Medidas Dispersion y Posicion

7/26/2019 Medidas Dispersion y Posicion

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Medidas de dispersinMedidas de dispersin

-Rango.-Rango.

-Varianza.-Varianza.

-Desviacin estndar.-Desviacin estndar.


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El RangoEl Rango

El Rango, R, de un conjunto de n

mediciones es la diferencia entre el mayor y

el nmero ms pequeo de las mediciones. Ejemplo:Ejemplo: Un botnico registra el nmero de

petalos de 5 flores

5, 1, !, ", 1# El Rango es R $ 1# % 5 $ &.R $ 1# % 5 $ &.


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'a Varianza'a Varianza

'a varianza'a varianzaes la medida de

!ariabilidad que usa todos los !alores

obser!ados. "ide el promedio de la

des!iaci#n de las mediciones alrededor

de la media,

()mero de petalos:: 5, 1, !, ", 1#

$

5

%5x # ! " 1* 1 1#


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la varianza de la po+lacionvarianza de la po+laciondeNobser!aciones

'a Varianza'a Varianza

la varianza de na mestra devarianza de na mestra denobser!aciones

Nxi

&

& '(

)

'( &&

n

xxs

i


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En el clculo de la !arian*a, calculamos elcuadrado de todas las des!iaciones, y al +acerlo,cambiamos la escala de las mediciones.

ara !ol!er a esta medida de la !ariabilidad enlas unidades originales de medida, se calcula lala ra-* cuadrada positi!a de la !arian*a.

'a Desviacin Estandar'a Desviacin Estandar

&

&

muestraldeestndar.es!iaci#n

poblaci#nladeestndar.es!iaci#n

ss


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Dos ormas de calclarDos ormas de calclar

la varianza mestralla varianza mestral

)

'( &&

n

xxs

i5 -# 1!

1 &! - &

" -1 1

1# 5 5

/m #5 * !*

Uso de la f#rmulai

xi

x x- &

( 'i

x x-

)5%

/0

12.3)5& ss


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)

'( &&

&

n

n

xx

s

ii5 5

1 1##! !

" !#

1# 1&!

/m #5 #!5

Uso de la f#rmula

ix

&

ix

)5%

5

%5%/5

&

12.3)5& ss

Dos ormas de calclarDos ormas de calclar

la varianza mestralla varianza mestral


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El !alor de s es siempre positi!o. 4uanto mayor se el !alor des&o des,

mayor ser la !ariabilidad del conjunto de

datos. 0or2 dividimos por n %130or2 dividimos por n %13

6a des!iaci#n estndarsses a menudo

usada para estimar la des!iaci#nestndar de la poblaci#n i!idiendopor n) nos da una mejor estimaci#n

de

(otas(otas


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4so de las medidas de tendencia central 4so de las medidas de tendencia central

desviacin: 6eorema de 78e+s8evdesviacin: 6eorema de 78e+s8ev

ado un nmero kmayor o igual a ) y un conjunto

de nmediciones, al menos )7()8k&' de las

mediciones estarn dentro de kdes!iaciones

estndard de la media.

ado un nmero kmayor o igual a ) y un conjunto

de nmediciones, al menos )7()8k&' de las

mediciones estarn dentro de kdes!iaciones

estndard de la media.uede ser usada para describir ya sea una muesta o una

poblaci#n.Resltados importantes:Resltados importantes:

9i k: &, al menos ) )8&

&

: 38%de las mediciones estndentro de & des!iaciones estandar de la media.9i k: 3, al menos) )83&: 18$de las mediciones estn

dentro de 3 des!iaciones estandar de la media.


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4opyrig+t ;&00/ di!ision of ?+omson 6earning, @nc.

