FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Luz Angela Gaitán Gaitán

Juan Carlos Vega Vanegas

Jair Adrián valencia Jiménez

Historia de las matemáticas

MAESTRO DARDI DE PISA

La biografía del maestro Dardi de Pisa es desconocida, lo único que se conoce de él es el aporte que

realizo a la matemáticas, específicamente al álgebra.

Al principio del siglo XIV algebristas italianos habían comenzado a ampliar el número de casos que

se conocían hasta el momento, introduciendo términos establecidos en el cuarto tercio y los grados

más altos, tomando la raíz de un número o un término desconocido y aumentando los términos de

una ecuación. Así a mediados del siglo XIV es frecuente encontrarnos con casos como estos en los

libros del álgebra.

La obra de maestro Dardi se destaca en el tratamiento más amplio y sistemático del tema que

cualquier otro algebrista de la época hubiese realizado.

El trabajo del maestro empieza con las seis ecuaciones cuadráticas que se conocen de los árabes y a

continuación utiliza diversas combinaciones de potencias y de los radicales para producir

ecuaciones hasta el equivalente del grado 12 y los resuelve con precisión total, pero la característica

más notable de la obra de Dardi es que incluye “4 casos especiales” de las ecuaciones de tercer y

cuarto grado que no pueden reducirse a un grado menor.

Pues en este caso es el tipo de ecuaciones en las que Gerardi había tropezado y además continuaba

acosando a los algebristas europeos hasta mediados del siglo XIV. Sin embargo, Dardi tuvo éxito en

la soluciones de estas ecuaciones correctas.

El algebra del maestro Dardi es la obra más importante de las matemáticas que se han escrito en

Europa; porque ninguna otra obra de ese periodo muestra un nivel comparable de la competencia,

organización y ámbito de aplicación, sin embargo el contenido completo de esta obra nunca ha sido

puesto a disposición en una edición que cumpla con los estándares.

Otra característica del trabajo del maestro Dardi es la habilidad matemática extraordinaria, pues con

frecuencia en su obra comenta acerca de la reducción de una ecuación a otra algo que sus

contemporáneos ignoraban. Además el maestro Dardi: utiliza el cero explicito en varias ocasiones,

utiliza varias veces las pruebas, utiliza un simbolismo abreviado.

Con lo poco que se sabe del maestro Dardi, podemos darnos cuenta que fue un algebrista muy por

encima del nivel de los matemáticos contemporáneos, sin embargo su trabajo no es muy conocido

para los historiadores de las matemáticas hasta el día de hoy.

El Tratado de Dardi fue escrito en 1344, existente en tres copias Italianas y una traducción en

hebreo por Mordechai Finzi de Mantua.

Presenta una lista de problemas y comienza con seis tipos de ecuaciones cuadráticas y lineales.

Luego con ecuaciones cúbicas y polinómicas de 4 grado que se resuelven extrayendo raíces cúbicas

o cuadradas.

Dardi presenta reglas para la solución de ecuaciones irreducibles cubicas y polinómicas, escritas en

la notación actual:

Pero admite que sus métodos funcionan en casos específicos y no en general.

La ecuación (1) es reducida a la siguiente forma:

La solución para ella es basada en el método de Al-khwarizmi y Leonardo de Pisa

Si se toma un cubo de lado y se alarga uno de sus lados una longitud y así se obtiene otro cubo.

Luego este cubo más grande quedará dividido en 8 partes de la siguiente forma:

El cubo

3 bloques

3 bloques

Un cubo

Si se supone que estas 8 partes reducidas en 3 grupos son iguales a los 3 términos del lado izquierdo

de (1’) más un término constante para adicionar se tienen 3 condiciones

(A)Número a adicionar

(B)Número de la cosa

(C)Número del cuadrado

(D)Si se divide

Así se tiene que:

Luego reemplazando por las condiciones (A), (B) y (C) se tiene

Y

Por (1’)

Solucionando así esta ecuación con raíz cúbica y reemplazando L según la condición (D), siendo

Dardi muestra el siguiente ejemplo de este tipo

En este caso

Así

Y su solución

Este ejemplo viene de un problema de préstamo. El mismo problema es encontrado en un

manuscrito titulado “Tratatto d’Abaco” por Piero della Francesca y dice:

Una persona presta a otras 100 liras, y después de 3 años recibe 150 Liras con una tasa anual de

interés. ¿A qué tasa de interés fue dado el préstamo?

La tasa de interés es expresada en denarios por Liras,

Si mensualmente la tasa de interés es expresada como denario por 1 Lira entonces el interés anual

es denarios por Lira y la tasa de interés es .Utilizando la ecuación de matemática

financiera

Se tiene que

Y si se multiplica por 20 se tiene

Que es la ecuación de Dardi

El segundo problema es similar. Si el acreditador obtienen 160 liras después de 4 años, la ecuación

para se convierte en

O

La cual es la ecuación (2) de Dardi, que puede ser resuelta por raíces 4.

Problema P: Si se divide 10 en 2 partes las cuales su producto dividido su diferencia es

Con en (4`).

Si una parte es llamada X y la otra 10-X se obtiene:

(6)

Con . En el primer caso se tiene:

(7)

La cual es la ecuación de Dardi (3`)

En el segundo se tiene:

(8)

La cual es la ecuación de Dardi (4`)

La solución de la ecuación (3) de Dardi con es

(9)

Y la solución de (4) de Dardi con es igual.

¿Cómo llego Dardi a esta curiosa formula?

Una vez más nos aventuraremos a una hipótesis.

La ecuación (6) puede ser escrita como una ecuación cuadrática

(10)

La solución de (10) es:

(11)

Por otro lado, el cuadrado de (6)

(12)

Y si se escribe esta como:

Se obtiene que:

Ahora si se inserta el valor (13) en la formula de Dardi (19) se obtiene:

De acuerdo con (11).

El problema de Dardi fue: como se puede escribir la solución (11) en una forma como (9) en la cual

ningún número especial como 5 y (igual a 18 o 28) ocurran, pero solo las expresiones cuyas

pueden ser calculadas desde los coeficientes (13)? Ahora se intenta encontrar como Dardi resolvió

este problema. Se consideran los 3 términos de (11) separadamente.

El primer termino 5 fue obtenido por partir en mitades los 10 dados en el problema p, y fue

encontrado doblando este término.

También, en el primer en (11) puede ser solo generalizado a . Así, el segundo término en (9) es

explicado.

El segundo término en (11) es la raíz cuadrada de un número dado (igual a 18 o 28) y el

coeficiente es , ahora si se divide por se obtiene justo De aquí el tercer

término en (9) es = -

El primer término en (9) es más difícil de explicar. Se supone que Dardi ayudo a obtener una

expresión análoga a su formula (5). En (5) el primer término es una primera raíz de “algo más n”

donde n es el término constante en el lado derecho de su ecuación (1). Justo, dardi había obtenido

una solución para (2), en la cual una raíz cuarta de “algo más n” ocurre. Se supone que Dardi ayudo

a escribir el termino de (11) en la forma.

El alcanzo su blanco por hacer el “algo” igual a , por que se tiene desde luego, la hipótesis no

es aprobada, pero al hacer la lista explica los efectos. En algún caso no se puede admitir su destreza

encontrando su formula (9) sin ayuda de nuestra notación algebraica.