El Mtodo de Muller

Cabe hacer la comparacin entre el mtodo de la secante en el que las races se determinan mediante una lnea recta y el mtodo en estudio (Muller) que toma un punto de manera similar pero proyecta una parbola con tres puntos.

El mtodo trata de determinar coeficientes de los tres puntos de la parbola; dichos coeficientes pueden ser sustituidos en la frmula cuadrtica para obtener el punto donde la parbola intercepta el eje x, es decir la raz estimada. La aproximacin es fcil de escribir de manera de ecuacin de parbola.

F(x)=a(x-x2) + b(x- x2) + cec 1

Se trata de buscar los tres puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), y esos coeficientes pueden evaluarse al sustituir cada uno en:

F(x0)=a(x0-x2) + b(x0- x2) + cec 2

F(x1)=a(x1-x2) + b(x1- x2) + c ec 3

F(x2)=a(x2-x2) + b(x2- x2) + c ec 4

Fig. 1. Comparacin grfica de los mtodos de la secante y de Mller

Puede resolverse fcilmente que F(x2)= c , por lo que esas ecuaciones se representan:

F(x0)- F(x2) = a(x0-x2) + b(x0- x2) ec 5

F(x1)- F(x2) = a(x1-x2) + b(x1- x2) ec 6

Se puede definir:

H0= x1 x 1 H1=x2 -x 0

Ec 7

Sustituyendo en 5 y 6

(ho-h1)b (ho-h1)2 a = 0 h0 - 1 h1=

b h1 a h12 = h11

El resultado puede resumirse como:

Ec 8ec 9ec 10

Para encontrar la raz se puede aplicar la frmula cuadrtica de la ec 1, debido al error de redondeo se usa una formula alternativa:

Ec 11 ec 12

El mayor beneficio de este mtodo es que se pueden localizar tanto las races reales como las complejas.

El error aproximado se determina con ayuda de la ec 12 y se hace de la siguiente manera:

Con la ec 11 se produce un problema ya que se generan 2 races debido al del denominador. En este mtodo el signo cambia de acuerdo al signo de b por lo que se generan un denominador muy grande por lo tanto da la raz estimada mas cercana a x2.

Una vez que x3 es determinada el proceso se repite. Este resultado conduce a un punto que es descartado. Dos estrategias usadas son:

1-Si slo se localizan races reales elegimos dos puntos originales que se aproximan a la nueva raz estimada x3.

2- Si ambas races real y compleja han sido evaluadas, se emplea una aproximacin secuencial. Esto es parecido a mtodo de la secante, x1, x2, x3 toman el lugar de x0, x1, x2.

Ejemplo 7.2 Pg. 177 Chapra.

F(x) = x^3 13x -12

Xo = 4.5

X1 = 5.5

X2 = 5

Iteraciones

X3

Ea (%)

0

5

---------------

1

3.9765

25.7391

2

4.0011

0.6139

3

4.0000

0.0262

4

4.0000

1.7631 * 10 ^ - 5

Problema 7.3

a) F(x) = x^3 + x^2 4x - 4

Xo = 1

X1 = 1.5

X2 = 1.75

Iteraciones

X3

Ea (%)

0

1.75

---------------

1

2.0112

12.9863

2

1.999882423

0.5648

3

1.99999997

0.0059

4

2

1.3686 * 10 ^ - 6

b) F(x) = x^3 0.5x^2 + 4x - 2

Xo = 0.4

X1 = 0.6

X2 = 0.8

Iteraciones

X3

Ea (%)

0

0.8

---------------

1

0.5007

59.7750

2

0.49999

0.141817

3

0.500000

0.00100

Problema 7.4 (Incluye raices complejas)

a) F(x) = x^3 x^2 + 2x - 2

Xo = 0.25

X1 = 0.50

X2 = 0.75

Iteraciones

X3

Ea (%)

