Modos de diseno en Ingeniera

1. Diseno clasico. Se basa en coecientes de seguridad,que garantizan la seguridad de la obra a disenar.

En un diseno clasico se eligen los coecientes de seguri-dad y se eligen los valores de las variables de diseno paraque la obra sea sucientemente segura. Las variables sesuponen deterministas. Cuanto mayor sea el dano pro-ducido por el fallo, mayor es el coeciente de seguridad.

2. Diseno basado en probabilidad. Utiliza unaprobabilidad global de fallo como criterio de diseno.

El trabajo con probabilidades de fallo es muy difcilporque: (a) requiere la denicion de la probabilidadconjunta de todas las variables que intervienen, y (b)la evaluacion de la probabilidad de fallo no es facil. Elproblema es aun mayor si se consideran varios modosde fallo, pues la region de fallo es la union de las de losdiferentes modos de fallo.

Un diseno basado en probabilidad ja las probabilidadesde fallo de cada modo y elige los valores de las varia-bles de diseno de modo que las probabilidades de fallocumplan esas cotas. Todas o algunas de las variablesimplicadas se suponen aleatorias.

323

Regiones segura y de fallo

En el diseno de una obra de ingeniera intervienen una seriede variables de diseno (X1, X2, . . . , Xn) a las que necesitadarse un valor para que la obra este totalmente denida.

Ellas pertenecen a un espacio n-dimensional que puede di-vidirse en dos regiones: la segura S y la de fallo F :S {(x1, x2, . . . , xn)}|g(x1, x2, . . . , xn; 0) 1},F {(x1, x2, . . . , xn)}|g(x1, x2, . . . , xn; 0) < 1}. (1)

donde 0 es el vector de datos, que en el caso del murosimple resulta ser 0 = (c, crit, t, h, soil), donde c esel peso especco del hormigon, crit es el coeciente derozamiento de la base del muro, t es la fuerza horizontalpor unidad de longitud actuando sobre el muro, h da laposicion vertical de dicha fuerza t, soil es la resistenciade la cimentacion, y g(x1, x2, . . . , xn; 0) es el cocienteadimensional de dos magnitudes opuestas, estabilizadoras yvolcadores, etc. Puesto que g(x1, x2, . . . , xn; 0) = 1 denela estabilidad estricta, la constante 1 se reemplaza por uncoeciente de seguridad F mayor que la unidad.

Si se consideran m modos de fallo diferentes, el problema seexpresa como:

Si {(x1, x2, . . . , xn)}|gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fi}, (2)donde i = 1, 2, . . . , m

324

abt

h

c

t w

w

O

Muro I: Modos de fallo

1. Vuelco. El cociente de los momentos estabilizadores yvolcadores con respecto al punto Q es.

g2(a, b; 0) =ba2c2th

Ft (3)donde Ft es el coeciente de seguridad al vuelco.

2. Deslizamiento. El cociente de las fuerzas estabiliza-doras y deslizantes es:

g1(a, b; 0) =baccrit

t Fs (4)

donde Fs es el coeciente de seguridad al deslizamiento.

3. Hundimiento. La rotura en el punto O, conduce a:

g3(a, b; 0) =3(0.5ca

2b th)soil2w2

Fb (5)donde Fb es el coeciente de seguridad al hundimiento.

325

Diseno Clasico

Denicion 1 (Diseno Ingenieril) Un diseno ingenie-ril es una seleccion concreta (x1, x2, . . . , xn) de los valo-res de las variables de diseno (X1, X2, . . . , Xn), que seutiliza para construir una obra.

Denicion 2 (Diseno clasico) Un diseno clasico esun diseno ingenieril en el que se cumplen las restric-ciones de seguridad

gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fi; i = 1, 2, . . . , m, (6)

Denicion 3 (Diseno clasico optimo) Un disenoclasico optimo es un diseno clasico que optimiza unafuncion pbjetivo h(x1, x2, . . . , xn; 0) sometida a lasrestricciones de seguridad, es decir:

Minimiza h(x1, x2, . . . , xn; 0) (7)

sometida a

gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fi; i = 1, 2, . . . , m. (8)

