Dispersion Elastiva Luz

II.2. Dispersin de la radiacin electromagntica(R. E.) por disoluciones de

macromolculas.

II.2.1 Dispersin de la radiacin electromagntica(R. E.).

II.2.1.1 Introduccin.

II.2.1.2. Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica

producida por una molcula aislada.

II.2.1.3. Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica

producida por un conjunto de particulas.

II.2.1.4. Dispersin Elstica o Rayleigh de disoluciones de macromolculas.

Caso A : >> dimensiones de las molculas.

Caso B : dimensiones de las molculas.

Estructura de Macromolculas Departamento de Qumica-Fsica, Universidad de Granada. OLM

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II.2. Dispersin de la radiacin electromagntica(R. E.) por disoluciones de macromolculas.

II.2.1 Dispersin de la radiacin electromagntica(R. E.). II.2.1.1 Introduccin. La dispersin de la radiacin electromagntica es el fenmeno ms general en el

contexto de la interaccin materia - R. E.; est presente en todas las tcnicas espectroscpicas y la dispersin en si misma da lugar a una tcnica espectroscpica especifica que nos informa sobre el tamao de las molculas y su peso molecular.

El fenmeno de dispersin o difusin de la luz por interaccin con la materia abarca

dos tipos generales: la dispersin elstica y la inelstica, que son el fundamento de diferentes tcnicas y aplicaciones, figura II.2.1.1 y tabla II.2.1.I:

di =

di > di <

dh ih

ih dh ih dh

D. Rayleigh o Elstica

D. Raman Stokes

D. Raman AntiStokes

Figura II.2.1.1 Tipos de dispersin de la radiacin electromagntica. Dispersin elstica (izquierda), donde la frecuencia o longitud de onda de la radiacin incidente es igual a la de la radiacin dispersada. Dispersin inelstica donde la longitud de onda no se conserva y se pueden considerar dos subtipos, Dispersin Raman Stokes y AntiStokes (centro y derecha).


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Tabla II.2.1.I

Dispersin Elstica o Rayleigh E se conserva o dispersada = incidente

Dispersin por conjuntos de partculas con dimetro >

Dispersin por redes cristalinas : Difraccin de rayos X . Aplicacin: Estructura de las macromolculas a elevados niveles de resolucin.

Dispersin por disoluciones de macromolculas .Aplicacin: Forma, tamao y peso molecular.

Dispersin Dinmica o Dispersin Cuasi-elstica.

Determinacin de tamaos y distribuciones de tamao de macromolculas, medidas precisas de coeficientes de difusin, dinmica de movimientos intramoleculares, etc..

Dispersin Inelstica de la luz E no se conserva o dispersada incidente

Espectroscopa Raman. Aplicaciones: Informa sobre vibraciones moleculares y se aplica a estudios de interaccin intermolecular, conformacin molecular en muestras orientadas, intercambio H - D, etc.


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II.2.1.2. Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica producida por una molcula aislada.

Comenzamos por considerar una simple molcula en el origen de nuestro sistema ortogonal de coordenadas, figura II.2.1.2. Sobre la molcula incide una R. E. monocromtica linealmente polarizada en el plano xz y que se propaga en la direccin del eje x. La R. E. incidente est representada por los vectores de los campos elctrico y magntico asociados y la ondas (curvas envolventes) que representan la variacin de las correspondientes amplitudes. Su longitud de onda es mucho mayor que el tamao de la molcula. El observador, es decir el detector de la R. E., queda determinada por los ngulos que forma la lnea de observacin con el eje x y con el eje y, respectivamente. La onda dibujada sobre la lnea de observacin representa la fraccin de luz dispersada en esa direccin, la cual estar polarizada en el plano definido por el eje Z y la propia direccin.

Figura II.2.1.2. Dispersin de radiacin electromagntica linealmente polarizada por una molcula aislada. Para la radiacin incidente se muestran los vectores de los campos elctrico y magntico y la ondas (curvas envolventes) que representan la variacin de las correspondientes amplitudes. Para la radiacin dispersada solo se muestra el vector del campo elctrico en una direccin particular dada por los ngulos y . La luz dispersa en una particular direccin estar polarizada en el plano definido por el eje Z y la propia direccin.

