ecuaciones de primer grado

Lic. Feliciano Olarte Lima

Índice

• Definiciones

• Resolución de ecuaciones de primer grado sencillas

• Resolución de ecuaciones con paréntesis

• Resolución de ecuaciones con denominadores

• Resolución de problemas

Identidades y ecuaciones

• Una identidad es una igualdad que se cumple siempre.

• Por ejemplo: 3a = a + a + a se cumple para cualquier valor de a.

• En cambio, una ecuación es una igualdad que sólo se cumple para algún o algunos valores.

• Por ejemplo: a + 4 = 6 sólo se cumple para a =2.

Ecuaciones de primer grado

segundo miembroprimer miembro

Una ecuación de primer grado es una igualdad formada por uno o más polinomios de primer grado y en la que la variable es una letra

llamada incógnita.

Términos de la

ecuación

Son ecuaciones de primer grado?

NO

SI

NO

Resolución de ecuaciones de primer grado

Ejemplo:• 2x +3 = 5 – x

• Pasamos cambiando de signo 2x + x = 5-3

• Hacemos las operaciones con números enteros 3x=2

• El 3 pasa dividiendo x=2/3

Mas ejemplos

    3x – 1 = 2

3x = 2+1 => 3x = 3=> x = 3/3 => x=1

2x – 5 = x + 2

2x-x =2+5=> x =7

7x – 6 + 6 = 5x + 3 + 6

7x-5x=6+3+6-6

2x=6+3=>2x=9=>x=9/2

   8 –x = 4 + 2

-x=4+2-8=>-x=6-8

=>-x=-2=>x=2

Ecuaciones con paréntesis

• Quitamos los paréntesis con la regla del producto.

- 3 ( 2x + 1 ) + 5 ·( - x + 6 ) = 7

- 6x – 3 – 5x + 30 = 7

- 6x – 5x = 7 - 30 + 3

- 11x = -20 =>

EJERCITEMOS

• 1) x + 2 = 5 Despejar la incógnita• x = 5 – 2• x = 3• 2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6• 3) 6x – 5 = 7x + 4• 4) 2(6x + 1 ) = 3x – 5• 5) 6 + 3x = 3(2x + 1)• 6) 3(-2x - 3) = -6(3x - 2)• 7) x + 2(3x - 6) = 2(x + 3) - 6( x + 1)• 8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x)• 9) -3(3x+1+4x)=-9x-1• 10) 2(-x-1)-3(x-9)=2• 11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4

• 2) - 4x + 3 - 3x + 2 = 5x + 6

• 3) 6x – 5 = 7x + 4

• 4) 2(6x + 1 ) = 3x – 5

• 5) 6 + 3x = 3(2x + 1)

• 6) 3(-2x - 3) = -6(3x - 2)

• 7) x + 2(3x - 6) = 2(x + 3) - 6( x + 1)

• 8) 2(x - 1) + 2(x + 1) = 6(x + 3) -5(2 - 7x)

• 9) -3(3x+1+4x)=-9x-1

• 10) 2(-x-1)-3(x-9)=2

• 11) 2(x+1)+2(6x+5)+9(-3x-2)=4

Ecuaciones con denominadores

• Caso: una fracción a la izquierda y otra a la derecha

3 ( x – 1 ) = 2 ( 4x – 5 )

3x - 3 = 8x - 10 =>

3x-8x = -10+3

-5x = -7 => x=7/5

• Podemos multiplicar en cruz de esta manera

• Y resolvemos como hasta ahora

Ecuaciones con denominadores

• Caso general:Más de una fracción a la izquierda y/o más de una fracción a la derecha

• Multiplicamos TODA la ecuación por el M.C.M. de los denominadores

• Primero dividimos y después multiplicamos

m.c.m. ( 6, 4 ) = 22 ● 3 = 12

6 = 2 ● 3 4 = 2 ● 2 = 22

Y el ejemplo mas complicado...

• Si tenemos números que multiplican a paréntesis

12

2512

6

52012

2

5312

4

6312

xxx

Multiplica

Multiplica por el M.C.M.

Quita los denominadores

255202536633 xxx

9x + 18x – 40x = 10 + 25 – 18 – 30

Más ejercicios....

...

...

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...

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...

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...

...

...

SIGAMOS EJERCITANDO

1) 4x + 6 = 2x + 1 3

• 2) 6x + 6 = 3x - 232 3

• 3) 2 x+ 3( x - 5 ) = 2x3 2

• 4) - 3x + 2 + 5x = 2

4 2

• 5) 6x + -2(x – 3) - -2(x + 1)= 2 3x- 4x + 45 6 2 )

(

Un aspecto a recordar

• Podemos dejar la incógnita a la derecha de la ecuación. ¡Y sigue estando bien!.

Ejemplo:

x -5 = 6x => -5 = 6x-x => -5 = 5x => -1 = x

• Lo que pasa es que podemos dar la vuelta a la igualdad así: x = -1

• ¿Sabes por qué? -1 = x =>-x = 1=> x = -1

Ejercicio: 6 = x => x = 6 -3 = -x => -x = -3 => x=3

Traducción a lenguaje algebraico

• Sea el número pedido la letra X

• El doble de un número

• El triple de un número

• El quíntuplo de un número

• La mitad de un número

• La séptima parte de un número

2X

3X

5X

X/2

X/7

Resolución de problemas

1. Identifica la incógnita

2. Plantea la ecuación.

3. Resuelve la ecuación.

4. Comprueba la solución.

5. Expresa con palabras la solución.

Segundo ejemplo

1) Identifica X: El número pedido

2) Plantea

3) Resuelve

4) Comprueba 8/2+20 =24 ; 3*8=24 =>24 = 24

5) Expresa El número pedido es el 24

x/2 20 3x

A) x/2+20=3x B) x/2=3x-20?

Calcular la mitad de un número que es 20 unidades menor que su triple.

Tercer ejemplo

1) Identifica:Precio helado :

Precio cómic:

Precio videojuego

2) Plantea:

3) Resuelve:

4) Comprueba: 11+2,2+1,1=14,3

5) Expresa:El videojuego costaba 11€, el cómic 2,20€, y el helado 1,10€

2x

5·2 x = 10x

x

Por un video juego, un comic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El video juego es cinco veces mas caro que el comic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?