Distribucion Normal

ING. SERGIO LOPEZ NIETO

DISTRIBUCIONNORMAL


DISTRIBUCIN NORMALo campana de Gauss-Laplace


Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicacionesestadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin,justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertosfenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a estadistribucin.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin dedensidad cuya grfica tiene forma de campana.


En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que haymuchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normalCaracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie,p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, dimetros, permetros,...Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de unamisma cantidad de abono.Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo deindividuos, puntuaciones de examen.Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptacin a unmedio,...Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.Valores estadsticosmuestrales, por ejemplo : la media.Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos factores.


Funcin de densidad

= media = desviacin estndar = 3.1416e = 2.71828


La distribucin normal posee las siguientes caractersticasprincipales:

1.- Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de ladistribucin. La media, mediana, y la moda son iguales y se localizan en elcentro de la distribucin. El rea total bajo la curva es 1.2.- Es simtrica respecto a la media.3.- Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central, es decir ,la distribucin es asinttica. La curva se aproxima ms y ms al eje de las X.sin tocarlo en realidad, las colas de la curva se extienden indefinidamenteen ambas direcciones.4.- La localizacin de una distribucin normal se determina a travs de lamedia . La dispersin o propagacin de la distribucin se determina pormedio de la desviacin estndar .


La distribucin normal queda definida por dos parmetros, su media y sudesviacin estndar y la representamos as :

N(,)Para cada valor de y tendremos una funcin de densidad distinta, por lo tantola expresin N(,) representa una familia de distribuciones normales.

Est caracterizada por dos parmetrosa).- Parmetro de localizacin: La media

b).- Parmetro de forma: La varianza


Figura: Distribuciones gaussianas con igual mediapero varianza diferente.


Figura: Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual desviacin.


La media determina la posicin y la desviacin estndar laforma. Una desviacin estndar menor, genera una curvams delgada.


Curvas normales con diferente media y desviacin estndar


x

f(x)

El punto mximo de f(x) se encuentra en x =


x

f(x)

La variable puede tomar valores de (


x

f(x)

El rea total bajo la curva es 1

0.5 0.5


x

f(x)

Sus puntos de inflexin se encuentran en

Punto de inflexinPunto de inflexin


DISTRIBUCIN DE PROBABLIDADNORMAL ESTNDAR

Una variable aleatoria que tiene una distribucin normal con media de cero ydesviacin estndar de uno es conocida como una distribucin deprobabilidad normal estndar.

z

f(z)2/)( 2

21)( zezf

2/)( 221)( zezf


DISTRIBUCIN DE PROBABLIDADNORMAL ESTNDAR

2/)( 221)( zezf

2/)( 221)( zezf

La letra z es comunmente usada para designar a la variable aleatoria normalestndar mediante la conversin de la varaiable x por medio de la siguiente relacinmatemtica.

z x zx

donde: = media de la distribucin. = desviacin estndar de la distribucin.x = variable aleatoria.z = variable aleatoria estndar.


z

f(z)

Los valores de Z antes de la media son negativos, despus de la media son positivos

Z - Z +


x

f(x)

z0

12

Desviacin estndar = 0.8

Desviacin estndar =1

Z =

Un valor x = 12 lo queremos transformar a valor z


x

f(x)

z0

12



Z = 2.5

5.28.1012 z 5.28.1012 z


x

f(x)

z0



Observe que P(x


Uso de la tabla normal estndar.reas acumuladas desde z = - 3.49 hasta z = 3.49

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 -2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 -2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 -2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 -2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 -2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

0 z


Uso de la tabla normal estndar.

Ejemplo: Dada una distribucin normal estndar, encuentre el reabajo la curva que cae

a) A la izquierda de z =1.43 p( z < 1.43 ) = ?

1.43

rea

0



P( z < 1.43) = 0.9236Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

rea1.43

Observe, para calcular p(z



P( z >1.43) = 0.0764Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.43

1-0.92360.9236

Observe, para calcular p(z >1.43) es : a 1 le restamos la acumulada a 1.43que es 0.9236, por lo tanto p(z > 1.43 ) = 0.0764



Ejemplo: Dada una distribucin normal, encuentre el rea bajo lacurva que cae

a) Entre z = -1.5 y z =1.43 p(- 1.5 < z < 1.43) = ?

