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DISPERSION PROFUNDAMENTE INELASTICA Y CONO DE LUZ

J.A. DE AZCARRAGA

Departamento de Física Teórica, Facultad de Ciencias

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GIFT. 3/73

DISPERSION PROFUNDAMENTE INELASTICA Y CONO DE LUZ

J.A. DE AZCARRAGA

Departamento de Física Teórica, Facultad de Ciencias

Barcelona,14

í.

GIFT: Scientific Information Service

Facultad de Ciencias. Universidad de Zaragoza

Z A R A G O Z A (SPAIN)

La noticia de la muerte del Profesor Bruno Renner ha sorprendido dolorosamente al autor cuando GQncluía la redacción de estas notas, por lo que desea rendir aquí un ultimo homenaje a la valia y virtu des humanas de un científico cuya amisrad honra a todos los que ti¿ vieron la suerte de conocerla.

INTRODUCCIÓN

Las paginas que siguen constituyen la versión escrita de cuatro seminarios

dados en Liarcelona en Diciembre - Enero del curso 72-73 como introducción a

las ideas asociadas a los desarrollos en el cono de luz y sus aplicaciones mas

inmediatas.

La distribución de los temas tratadas es la siguiente:

¿ 1. Procesos profundamente inelásticos (resumen) 1 «i

¿ 2. E l l i m i t e de Bjorken y e l cono de luz . . . . . 8

& 3. Desarro l los en e l v é r t i c e del cono de luz 9

$ 4. Desarro l los en e l cono de luz 12

$ 5. Conmutadores de F r i t zsch y Gell-Mann en e l cono de luz i s

p 6. Ap l icac ión a l a d ispers ión profundamente inelást icct 19

$ 7. Consecuencias para las funciones de escala . 2 2 Á 8. E l cono de luz y e l modelo de partones 26

Apéndice A (secciones e f icaces] 30

Apéndice B (conmutadores en e l cono de l uz ] . 3 1

Apéndice C (funciones de escala "ext rañas" ] 33

Tabla I (F , f en función üa G, A) 35

Tabla I I Í F . f en func ión de C , C-) 36 q °. .

Tablas III y IV (relación entre C . C-, S y A] 37 1 L q' q' y J

Referencias ,38

Con objeta de facilitar la lectura de estas notas se han detallado los

cálculos frecuentemente, y se ha incluido una lista clt. /referencias que,

aunque incompleta, permite la ampliación de su contenida. La teoría desa­

rrollada en $ (J> 4—8 utiliza el modelo «¡u quarks convencional; algunas amplia­

ciones recientes de la misma pueden encontrarse en la referencia 42. Se ha

omitido aqui completamente el problema de la búsqueda de cotas para las fun­

ciones de estructura y el estudio de las hipótesis que con este objeto se

introducen.

Convenciones: Se utilizan las de Bjorken y Drell (salvo normalización

covariante para los estados).

3 de Febrero de 1973

J.A.

1- Procesos profundamente inelásticos (resumen)

El objeto principal de estas lecturas es estudiar , muy someramente,

algunas ideas recientes cuyo desan-üllo está relacionado con las célebres

experiencias SLAC-MIT^ ' sobre dispersión profundamente inelástica de elec­

trones. Suponemos conocidas por el lector las características esenciales de (2) (3)

este tipo de pracesosv J y en particular las del modelo de partones^ /, pol­

lo queen esta introducción nos limitaremos a recordar las más importantes '•• para el caso electrón—nucleón, haciendo al final unos breves comentarios sobre

(41 las reacciones con neutrinos*- .

La reacción e + N [nucleón] -» e'+ H (hadrones) viene descrita por el

diagrama (variables en LAB)

\* (H,o)

Fig.1

Como l o s e l e c t r o n e s no i n t e r a c c i o n a n fuer temente con l o s hadrones, e l proceso

se descr ibe por medio d e l i n te rcamb io de un f o t ó n v i r t u a l que i n t e r a c c i o n a

con e l e l e c t r ó n de acuerdo con l a e l e c t r o d i n á m i c a cuán t i ca de orden más ba jo , y

cuya i n t e r a c c i ó n con e l s is tema hadrónico es tá parametr izada por e l elementa

de m a t r i z de l a c o r r i e n t e e lec t romagné t i ca < N | J M J H > , que es desconocido.

En l a f i g u r a , e l c i r c u l o rayado expresa nuest ra i gno ranc ia d e l v é r t i c e hadrónico,

La "masa" de l f o t ó n v i r t u a l , q 2 f es c laramente nega t i va (q es de t i p o

e s p a c i a l } . Despreciando -como es u s u a l - l a masa rne d e l e l e c t r ó n ,

q 2 = - 4EE'stsn2 © / 2 . ( l . l )

En e l es tud io d e l proceso son o t i l e s l a s v a r i a b l e s y r e l a c i o n e s s i g u i e n t e s :

V = pq = M ( E - E ' ) > 0 s = ( p + q ) 2 = M*2 ( l . 2 )

, ( D s 2 y / - q 2 M* 2 - M2= (.-q2)'.((u - . 1 ) . ( i . 3 )

2

Es claro que la dispersión es elástica para CD = 1 (M = MJ, e inelástica

para cu > 1- Experimentalmente hay datos para -q~ < 8 GeV 2 y ^ < 20,

sit.ii,do mayores los valores de q alcanzados cerca del umbral. La observación

del plano (-q2 , 2v) permite detenninar inmediatamente en él las siguientes

regiones:

Fig. 2

1. Linea de dispersión e l á s t i c a (ÜJ=1) 2 9

2. Umbral para la producción de un pión, 2Mm -\- m . = 2v + q ; la zona rayada corresponde a la dispersión inelástica.

3. linea de masa invariante final M* fija, M = M + 2v + q .

4. Linea de energía incidente E y ángulo de dispersión 9 fijos,

-q2 = 4E (E- g ) sen2 | .

Dos l imites1 presentan especia l i n t e r é s : 2

I . Limite de Hegge, i . e . , q f i jo y v -» °° . I I . Limite de Bjorken , i . e . , (q (~> °° , v •-* °° y cu f i j o ; a é l dedicaremos

nuestra atención en es tas lec turas .

La aplicación de l a s reglas de Feynman a l di agrama de l a F ig . I permite

obtener inmediatamente la sección eficaz del proceso; en todas es tas notas

supondremos que e l blanco ( e l nucleón) no es t á polar izado. Al e levar a l

cuadrado e l elemento de matriz aparecen dos tensores , e l leptónico m (cono-

cido) y ,1 hadrónico W y q ü e > c o n n o n í i a l i z a c i o n C D . , . j r l a n t e < p | p - > =

(2n) 2pQ ó(p-p) , se escr ibe de la forma

< ¡ . - k ] ^ e l q X < N ( p ) | [ j * ( x ) , J v ( o ) ] | N ( p ) > ; (1.4)

W es l/2rr vepes la. par te imaginaria de l a amplitud T(iV hacia adelante de

l a transición7Qompton para un fotón v i r t u a l , corno se comprueba par aplicación

del teorema óptico.

La forma explícita de WuV es desconocí dri, pero su estructura puede

deducirse a partir de principios generales (véase, por ej.f Huf. (2) )

con el resultado

r, d q

.%v = «1 lv,q ) (-3^+ -*—£-) +

W^m(v,q2)

M2 ^ q ^ q¿ v

Debido a que no se observan los momentos de los haürones f inales, W f i v •

no dependa más que de p y q^ , y W , W2 de los das estalares nm t r i v i a -2

les posibles, q y p.q . Con nuestras convenciones, W na tiene di men-."

s i o n B S ( [ < p|p > ] - I T 2 , [ [ J ( i ( x ) , J v ( o ) ] ] . M6 y [ A ] . M ^ )

; [jar tanta W y W2 tampoco. (1.5) permite calcular fácilmente la

sección eficaz, que resulta ser

da _ dn dE' ~

a2cos2 6/2

- ~ T — T C W2Bm(vfq

2) + 2 tg2 B/2 w f l ^ ) •], (l.6)

4E2M sen4 9/2

en donde el factor delante del paréntesis es,salvo el factor 1/M ,

la sección eficaz de Mott (dispersión- de un electrón por una carga

infinitamente pesada). Medidas a lo largo de la .linea M'^O'W Ge\A= M el

corresponden al caso elástico, paraAque W,, y W2 incluyt-'n deltas debi­das al polo del nucleón y tienen la forma elástica. 2^ -Q 2

r p r„2\ ~)2 ,r ,„2 W,B±aBtX"*Cv,qe) - - ^ [ GM (q¿) ]

¿ 6 ( ^ / 2 ) . ^ (1.7 ,.) 4MC

elástica, 2, fe^)]2 - * A * 2 [% (<,2)]2 W2 (v,q j =

1 - q2/4M2

Ó (v •)- q2/2).M2 (1.7 b)

en rionde G,- y G 'son los factores de forma de Sachs. La substitución c. M

de (1.7) en (1.6) da" lugar a la fórmula de Rasenbluth tras la inte -

gración de las deltas, integración que introduce e l factor quu da

cuenta del efecto de retroceso del blanco (Ver Apéndice A).

Como hemos mencionado antes, W es proporcional a .la parte imaginaria

de la amplitud hacia adelante de la dispersión Compton de un fotón

v i r t u a l , que a su vez es p r o p o r c i o n a l a l a secc ión e f i c a z de l "procese

"•y" + N ->. hadrones . Simbólicamente:

2 1 C X ] " S ( 2 T T ) 4 6 4 (p + q - PH) ^ H | 2 =

5= 4n (t':,.A'M,v e". oc a M- V ( L O ) '

Definiendo "sect, .unes eficaces" para fotones longitudinales 1

( & = -i—r (q3,o,°,q0) ) y transversos [ (o, 1,i,o),[o,i,1,o) ] se

obtiene

q2M2' v+ q2/2

en donde el factor-de flujo utilizado es el que corresponde a un fotón

físico que produce un estarlo final con la misma masa invariante

s = (p + q) , para el cual la \z de Kalle'n vale q¿+ 2v . In virtiendo

(1.9 a) se obtiene:

(1 .9 a)

Wq = v '+ q1-/2 CTT

4 n a

w ?:.^±ja3í2

4 TT a

2 (aT+ a s ) (: .9 b)

(;..io)

q 2 _ V2/M2

(1 .9 b) permi te e s c r i b i r ( l . 6 J en función de a y a^ . Es f recuei. !;e

e l uso dhi R = o S / o T ;> 0 ; de ( 1 . 9 )

R Cv,q2) = — • (1 - - £ - ) - 1 .

El conocimiento separado de W 'y W0 (que se consigue realizando 2 ^ -\ medidas con iguales v y q pero 9 diferente] permite obtener el valor

de R; experimentalmente, R = 0.18 +0.10 , no existiendo dependencia • • • • 2

apreciable de v y q » Este valor es pequeño y, teniendo en cuenta

posiblua errares sistemáticos, podría llegar a ser R= 0; en cualquier

caso, la dispersión es fundamentalmente transversa ( or- ~ O) .