326

Diseno Clasico del Muro

Si en el ejemplo del muro se supone que va a ser decoradoy que este es el coste principal, el coste sera proporcional asu permetro, por lo que un diseno clasico es un par {a, b}tal que minimiza la funcion de coste

h(a, b; 0) = a + b (9)

sometido a las restricciones

g2(a, b; 0) =ba2c2th

F 0t (10)

g1(a, b; 0) =baccrit

t F 0s (11)

g3(a, b; 0) =3(0.5ca

2b th)soil2w2

F 0b (12)y

b 1.5hSi, ademas, se supone que t = 28KN/m, h = 1.5m, c =25KN/m3, crit = 0.4, soil = 0.25MPa son valores jos(deterministas), y que las cotas inferiores de los coecientesde seguridad son F 0s = 2.8, F

0t = 1.3, F

0b = 1.5, se obtienen

los valores optimos a0 = 2.80m y b0 = 2.80m, as comoun valor de la funcion objetivo h(a0, b0; 0) = 5.60, y unoscoecientes de seguridad

Fs = 2.8; Ft = 6.57; Fb = 2.45,

es decir, (11) es activa, y (10) y (12) inactivas.

327

Diseno Basado en Probabilidad

Denicion 4 (Diseno basado en probabilidad)Un diseno basado en probabilidad es un diseno quesatisface las restricciones de seguridad en terminos deprobabilidades de fallo

PFi(x1, x2, . . . , xn; 0) P 0i ; i = 1, 2, . . . , m, (13)donde P 0i ; i = 1, 2, . . . , m son las cotas superiores de lasprobabilidades de fallo asociadas a los dierentes modos.

Alternativamente, las restricciones (13) pueden escribirse enfuncion de los coecientes de abilidad , es decir:

Fi(x1, x2, . . . , xn; 0) 0i ; i = 1, 2, . . . , m, (14)donde 0i ; i = 1, 2, . . . , m son las cotas inferiores asociadasa las correspondientes cotas de las probabilidades de fallo.

Denicion 5 (Diseno optimo) Un diseno basado enprobabilidad se dice optimo si optimiza una funcion ob-jetivo dada, por ello se

Minimiza h(x1, x2, . . . , xn; 0) (15)

sometido a

PFi(x1, x2, . . . , xn; 0) P 0i ; i = 1, 2, . . . , m. (16)o

Fi(x1, x2, . . . , xn; 0) 0i ; i = 1, 2, . . . , m. (17)

328

Diseno Basado en Probabilidad

Supongamos que en el diseno del muro se requiere

Fs F 0s = 2.8; Ft F 0t = 1.3; Fb F 0b = 1.5y

Pt, Ps, Pb 0.0000316,donde Ps, Pt y Pb son las probabilidades de fallo asociadasal deslizamiento, vuelco y hundimiento, respectivamente.

A estas probabilidades les corresponden los valores de :

0t = 0s =

0b = 4.

En el caso del diseno clasico anterior, los valores de resul-tantes son:

t = 4.13; s = 4.013; b = 3.39

Por ello, las restricciones t y s seran inactivas, y laasociada a b sera activa.

329

Ventajas del Diseno Optimo

Un diseno optimo conduce a:

1. Una solucion independiente del proyectista.Para un diseno parametrico dado de la estructura adisenar, el diseno es independiente del proyectista,puesto que es el que conduce a minimizar la funcionobjetivo. Solo en casos excepcionales, pueden obtenersesoluciones diferentes con el mismo valor optimo de lafuncion objetivo.

2. Una automatizacion del diseno. Esto implica queel ingeniero tiene que dar un mnimo de datos, ya que lasvariables de diseno son parametros que seran jados porel procedimiento de optimizacion de la funcion objetivo.

3. Un diseno optimo. Para una estructura parametricadada el diseno resultante es optimo, en el sentido deoptimizar la funcion objetivo.

4. Un analisis de sensibilidad facil e inmediato.Un analisis de sensibilidad puede realizarse al mismotiempo que se procede a optimizar la solucion. Ellopermite obtener informacion de como cambia la funcionobjetivo (coste) al cambiar los datos de partida (datosgeometricos, de coste de materiales, normativos, deseguridad, etc.)