1.43

rea

-1.5 0



P(-1.5 < z < 1.43) = .9236 - .0668 = .8568Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.43rea

-1.5

Observe:rea = F(1.43) F(-1.5)


Observe, que esta tabla tiene valores acumulados a partir de z = 0, hay tablasacumuladas desde z = -3.4 , por lo que el estudiante debe tener cuidado en la tablaque va usar.


Porcentajes de rea en algunos intervalos comunes.

El 68.26% de los valores de una variable aleatoria normalestn entre +/- 1 desviacin estndar de la media.

El 95.44% de los valores de una variable aleatoria normalestn entre +/- 2 desviaciones estndar de la media.

El 99.72% de los valores de una variable aleatoria normalestn entre +/- 3 desviaciones estndar de la media.


APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL Y LA BINOMIALSi un problema implica una muestra de 60, generar una distribucin binomialpara dicha cantidad tan grande habra consumido demasiado tiempo.Un enfoque ms eficiente consiste en aplicar la aproximacin de la distribucinnormal a la binomial.Parece razonable emplear la distribucin normal ( continua ) en sustitucin dela distribucin binomial ( discreta) para valores grandes de n pues, conforme nse incrementa , una distribucin binomial se aproxima cada vez ms a unadistribucin normal.


La distribucin normal una buena aproximacin de la distribucin binomial cuando np yn(1-p) son ambos 5 por lo menos. Sin embargo, antes de aplicar la aproximacinnormal, debe estar seguro de que la distribucin de inters sea en verdad unadistribucin binomial.

Suponga que la administracin de SantoniPizza Restaurant se da cuenta que 70% desus nuevos clientes regresan a comer .Cul es la probabilidad de que 60% o msclientes regresen a comer durante unasemana en la que 80 nuevos (primera vez)clientes comen en Santoni?


P(X 60) = 0.063+0.048+ + 0.001) = 0.197

Observe en la siguiente grfica, una distribucin binomial que representa el problema,adems una tabla donde aparecen las probabilidades para diferentes valores de x ( de43 a 68 ) que se calcularon con la frmula de la binomial


Observe que de la distribucinnormal es el promedio de unabinomial.La variancia de la distribucinnormal es la varaiancia de labinomial.

Adems observe que queremoscalcular P( x 60), o sea desde 60 enadelante, pero aqu aparece desde59.5 , esto se debe a un factor decorreccin de continuidad.Notar que llegamos a la mismarespuesta que en la binomial


Factor de correccin de continuidad: Valor de 0.5 restado o sumado, segn serequiera, a un valor seleccionado cuando una distribucin de probabilidad discretase aproxima por medio de una distribucin de probabilidad continua.

Como aplicar el factor de correccin :1.- Para la probabilidad de que por lo menos ocurra x, se utiliza el rea porencima de ( x-.5 ) ejemplo : P(x 60) se toma de 59.52.- Para la probabilidad de que ocurra mas x, se utiliza el rea por encima de( x+.5 ) ejemplo : P(x > 60) se toma de 60.53.- Para la probabilidad de que ocurra x o menos, se utiliza el rea debajo de( x+.5 ) ejemplo : P(x 60) se toma de 60.54.- Para la probabilidad de que ocurra menos que x, se utiliza el rea debajode ( x-.5 ) ejemplo : P(x< 60) se toma de 59.55.- Para la probabilidad de que ocurra exactamente x , se utiliza el rea entrex .5 , por ejemplo P( x = 60) se toma el rea desde 59.5 a 60.5


P ( x 60) = ?

1.- Para la probabilidad de que por lomenos ocurra x, se utiliza el rea porencima de ( x-.5 ) ejemplo : P(x 60)se toma de 59.5


ejemplos


Una refaccionaria vende auto-partes y refacciones incluyendo un popular aceitemultigrado. Cuando la existencia de este aceite cae a 20 galones, se pone una ordende relleno.El encargado de la tienda est preocupado porque las ventas han disminuido debidoa inexistencias mientras que espera por una orden. Se ha determinado que el plazode demanda (x) est normalmente distribuido con una media de 15 galones y unadesviacin estndar de 6 galonesEl encargado quisiera saber la probabilidad de inexistencia, p (x > 20).

