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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

SESION 3

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A menudo podemos averiguar si los datos tienden a estar centrados o agrupados en torno a algún valor construyendo un histograma.

Las medidas de la tendencia central suministran información numérica sobre una observación típica de los datos.

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Introducimos dos términos importantes.

ParámetroEstadístico

Un Parámetro :se refiere a una característica poblacional específica.

Un Estadístico: se refiere a una característica muestral específica.

Las medidas de la tendencia central normalmente se calculan a partir de datos muestrales más que a partir de datos poblacionales.

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CONSTRUCCIÓN DE UNA BASE DE DATOS

1. NOMBRE:2. EDAD:3. GÉNERO: 1) FEMENINO 2) MASCULINO4. ESTATURA:5. PESO:6. ESTADO CIVIL: 1) SOLTERO 2) CASADO 3) DIVORCIADO 4) VIUDO 5) UNIÓN LIBRE7. No. DE HIJOS8. RELIGIÓN: 1) CATÓLICO 2) CRISTIANO 3) OTRA 4) NINGUNA9. UNIVERSIDAD DE PROCEDENCIA: 1) PÚBLICA 2) PRIVADA 10. LICENCIATURA EN: 1) CS. ECONÓMICO-ADMINISTRATIVAS 2) CS. SOCIALES Y HUMANIDADES 3) CS. EXACTAS E

INGENIERIA.

PARA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS CONTESTAR:1. TOTALMENTE EN DESACUERDO 2. EN DESACUERDO 3. NO OPINA 4. DE ACUERDO 5. TOTALMENTE DE ACUERDOCOLOQUE EL NÚMERO QUE CORRESPONDA

11. SU OPINIÓN SOBRE QUE DESAPARESCAN LOS DIPUTADOS PLURINOMINALES?12. EL DESEMPEÑO DEL IFE HA SIDO EFICAZ?13. SU OPINIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DE CANDIDATOS CIUDADANOS EN ELECCIONES ?14. DESAPARICION DE PARTIDOS POLITICOS QUE NO LOGREN LAS TRES PRIMERAS POSICIONES DE VOTOS EN ELECCIONES 15. SU OPINIÓN SOBRE QUE SE ESTABLEZCAN SUELDOS Y PRESTACIONES TOPE A FUNCIONARIOS Y LEGISLADORES DE

ACUERDO A LA REALIDAD NACIONAL , Y TENIENDO COMO REFERENTE EL RANQUEO MUNDIAL.16. CONSIDERA QUE LAS ESTRATEGIAS DE COMBATE AL NARCOTRAFICO SON LAS ADECUADAS?17. QUE SE LEGISLE Y APRUEBE EL ABORTO?18. QUE SE LEGISLE Y APRUEBE LA PENA DE MUERTE?19. QUE SE LEGISLE Y APRUEBEN LAS BODAS GAY?

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DATOS

AGRUPADOS

DESAGRUPADOS

Medidas tendencia central:

- Media aritmética (Media).- Mediana- Moda

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DATOS DESAGRUPADOSMedia aritmética: De un conjunto de datos es la suma de los valores de los

datos dividida por el número de observaciones. Si el conjunto de datos es toda la población de datos, la media poblacional µ,

es un parámetro que viene dado por:

Si el conjunto de los datos procede de una muestra, entonces la media muestral X es un estadístico que viene dado por:

N= tamaño de la población

n= tamaño de la muestra

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PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

1.- Cada conjunto de datos de intervalo o de nivel de razón tiene su media.2.- Todos los valores se incluyen al calcular la media.3.- Un conjunto de datos sólo tiene una media.4.- La suma de las desviaciones de cada valor de la media siempre es cero.

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MEDIANALa mediana es la observación que ocupa el lugar central de un conjunto de observaciones ordenadas en sentido ascendente (o descendente).

Si el tamaño de la muestra, n, es un número impar, la mediana es la observación que se encuentra en el medio.

Si el tamaño de la muestra, n, es un numero par, la mediana es la media de las dos observaciones que se encuentran en el medio.

La mediana se encontrará en la:

0.50(n + 1) primera posición ordenada

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MODALa moda, si existe, es el valor que aparece con mas frecuencia.

