El Problema de Deutsch en una Computadora Cuántica

El Problema de Deutsch en una Computadora

Cuantica

Alberto Monterrubio Noverola

Febrero 2004

Indice general

Indice general III

Introduccion V

1. Representacion de un Bit 11.1. Concepto logico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Concepto Fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. El qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. El Principio de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Manipulacion de Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1. Resonancia magnetica (NMR y EPR) . . . . . . . . . . . 41.5.2. Optica cuantica y trampa de iones. . . . . . . . . . . . . . 61.5.3. Fullerenes como trampas neutrales nanoscopicas para ato-

mos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4. Puntos cuanticos en semiconductores . . . . . . . . . . . . 81.5.5. Atomos entrampados en resonadores opticos . . . . . . . . 9

2. Espacios de Hilbert y Notacion de Dirac 112.1. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Funciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Compuertas Cuanticas 313.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Funciones Isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Presentacion del Problema de Deutsch 55

4.1. El problema de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. El problema de Deutsch en una computadora clasica . . . . . . . 554.3. Generalizacion a n Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii

iv INDICE GENERAL

5. Conclusiones 59

Bibliografıa 61

Introduccion

El hombre siempre ha tenido el sueno de saltar mas alto, correr mas rapido,ser el mas fuerte, o por lo menos esta es la idea de los antiguos griegos quesegun ellos deberıan ser las caracterıcticas del mejor deportista. Esta ideologıase ha trasladado a la ciencia y a la tecnologıa, como es natural hasta el mejordeportista tiene sus lımites, pero mi pregunta es ¿Cuales son los limites de lasideas, del conocimiento y de la ciencia?.

Despues del descubrimiento del fuego el hombre pudo avanzar tremenda-mente hasta el maximo desarrollo del descubrimiento mismo, de ahı pasaron aotros tipos de avances como lo son la reforma protestante y el renacimiento.

Avances ideologicos como tecnologicos como fue le revolucion francesa y larevolucion industrial. La ultima frontera en que estamos fue o es llamada latercer ola que es el avance de las computadoras, la automatizacion de procesosa traves de computadoras ¿Cual sera el siguiente paso de la humanidad?.

La tendencia de los seres humanos es tratar de avanzar. Es cierto que en losultimos 50 anos hemos vivido un avance vertiginoso en el mundo de la tecnologia;cada vez el hombre ha podido llegar mas lejos, pero es preciso avanzar en laciencia y luego trasladar los conocimientos a la tecnologıa.

La Ley de Moore establece que las velocidades de los procesadores se duplicancada 18 meses; para lograr esto se necesita comprimir mas los componentes queintegran al procesador, es decir, se aumenta el numero de transistores por chiplo que implica que cada vez se necesita menos atomos para representar a unbit. De seguir ası dentro de poco tiempo solo se necesitara un solo atomo pararepresentar a dicho bit y se muestra en la siguiente grafica que aproximadamentesera en el ano de 2017.El problema radica en que a niveles subatomicos la materiano se comporta igual, abandona las leyes de la mecanica clasica y se gobiernacon otra tipo de mecanica conocida como mecanica cuantica.

v

vi INTRODUCCION

Figura 1: Grafica de Moore.

Desde la aparicion de las primeras ideas de la mecanica cuantica esta ramade la fısica ha pasado por tres etapas de desarrollo. La primera de ellas va dePlanck a De Broglie y abarca 25 anos, esto es, desde el descubrimiento de laspropiedades ondulares de las partıculas materiales. Durante estos anos, Einsteiny Bohr desarrollaron la teorıa de luz (fotones), la primera teorıa de los fenomenosatomicos.

La segunda etapa en el desarrollo de la mecanica cuantica comenzo con eldescubrimiento de De Broglie en 1924. Dentro de un periodo excepcionalmentecorto cerca de cinco anos se creo la ”herramienta basica” de la nueva teorıa.Durante el perıodo anterior a la segunda guerra mundial

El tercer perıodo, despues de la segunda guerra mundial, presencio la ex-tension de la Mecanica Cuantica a las partıculas elementales y a la segundaforma basica de la materia, el campo. Como la vida de los hombres en general,cada teorıa tiene su ninez endeble, su juventud pujante cuando resolvio doce-nas de problemas, su madurez calmada cuando su movimiento ascendente sedetuvo y la teorıa se extendio hacia esferas cada vez mas amplias de fenemenos,moviendose hacia la tecnologıa y la industria, establecio contactos con otrasdisciplinas, y finalmente en su vejez se torna incapaz de enfrentar el reto de loshechos nuevos, descubiertos por ella misma.

Como dijimos al parecer cada ciencia tiene dos vidas. La primera tiene quever con nuevas ideas, concepciones, leyes y formulas. La segunda con su traslado

vii

al instrumental de la tecnologıa, a herramientas, instrumentos y maquinas y esen el ano de 1982 cuando aparecen las primeras ideas de lo que hoy se conocecomo computacion cuantica.

Feymann observa que ciertos efectos de la mecanica cuantica (leyes de lafısica a nivel de particular elementales) no pueden ser simulados por una compu-tadora digital, e insinua que la computacion en general puede ser eficientementemejorada aprovechando esos efectos de la mecanica cuantica.

No es hasta 1985 cuando Deutsch describe un modelo de una computadoracuantica, de alguna manera similar al que en 1936 fue propuesto como modelo dela maquina de Turing que sirvio como preambulo de las actuales computadoras.La Computacion Cuantica llamo poderosamente la atencion cuando P. Shor (deATT lab.) descubrıa un algoritmo polinomial para factorizar enteros (1994) quecorre en una computadora cuantica (pues uno de los algoritmos mas popularesde decodificar (RSA) se basa en la suposicion de que es difıcil factorizar enteros).

En la presente tesis trataremos de analizar dicho comportamiento a traves delas matematicas, veremos como se comporta un qu-bit, trataremos de explicarpor medio de los espacios de Hilbert que sucede al ser observado el qubit ypor ultimo trataremos de mostrar la superioridad de la computacion cuantica ala computacion clasica generalizando el Problema de Deutsch a n qubits, peroantes daremos un conjunto de normas y propiedades para dar un panorama dela computacion cuantica.

viii INTRODUCCION

Capıtulo 1

Representacion de un Bit

1.1. Concepto logico

¿Que tan importante es un bit, en el mundo de las computadoras? es desuma importancia ya que gracias a este es como funcionan las computadoras, elconcepto logico de un Bit es el de representar a un 1 o a un 0 , es decir, si o no,Cierto o Falso. Por que las instrucciones que entiende una computadora son unconjunto de bit’s que son manipulados por compuertas logicas como son:

AND

OR

NOT

A continuacion mostramos la tablas de verdad de cada una de las compuertaslogicas

1.2. Concepto Fısico

En la presente Tesis es importante entender que un bit solo puede repre-sentar a un solo estado a la vez, es 1 o es 0 pero no los dos al mismo tiempo.

Cuadro 1.1: Compuerta logica:AND

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

1

2 CAPITULO 1. REPRESENTACION DE UN BIT

Cuadro 1.2: Compuerta logica:OR

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Cuadro 1.3: Compuerta logica:Not

p 6 p0 11 0

Hasta aquı hemos visto una forma de percibir al bit pero es importante senalarque tenemos que interpretar al bit en un mundo real, tenemos que buscar unfenomeno fısico que pueda representar al bit dicho tal fenomeno es la corrienteelectrica; para representar a un 1 se necesitan enviar 5 volts a las compuertaslogicas y para representar a un 0 se necesitan 0 volts.

1.3. El qubit

Desde los inicios de la computacion el concepto logico del bit no ha cambiadoen nada, ya que desde las tarjetas perforadas hasta nuestros dıas, consiste enrepresentar fısicamente a dos estados uno excluyente del otro y viceversa, esdecir, o es uno o es cero pero no los dos al mismo tiempo, los avances importantesque hemos vivido hasta nuestra era es la representacion de fısica, desde Maquinasmecanicas, pasando por bulbos hasta circuitos integrados.

