Ecuación de Euler

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA EN LAS TURBOMÁQUINAS

Es la ecuación fundamental para el estudio delas turbomáquinas. Explica la energíaintercambiada entre el rodete y el fluido.

Ecuación de Euler

¿ Cómo se convierte la energía mecánica en energía hidráulica en las bombas?

¿ De qué modo se aprovecha la energía hidráulica del agua en las turbinas?

Ecuación de Euler

Deducir la ecuación fundamental de lasturbomáquinas.

Aplicar la ecuación de Euler a lasbombas y a las turbinas.

Objetivos

Al término de la sesión de aprendizaje elestudiante conoce la ecuación que explicala forma en que se convierte energíahidráulica en mecánica y viceversa y lasaplica en el estudio de los sistemas debombeo y en las centrales hidroeléctricas.

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Rodete de una bomba centrífuga

Ecuación de Euler

Parámetros fundamentales del rodete de una bomba centrífuga

Ecuación de Euler

n, w – velocidad angular del rodete. b1, b2 – anchos del álabe a la entrada y a la salida del rodete. D1, D2 – diámetros de entrada y salida del rodete. C1, C2 – velocidades absolutas del fluido al ingreso y salida del rodete. u1, u2 – velocidades periféricas del álabe a la entrad y salida del rodete. w1, w2 – velocidades relativas del fluido en la entrada y salida del rodete.

1 2

. . Zz zA A

r x C C dA r x C C dAM

La relación entre las velocidades absolutas y relativas del fluido a la entrada y salida del rodete son:

Ecuación de Euler

1 2

. . VCA A

F C C dA C C dA

Las fuerzas que el impulsor le comunica al fluido pueden calcularse a través de la

ecuación de cantidad de movimiento.

Para un volumen de control fijo conformado por el impulsor, con una entrada y

una salida, y para un flujo permanente resulta:

El momento o torque que produce el giro del impulsor alrededor del eje, (eje Z),

es:

Usando un sistema de coordenadas cilíndricas se deduce que:

Ecuación de Euler

2 2 1 1 u uM Q r C r C

M - es el momento total que comunica el rodete al fluido. Se le denomina

“Momento Hidráulico”.

Q – es el “caudal de bombeo” o “caudal turbinado”, considerando que el rodete

tiene infinitos álabes.

2 2 2 1 1 1cos cos Q r C r CM

Considerando que C1 cos1 = C1u y C2 cos 2 = C2u se tiene:

La potencia intercambiada entre el rodete y el fluido es:

Ecuación de Euler

Como u = wr, entonces:

2 2 1 1w w i u uP M Q r C r C

Pi – potencia interna del rodete o potencia que el rodete le imparte al fluido.w – es la velocidad angular del rodete.

2 2 1 1i u uP M Q u C u Cw

El término 𝑢2 𝐶2𝑢 − 𝑢1 𝐶1𝑢 = Yu es la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido. Tiene unidades de energía por unidad de masa [J/kg]

La energía Yu puede expresarse en unidades de longitud, [m] (energía por unidad de peso) dividiéndola entre la gravedad:

Ecuación de Euler

Entonces: w i uP M Q Y

De esta ecuación se deduce que Por tanto la expresión de la potencia interna se expresa también como:

2 2 1 1u uuu

Q u C u CYH

g g

u uY g H

i uP Q H

Ecuación de Euler

La expresión anterior:

Se denomina ecuación de transferencia de Euler , válida para bombas, ventiladores, sopladores y compresores y representa la energía que el rodete le imparte al fluido, expresada en unidades de longitud

2 2 1 1

u u

u

u C u CYuH

g g

Cuando se trata con turbinas, es el fluido el quecede su energía al rodete. En este caso, la ecuaciónde Euler se expresa como:

Ecuación de Euler

Luego, en general:

1 1 2 2

u u

u

u C u CYuH

g g

2 2 1 1

u u

u

u C u CYuH

g g

Ecuación de Euler para turbomáquinas: signo (+) para bombas, ventiladores y

compresores y (-) para turbinas.

Rodete de una turbina de reacción

Ecuación de Euler

Hu - es la altura de Euler.

En particular, se denomina

altura útil en el caso de las

turbinas, y altura teórica en

el caso de las bombas,

ventiladores y compresores.

2 2 1 1

u u

u

u C u CYuH

g g

EJERCICIO

Determine el momento hidráulico, la potencia interna y la alturade Euler suministrada o producida por cada rodete mostrado encada caso. ¿Se trata de una bomba o de una turbina

Datos comunes: Radio externo, 300 mm; radio interno, 150 mm;Q=0.057 m3/s; n =240 rpm; ρ=1000 kg/m3.

Ecuación de Euler

¿Tuviste alguna dificultad para entender esta sesión?

¿Qué agregarías o quitarías para mejorarlo?

Ecuación de Euler

¿ De qué trató la exposición de hoy?

¿ Qué entiendes por altura en turbomáquinas?

¿ En dónde se pueden utilizar los conceptos aprendidos?

BIBLIOGRAFÍA

Mataix, Claudio. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas, ed. Harla, México, 1990.

Sotelo A., G. Hidráulica General, ed. Limusa, México 1994. Gardea V., H. Apuntes de selección de turbinas hidráulicas,

Facultad de Ingeniería, México, 1990.

Mario García. Turbomáquinas Hidráulicas, Fiee - Unac. Perú 2015.