330

Diseno Mixto: Coeficientes de seguridad-

probabilidades de fallo

Minimizar h(x1, x2, . . . , xn; 0) (18)

sometido a

gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fki ; i = 1, 2, . . . , m. (19)Fi(x1, x2, . . . , xn; 0) 0i ; i = 1, 2, . . . , m. (20)

Iniciacion. Los coecientes de seguridad Fi; i =1, 2, . . . , m se inician a sus cotas inferiores F 0i ; i =1, 2, . . . , m y se repiten, hasta convergencia, las etapas:

Etapa 1. Diseno optimo clasico. Consiste en un di-seno optimo clasico basado en los coecientes de segu-ridad. El resultado de este proceso es un conjunto devalores de las variables de diseno que satisfacen las res-tricciones de los coecientes de seguridad (19).

Etapa 2. Evaluacion de las probabilidades de fallo.Se evaluan o acotan las probabilidades de fallo, o suscorrespondientes valores , asociadas a todos los modosde fallo. Esto implica la resolucion de un problema deoptimizacion por cada modo de fallo.

Etapa 3. Se actualizan coecientes de seguridad.Los coecientes de seguridad se actualizan adecua-damente para que se satisfagan las restricciones deprobabilidad de fallo.

331

Zi= -1(Ui)

(X1,X2, ... , Xn)

Initial setof variables

(U1,U2, ... , Un)

Uniform setof independent

variables(Z 1,Z 2, ... , Z n)

Normal setof variables

Rosenblatttransformation

Evaluacion de las probabilidades de fallo

En primer lugar, las variables iniciales X se transforman enun conjunto de variables U uniformes U(0, 1) e indepen-dientes, mediante la transformacion de Rosenblatt:

U1 = F1(X1)U2 = F2(X2|X1)... ... ...

Un = Fn(Xn|X1, X2, . . . , Xn),(21)

donde F1(X1), F2(X2|X1), . . . , Fn(Xn|X1, X2, . . . , Xn) sonlas funciones de distribucion marginales y condicionales.

Seguidamente, este conjunto U se transforma en el conjuntoZ de variables normales N(0, 1) independientes.

Tras esta transformacion, las regiones de fallo iniciales

Fi {(x1, . . . , xn)|gi(x1, . . . , xn; 0) 1}; i = 1, . . . , mse transforman en las regiones

Fi {(z1, . . . , zn)|gi (z1, . . . , zn; 0) 1}; i = 1, . . . , m.

332

Failure regionApproximated region

Z1

Z2

g1(z1,z2) = 1

(z*1,z*2)

Failure region

Acotacion de probabilidades. Caso I

Region de fallo convexa respecto del origen. En este casose reemplaza la region de fallo por un hiperplano tangenteen el punto de la region de fallo mas cercano al origen:Si el hiperplano tiene por ecuacion

ni=1

aixi = c, resulta

=c ni=1

a2i

donde es la distancia del origen a la region de fallo, esdecir, al punto z = (z1, z

2, . . . , z

n). Este punto se conoce

como punto de diseno o punto de maxima verosimilitud.Puesto que

ni=1

aiZi N(0, ni=1

a2i ), se tiene:

PfiP (n

i=1aiZi c)=FN(0, n

i=1a2i )

(c)=

c ni=1

a2i

=(i),

(22)donde () es la funcion de distribucion de la N(0, 1).

333

Failure regionApproximated region

Z1

Z2

g1(z1,z2) = 1

(z*1,z*2)Failure region

Acotacion de probabilidades. Caso II

Region de fallo concava con respecto al origen. En estecaso se reemplaza la region de fallo por una hiperesfera decentro el origen y radio . Puesto que,

ni=1

Z2i 2n se tiene:

Pfi P (n

i=1Z2i > ) = 1 F2n(2i ), (23)

donde F2n es la funcion de distribucion de la 2 con n grados

de libertad.Puesto que (22) y (23) dependen de , el calculo de lasprobabilidades de fallo de los diferentes modos es equivalentea resolver los siguientes problemas de optimizacion:

Minimizar i =

n

j=1z2j (24)

sometida agi(x1, x2, . . . , xn; 0) = 1, (25)

para i = 1, 2, . . . , m.

334

Actualizacion de los coeficientes de seguridad

Los coecientes de seguridad se actualizan mediante:

Fi = (0i ki ); i = 1, 2, . . . , m, (26)

donde 0i ; i = 1, 2, . . . , m son las cotas inferiores deseadasde (asociadas a las cotas superiores de la probabilidad defallo), y es una constante positiva pequena.