La fómiula (l.6) no es en si misma'especialmente interesante. Sin

embargo, Bjorken sugirió *" , que en la región (."profundamente inelástica") 2

en la que q y v se hacen grandes manteniendo fijo su cocú' nte , se veri­

fica?

lim.de Bjorken [W^v.q*) , vWg( v, q2)/M2] -> [F^u), F ^ ) ] (l.il)

i.e. F y Fg dependen sólo de la magnitud sin dimensiones m. Este com­

portamiento inesperado a alta energíu se conoce con el nombre de inva­

riancia de escala. En efecto, consideremos una teoría en la r.ual todas

las masas y constantes de acoplamiento con dimensiones son cero, de

modo que no hay en ella ninguna escala"natural"f habiendo invariancia

bajo las transformaciones x -> Xx, p -» (l/x)p. Teniendo en cuenta que

las W. no tienen dimensiones, (l,5) muestra que en esa teoria habria-

mas de reemplazar W por F (io) y W_,/M por Fn(cu)/\j , de acuerdo con

(l.ll). En e] mundo físico las masas no son nulas, pero cabe esperar

la aparición, de la invariancia en el límite de Bjorken, en donde aquellas

pueden considerarse despreciables A '. Las experiencias SLAC-MIT *• ' han

confinnadn, efectivamente, la invariancia de escala en tase limite (e in­

cluso antes: invariancia de escala precoz) aunque cabe preguntarse si

2 2 un-q del orden de 6 u 8 GeV so encuentra realmente en la zona asintó-tica para la cual se escribe (l.ll).

Entre los modelos propuestos para dar cuenta de las propiedades

de la dispersión profundamente inelástica, y , en particular, de la inva-(3) riancia de escala, quizá sea el modelo de partones J el más favorecido;

f 7) • existen de él infinidad de variantes *• J. Recordamos aquí LÍOÍO sus hipóte­sis esenciales:

a) El nucleón es idealizado coma un flujo de cierto numero di.¡ partículas

(partones) que se mueven paralelamente con una fracción del momento del

nucleón.

b) El fotón interacciona puntualmente con un solo partón. Cuando E es

muy grande, en el sistema del centro de masas electrón-protón

I p I -> 00 , y el eictrón "ve'1 el nucleón en un estado virtual cuya

vida media T , debido a la dilatación temporal , es T » T- . •, ~ ' ' interacción

~ 1/q . LOÜ partones pueden ser considerados como libias, lo que, junto

con a) implica que en el referencial del momento infinito el nucleón

puede considerarse CUNIO un gas libre estacionario de constituyentes puntuales í i

que interaccionan incoherentemente con el fotón ^ J:

Fig. 3

El modelo produce i n v a r i a n c i a de e s c a l a p a r a F , y F 0 . Debido a que expe-

r imentalmente R ~ 0, en e l l i m i t e de Bjarken

2F/)(UJ) ~ iuF2(u,) . (1 .12)

R ~ 0 [ Ó (1 .12) J i n d i c a que e l sp in ^ e s f avo rec ido por l o s p a r t o n e s , ya

que para un par tón e s c a l a r W - ü y por t a n t o R = to. La u t i l i z a c i ó n de modelos

que usan e l a lgebru de c o r r i e n t e s de Gell-Mann s u g i e r e i d e n t i f i c a r l o s p a r t o ­

nes cargados con l o s q u a r k s .

Conclulmo:./. u s t a i n t r o d u c c i ó n con unos breves comentar ios sobre l a s r e a c c i o ­

nes con n e u t r i n o s . Son é s t a s de l t i p o v (\í) + N *• n (|j, ) + H, y se descr iben

por un diagrama análogo a l de l a F i g . 1. El t e n s o r l e p t ó n i c o se construye a

p a r t i r de l a c o r r i e n t e d é b i l l e p t ó n i c a , y e l hadrónico , en e l que i n t e r v i e n e

l a c o r r i e n t e de Cabibbo, adupta en v i r t u d de l a covar ian. :.,< Lorentz l a forma

g e n e r a l

W V ' ^ = ( - g u v + % ^ ) <'Z + (P»~ *§ ^ ^~2§ qv) W 0 ^ ' -M'V • q Q q -^OT M:

V , V u / V , V

i€p.vc$ p " qK _¿ _ + ti,, qv -ü + 9 i»2

2Nf M

w ^ ' v . , • • , wy > v

+ (Pn' qv + Pv qpj J¿ + i (pn qv - pv q^,) • J? ( i . 1 3 ) 2 2

M M

La no conservación de l a c o r r i e n t e d é b i l impide s i m p l i f i c a r ( 1 . 1 3 ) ; só lo

l a i n v a r i a n c i a bajo T impone l a condic ión W.- = o . Sin embargo, en e l l i m i ­

t e en e l que l a masa d e l l ep tón es desprec iada , ' m = o, l o s t é rminos en q|i,qv

de (1 .13) no cont r ibuyen a l a secc ión e f i c a z (como tampoco con t r i bu í an en ( 1 . 5 )

debido a l a conservación de l a c o r r i e n t e e.rn., uft'q u = o )por l o que, en esa M < • ••

aproximación,

ó2a_ = G2 E ' 2 r 2 s e n 2 0 / 2 W^('v + e o s 2 . 9 / 2 W2 ' v +:.... dn ciE* ^ 2 M. ••'•

2íT

+ E + E ; sen 8 /2 W^ , v ] (1 .14) M

7

y en e l l í m i t e de B jorken se ob t i ene ( o se espera obtener)

w,(v.qz)-.F,W /vwgív.i2) -» F w , M

vW~ ( v , q ) _ i \ i , , . , . o _ - F~(.wJ • (.1.1b]

M2

También aquí se pueden d e f i n i r secc iones e f i c a c e s análogas a l a s ( l .E>)(v£a-

se , por e.i empíe^ R e f . ( 4 ) ) y c o n s t r u i r un modelo de po r tones . La h i p ó t e s i s de

que l o s par tones responsables de l a i n t e r a c c i ó n son fermiones reproduce úu, nue-

vo l a r e l a c i ó n ( 1 . 1 2 ) de Callan-Grass*- j .

2- El l í m i t e de Bjorken y e l cono de luz

Los a n á l i s i s de l a s p rocesas a n L e r i a r e s en e l espac io de canfín.'-'ra­

ción muestra *•' ' que en e l l í m i t e de Bjorken l a región de impor tanc ia 2 es l a x ~ 0 , lo que conduce a l e s t ud io de l comportamiento de productos

de c o r r i e n t e s en l a s proximidades de! cono de l u z . Es f¿-. 11 ob tene r i n t u i ­

t ivamente *• | e s t e r e s u l t a d o a p a r t i r de ( 1 . 4 ) . En LAB,

p=(M,Ü) , q = ( q o , 0 f 0 , q 3 ) , qo=v/M , q;;= ^ - ( l - ^ | - )% , ( 2 .1 )

por lo que , en el límite de Bjorken, v

MX3 exp i qx = exp i [J|L- ( X Q - X 3 ) - — ] . ( 2 .2 )

La mayor p a r t e de l a con t r ibuc ión procede de l a región en l a que no hay

f u e r t e s o s c i l a c i o n e s ,

i.e., ¡ x2-[ ( V x 3 ) (xo+ x3) - x^ - *? ] < JE. - (x* + x|) (3.3)

2

que se reduce a x ~0 (cono de luz) debido a la causalidad del conmuta­

dor en (1.4) ^ ' ; en efecto, ya que el coeficJ rite de /-.., en (2.2) no

es grande, un dominio razonable de xn contribuye a (1.4) , de modo que

la región de importancia es efectivamente el cono de luz y no sólo su

vértice x =0 . Nótese, por otra parte, que estas consideraciones impli-

can que no hay variaciones fuertes de x~ dentro del cono de luz, ya qt.3 2

tales variaciones podrían afectar el comportamiento asintótico en q~

para u; fijo.

De un modo análogo puede mostrarse que para el limite de Regge o

(v -> oo j q"" fijn) la región del espacio de configuración que tiene 2 2

iíi.,iortancia es la x ~ l/-q , que se aproxima tanto más al cono de luz 2

cuanto mayor es q . Asi pues,el límite de Bjorken está dominado por 2

la región del cono de luz x ~ 0 , no siendo necesariamente a.i. para

el límite de Reyye .

9

3- Desarrollos en el vértice del cono de luz (cortas distancias, x ~y ) - , — "' J - ¡ i - ^

El resultado del & 2 conduce al cálculo del conmutador [j (x),j (y)]

para (x - y) ~ 0 , lo que puede considerarse como un intento 'le generali­

zar los resultados del álgebra de corrientes ( obtenidos a tiempos igualns, x = y ) al cono de luz. Históricamente , esta generalización se ha realiza-o o do en dos etapas, estando la primera cubierta por los desarrollos de

u¿ (13)

(12) Wilson v • ' d e p r o d u c t o s de ope radores en e l v é r t i c e riel cono de luz

(x ~ y ) y l a segunda i n i c i a d a po r l a g e n e r a l i z a c i ó n de Frishman *• ' y V V- (14) 2

de Brandt y P r e p a r a t a l J a t oda l a r eg ión (x~y) ~ 0 . La v a l i d e z de (rM

estos resultados ha sido analizada por Zimmermann , y muy recien-Í16l

temente, Fritzsch y Gell—Mann *• J han propuesto una forma concreto para los conmutadores al formular su álgebra del cono de luz. Nos referiremos

en este apartado a la primera de las etapas mencionadas^ (12)

Wilson supone l 7 que el producto de dos operadores A(x) B(y) para

x ~ y puede expresarse por el desarrollo

A(x)B(y)=^ Cn(x_y) üjy) (3.3)

en donde las C son funciones (DHTU,ñeros) de la diferencia x-y que

pueden poseer singularidades en el cono de luz en la forma [ (x - y) -*-

+i €( x —y ) ] e incluir logaritmos ele (x-y) 1 y 0 (y) es un conjunto

completo de operadores locales no singulares linealmente independientes;

el Índice n incluye aquí todos los Índices (de simetría interna, Lorentz)

necesarios para la caracterización da los operadores . El desarrollo (3.1)

debe ser entendido en el sentido débil (i.e., tomándolo entre dos estados

inicial y final) y, en general, poseerá infinitos términos, (-aunque en

cualquier orden finito de (x-y) sólo un numera finito de elius contri­

buirá a la sumatoria.

Los desarrollos (3.1) existen para teorías escalares y espinori. i les

libres, para campos en interacción renormalizados en cualquier urden de

teoría de perturbaciones , para corrientes locales, conmutador-es, etc. Si

A y'B son dos corrientes, por ejemplo, (3.1) se escribe

el desarrollo puede hacerse también en x 6 x+y/2. La existencia de las

singularidades en (3.1) o (3.2) es fácil de comprender, ya que realizan­

do explícitamente el cálculo para (3.1) en una teoría de campos 1.M n:s

aparecen en el segundo miembro las "funciones singulares", y para (3.2)

la observación de los conmutadores del álgebra de corrientes de !>! ,1-Mann

indica que al menos uno de los dos productos de corrientes que un ullos

aparecen debe ser singular.