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EJERCICIOS

1.- Los ingresos anuales de una muestra de empleados de la gerencia media de Wal&Mart son: $62,900, $69,100, $58,300 y $76,800.a) De la formula de la muestra.b) Encuentre la media de la muestra.c) La media que se calculo en (b) es un estadístico o un parámetro y porque?d) Cual es el mejor calculo de la media de la población?

2.- Todos los estudiantes en ciencias avanzadas de la computación, 411 son una población. Sus calificaciones son:92, 96, 61, 86, 79 y 84.

e) De la formula de la media de la población.f) Calcule la calificación media.g) La media que calculo en (b) es un estadístico o un parámetro y porque?

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EJERCICIOS

3.- Una Muestra de personas solteras de Texas, que reciben pagos del seguro social, revelo estas prestaciones mensuales: $426, $299, $290, $687, $480, $439 y $ 565.a) Cual es la prestación mensual mediana?b) Cuantas observaciones se encuentran por debajo de la mediana y cuantas

por encimo de estas?

4.- Los números de interrupciones del trabajo en la industria automotriz en meses seleccionados son: 6,0,10,14,8 y 0

c) Cual es el numero mediano de interrupciones?d) Cuantas observaciones se encuentran por debajo de la mediana y cuantas

por encima de esta?e) Cual es el numero modal de interrupciones en el trabajo?

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5.- En el 2011, los 8 investigadores del SNI asesoraron y titularon el siguiente número de estudiantes de posgrado: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Considerando este año como la población estadística que interesa, determine la media aritmética, la mediana y la moda de estudiantes titulados.

6.- Los siguientes cifras son los importes de multas por falta de permisos en la D.G.O.P.del Municipio de Puebla en un día determinado. Calcular las medidas de tendencia central. 100, 100, 250, 250, 250, 350, 400, 530, 900, 1250, 1350, 2450, 2750, 3090, 4100.

EJERCICIOS

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MEDIA PONDERADA Y MEDIA GEOMETRICA

La media ponderada es un caso especial de la media aritmética. Ocurre cuando hay varias observaciones del mismo valor, o toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.

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EJEMPLO MEDIA PONDERADA

Supongamos que una tienda vende refrescos tamaño, mediano, grande y extra grande, en $0.90, $1.25 y $ 1.50, respectivamente. De los 10 últimos refrescos, 3 eran medianos, 4 eran grandes y 3 eran extra grandes. Cual es el precio medio de los últimos 10 refrescos vendidos?

La forma mas sencilla es calculando la media ponderada, es decir multiplicamos cada observación por el numero de veces que sucede.

X = $ 1.22

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MEDIA GEOMETRICA

La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Tiene muchas aplicaciones en administración y economía porque a menudo nos interesa calcular los cambios porcentuales en ventas, salarios o cifras económicas, como el producto interno bruto.

La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la n-e’sima raíz del producto de n valores.

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EJEMPLO DE MEDIA GEOMETRICA

Suponga que recibe un incremento de 5% sobre su salario este año y un aumento de 15% el año próximo . Cual es el porcentaje anual promedio?

Empecemos por calcular la media geométrica. Recuerden que un incremento de 5% en el salario es 105% y lo expresamos como 1.05 entonces tenemos:

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EJERCICIOS

1.-The Carter Construction Company paga a sus empleados por hora $16.50, $17.50 o $18.50 por hora. Hay 26 empleados que trabajan por hora 14 de ellos se les paga por tarifa de $16.50, a 10 la de $17.50 y a 2 la de $18.50. Cual es la tarifa media por hora que se le paga a los 26 empleados?

2.- La recuperación de la inversión obtenida por una compañía constructora durante cuatro anos consecutivos fue: 30%, 20%, -40% y 200%. Cual es la tasa media geométrica de recuperación de la inversión?

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EJERCICIOSA continuación, se presenta el número de quejas por mes ante la CNDH por abusos de autoridad en el Municipio de Ciudad Juárez Chihuahua. Construya una distribución de frecuencias para resumir estos datos y con ello establecer un patrón que

clarifique el problema.

