7/25/2019 Divisibilidad - Numeros Primos 2do

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NMEROS PRIMOS

NMERO PRIMO ABSOLUTO.

Son aquellos nmeros que admitennicamente dos divisores siendo stos launidad y l mismo.

EJEMPLOS: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, . . .

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMTICA

odo nmero com!uesto se !uededescom!oner como el !roducto de "actores!rimos di"erentes entre si, elevados a ciertose#!onentes naturales

. . . .a b c d eN A B C D E= K

$onde:A, B, C, D, E !rimos a%solutosa, %, c, d, e &

aNotas

i) ' esta descom!osici(n se le conoce con el&om%re de $)S*+-+S*/&*'&/&*'.

ii) 0a descom!osici(n can(nica de un nmeroes nica.

' !artir de esta descom!osici(n se !uede o%tenermuca in"ormaci(n con res!ecto al nmero, talcomo: Cantidad de divisores, divisores ri!os,

s"!a de divisores, s"!a de inversas de #osdivisores, rod"$to de divisores, et$.

FORMULAS ESPECIALES.

Sea el nmero & 'a # % # * c # ... # - !

$escom!osici(n *an(nica d(nde:

A, B, C, ... ,P% &meros !rimos a%solutosdistintos entre s6

actores !rimos o divisores !rimos.a, &, $, ... , % )#!onentes enteros y !ositivos.

Cantidad de divisores de N

)1p()1c)(1b)(1a(D(N) ++++=

Ejemplos%8*untos divisores tiene 1;< enemos que: 1; 22# 32# 51

0ue=o: $1; 2>12>11>1 1

O&serva$i'n: 'quellos divisores que no sean!rimos se les llaman divisores com!uestos delnmero.

F(RMULA%Sea & un nmero entero !ositivo, secum!le que:

$onde: $& $ivisores del &mero &?

S"!a de divisores de N

a 1 b 1 c 1 p 1A 1 B 1 C 1 P

A 1 B 1 C 1 P 1SD(N)

=

L

S"!a de #as inversas de #os divisores de N

OBSERVACIN. El nmero

1 no es un numero primo,

es ms bien divisor de

cualquier nmero.

D(N)= DN= Dcompuestos+ Dprimos+1

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SD N

N

( )SID(N) =

Prod"$to de #os divisores de N

D NN ( )PD(N) =

EJERCICIOS RESUELTOS

1. 8*untos divisores tiene 5@;n1 n>1 n>1

4n >1 n>12

2. Aallar la suma de todos los divisores de 32;.So#"$i'n$escom!oniendo en sus "actores !rimos:

32; 2@ # 5

S$ 32;

6 1 1 12 1 5 1

2 1 5 1( ) ( )

127 @ 7@2.

3. 8*untos divisores de @;; son divisi%lesentre 22 # 3n# 7

$ 2n > 3 n >1 2

'dems, sa%emos que: $ $com! > $! > 1

2n > 3 n >1 2 152 > 3 > 12n > 3 n > 12 15@

2n > 3 n>1 72n > 3 n > 1 13 @

denti"icando n > 1 @ n 5

PR)CTICA*. $etermina la cantidad de divisiones de los

si=uiente nmeros:a 4512% 44c 3375d 1;35e 5;4

+. Aallar la suma de los divisores dea41@%2432c 45@

(560n

! ("#

$ 5 $n

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d22e5474

. Aallar la suma de las inversas de la divisionesde :

a 45;;% 42;c 3@;d 42;

e 5;

-. Aallar la suma de las inversas de las divisoresmlti!les de

a 15 que tiene 3@;;% 24 que tiene 21@;c 1 que tiene @4d 1; que tiene 3;;;e @ que tiene 5;4

. Aalla el !roducto de las divisiones de:a 4

% 24c 12;d 2;e 54;

/. Aallar n? si:

) 45 12 ; 585n na x tiene divisores

) 24 18 ; 638n nb x tiene divisores

)14 28 ; 220nc x tiene divisores

) 52 25 ; 84n nd x tiene divisores

1 2 3)36.36 .36 ....36 ; 961n

e tiene diviso

0. *untos divisores com!uestos tiene1.a es 17 veces la suma de los

divisores del nmero: CB.33a>1. 8*ul esel valor de a?a 725 % 1;5;

c 7@25 d 7;; e 1;2

--. Si el nmero

35 .7

a

tiene 17 divisores

com!uestos entonces12a

8*untos divisorescom!uestos tendr