10

La naturaleza de las singularidades está determinada, en general,

por- las si me trias (exactas o rotas) de la teoría. En particular, en una

teoría invariante de escala, el comportamiento de C (x~y) esta determi­

nado por dicha invariancia salvo una constante. En efecto, bajo una trans­

formación de escala los campos loca.] es se transforinan según

Uf(x)0n(x) y (K) = A",nUn(Ax); (3.3)

p,;ra teorías libres d es la dimensión (canónica) del campo ( i . e , , [0 ]=

=M n) que viene fijada por las reglas de conmutación(en las que se supo­

ne que no aparecen constantes con dimensiones pues en este caso la di~

rnensifin depended de éstas). Entonces, de (3.1) y (3.3) se obtiene (A y B

escalares) d ~d -ri

A(xx)0(\y)«2 C (x~y) X n ü ü (\y) (3.4) n •' '•

y si hay invariancia debe satisfacerse la relación

Cn(;1(,-y))=Xdn-d f t-dB Cn(x-y) (3.S)

ya que los campos son lineal mente independientes. (3.5) nos dice que las

C son funciones homogéneas de (x-y) por la que, una vez fijadas sus pro­

piedades de transformación de Loreñtz, quedan determinadas, salvo cons­

tantes . En particular C será singular si D = d ~dA-d,_, < 0, y la singu-n ' n A B '

laridad será tonto más fuerte cuanto mayor sea la diferencia (drt+d,_.)— d . ^ A B n

Gi d es grande, la singularidad será pequeña,y dado que podemos orui.aar los 0. por su dimensión (por e j . , para campos escalares: I (d=0); <3? (cl=-l); o

$ , o § (d=2); etc) sólo habrá un nCimoro finito cíe C singulares. |¿ ' entre n

Esta correspondencia A la dimension y la intensidad de la singularidad

puede aclararse con un ejemplo familiar extraído de la electrostática»

• Consideremos, el potencial

r ' —' r

Si r es mucho mayor que el espauio ocupado por la distribución de carga p,

V admite el desarrollo

—> . f - j . . q r» -•> . .

\í {P)~ + —r<, a -f términos rnultipolares , 13.7) r J,J

en donde q es la carga total ele la distribución, a el momento dipolar,

etc. Como es evidunte , el primer término (potencial de Coulomb) es el más

importante salvo si q -•-• 0 , en cuyo caso p¡\u,\ serlo el potencial dipolar

salvo que d sea cero , y así sucesivamente. Se ••h\,«rva que , independien-

temente de p , ( 3 . 7 ) i n c l u y e un con jun to " t i p o " de té rm inos (Coulomb,

d i p o l a r , c u a d r u p o l a r . . „ ) , y que e l orden de i m p o r t a n c i a es tá re lac ionado

con l a dimensión d e l m u l t i p o l o ya que [ v ] = L . = [momento] [ " p o t e n c i a l " ] ,

En e l d e s a r r o l l o de p roduc tos de operadores en gene ra l l a s i tuacJon

es semejante f estando r e l a c i o n a d a l a i m p o r t a n c i a de un operador 0 con su n

dimensión ya que es ésta la que fija la singularidad del coeficiente que. (17) lo acompaña de acuerdo con la regla dimensional *• ' [C ][0 ] -' [AG]

(sufeupofie que C no incluye parámetros con dimensiones como, por ej.;

masas ).Cabe esperar que , del mismo modo que en el ejemplo anterior con­

tribuyen al desarrollo una serie de términos bien establecidos con inc .pen­

dencia de p, también aquí aparecerá un conjunto de operadores "típicos"

en los desarrollos (3„l) y (3.2); En general, se admits que la "lista" de

los operadores que aparecen en (3-2) incluye L- r J.

a) el operador unidad:I (que es local pues conmuta con los campos lo­

cales para distancias espaciales) de dimensión d=0.

b) laa corrientes V y A de .dimensión (determinada por los conmutado-

res de Gell-Mann ) d=3 , y sus divergencias.

c) el tensor 9 - de energíaimpuisú (d=4).

d) un conjunto de operadores de dimension d=s-»-2, en donde s es el"spin"

del operador; en el modelo de quarks,

Í Y „ * ; » <F t Y„K,+ Y..?.] • • « * , 2 f [Y t . . . t ] * . M- n v v M> y perm. ^-1 M-g ^ n

Resumiendo: l a s s i n g u l a r i d a d e s cíe l a s func iones C ( x - y ) están d e t e n í a -

nadas , sa l vo cons tan tes , por l a i n v a r i a n c i a de escala y Lo rent?, de l a

t e o r í a . S i además, e x i s t e n s i m e t r í a s i n t u r n a s , hxe C que rompan l a s i -n

rnetría sarán nulas o , .al menos, no can singulares como los términos

que la preserven.

\

12

4. D e s a r r o l l o s en e l cono de luz

Frishman (véase Re f . ( l . j ) ) propone g e n e r a l i z a r l o s d e s a r r o l l o s de

l',i I son a l cono tie luz adoptando para e l producto de dos operadores 1.

•.¡/.presión

A(x) tí[y) - 2 ü n (> -y) F n ( x , y ) (:;. )

, .-¡ra (x - y) ~ 0. En (4.1) n da cuenta de los correspondientes in­

dices internos y de Lorentz, las funciones C (x - y) incluyen las

singularidades en [x ~ y) ~ Q y los F (x,y) son operadores bilocares

(i.e., dependientes de x e y y que conmutan con todo operador local

en un punto separado espaeialrnente de x y de y) regulares en (x - y)1 - 0;

cabe esperar que (4. ij posea sólo un número finito de términos. Par¿t

un conmutador, la expresión análoga a (4.1) es

'[ J3 (*J , jsb(y) ].£ Cn(x™y) F

n(x,y) . (4.-

Frishman supone, además, que l o s operadores b i l o c a l e s F ( x , y ) san fcainr'án

r e g a l a r e s en x = y, lo que pe rmi te relacionar*- ' ' ( 4 . 1 , 2 ) con e l ce r e s ­

pondien te d e s a r r o l l o de Wils"n y de te rminar en tonces l a s i n g u l a r i d a d Je l a s

C, ya que é s t a s pueden deseo, j o n e r s e en funciones i n v a r i a n t e s que dependen 2 - ' °

só lo de (x -y) y e ( x -y ) pa ra l a s cua les l a s ingular ! . Jad en (x—y)^ ü y en x ~ y e s l a misma. Es ta comparación se r e a l i z a d e s a r r o l l a n d o en s e r i e r-n( \ (22) F ( x , y j en y ~ xv J

Fr ( x , y ) „kSQ L L _ — ^ C^ 1 - - .by k Fn (x ,y) ] y = = x • (4 .3)

y manteniendo • el número finito de términos fijado por la aproximación deseada.

Es sencillo comprobar que en teorías de campos libres los desarrollos

en el cono de luz tienen la Forna propuesta. Por ejemplo, para un operador •i-

' c o r r i e n t e " j ( x ) = cp ( x ) cp(x) (cp es un campo de Klein-Gardan) se ob t i f ;e l a

e.\,. ;sión

[j(x)i J(y)] = i A(x-y) A^x-y) + i ¿(x-y) .

• t>/(x) cp (y): + : cí(y) cp (x):] (4.4) , ,2 fig]

que muestra las singularidades en (x-yj ~ Cr J. La conjetura de Fris irnan

consiste en suponer que estos desarrollos son también válidos en teorías

con interacción.

Aunque el punto de partida del desarrollo en el cono de luz ha sido el

(20)

de Wilson, no es difícil observar1- 'que la validez de aquál no puede esta­

blecerse a partir de .éste. Para ello ss suficiente comprobar que un término

que es singular en el cono de luz puede no serlo en su vértice. En efecto,

supongamos, per ejemplo, un término en el desarrollo del conmutador

W x ) i U(y) ] en el cono de luz de la forma

• (x-y) (*-y) F „ ( * , / ) . (4 .L Í ) CÍ"1 • . • t í . ,

en donde se ha escrito explícitamente la estructuro Lorentz de F¡ ul tfir—

mino j | es cero para distancias espaciales garantizando la causalidad iif]

conmutador. Si calculamos < pl F ley > (el desarivillo ha de cnten-1 ai...an'

derse en el sentido débil) los términos que producen la maxima sincjulariciad son l o s de l a forma p . . . p en donde l as p son momentos que aparecen

orí Qn a

en los estados I a > , I p >• ¡ términos incluyendo g \ , por ejemplo,

serian menos singulares al poseer un factor (x-yj ~ 0. La singularidud

producida es entonces del orden de [(x~y) ]*" . Pero la singularidad mayor

en el vértice del cono.de luz, x • y f es del tipa (x-yj ( i . e . ,

p"~ en donde (x-y) -» p§ con p -> 0) y si n > 2A. el término es regular a

cortas distancias, por lo que no hay una correspondencia biunivoca entre

las iiingularideities de ambos desarrollos. Este sencillo ejemplo muestra,

además, que conocidas todas las singularidades en el cono de lu¿ se tienen

también las que corresponden al vértice (ya que la singularidad , que esta 2

asociada al argumento (x-y) no es sensible a que (x-y) sea grande o pL.-qui>-

ño con t a l que (x—y) ~0 ) pero que para obtener el desarrollo en (x-y)"— O

a par t i r del de Wilson se necesitará conocer en éste términos que no son

singulares. De hecho, Frishman muestra que es necesaria conocer el desarrollo

a cortas distancias con una precisión infinita, concluyendo asi que no es

posible obtener el desarrollo en el cono de luz a partir del de Wilson.

Su justificación del desarrollo en el cono de luz, que hace uso de una trans­

formación de Lorentz que lleva el producto de operadores a una forma en 1&

que es aplicable el desarrollo de Wilson, requiere efectivamente que este

sea conocido con precisión absoluta -con infinitos términos— para preservar

la localidad.

Otra forma para el desarrollo en el cono de luz es la propuesta por

Brancil: y Preparata . (véase también, Ref. (11).) quienes escriben |juru el

producto de dos operadores A(x) B(Ü) en x ~ O la expresión

A(4 8(0) , £ n I 0 F. i n(x) x . . . . x o l i f f l _ an (0) ( , _ 6 )

en donde 0) •* es un conjunto infinito de operadores locales que

dependen del modelo considerado y que satisfacen

dim o H = n+d. (a.7)

y 3 as F son func iones s i n g u l a r e s en x^?F. n ( x ) ~ F j ( x ) en x ~ o . D e acuerd r con

cadr.t té rmino T. i x ) = xQ . . . x n " ü . ' rr,*> posee l a misma dimensión ¡. .

t :; aplicación de argumentos dimensionales muestra que , cuando las dimi. i—

si-nes son canónicas, todos las términos T. llevan asociada la misma i . n . f

s i n g u l a r i d a d F . (xJ que se comparta como ( l / x ) / A ' " " i . Párti c o r t a s d i s t a n ­c i a s es x ~ G, por lo que T. l l e v a asoc iada una s i n g u l a r i d a d só lo s i

[i i d f>-.d„-d.-r¡ :> 0. A B i

De nuevo es s e n c i l l o comprobar que, en - e o r í a de campos l i b r e s , se

c jL-.nen d e s a r r o l l o s de l a forma ( 4 . 6 ) . Por ejemplo , pa ra e l producto

j ( x ) j ( y ) en donde j ( x ) = :cr'(x)co(x) •" Y q> e s u n campo de Klein-Gordon,

l a a p l i c a c i ó n de l a r e g l a de Dyson pe rmi te descomponer inmediatamente

j ( x ) j ( y ) e n suma de ope radores ordenados normalmente con e l r e s u l t a d o

j ( x ) j ( y ) = 2A ( x - y ) + 4A"( x -y) : íp( x )co(y)^:cc(x}cp(x)cp(y)cp(y} : . ( - . 7

El primer sumando de (4.7) es el término disconexo, y el último no es

singular. El segundo,que es el que aquí posee más interés,puede ponerse de

la forma (4.5) adscribiendo A a la función singular F(x-y) y sustituye :j

:cp(x)cp(y): por el desarrollo

S ~—2 —i ;cp V " ' V ! I *+y ; . >4'e

2 se comprueba que dim(0 ) = n+2.