72 83 91 29 39 65 54 75

38 89 48 36 42 72 52 93

43 60 67 49 58 81 58 53

81 52 76 62 56 58 77 57

79 62 72 31 72 45 88 61

71 32 60 73 63 52 70 65

65 28 40 40 49 63 61 70

59 39 58 38 81 73 39 79

90 49 52 59 56 69 74 37

83 48 68 60 60 75 68 46

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A continuación se presentan el número de denuncias por mes, ante el MP en el Estado de Puebla por violencia Intrafamiliar.Construya la distribución de frecuencias

16 53 115 55 43 108 110 57 39 83

120 60 154 90 79 94 55 114 68 88

75 99 118 76 50 122 100 88 94 98

112 137 20 148 120 100 38 64 90 44

74 60 75 80 78 124 101 85 70 74

135 76 48 76 43 33 80 85 99 134

54 110 80 58 60 99 83 29 70 90

95 130 98 80 77 63 133 113 89 73

EJERCICIOS

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DISPERSION

Una medida de ubicación, como la media o la mediana, solo nos describe el centro de la información.

Desde este punto de vista, es valiosa, pero no nos indica nada acerca de la extensión de los datos.

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MEDIDAS DE DISPERSION

Vamos a considerar diversas medidas de dispersión:

-Rango: Valor mas alto – Valor mas bajo

-Desviación media: La media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de la media aritmética

-Varianza: La media aritmética de las desviaciones cuadradas de la media.

-Desviación estándar: La raíz cuadrada de la varianza

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

DESVIACION MEDIA:

Donde:X es el valor observadoX es la media aritmética de los valoresN es el numero de observaciones en la muestrall indica el valor absoluto

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

Varianza de la población:2

σ2

DondeEs el símbolo de la varianza de la población

X es el valor observado en la población

µ es la media aritmética de la población

N es el numero de observaciones en la población

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

Desviación estándar de la población

Varianza Muestral

Desviación estándar de la muestra

X es la media de la muestran es el número de observaciones de la muestra

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS

Media:

Mediana:

Moda:

F es la frecuencia de claseX es la marca de clase

Li es limite real inferior de la clase que contiene la mediana.Fa es la sumatoria de la frecuencia anterior a la medianaFmediana es la frecuencia que contiene la medianaC es el ancho de clase

Li es el limite real inferior de la clase que contiene la modaΔ1 es la diferencia entre la moda y la clase anteriorΔ2 es la diferencia entre la moda y la clase posterior

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS

Desviación media:

Desviación estándar

Varianza:

Coeficiente de variación:

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FORMULAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS

La desviación estándar es la medida de dispersión que se utiliza con mayor frecuencia. Sin embargo, hay otras formas de describir la variación o extensión de un conjunto de datos.

Uno de los métodos consiste en determinar la ubicación de los valores que dividen un grupo de observaciones en partes iguales.

Estas medidas son:

Cuartiles (Qi)Deciles (Di)Percentiles (Pi)

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CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

La formula aplica a todos pero con sus respectivos cambios:

-Cuando es cuartil 1 (Q1) se divide n/4, si es Q2 n/2, si es Q3 n(3/4) y se toma en cuenta la frecuencia que contenga el cuartil, el limite real que contenga al cuartil y la suma de la frecuencia anterior al cuartil.-Cuando es decil D1 se divide (n)(1/10), D2 (n)(2/10) y así sucesivamente asta el decil 9-Cuando es percenti P10 se divide (n)10/100), si es P48 (n)(48/100), y asi sucesivamente en el percentil que se quiera encontrar.

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SESGO Y CURTOSISTenemos definidas las medidas de ubicación central para un grupo de observaciones reportando la media, la mediana y la moda, las medidas que muestran la cantidad de extensión o variación de un conjunto de datos como la desviación estándar.

Otra característica de un conjunto de datos es la forma, por lo general se observan 4 formas;

- Simétricas: la media y la mediana son iguales y los valores de los datos se encuentran dispersos de manera uniforme alrededor de estos valores.

-Sesgo positivo o sesgo a la derecha: los valores se extienden mas hacia la derecha del pico, en este caso la media es mas alta que la mediana.

-Sesgo negativo: los valores se extienden mas hacia la izquierda en la dirección negativa, la media es menor que la mediana.

- Distribución bimodal: Tiene dos o mas picos

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SESGO Y CURTOSIS

Coeficiente de Sesgo de Pearson:

Curtosis:

Donde:

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EJERCICIOS

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