4so de las medidas de4so de las medidas de

tendencia central desviacin,tendencia central desviacin,

Regla emp9ricaRegla emp9rica

ada una distribuci#n de las mediciones que es

tiene aproAimadamente forma de campana

el inter!alo contiene aproAimadamente /1B

de las mediciones.

el inter!alo &contiene aproAimadamente

$5B de las mediciones.

el inter!alo 3contiene aproAimadamente

$$.2B de las mediciones.

ada una distribuci#n de las mediciones que es

tiene aproAimadamente forma de campana

el inter!alo contiene aproAimadamente /1B

de las mediciones.

el inter!alo &contiene aproAimadamente$5B de las mediciones.

el inter!alo 3contiene aproAimadamente

$$.2B de las mediciones.


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EjemploEjemplo6as edades de 50 profesores titulares de una

Uni!ersidad Estatal son 3% %1 * /3 5& 5& 35 50 32 %3 53 %3 5& %%

%& 3) 3/ %1 %3 ! 51 /& %$ 3% %1 53 3$ %5

3% 5$ 3% // %0 5$ 3/ %) 35 3/ /& 3% 31 &1 %3 50 30 %3 3& %% 51 53

23.)0

$.%%

s

x

CormaD Ages

Relativefre

quency

73655749413325

14/50

12/50

10/50

8/50

6/50

4/50

2/50

0


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k ks ;ntervalo 0roporcin

en el

;ntervalo

c8e+s8ev ReglaEmpiric

a

1 ##.& 1*. #.1 to 55.! 1 ?l menos * .!"

##.& 1.#! .## to !!.! #&


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EjemploEjemplo

El tiempo que un trabajador toma en completaruna operaci#n especifica tiene un promedio de)&.1 minutos, con una des!iaci#n estndar de ),2minutos. 9i tiene forma de campana la

distribuci#n de los tiempos, aproAimadamente,Fqu proporci#n de los trabajadores se lle!arms de )/.& minutos para completar la tareaD

.%25 .%25

&5A entre &.# 1!.

#.5A entre 1." 1!.

.0&5 =5*-#.5>A $ .5A so+re 1!.


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e el teorema de 4+ebys+e! y de laregla emp-rica, sabemos que

R %7/s

ara aproAimar la des!iaci#n estandarde un conjunto de mediciones,podemos usar

?pro@imaciones?pro@imaciones

R/4 s


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?pro@imaciones?pro@imaciones

R $ * % ! $ ##

))%8%%%8 Rs

?ctal s$ 1*.

6as edades de 50 profesores titulares de una

Uni!ersidad Estatal son. 3% %1 * /3 5& 5& 35 50 32 %3 53 %3 5& %%

%& 3) 3/ %1 %3 ! 51 /& %$ 3% %1 53 3$ %5

3% 5$ 3% // %0 5$ 3/ %) 35 3/ /& 3% 31 &1 %3 50 30 %3 3& %% 51 53


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Medidas de posicinMedidas de posicin

-0ercentiles.-0ercentiles.

-Deciles.-Deciles.

-7artiles.-7artiles.


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0ercentiles0ercentilesUn conjunto de n mediciones de la variablex se ha

reacomodado en orden de magnitud. El p-simo percentiles el valor dex que es mayor ap% de lasmediciones y es

menor que el restante (100p)%

.As el !" es el valor de la variable que veri#ica que el !"

$orciento de las observaciones son ms $eque&as y elresto ms grandes.

p7simo percentil

=1**-p> Ax

p A


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7antiles7antiles

50t+ercentil

&5t+ercentil

25t+ercentil

"ediana

rimer 4uartil (G)'

?ercer 4uartil (G3'


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El primer cartile =BEl primer cartile =B11> es el valor de> es el valor dexpara

el cual el &5B de las obser!aciones(ordenadas' son ms pequeas y el resto ms

grandes (25B restantes'.