En la figura II.2.1.3 se muestra un esquema de un fotmetro de dispersin de luz con el que medimos la intensidad de luz dispersada en funcin del ngulo de dispersin . Si utilizamos luz plano-polarizada la fuente de luz incluir los dispositivos de polarizacin necesarios.


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Figura II.2.1.3. Esquema de un fotmetro de dispersin de luz, El fotomultiplicador est montado en una plataforma giratoria que permite la observacin desde cualquier ngulo. La intensidad del rayo incidente (reducida por filtros neutros) se compara con la intensidad dispersada a varios ngulos. Utilizando la descripcin electromagntica clsica la radiacin incidente puede describirse en trminos del campo elctrico asociado:

)(2cos0 CxtEE =

rr [II.2.1-1]

En el origen de coordenadas, x=0: tEE 2cos0rr

= Este campo convierte a la molcula en un dipolo inducido oscilante cuyo momento dipolar ser: tEE 2cos0

rrr== [II.2.1-2]

donde es la polarizabilidad molecular. Si la molcula es istropa, el momento dipolar ser paralelo al vector elctrico, es decir a lo largo del eje z. Este momento oscilante actuar como una fuente de radiacin. La amplitud del campo elctrico producido por un dipolo oscilante a una distancia r del dipolo y a un ngulo con respecto a la direccin de polarizacin (eje z) viene dado por la teora electromagntica clsica (II.1.4.1 Apndice 1):

=

Crt

rsenEEr

2cos4 22

0

r

[II.2.1-3]

El trmino entre corchetes de la ecuacin II.2.1-3 es la parte que ms interesa y que

representa la amplitud de la onda dispersada. La intensidad de la radiacin (el flujo de la


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energa por centmetro cuadrado) depende del cuadrado de la amplitud. Queremos comparar la intensidad i de la radiacin dispersada con la intensidad I0 de la radiacin incidente.

Esta ltima es proporcional al cuadrado de su amplitud E0:

42

224

20

2

2

20

164

rsen

Er

senE

Ii

o

=

=

r

[II.2.1-4]

De la ecuacin II.2.1-4 se infiere que la intensidad relativa de la luz dispersada disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia. Por otro lado la intensidad de la dispersin aumenta rpidamente (-4) al disminuir la longitud de onda. La forma que segn la ecuacin II.2.1-4 corresponde a la intensidad relativa de la luz dispersada se representa en la figura II.2.1.4, donde podemos observar que la intensidad es nula a lo largo del eje z, direccin de oscilacin de la molcula.

La fuerte dependencia de la dispersin con respecto a la longitud de onda explica el color azul del cielo, ya que lo que observamos es la luz del sol dispersada por el aire y sus contaminantes, y la luz azul es la que ms se dispersa.

0Ii

Z

Y X

Figura II.2.1.4. Intensidad relativa de la luz dispersada por una molcula istropa en el origen de coordenadas. La luz, polarizada en el plano zx, incidente se propaga en la direccin del eje x. El momento dipolar oscilante inducido por el campo elctrico de la radiacin,, est representada por la doble flecha de color azul.


Normalmente, en los experimentos de dispersin de la luz se utiliza radiacin no polarizada. La distribucin de la intensidad de radiacin en este caso puede calcularse sumando las intensidades de luz dispersada para luz incidente polarizada en los planos xz y xy respectivamente, rige por una ecuacin diferente a la II.2.1-4:

42

2224

0)(8

21

21

rsensenIiii YZXYXZ

+=+=

O bien:

42

224 )cos1(8

rI

i

o

+= [II.2.1-5]

donde es ahora el ngulo entre el rayo incidente y la direccin de observacin. En la figura II.2.1.5 se muestra la forma de esta distribucin, correspondiendo la parte inferior de la figura a un corte por el plano xz, y en lnea de trazos se representa la distribucin para el caso de grandes molculas para las que la ecuacin II.2.1-5 debe multiplicarse por una funcin P() que modifica la simetra de la distribucin. P() es la relacin entre la intensidad de luz dispersada por la macromolculas y la que producira molculas con el mismo peso molecular pero de pequeas dimensiones en idnticas condiciones, i0:

0)( iiP = ; 42

224 )()cos1(8

r

PIi

o

+=

II.2.1.3. Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica producida por un conjunto de particulas.