^ 1 » • • ' a n 4

Brandt y P r u p a r a t a proponenuria deducción de ( 4 . 5 ) en t e o r í a &\ qu'-

pasamos a d e s c r i b i r muy someramente. El punte ú¡:. p a r t i d a es e l desarre lo

en s e r i e de Taylor de l producto

cp(x4-T|) cp(Q) = ? - f - (-n 6 ) k cp(.x)cp(0] ( 4 .B K=:(J K l

en el que TJ es de tipo luz, T)r~=0. En el limite x -> 0, (X+T)) -*• 0 y el ; U ' " • • . (y|(; • • '

primer miembro de (4.9) corresponde al producto de dos operadores en e

cono de luz . Suponiendo que en el segundo mi*.-;. :ro es posible intercam­

biar la sumatoria con el límite x -* 0, Brandt y Preparata sustituye,"

cada término de éste por su desarrollo en el vértice del cono de luz,

intercambiando de nuevo las sumatoráas ( E y lo quu aparece corno cons; • . k

cuencia del desarrollo en x -» 0) obtienen (4.5). El lector interesado :-:n

los detalles de esta deducción, cuyo punto débil es el intercambio de

limites y sumatorias con infinitos términos, puede consultar el articulo

origina]- , en donde se discute también la aparición cíe factores loca-

rítmicos en las funciones singulares en teoría de perturbaciones y la

noción de dimensión canónica ••efect iva" .

Las apl icaciones de los desar ro l los en e l cono de luz en la fon;ia

d iscu t ida han sido objeto de numerosos t raba jos ; véanse , por ejemplo,

las Refs. [ ( 13 ) , (2D), (21) ] [ ( 1 4 ) , (1.1 j , ( 23 ) ] . ; Referencias anter iores r e l a ­

t i vas a l estudio de las s ingular idades en e l cono de luz son [24 ) , (25 ) .

Apa r t i r de ahora dedicaremos nuestra atención a l a versión de Fr i t¿sch

y Gell-Manir ' de los conmutad-..^ tie cor r ien tes un x ~ 0.

16

5. Conmutadores de Fritzsoh yGell-Mann en el cono de luz '

La aplicación de loa resultados anteriores a los procesos profundamente

.i aplásticos se realiza sustituyendo el uunmutactor de (l.4) por su correspon­

diente desarrollo en el cono de luz, lo que permite obtener (véase la

bibliografía previamente citada) las funciones de estructura en el límite

de Bjorken-límite que ( 2) está dominado por las contribuciones de 2

la región x ~ 0— y , por tanto, medir las singularidades en esa región.

Los resultados experimentales de la invariancia de escala y la relación

de Callan-Gross1- ' 2F-,(o>)=F0(uJ parecen indicar que dichas singularidades

poseen la estructura que se obtendría utilizando teoría de campes libres.

Parafraseando a Fritzschy Gell-Mann podríamos decir que, por lo que al

limite de Bjorken se refiere, "la Naturaleza lee en libros de teoría de

campos libres" , aunque, de acuerdo con Preparata, los operadores que

utiliza "parecen haber sido extraídos de un libro algo menos elemental".

De acuerda can estos resultados es razonable buscar algún modelo que

permita encontrar'una forma explícita de los conmutadores de corrientes

en el cono de luz cuya estructura pueda ser postulada después con genera­

lidad para el mundo hadrónico físico.El modelo más sencillo es, evidente­

mente :, el modelo de quarks.

Este modo de proceder posee ya un precedente: los conmutadores del álge­

bra de corrientes (tiempos iguales] fueran postulados por Gell—Mann a

partir de los obtenidos haciendo uso del modelo -libre- de quarks y del

hucho de que la presencia de ciertas formas de interacción no modifica-í 26 V

ría las relaciones de conmutación calculadas*- .En el casu presente,

el modelo de "gluones" (¡.-;n el que los quarks interaccionan can ciertos

bosoní s neutros, los "gluones", cuyo nombre alude al papel de "adherentes" (27)

de quarks que desempeñan) proporciona un .ejemplo*- de teoría en la cual

la estructura de los conmutadores para la singularidad dominante en el

cono de luz es la misma que la del caso libre.

El cálculo directo de los conmutadores en el modelo de quarks

proporciona para la parte conexa (el símbolo ~ indica igualdad en í 16 ]

el cono de luz) el si guien tu resultado*- .

17

^^.vpJ^'^^^^'^^^^^u^CA^^y^Jl-A^^x.y))])

[A^x),Vvb(y)i S -$- b P [ e ( , j 6 C a ) ] .

.|ifabc[^vpa(Ac,a(><.y)-iC'a(y,x))-iVpo(vc-0fy,x)-vc'0(x,y))]+

[A°t").A%')] - [ v V ) ^ . ' ] (S.l

en donde s ^ =g g +g y -y g , z=x -y , las i n d i c e s l a t i n o s puecii:n M-vpcr p,p v' vp ¡¿o (iv pa '

tomar l o s v a l o r e s 0 , 1 j , . . 0 >, ¡n e l modelo de quarks, l a s c o r r i e n t e s

l o s operadores b i l o c ó l e s v.r:;[ ., d e f i n i d a s po r

V a ( x ) = q ( x ) v ' • . * ! q(y) ;.fK*U) = ' q ( x ) Y Y5 - ¿ l q ( x )

| I M< [i (A . , a

s iendo X l a s ma t r i ces de C i .-Mann. E l c á l c u l o de ( 5 . 1 ) es s e n c i l l a

y hace uso de que e l ún ico ojee i conmutador na nu lo es i q ( x ] , q ( y ] } CIU(2

va le

Íq(x),q(y) | - -is(2) - - / \ D W . - ^ / ^ [ « ( ^ M ^ í (5.3)

para rn=0 (Véase el Apéndice B; otras Formas para (5.1]'se dan en*-"' .

Las relaciones (S.l) han . ido calculadas en teoría de campos . . ¡ s.

La hipótesis deFritzschy Gell-Mann consiste en suponer que las rula

nes anteriores entre las corrientes y Los operadores bilocales son te -

bien válidas en el mundo Física - incluso aunque los quarks no existar

como partículas reales- considerando los operadores bilocales ^ .orno m ;UQS

entidades de las cuales se conoce únicamente que sus elementos de

matriz son finitos. De acuerdo con las consideraciones anteriores se

supone que la presencia de la interacción, aunque modi* icara la estr

tura de los conmutadores dentro del cano de luz, deja fn esa región

inalterada la singularidad dominante. Ya que ésta no depende de La

18

masa, admitir la validez general de los conmutadores (5.1) es equivalente

a postular para los hadrones el Algebra del cono de luz de quarka libres

y sin masa.

Cabe preguntarse si los operadores bilocales que aparecen en (5.1)

constituyen un sistema alguüraico cerrada (.las operadores locales no satis­

facen esta condición puesto que el conmutador de dos de ellos en el cono de

luz no es local).La respuesta es afirmativa, es decir,los conmutadores de

los operadores bilocales en el cono de luz^ J pueden ponerse en función

üu operadores bilocalesj el cálculo se hace, una vez más, en el modelo

de quarks . En estas notas nos limitaremos a considerar algunas de las con­

secuencias de (5.1) por lo que, aunque hay algunas propuestas •'para

comprobar la validez del álgebra d& los bilocales, omitiremos aquí la

expresión de los conmutadores: de ésta*- \

Concluimos este apartado mencionando que es posible mostrar que (5.1)

reproduce las relaciones de conmutación del álgebra de corrientes en el

límite en el que los tiempos son iguales.

19

6 . Apl i cac ión a l a d i s p e r s i ó n profundamente i n e l a á t i c a

Nos proponemos aquí a p l i c a r l o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s a l e s tud io de l

t e n s o r hadrónico W s i g u i e n d o e l a n á l i s i s de F r i t z s c h y Gel l -Mann. l i . -

n iendo en cuen ta l a e s t r u c t u r a SU de l o s conmutadores ( S . l ) r e a l i z a r e -

fnos e l a n á l i s i s s imul táneamente parcí l o s p rocesos e lechromayuJ l icüs y d i

b i l e s (<§>1) e s c r i b i e n d o

ab _ dq¿ e ~ q " < H ( p ] | [ J * ( z ) , J u ( o j ] I H ( p j > ( ü , iu) w . 1 1 ^ ,M* ^ ur-ur ,a f , i .b

if = .3— I d z e < H[p J I J ' ' ' ' W ,J .- ~¿- i d 2 e"'q2 < H [ p ] | [ J , f (z)' J! [G) J I H [P] > >'• (G-1b)

en donde a y b i n d i c a n l a e s t r u c t u r a SU., de l a s c o r r i e n t e s . . H es e l blan

co hadrónico y e l s u p e n n d i c e 5 i n d i c a a x i a l . Pues to que todas e l l a s se

comportan aqu i como s i fueran c o r r i e n t e s :conservadas l a s ¡'unciones tie

e s t r u c t u r a que apare-jan en e l d e s a r r o l l o du (6„ i) son W t W y W . Te-

niendo en cuen ta l a forma de l o s conmutadores ÜB conven i en t e : modi f i c a r 1H

descomposición ( l . S ) , (_1,13j de tí; : . l a fc.r.;,--:

2 a b

ab ab . 2 f > v wo W = ( - g u v + S i L ^ L . ) w .,.. i^L.Py. H ' IJ^lqtJtPv +_Pii,qv]+gH,v _2_

^ V q 2 L q 2 M2 ' -,;

W - W +' W2 v 2 (G.2a) 1 '2 ' T '

M q

5a, L.

W - - «-, €nvoP. P0' q p — £ — i (6 .2b) ^ v ¿ Mi­

n ú t e s e que s i en e l l i m i t e de Bjo>ken W. =.- o es y;F = 2F . Para e l sequn-a b L d • \

do sumando de W obtenemos •M.V

9M-W - 2 Pu pv 5 - (p q + P p;.) at? ' „— fí.,..y - ,.V ,..!*,. F _»

2

ab a or P o \ Fr~

S-Lslt-LP-Li -£. (c.3) fxvpa 2 v ?

