Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado2º ESO – 3º ESO

Pedro Castro Ortegalasmatematicas.eu

http://lasmatematicas.eu/

La ecuación de primer grado (1)

Su forma reducida es:

Su solución es:

Un par de ejemplos:

0 0ax b a

0b

ax b ax b xa

21 79 21 0 9 21

9 3x x x x

604 60 0 4 60 15

4x x x x




La ecuación de primer grado no siempre aparece en su forma reducida. Por ejemplo:

Deberemos “arreglarla” un poco. Restamos 2x a los dos miembros de la igualdad. Una igualdad no varía si a ambos miembros le sumamos o le restamos la misma cantidad.

Ahora sumamos 5 a los dos miembros de la igualdad:

Finalmente despejamos dividiendo entre 8 los dos miembros de la igualdad. Una igualdad no varía si se dividien ambos miembros entre una cantidad distinta de cero.

5 10 2 7x x

5 10 2 2 7 2 5 8 7x x x x x

5 8 5 7 5 8 12x x

12 38 12

8 2x x x




Las ecuaciones de primer grado no son tampoco tan simples como en la diapositiva anterior. Suelen tener, también, paréntesis y/o corchetes. Por ejemplo:

Ahora, para “arreglarla”, eliminamos los paréntesis lo primero de todo. ¡Cuidado con los signos!

A continuación sumamos y restamos las cantidades necesarias a ambos miembros de la igualdad, tal y como hemos hecho en la diapositiva anterior:

Reducimos términos semejantes y finalmente despejamos la incógnita:

1 2 5 4 6 3 1 2 1 4 3 5x x x x

213 21 7

3x x x

1 10 8 12 3 3 2 1 12 20x x x x

8 3 2 12 1 20 1 10 12 3x x x x




Podemos ir un poco más allá. Hay ecuaciones de primer grado en las que aparecen fracciones, con un número en el denominador:

Ahora, lo primero que hemos de hacer es eliminar los denominadores. Para ello se multiplican todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los mismos:

Observa cómo se ha “jugado” anteriormente con las propiedades del producto. Esto se hace para que ahora todo quede así, ya sin denominadores. Sólo queda eliminar paréntesis y resolver, como antes:

3 2 1 4 53 5

4 2 6

x x xx

629 6 8 36 10 60 6 6 59 62

59x x x x x x

3 3 2 6 1 2 4 5 36 60 9 6 6 6 8 10 36 60x x x x x x x x


3 2 1 4 5 12 12 1212 12 12 12 3 12 5 3 2 1 4 5 36 60

4 2 6 4 2 6

x x xx x x x x



Ricemos el rizo y resolvamos la siguiente ecuación. Tiene paréntesis y denominadores:

Primero quitamos los paréntesis de los numeradores:

Multiplicamos todos los términos por el MCM de los denominares, que es 20, para eliminarlos. Pongámoslo directamente, sin el paso intermedio. ¿Lo ves?

Finalizamos eliminando paréntesis y todo lo demás…

3 2 2 4 13 22 3 5 1 2

5 4 2

x x xxx x

12 8 120 200 15 30 5 20 40 40 20 20 40x x x x x x

4 3 2 40 3 5 5 3 6 10 2 4 4 20 1 40x x x x x x


3 2 3 6 2 4 42 3 5 1 2

5 4 2

x x x xx x

222 3712 120 15 5 40 20 20 40 20 40 8 200 30 108 222

108 18x x x x x x x x



De esta última ya no digo nada fíjate bien en cada uno de los pasos:

7 5 5 5 7 3 15 157 5 1 2 3 4 7 5 2 4

2 2 10 4 2 2 10 4

x x x x x x x xx x


5 7 6 30 307 5 8 140 50 100 70 2 6 30 150 160

2 2 10 4

x x x xx x x x x x

140 50 100 70 12 60 150 160x x x x x

140 50 70 12 150 60 160 100 42 200x x x x x x

200 100

42 21x x



Como resumen, recuerda el procedimiento a seguir para resolver ecuaciones de primer grado.

1) Eliminar paréntesis y denominadores. A veces hay que eliminar paréntesis, luego eliminar denominadores y luego volver a eliminar paréntesis. Ya lo has visto en los ejemplos anteriores.

2) Trasponer términos: esto significa dejar todos los términos con incógnita a un lado de la igualdad y los que no tienen incógnita (los números), al otro.

3) Reducir términos semejantes.

4) Despejar la incógnita.

A veces, sobre todo si tenemos tiempo, es conveniente comprobar el resultado sustituyendo la incógnita en la ecuación original y viendo que se satisface la igualdad.



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