Comenzaremos por considerar el caso ms simple: dos partculas (tomos o molculas) idnticas,1 y 2, fijas en el espacio iluminadas por una misma fuente, Figura II.2.1.6.

En esta situacin los hechos relevantes son: - La radiacin electromagntica alcanza la partcula 1 con una fase diferente a la que tiene cuando alcanza a la partcula 2. - Las distancias r1 y r2 al punto de observacin P son diferentes. - Como consecuencia la luz dispersa observada en P por cada partcula tendr la

misma amplitud pero con cierto desfase esto implica la posibilidad de fenmenos de interferencias.

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X

Y Rayleigh

( ) 2cos1+i

Grandes molculas ( ) ( ) Pi 2cos1+

2

X Y

Z

0Ii

Radiacin incidente no polarizada

Figura II.2.1.5. Intensidad relativa de la luz no polarizada dispersada por una molcula istropa en el origen de coordenadas, ecuacin 2-5. Para = 90, cos = 0, i/I0 alcanza el valor mnimo 0 sea cual sea la direccin en el plano yz. Para = 0, cos =1, i/I0 alcanza el valor mximo. En la parte inferior se representa un corte por el plano xz, y en lnea de trazos se representa la distribucin para el caso de grandes molculas.

r2

r1

2

1

P

Figura II.2.1.6. Dispersin de un par de tomos o molculas. El punto de observacin P se supone suficientemente alejado de los centros dispersantes.

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Estructura de Macromolculas Departamento de Qumica-Fsica, Universidad de Granada. OLM El campo elctrico de la radiacin electromagntica observada en P ser:

)2(cos 202 += tEErr

[ ])2(cos)2(cos 210 +++= ttEErr

)2(cos 202 += tEErr

2cos

2cos2coscos yxyxyx +=+ )

22(cos

2cos2 210

++= tEErr

[2-6]

siendo =1-2 la diferencia de fases entre de la R.E. dispersada por cada partcula.

Si = 180(1+2n) (n=0,1,2,)

02

cos =

Interferencia destructiva

Figura II.2.1.7. Interferencia destructiva de dos ondas de amplitud E0 = 1 y diferencia de fases de 180. Resultante nula (color azul).

Si = 360.n, (n=0,1,2,)

12

cos =

Interferencia constructiva

Figura II.2.1.8. Interferencia constructiva de dos ondas de amplitud E0 = 1 y diferencia de fases de 0 o 360. Reforzamiento al doble de amplitud (onda azul).

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Estructura de Macromolculas Departamento de Qumica-Fsica, Universidad de Granada. OLM La intensidad de la radiacin dispersada por las dos molculas ser:

[II.2.1-7] 2

cos4cos2 2 =

=I

Como 2

cos12

cos2 +=

[II.2.1-8]

22

0

2

0

EErr

0E )cos22 +=I

r1(

Si = 360.n, (n=0,1,2,) 204EIr

=

Si = 180(1+2n), (n=0,1,2,) 0=I

As, la intensidad I de la radiacin electromagntica dispersada por las dos molculas variar con la posicin del punto de observacin P entre 0 y 4 veces la intensidad de la radiacin electromagntica dispersada por una sola partcula. Si los dos dispersantes puede moverse libremente uno con respecto al otro, todos los valores posibles de , entre estos lmites, son igualmente probables y el promedio temporal ser igual a cero, ( ) 0cos = , y consecuentemente 202EI

r= .

Estos resultados se puede generalizar para n partculas en total libertad de movimiento, resultando que la intensidad total de dispersin ser la suma de las intensidades individuales de dispersin. Esto puede aceptarse en el caso de un gas ideal y aproximadamente en el caso de disoluciones diluidas (en este ltimo caso se supone que slo las molculas de soluto produce dispersin).

Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica producida por un cristal perfecto. Consideremos ahora la dispersin de luz por un cristal perfecto bajo las siguientes condiciones:

- El espaciado de la red, , es mucho menor que la longitud de onda de la luz incidente:


Bajo estas condiciones y con los argumentos anteriores se obtienen los dos siguientes resultados: 1. En la direccin de la R.E. incidente las ondas dispersadas siempre estarn en fase

y se producir reforzamiento. 2. En las restantes direcciones, determinadas por la posicin del punto de

observacin P, por cada dispersante i siempre ser posible encontrar otro dispersante en una posicin tal que las ondas de luz dispersadas por ambos centros estn desfasadas 180 dando lugar a una interferencia destructiva. Por ello un cristal perfecto no debe difundir la luz. En la realidad los defectos de red del cristal impide que la cancelacin sea total presentando una pequea dispersin, figura II.2.1.9.

i

j

ri

rj

P

Figura II.2.1.9. Dispersin producida por un cristal perfecto. Interferencia destructiva de la luz de un par de centros dispersantes que anula la luz dispersa en el punto P.

Dispersin Elstica o Rayleigh de la radiacin electromagntica producida por

un lquido puro.

Podemos considerar el lquido dividido en celdas de tamao pequeo comparado con

la longitud de onda de la luz incidente. Cada celda se considera como un centro difusor y el

poder de difusin depender del nmero de molculas que contengan, figura II.2.1.10. Si

todas las celdas contuvieran el mismo nmero de molculas en todo instante, estaramos en el

caso anterior de un cristal perfecto. Sera posible para una celda dada i encontrar otra celda j

tal que las ondas dispersadas por las dos celdas estuvieran en oposicin de fase y por

consiguiente se diera una interferencia destructiva.

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Estructura de Macromolculas Departamento de Qumica-Fsica, Universidad de Granada. OLM Figura II.2.1.10. Dispersin producida por un lquido puro. Interferencia destructiva de la luz de un par de centros dispersantes que atena parcialmente la luz dispersa en el punto P. La celda j ( azul), con un nmero mayor de molculas que la celda i (roja), producir una onda de luz dispersada en el punto de observacin P de mayor amplitud que la onda producida por la celda i; consecuentemente la cancelacin de luz por interferencia destructiva solo ser parcial. Pero las fluctuaciones en densidad que se dan en un lquido dan lugar a que, en un instante dado, celdas diferentes contengan un nmero diferente de molculas, y por consiguiente, diferente poder de dispersin. Como consecuencia las ondas de luz dispersada por dos celdas, que deberan producir una interferencia destructiva total en el punto de observacin P, tienen una alta probabilidad de tener amplitudes muy diferentes y la resultante es una onda de la misma frecuencia pero de amplitud no nula. La consecuencia inmediata es que los lquidos producen dispersin en todas las direcciones, aunque mucho menos que la suma de las dispersiones de las celdas individuales.

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Estructura de Macromolculas Departamento de Qumica-Fsica, Universidad de Granada. OLM II.2.1.4. Dispersin Elstica o Rayleigh de disoluciones de macromolculas.

Consideraremos dos casos: A) La longitud de onda de la R. E. es mucho mayor que las dimensiones de las molculas. B) La longitud de onda de la R. E. es del mismo orden que las dimensiones de las molculas.

Caso A : >> dimensiones de las molculas. Supondremos que se trata de una disolucin ideal diluida en la que las molculas de soluto se comportan como dispersantes independientes (como en un gas ideal), es decir la dispersin de N molculas ser N veces la dispersin producida por una sola molcula de soluto. La variable que nos interesa es el exceso de dispersin definido como la diferencia entre la dispersin de la disolucin y la que en idnticas condiciones presenta el disolvente. La intensidad relativa de la R. E. dispersada por una sola macromolcula ser, utilizando la ecuacin II.2.1-5:

42

224 )cos1(8

rI

i exco

+= [II.2.1-9]

donde exc es el exceso de polarizabilidad sobre el disolvente que la macromolcula desplaza.

Este parmetro no es facil de determinar por lo que es mas conveniente utilizar el ndice de refraccin, mas accesible experimentalmente. Puede demostrarse que entre exc y el ndice de refraccin de la disolucin existe la siguiente relacin:

=

Mdcdnn

exc

20

[II.2.1-10]

donde, n0 es el ndice de refraccin del disolvente, n el ndice de refraccin de la disolucin, c la concentracin de la macromolcula en g.mL-1, M el peso molecular de la macromolculas, promediado en peso y el nmero de Avogadro. Sustituyendo 2-10 en 2-9:

)cos1(2 2222

42

20

2

+

=

Mdcdn

rn

Ii

o

Para N macromolculas por cm3, M

cN = la intensidad relativa de dispersin ser:

