Distr Normal Prba Norm Trans Dat

DISTRIBUCIÓN NORMAL /PRUEBA NORMALIDAD/ TRANSF. DATOS P. Reyes / Sept. 2007

DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DE NORMALIDAD Y TRANSFORMACIÓN

DE DATOS

DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR

Septiembre 2007

Mail. [email protected] /Cel. 044 55 52 17 49 12

Página 1 de 15

mailto:[email protected]


CONTENIDO

1. Distribución normal

2. Estandarización de valores

3. Prueba de normalidad

4. Transformación de datos

5. Ajuste de datos con otras distribuciones de probabilidad

Página 2 de 15


LA DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DENORMALIDAD, TRANSFORMACIÓN Y AJUSTE DE DATOS

1. DISTRIBUCIÓN NORMALUn proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de

especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente

adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se

toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente

comportamiento:

LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:

Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal

LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:SIZE TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

UBICACIÓN DISPERSIÓN FORMA

. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS

Distribución gráfica de la variación – La Curva normal

Fig. 1 Construcción de la distribución normal

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes.

Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de

la ciencia, la industria y el comercio.

Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya

forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es

llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.

Página 3 de 15


Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros

se indican con letras griegas, tales como: promedio o media = (mu), y

desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) = (sigma).

Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.

Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar

=1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el

pico.

Fig. 2 Propiedades de la distribución normal

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

La forma y la posición de una distribución normal dependen de los

parámetros , por lo que hay un número infinito de distribuciones

normales.

Página 4 de 15

z0 1 2 3-1-2-3

z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3XX

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal


Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

3.9 = 5.0

3.9 = 5.0

Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones

Fig. 3 Distribuciones normales con varias desv. estándar

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10

= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10

LIE LSE

Fig. 4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar

Página 5 de 15


Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal

a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo

la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y

.

Fig. 5 Área bajo la curva de Distribución normal

Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel

(Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).

En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.

La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra

fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores

de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran

ejemplos de su uso.

Página 6 de 15


Ejemplo 1a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.P(Z<= -1) = 0.1587

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.P(Z<= - 2) = 0.0228c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259

Página 7 de 15


Ejemplo 2a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.P(Z <= 1) = 0.8413

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.P(Z <= 2) = 0.9772 8c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369

Página 8 de 15


EJERCICIO 1:¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está

incluido dentro de los siguientes rangos?

a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =

b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =

c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =

d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =

e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =

f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =

2. Estandarización de valores realesEn la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con

desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área

bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z entre algún

valor X y la media de la población o de la muestra X como sigue:

sí se consideran los datos completos del proceso.

sí se consideran sólo los datos de una muestra.

Ejemplo 3 El departamento de personal de una empresa requiere que los

solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si

las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y

desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la

prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

=

Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal

estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 =

69.146%. donde la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X

<= 500). Dado que el porcentaje pedido es la solución es 1-0.69146

=0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba.

Página 9 de 15


Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.

Fig. 6 Área bajo la curva de Distribución normal

Ejemplo 1.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene

una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad

P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones

fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente

ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:

Fig. 7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z

El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X

24), la probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587

Página 10 de 15

485

Z.05

30.85%


EJERCICIO 2:

Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar

de 10Kgs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?

3. PRUEBA DE NORMALIDADPara probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson

Darling o Ryan, y la gráfica de probabilidad normal.

a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad

P de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales.

Seguir los siguientes pasos:

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación

estándar S = 32.02 con:

1. Calc > Random data > Normal

2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02

OK

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de

Anderson Darling o Ryanjoiner como sigue:

1. Stat > Basic statistics > Normality Test

2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan

normalmente

Página 11 de 15


Datos

Perc

ent

350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

>0.100

269.3StDev 30.72N 100RJ 0.994P-Value

Probability Plot of DatosNormal

Fig. 8 Gráfica de probabilidad de un proceso normal

b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

3. Graph > Probability plot > Normal

4. Graph Variable C1

5. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es

normal la distribución.

Datos

Perc

ent

400350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.533

269.3StDev 30.72N 100AD 0.317P-Value

Probability Plot of DatosNormal - 95% CI

Fig. 9 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza

Página 12 de 15


4. TRANSFORMACIÓN DE DATOSSi los datos no son normales, se pueden tratar de transformar con alguna

función para normalizarlos utilizando el Método de Box Cox, que encuentra un

exponente lamda al que se deben elevar los datos:

Por ejemplo los datos del archivo Tiles.Mtw de Minitab:

Torcedura

Perc

ent

1086420-2-4

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.010

2.923StDev 1.786N 100AD 1.028P-Value

Probability Plot of TorceduraNormal

Fig. 10 Gráfica de probabilidad de un proceso no normal

Para tratar de normalizarlos con el Método de Box Cox se tiene:

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation

3. All observations in a column Torcedura (Warpness) Subgroup size 1

4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf

5. OK

Si no se encuentra un intervalo de confianza (rayas rojas), indica que los datos

no son transformables por este método.

Página 13 de 15


Lambda

StDe

v

543210-1-2

20

15

10

5

0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0.500000

(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value

Box-Cox Plot of Torcedura

Fig. 11 Determinación del exponente Lambda de Box Cox

Aquí indica que para normalizar los datos, se deben elevar a la 0.5 (raíz

cuadrada), al probar la normalidad de los datos transformados se tiene:

TorceduraTransf

Perc

ent

3.53.02.52.01.51.00.50.0

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.574

1.624StDev 0.5380N 100AD 0.301P-Value

Probability Plot of TorceduraTransfNormal

Fig. 12 Gráfica de probabilidad del proceso normalizado

5. AJUSTE DE DATOS CON OTRAS DISTRIBUCIONES DE PROB.

Si los datos no son transformables, se puede identificar una función a la que se

ajusten los datos, para que con esta se determine la capacidad del proceso:

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

Página 14 de 15


2. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (right sensoring) > Distribution ID Plot

3. Variables Torcedura

4. Seleccionar Use all distributions

5. OK

Los resultados se muestran a continuación, se indica el valor del coeficiente de

correlación, se puede seleccionar la distribución que tenga el mayor, o el

menor valor de Anderson Darling:

Goodness-of-Fit Anderson-Darling CorrelationDistribution (adj) CoefficientWeibull 0.379 0.994Lognormal 1.566 0.978Exponential 11.735 *Loglogistic 1.852 0.9743-Parameter Weibull 0.400 0.9973-Parameter Lognormal 0.515 0.9942-Parameter Exponential 7.325 *3-Parameter Loglogistic 0.944 0.985Smallest Extreme Value 7.609 0.909Normal 1.170 0.978Logistic 1.330 0.973

Las gráficas resultantes son:

Torcedura

Perc

ent

10.01.00.1

99.99050

10

1

0.1Torcedura

Perc

ent

10.01.00.1

99.99990

50

101

0.1

Torcedura

Perc

ent

10.0001.0000.1000.0100.001

99.99050

10

1

0.1Torcedura

Perc

ent

100.010.01.00.1

99.9999050101

0.1

Correlation CoefficientWeibull0.994

Lognormal0.978

Exponential*

Loglogistic0.974

Probability Plot for TorceduraLSXY Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Loglogistic

Fig. 13 Gráficas de varias distribuciones de probabilidad

Página 15 de 15

Distr Normal Prba Norm Trans Dat

Documents

Transcript of Distr Normal Prba Norm Trans Dat