20

en donde g = w = >'2\> y s ha sido definido en el <fc 5. De igual

modo, (6.2b) da

5a, b 5a, b W = - ~- € o P T Fq • (6.4)

La s u s t i t u c i ó n de ( 5 . 1 ) en ( 6 . 1 ) pe rmi te ahora o b t e n e r información sobre

l a s func iones F . Puusta que e l blanco no e s t a p o l a r i z a d a , l a suma sobre

e l sp in e l imina l a con t r ibuc ión de l o s t é rminos en A ' a , por lo que, s u s ­

t i t u y e n d o ( 5 # 1 ) en ( 6 . 1 a , b) obtenemos

ab /, o \ A i q z n r v ^ „ r 2-M

, _ ¡ . „abc ~c r > .abe 7c , -, , r,- r. ^ . 2 i 1 f . SH(.pz) + d /\H (pz) ) (6.5a)

y i»

5 a , b . • w = * e n 90

d4z e ^ bP [ 6 ( ^ 3 6 ( z 2 ) ] .

. 2 { i / ^ H ( p Z ) + d Ü U L J S H (pz) i , (6.5b) tbc -v c r ^ . ,abc ~ c

en donde Z-,0 S (pz) y 2 p 7C,, (pz) son l a s c o n t r i b u c i o n e s dominantes

a (6 ,5 ) de l o s e lementos de ma t r i z < H | V C ' a ( ^ o ) + V C , ° ( o , z ) | H > y

<. il I V C , a ( z , o ) - V c , a ( o , z ) I H > , f i n i t o s debido a l a N - ordenación c'e

l o s ope radores ; p re sc ind i r emos de l sub índ i ce H en l o s u c e s i v o . Con

[% A ] (pz) = td5.Cs,A) UU±l ( P Z ) (6-6)

las fórmulas anteriores corresponden a una suma de expresiones del tipo

f f 4 i(cl + §P^2 P r Y V , ? U f(§ ) \ d z e . & [e(zo) 6(z

2) ] . (6.7)

Ahora b ien , l a i n t e g r a l

d z e Le( z0 ) 6 ( 2 JJ (6-SJ

21

3 2 • CJ

e s 6rr i D ( - a ) =? 4 rr i e (a J ¿ (a1-) con a = q H- 5 p , por lo que en c l l i m i t e de Bjorken ( 6 . 7 ] v a l e 4rr<~(q+§p) p H ^ - en donde g a n t e s s in cio-

- o 2 - ^ v - q t - / • '

t e r m i n a r , e¡á ahora § = / 2v como consecuencia de l a i n t e g r a c i ó n de ó(a ) . Tenier

(S .5a f b) dan

ó(a ) . Teniendo ahora en cuen ta l a f o r m a ' e x p l í c i t a de f ( e ] en cada iso,

ixvpo- p lq+Fp)K ( ......:ibc ...e f x a b e _c , N , / ^ „ \

W « 4 ^ W qp p a ¡ i f f a b c A'-; (5) + d ^ SU ( § ) l (6 .9b)

por lo i.- •-: camparan do con ( 6 . P ) , (:'.>.. 3 ) , ( 6 . 4} se obt iene f ina lmente

ab . . , 1 _ f . ~ abe 0 c r v 'uv; c r >, , .- .„ n F 2 = j § | :i r S (F , ; - A (5) j t>. 10a)

F ^ ' b ^ í ^ 3 b C A° ( § ) + c¿ b C U ( § ) J ;Ü .1GÜ)

y que l a función c'a-j e s c a l a l o n g i t u d i n a l F debe s e r a r-oi l o que i mi l : c a

F, = ( 1/2|) F.,.

22

?• Consecuencias para las funciones .Je escala

La farrna de las relaciones (6.10) permite su aplicación inmediata

a los procesr •> rof undamente inelásticos sin más que tener en cuenta

la estructura SU du las eorrientus ulectromsgnética y débil. De acuerdo 3

con ella,

.Btn .'-:, 1 .8 f ,

M> M- V 3 IX-

y para la corriente débil los términos vectorial y axial (~J = V - A "]

poseen la estructura comírn

j = ( j 1 - i j 2 ) cas Q + ( j 4 - i j 5 )sen 9P (7.2)

{ 31] dictada por la hipótesis de universalidad de C<:í!xLbbo ,\ los resul-

tados experimentales sugieren 0w=B„-Gn; por ejemplo, un ajuste da V A L »

sen 6.^ 0,250 ± 0,009 , sen 0 = 0,236 ± 0,011. Deid.» la pequenez del

ángulo de Cabibbo tomaremos aqui 8...~ 0 como es usual, eliminando asi

la parte"extraña" -de la corrientuj.

Ya que

(..em,em,k= ^ d em,em,k = 2 ( | | [Q)^ _1_ ( 3 ) + ^ ( 8 } ] ^

obtenemos de (7.1) la función F0 para electroproducción sobre un hadrón

H. :

= §C||1 A°+ I A 3 + A 8 ) • (7.4) Ff = ^313 n 3 n •*• a 7 3

Para las reacciones con neutrinos obtenemos, teniendo en cuenta

las cuatro contribuciones que proceden de la forma V-A de la corriente

y que

f-' + 'k= 21 (3) d-'+'k= J- (8) + 2 ^ (°) [± s 1.+ i2] (7.5)

las expresiones

F^H= §( -2S3 + J - A

8-, 2|§ A° ) (7.6)

f^= (2A3 --§- S8- 2^| S°) (7.7)

De modo análogo se deduce para reacciones con antineutrinos

J3

C^+l—»k_ _f"" i+>'< . d 4 " ' " " ' ^ d " " ^ ' ^ )

Ff « §(2B3 + J - A8

+ 2 * | A°) (7.G)

F^H = (-2A3- J ~ 5B- 2 ^ | a°] ; (7/J)

en l a s expresiones a n t e r i o r e s , todas l a s funcionen lo son de ^.'/(^X-i).

Para c a l c u l a r r e l ac iones en t re l a s funciones de esca la basta

observar* l a s e x i s t e n t e s en t re los elementos de matriz para d i s t i n t o s

estados hadrónicos. En ( 7 . 4 ) , ( ? .6 ) -{7 .9 ) hay 6 va r iab les independien­

t e s (por ejemplo, S° ' ' y A ' ' ' ) y 10 funciones de escala que

dependen de é s t a s ( F ^ . F ^ , . ^ , ^ 3 , ^ 3 , F**,; F ^ W ? , V ' ' ] .

Se comprueba inmediatamente l a s ime t r í a de i sosp in ,

r 1 , 3 h 1 f 3 ' 1 ;3 h 1 r 3 l / . i u j

y que l a s 6 funciones r e s t a n t e s (F , F . , F^ „ , F^ ' , por eje.'i.plo)

no son l ineálmente independientes por e x i s t i r en t re e l l a s la r.ilacióYi

de Llewellyn-Smitb (Rei \?)

1 2 ( F f -FT ) = F f - F^P . (7.11)

Es evidente que s> ¡>uede p r e s c i n d i r de Id r e s t r i c c ión sen Qr= 0

en l a s consideraciones : in ter iores ; en ti.e caso se obtienen l a s funcio­

nes de e s t r u c t u r a "ex t rañas" que corresponden a ."la producción de estados

f i n a l e s con extrañeza ' ü t i n t a de cera (Vid. Apéndice C y Tabla i ) .

Para obtener reglcii, de suma*- ' basta d e s a r r o l l a r en s e r l e l a s com­

binaciones de bi locale: . s imét r i ca y an t i s i rne t r ica y observar, entre los

términos que aparecen» cuales son los que poseen elementos de matriz

conocidos. La inspección de tus términos que contribuyen a <H| jK> ,

. c V ••" + V ' ~ 2 q y ^ q i- términos de orden super ior - p a r - en z

(7.12 a)

y c » a -. VC,CT'~."2iz' '•» *q -y° 6V ="q + términos de orden super ior - impar­

en z , (7.12 b)

muestra que en (7.12 a) enarene l a co r r i en t e hadrónica de elementos

de matr iz

<H|2q V" | ° q | H > = 2p£ (s°) (?.13a)

pa

( s ' us e l v a l o r esperado de X = 2F para t - I estado ¡ H > ) y que, para

c =0, en (7 .12 b) aparece un operador que es -esenc ia lmen te - e l tensar

eneró la impulsa 6 . Suponiendo que todo e l momento de l hatírán es l l evada

por l os par tones (quarks , £ 8 J que p a r t i c i p a n en l a i n t e r a c c i ó n con l o s

1 uptones

< H(p) I 0 ^ |H (p ) > = < H| \ "q y *6 q|H > = 2p p . (7 .12 bj

Teniendo en ciJunta que (7.12 a) [(7.12 b)] contienen potencias pares

[impares] de z , us claro que

's (pz) = s + términos con potencias pares de (pz) de orden supe­

rior (7.14 a;

A (pz) = ia *(pz) + términos con potencias impares de (pz) (7.14 X

y por tan!* podemos escribir simbólicamente tus transformadas de Fourier

en la forma

S (§) = s. 6(5) + términos con derivadas pares, de 6 (7.15 a)

A (g) =-a(, 6'(c) + términos con derivadas impares de 6 ; (7.15 t)

es claro quñ el conocimiento de los distintos coeficientes s,a combinado

con una adecuada integración n e; que los seleccione proporciona las

ns 4

Í32) reglas de suma buscadas. Asi se obtiene, utilizando (7.15 &y '

[ ±JL (pvP_ FvP} = 4 s3 = 4 m ( 7 > 1 6 )

Ya que F V H ( 5 ) = l '? H ( -§) , . i =2 ,3 - l a propiedad de cruce da wY ( q ¿ , v ) =

- wV(q¿ , - v ) - ( F ^ P - F^P ) /5 es p a r e n E,, por l o que (7 .16 ) equ iva le a

d_¿ t Fv P - FvPj = 2 - (7.17) £ •- ¿

*° (33) que es la regla de suma de Adler . Análogamente,

' d 5 [ F * + h p . 2 C ^ / ¡ : a ° - ^ - s ° ) . . - l 2 (7.18)

-A, pues s = J6 de acuerdo con l a i n t e r p r e t a c i ó n de \ /^/S =B como e l

P . . . . (34) , . (35) número bar ión ico^ J, o b i e r r .

h

d 5 ( ? f + F f ] = - 6 . ( 7 ,19 )

Del mismo modo (7 .15 o) conduce a rapLat; Pe aur-j • :n 2i¿; ¡,-ui; i n t t ; ^

v iene l a c o n t r i b u c i ó n de l tensor L i u n j í u iaspa U,. •; aer iemie uso ..i2 la

h i p ó t a s i a [ 7 .13 d) se oüt ie t M

!- . | ... V l

- 2 *• 2 o < o

La exp los ión ( 7 . 2 ü ) , a l conf>"«

' < i ^

h i p ó t e s i s (7 .13 b) y por t an to i; o da desv iac ión

a r i o í¡ue (7 .17 ) y ' " le) depende de la

' \/>i]nr ] t.-n t:.l t.,e~

gando niiamüro de (7.2Ü) da cuanta fit; la cor it.a i ;;<;.•-: An de los "p la- inca'

a l tensor energ ía impu lso . í ixperimentaimenXe

* P I

d£ .FÍ;P = 0.16 ± 0.02

d r Í F v P + F v n

! ... . tír'

i o

) = Ü.ag ± 0.071 (üat:os p f..

i Ll.02

,7.21)

po r l o que e l p r imor miembro do (7.21.)} va le ; ¡-e; aon e -- 0 .a ¡a ¡¡ne,

aunque l o s e r r o r e s son grandes, paraca ruque-r;...- ^ ¡ ereseni-da tí' | ! uo -

nes j u n t o con los quarks .

