermiteigualmenteintercambiarestrategiasmásomenosefectivasenlaresolucióndeproblemas.

Almismotiempo,losestudiantesdebenclarificaryvalidarsuscomprensionesapartirdelanego-ciaciónyeldiálogopermanentes(Garrison,1993,citadoporStacey,1999).ParaSfarddebemosverelaprendizajecomounprocesoqueintegraacadaquienaungruposocialdeunadimensiónmayor.Aligualquelohacenloscientíficos,losestudiantestendránquellegaraconsensosmedi-antelaargumentaciónmatemáticaencolaboración(Kasami,2001).

Conclusión

En conclusión, (…) partimos de que el aprendizaje de lasmatemáticas se propicia cuando laspersonasponenenjuegosusideasmatemáticasendiferentestiposdeactividadesauténticamentematemáticasqueserealizanindividualmenteyencolaboración:formularhipótesis,hacerpredic-ciones, realizar experimentos para comprobar lo dicho, generar argumentos para sustentar laspropias ideas, comunicar adecuadamente las ideas usando diversas representaciones y utilizarherramientasyprocedimientosmatemáticospararesolverproblemas.Todoestodebepermitiralosestudiantesentenderyusarelsistemaformaldelasmatemáticasysulenguaje,asícomoutilizarlosentantoherramientasparadesempeñarseefectivamenteensuvidaindividualysocial.

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Anexo4:LasideasdePólyaenlaresolucióndeproblemasCuadernosdeinvestigaciónyformacióneneducaciónmatemática1

2006,Año1,Número1

CristianAlfaroEscueladeMatemáticadelaUniversidadNacional

[email protected]

Resumen

LasprincipalesideasdeGeorgePólyasondescritas:elmétododeloscuatropasos,elpapeldeldocente,lalógicadelrazonamientoplausibleycómoresolverunproblema.

GeorgePólyafueungranmatemáticoquenacióenBudapesten1887ymurióenPaloAlto,Cali-fornia,en1985.Alolargodesuvidageneróunalargalistaderesultadosmatemáticosy,también,trabajosdedicadosalaenseñanzadeestadisciplina,sobretodoeneláreadelaresolucióndeproblemas.

EstostrabajosbásicamentefueronescritosenlosañoscuarentadelsigloXX,perosutraducciónnosereializóhastalosañossesentaysetenta.

Setratadeunpersonajeclaveenlaresolucióndeproblemasyesconsideradoelpioneroogestordelasprimerasetapasdeestatemática.

LaposicióndePólyarespectoalaresolucióndeproblemassebasaenunaperspectivaglobalynorestringidaaunpuntodevistamatemático.Esdecir,esteautorplantealaresolucióndeproblemascomounaseriedeprocedimientosque,enrealidad,utilizamosyaplicamosencualquiercampodelavidadiaria.

Parasermásprecisos,Pólyaexpresa:“Mipuntodevistaesquelapartemásimportantedelaformadepensarquesedesarrollaenmatemáticaeslacorrectaactituddelamaneradecometerytratarlosproblemas,tenemosproblemasenlavidadiaria,enlasciencias,enlapolítica,tenemosprob-lemaspordoquier.Laactitudcorrectaenlaformadepensarpuedeserligeramentediferentedeundominioaotro,perosólotenemosunacabezay,porlotanto,esnaturalqueendefinitivahayasólounmétododeacometertodaclasedeproblemas.Miopiniónpersonalesquelocentralenlaenseñanzadelamatemáticaesdesarrollartácticasenlaresolucióndeproblemas”.2

1 Este texto es una trascripción editada de una conferencia impartida por el Magister Cristian Alfaro, el 25 de marzo de 2006 en un Seminario Teórico. La trascripción y edición preliminar del texto fue realizada por el estudiante de la Universidad Nacional José Romilio Loría. El autor hizo la edición final. En: http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno1/Cuadernos%201%20c%202.pdf

2 Es interesante rescatar que esta idea no nació de la noche a la mañana, Pólya desde joven era una persona muy inquieta por la física y la matemática; le encantaba asistir a conferencias y a clases para observar la demostración de teoremas. En estas charlas o lecciones, a pesar de que la exposición de los conceptos era bastante clara, la inquietud de él siempre era la siguiente: “Sí, yo tengo claro el razonamiento, pero no tengo claro cómo se origina, cómo organizar las ideas, por qué se debe hacer así, por qué se pone de tal orden y no de otro”. Esto lo llevó a cuestionar las estrategias que existían para resolver problemas o cómo se concebiría una sucesión de pasos lógicos para aplicar a la resolución de cualquier tipo de problema.

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Métododeloscuatropasos

Pólyaplantea,ensuprimerlibro,el llamado“ElMétododelosCuatroPasos”,segúnelcualseproponelosiguientepararesolvercualquiertipodeproblema:• Comprenderelproblema• Concebirunplan• Ejecutarelplany• ExaminarlasoluciónParacadaunadeestasetapas,Pólyaplanteaunaseriedepreguntasysugerencias.

1.Comprenderelproblema

Paraestepasosesiguenlassiguientespreguntas:

• ¿Cuáleslaincógnita?• ¿Cuálessonlosdatos?• ¿Cuáleslacondición?• ¿Eslacondiciónsuficienteparadeterminarlaincógnita?• ¿Esinsuficiente?• ¿Esredundante?• ¿Escontradictoria?Esdecir,estaeslaetapaparadeterminarlaincógnita,losdatosylascondicionesyparadecidirsiesascondicionessonsuficientes,noreduntantesocontradictorias.Deestamanerasebuscaqueelproblemaseacomprendidodemejormanera.

2.Concebirunplan

ParaPólya,enestaetapadelplan,elproblemadebeasociarseconproblemassemejantes.Tam-biéndeberelacionarseconresultadosútilesydeterminarsisepuederecurrirproblemassimilaresyasusresultados(aquísesubrayalaimportanciadelosproblemasanálogos).Algunasinterrogantesútilesenestaetapason:• ¿Sehaencontradoconunproblemasemejante?• ¿Havistoelmismoproblemaplanteadoenformaligeramentediferente?• ¿Conoceunproblemarelacionado?• ¿Conocealgúnteoremaquelepuedaserútil?• ¿Podríaenunciarelproblemaenotraforma?• ¿Podríaplantearloenformadiferentenuevamente?Refiérasealasdefiniciones.Estasinterrogantescontribuyenaformularunplanaseguirparalaresolucióndelproblema.

3.Ejecucióndelplan

Duranteestaetapaesprimordialexaminartodoslosdetallesyesparteimportanterecalcarladiferenciaentrepercibirqueunpasoescorrectoy,porotrolado,demostrarqueunpasoescorrecto.Esdecir,esladiferenciaquehayentreunproblemaporresolveryunproblemapordemostrar.Porestarazón,seplanteanaquílossiguientescuestionamientos:• ¿Puedeverclaramentequeelpasoescorrecto?• ¿Puededemostrarlo?