Para evitar grandes variaciones de los coecientes de segu-ridad en iteraciones consecutivas el valor de se elige como

= min

0, min

i

|0i ki |

, (27)

donde es una cantidad pequena, por ejemplo,, = 1, y0 es un numero pequeno. Ademas, si, al usar esta formula,algunos coecientes de seguridad resultan menores que lascotas inferiores para F 0i , se mantienen iguales a estas F

0i .

El resultado nal de este proceso es un diseno clasicooptimo con los coecientes de seguridad modicados, que almismo tiempo es un diseno optimo en probabilidad, ya quesatisface las restricciones correspondientes.

Notese que los coecientes de seguriudad reales tienen queser calculados usando (8), ya que los valores Fki son solocotas (no necesariamente activas). Similarmente, los valoresreales de se pueden calcular usando (17).

335

Algoritmo propuesto

Datos: Un valor * de control de la convergencia del pro-ceso, y las cotas {F 01 , F 02 , . . . , F 0m} y {01, 02, . . . , 0m}.

Resultados: Un diseno optimo: Valores de las varia-bles de diseno, coecientes de seguridad y probabilidadesde fallo de todos los modos de fallo.

Iniciacion. Iniciar los coecientes de seguridad a sus cotas.

Etapa 1. Disenar por el metodo optimo clasico sometido alas restricciones de coecientes de seguridad.

Etapa 2. Se calculan o acotan las probabilidades de fallode cada modo de fallo, resolviendo los correspondientesproblemas de optimizacion.

Etapa 3. Se actualizan los coecientes de seguridad me-diante (26) con (27) (se eligen los coecientes de seguri-dad mas del lado de la seguridad).

Etapa 4. Si en esta iteracion los cambios de las variablesde diseno son mayores que *, se va a la Etapa 1. en otrocaso, se va a la Etapa 5.

Etapa 5. Se calculan los coecientes de seguridad asocia-dos a las restricciones no activas.

Etapa 6. Se para y se devuelven los valores de las variablesde diseno, coecientes de seguridad y probabilidades defallo de todos los modos de fallo.

336

Ejemplo

El metodo propuesto se ha implementado en GAMS y se haaplicado al caso:

h = 1.5m, c = 25KN/m3, crit = 0.4, soil = 0.25MPa

F 0s = 2.8, F0t = 1.3, F

0b = 1.5

y0s = 4,

0t = 4,

0b = 4

Se supone tambien que a, b y t son variables aleatorias nor-males e independientes con medias sus valores de diseno a0y b0, y 28KN/m, respectivamente, y desviaciones tpicasa = 0.04m, b = 0.02m y t = 5KN/m.

ITERACIONESVariable Unidades 1 2 5 9 10 (n)Coste m2 5.60 5.60 5.60 5.63 5.63

a m 2.80 2.80 2.83 3.09 3.09b m 2.80 2.80 2.78 2.54 2.54t m 28.00 28.00 28.00 28.00 28.00Ft 6.54 6.53 6.59 7.21 7.21Fs 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80Fb 2.45 2.45 2.48 2.78 2.78t 4.13 4.13 4.17 4.67 4.67s 4.01 4.01 4.03 4.28 4.28b 3.39 3.39 3.44 4.00 4.00

337

3265

No failure=99996572

OverturningSliding

Bearingcapacity

23240

11

658

275

1159

Simulacion de Monte Carlo

Para determinar la probabilidad global de fallo y las proba-bilidades de fallo de todas las combinaciones de los posiblesmodos de fallo, se ha realizado una simulacion de MonteCarlo con 108 simulaciones. Los resultados se dan en lagura adjunta.

De ella se concluye que la probabilidad global de fallo es0.00003428, y las de deslizamiento, hundimiento y vuelcoson 0.00001093, 0.00003152 y 0.00000171, respectivamente.

Notese la coincidencia de la probabilidad exacta de hundi-miento 0.00003152 y la cota superior 0.0000316 usada en loscalculos.

338

Analisis de sensibilidad

de la funcion de coste

El problema:

Minimizar con respecto a x1, x2, . . . , xn

h(x1, x2, . . . , xn; 0) (28)

sometido a

gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fi; i = 1, 2, . . . , m. (29)es equivalente al problema:

Minimizar con respecto a x1, x2, . . . , xn y

h(x1, x2, . . . , xn; ) (30)

sometido a

gi(x1, x2, . . . , xn; 0) Fi; i = 1, 2, . . . , m. (31)y

= 0 (32)

En este caso, las variables duales asociadas a (32) dan lasvariaciones de h(x1, x2, . . . , xn; 0) al producirse variacio-nes unitarias de los datos 0.