F ina lmen te , e s - p o s i b l e ob tener temOián r-:-'.y ¡ .¡;. ¡,e sama paiM LOÜ

func ionas ex t rañas s i se cons idera f) /•. 0 (Aeé; .a.a.. U j .

26

8. El cano de luz y el modelo de partones

El análisis efectuado hasta ahora nos ha permitido comprobar que la

aplicación de las ideas asociadas a la dominancia del cono de luz en

la dispersión profundamente inelástica y, especialmente, el álgebra del

cono de luz, ha dado lugar a la aparición del fenómeno de escala, la re­

lación uuFp = 2F (como era de esperar de un modela basado en partículas

de spin 1/2) y a un conjunta de relaciones y reglas de suma que se obtie­

nen tambiéVi en el modelo de partones. Resulta pues interesante estable­

cer la conexión entre ambos modelos, lo que haremos aquí siguiendo la 11-í' iü 1

nea de Callan, Gronau, Pais , Pásenos y Treiman v'"' ;.

Consideremos con este objeto la dispersión hacia adelante corriente-

hadrón

b + J3 -•> a + a (8.1)

en donde b,a [p,o/J i n d i c a n l o s í nd i ces SIL de l a s c o r r i e n t e s [hadrones] .

(6 .10 ) pe rm i te e s c r i b i r pa ra l a s reacc iones de n e u t r i n o s

ÍV% (s) - 4 í " a b o .<& ( ? ) + dSbC A«e ( s ) I C8"2a)

[F 3C tS) = - I i f ^ A^ l5) + d"« S ; (S) | [8.2b)

En la práctica interesaron solamente los elementos diagonales |Q> c

|0 > = |M> , S° = S° , etc. De (8.2)

CFjJ J M F ^ F 3 ) ^ = l ( t i^bC + dabC)(G + ) ^ (8.3a)

CG'+)^p Cs)s.Í(A£.S)^(?) ; (8.3b)

las G son elementos de matriz: que dependen de g; pero que no están (4>5)

determinados por el modelo. Teniendo en cuenta que

. _abc ,abc , _ /• a , b , c > /•„„•* if + d = ¿ Tr (A \ X ) (8.4)

resulta

'?.'?

ab c c a , b ' c [ F + ) ^ - T r [ Xa \ b ( | G+ )_o ] =Tr U " . . ^ (¿>" +.^') cvP of*

(. 6 . L'ci )

CO^-M> h r (^ '£ ) r f . ] .Tr {X b Í 6 ( j> c - ( ¿) (8 .ÜL) )

La conexión con e l madelo de par tonus a quarks sé ob t iene ahora tena fruir) ' :'19)

en cuenta que en é l l a s con t r i buc i t i nes a Fj_ proceden *• de diriyrtiji ins

con l a e s t r u c t u r a genera l de l a F i g . 4 y observando que ( 0 ) = - ( , c ]

descr iben l a d i s p e r s i ó n an t i qua rk ( + ) ["quark ( - ) ] - hadrón. IIn i.! v. -Lo t

para e l i.:aso en e l que l a i n t e r a c c i ó n corr iente—hadj •ó:, t i ene Jugar <. t r a ­

vés de l a d i s p e r s i ó n ant iquark—hadrón, ( 8 . 1) eorrespunde a l diagrama

Fiy. 4

(las líneas dobles indican hadrón, las finas partón [quark) y las ondulados

corriente)

La parte superior de la Fig.4 da lugar a

28

y contrayendo ( j , j ' ) e ( i , i ' ) con la parte infer ior q. (<7) ) q . se i * + QP J

obtiene

- ? ta A.b - laxo - r A -. / A a Ati/f» -\

V 2 2 q i ' q i ( W tf ^ r ^ 2 9 + tf)

Del mismo modo puede mostrarse que<D corresponde a la dispersión quark-

hadrón (Fig. 5)

r i g - , £

Es fácil escribir en el modelo de partones a quarks las contribuciones

a las funciones de estructura a la vista de los diagramas de las Figs.4 y 5.

Se observa en primer lugar que, si sólo los diagramas de la Fig. 4 contri­

buyen (F =O) es 2F = - F V • y que, si sólo cantidbuyesen los de la

Fig.5 (F+ =o) serla 2F = F~. Teniendo en cuenta la estructura de las co­

rrientes en términoa de campos de quarks,

^ 2 _ V

J em = 3 pY p - — • n Y n - - A y A (8.6a)

• M - » + _ M-

^ débil = P Y M - y ) C n C0S 9 C + A S t i n % 3 (8.6b)

29

y llamando c P C — 1 las contribuciones de los diagramas de la Fig.4

[5l se obtiene inmediatamente (con 0 ~ o) '

F 1 P = I (Cp + C p - ) + ! íCn + C Í T ) + Í (Cx + C ^ ) (e.7|-

vp F1 = 2 (Cn + % 3 ^8-8)

(en donde 2 se debe a que hay que sumar las contribuciunes W = AA)

F3 - 4 ( ~ Cn + °p ) (fl-9J

etc. ; la expresión para todas las funciones de escala puede encontrarse

en la Tabla I I .

A part ir de aqui es inmediato construir la equivalencia entre las for­

mulaciones en términos del modelo de partones a quarks y del álgebra dul

cono de luz; los resultados se dan en las Tablas I I I y IV. Como ejemplo,

el lector puede reinterpretar la rugía de suma del tensor energía impul­

so (7.20) en el modelo de partones recordando que en él § es la ' fracción

del momento del hadrón H que lleva un cierto partón y que, si ujf §') es la ( 4 1 ) ' ' ' • • probabilidad de encontrar en H el partón -quark- i , debe ser*- J

Í d § § J u i ( § ) 1 , . ' • • • • ( 8 . 1 0 )

correspondiendo el signo igual a la ausencia de gluones„

APÉNDICE A

Es interesante observar la evolución de la complejidad de la

sección eficaz diferencial electrón—protón según la estructura que se

atribuya a lus partículas incidente y blanco; cada etapa va introduciendo

fautores adicionales que dan cuenta de las distintas aproximaciones que

se realizan en su tratamiento. Manteniéndonos en la aproximación E ~ I íc I

obtenemos (en LAB)

a) Sección eficaz de Rutherford (dispersión de una partícula sin spin

por una carga e infinitamente pQsada —potencial—]

^ W - ¿¿Wf>/2 ,* * b) I d . de Mott ( d i s p e r s i ó n de un e l e c t r ó n —presencia de spin— por una

carga i n f i n i t a m e n t e pesada) \

(doWt= ídü^Ruth- COS Q/2 " /

c) Si la partícula cargada blanco no tiene spin y su masa es M la fórmu­

la anterior se modifica al tener en cuenta el efecto de retroceso ,

obteniéndose \ ^

•'(£} = (±) 1 # V ^ (

dQ ER" d^atf-1+[2EM s e n 2 e / 2 y ^ d) La ad i c i ón d e l sp in a l a pa r - t l cu la blanco corresponde a l cá l cu l o de l a

2 2 sección e f i c a z e l e c t r ó n - p r o Lún de. Di rae (F (q )-'} , F 0 (q )=0)

e) Finalmente l a cons iderac ión de l o s f a c t o r e s de forma e l é c t r i c o . 2 •

Gp= F-+ - ~ F y magnético ¡3 = F,+ F conduce a l a fórmula de

4M

Rosenbluth (M.N. Rosenbluth, Phys. Rev. 79, 615 (1950)

da, a2 2 „ ,„..". 1 (£) = ^ eos" 9/2. — g—--. / V V dnRos 4 E 2 s e n 4 e / 2 1+(2E/M) sen

2 9/2 / \

r^Cc|2)-^G2(g2) o 2 2

.|_ 5 ; G (q ) — tg G/2J . l-q2/4M¿ M 2M2

La generalización de ésta al caso general inelástico tratado en el

texto es la (l.6)(S.D. Dre.ll y J.D. Walecka, Ann. Phys. (N. Y.) 28 ,

18 (1964) ).

APÉNDICE B 1

2 2 Nos proponemos c a l c u l a r , en z = (x -y ) ^ 0, e l conmutador

[q(x) - £ yqlx) , q(y) - | - Y q M ] (B.l)

haciendo uso de ( 5 . 3 ) [ s i n g u l a r i d a d dominante! y de l a expres ión

[AB,CD] = -AC JD,B| + A | B , C J D - CJD,A¡B + (C,A¡DB. (S-2)

Aplicando (B.2) a ( B . l ) se comprueba que s ó l o e x i s t e n dos con t r i buc ionaa

no n u l a s ,

q(x) — Y j q ( x ) f q ( y ) ¡ — Y^q(y) ^

iV&P W*0Ñ*2)'} 5 W T T V Yp YV ÚYI., (B.3a)

-q(y) í 4 - Y ^ M > 5W 4 - YJ q(*) *

- r * ep[«C*o)«U2)] 5M -|- - r Yv ^ v qW • [B-3b)

Haciendo uso de l a s r e l a c i o n e s

2 2 2 L 2 2 J 2 2 ' 2 ! 2 ' J 2 '

v. a -í a 5" Y Y Y = n V — l e Y Y f V P V \IP\P |XpV°"

hp,pva" V 9 \ # + g p v V " 9pV9pa |>Tr Y^ Yp Yv YCT ( 1 / 4 ) ]

obtenemos p a r a ( B . l )

^ b P [ e ( z o ) 6 ( z 2 ) ] q ( x ) ( ( i f a b c + d a b C ) - | ! .

° W Y7 - i '^P v f f YCT Y 5 ) ! q(y) -

(B.5)

^ bp [e(zo)6(z2)] g.Cy) IC-i fabc+ dabc) 4 - .

(h v a+ i « „ „ YCT Y 5 ) ! q(x) ( B - 6 )

32

y , agrupando té rm inos ,

„ „ bP [e(ao)6(z¿)] .

• I * r a b o [U L\f'a- ( x , y ) + VC'CT ( y , * ) ) + i « w C A 0 > , ' { y , x M 0 ' 0 C x 1 y ) ) ]

+ d [ h 0 f l ( V C ' o ( x , y ) ^ o - o C y 1 x H « l l 0 ( A C ' a ( x , y ) + A ° - 0 ( y , x ) ) ] |

[B ,7 )

I d e n t i f i c a n d o h con s . (¡3.7) reproduce ( 5 . 1 ) siendo ahora t r i v i a l

e l cá l cu lo de l os o t r o s conmutadores.