Pólyaplanteaquesedebehacerunusointensivodeestaseriedepreguntasencadamomento.Estasinte-ólyaplanteaquesedebehacerunusointensivodeestaseriedepreguntasencadamomento.Estasinte-rrogantesestándirigidassobretodoaloqueélllama“problemaporresolver”ynotantolosproblemaspordemostrar.Cuandosetienenproblemaspordemostrar,entonces,cambiaunpocoelsentido.Estoesasí

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porqueyanosehabladedatos,sino,másbien,dehipótesis.Enrealidad,eltrabajodePólyaesfundamentalmenteorientadohacialosproblemasporresolver.

Ensíntesis:alejecutarelplandesolucióndebecomprobarsecadaunodelospasosyverificarqueesténcorrectos.

4.Examinarlasolución

Tambiéndenominada“etapadelavisiónretrospectiva”.Enestafasedelprocesoesmuyimportantedetenerseaobservarquéfueloquesehizo;senecesitaverificarelresultadoyelrazonamientoseguido.

Paraesto,pregúntese:

•¿Puedeverificarelresultado?

•¿Puedeverificarelrazonamiento?

•¿Puedeobtenerelresultadoenformadiferente?

•¿Puedeverlodegolpe?

•¿Puedeemplearelresultadooelmétodoenalgúnotroproblema?

Estascuestionesdanunaretroalimentaciónmuyinteresantepararesolverotrosproblemasfuturos:Pólyaplanteaquecuandoseresuelveunproblema(queesensíelobjetivoinmediato),también,seestáncreandohabilidadesposteriorespararesolvercualquiertipodeproblema.Enotraspalabras,cuandoseaplica lavisiónretrospectivadelproblemaqueseresuelve,sepuedeutilizar tanto lasoluciónqueseencuentracomoelmétodoutilizado;esteúltimopodráconvertirseenunanuevaherramientaalahoradeenfrentaracualquierotroproblema.

Dehecho,esmuyválidoverificarsisepuedeobtenerelresultadodeotramanera;sibienesciertoquenohayunaúnicaformaoestrategiapararesolverunproblema,puedehaberotrasalterna-tivas.Precisamente,estavisiónretrospectivatieneporobjetivoqueveamosestaampliagamadeposiblescaminospararesolveralgúntipodeproblema.

ELPAPELDELDOCENTEENELPROCESO

Unaspectomuyrelevanteentodoesteprocesoeslafunciónquetieneeldocente.SegúnPólya,elpapeldelmaestroes“ayudaralalumno”,peroestodebeserentendidoconmuchocuidado.Esdifícilllevarloalapráctica,porqueenrealidadesaayuda,comodiceél,notienequesernimuchanipoca;sinembargo,aveces,esunpocosubjetivodeterminarsielprofesorestáayudandomuchooestáayudandopoco.Laayudaquedéunprofesordebeserlasuficienteylanecesaria.Porejem-plo,nosepuedeplantearunproblemamuydifícilyabandonaralestudianteasupropiasuerte,perotampocoplantearunproblemayqueelmismodocenteloresuelva.Sisehaceloúltimo,noseenseñanadasignificativoalestudiante;enotraspalabras:esimportantequeelalumnoasumaunaparteadecuadadeltrabajo.

Hacerpreguntasqueselehubieranpodidoocurriralalumnoes,también,crucialenelproceso.EsporesoquePólyaplanteaconstantementequeelprofesordebeponerseenloszapatosdelestudiante.

Evidentemente, cuando el docente propone un problema y sabe cómo se resuelve, presenta lasolucióndeformaque todoparecemuynatural.Sinembargo,elmismoestudiantecuestionasirealmenteselepuedeocurriraélesasolución.Allísurgeunaseriedecircunstanciasqueapuntanalprofesorcomolaúnicapersonacapazdeencontrarelmecanismodesoluciónparaelproblema:

• Preguntaryseñalarelcaminodedistintasformas.

• Usarlaspreguntasparaayudaraqueelalumnoresuelvaelproblemaydesarrollarenéllaha-bilidadderesolverproblemas.

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Pólyarecalcaelinterés

SegúnPólya,pararesolverunproblema,loquesetienequetenerfundamentalmentealinicioesinterésporresolverelproblema.Laactitudquepuedematarunproblemaesprecisamenteeldesin-terés;porellosedebebuscarlamaneradeinteresaralalumnoporresolverproblemas.Entonces,esrelevanteeltiempoquesedediqueaexponerelproblema:elprofesordebeatraeralosestudi-anteshaciaelproblemaymotivarsucuriosidad.

Enocasiones,eldocentenoencontraráprogresoenelestudianteyesprobablesedebaaqueéstenotienedeseosderesolverelproblema.

Unmétodoquesueleresultarútileseldelaimitación:elprofesordebeserunmodeloparalaresolucióndeproblemas.Entonces,élmismodebehacerlaspreguntascuandoresuelveunproblemaenlaclase.

Ahorabien,esimportanteprepararconcuidadolosejemplos,nosedebeproponerahíproblemasqueparezcanimposibles,sinoquerealmenteseanadecuadosyqueseencuentrenalniveldeles-tudiante.

Lapresentacióndelosproblemastiene,entonces,muchopesoenelproceso.Noconsisteendarunalistainterminabledeejerciciosparaqueresuelvanypunto;porelcontrario,setratadesembrarlacuriosidadyelinterésporelproblema.

Elmétododeinterrogardelprofesor

Eldocentedebecomenzarconunapreguntageneralounasugerencia,irpocoapocoapreguntasmásprecisashastaobtenerrespuestasdelosalumnos;luego,deberealizarpreguntasysugerenciassimplesynaturales.

Pólyamuestra constantementediálogosentre elprofesor y el estudiante,así comoejemplosdeproblemas.Unomuy interesanteesacercadelcálculode ladiagonaldeunparalelepípedo.EnesteproblemaPólyasugierellevaralestudiantearazonaryverproblemasanálogos(comoeldecalcularunadiagonalenunrectángulo);sinembargoacotóqueseríaincorrectoquelosprofesores,conelafándeayudara losestudiantes,hagansugerenciascomo,porejemplo,preguntarsisepuedeaplicarelteoremadePitágoras.Pólyadicequeunapreguntaenesesentidoseríadeplor-able.ElestudiantequeyatieneclaralaideapordondevalasoluciónvaavermuynaturalquesevaaemplearelteoremadePitágoras;perolapersonaquenohatenidolacomprensiónclaradelproblemaenesemomentovaadecir:“SequéeselteoremadePitágoras,pero¿cómoseaplicaenesteproblema?”.