Pero no es hasta 1982 que nace la idea de Feyman que consiste en aprovecharel spin de un electron para representar a un bit, esto implica intrınsicamente encambiar el concepto logico del bit y nace el qubit, que es una aberracion logicaya que p ∧ ¬p es cierto, es decir, es y no es al mismo tiempo; Esto radica enla propiedad del spin del electron. El spin se puede representar como el giroconstante del electron, este giro matematicamente lo vamos a representar encoordenadas polares ya que este giro los hace en circulos u ondas; a diferen-cia del bit los qubit son realmente libres de estar en cualquier estado ya quecomo dijimos anteriormente su giro es constante pero al ser observados o me-didos se colapsan y lo podemos medir en un solo estado, es decir, tenemos quesumar todos sus estados para saber la inclinacion del giro multiplicado por laprobabilidad de ser observado.

1.4. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 3

El bit cuantico, llamado qubit, es almacenado en estados cuanticos de unsistema fısico, que entre otros podrıa ser definido por un atomo en uno dedos estados de su espın nuclear, o por un foton en uno de sus dos estados depolarizacion.

En terminos de alisis vectorial se define un qubit como vector unitario en elespacio complejo Hilbert de dos dimensiones, en que se fija una base particu-lar de forma {|0〉 , |1〉}. Tal base ortonormal {|0〉 , |1〉} puede corresponder enterminos mecanico-cuanticos a estados de polarizacion |+〉 y |−〉 de un foton,respectivamente, o a las direcciones de spin-up y spin-down de un electron.Todas las mediciones se realiza con referencia a esta base estandar para com-putacion cuantica {|0〉 , |1〉}. Para fines de la computacion cuantica los estadosbase {|0〉 , |1〉} representan los valores bit clasicos 0 y 1, respectivamente.

1.4. El Principio de Incertidumbre

Como hemos visto hasta ahora hay diferencias marcadas entre el bit y elqubits, desde el mismo hecho, que los estados que pueden estar, hasta su me-dicion. Como vimos el bit puede representar un estado excluyente del otro, yel qubit puede representar los dos al mismo tiempo, aunque el qubit tiene otroingrediente muy importante. Cuando nacen las primeras ideas de la mecanicacuantica, porque la fisica clasica se vio imposibilitada en responder los resul-tados de algunos experimentos, uno de estos fue el experimento de difraccionde los electrones. El cual consistıa en que un haz de electrones chocaban conun cristal (o con una cubierta de metal muy delgada). Los electrones del hazse difractaban sobre los atomos del cristal e imprimıan una placa fotograficanublandola y dejando anillos de difraccion. En si este experimento es lanzar aun electron en contra de una superficie y lo que se esperaba es que se comportaracomo una partıcula, es decir, que la fotografıa solo tuviera un punto en el centrolo cual no sucedıa puesto viajaba en forma de ondas, al parecer los electrones nose gobiernan con las leyes de la fısica clasica si no por probabilidades, entoncestenemos que los anillos oscuros donde la mayorıa de los electrones chocaron,pero no todos los electrones cayeron ahı.

Hay ciertos lugares grises entre las secciones mas oscuras y las mas claras.Un numero medio de electrones cayeron en estas porciones. Es decir la MecanicaCuantica no dice que existen mayores probabilidades que los electrones caiganen los anillos negros, existen menos probabilidades que caigan en las seccionesgrises, y es muy difıcil que caigan en los anillos claros. En fısica clasica el usode consideraciones probabilısticas nos es ajeno; el movimiento de cada partıculao cuerpo se considera rigurosa y exactamente determinado por las fuerzas ac-tuantes sobre el. Podemos predecir con absoluta certeza la posicion y velocidadde un cuerpo en cada instante de tiempo, un segundo despues o un millon deanos despues, si nosotros conocemos las fuerzas que acuan sobre el y la posiciondel cuerpo en el tiempo de referencia a partir del cual se empieza el calculo.


Porque al resolver las ecuaciones de movimiento de sistema con fuerzas da-das, para obtener la posicion y el impulso de una partıcula para todo el valor deltiempo. Todo lo que se necesita conocer es la posicion e impulso de la partıculapara algun valor del tiempo, t = 0 (las condiciones iniciales), y el movimientofuturo sera determinado exactamente. Esta mecanica ha sido utilizada con granexito en el mundo macroscopico, en astronomıa por ejemplo, para la medicionprecisa de la posicion de la Luna, se hace rebotar ondas de radar en ella. Elmovimiento de la Luna es perturbado por la medicion, pero su masa es tangrande que la perturbacion no afecta y se puede ignorar. En una escala maspequena, como un experimento macroscopico bien desenado sobre la Tierra, di-chas perturbaciones son generalmente muy pequenas o al menos, controlables yse pueden tomar en cuenta de antemano por calculos adecuados.

1.5. Manipulacion de Qubits

Hasta la fecha lamentablemente no existe todavıa una tecnologıa para laconstruccion de una computadora cuantica competitiva, y casi toda la inves-tigacion en computacion cuantica no ha dejado el plano teorico, aunque haydemostraciones de su funcionamiento a un nivel basico, manipulando hasta 7qubits. Los investigadores estan tratando de comprender a los atomos; actual-mente los cientıficos estan manipulando a los electrones de 5 formas:

Resonancia magnetica.

Optica cuantica y trampa de iones.

Fullerenes como trampas neutrales nanoscopicas para atomos.

Puntos cuanticos en semiconductores.

Atomos entrapados en resonadores opticos.

1.5.1. Resonancia magnetica (NMR y EPR)

La resonancia magnetica nuclear (NMR) y la resonancia de electrones pa-ramagnetica (EPR) son tecnicas de espectroscopia clasicas y semejantes en susprincipios fısicos que se utilizan en la fısico-quımica para el estudio de propie-dades espectroscopias de atomos y moleculas con espın impar. La resonanciamagnetica nuclear detecta campos magneticos, en que ciertos nucleos estan enresonancia con un campo electromagnetico de una predeterminada frecuencia.Cualquier nucleo con espın tiene un momento magnetico, y su energıa corres-ponde en el campo externo B a

Em1 = −gIµNmIB

donde I = numero cuantico del espın; mI = proyeccion del momento magnetico;gI= factor g nuclear, µN = magneton nuclear. La condicion de resonancia para

1.5. MANIPULACION DE QUBITS 5

la transicion de (por ejemplo) un proton de su estado espın inferior (a) a suestado espın superior (b), es decir, de su orientacion paralela con el campoexterno a antiparalela es

hn = [gIµNmIB

2− (−gIµNmIB

2)] = gIµNmIB

Las dos orientaciones corresponden a dos estados cuanticos con diferenteenergıa, que naturalmente representa un qubit . Se podrıa pensar, que el espınparalelo define el estado |1〉, y el espın antiparalelo el estado |0〉. La energıadel espın paralelo es inferior a la energıa del espın antiparalelo por un valor,que determina el campo magnetico externo. La aplicacion de un campo elec-tromagnetico de frecuencia n, que esta relacionado con el campo magneticoexterno, y las propiedades cuanticas de la partıcula considerada, puede causarque ciertos espines hagan transiciones entre diferentes estados. Utilizando uncampo magnetico externo de 7T resulta en una frecuencia de resonancia de 300MHz. Corresponde al rango de radiofrecuencia, en que se puede controlar, y porlo tanto programar la orientacion de espines nucleares.

Figura 1.1: Una computadora de 7 qubit.

La imagen solo es una representacion de la interaccion entre los nucleos dela misma molecula; que es una caracterıstica indispensable para la computacioncuantica. Resulta que con dos espines nucleares es posible construir una puertalogica (CNOT-gate) controlada, la unidad basica de cualquier computadora.