Esta informacion es util en el proceso constructivo, para con-trolar el coste, y para analizar como cambia este al cambiarlos coecientes de seguridad exigidos por las normas.

339

Analisis de sensibilidad

de los coeficientes

El problema:

Minimizar con respecto a z

=

n

j=1z2j (33)

sometido agi(x1, x2, . . . , xn; 0) = F

ki , (34)

es equivalente al problema:

Minimizar con respecto a z y

=

n

j=1z2j (35)

sometido agi(z1, z2, . . . , zn; ) = F

ki (36)

y = 0. (37)

En este caso, las variables duales asociadas a (37) dan lasvariaciones de al producirse variaciones unitarias de losdatos 0.

Esta informacion es util para analizar como cambia la segu-ridad al cambiar las hipotesis estadsticas realizadas y otrosdatos.

340

Analisis de sensibilidad I

Sensibilidades al coste

h c soil crit Ft Fs Fb0.08 -0.10 -1.71 -7.10 0.00 1.01 0.15

Sensibilidades a los coecientes de abilidad

Dato x txsx

bx

h -1.04 0.00 -1.24c 0.06 0.14 0.04

soil 0.00 0.00 3.68crit 0.00 8.67 0.00a 2.41 2.09 2.39b 0.64 1.52 0.38t -0.05 -0.09 -0.06a -10.86 -7.46 -9.17b -0.39 -1.99 -0.12t -0.05 -0.18 -0.06

Notese como la probabilidad de fallo al deslizamiento noqueda afectada por h, y las probabilidades de fallo al hundi-miento y vuelco no estan afectadas por soil. Notese tambienque c inuye en la probabilidad de fallo al deslizamientomucho mas que en las otras dos probabilidades de fallo.

341

pe

d fq

b

a

cs

l

Fc

DWLba

r

s

b

n

t

H Ac

Dique de escollera I

Modos de Fallo

Se consideran solo tres modos principales de fallo:

1. Rebasamiento

2. Fallo del manto

3. Deslizamiento del espaldon

342

Fallo por Rebasamiento

Para un dique de escollera de tipo Iribarren, de pendientetan s francobordo Fc, y una altura de ola H y periodo T , elvolumen de agua que rebasa la estructura puede estimarse apartir del volumen que sobrepasara una extension imagina-ria del talud por encima del nivel del francobordo. Con estaaproximacion, el rebasamiento ocurrira cuando la diferenciaentre la maxima excursion del agua sobre dicho talud, Ru,llamada run-up, exceda el francobordo Fc.Losada (1985) propuso la siguiente ecuacion de vericacionbasada en experimentos para evaluar la cantidad adimen-sional Ru/H :

RuH

= Au(1 eBuIr) (38)

donde Au y Bu son coecientes que dependen de las unidadesdel manto, s es el angulo del talud del lado expuesto, y Ires el numero de Iribarren

Ir =tan sH/L

(39)

donde L es la longitud de onda.Bajo esas condiciones, la ocurrencia de fallo se puede veri-car mediante la siguiente restriccion:

FcRu

Fodonde Fo es el coeciente de seguridad al rebasamiento.

343

Fallo del manto

Consiste en el movimiento de los bloques del manto.Losada (1985) propuso la ecuacion de vericacion:

W

wH3= Re

donde w es el peso especco del agua, e es la funcion deestabilidad, R es una constante adimensional, y w, y W esel peso del bloque cubico, que estan dados por

W = c73 (40)

R =c/w

cw

13 (41)

e = Ar(Ir Ir0) exp[Br(Ir Ir0] (42)Ir Ir0 (43)

con c el peso especco del hormigon, 7 el lado del bloque,

Ir0 = 2.656 tan s, (44)

Ar = 0.2566 0.177047 cot s + 0.0342933 cot2 s(45)Br = 0.0201 0.4123 cot s + 0.055 cot2 s (46)

que son validas para 1.5 cot s 3.Bajo estas condiciones la restriccion resulta:

W

wReH3 Fa

donde Fa es el coeciente de seguridad al fallo del manto.