[ Nota: e 0 1 2 3 - l f Y = M Y Y Y = T Í e ^ p Q Y*Y YMY = ^ ( . ) ^ n l a r e p r e -

sentac ión de D i r a c - P ü u l i de l a s ma t r i ces y Las constantes f* ( t o t a l m e n ­

t e a n t i s i m é t r i c a s ) y d ( s i m é t r i c a s ) toman l o s v a l o r e s f = 0 ,

d = ( 2 / 3 ) ^ 6 cuando uno de sus i n d i c e s es cero ; X°=(2 /3 ) . ]

APÉNDICE C

J3

( F u n c i o n e s de e s c a l a p a r a t r a n s i c i o n e s con cambio do uxt ; i \ iñe¿a)

Separando l a s p a r t e s que c o r r e s p o n d e n a e x t r á ñ e l a c e r o y no

n u l a , l a s f u n c i o n e s de e s c a l a t o t a l e s F. - q u e pn jce t íen de l a s f'utv : I u -

nes de e s t r u c t u r a W. de Í 1 . 1 4 ) - se e s c r i b e n de l a f o rma F . í f ) = i i •

= eos 3 n F . ( § ) + s e n 6 n f . ( ? ) . Aunque e v i d e n t e m e n t e es d i f í c i l o U t m e :

i n f o r m a c i ó n e x p u i i r n e n t a l s o b r e l a s f u n c i o n e s f . r e p e t i m o s aquí

p a r a étU.as e l e s t u d i o que y a h i c i m o s p a r a l a s F . . . ~ 4 - i 5 . 4 + i S . k r 3 ^ h f 8 x 4 - i 5 . 4 + i 5 , k r3, 1 ,i\.

u¿ que i f ' ' = - ( J-V-H ) Y d ' ' = (• ) - - ^ ( )•»-

+ 2V^ ( ), las funciones de escala "extrañas" se expresan de ..la funn-i

fvH= § ^ s 3 ^ 3 s 3 + 2 j| Ao+A3_ ^1_ A8j (|.. , } f*t ( A 3

+ ya A8 - 2|| s

Q- s 3, - L s6) (u.;::)

f f = g [S3+ V3 S

6+ 2 | A°+ A

3- -¿- A°) (u:.J

fvH= ( - A3_ y 3 A 8 _ 2 | so_ s 3 + _^_ S3) [ u,)

Haciendo uso de (C.l) - (C.4) se obtiene

2 (ff- ff) = [ff- f n ) 2(f~f- rf)= - [>f- rjf) (c.-i)

ya que,de nuevo,las f. dependen sólo du 6 variables. Finalmente,

de [7.4],(7.6) - (7.9) y (C.l) - (C.4) (a de la reservación de las

tablas. I o' II) se deducon J-s relaciones siguientes

rip= I ^ i p - f iP ) + 1 - F T + FT] - ( F i n + F i ' J ) - 1 ( |r3n- | r * ! (IJ-"J

fVP, ._ ( fvP_ f ^ ) . 9 ( F ^ + F*>) + 2 ( F * + 2F^ ) 4 \ [f^- 3F * ) (C.7)

rf- g[ff" f*) + | (F!n+ F,P) - \ ( F > 3F1P)+ 5 ( F í f - F3f > (C-°J

f j 1 . - ( F ^ - . f p - EJ (FfV F*P) + 3(F^ni F*) + ¿ (3F^V F*) (C.9)

« _ vn vp f v P = _ ( f v P _ f v P ) + 9 ( F e n + F B P ) . _ 2 ( 2 F v n + ( r v P ] + 1 ^ + ^ ) [ c > u ]

34

~jr\ 1 r<rvp pVPv, 9 rrePu. c^ 'M- 2: f nirvn.i_ r v P l .i. i fírvn_ FVP

(C.12)

?r> - I (fVP- f f ) V | (F^* F-1)- ± (3F^+ Ff) + ± (F*n- F p

f v n = _ [ f v p _ F v P ) ., g ( F e P + F e n ) _ 3 ( p ^ + p v P ) + 1 (F^VPJ

fr,.!.V>

r e l a c i o n e s que pueden ob tene r se tambián en e l modelo de p a r t o n e s .

Las r e g l a s de suma pueden o b t e n e r s e de un modo análogo a l de l

<£ 7 . Por ejemplo,

. . (33,37)

r1 V -d_¿ ( fvH_ f vHj_ 2 ; ,3 + 3YH » 2 ,l 5 (f^H- f f ) (C. 15)

ya que f;, = 2 £f . Del mismo modo,

- 1 d s C-f+ < % +* | s° + 2 s3H - J . s

8H (cu.)

"-4 i. e.,

d § C^H+ f f ) = 4B + 21?- Yu . (C.17) 3 3 7 " H H

Finalmente, tomando el promedio en un multiplete de isospin (c.l?) Í35) y (7.19) rían la regla de suma de Gruss • Llewellyn Smith1 ;

~ j d 5 (F3 + F^) = 4B + YH(2 - 3 sen2 0 ) ^ (C..18)

TABLA I

( F , f en f u n c i ó n de S, A)

v * : i

8 A° • P

ep

en

vP

vP

vP

vP

O

O

O

O

~2\3

\ 3

O

O

- 1

O

O

O

O

o

o

•75 2

'7?

3 \3

1 IÍ2 3 | 3

i f

O

D

A

1 6

1

B-

o

o

3 O

- 2

A

1

1 Sy3

1

1

V3

Q

O

vP

vP

vp

vP

v n

v n

\>n

vn

O

O

?J2

~2\3

^ 2 ^ 3

O

O

1 "2

1 2

- 1

2

2

1 -v/5

-Hi

- 1

1 2

. r 2

1

1

1

2

4 1

v5 1

v5

O

o

o

o

1 2

1 2.

1

- 1

- 1 2

1 2

1 Sy5

1 373

73

V3

1 " 275

1 273

73

-v*

36

TAOLA I I

( F, f en f u n c i ó n cíe C ,C— ) 1 ' q q

G C

1

c p v p

1

P*vP 1

,-VP h3

r v P

p

M / 9

1/9

0

^ d

0

__/i

n

1/9

4 / 9

2

0

- 4

n

K \J " X

1/9 u/9 1/9 1/9

1/9 1/9 4 /9 1/9

O

O

O

¿>

D

4

O

O

O

o

o

o

Q

FvP 1

f

F

1

vP

O

O

O

O

O

O

- 4

O

4

O

O

O

o

f-vP 3

0 O O O ¿L

,vn O O O O

r

r

1

vn 3

'3

O

O

D

O

Q

O

O

O

O

O

4

TABLA I I I

Í S . A en f u n c i ó n de u. , c-_)

U. C, n u t

A

A

P

33 3P

3B 3P

f P

3

P

8

P

1

1-

75"

{I - 1

1

2

1 7T

0

2

I! o

2

7T

_ i

75"

/ !

1

.1

7T

-1

i

a

7T

3

Ü

T

TABLA IV

(C. G_ en f u n c i ó n de S,A) v q ' q ' '

,8 A

Q

P A"

P A

8 P

n

P

C_ n

cx

1 4

1 4

1 4

4

1 4

1 4

2 3

1 4

1 4

0

1 4

1 4

0

1 4^3

1 4j3

1 Zj3

I 475

1 473

1 2 ^

1 ¡2 4 \ 3

1 j " ! 4 p

1 Í2 4 J3

1 [i 4 ^ 3

1 Í2 4 V3

1 4 ^

2 3

1 a

1

4

0

1

4 J. 4

D

1 K73

1 Á73

1

1

4^i

1 Ó75

1

I D ^ . ' ' • - 1

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(2) Romo i n t r o d u c c i ó n pueden consu l ta rse

C M . L l ewe l l yn Smith :CrNN TH-U88 ( l 97ü )

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(4) Una exce len te puesta a p u n C ,obre las recocciones con neu t r i nos es l a de

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(5) J .D. Bjorken :Phys. Rev 179, 1547 (1969)

(6) Ln una t e o r í a que p resen ta l a s i m e t r í a de d i l a t a c i ó n o de esca la es p o s i ­

b le cambiar Ssta ., es d e c i r , d i l a t a r las coordenadas espacio tempora les,

s i n cambiar su contenido f í s i c o . E l gen» ador de l a s d i l a t a c i o n s e ( x -> \ x )

forma par te de un grupo de Lie de 15 parámetros que i n c l u y e e l grupeo de Pe inca -

r ó , e l grupo conforme ~ 0 ( 2 , 4 ) . La h i p ó t e s i s de que e l grupo conforme es la-.-'

adecuada gene ra l i zac i ón d e l grupo de Poincaré a a l t a s energías ( E ~ j p j ) es l a

c o n t r a p a r t i d a a l l i m i t e no r e l a t i v i s t a de éste (E ~ m+p 72m ) en donde es reeiu -

placado por e l grupo de G a l i l e o . La e s t r u c t u r a v r e l a c i o n e s de conmutado 1 y

o t r a s propiedades d e l grupo conforme pueden .encontrarse en l o s artículos

de J . Wess [Nuovo Cirn.'.'lS , 1086 (1966) ] , H. Kastrup [Ann. Physik 9 ,3E3 (1962)

Phys.Rev. J 4 2 , 1060 (1966) , 143, 1021 ( 196o) J, A.Lslevu y P.G.Sona [NUUVU

Cimento 32 , 473 (1964) ] ó G.Mack y A.Salam [Ann. Phys. (N.Y.) S3, 174,

( 1 9 6 9 ) ] . En p a r t i c u l a r , l a r e l a c i ó n t[D, P ] .- P e n t r e e l genur,¡dor du ]JÜ

d i l a t a c i o n e s y e l tetramomento permi te ob t ene r ¿|~D,P J = 2P1* ( u pu>

e = e a P^) que muest ra que D y e l operador p4" (Cas imir de l ynjpa di:

Po inca re ) no pueden s e r d i a g o n a l e s s imul táneamente , por1 la que Di mi > s e ­

r á tri g e n e r a l combinación l i n e a l de a u t o e s t a d o s de P' . l a a p l i c a c i ó n del

conmutador a n t e r i o r a un c i e r t a e s t ado I mi > permi te en tonces d e d u c i r ( j .

Wess, l o c . c i t . ) que e l e s p e c t r o de masas e s cont inuo o que todas l a s masus

sun n u l a s ; desde e l punto de v i s t a de l a s r e p r e s e n t a c i o n e s de l gixipo, e s ­

t o s i g n i f i c a que una r e p r e s e n t a c i ó n i r r e d u c i b l e del grupo conforme con

2

P ¿ o es una s u p e r p o s i c i ó n de r e p r e s e n t a c i o n e s i r r e d u c i b l e s de l grupo tic

P o i n c a r e . El r e s u l t a d a a n t e r i o r -mascBnulas o e s p e c t r o c o n t i n u o - e s i n a ­

c e p t a b l e desde e l punto de v/ is ta f í s i c o , po r lo que l a i n v o r i a n c i a do e s c a ­

l a no puede a p a r e c e r como s i m e t r í a e x a c t a .