Encontrar moleculas grandes con suficientes atomos, es decir suficientes qu-bits, no representa un problema. El problema surge del hecho, que en la medida,como crece la molecula, las interacciones entre los espines mas distantes final-mente llegan a ser demasiado debiles para formar un CNOT-gate confiable.


Mientras el NOT-gate intercambia los dos estados base |0〉 y |1〉 de un qubit(en formulas N |0〉 = |1〉, y N |1〉 = |0〉), el CNOT-gate actua sobre el estadode sistemas con dos qubits. Si el primer qubit se encuentra en el estado |0〉, elestado del segundo registro (qubit) no sera cambiado. Si el estado del primerqubit es 1, se intercambia el estado |0〉 con el |1〉 en el segundo qubit.

La computacion cuantica comprende en su esencia tres pasos:

cargar el conjunto de las moleculas especiales con las condiciones iniciales,por ejemplo |00, · · · 0〉

aplicar operaciones logicas a las superposiciones enredadas para modificarlos qubits

leer o bien detectar el resultado final.

El primer paso comprende una serie de pulsos de radiacion electromagneticaen el rango de radiofrecuencias para transformar los numeros en nucleos en lamuestra de moleculas en un conjunto, que tiene sus espines orientados correc-tamente. Sigue en el segundo paso una modificacion secuencial de los qubits,es decir, se lleva los logic gates a los qubits a traves de ciertas manipulacionesNMR. Finalmente se detectan las resonancias del sistema en su estado final. Enesencia, el programa que se ejecuta es compilado en una serie de pulsos de radio-frecuencia. La velocidad o bien el tiempo efectivo de un ciclo es determinadopor la velocidad menor, con que espines cambian su orientacion. Estos procesosen el rango de milisegundos son sumamente lentos comparados con la velocidadmedida en Gigahertz de computadoras comunes.

La ventaja de la computadora cuantica surge de un paralelismo masivo delos calculos, que a pesar de los largos tiempos para un ciclo de reloj los ha-ce por ordenes de magnitud superior a las supercomputadoras mas avanzadas.Encontrar los numeros primos de un numero con 400 dıgitos ocuparıa una su-percomputadora existente por varios mil millones de anos, una computadoracuantica resolverıa el problema en apenas un ano.

1.5.2. Optica cuantica y trampa de iones.

Con la tecnica de enfriamiento por laser se puede preparar el estado basede atomos sencillos encerrados en trampas |00 · · · , 0〉. Pulsos de laser permitenentonces la manipulacion de los estados internos de estos atomos frıos. Conmetodos de la electrodinamica de cavidades se logra una interaccion coherente deciertos fotones con atomos. Mientras el primer paso corresponde a la compuertade un bit gate, el segundo implica ya una compuerta de dos bits.

Particular interes ha encontrado una computadora cuantica, que se basa enla interaccion de luz de laser con cadenas de iones enfriados.


Figura 1.2: Trampa de iones.

El qubit es almacenado en una superposicion de dos estados energeticos masestables seleccionados de un cierto ion, donde los estados |0〉 y |1〉 del qubitpodrıan ser representados por los estados basicos ZEEMAN de un ion.

Para la realizacion de un CNOT-gate tienen que interactuar los iones enmodo controlado, (por ejemplo, interaccion coulombiana). Las relaciones de losiones corresponde a modos discretos. El estado de oscilacion de la cadena deiones puede ser preparado por el enfriamiento laser, que a su vez permite el’enredado’ entre los iones dentro de la trampa. La realizacion de un CNOT-gatecuantico sigue el mismo esquema mencionado anteriormente (NMR).

La deteccion de los estados bit de los iones al final de una operacion decalculo se realiza con el metodo de brincos cuanticos: La cadena de iones esirradiada con luz de energıa correspondiente, provocando luz fluorescente de union en estado |1〉, mientras el estado |0〉 no emite.

1.5.3. Fullerenes como trampas neutrales nanoscopicas pa-ra atomos

Fullerenes representan una opcion reciente para elementos de construccionde una computadora cuantica. Las moleculas fullerenes son fabricados de talforma, que contienen en su espacio hueco atomos de nitrogeno o fosforo


Figura 1.3: Moleculas de Fullerenes.

Estos complejos endohedrales poseen electrones paramagneticos (s2p5), queinteractuan tanto entre sı (acoplamiento espın-espın) como con los espines delos nucleos atomicos (acoplamiento hiperfino). Los qubits estan almacenados enlos espines nucleares de los atomos encerrados en los fullerenes, mientras losespines de los electrones paramagneticos intermedian la interaccion entre losfullerenes vecinos. Los espines de electrones son controlados por pulsos en elrango de radiofrecuencia (EPR), y de los nucloes por microondas (NMR). Losp-electrones localizados en la molecula C60 generan una jaula tipo FARADAYalrededor del atomo encapsulado.

La lectura del estado cuantico despues del calculo puede realizarse a traves deun micro-SQUID o tambien con un microscopio de fuerza resonante magnetica.

1.5.4. Puntos cuanticos en semiconductores

Tras haber surgido como curiosidad cientıfica hace apenas 10 anos, los puntoscuanticos se han posicionado como bloques de construccion para una industriananoelectronica del futuro.

Los puntos cuanticos se forman como estructura material en sistemas metali-cos, y contienen un pequeno pero bien definido numero de electrones. Este nume-ro puede ser controlado a traves de campos electroestaticos, modificandolo entrecero y cientos de electrones.

La presencia de un espectro de energıas electricas discretas en los puntos


cuanticos es unico en todos los sistemas en estado solido (de ahı su sobrenombre”atomos artificiales.”)

Figura 1.4: Ancho de las compuertas cuanticas.

Por un lado permiten, los puntos cuanticos, encerrar en forma controladaun cierto numero de electrones, formando estados cuanticos de moleculas o ato-mos artificiales, y por otro se logra la fabricacion de arreglos geometricos depuntos cuanticos por la tecnica de auto-ensamble a distancias mutuas de pocosnanometros. Las condiciones para la operacion de una computadora cuantica,el control y la lectura de estados espın de los electrones, y la interaccion de losestados cuanticos de los puntos cuanticos vecinos, se cumplen.

1.5.5. Atomos entrampados en resonadores opticos

Una red cuantica con atomos dentro de resonadores opticos y un canal defibra optica para la interaccion entre los resonadores es un esquema mas para elestudio de operaciones cuanticas


Figura 1.5: Resonadores.

El qubit es almacenado en el nivel base de un atomo de tres niveles. Unproceso RAMAN transfiere el qubit al modo de oscilacion del resonador. Supo-niendo que el atomo A se encuentra en el estado |0〉, no puede detectar el pulsode laser en la transicion |1〉 → |r〉, y se mantiene en el estado |0〉. Si el atomo seencuentra en el estado |1〉, entonces el pulso laser lo transfiere al estado |0〉 con laemision de un foton coherente. Este foton se propaga a traves de la fibra opticaal segundo resonador, donde en su estado superpuesto puede transformarse enun estado qubit del atomo B.

Capıtulo 2

Espacios de Hilbert yNotacion de Dirac

2.1. Espacios de Hilbert

Como ya hemos dicho el movimiento del atomo lo podemos representar porvectores que se encuentran en un espacio sobre los numeros complejos ya quequeremos representar los giros del atomo, es decir, su spin.

