Distribución normal presentación

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• Estadística


Características de la distribución probabilística normal

• La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución.

• La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico.

• La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda.

7-3


Características de la distribución probabilística normal

• La distribución normal es simétrica respecto a su media.

• La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

7-4


- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

Características de una distribución normal

La media, mediana ymoda son iguales

La curva normal essimétrica

En teoría,la curva seextiende hastainfinito

a



Distribución normal estándar

• Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar.

• Valor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la población media , dividida entre la desviación estándar de la población ,

X

z

7-6


EJEMPLO 1

• El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en IPN tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700?

• Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1.

7-7


EJEMPLO 1 continuación

• Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5

• Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviación estándar de la media de $2000, así como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviciación estándar de la media de $2000.

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Áreas bajo la curva normal

• Cerca de 68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a la media.

• Alrededor de 95% está a menos de dos desviaciones estándar de la media.

• 99.74% está a menos de tres desviaciones estándar de la media.

1

2 3

7-9


- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

Áreas bajo la curva normal

1

2

3 1

2

3

Entre:1.68.26%2.95.44%3.99.74%



EJEMPLO 2

• El consumo de agua diario por persona en el Distrito Federal tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones.

• Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence está entre cuáles dos valores.

• . Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua está entre 15 y 25 galones.

).5(1201

7-11


EJEMPLO 3

• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de en el D.F. seleccionada al azar use menos de 20 galones por día?

• El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así, P(X<20) = P(z<0) = .5

• ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones?

• El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) = P(0<z<.8) = 28.81%

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- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 ,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(0 < z < .8)= .2881

EJEMPLO 3

0 < X < .8



EJEMPLO 3 continuación

• ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones?

• El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. Así, P(18<X<26) = P(-.4<z<1.2) = .1554 + .3849 = .5403

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EJEMPLO 4

• La profesora Aura determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A?

• Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de manera que P(X > X) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene (X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2

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-

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1EJEMPLO 4

0 1 2 3 4

Z=1.04

15%



EJEMPLO 5

• La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal srvicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio?

• Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P(X<65) = P(z<-1.5) =.5 - .4332 = .0668.

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Aproximación normal a la binomial

• Utilizar la distribución normal (una distribución continua) como sustituto de una distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n, parece razonable porque conforme n aumenta, una distribución binomial se acerca más a una distribución normal.

• La distribución de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximación a la binomial cuando

• n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.

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Aproximación normal continuación

• Recuerde el experimento binomial :· existen sólo dos resultados mutualmente

excluyentes (éxito o fracaso) en cada ensayo.

· una distribución binomial es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.

· cada ensayo es independiente. · la probabilidad es fija de un ensayo a otro,

y el número de ensayos n también es fijo.

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Distribución binomial para n igual a 3 y 20,

donde =.50

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n=20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20n ú m e r o d e e v e n t o s

P(x)


Factor de corrección por continuidad

• El valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad binomial (una distribución discreta) se aproxima por una distribución de probabilidad continua (la distribución normal).

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EJEMPLO 6

• Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados mostró que 15% de las casas en la Delegación Benito Juárez, D.F. poseen una cámara de video. Se obtuvo una muestra de 200 casas.

• De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se espera que tengan una cámara de video? n (. )( )15 200 30

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EJEMPLO 6

• ¿Cuál es la varianza?

• ¿Cuál es la desviación estándar?

• ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 casas de la muestra tengan cámara de video? Se necesita P(X<40) = P(X< 39). Así, Al usar la aproximación normal,

P(X<39.5) P[z (39.5-30)/5.0498] =P(z 1.8812) P(z<1.88)=.5+.4699 +.9699

2 1 30 1 15 255 n ( ) ( )( . ) .

255 50498. .

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- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

EJEMPLO 6

0 1 2 3 4

P(z = 1.88).5 + .4699= .9699

z = 1.88


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