344

Fallo del espaldon I

Este fallo ocurre cuando el espaldon desliza con respecto a subase debido a la presion del agua. El fallo por deslizamientose comprueba mediante la siguiente ecuacion de vericacion:

c(W1 Fv) = Fhdonde c es el coeciente de rozamiento, y:

Fh = (S0 Ac)PS0 + (Wf + Ac)PS0 (47)Fv =

1

2PS0e (48)

W1 = Vcc Wfew (49)Vc = pq + se (50)

donde Fh y Fv son las fuerzas totales, vertical y horizontaldebidas a la presion del agua, S0 la altura de ola debidaal run-up, Ac el nivel de la berma, PS0 la presion de aguadebida a la ola, Wf la altura sumergida del espaldon, ela anchura del espaldon, Vcc es el peso total del espaldonde hormigon, y W1 es el peso real del espaldon (Partessumergida y seca).

Para Ir 2 las fuerzas de presion actuando sobre el es-paldon al nivel z son:

Pd(z) =

PS0 if z < AcPS0 if z > Ac

345

Fallo del espaldon II

donde

Ir 2 (51)PS0 = wS0 (52)

S0 = H1 Ac

Ru

(53)

= 2Cf

RuH

cos s

2

(54)

= 0.8 exp10.9d

L

(55)

2

T

2

= g2

Ltanh

2DWL

L

(56)

siendo g la aceleracion de la gravedad, d la anchura deberma del lado expuesto, una variable aleatoria adimen-sional, DWL el nivel de agua usado en diseno, y Cf es uncoeciente aleatorio experimental.

El fallo por deslizamiento se puede comprobar mediante lasighuiente restriccion

c(W1 Fv)Fh

Fsdonde Fs es el coeciente de seguridad al deslizamiento.

346

pe

d fq

b

a

cs

l

Fc

DWLba

r

s

b

n

t

H Ac

Criterios de Diseno Practicos I

En las obras martimas hay ciertas reglas de buena practicaque deben ser observadas, como:

1. Anchuras de capas y bermas:

a = 27 (57)

b = 27e (58)

d 27 (59) f 27e (60)

2. Condiciones de ltro:

W20

73es (61)

73es W

10(62)

3. Razones constructivas:

b + c DWL (63)DWL a + b + c (64)

t = 1m (65)

r = 2t (66)

347

pe

d fq

b

a

cs

l

Fc

DWLba

r

s

b

n

t

H Ac

Criterios de Diseno Practicos II

4. Razones de economa:

1.5 cot s 3 (67) 1.5 cot 7 3 (68)

5. Control de la rotura de ola y rebasamiento:

Ac 3Hs/4 (69)Fc S0 (70)

6. Identidades geometricas:

DWL + Fc = b + c + s + q (71)

Wf = s + q Fc (72)Ac = a + b + cDWL (73)

donde 7 y 7e son los lados de bloque cubico equivalente parael manto principal y el secundario, respectivamente, y Hs esla altura de ola signicante, que describe el estado de mar.

348

Funcion de coste

Volumen de hormigon:

Vc = pq + se (74)

Volumen del manto principal:

V1 = ad + ab + c t

sin s+

a2

2 tan s(75)

Volumen del manto secundario:

V2 = be + d a tan s

2

+ b

c tsin s

+b2

2 tan s

= +2f +

n + b

tan 7

n + b

2+

cb

sin 7

(76)

Volumen del nucleo:

V3 = cf + e + d (a + b) tan s

2 b

sin 7+

n + b

tan 7

= +c2

2

1

tan s+

1

tan 7

+ t

r +

a + b

sin s

(77)

La funcion de coste considerada es:

C = CcVc + CalV1 + CulV2 + CcoV3

donde Cc, Cal, Cul y Cco son los costes de construccion aso-ciados a dichos materiales por unidad de volumen.

349

Hipotesis del modelo aleatorio I

1. Parametros climaticos:

(a) El nivel de agua de diseno DWL esta dado por su valornominal determinista.