El tercer cartile =BEl tercer cartile =B> es el valor de> es el valor dexpara elcual el 25B de las obser!aciones (ordenadas'

son ms pequeas y el resto ms grandes (&5B

restantes'. El recorrido intercuart-lico Hmiddle 50BI

@GR :@GR : BB

% B% B11

Recorrido intercart9lico R;Recorrido intercart9lico R;


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El primer el tercer cartile =BEl primer el tercer cartile =B1 1

BB

>,>,

peden serpeden ser calculados as-

6a posicin de Bposicin de B11es

7alclar los 7artiles7alclar los 7artiles

.5=.5=nnC 1>C 1>

.5=.5=nnC 1>C 1>

6a posicin de Bposicin de Bes

Una !e* que las obser!aciones +an sido

ordenadas. 9i las posiciones no son

enteros, encuentre los cuartiles por

interpolaci#n.


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EjemploEjemplo6os precios (J' de )1 art-culos son

%0 /0 /5 /5 /5 /1 /1 20 20

20 20 20 20 2% 25 25 $0 $5

0osicin de B0osicin de B11$ .5=1" C 1> $ #.5$ .5=1" C 1> $ #.5

0osicin de B0osicin de B$ .5=1" C 1> $ 1#.5$ .5=1" C 1> $ 1#.5

G)est 38% de distancia entre el %t+y 5t+de las

obser!aciones ordenadas, oG): /5 K .25(/5 7 /5' : /5.


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EjemploEjemplo6os precios (J' de )1 art-culos

%0 /0 /5 /5 /5 /1 /1 20 20

20 20 20 20 2% 25 25 $0 $5

0osicin de B0osicin de B11$ .5=1" C 1> $ #.5$ .5=1" C 1> $ #.5

0osicin de B0osicin de B$ .5=1" C 1> $ 1#.5$ .5=1" C 1> $ 1#.5

G3 est a )8% de distancia entre el )%t+y )5t+

de las obser!asiones ordenadas, oG3: 2% K .&5(25 7 2%' : 2%.&5

y

@GR : G3 G) : 2%.&5 7 /5 : $.&5


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EL RESUMEN DE CINCO NMEROSEL RESUMEN DE CINCO NMEROSY LA GRFICAY LA GRFICA o! "loto! "lot

'os 5 n)meros:

Min B1 Mediana B Ma@

'os 5 n)meros:

Min B1 Mediana B Ma@


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7onstrir na grica o@ 0lot7onstrir na grica o@ 0lot

4alcule G), la mediana, G3y @GR.

ibuje una linea +ori*ontal para representar

la escala de las obser!aciones.

ibuje una caja usando G), la mediana, G3.

BB11 mm BB


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7onstrir na grica: o@ 0lot7onstrir na grica: o@ 0lot

BB11 mm BB

6-mite inferior G)7).5 @GR6-mite superior G3K).5 @GR

6as mediciones ms all de la !alla superior

o inferior son !alores at-picos y estnmarcados (L'.


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7onstrir na grica: o@ 0lot7onstrir na grica: o@ 0lot

BB11 mm BB

ibuje MbigotesM que conectan las

mediciones de mayor y menor que NO son

!alores eAtremos a la caja.


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EjemploEjemplo6as obser!aciones de una muestra son

&/0 &$0 300 3&0 330 3%0 3%0 5&0

m $ 5m $ 5 BB$ #*$ #*

mm

BB11$ &.5$ &.5

BBBB11


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EjemploEjemplo@GR : 3%07&$&.5 : %2.5

6-mite inf : &$&.57).5(%2.5' : &&).&5

6-mite sup : 3%0 K ).5(%2.5' : %)).&5

mm

BBBB11

Outlierx: 5&0


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;nterpretar o@ 0lots;nterpretar o@ 0lots

9i la mediana est en el centro de la caja y los

bigotes son de igual longitudPdistribuci#n simtrica

9i la mediana est a la i*quierda del centro de la

caja y el bigote derec+o es ms largoPsesgada a la

derec+a.

9i la mediana est a la derec+a del centro de la caja

y el bigote i*quierdo es ms largoPsesgada a la

i*quierda.

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