)cos1(2 22

42

20

2

+

=

cMdcdn

rn

Ii

No

Esta ecuacin suele escribirse como:

127


cMdcdnnr

IiR

No

2

4

20

2

2

2 2)cos1(

=

+

=

[II.2.1-11]

As escrita se conoce como Relacin de Rayleigh. Con un refractmetro diferencial podemos medir la variacin del ndice de refraccin

con la concentracin, dcdn , y se determina el trmino que multiplica a cM en el segundo

miembro de la igualdad de la ecuacin II.2.1-11. Este trmino para una longitud de onda dada y para un disolvente dado es una constante K; la relacin de Rayleigh queda:

KcMR = [II.2.1-12] As puede determinarse el peso molecular promediado en peso de la macromolcula midiendo R( )con un fotmetro de dispersin:

cKRM =

Para disoluciones no ideales de macromolculas podemos usar el desarrollo del Virial, obtenindose la ecuacin:

...321 2 +++= cCcBMR

cK

En la practica los trminos con coeficientes del Virial mas all del segundo, B, pueden despreciarse, resultando una relacin lineal de cuya pendiente se obtiene B y de la ordenada en el origen el peso molecular.

cBMR

cK 21 +=

[II.2.1-13]

Caso B : dimensiones de las molculas.

Ahora hay que considerar la existencia de mltiples centros difusores o dispersantes en posiciones relativas fijas (dispersantes no independientes) en una misma molcula. As dos centros dispersantes diferentes, A y B, figura II.2.1.11, separadas una distancia del mismo orden de magnitud que la longitud de onda, , pueden oscilar con fases diferentes si la fase con que les alcanza la radiacin incidente es diferente. Por otro lado los dos centros dispersores considerados estn a diferentes distancias del punto de observacin s, suficientemente alejado. Como consecuencia de ambos hechos se producirn fenmenos de interferencias entre las ondas de luz dispersadas por diferentes centros dispersores de la misma macromolcula.

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A

B

Observador

Macromolcula

Figura 2.1.11. Dispersin por una macromolcula con dimensiones del mismo orden de magnitud que la longitud de onda, . Se han indicado dos puntos separados sobre los cuales incide la radiacin con diferentes fases induciendo, consecuentemente, dipolos elctricos oscilando desfasados. Por otra parte los dos puntos estn a diferentes distancias del observador existiendo una diferencia de camino ptico, .

En este caso la ecuacin II.2.1-13 se transforma en la siguiente ecuacin aproximada (Demostracin en el libro Bioqumica Fsica de K. E. van Holde, incluido en la bibliografa recomendada):

+

+= cB

MsenR

RcK G 21

23161 22

22

[II.2.1-14]

Donde RG es el radio de giro de la macromolcula. La ecuacin II.2.1-14 permite determinar el peso molecular y las dimensiones de la macromolcula (radio de giro); para ello es necesario hacer una doble extrapolacin a concentracin nula y a un ngulo de observacin nulo (c 0 y 0), en una representacin

de RcK

frente a 2

2 sen , conocida como grfica de Zimm, figura II.2.1.12.

129


M1

Figura II.2.1.12. Grfica de Zimm para la extrapolacin de los datos (crculos rellenos) de dispersin. k es una constante arbitraria para obtener una escala adecuada. Las extrapolaciones a ngulo de observacin cero, = 0, estn representadas por crculos huecos y las extrapolaciones a concentracin nula por tringulos.

Las extrapolaciones a ngulo de observacin cero, = 0, dan como resultado una

lnea recta de ordenada en el origen M1 porque 0

22 =sen y la ecuacin II.2.1-14 se reduce

a la II.2.1-13, obtenindose as el peso molecular promediado en peso de la macromolcula.

Las extrapolaciones a concentracin cero, c = 0, reducen la ecuacin II.2.1-14 a la

ecuacin lineal con variable independiente 2

2 sen , de pendiente 222

3161

GR

M y ordenada en

el origen M1 :

[II.2.1-15]

+=

161 2 sencK

21 22

2

RMR

G

3

De la ordenada en el origen obtenemos el peso molecular promediado en peso y de la pendiente obtenemos el radio de giro.

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