(b) Los descriptores de estados de mar Hs y TZ estandadas por sus valores nominales deterministas

(c) La altura de ola H y el periodo T del estado de mar(denido como paso por cero) son variables aleatoriascon funciones de distribucion:

FH(h) = 1 e2(h/Hs)2; H 0, (78)FT (t) = 1 e0.675(t/Tz)4; t 0, (79)

1. Parametros geometricos:

El francobordo, Fc, y las pendientes s y 7 estandadas por sus valores nominales deterministas.

2. Parametros de propiedades de los materiales:

Los pesos especcos c, w y s del hormigon, aguay bloques estan dadas por sus valores nominales de-terministas.

3. Parametros de propiedades mecanicas:

El coeciente de friccion c es normal con mediac = 0.6 y valor caracterstico c0.05 = 0.55.

350

Hipotesis del modelo aleatorio I

1. Parametros experimentales:

(a) Modelo de Runup: RuH = Au(1 eBuIr)

Au es una variable normal N(Au, 2Au), dondeAu = 1.05 y Au = 0.21.

Bu es una variable normal N(Bu, 2Bu), dondeBu = 0.67 y Bu = 0.134.

(b) Modelo de esabilidad del manto

Ar es una variable normal N(Ar, 2Ar), dondeAr = 0.25660.177047 cot s+0.0342933 cot2 s

Br es una variable normal N(Br, 2Br), dondeBr = 0.0201 0.4123 cot s + 0.055 cot2 s

2. Modelo de estabilidad del espaldon

(a) Cf es una variable normal N(Cf , 2Cf

).

(b) es una variable aleatoria cuya distribucion puedeobtenerse de la ecuacion (55).

(c) esta dada por su valor nominal caracterstico.

(d) S0 es una variable aleatoria cuya distribucion puedeobtenerse de la ecuacion (53).

(e) Pd y PS0 son variables aleatorias cuyas distribucionespueden obtenerse de la ecuacion (52).

351

Diseno Clasico Optimo

Para el diseno clasico optimo, en la iteracion k-esima, seminimiza la funcion de coste

C(a, b, c, d, f, n, s, Fc, 7, s)

sometido a las restricciones asociadas a los coecientes deseguridad:

Fallo por rebasamiento:

FcRu

Fko (80)

Fallo del manto:

W

wReH3 Fka (81)

Fallo del espaldon:

c(W1 Fv)Fh

Fks (82)

y las restricciones correspondientes a los criterios practicosde diseno (57)-(73).

352

Evaluacion de las probabilidades de fallo I

Para calcular las cotas inferiores de los ndices de abilidad, se procede a:

1. Transformacion de Rosenblatt:

y1 = ((Au Au)/Au)y2 = ((Bu Bu)/Bu)y3 = ((Ar Ar)/Ar)y4 = ((Br Br)/Br)y5 = FT (T )y6 = FH(H),y7 = ((c c)/c)y8 = ((Cf Cf )/Cf )

(83)

2. Transformacion a variables estandar independientes:

z1 = (Au Au)/Auz2 = (Bu Bu)/Buz3 = (Ar Ar)/Arz4 = (Br Br)/Brz5 =

1 (FT (T ))z6 =

1 (FH(H))z7 = (c c)/cz8 = (Cf Cf )/Cf

(84)

353

Evaluacion de las probabilidades de fallo II

Fallo por rebasamiento: Se minimiza con respecto aAu,Bu, H y T

k02

=4

i=1z2i (85)

sometido a (38), (56), y

z1 = (Au Au)/Auz2 = (Bu Bu)/Bu

(z3) = FT (T )(z4) = FH(H)

1 =FcRu

(86)

Fallo del manto: Se minimiza con respecto a Ar, Br, Hy T .

ka2

=2

i=1z2i (87)

sometido a (40) - (46), (56) y

z1 = (Ar Ar)/Arz2 = (Br Br)/Br

(z3) = FT (T )(z4) = FH(H)

1 =W

wReH3

(88)

354

Evaluacion de las probabilidades de fallo III

Fallo del espaldon: Se minimiza con respecto a Au,Bu,H, T, Cf y c.

ks2

=5

i=1z2i (89)

sometido a (38), (46) - (56), y

z1 = (Au Au)/Auz2 = (Bu Bu)/Bu

(z3) = FT (T )(z4) = FH(H)

z5 = (c c)/cz6 = (Cf Cf )/Cf1 =

c(W1 Fv)Fh

(90)

Comprobacion de la convergencia y actualiza-cion de los coecientes de seguridad:

Es esta etapa se comprueba si los valores k satisfacen lasrestricciones deseadas en funcion de las cotas 0. Si la res-puesta es positiva, el proceso se interrumpe y el diseno nales el resultante de esta iteracion. En otro caso, se actualizanlos coecientes de seguridad aplicando la ecuacion (26) con(27).