Del mismo modo que es p o s i b l e a s o c i a r a l o s s i m e t r í a s espacio—tempora­

l e s ( P o i n c a r e ) magni tudes conservadas (Ñ -> P v , x Q - x 0 . '-* M )os p,v p, o\> v QV- M-v

p o s i b l e e n c o n t r a r una c o r r i e n t e a s o c í a l a a l a d i l a t a c i ó n , que r e s u l t a s e r D íx ) = x v Q ( x ) , en donde sj e s un c i e r t o t e n s o r s i m é t r i c o de ene rg ía

(J. ¡¿v (iv impulso . De acuerda con e l razonamiento a n t e r i o r , debemos e s p e r a r en una t e o r í a f í s i c a ^ D (x) = H ^ (x) ^ o . Se comprueba f ác i lmen te que l a s tór^-minos que con t r ibuyen a l a t r a z a de l t e n s o r energía—impulso son prec isamente

o o — l o s t é rminos de masa de l o s Lagrangianos ' (m <f , ra ^ t ) y l o s de i n t e r a c c i ó n cuya constante de acoplamiento posee dimensiones (A^f ) ; vease,por ejemplo,

C.G.Cal lan J r . , S.Coleman, R.Jackiw, Ann.Phys. (N .Y . ) 59, 42 ( 1 9 7 0 ) ; S . C O -

lemán, R.Jackiw, i b i d . 67, 552 ( 1971); P .Car ru the rs , Phys. Reports 1C, 1

( 1 9 7 1 ) .

(7) Por e j emplo :

C.H.Llewellyn Smith: Nucí .Phys . Bj7, 277 ( 1970)

P.V.Landshof f y J .C .Po l k i ngho rne : Phys. Reports 5, 1 (1972)

S . D r e l l y T.M.Yan: Ann.Phys . (N.Y. ) 66, 578 (1971)

P.V.Landshof f , J . C .

'Po i k i nghoyne y R .D .Sho r t :Nuc l . phys . B2B, 225 (1971)

P.V.Landshof f y J .C .

Po l k i ngho rne : Nucí . Phys. B28, 240 (1971)

J . K u t i y V .F .Weisskopf : Phys. Rev. D4, 3418 (1971)

' 4 0

(6) Una de l a s d i f i c u l t a d e s de l modelo de p a r t o n e s e s l a ausenc ia de p a r ­

tones en e l e s t ado F ina l como r e s u l t a d a d e l mecanismo d e s c r i t o .

No t r a t a r emos aqui e s t a cues t ión ; véase , por e j . , Ref (18) , e l a r t i ­

culo de J .D. Bjorken en l a misma r e f e r e n c i a y K.Johnson,Phys. Rev. D6,1101 (1972) .

(9 ) C.R. Ca l lan y D..J. Grass :Phys, Rev. L e t t e r s 22 , 126 (1969)

(10) B.L. Io f f e : P h y s . L e t t e r s 30B , 123 (1969)

n.A. Brandt : P h y s . R e v . L e t t e r s 23 ,1260 (1969)

(véanse también l a s Refs. ( 2 4 ) , ( 2 5 ) y (13) )

(11) Un a n á l i s i s mas cuidadoso puede e n c o n t r a r s e , por ejemplo , en

R.G. Brandt y G. P r e p a r a t a en Broken s c a l e I n v a r i a n c e and t h e Light

Cone (1971 Coral Gables Conference) Dal . Cin e t a l . Eds . , Gordon and

Breach , N.Y. , 1971.

G. P r e p a r a t a : R i v i s t a Nuovo ,Cirri. 3. , 423 (1971)

(12) K.G. Wilson . :Phya.Rev. 179 , 1499 (1969)

(13) Y. Frishrnan :Phys . Rev. L e t t e r s 25 , 966 (1970)

(14) R.A. Brandt y G. P r p p a r a t a :Nucl . Phys. B27 , 541 (1971)

(15) W.Zimmermannen Lectures on Elem. p a r t i c l e s and Quantum F i e l d Theory ,

1970 , Brandéis I n s t . ( s . Deser e t a l . Eds , M.I .T. P r e s s , Cambridge

Mass. , 1970). Inc luye r e f e r e n c i a s a l a l i t e r a t u r a o r i g i n a l a n t e r i o r .

(16) H. F r i t z s c h y M. Gell-Mann en P r o c . of t h e I n t e r n a t i o n a l Conf. on

Dual i ty and Symmetry in haclron Phys ic s (L. Gutsman Ed. ,Weizmann

Science P r e s s of I s r a e l , Jerusalem 1971) .

Br-oken Scale i n v a r i a n c e and t h e Light Cone , 1971, Coral Gables

Conf. (Dal Cin e t a l E d s . , Gordon and Breach , N.Y. 1971) . Es t a versión' , '

¿ in ter ior a l a s l e c t u r a s de Tel—Aviv , con t i ene un apa r t ada menos —el 9—

que é s t a s .

(17) Véase, s i n embargo, K. Wilson, Phys. Rev. D2 , 1473 , 147B (1970) ,

Ref. (12.) y e l a r t i c u l o de Wilson en Broken Scale e t c . ( r e f . a n t e r i o r )

en r e l a c i ó n con l a v a l i d e z de l a r e g l a d imensional y l a a p a r i c i ó n de

dimensiones anómalas ( i . e , d i s t i n t a s a l a s de l caso l i b r e ) como c a n s e -

cuencia de la interacción. 41

(IB) K. Wilson :Proi.. of the 1971 Symposium on Electron

and Photon interactionsy N. Mestiy Ed. f Pub. Lab. of Nuclear Studies,

Cornell Univ. Press , Ithaca, N.Y., 1972. Este excelente articulo toca

muchos de los puntos que se tratan en estas notas, e incluye una extenso

bibliografía que , por seguir los dúdeos riel autor, no citaremos oomo

completa.

(19) Por ejemplo, en el cono de luz,

A±(x)= _ i- e (xQ) 6 (x2) +

+ -?=- 6 CxJ e (x2) T i \-L- - í l m =í¿¿ 1

(4nx'" 16TT ~ " ° (4nx" Sn^

Una notación más precisa para lu A seria A(x,m J , puesto que depende de

la masa. Sin embargo, nótese que la singularidad dominante no depende de m.

(20) Y. Frishman :Ann. of Phys. (NY) 66 , 373 (1971)

(21) Y. Frirshman en Broken Scale, etc. (Ver Ref. 16)

(22) Obsérvese como la suma de un número infinito de operadores locales

da origen a un operador bilocal. Por ejemplo,

f(*f |) Yy(x-|) =Y(x) Y,Y(x) ->£?(*) YAT(X).. La denominación "operador b i l o c a l " se debe a F r i t z s c h y Gell-Mann

(23) R.A. Brandt :Deep I n e l a s t i c Phenomenology and L i gh t

Cone Phys ics (Lec tu ras de E r i c e , j u l i o

d e l 1972) Cem TH-1557.

(24) R. Jack iw, R. Van Royen, G.B. West : Phys. Rev. D2_ , 2473 (1970)

(25) H. Leu twy le r y J . S t e m : N u c l . Phys. B20 , 77 (1970)

(26) Véase e l l i b r o de S.L . A d l e r y R.F. Dashen , Current A lgebras ,

Benjamin, N.Y. (.1968). '

'• 4 2

(27) D.J.Gross y S.B.Treiman : Phys.Rev. D4,1059 (l97l). Véase tam­

bién C.H.Llewellyn Smith (Phys. Rev. D4, 2392 (l97l) ) y la discu­

sión deJ § 9 de la Ref.16.

(28) V. De Alfaro, S. Fubini, G. Fur.]an, C. Rosetti: "Currents in Hadron •i

Physics, próximo a ser publicado por North-Holland,Amsterdam.

(29) "En el cono de luz" significa aqui que las seis diferencias que se

pueden formar con los argumentos (x,y),(u,v) de los bilocales son de

tipo luz. •'.Véase también Gross y Treiman (Ref.27), éVI.

(30) Por ejemplo:

J . I l i o p o u l o s y E.A. Paschos : Phys. Rev. 06, 1340 (1972)

( a n á l i s i s de l a reacc ión e + p -* e + (p, -<- j a ) + X )

D.J. Gross y S.B. Treiman : Phys. Rev. D4, 2105 (1971)

H. F r i t z s c h : NLIOVO Cirn. j2A , 1016 (1972)

C. Ja r l skog y P r o b i r Roy : Nucí . Phys. [M£, 415 (1972)

(producc ión de bosones W, 1 -f- N -> 1 -t- W + X )

(31) N. Cabibbo : Phys. Rev. L e t t e r s _1o_, 531 (1963)

M. Gell-Mann y G. Levy : Nuovo Cim. _16, 705 ( i 960 ) (pág.70S,nota)

(32) - 1 < § < 1 ; para l a zona f í s i c a , 0 < § < 1.

(33) S.L. Ad le r : Phys. Rev. 143, 1144 (1966)

(34) La i n t e r p r e t a c i ó n de X / J6 =B como e l número ba r i ón i co es f á c i l de

comprender pues Y l / 3 \ y por tan to B q ? 1/3 q .

(35) G.J. Grass y C.H. L l ewe l l yn Smi th : Nucí .Phys. B14, 337 (1969)

(36) D.H. Perk ins : " N e u t r i n o I n t e r a c t i o n s " en l a XVI I n t e r

n a t i o n a l Conference on High Energy Phys ics ,Ch icago-Ba tav ia , Septiembre

1972 (Par te I I I , £ B ) .

(37) J .D. Bjorken : Phys. Rev. 163, 1767 (1967)

43

(38) C .G.Ca l lan , M .Gronau , A. P a i s , E. Pásenos y S.B. Tre iman:

Phys.Rev. D6, 3B7 ( 1972)

C.G.Cal lan en l a X I I n t e r n a t i o n a l e Un ivers i ta tswochun fOr Kernphys ik ,

Schladmino, A u s t r i a , 1972.

(39) Véase en es te con tex to l a v e r s i ó n riel modelo de parfcones de P.V.

Landshof f y J .C . P o l k i n g h o m e , Re f .7 .

(40) Mantener só lo l a s c o n t r i b u c i o n e s de l o s diagramas de l a F i g . 4 equ .i •

v a l d r í a , hacienda uso de l a s nociones de d u a l i d a d , a e l i m i n a r l u

c o n t r i b u c i ó n d i f r a c t i v a ya que e l diagrama de l a F i g . 5 es e x ó t i c o ^ ' - '

(41) Véase en r e l a c i ó n con es te pun to :

C .H .L lewe l l yn Smith : Phys.Rev. D4, 2392 ('1971) y ReF.4

J .M. Cornwa l l : Phys.Rev. D2, 578 (1970)

0. Nachtmann - : Nuc í . Phys. ¡336, 397 (1972)

( l a s N de Nachtmann son dos veces nues t ras C)

(42) Riazuddin y Fayyazuddin : Phys. Rev. 0(5,2032 (1972)

R.V. Budny : Oxford P r e p r i n t 41/72; . -

P h y s . L e t t e r s 39B,553 (1972)

P.N. Scharbach : Nucí . Phys. B49, 52 (1972)

H. Koca : T r i e s t e P r u p r i n t l C / 7 2 / 1 4 4