Esaspreguntasparecensimplesperonoloson,tienenqueserconformadasconmuchocuidado.Pólyainsistemuchoenqueseanpreguntassimples,naturales,queselepuedanhaberocurridoaalgúnestu-diante,queseanaplicablesatodotipodeproblemas.

Estetipodepreguntasmencionanindirectamentelasoperacionestípicamenteintelectualesquesevanautilizarenlaresolucióndeproblemas.

Característicasdelaspreguntasysugerencias

Lageneralidad

Laspreguntasy sugerenciasnoestán restringidasaundeterminado tema.Yaseaunproblemaalgebraicoogeométrico,unaadivinanza,o cualquier tipode situaciónquenosotrosqueramosenfrentar,Pólyaplanteaquelaspreguntassonaplicables.Señalaquecualquiertipodepersonase

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puede interesar en la resolucióndeproblemas.Demaneraespecial, hace la comparación conloscrucigramasenelperiódico,loscuales,enrealidad,suscitanelinterés.Estetipodeacertijos,juegosyenigmasnonecesariamentecontienenunaaplicacióndirectaenlavidareal,peroestimu-lanelpensamiento.Esacuriosidadsedebetrasladaralamatemática,paraquetambiénseaalgonaturaly,por lotanto, laspreguntasdebensergenerales(queserefieranatodotipodetemasosituaciones).

Elsentidocomún

Laspreguntastienenquesernaturales,sencillas.ParaestoPólyarecalcaqueesnecesariovercons-tantementecuálessonlosdatosdelapreguntaycuálessonsusposiciones.

Enrealidad,estetipodepreguntasseaplicanacualquierámbitodelsaberynonecesariamentealamatemática.Sugierenellasunaciertaconductaquedebepresentarseenformanaturalenlamentedecualquieraquetengaunciertosentidocomún.Pólyahacemuchohincapiéenquesinoexisteunverdaderointerésenelproblemaserámuycomplicadopoderresolverlo.

Elobjetivoderealizarunapreguntaosugerenciaesevidentementeayudaralestudiantearesolverelproblemaencuestióny,desdeluego,desarrollarlahabilidaddeéste,detalmodoquepuedaresolverporsímismoproblemasposteriormente.

¿CÓMORESOLVERUNPROBLEMA?

Pólyainsistemuchoenempezarporelenunciado,visualizarelproblemacomountodo.Lonaturalesqueelestudianteseaelprimeroquesefamiliariceconelproblemacomountodo;estoestimulalamemoria.Yavisualizado,setieneclaroquésedeberesolver,y,unavezquesucedaesteproceso,secomprendeelproblema;aquíseaíslansuspartesyselascomienzaaresolverpasoapaso.

Unaideaútil:comienceporloprincipal,veaelproblemadesdediferentesperspectivas,conécteloconconocimientosanteriores,busquealgofamiliaryútilenloquehahechoantes.Sisetieneunaideaincompletahayqueconsiderarlaafondo.Identifiqueenquélaidealepuedeservirlaidea,siloayudaráaconcebirelproblemaenformaglobal.

Ejecucióndelplan:inicieconlaideaquelollevealasolucióncuandoestéconvencidodepodersuplirtodoslosdetalles.Asegúresedequecadapasoescorrecto.Siesposible,dividaelprocesoenpequeñosygrandespasos.

Visiónretrospectiva:unavezqueresuelvaelproblema,esimportantenodejardeladoquesiemprehayunaprendizajeparaanalizarloquehizo;evidentementeseaplicaposteriormente.Elmismoproblemapuedeserútilenotroproblema,nosóloporeltipodeproblemasinoporelmétododesolución.

LASHEURÍSTICAS

Laheurísticamodernabuscacomprenderelmétodoqueconducealasolucióndeproblemas,enparticular,lasoperacionesmentalestípicamenteútilesenelproceso.

Aquídebetenerseencuentauntrasfondológicoypsicológico.Pólyaafirmaquelaseleccióndepreguntasqueseplanteanparacadapasonoseescogenalazar,sinoqueexistenaspectoslógicosypsicológicosrelacionadosentresíparalaformulacióndedichaspreguntas.Ensulibroaclara:téngaseencuentaqueelautortienemuchaexperienciaenlaenseñanzadelasmatemáticasylaresolucióndeproblemas.

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Noesfácilhacerpreguntasenunordenmuydefinido;esclaroquesiestosucedeynoestánalazaresporqueprocedendelaexperienciademuchosañosdeestartrabajandoconeso.

BásicamenteloquePólyaproponeesqueelestudiodelaheurísticabuscaobtenerpuntoscomunesencualquiertipodeproblemas.Loquesequiereobtenersonlascaracterísticasgenerales,estrate-giasderesolución,independientementedelproblema.Elobjetivoescomprenderestasestrategiastípicamenteútilesenlaresolucióndeproblemas.

Algunasdeesasheurísticassonlasqueacontinuaciónsedescriben:

1.Variacióndelproblema

Elproblemaoriginalsepuedevariardescomponiéndolounpocoynonecesariamenteselodebeenfocardirectamente,sinorecurriraunproblemaanálogo.

Separepartes,cambiealgunacondición.Pólyaafirmaqueesteprocedimientogeneralamoviliza-eparepartes,cambiealgunacondición.Pólyaafirmaqueesteprocedimientogeneralamoviliza-ciónylaorganizacióndelosconocimientos:siapelaaeseconocimientoprevioquetenemos,talvez,porahíescondido.Esteúltimononecesariamentesaleafloteamenosqueempecemosahacervariacionesycambios.

2.Generalización

Alanalizaruncasoenparticularsesiente lanecesidaddeprobarelproblemaenuncasomásgeneral:entonces,segeneralizaunpocoelproblemaconelqueseestátrabajando.Elmétodoespasardelexamendeunobjetoalexamendeunconjuntodeobjetos,entreloscualesfiguraelprimero.O,porotrolado,pasardelexamendeunconjuntolimitadodeobjetosaunconjuntomásextensoqueincluyaalconjuntolimitado.

3.Particularización

Eselcasoinversodelageneralización:aapartirunproblemageneralseempiezaaparticularizarenalgunoscasosparaencontraralgunaideaoluzsobreelproblemaporresolver.Consisteenpasardelaconsideracióndeunconjuntodeobjetosdadoalaconsideracióndeunconjuntomáspequeño(oinclusodeunsóloobjeto)contenidoenelconjuntodado.

4.Analogía

Pararesolverunproblemasepuedeutilizarlasolucióndeunproblemaanálogomássencillo,yaseausandosumétodo,suresultadooambos.