0

0.75

---------------

1

1.0402

27.8979

2

0.9983

4.1995

3

0.9999942

0.17249

4

0.9999999

5.7776 * 10 ^ - 4

b) F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8

Xo = 1.75

X1 = 2

X2 = 2.25

Iteraciones

X3

Ea

0

2.25

-----------------

1

1.1778 0.71168i

93.51

2

0.9186 0.93051i

25.94

3

0.6845 1.1251i

23.11

4

0.5381 1.2720i

15.05

5

0.5030 1.3176i

4.03

6

0.5000 1.3228i

0.43

7

0.4999 1.3229i

0.005

8

0.4999 1.322876i

1.52 * 10 ^ - 6

c) F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 2x +5

Xo = 2

X1 = 2.5

X2 = 2.75

Iteraciones

X3

Ea

0

2.75

-----------------

1

1.488 0.8219i

88.51

2

1.2052 1.1174i

24.92

3

0.8931 1.44559i

26.65

4

0.7503 1.9344i

24.54

5

1.0207 2.0602i

12.97

6

0.99658 1.9977i

2.996

7

0.999969 2.0000i

0.1819

8

0.999999 2.0000i

0.001366

Problema 7.17

ho = 0.55 0.53 = 0.02

h1 = 0.54 0.55 = -0.01

d0 = 58 19 = 1950

0.55 0.53

d1 = 44 58 = 1400

0.54 0.55

a = d1 d0 = -55000

h1 + ho

b = a h1 + d1 = 1950

c = 44

ac

b

4

2

-

= 3671.85

s

524

.

0

85

.

3671

1950

)

44

(

2

54

.

0

t

o

=

+

-

+

=

La presion es zero en 0.524 s

Cdigo del ejemplo

function polinomio = f (x)

p = x*x*x*x - 2*x*x*x + 6*x*x - 2*x + 5;

polinomio = p

0 = input('Ingrese el valor de xo : ');

x1 = input('Ingrese el valor de x1 : ');

x2 = input('Ingrese el valor de x2 : ');

es = input('Criterio de terminacion : ');

imax = input('Numero de iteraciones propuesto : ');

Muller (x0, x1, x2, es, imax);

function Muller = f(x0, x1, x2, es, imax)

ea = 0; %en el inicio del programa se ubican los contadores y los valores iniciales de los cuales se parte%

x3 = 0;

iter = 0;

while (1)

iter = iter + 1; %Aqui se cuenta el numero de iteraciones%

h0 = x1 - x0;

h1 = x2 - x1;

d0 = ( polinomio(x1) - polinomio(x0))/ h0;

d1 = ( polinomio(x2) - polinomio(x1))/ h1;

a = (d1 - d0) / (h1 + h0); %duda!!!!!

b = (a*h1) + d1;

c = polinomio(x2);

disc = sqrt( b*b - (4*a*c));

if abs(b + disc) > abs(b - disc)

den = b + disc;

else

den = b - disc;

end

x3 = x2 + ( (-2 * c) / den);

ea = abs(( x3 - x2 )/x3)*100;

if (ea < es)||( iter >= imax), break, end

x0 = x1;

x1 = x2;

x2 = x3;

end

Resultado = x3

Iteraciones = iter

Error = ea

end

Bibliografia

Mtodos Numricos para ingenieros. Chapra, Canale. Mc Graw Hill. 4ta. Edicin, Mxico.

Anlisis Numrico y Visualizacin Grfica con MatLab. Nakamura. Pearson Education. Mxico. 1997.

Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Escuela de Ingeniera en Electrnica

Mtodos Numricos

Mtodo de Mller

Profesor: Ing. Marvin Hernndez

I Semestre 2009

0= f(x1) f(x2)

x1 x2

1= f(x2) f(x1)

x2 x1

a= 0 - 1

h1 + h0

b= ah1 - 1

c = f(x2)

X3-x2 = -2c

B b 4a

X3=x2 + -2c

B b 4a

a = x3 x2

x3

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