ING. SERGIO LOPEZ NIETO0 .83

Area = .2967

Area = 0.7967

Area = 0.2033

z

La tabla normal estndar muestra un rea acumulada de 0.7967 hasta z = 0.83.El rea despus de z =0.83 es de 1-0.7967 = 0.2033

La probabilidad de inexistencia es de 0.2033.z = (x - )/= (20 - 15)/6= .83


z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

Tabla con valores acumulados a partir de z = 0


Si el encargado de la refaccionaria quiere que laprobabilidad de inexistencia sea de 0.05, Cul sera elpunto de reordenamiento?

El valor de z que tiene el rea hacia su derecha de 0.05, es de1.645

Area = 0.05Area = 0.05

z.05Area = .45Area = .45Area = .5Area = .5


Ahora observamos el rea despus de la media de 0.4500en la tabla de Probabilidad normal estndar paraencontrar el valor correspondiente a z.05

z.05 = 1.645 es el valor de z que tiene el rea de 0.05hacia su derecha.

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .


El valor correspondiente de x es dado porx = + z.05 = 15 + 1.645(6)= 24.87

Un punto de reordenamiento de 24.87 galones situara laprobabilidad de una inexistencia durante el plazo de demanda a0.05. Tal vez la refaccionaria debera mandar su punto dereordenamiento a 25 galones para mantener la probabilidaddebajo de .05.


La vida media de una lmpara, segn el fabricante, es de 68meses, con una desviacin de 5 meses. Se distribuye segn unadistribucin normal.En un lote de 10 000 lmparas.

a) Cuntas lmparas superarn previsiblemente los 75 meses?b) Cuntas lmparas se estropearn antes de 60 meses?


a). Solucinz = (75 -68)/5 = 1.4p (X > 75) = p (z > 1.4) = 1 - P (z 1.4) = 1 0.9192 = 0.0808Por lo tanto el 8.08% de las lmparas(808 lmparas) superarn los 75 meses.b). Solucinz = (60 -68)/5 = -1.6P (X 60) = (z -1.6) = P (z> 1.6) = 1 - P (z 1.6) = 0.0548Por lo tanto, el 5.48% del lote (548 lmparas) no llegarn probablemente adurar 60 meses

Aqu es usando una tabla acumuladacomenzando de z = 0


z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . .

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 . . . . . . . . . . .

tabla acumulada comenzando de z = 0

P (z> 1.6) = 1 - P (z 1.6) = 0.0548 Se est calculando un reasimtrica

-1.6 1.6

Un profesor determin que el promedio final en su curso de estadstica tiene unadistribucin normal con media de 72 y desviacin estndar de 5. Decidi asignarlas calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban unacalificacin de A.Cul es el promedio ms bajo que un alumno puede tener para obtener una A?


X=77.2

0.15

Z=1.04

x = z +

x = 1.04(5)+72 = 77.2

Sea x el promedio ms bajo.Encuentre x de manera que P(X > x) = 0.15.El valor z correspondiente es 1.04.As se tiene:


Un informe reciente de BusinessWeek seala que el 20 % de losempleados le roba a la empresa cada ao. Si una compaa tiene 50empleados. Cul es la probabilidad de que menos de 5 roben?

= np = (50) (.20) = 10 = npq = (50)(.2)(.8)=2.828

P(x


Un informe reciente de BusinessWeek seala que el 20 % de losempleados le roba a la empresa cada ao. Si una compaa tiene 50empleados. Cul es la probabilidad de que ms de 5 roben?

= np = (50) (.20) = 10 = npq = (50)(.2)(.8)=2.828

P(x >5 ) ?

Z=-1.59

P(x>5) = p(z -1.59) = 0.9441

Z

94.41%


Un informe reciente de BusinessWeek seala que el 20 % de losempleados le roba a la empresa cada ao. Si una compaa tiene 50empleados. Cul es la probabilidad de que por lo menos 5 roben?

= np = (50) (.20) = 10 = npq = (50)(.2)(.8)=2.828

P(x 5 ) ?

Z=-1.94

P(x5) = p(z -1.94) = 0.9738

Z

97.38%


Un informe reciente de BusinessWeek seala que el 20 % de losempleados le roba a la empresa cada ao. Si una compaa tiene 50empleados. Cul es la probabilidad de que 5 roben?

= np = (50) (.20) = 10 = npq = (50)(.2)(.8)=2.828

P(x =5 ) ?

Z=-1.94 Z= -1.59

P(x=5) = p( -1.94


FIN

Distribucion Normal

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