LALÓGICADELRAZONAMIENTOPLAUSIBLE

Pólyaaseguraque,enocasiones,altrabajarseplanteaunrazonamientoquenoesprecisamenteelsilogismoquenormalmenteseusa.Setratadeunmétododealumbramientodemuchasideas:elmodus tollens,queplanteaquesiAimplicaByBesfalsa,entoncesAtambiénesfalsa.Estetipoderazonamientoeslógicoytienesuscaracterísticasdeimpersonalidad,entantonodependedelaspersonas.

Todospensamosdistinto,perosiaceptamoslaspremisas,irremediablementeaceptamoslaconclu-sión.Esuniversal.Seaplicaacualquierámbitodelconocimiento.Esautosuficienteynonecesitadeaspectosoelementosexternosparaobtenerlaconclusión.Esdefinitivo.

Sinembargo,Pólyaplanteaun razonamientodiferente:el razonamientoplausible.ConsisteenquesiAimplicaByBescierto,entoncesAesmásdignadecrédito.Hacehincapiéenqueesto,desdeel

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puntodevistalógico,noescorrectoyaceptarloseríaunalocura,perodescartarloseríaaúnunamayorlocura.

Grossomodo,enamboscasoslasdosprimeraspremisassonigualmenteclarasydefinitivas;estánenelmismonivellógico.Perolasconclusionesestánendiferentenivellógico.Enelcasodemos-trativo, laconclusiónestáenelmismonivelque laspremisas,mientrasqueenelrazonamientoplausibleesmenosfuerte.

Ensí,loquequieredeciresquelamatemática,ensuformadeexposicióneuclidiana,tieneunaestructuralógicabastantecoherenteyes“máscientífica”quecualquierotraciencianatural.Sinem-bargo,enrealidadelmatemático,dicePólya,razonadedistintasmaneras,nodeunaúnicaforma:conjeturando,buscandorelaciones.Esaformaderazonarestáactualmenteocultaenlaenseñanzadelamatemáticayesoesloqueélplanteaquedebemostrárselealestudiante.

Lascaracterísticasdelrazonamientoplausible

Es impersonal:laverificacióndeunaconsecuenciafortalecelaconjetura.Peroestaimpersonalidadselograsolamenteporqueestospatronessonrestringidosaunaspectodelainferenciaplausible.Encuantoqueremossabersobrelafuerzaquedaalaconjeturalaverificacióndeunaconsecuen-cia,sepresentanlasdiferenciaspersonales.

Es universal:laverificacióndeunaconsecuenciaesunaevidenciarazonabledeunaconjeturaencualquierdominio.Peroestauniversalidadselograporlaunilateralidaddelpatrón.Otravez,estauniversalidadseveempañadacuandosetratadedeterminarcuáleselpesodelaevidencia.Así,existenlímitesparalauniversalidaddelainferenciaplausible.

Es autosuficiente:laconclusiónplausibleestáapoyadaporlaspremisas.Perocarecededurabili-dad.Dehecho,otravez,elpesodelaevidenciadependedecosasnomencionadasenlaspremi-sas.Ladirecciónestádadaenlaspremisas(másomenosdignadecrédito),perolafuerzano.Nodependedeelementosexternos.

Es provisional (no definitivo):nosepuedesepararlaconclusióndelaspremisas.Conlaspremisaslaconclusióngozadesentido,peropuededisminuirsuvalorconeltiempoaúnconlaspremisasintactas.Suimportanciaestransitoria.Puedeapareceruncontraejemploqueeliminelaconjetura.

En conclusión: undocentedematemáticasdebetenerencuentaqueunrazonamientopresentadoenformacorrecta(loquesellamalaexposicióneuclidiana)conunmétodoriguroso,puedenoserinteligibleniinstructivo.Estosucedeasíentantonosehacecomprenderelpropósitodecadaunadelasetapas;esdecir,sinoseentiendeelmodoporelcualsehaobtenidodichorazonamiento.

Elprofesordematemáticasdebemostrarelrostrohumanodeestadisciplina:dóndeseequivoca,dóndeseconjetura,dóndelasconjeturassedesechanosemantienensihayproblemasabiertosqueaúnnosabemossitienensoluciónono.Seríaimportantequemuchosdeesosaspectospudi-eranincluirseenlaenseñanzadelasmatemáticas.

REFERENCIAS

Pólya,G.(1990).Cómo plantear y resolver problemas.México:Trillas.

Pólya,G.(1966).Matemáticas y razonamiento plausible.Madrid:Tecnos.

Schoenfeld,A.(1985).Mathematical Problem Solving. Orlando:AcademicPress.

Schoenfeld,Alan. (1992).Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sensemaking in Mathematics. Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning.pp.334-370.Enlínea:20demarzode2006.http://gse.berkeley.edu/faculty/AHSchoenfeld/Learning-ToThink/Learning_to_think_Math.html.

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Anexo5:ConsejosprácticosparalaenseñanzadelasMatemáticasResolverproblemas:estrategias.Unidadesparadesarrollarelrazonamientomatemático2001,segundaedición

KareStaceySusieGroves

Narcea,S.A.Ediciones.Madrid.

Enseñararesolverproblemasesparamuchosdocentesdematemáticasunatareanuevaypocofa-miliar.Laestrategiausualdeenseñanza–exposición,ejemplosilustrativos,ejerciciosrutinarios–noesapropiadacuandoelinteréssequieredesplazardesdeaprendercómohacertareasrepetitivashaciaelaprendizajesobreelprocesodeexploraciónyaplicacióndelasmatemáticas.

Estassugerenciasprácticasnopretendenqueseentiendaquesoloexisteunaformadeenseñarconéxitolaresolucióndeproblemas.Losdocentesnecesitanexperimentarparasercapacesdesacarelmáximoprovechodesupropioestilodeenseñanza.

PREPARACIÓN

Eldocentedebeempezarporresolverlosproblemasélmismo.Nadapuedereemplazarlaexpe-rienciapersonalde“hacermatemáticas”.

ELPAPELDELDOCENTE

Conciernealdocente:

• Ayudar a los estudiantes a aceptar los retos. Unproblemanoestalhastaquesequiereresolver.

• Crear un ambiente de confianza en la clasequepreparealosestudiantesaenfrentarseasitua-cionesnofamiliaresyquelosayudeanosentirsedemasiadoangustiadoscuandosebloquean.

• Permitir que los estudiantes desarrollen sus propias ideasparaencontrarunasoluciónyayudar-loscuandoseanecesario,sindarlesdirectamentelarespuesta.

• Proporcionarunmarcoenquelosestudiantes puedan reflexionar acerca de (es decir, pensar, discutir y escribir sobre) los procesos en que están inmersos y, deestaforma,aprenderdelaex-periencia.