Por lo cual es necesario tener bien claro lo siguiente, que los qubits tienensu propio campo y son regidos por la propiedades de los Espacios de Hilbert

Definicion 1 .- Un espacio vectorial sobre C es un conjunto H junto con dosfunciones H ×H −→ H,C×H −→ H y un elemento 0 ∈ H tales que

1. Si φ, ψ ∈ H entonces

φ+ ψ = ψ + φ

2. Si φ, ψ, χ ∈ H entonces

(φ+ ψ) + χ = φ+ (ψ + χ)

3. Si φ ∈ H entonces

φ+ 0 = φ

4. Si φ ∈ H entonces

∃ − φ ∈ H

tal que φ+ (−φ) = 0

11

12 CAPITULO 2. ESPACIOS DE HILBERT Y NOTACION DE DIRAC

5. Si a, b ∈ C y φ, ψ ∈ H entonces

a · (φ+ ψ) = a · φ+ a · ψ(a+ b) · φ = a · φ+ b · φa · (b · ψ) = (ab) · ψ1 · φ = φ

Como observacion podemos decir que los elementos de H se llaman vecto-res, + se llama suma de vectores, · se llama multiplicacion por escalares, estosescalares son numeros complejos.

Ejemplo 1 Los espacios de Hilbert representan las propiedades de los vectoresde n dimensiones; aunque nuestra imaginacion hasta el momento solo ha podidodibujar vectores de tres dimensiones, nada nos impide utilizar vectores de masde tres dimensiones aunque no las podamos representar gra ficamente.

Cn =

a1

a2

...an

| aj ∈ C

es un espacio vectorial sobre Cn pero no podemos aceptar dicha aseveracion sinpor lo menos cumplir las siguientes propiedades.

Suma:

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

=

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

Multiplicacion:

b ∈ Cn, b ·

a1

a2

...an

=

ba1

ba2

...ban

2.1. ESPACIOS DE HILBERT 13

ademas tiene que existir el cero

0 =

01

02

...0n

∈ C

n

A continuacion presentamos las demostraciones de los siguientes incisos

1. si φ, ψ ∈ H entonces

φ+ ψ = ψ + φ

si φ =

a1

a2

...an

∈ C

n y ψ =

b1b2...bn

∈ C

n

Empezamos

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

=

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

Por otro lado

b1b2...bn

+

a1

a2

...an

=

b1 + a1

b2 + a2

...bn + an

Como

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

=

b1 + a1

b2 + a2

...bn + an


.:

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

=

b1b2...bn

+

a1

a2

...an

es decir

φ+ ψ = ψ + φ

2. Si φ, ψ, χ ∈ H entonces

(φ+ ψ) + χ = φ+ (ψ + χ)

si φ =

a1

a2

...an

, ψ =

b1b2...bn

y χ =

c1c2...cn

∈ C

n

Empezamos

(φ+ ψ) + χ =

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

+

c1c2...cn

=

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

+

c1c2...cn

=

a1 + b1 + c1a2 + b2 + c2

...an + bn + cn

=

a1

a2

...an

+

b1 + c1b2 + c2

...bn + cn

=

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

c1c2...cn

= φ+ (ψ + χ)

.: (φ+ ψ) + χ = φ+ (ψ + χ)


5) si a, b ∈ C y φ, ψ ∈ H

1. a · (φ+ ψ) = a · φ+ a · ψEntonces

a ·

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

= a ·

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

=

a(a1 + b1)a(a2 + b2)

...a(an + bn)

Por otro lado

a ·

a1

a2

...an

+ a ·

b1b2...bn

=

a · a1

a · a2

...a · an

+

a · b1a · b2

...a · bn

= a ·

a1

a2

...an

+

b1b2...bn

= a ·

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

=

a(a1 + b1)a(a2 + b2)

...a(an + bn)

.:a · (φ+ ψ) = a · φ+ a · ψ

2. (a+ b) · φ = a · φ+ b · φsi a, b ∈ Cn y φ ∈ HEntonces


(a+ b) ·

a1

a2

...an

=

(a+ b)a1

(a+ b)a2

...(a+ b)an

Por otro lado

a ·

a1

a2

...an

+ b ·

a1

a2

...an

=

a · a1

a · a2

...a · an

+

b · a1

b · a2

...b · an

=

(a+ b)a1

(a+ b)a2

...(a+ b)an

.:(a+ b) · φ = a · φ+ b · φ

3. a · (b · φ) = (ab) · φsi a, b ∈ Cn y φ ∈ H

Entonces:

a ·

b ·

a1

a2

...an

= a ·

ba1

ba2

...ban

=

abc1abc2

...abcn

Por otro lado

(ab) ·

a1

a2

...an

=

aba1

aba2

...aban

.:a · (b · φ) = (ab)φ


4. 1 · φ = φ

si φ =

a1

a2

...an

Entonces

1 ·

a1

a2

...an

=

a1

a2

...an

.:1 · φ = φ


2.2. Notacion de Dirac

Como hemos visto hasta ahora es realmente engorroso trabajar con los qu-bits en forma de vectores en C2 ya que dificulta las operaciones y sin mencionarque aumentamos la posibilidad de equivocarnos en las mismas; por eso a conti-nuacion empezaremos a utilizar la notacion del fısico ingles Paul Dirac.

Dirac al ver que para conocer el estado de un qubits es necesario la multipli-cacion de un vector fila por un vector columna decidio llamar al vector columnacomo ”kets” |φ〉 y al vector fila como ”bra ” 〈φ| , Pero al ponerlos juntos 〈φ|φ〉se conocen como bracket

Definicion 2 (Notacion de Dirac) Los elementos no cero de un espacio vec-torial complejo se denotan como |φ〉 Tales etiquetas se llaman KETS. Un ele-mento |φ〉 ∈ C2 tal que 〈φ|φ〉 = 1 se llama qubit.

Utilizando la notacion de Dirac podemos definir al ket cero como una matriz

de C2, |0〉 =

(10

)por convencion se ha dicho que el ket cero es el spin

observado del atomo hacia abajo y el spin del atomo observado hacia arriba

se llama ket 1; |1〉 =

(01

)precisamente un kets representa el estado de una

partıcula; Como se ha dicho desde el primer capıtulo es importante notar queun solo qubit puede representar a dos elementos al mismo tiempo; tal sistematiene a dos kets basicos que puede describir el estado de un ket como sigue:

|φ〉 = ω0|0〉+ ω1|1〉

= ω0

(10

)+ ω1

(01

)

=

(ω0

ω1

)

2.3. Superposicion

Para la computacion cuantica la propiedad que mas le interesa de los atomoses la dualidad de partıculas-ondas. Esta se define como la mezcla simultanea detodos los posibles estados que un qubit que puede tener, si nos imaginamos aatomo como una partıcula que esta contenida en una esfera, la superposicionseria ver moviendose dicha partıcula por toda la esfera casi al mismo tiempo.

Teorema 1 Probaremos que si a, b ∈ C

2.3. SUPERPOSICION 19

a|0〉+ b|1〉 es qubit ⇐⇒ |a|2 + |b|2 = 1

a|0〉+ b|1〉 ⇐⇒⟨a

(10

)+ b

(01

)|a(

10

)+ b

(01

)⟩= 1

⇐⇒⟨(

ab

)|(ab

)⟩= 1

⇐⇒ aa+ bb = 1

⇐⇒ |a|2 + |b|2 = 1

. : a|0〉+ b|1〉 es un qubit ⇐⇒ |a|2 + |b|2 = 1

Como podemos notar tanto el |0〉 como el |1〉 forman una base de C2, es decir,|0〉, |1〉 son un conjunto linealmente independiente y ademas generan al espacio,es de suma importancia dejar bien en claro que generan al espacio ya que alpoder entenderlos en particular podrıamos trasladar dichos conocimientos engeneral y ası crear maquinas confiables donde podamos aprovechar las ventajasindudables del spin de los eletrones; para demostrar que un conjunto es basede un espacio necesitamos saber dos cosas: que son linealmente independienteentre si y que general al espacio, primero demostraremos que son linealmenteindependientes.

Ejemplo 2 Supongamos a|0〉+ b|1〉 = 0 =

(00

)

=⇒ a

(10

)+ b

(01

)=

(00

)

=⇒(a0

)+

(0b

)=

(00

)

=⇒(ab

)=

(00

)

=⇒ a = b = 0

es decir |0〉 y |1〉 Son linealmente independiente; ahora veremos que general alespacio.