355

Ejemplo

Datos

1. Cotas:

F 0o = 1.05; F0s = 1.5; F

0a = 1.05, (91)

0o = 3.08; 0s = 3.08;

0a = 3.08, (92)

que corresponden a probabilidades de fallo de 0.001.

2. Altura de ola de diseno y periodo para el diseno clasico.

H = 1.8Hs, T = 1.1Tz

VALORES DE DISENOValores Nominales

p = 2m; q = 4m; e = 8m; r = 2m; t = 1m;Tz = 10sec; Hs = 5m; DWL = 20m;

c = 23.5KN/m3; s = 26KN/m

3; w = 10.25KN/m3

Propiedades EstadsticasAu = 1.05; Au = 0.21; Bu = 0.67; Bu = 0.134;

c = 0.6; c = 0.01941; Cf= 1.45

Ar = 0.2566 0.177047 cot s + 0.0342933 cot2 s;Ar = 0.21;

Br = 0.0201 0.4123 cot s + 0.055 cot2 s;Br = 0.134

Parametros de costeCal = 818.4euros/m

3; Cul = 18.72euros/m3;

Cco = 2.4euros/m3; Cc = 60.1euros/m

3

356

Ejemplo

Resultados

ITERACIONESVariable Unidades 1 2 3 8 (n)Coste euros 103 155.5 161.1 162.1 162.9

a m 3.75 3.83 3.87 3.88b m 1.34 1.36 1.38 1.38c m 18.66 18.56 18.51 18.48r m 2.00 2.00 2.00 2.00t m 1.00 1.00 1.00 1.00e m 8.00 8.00 8.00 8.00p m 2.00 2.00 2.00 2.00s m 3.36 5.71 4.83 5.08q m 4.00 4.00 4.00 4.00d m 3.75 3.83 3.87 3.88f m 1.34 1.36 1.38 1.38n m 0.00 0.00 0.00 0.00 m 0.48 0.47 0.47 0.47 m 0.59 0.59 0.59 0.59Fc m 7.36 9.63 8.71 8.94Fo 1.05 1.38 1.25 1.28Fs 2.57 4.39 3.76 3.96Fa 1.05 1.16 1.19 1.21o 2.42 3.34 2.99 3.08s 2.82 3.25 3.11 3.15a 2.87 3.01 3.06 3.08

357

Sensibilidades

DWL c s F0o F

0s

7882 -11754 -25 3354 0.000F 0a cal cul cco cc

43145 190 119 817 49

Valor del dato x oxsx

ax

DWL -0.013 -0.470 -0.022c 0.000 0.043 0.289s 0.000 0.000 0.000w 0.000 -0.099 -0.815Hs -0.566 -0.562 -0.725Tz -0.080 -0.104 -0.129Au -2.510 -2.467 0.000Bu 1.728 1.672 0.000c 0.000 1.144 0.000Ar 0.000 0.000 -37.598Br 0.000 0.000 -1.223Cf 0.000 -0.693 0.000

Au -4.076 -4.025 0.000Bu -1.233 -1.180 0.000c 0.000 -0.080 0.000vAr 0.000 0.000 -0.942vBr 0.000 0.000 -0.293vCf 0.000 -0.299 0.000

358

3265

No failure=99735040

Armorfailure

Overtoppingfailure

16235114701 3256

76714

18740

2498

32816

Crownwallsliding failure

Simulacion de Monte Carlo

Para determinar la probabilidad global de fallo se ha reali-zado una simulacion de Monte Carlo con 108 simulaciones yse han obtenido los resultados que se muestran en la Figura.

De ella se obtiene una probabilidad global de fallo de0.002649, y unas probabilidades de rebasamiento, desli-zamiento y fallo del manto de 0.00129021, 0.00130768 y0.00153271, respectivamente.

Notese que las probabilidades de fallo son algo mayores quelas deseadas cotas de 0.001. Esto se debe a que los valores de se calcularon suponiendo regiones convexas con respectoal origen y no lo son.

359