• Hablar a los estudiantes sobrelosprocesosinvolucradoscuandosehacenyaplicanlasmatemáti-cas,demaneraquepuedanadquirirunvocabularioquelosayudeapensaryaprender.Loses-tudiantesaprendenmuchomáseficazmentecuandoeldocentedirigeexplícitamentesuatenciónalasestrategiasyprocesosimplicadosenlaresolucióndeproblemas.

DARRESPUESTASYSUGERENCIAS

Aunquenoesimportantequelosestudiantesaprendan“cómoresolver”cualquierproblemacon-creto,síloesquelosproblemasnoquedenplanteadosalaclaseindefinidamente.Sugerimosquela mayoría de los problemas se “agoten” en una discusión en clase, aunqueocasionalmenteestosupongadarlarespuestasóloalamayoría.Endichadiscusiónpodríanmencionarsealgunoscami-nosfallidos.Esimportanteaprendertambiénacercadelastentativasfrustradas.

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Unadelastareasmásdifícilesconlaqueeldocenteseenfrentaesencontrareljustoequilibrioentredeciralosestudiantesdemasiadoydejarlosbloqueadosmuchotiempo.Escontraproducentequelosestudiantessesientan,incapacesdemoverseunápice,perotambiénloesqueotrapersonalesresuelvaelproblema.

Avecestodoloquesenecesitaesdarlesánimos:“¿Estásbloqueado?Notepreocupes,¿quépo-dríasintentar?”Lassugerenciaspuedenconducirindirectaodirectamente,conmenosprovecho,aestrategiasderesolucióndeproblemas:“¿Quéestrategiascreesquepodrías intentarenestasituación?”o“¿Hasbuscadoalgunaregularidadenestosnúmeros?”Lasestrategiasdirectas,rela-cionadasconelcontexto,como:“¿Quéconsiguessiencuentraslasdiferenciasentreestosnúme-ros?”apenasdeberíanusarse;otrascómo:“¿Hasreconocidolosnúmerostriangulares?”,deberíandejarseparacasosextremos.

NOIRDEMASIADODEPRISA

Estanimportantemantenerunarazonablecalma,sinprolongarlasunidadesdemasiadotiempo,comodaralosestudianteslaoportunidaddequeexplorenenprofundidadalgunosproblemaseinformenaotroscompañerosdelaclase.Sepuedeaprendermuchodecadaexperiencia.

RESUMIRCADASESIÓN

Esbuenaideafinalizarlamayoríadelassesionesresumiendolospuntosimportantesquesehandesarrollado.Hemosconstatadoquelosdocentesnosuelenconcedersuficientetiempoaesto,es-pecialmentecuandolosestudiantesestántrabajandobien.

NOBORRAR

Enlahojadeborradornoesnecesariopreocuparseexcesivamentedelorden.Esmejortacharcontrazosfinosyescribirnotasrápidastalescomo“incorrecto,olvidédividirlosnúmerospordos”.

TRABAJOESCRITO

Lamayoríadelosdocentessesientenfrustradosporlapocacalidaddelaexpresiónescritadelosestudiantesysedesalientananteelesfuerzoquelesexige.Apesardeello,esbuenopediralosestudiantesqueelaboreninformesdeunaterceraparteolamitaddelosproblemasqueaborden.Porsuerte,losdocentessedancuentadequelosestudiantessuelenmejorarrápidaysignificativa-menteenesteaspectocuandocomienzanapercatarsedelacantidadderazonamientoqueimplicayempiezanatomardecisionesqueeslomásrelevanteparapresentarunasoluciónclara.

Explicarloquesehahechodeformaquecualquierotrapersonapuedacomprenderloesunaha-bilidadimportantequesedebedesarrollarypropiciatantolacomprobacióncomolareflexión.Losestudiantesaprendenmássiestudianlosproblemascondetenimientoquesipasanrápidamentedeunproblemaaotro.

Paratratardefacilitarlatareadeescribir,incluyendodibujosydiagramasensucaso,sugerimoselsiguienteformato:

Enunciadodelproblema

Todoeltrabajo. Estasesiónnoesparaquelaleanadiemásquesuautor.Sinembargo, los docentes deberían inducir a los estudiantes aescribirtodassusideas.

Copiadodelapizarraentregadoporeldocente

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Enunciadodelproblema

Loquehadescubierto.

Lasideasquemehanayudado.

Explicaciónclaradeloquesehaencontradoydeporquéescierto;resumemásquerepiteeltrabajoprevio.

Breveenunciadodeunaomássugerenciasoestrategiasqueayudaronaresolverelproblema.

Copiadodelapizarraentregadoporeldocente

Amenudo,losestudiantessesientenunpococonfusosalahoradedistinguirentreloquedebenescribirordenadamenteyenborrador,altratardecomentarparaeldocenteenlugarderazonarparasímismos.Avecesesútilsimularunjuegocomo“Hoybuscaremoselmejordiagrama”.

¿Bloqueado?

Inevitablemente,siunproblemaesunverdaderoproblema,elestudiantepuedequedarbloqueadoypedirayudaaldocente.Seríadeseablequelosdocentesofrecieranestaayudademodoquelosestudiantesaprendieranadesarrollarlosrecursosnecesariosparaayudarseasímismosenlugardenecesitarsiemprealdocente.

Existentrespasosparadesbloquearse:

• Reconocerqueseestábloqueandoyaceptarlo.

• Desecharelpánico.

• Haceralgo.

Losdosprimerospasos,aunqueenunsentidotrivial,sonprevios.Sólounestudiantequehadomi-nadolossentimientosdepánicopuederazonarproductivamenteparaencontrarnuevasformasdeabordarlo.

Paratratardehaceralgo,sugerimosquelosestudiantessepregunten:

• ¿QuéSÉsobreelproblema?

• ¿QuéQUIEROencontrar?

• ¿QuépuedoUSARcomoapoyo?

• ¿PuedohacerunaCONJETURA?

• ¿PuedoCOMPROBARloqueheencontrado?

Aunqueestascuestionesnosonútilesensímismas,loseráncuandollenendesignificadograciasalacomprensióndemuchasyricasrelacionessobrecómohansidoútilesenanterioresocasiones.Sóloentoncesplantearselacuestiónseconvertiráenunaalarmaquerecuerdealestudiantecosasquetienequehacer.Porestarazónconfiamosenquelosdocentesempleenconfrecuenciaestascuestiones,indicandoalosestudiantescómosepuedenrelacionarconlasestrategiasysugerenciasqueseesténestudiando.

Sugerenciasútilespararesolverproblemas

1.LÉELOYTRATADECOMPRENDERLO

Nuncaesexcesivoinsistirenquesehagaunalecturacuidadosadelenunciadodelproblema;estosecomtemplanosóloenlasmatemáticassinoenotrascuestiones.Enelfondodemuchosfracasosestáunalecturapocoatenta.