Si

(ab

)∈ C2


(ab

)= x|0〉+ y|1〉

= x

(10

)+ y

(01

)

=

(xy

)

(ab

)=

(xy

)

=⇒ a = x , b = y

es decir |0〉 y |1〉 es generador del espacio.: |0〉 y |1〉 son base del espacio.

Pero los |0〉 y |1〉 no es bases unıca, tambien contamos con el conjunto llama-

do base de Hadamard formado por{

1√2(|0〉+ |1〉), 1√

2(|0〉 − |1〉)

}a continua-

cion tambien exponemos su demostracion. Primeramente mostraremos que sonlinealmente independientes; empezamos.

a

(1√2

(|0〉+ |1〉))

+ b

(1√2

(|0〉 − |1〉))

=

(00

)

a

(1√2

(11

))+ b

(1√2

(1−1

))=

(00

)

1√2

(a

(11

)+ b

(1−1

))=

(00

)

(ab

)+

(b−b

)=

(00

)

(a+ ba− b

)=

(00

)

de aquı tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

a+ b = 0

a− b = 0

si sustituimos la segunda ecuacion en la primera tenemos que

b+ b = 0

2b = 0

b = 0

=⇒ a = 0

2.3. SUPERPOSICION 21

como a = b = 0. : 1√

2(|0〉 + |1〉), 1√

2(|0〉 − |1〉) son linealmente independientes, ahora solo

falta mostrar que generan al espacio;

sea cualquier

(ab

)∈ C2

(ab

)= x

(1√2

(|0〉+ |1〉))

+ y

(1√2

(|0〉 − |1〉))

(ab

)= x

1√2

(11

)+ y

1√2

(1−1

)

(ab

)=

1√2

((xx

)+

(y−y

))

(ab

)=

1√2

(x+ yx− y

)

(ab

)=

(1√2

(x+ y)1√2

(x− y)

)

de aquı tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con dos incognitas

1√2

(x+ y) = a =⇒ x+ y = a√

2

1√2

(x− y) = b =⇒ x− y = b√

2

resolvemos por el metodo de Gauss;

(1 1 a

√2

1 −1 b√

2

)∼

(−1 −1 −a

√2

1 −1 b√

2

)∼(

1 0 a√

2−√

2(b−a)2

0 −1√

2(b−a)2

)

(−1 −1 −a

√2

0 −2 b√

2− a√

2

)∼

(−1 −1 −a

√2

0 −1 (b−a)√

22

)

x = a√

2−√

2(b− a)

2

=√

2

(a− (b− a)

2

)

=√

2

(2a− b+ a

2

)

=√

2

(3a− b

2

)

y = −√

2(b− a)

2


de aqui podemos expresar a

(ab

)como combinacion lineal de 1√

2(|0〉 + |1〉)

y 1√2(|0〉 − |1〉)(ab

)=

√2

2(3a− b) 1√

2(|0〉+ |1〉) +

−√

2

2(b− a)

1√2

(|0〉 − |1〉)

=(3a− b)

2(|0〉+ |1〉)− (b− a)

2(|0〉 − |1〉)

es decir general al espacio y como son linelamnet independientes.: 1√

2(|0〉 + |1〉) y 1√

2(|0〉 − |1〉) forman una base de C2

2.4. Funciones Lineales

A partir de aquı ya sabemos identificar bases de los qubits, pero es imperantesaber las funciones que podemos aplicar a los mismos, como hemos trabajadodaremos las definiciones y mostraremos unos ejemplos.

Definicion 3 (Funcion Lineal) Supongase H1 y H2 son dos espacios vecto-riales complejos.

Una funcion A : H → H2 se llama Lineal si cumple con las dos siguientescondiciones:

1. |ϕ〉 , |ψ〉 ∈ H1 =⇒

A (|ϕ〉+ |ψ〉) = A |ϕ〉+A |ψ〉

2. b ∈ C y |ϕ〉 ∈ H1 =⇒

A (b |ϕ〉) = bA |ϕ〉

Estas propiedades pudiesen ser vistas obvias pero no lo soy como mostrare-mos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3 Estas funciones no son lineales como veremos:

Sen : C −→ C Sen(x+ y) 6= Senx+ Senyy tambienCos : C −→ C Cos(bx) 6= bCos(x)

2.4. FUNCIONES LINEALES 23

Ejemplo 4 Tenemos una funcion, digamos que invierte las entradas en unamatriz

Sea H1, H2 ∈ C2

X : C2 −→ C2

X

(ab

)=

(ba

)

Veremos que esta es una funcion lineal, desmostrando la primer condicion:

X

((a1

b1

)+

(a2

b2

))= X

(a1 + a2

b1 + b2

)

=

(b1 + b2a1 + a2

)

Por otro lado

X

(a1

b1

)+X

(a2

b2

)=

(b1a1

)+

(b2a2

)

=

(b1 + b2a1 + a2

)

hasta aqui hemos probado que se cumple la primer condicionSi b ∈ C

X

(b

(cd

))= X

(bcbd

)

=

(bdbc

)

Por otro lado

b

(X

(cd

))= b

(dc

)

=

(bcbd

)

es decir X

(b

(cd

))= b

(X

(cd

))

. : X es Lineal


Definicion 4 (Producto Hermitiano) Un producto interno sobre un espaciovectorial H es una funcion 〈 | 〉: H ×H → C(bracket) tal que

1. a, b ∈ C;φ, ψ ∈ H →

〈φ|a`+ bψ〉 = a 〈φ|`〉+ b 〈φ|ψ〉

2. φ, ` ∈ H →

〈φ|`〉 = 〈`|φ〉

3. φ ∈ H →

〈φ|φ〉 ∈ R y 〈φ|φ〉 ≥ 0

4. 〈φ|φ〉 = 0⇐⇒

φ = 0

Ejemplo 5

H ∈ Cn =

z1

z2

...zn

|zi∈C,i=1,...,n

H Tiene el siguiente producto interno

⟨

a1

a2

...an

|

bb...b

⟩= a1b1 + a2b2 + ...+ anbn

Ejemplo 6 Supongase que A : H1−→H2 es lineal y queB1 = {|φ1〉, |φ2〉, ..., |φm〉} base de H1

B2 = {|ψ1〉, |ψ2〉, ..., |ψn〉} base de H2

A|φ1〉 = α11|ψ1〉+ α21|ψ2〉+ ...+ αn1|ψn〉A|φ1〉 = α11|ψ1〉+ α21|ψ2〉+ ...+ αn1|ψn〉A|φ1〉 = α11|ψ1〉+ α21|ψ2〉+ ...+ αn1|ψn〉

...

