Fundamentos de Estadística

Medidas de Dispersión

Medidas de Tendencia Central

Tendencia Central

MediaAritmética

Mediana ModaMediaPonderada

MediaGeométrica

Medidas de dispersión (ejemplo)

275 300 325 350 375

En 3 máquinas de empaque de cajas de cereal, que deben llenar cajas de 350gramos, se desea conocer si su rendimiento es óptimo. Tienen un ritmo deproducción de 1000 cajas cada 8 horas diarias. Se ha tomado una muestra de Xobservaciones de cada máquina, cuyas distribuciones son las siguientes :

A

B

C

• La máquina A es la de menor/peor producción, sólo llena cajas a 275 grs,en lugar de los 350 grs que dice el empaque.

• La máquina C llena a 362.5 grs pero la dispersión es estrecha, por lo quepocas cajas contienen menos de lo indicado.

• La máquina B llena a 362.5 grs, pero su dispersión es tan amplia quemuchas cajas contienen menos de lo indicado.

Frec

uen

cia

Gramos

...…

…..

……

……

..…

……

……

…..

……

……

……

……

……

……

……

.…

……

…..

……

..….

Diapositiva 4

Medidas de Dispersión

VarianzaDesviación Estándar

Coeficiente de Variación

Varianza dela Población

Varianza de la Muestra

Desviación Estándar de la

Población

Alcance o rango

Cuantiles

Desviación Estándar de la

Muestra

Diapositiva 5

Alcance o rango• Diferencia entre la mayor y la menor de las

observaciones

– Alcance = xmayor – xmenor

• No toma en cuenta la forma en que están distribuidoslos datos. Sensible a valores muy bajos o altos.

7 8 9 10 11 12

Alcance: 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11 12

Alcance: 12 - 7 = 5

Ejemplo

• Archivo cx02birt.xls determinar el rango o alcance y el rango medio

• RANGO MEDIO : es una variante del rango esla semisuma del menor y mayor valor. Se usacomo medida de tendencia central.

Cuantiles

• Similar a la mediana, los cuantiles dividen los datos ordenados de menor a mayor, en grupos de igual tamaño. Existen varios tipos de cuantiles.

• PERCENTIL, divide todos los datos en 100 partes iguales, cada percentil abarca el 1% de las observaciones, su mediana es el 50° percentil.

• DECIL EN 10

• CUARTIL EN 4

Cuantiles

• Una vez ordenados los valores en la matriz de datos, los cuantiles se calculan de la misma forma que la mediana.

• Puede ser necesario ”interpolar” (calcular un valor entre) dos valores para identificar la posicion de los datos que corresponde al cuantil.

Ejemplo

• En una matriz de datos de N valores, ordenados de menor a mayor :

• Primer cuartil, Q1 = valor del dato en la posición :“25.25”

1(N+1)/4 = 101/4=“25.25”

Resolvemos para datos del archivo cx02birt.xls

Diapositiva 10

Cuartiles• Los datos se ordenan de menor a mayor.

25% 25% 25% 25%

1Q 2Q 3QObservación

MenorObservación

Mayor

• Los cuantiles son una mejor medida de dispersión que el rango y menos sensibles a valores atipicos.

• El alcance (rango) intercuartil es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1.

• La desviación de los cuartiles es la mitad del rango intercuartil, es decir (Q3 – Q1)/2

Ejercicios

• Calcular los cuartiles

• Calcular el 3, 5, 7 decil

• Calcular el 25, 50, 75 percentil

• Calcular el rango intercuartil

• Calcular la desviacion de los cuartiles

Desviación y Varianza

Diapositiva 13

Promedio de desviación de cada dato

0 1 2 3 4 5

-1

-2

1

2

0)( x

Ejercicio

• Calcular la media de :

34, 78, 45, 67, 23, 44, 56, 89, 34, 23, 67, 45, 35

• Calcule la desviacion de cada dato

• Efectue la sumatoria de las desviaciones

Desviación Media Absoluta

• También desviación promedio o desviaciónpromedio absoluta

• Donde μ = media de la población

Xi = valor del i-ésimo dato

N = cantidad de valores de la población

Cuando se calcule DMA para una muestra

reemplazar N por n y μ por xbarra

N

xDMA

i

Ejercicio

• Calcular la DMA de los datos siguientes(gastos anuales de I&D de Compaq Computer Corporation)

• Ayudarse con la sgte tabla :

Año 1995 1996 1997 1998 1999

I&D 552 695 817 1353 1660

I&D DESV DE LA MEDIAVALOR ABSOLUTO DE LA

DESV DE LA MEDIA

AÑO xI (xi – μ) ABS(xi – μ)

1995 552 -463.4 463.4

Diapositiva 17

• Desviación cuadrática promedio con relación a la media de la Población

Varianza de la Población

N

xi

22 )(

Diapositiva 18

• Raíz Cuadrada de la Varianza de la Población

Desviación Estándarde la Población

N

xi

22 )(

Ejercicio

• 3.19 Ingresos de las 7 mayores cadenas de Hamburguesas en EEUU en 1998 (en miles de millones $)

• Media, mediana, rango y rango medio

• DMA

• Desviación estándar y varianza

Mc Donalds 18.1

Burguer King 8.2

Wendy´s 5.0

Hardee´s 2.4

Dairy Queen 2.0

Jack in the Box 1.4

Sonic Drive Inn 1.3

a. Media = $5.486 miles de millones, mediana = $2.4 miles de millones, rango = $16.8 miles de millones, rango medio = $9.7 miles de millones

b. DMA = $4.38 miles de millonesc. Dev Std = $5.64 miles de millones, Var = 31.80

Diapositiva 20

• Desviación cuadrática promedio (n-1) con relación a la media de la Muestra

Varianza de la Muestra

1

)( 22

n

xxs

11

222

n

xn

n

xs

Diapositiva 21

• Raíz Cuadrada de la Varianza de la Muestra

Desviación Estándarde la Muestra

1

)( 22

n

xxss

11

222

n

xn

n

xss

Ejercicio

• 3.21 Muestra del consumo de combustible de 10 modelos vehiculos compactos en mpg

• Media, mediana, rango y rango medio

• DMA

• Desviación estándar y varianza

A B C D E F G H I J

40 33 32 30 27 29 27 23 21 10

a. Media = 27.2 mpg, mediana = 28 mpg, rango = 30 mpg,rango medio = 25 mpg

b. DMA = 5.6 mpgc. Dev Std = 8.052 mpg, Var = 64.84 mpg2