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Estalecturanohadeserpasiva,sinoquedeberíaimplicarescribir,dibujaryexpresarlacuestiónconlaspropiaspalabras.Unalecturainicialcuidadosareducelaprobabilidaddeunacomprensiónincorrectayunarelecturaactivapermiteidentificarinterpretacioneserróneasoinformaciónquesehaolvidado.Hayqueindicaralosestudiantesqueesnormal(yunabuenaidea)leerlacuestiónsiemprequeesténbloqueados,nosóloalempezarelproblema.

Laspreguntas: “¿Qué sé sobre el problema?” y “¿Quéquiero encontrar?” son relevantesparahaceruna lecturacuidadosayse relacionancon losdos tiposdiferentesde informaciónquesepuedeextraerdelenunciadodeunproblema.

2.ESCRIBELOQUEHACES

Esdegranutilidadpedira losestudiantesqueregistrenporescritosuresolución.Amenudoseresistenaescribirunabuenaideayluegolaolvidanohacenlomismodosveces.Escribirquealgosehaintentadoynofunciona,oquees imposible,estanimportantecomoescribiralgoqueescorrectosobretodosieltrabajoseprolongamásdeundía.Elaborarunplanobligaconfrecuenciaaclarificarlo.

Enelcuadernointroducidoofrecemoselconsejoparacomenzar,escribirodibujaralgo.Empezarunproblemaesquizáslapartemásdifícildesuresolución.

Eldocentedebehaceralgoparaevitarquelosestudiantessequedenparadosdelantedeunahojadepapelenblanco.Nodebentemerescribiralgoincorrectoodesordenado.

Pensarsobreloquesesabeysequiereesunasugerenciaparaquelasideasfluyan.Esútilrecon-siderarloquesesabeysequiere(quizásreleyendo)yescribircuandoseestébloqueado.

3.TRABAJASISTEMÁTICAMENTE

Trabajarsistemáticamenteesunhábitosencilloypotentealavez,quepuededarlugaradiferen-ciasnotablesenlaresolucióndeproblemas.Enunnivelsimple,significaabordarlascosasunaauna,exponerlasbien,numerarlaspáginasygeneralmentesaberhaciadóndeseva.Enunnivelmáscomplejo,considerarcasosdeformasistemáticaayudaaencontrarregularidadeseincorporaelensayoyelerrorcomounaherramientadeanálisis.

Hacerdiagramasytablassuponeunaaproximaciónsistemáticaypuedeserunarespuestafrecuen-tementealapregunta:“¿Quépuedousarquemeayude?”

4.USAALGOQUETEAYUDE

Haymuchasayudassencillasyconcretasquefacilitanlaresolucióndeproblemas,nosoloparalosquerazonansobrelocorrecto.Muchassepuedenimprovisardeinmediato,perootrasdebeproporcionarleseldocente.Elpapelcuadriculadoesparticularmenteútilparadiagramasytablas.

Aligualqueconlasherramientasconcretas,sedeberíamotivaralosestudiantesaconsiderarlasherramientasmatemáticasquelespuedenserútiles.Lacantidaddisponiblevaríaengranmedidasegúnelbagajematemáticoprevio,perocomprendelasformasdepresentardatosgráficamenteyelusodesímbolos(cadavezmásalolargodelasecundaria)paraexpresarideas.

Noobstante, el docente debe prestar atención a lo siguiente: normalmente, los estudiantes nosuelenaplicarconocimientosmatemáticosquenolesseantotalmentefamiliaresaunacuestiónnorutinaria.Losdocentespuedenmostrarcómounatécnicamatemáticarecientementeaprendidasepuedeemplearparaobtenerunasolución,peroamenudoesmejorhacerlodespuésdequelosestudianteshayanpresentadosuspropiassoluciones.Sielobjetivoescentrar laatenciónde losestudiantesenlasestrategiasderesolucióndeproblemas,noselesdebepresionarparaqueusenherramientasquenodominan.

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5.BUSCAYEXPLOTAREGULARIDADES

Encontraryexplotarregularidadesesquizáunadelasestrategiasespecíficasdelasmatemáticas.Engeneral losestudiantes llegande laenseñanzaprimariaconunfuertesentidode lasregula-ridades,unagran feenellas.Lo importanteesqueustedconozcamás técnicasparadescubrirregularidadesnuméricasycomprendaqueesprecisocomprobarlasyverificarlasantesdeusarlasindiscriminadamente.

6.USAELENSAYOYERROR

Hemosdecididoincluirelensayoyelerrorcomounaparteimportantedelcursoporvariasrazones.Laprimeraesqueesunaestrategiaempleadadeformanaturalporlosestudiantes:laaplicanalazar,loquesueleserinfructuoso;porello,esfudamentaldepurarlaparaqueloserroresseexami-nenenlugardeabandonarse;loqueproporcionarápidosresultados.Unasegundarazónesquesepuedeaplicaraunaampliavariedaddeproblemasy,conlacrecientecapacidaddelascom-putadoras,seconvertiráenunmétodocadavezmásextendido.Elensayoyelerrorencierraunaactitudextremadamentepotentepararesolverproblemas,quenosesuscitaconeltrabajorutinariodeclase,enconcreto:si no sabes qué hacer, intenta algo, cualquier cosa, u observa qué ocurre. Trabajarsistemáticamenteescrucialparaeléxitodelatécnica.

7.DESARROLLAUNBUENSISTEMADEREGISTRO

Enlaresolucióndeproblemas,losestudiantessuelencodificaryexpresarsituacionesrealesmedian-tesímbolosantesdecontestarlaspreguntas.Porejemplo,envariasunidadesdondehayjuegosdeestrategia,elanálisisdeljuegoexigecasisiempreescribirlainformación;estoes,lasecuenciademovimientosefectuadosyelestadodeljuego.Encontrarunabuenaformaderegistrarestainfor-maciónnoessencillo,sinembargoresultafundamentalparaeléxitodelanálisisdelasituación.Esprecisoquelanotaciónseafácildeescribiryrecordarydebecontenertodalainformaciónesencialenlaformamásconcisaposible.Comotraducirdeunasituaciónrealaunaformasimbólicaesunpasopreliminaresencialenlaresolucióndeproblemas,estaestrategiafiguraenvariasunidades.

8.EXPLICALOQUEHASHECHO

Cuando los estudiantes hanacabadounproblemaohanhecho sumejor esfuerzo, sedeberíainvitararevisareltrabajoyaelaboraruninformeordenadoycoherente,escribiendolasoluciónconlosrazonamientosynosólola respuesta.Unaformadetratardeexplicarestoesdecirles que cualquier otra persona pueda comprenderlo.