A|φn〉 = α1m|ψ1〉+ α2m|ψ2〉+ ...+ αnm|ψn〉


Definicion 5 .- La Matriz

[A]B2

B1=

α11 α12 · · · α1m

α21 α22 · · · α2m

...... · · ·

...αn1 αn1 · · · αnm

se llama la matriz asociada a A con respecto a las bases B1 y B2 recordamosque dimension de un espacio vectorial H es el numero de elementos de cualquierbase n = dimH

Ejemplo 7 Si A : H1 → H2 lineal y

B1 = {|ϕ1〉 , |ϕ2〉 , · · · , |ϕm〉} base de H1

B2 = {|ψ1〉 , |ψ2〉 , · · · , |ψn〉} base de H2

Entonces∀β1,β2, · · · , βm ∈ C, ∃ζ1, ζ2, · · · , ζn ∈ C

tales que

A(β1 |ϕ1〉+ β2 |ϕ2〉+ · · ·+ βm |ϕm〉) = ζ1 |ψ1〉+ ζ2 |ψ2〉+ · · ·+ ζn |ψn〉

⇐⇒ [A]B2

B1

β1

β2

...βm

=

ζ1ζ2...ζn

Ejemplo 8 X : C2 → C2, X

(ab

)=

(ba

)es lineal

sus bases son :

B1 = {|0〉 , |1〉}B2 = {|0〉 , |1〉}

Luego desconocemos a la matriz asociada a A con respecto a las bases B1 yB2 [A]

B2

B1=?

pero

X |0〉 = |1〉 = 0 |0〉+ 1 |1〉X |1〉 = |0〉 = 1 |0〉+ 0 |1〉


de aqui tenemos que:

[X]B2

B1=

[0 11 0

]

ademas que (0 11 0

)(ab

)=

(ba

)

como vemos en este ejemplo las trasformaciones lineales se pueden identificarcon matrices. abusando de la notacion A = [A]

B2

B1

Ejemplo 9 P : C2 → C, P

(ab

)= a es lineal

demostracion:

1)P

((ab

)+

(a1

b1

))= P

(a+ a1

b+ b1

)

= (a+ a1)

Por otro lado

P

(ab

)+ P

(a1

b1

)= a+ a1

= (a+ a1)

. : P

((ab

)+

(a1

b1

))= P

(ab

)+ P

(a1

b1

)

2)αP

(ab

)= α(a)

Pα

(ab

)= P

(αaαb

)= αa

. : αP

(ab

)= Pα

(ab

)es decir P : C2 → C es lineal.

Ahora pensemos que queremos encontrar la matriz asociada para este ejemplopaso(1) necesitamos una base para C2 la cual puede ser la base canonica.


Ejemplo 10 B1 =

{(10

),

(01

)}

y otra para C ponemos la base B2 = {(1)} queremos calcular [P ]B2

B1=?

P |0〉 = 1 = (1) (1)

P |1〉 = 0 = (0) (1)

=⇒ [P ]B2

B1= (1, 0)

y asi tenemos que

(1, 0)

(ab

)= a

Definicion 6 Sea H un espacio vectorial complejo. Un funcional lineal es unafuncion

F : H → C

Sea H = {F : C→ C|Ffuncion} . El conjunto H es espacio vectorial consuma dada por:

F ∈ H,G→ H

F +G : C→ C, (F +G)(z) = F (z) +G(z)

y producto por un escalarF ∈ H, y a ∈ C

aF : C→ C, (aF )(z) = cF (z)

se define:

δ : H → C Afirmamos que δ esfuncional lineal.

Ahora bien, probaremos dicha aseveracion :

1.δ(f + g) = (f + g)(0)

= f(0) + g(0)δ(f + g) = δf + δg

2.αδ(f) = αf(0)

= αδ(f)

por otro lado

δα(f) = δ(αf)

= αf(0)

.: por i) y ii) es funcional lineal.


Definicion 7 .- Sea H un espacio vectorial complejo con base B1 = {|ϕ1〉 , |ϕ2〉 , · · · , |ϕn〉}pongamos i fijo, 1 ≤ i ≤ n. se definen

Ei : H → C,α |ϕ1〉+ |ϕ2〉+ · · ·+ |ϕn〉 7−→ αi i esima proyeccion escalar

Pi : H → H,α |ϕ1〉+ |ϕ2〉+ · · ·+ |ϕn〉 7−→ αi |ϕi〉 i esima proyeccon

Las proyecciones escalares E1, E2, · · · , En son funcionales lineales y las Pison lineales.

Calcularemos formulas para las proyecciones de H = Cn, H tiene como basecanonica

B =

e1 =

10...00

, e2 =

010...0

, · · · , en =

0......01

Calculemos P1, P2, · · · , Pn y E1, E2, · · · , En

P1

x1

x2

...

...xn

= P1

x1

10......0

+ x2

010...0

+ · · ·+ xn

0......01

x1e1 = x1

10......0

P1

x1

x2

...

...xn

= x1e1

y tambien

E1

x1

x2

...

...xn

= x1


Similarmente:

P2

x1

x2

...

...xn

= x2e2 , E2

x1

x2

...

...xn

= x2

y ası hasta

Pn

x1

x2

...

...xn

= xnen , En

x1

x2

...

...xn

= xn

Como vemos las proyecciones reflejan o expresan todos los posibles puntos deun vector, en determinado espacio; en particular nos interesa que representen elespacio de los qubits, y ası la proyeccion Pi corresponde a la medicion del estado|ϕi〉 y |Ei|2 corresponde a la probabilidad de observar el dicho estado de Pi queseria |ϕi〉 , en el ejemplo cada proyeccion representa a un estado posible, y estoes necesario por que no se puede observar todos los estados de un sistema simultaneamente, una de las propiedades mas interesantes de los atomos es el cambioconstante de sus etados y ası despues de la medicion el sistema se colapsa a unestado desconocido. vaya despues de la medicion de seguro el estado del qubitsera diferente.

Capıtulo 3

Compuertas Cuanticas

3.1. Concepto

En general, una computadora la podemos concebir como una entidad divi-dida en dos: las dos partes son igual de importantes; una sin la otra no existiriala computacion, tal y como la conocemos; la primera podemos decir que es elsoftware, esa parte que no podemos ver a simple vista, es la programacion, esdecir, la serie de reglas y comandos que dan una estructura logica y la segundaes la parte que podemos tocar, el hardware; que se forman con una serie de dis-positivos conectados entre sı, circuitos integrados y en la presente tesis daremosuna pequena introduccion a la base del hadware.

Las compuertas cuanticas en computacion es de suma importancia teneruna idea basica de las compuertas, ya que a traves de estas es como realizamosoperaciones, la construccion de estas dependera de mucho la forma en que seranlas computadoras cuanticas, debemos aclaran que no pensamos hablar como seconstruiran o que materiales podran usar, simplemente vamos a describir comodeben de funcionar, hablaremos matematicamente como se pueden construirdichas compuertas, es interesante saber que estas compuertas seran reversibles,pues en computacion clasica los circuitos son de una solo via, es decir, al obtenerel resultado es imposible saber que dio origen a tal resultado, por ejemplo lacompuerta logica AND su tabla es la siguiente:

31

32 CAPITULO 3. COMPUERTAS CUANTICAS


p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

si solo vieramos el resultado de esta tabla, solo cuando sea 1 podriamos decirsin lugar a dudas que los datos que originaron el resultado son 1 y 1; pero si elresultado fuese 0, encontramos el problema que hay tres posibles combinacionesy por eso se dijo que las compuertas logicas clasicas son de una solo via. noası las compuertas cuanticas.

Como hemos venido trabajando primero daremos algunas definiciones y teo-remas para sentar las bases que rigen nuestras ideas.

3.2. Funciones Isomorfas

Definicion 8 . Una funcion lineal A : H1 → H2 tal que es inyectiva y sobre-yectiva se llama Isomorfismo.

Lema 1 : Sea A : H1 → H2 lineal y B una base H1

A es Isomorfismo ⇐⇒ el conjunto {A |ϕ〉 |ϕ ∈ B} es una base de H2.

Ejemplo 11 X : C2 → C2 , X

(αβ

)=

(βα

)

X es lineal, aun mas X es isomorfismoPor que:B = {|0〉 , |1〉} es base de C2

yX |0〉 = |1〉 , X |1〉 = |0〉 es base de C2 como ya lo demostramos en su mo-

mento..: X es isomorfismo por el lema que sitamos anteriormente.

Ejemplo 12 La compuerta de Hadamard es una funcion lineal H : C2 → C2

H

(αβ

)=

1√2

(1 11 −1

)(αβ

)

3.2. FUNCIONES ISOMORFAS 33

anteriormente probamos que esta funcion es lineal en estos momentos de-mostraremos que esta compuerta es isomorfa.