Normalmenteesto lespareceuna tareaaburrida,porque retrasael enfrentamiento connuevosproblemas,peromerecelapenainsistirenello.Elprocesodeexplicar,obligaalestudianteare-considerarlasoluciónyledalaoportunidaddereflexionarsobresuexperiencia.Seaprendemásasíquetratandolosproblemasdeformasuperficial.

Ademásdeexplicarqué,sedeberíamotivaralosestudiantesaexplicarel porqué.Estasexplicacio-nessonpruebasinformalesylosdocentesdeberíanbuscarunaprogresióngradualenlaprecisióndeestosargumentos.Laspruebasnotienenporquéestarllenasdesímbolos,esmejorhacerloconpalabras.

9.COMPRUEBATUTRABAJO

Comprobaresunaactividadimportantequesedeberíahacerdevezencuandomientrassetrabajaenunproblema.Sinembargolosestudiantessesorprendenalaprenderquecomprobarnosólosignificarevisarloscálculosaritméticos.Esimportantenorepetirloquesehahechosinoesparahacerlodeformadiferente.

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Existendistintosaspectosdelacomprobación.

10.GENERALIZATUTRABAJO

LafrasePregúntate a ti mismo: ¿Qué ocurriría si…? seusaparaanimaralosestudiantesagenera-lizarsusresultados.Pensamosquesedeberíaponerelénfasisenlageneralizaciónporque:

• Esunprocesobásicodelasmatemáticas.

• Desarrollaunacomprensiónmáscompletadelosresultados.

• Motivaunarevisióndetalladadeloquesehahecho.

• Lapreguntaqueunosehaceasímismoeslaqueprefiereresolver.

Lasgeneralizacionesuotrascuestionesdeltipo¿Qué ocurriría si…?nodeberíanforzarse.Lasmásnaturalessurgendecomprendercómofuncionalaprimerasoluciónodelacuriosidadylacreati-vidaddecadaestudiante.

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Anexo6:Recomendacionesmetodológicasendoscontenidosespecíficos:Elcuadradodel100ydominóparalastablasdemultiplicación

ProporcionadoporAnneleenJolieConsultoraenMatemáticasdelaVVOBProgramaEscuelasGestorasdelCambio

ELCUADRADODEL100

Objetivo:

Conocerycomprenderprofundamentelosnúmerosdel0al100.

Elcuadradodel100esunmaterialmuybuenoparaestructurar losnúmerosdel0al100.Estematerialtieneunarelacióndirectaconelmaterialbase10,esdecir:uncuadraditoesigualaunaunidad,unafilaesigualaunadecenayelcuadradograndeesigualaunacentena.Cuandosevadeizquierdaaderecha,sesumaunaunidad.Cuandosevadederechaaizquierda,serestaunaunidad.Cuandosevadearribahaciaabajo,sesumaunadecena.Cuandosevadeabajohaciaarriba,serestaunadecena.

EducaciónGeneralBásica:

SegundoytercerañosdeEducaciónGeneralBásica.

Materialdidáctico:

Aunquenoesimportantequelosestudiantesaprendan“cómoresolver”cualquierproblemacon-creto,síloesquelosproblemasnoquedenplanteadosalaclaseindefinidamente.Sugerimosquela mayoría de los problemas se “agoten” en una discusión en clase, aunqueocasionalmenteestosupongadarlarespuestasóloalamayoría.Endichadiscusiónpodríanmencionarsealgunoscami-nosfallidos.Esimportanteaprendertambiéndelastentativasfrustradas.

Elcuadradodel100

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• Materialporestudianteparausopersonal:

- Elcuadradodel100sinnúmerosdeltamañodeunahojaA4.

- Espreferibleponerelcuadradodel100enunafundadeplásticoparaquelosestudiantespuedanescribirlosnúmerosconunmarcadordepizarrónyborrarlosconunpañuelo.

• Materialparaeldocenteparausoengrupo:

- Unpizarrónblanco conel cuadradodel100 sinnúmerosdeun tamañoaproximadode1mx1m.

- Unpizarrónblancoconelcuadradodel100connúmerosdeuntamañoaproximadode1mx1m.

- Parapegarlosnúmerosenelcuadradodel100,sepuedeusarcintaadhesiva.Perotambiénesrecomendableusarvelcroparaquecoloquenlosnúmerosenelpizarrónsinquesecaigan.

Usodelmaterialdidáctico:

• Enelcuadradodel100faltanalgunosnúmeros.Losestudiantesdeberáncompletarlosnúmerosquefaltanyexplicarsusrespuestas.

Por ejemplo: Aquí se ubica el número 54 porque después del 53 viene el 54; aquí se colocó el 39 porque antes del 40 viene el 39, ...

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• Enelcuadradodel100estánsolamenteel0,lasunidadesylasdecenas.Eldocentediráunnúmero y los estudiantes lo escribirían en el lugar que corresponde. También explicarán elporquédesurespuesta.

Por ejemplo: Para ubicar el número 76 busco primero el 70 y después cuento 71, 72, 73, 74, 75 y 76.

• Enelcuadradodel100nohayningúnnúmero.Eldocentediráunnúmeroylosestudiantesloanotaráensulugar.Tambiénexplicaránelporqué.

Por ejemplo:

- Para ubicar el número 59 cuento primero en decenas hasta 50: 10, 20, 30, 40 y 50. Después cuento 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 y 59.

- Para ubicar el número 59 cuento primero en decenas hasta 60: 10, 20, 30, 40, 50 y 60. Luego, coloco el 59 antes del 60, porque el número 59 viene antes del 60.

Hojadeevaluación:

Estossonalgunosejemplosdehojasdeevaluación:

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ELDOMINÓPARALAMEMORIZACIÓNDELASTABLASDEMULTIPLICAR

Objetivo:

Aprenderlastablasdemultiplicardemaneralúdica.

EducaciónGeneralBásica:

TercerycuartoañosdeEducaciónGeneralBásica

Laelaboracióndeljuego:

• Primerohayquedecidir qué tablasdemultiplicar se enseñaran. Segúnesto se elaborará eldominó.Por ejemplo: Si se usan todas las tablas de multiplicación o algunas, solamente las tablas de multiplicación más difíciles (7-8-9), por familias (1-5-10, 2-4-8, 3-6-9), etc.

• Despuéshayquedecidirparacuántosestudiantessequierehacereldominóycuántastarjetasserepartiráporestudiante.Por ejemplo: 4 estudiantes - 6 tarjetas por cada uno; son 24 tarjetas más una para empezar. En total son 25 tarjetas.

• Alladoizquierdodelatarjetaseponeunresultadoyasuladoderechosecolocaunejercicio.

• Esimportantequenosepongandosejerciciosenelmismodominóqueposeaigualresultado,losestudiantespodríanconfundirse.

• Tambiénesimportantequealfinaldeljuegosecierreeldominó;esdecirqueelresultadodelúltimoejercicioestéenlaprimeratarjeta.Lespuedeserviralosestudiantescomounautocontrol,conlafinalidaddesabersihicieronbienloscálculosono.

Lasreglasdeljuego:

Manera1:

• Unestudiantedividetodaslastarjetasentresuscompañeros,menosunatarjeta,lamismaquecolocaráenelcentrodemesa.

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Anex

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• Losestudiantesleenelejercicioqueestáenlatarjetaenlamesa.Elestudiantequetienelatarjetaconelresultadopuedeponerlajuntoalaprimeratarjeta.

• Losestudiantesleenelejerciciodelasegundatarjeta.Elestudiantequeposealatarjetaconelresultadopuedecolocarlaalladodelasegundatarjeta,etc.

• Elestudiantequeterminaprimerotodassustarjetaseselganadordeljuego.

• Eljuegoseterminacuandotodoslosestudiantesterminencontodassustarjetas.

Manera2:

• Cadaestudianterecibetrestarjetas.Elrestodelastarjetasselasubicabocaabajoenlamesa.

• Elestudiantequeempiezaponeunadesustarjetassobrelamesa.

• Quienlosigueleeelejercicioqueestáenlatarjetasobrelamesaymirasustarjetasparaversitieneelresultado.Deserasí,colocalatarjetaenlamesaalladodelaotra.Delocontrario,tomaunatarjetadelmontón.Sielresultadoestáenlatarjetaquetomódelmontón,puedepo-nerlasobrelamesa.Sino,tienequeguardarla.Letocaalestudiantesiguiente.

• Elestudiantequeterminaprimerotodassustarjetaseselganadordeljuego.

• Eljuegoseterminacuandotodoslosestudianteshayanterminadocontodassustarjetas.

Otrasposibilidades:

• Eljuegodedominótambiénsepuedeusarparaotroscontenidosdematemáticas.

Por ejemplo:

- Relación entre número y cantidad: a un lado de la tarjeta se pone un número y al otro se ubica una cantidad de unidades y decenas (53=5 decenas y 3 unidades).

- El reloj: a un lado de la tarjeta se coloca un reloj que indica una hora y al otro se anota la hora en letras (son las cuatro en punto).

• Paralamemorizacióndelastablasdemultiplicacióntambiénsepuedeelaborarotrosjuegosdidácticos,como:bingo, memoria, etc.

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Dominóderelaciónentrenúmeroycantidad.

Bingodelastablasdemultiplicación.

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Anex

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Anexo7:Plandeclase

Plandeclase

Integrantesdelgrupo:

Fecha:

•Meta concepto.- Describaelcontenidoquevaatratarenlaclase.

•Metas de comprensión.- Describalosobjetivosqueplanteaalcanzarconsuclase,incluyendoelniveldepensamientoalqueustedllegará.

•Desempeños de comprensión.- Describa lasactividadesque lo llevaránacumpliresosobjetivos.

•Criterios de evaluación.- Identifiqueloscriteriosdeevaluaciónqueaplicaráparasusestudiantesyelprocesodelaclase.Incluyapreguntasmetacognitivas.

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Anexo8:Fichadeobservaciónenelaula

Fichadeobservaciónenelaula

Grupo: Fecha:

Temadelaclase:

I.Organizacióndelaclase

1.¿Quépropósitoobservóenlaclase?

2.¿Cómocomenzólaclase?(Hubomotivación,indicaciones,comentarios,etc.)

3.¿Serealizólarevisióndeconocimientosprevios?

4.¿Relacionólosconocimientosactualesconlosvistosanteriormente?

5.¿Enquéformaorganizóalosgruposparatrabajar?

6.¿Quématerialesusaronlosestudiantesparadesarrollareltaller?

7.¿Cómorespondióalaspreguntasdelosestudiantes?

8. ¿Las explicaciones se basaron en fundamentos teóricos y/o conocimientoscientíficos?

9.¿Cómopropiciólaparticipaciónenlaspresentacionesdelasactividadersplenariasdurantelostrabajosgrupalesoeneldesarrollodelaclase?

10.¿Quécomprensionescreeustedqueselograronycómoloevidencian?

11.¿Serelacionaronlosconocimientosdelamateriaconotrasasignaturas?¿Cuáles?

12.¿Promueveeldesarrollodehabilidadesdelpensamiento?

13.¿Cuáfueelniveldelpensamientoalquesellegó?

14.¿Realizalametacognicióndelashabilidadesplanteadas?

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Anex

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15.¿Huboaplicacióndeltemaalavidadiaria?

16.¿Selogróuncierrecoherentedelaclase?

II.Actitudesyvalores

Promueveoayudaadesarrollar:

1.Unaautoimagenyautoestimapositivas.

2.Lavaloracióndelotroyelrespetoasusderechos.

3.Latoleranciaanteelfracaso.

4.Eldesarrollodeunaactitudcrítica.

III.Ejerciciodocente

Seobservaeneldocenteque:

1.¿Suvozessuficientementealta,conlasvariacionesdetonoyvelocidadadecuadas?

2.¿Suterminologíaessencillayexplicalostecnicismosqueintroduceasuclase?

3.¿Interactúaindividualygrupalmenteyfomentalainteracciónentrelosestudiantes?

4.¿Proporcionaseguridadalestudianteenunaformaseriaycercana?

5.¿Manifiestaentusiasmoeinterésalimpartirsuclase?

6.¿Muestrapacienciaydisposiciónparaatenderlasnecesidadesdelosestudiantes?

7.¿Suexpresióncorporalescongruente?

8.¿Mantieneunadecuadocontactovisual?

9.¿Sedesplazanaturalmenteporelsalón?

10.¿Lasinstruccionessonclarasyprecisas?

11.¿Corrigeerroresdemaneraadecuada?

12.¿Respondesatisfactoriamentelaspreguntasdelosestudiantesyaclaradudas?

IV.Técnicas

Seobservaqueeldocenteutilizatécnicascomo:

1. Elaboracióndecuadrossinópticos,mapasconceptualesomentales,etc.

2.Motivaciónmedianteretosparasolucionarproblemas.

3. Investigación.

4. Usoadecuadodelpizarrón.

5. Empleodepreguntasadecuadas(parasondeo,reafirmar,variarelestímulo,formu-ladasdirectaoindirectamente,adiferentesestudiantes).

6. Usodetécnicasgrupales.

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V.Evaluación

1.¿Empleacriteriosclarosdeevaluación?

2.¿Hubounaguíadepreguntasparaeltrabajo?

3.¿Huboautoevaluaciónporpartedelosestudiantessobresutrabajo?

4.¿Registraparticipacionesorales?

5.¿Registraparticipacionesescritas?

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Bibliografía sugerida

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

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