Demostracion:

sabemos que B = {|0〉 , |1〉} es base de los qubits que estan en C2

y H |0〉 = 1√2

(|0〉+ |1〉) , H |1〉 = 1√2

(|0〉 − |1〉)y como ya demostramos que 1√

2(|0〉+ |1〉) , 1√

2(|0〉 − |1〉) es base de C2 se

obtiene que H es isomorfismo

Lema 2 .-Sea A : H1 → H2 lineal y B una base de H1.por lo tanto Aes Isomorfismo ⇐⇒ el conjunto {A |ϑ〉 |ϑ ∈ B} es una base de

H2

Definicion 9 |φi〉∗ se define como la transpuesta de |φi〉Definicion 10 Sea H∗ un espacio vectorial complejo. El conjunto H∗ = {F :H → C| F es funcional lineal.}Definicion 11 : Sea H un espacio vectorial de dimension n y B = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉}base de H se define ∗ : H → H∗ lineal mediante las sig. asociacion

|φi〉 → |φi〉∗

como {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉} es base de H∗ =⇒ ∗ es un Isomorfismo.Tambien es necesario saber que A : H1 → H2 es Isomorfismo⇐⇒ ∃ A−1 : H2 →H1 lineal tal que

(A)(A−1) = Id

(A−1)(A) = Id

Definicion 12 : Si H es espacio vectorial complejo con producto interno 〈 | 〉. Una base B = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉}se llama ortonormal si .〈φi |φj 〉 = δi,j1 ≤ i, j ≤ n

Ejemplo 13 : H = C2 la base de C2, B = {|0〉 , |1〉} es ortonornaldem.

B = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉} =

{(10

),

(01

)}

⟨(10

)|(

10

)⟩= 1 · 1 + 0 · 0 = 1

⟨(10

)|(

01

)⟩= 1 · 0 + 0 · 1 = 0

⟨(01

)|(

10

)⟩= 0 + 0 = 0

⟨(01

)|(

01

)⟩= 0 · 0 + 1 · 1 = 1


Ejemplo 14 Tambien la compuerta de Hadamard es ortonornal:H = C2

B ={

1√2(|0〉+ |1〉), 1√

2(|0〉 − |1〉)

}es base ortogonormal

Dem.-Caso.-1 cuando son iguales

⟨1√2

(|0〉+ |1〉)| 1√2

(|0〉+ |1〉)⟩

=

⟨1√2

[(10

)+

(01

)]| 1√

2

[(10

)+

(01

)]⟩

=

⟨1√2

(11

)| 1√

2

(11

)⟩

=1√2· 1√

2+

1√2· 1√

2= 1

⟨1√2

(|0〉+ |1〉)| 1√2

(|0〉+ |1〉)⟩

=

⟨1√2

[(10

)+

(01

)]| 1√

2

[(10

)+

(01

)]⟩

=

⟨1√2

(11

)| 1√

2

(11

)⟩

=1√2· 1√

2+

1√2· 1√

2= 1

⟨1√2

(|0〉 − |1〉)| 1√2

(|0〉 − |1〉)⟩

=

⟨1√2

[(10

)−(

01

)]| 1√

2

[(10

)−(

01

)]⟩

=

⟨1√2

(1−1

)| 1√

2

(1−1

)⟩

=1√2· − 1√

2+

1√2· − 1√

2= 1

Caso 2.- cuando son diferentes.

⟨1√2

(|0〉+ |1〉)| 1√2

(|0〉 − |1〉)⟩

=

⟨1√2

[(10

)+

(01

)]| 1√

2

[(10

)−(

01

)]⟩

=

⟨1√2

(11

)| 1√

2

(1−1

)⟩

=1

2− 1

2= 0


⟨1√2

(|0〉 − |1〉)| 1√2

(|0〉+ |1〉)⟩

=

⟨1√2

[(10

)−(

01

)]| 1√

2

[(10

)+

(01

)]⟩

=

⟨1√2

(1−1

)| 1√

2

(11

)⟩

=1

2− 1

2= 0

. : B ={

1√2(|0〉+ |1〉), 1√

2(|0〉 − |1〉)

}es base ortonormal

Teorema 2 (Gram Schmidt) Sea H un espacio vectorial complejo con pro-ducto hermitiano 〈 | 〉, B = {φ1, φ2, ..., φn} base de H. Entonces existe unanueva base B1 de H Ortonormal

Para poder emplear adecuadamente este teorema necesitamos saber la si-guiente definicion.

Definicion 13 La norma de φ ∈ H es ‖φ‖ =√〈φ|φ〉; observese que Si φ ∈

H,φ 6= 0 =⇒

ψ =1

‖φ‖φ

tiene norma uno (y se llama Normalizado de φ) pues

‖ψ‖ = 〈ψ|ψ〉=√

1

= 1

Ejemplo 15 φ =

111

∈ C3 , tiene normalizado a

ψ =1

‖φ‖

111

=

1√3

111


Definicion 14 Sea H espacio vectorial complejo con producto interno 〈 | 〉 .ψ, φ ∈ H se llaman perpendiculares si 〈ψ | φ〉 = 0 en tal caso se escribe ψ ⊥ φveamos el siguiente ejemplo cuando dos qubits estan a 90◦ entre si digamos:

ψ =

(11

), φ =

(1−1

)es decir que sean perpendiculares.

es decir 〈ψ|φ〉 = 1− 1 = 0

Ejemplo 16 H espacio vetorial complejo con producto hermitiano 〈 | 〉 probarque ∀ϑ ∈ H tal que 〈ϑ | 0〉 = 0 donde 0 es el vector cero de H

dem.- Si ϑ ∈ H tenemos que

〈ϑ | 0〉 = 〈ϑ | 0 + 0〉= 〈ϑ | 0〉+ 〈ϑ | 0〉

0 = 〈ϑ | 0〉

Definicion 15 : Un conjunto V de vectores en H espacio vectorial complejocon producto interno 〈|〉 se llama Ortonormal si, ∀φ, ψ ∈ V

〈φ|ψ〉 =

{0 si φ 6= ψ1 si φ = ψ

∀φ, ψ ∈ V

Lema 3 .- Si V es conjunto ortonormal =⇒ V es linealmente independiente.dem.- supongamos |φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉 ∈ V y~ α1 |φ1〉+ α2 |φ2〉+ · · ·+ αn |φn〉 = 0 con α1, α2, · · · , αn ∈ CMultiplicando internamente ambos lados de ~ por φ1

〈φ1|α1φ1 + · · ·+ αnφn〉 = 〈φ1|0〉

α1〈φ1|φ2〉︸︷︷︸1

+ α1〈φ1|φ2〉︸︷︷︸0

+ · · ·+ α1〈φ1|φ2〉︸︷︷︸0

= 0

α1(1) = 0

=⇒ α1 = 0

similarmente se obtiene α2 = α3 = · · · = αn = 0.

tambien es cierto que si H es espacio vectorial complejo con producto hermi-tiano 〈|〉 =⇒ ∀ϑ ∈ H, 〈0|ϑ〉 = 0. A continuacion vamos a mostrar como utilizarel teorema de Gram-Schmidt

1. ϑ1 = φ1

‖φ1‖

2. supongase que se tiene ya construidos ϑ1, ϑ2, · · · , ϑk 1 ≤ i, j ≤ k tales que

〈ϑi|ϑj〉 =

{0 si i 6= j1 si i = j


3. ϑk+1 = φk+1 −k∑i=1

〈ϑi|ϑk+1〉ϑi observese que, para 1 ≤ j ≤ k

〈ϑj |ϑk+1〉 =

⟨ϑj |ϑk+1 −

k∑

i=1

〈ϑi|ϑk+1〉ϑi⟩

= 〈ϑj |ϑk+1〉 −k∑

i=1

〈ϑi|ϑk+1〉〈ϑj |ϑi〉

= 〈φj |φk+1〉 − 〈ϑj |φk+1〉〈ϑj |ϑj〉︸︷︷︸1

= 0

ademas;

ψk+1 = 1‖ψk+1‖ϑk+1 es tal 〈ψk+1|ψk+1〉 = 1

luego la base B, Ortonormal es;

ψ1 = 1‖φ1‖φ1, ψ2 = 1

‖ϑ2‖ϑ2, ψ3 = 1‖ϑ3‖ϑ3, · · · , ψn = 1

‖ϑn‖ϑn

luego

〈ψi|ψj〉 =

{0 si i 6= j1 si i = j

y B1 = {ψ1, ψ2, · · · , ψn} es base ortonormal.

Es obvio que este teorema funciona para vectores de cualquier dimencion yen particular para C2 ya que nos interesa trabajar con qubits entonces tenemosel siguiente ejemplo:

Ejemplo 17 H = C2 y como base B =

{(11

),

(10

)}vamos a construir


una base ortonormal de C2 usando a B solucion:

ψ1 =1∥∥∥∥

(11

)∥∥∥∥

(11

)

=1√2

(11

).

ψ2 =

(10

)−⟨

1√2

(11

)|(

10

)⟩1√2

(11

)

=

(10

)− 1

2

(11

)

=

(12− 1

2

)

=⇒ ψ2 =1∥∥∥∥

(12− 1

2

)∥∥∥∥

(12− 1

2

)

=11√2

(12− 1

2

)

=√

2

(12− 1

2

)

y por ultimo tenemos que{

1√2

(11

),

(12

√2

− 12

√2

)}

Proiedad.- Si H vectorial complejo con producto interior 〈|〉 y |φ〉 ∈ Hentonces la funcion

〈φ| : H → C, 〈φ| (|ψ〉) = 〈φ|ψ〉 es funcional lineal

dem.-

1. Si 〈φ| , |ψ〉 , |ϑ〉 ∈ H

i) 〈φ| (|ψ〉+ |ϑ〉) = 〈φ|ψ + ϑ〉 por def. de 〈φ|= 〈φ|ψ〉+ 〈φ|ϑ〉 por def. de producto hermitiano

= 〈φ|(|ψ〉) + 〈φ|(|ϑ〉)

2. Si α ∈ C y |ψ〉 ∈ H

〈φ|(α|ψ〉) = 〈φ|αψ〉= α 〈φ|ψ〉= α 〈φ|(|ψ〉)


Teorema 3 Si H espacio vectorial complejo con 〈|〉 producto interno y H dedimension finita. Entonces si f ∈ H entonces ∃ un unico |φ〉 ∈ H tal quef(ψ) = 〈φ|ψ〉 , ∀ψ ∈ H.

dem.- segun el proceso de Gram-Schmidt existe una base B = {|ϑ1〉 , |ϑ2〉 , · · · , |ϑn〉}ortonormal

se define

|φ〉 = f(|ϑ1〉) |ϑ1〉+ f(|ϑ2〉) |ϑ2〉+ · · ·+ f(|ϑn〉) |ϑn〉 = α 〈φ|ψ〉 = α 〈φ|(|ψ〉)

por demostrar que f(ψ) = 〈φ|ψ〉 , ∀ψ ∈ H es linealcalculemos 〈φ| en la base B

〈φ|ϑ1〉 = 〈φ|ϑ1〉 por propiedad de 〈|〉

=⟨ϑ1| n

i=1f(|ϑi〉) |ϑi〉

⟩

= ni=1f(|ϑi〉) 〈ϑ2|ϑi〉

= f(|ϑ1〉)= f(|ϑ1〉)

Similarmente

〈φ|ϑ2〉 = f(|ϑ2〉)...

〈φ|ϑn〉 = f(|ϑn〉)

=⇒ Como dos funciones lineales son iguales, tambien lo son en una base.

〈φ| = f

es decir 〈φ|ψ〉 = f(ψ), ∀ψ ∈ H

unicidad: supongase que existen φ, φ ∈ H tales que

f(ψ) = 〈φ|ψ〉 , ∀ψ ∈ Hf(ψ) = 〈φ|ψ〉 , ∀ψ ∈ H

=⇒ 〈φ|ψ〉 = 〈φ|ψ〉 , ∀ψ ∈ H〈φ|ψ〉 − 〈φ|ψ〉 = 0

〈φ− φ|ψ〉 = 0, ∀ψ ∈ H


=⇒ En particular si ψ = φ− φ

〈φ− φ|φ− φ〉 = 0

φ− φ = 0

φ = φ

En las condiciones del tema anterior f ∈ H∗

f = 〈φ|

Recordemos que las funcionales lineales, como matrices son vectores renglon.

f = (α1, α2, · · · , αn)

luego

〈φ| = (α1, α2, · · · , αn)

por lo tanto, los bras, son solamente vectores renglon si ademas H = Cn ,significa

|φ〉 =

β1

β2

...β3

ademas

〈φ|ψ〉 = (α1, α2, · · · , αn)

β1

β2

...β3

= α1β1 + α2β2 + · · ·+ αnβn

Definicion 16 .- Sea H espacio vectorial complejo. Una funcion f : H×H → Cse llama

1. Lineal en la segunda entrada si

a, b ∈ C, |φ〉 , |ϑ〉 , |ψ〉 ∈ H =⇒f(|φ〉 , a |ϑ〉 , b |ψ〉) = af(|φ〉 , |ϑ〉) + bf(|φ〉 , |ψ〉)


2. Lineal Conjugada en la primera entrada si

a, b ∈ C, |φ〉 , |ϑ〉 , |ψ〉 ∈ H =⇒f(a |ϑ〉 , b |ψ〉 , |φ〉) = af(|ϑ〉 , |φ〉) + bf(|ψ〉 , |φ〉)

Para entender mejor este definicio daremos un ejemplo de una matriz Mn×n

f : Cn × Cn → Cf(|φ〉 , |ψ〉) = |φ〉∗M |ψ〉

demostracion:

1. f es lineal en la segunda entrada si

a, b ∈ C, |φ〉 , |ϑ〉 , |ψ〉 ∈ Cnf(|φ〉 , a |ϑ〉 , b |ψ〉) = |φ〉∗M(a |ϑ〉 , b |ψ〉)

= a |φ〉∗M |ϑ〉+ b |φ〉∗M |ψ〉= af(|φ〉 , |ϑ〉) + bf (|φ〉 , |ψ〉)

2. f es lineal conjugada en la primera entrada si

a, b ∈ C, |φ〉 , |ϑ〉 , |ψ〉 ∈ Cnf(a |ϑ〉+ b |ψ〉 , |φ〉) = (a |ϑ〉+ b |ψ〉)∗M |φ〉

= ((a |ϑ〉)∗ + (b |ψ〉)∗)M |φ〉= (a |ϑ〉∗ + b |ψ〉∗)M |φ〉= a |ϑ〉∗M |φ〉+ b |ψ〉∗M |φ〉= af(|ϑ〉 , |φ〉) + bf(|ψ〉 , |φ〉)

.: La matriz M es un funcion que es multiplicada por vectores que cae en loscomplejos.

Una propiedad de f : H ×H → C lineal conjugada en la primera entrada ylineal en la segunda es que existe una unica Matriz M de orden n× n tal que

f(|φ〉 , |ψ〉) = |φ〉∗M |ψ〉

Dem.B = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉} base de H

Se define a M como:

M =

f(|φ1〉 , |φ1〉), · · · f(|φ1〉 , |φn〉)...

. . ....

f(|φm〉 , |φ1〉) · · · f(|φm〉 , |φn〉)


Ahora, si |φ〉 , |ψ〉 ∈ H son arbitrarios se puede escribir

|φ〉 =n∑αi

i=1

|φi〉 , para α1, α2, · · · , αn ∈ C

|φ〉 =n∑βi

i=1

|φi〉 , para β1, β2, · · · , βn ∈ C

luego

f(|φ〉 , |ψ〉) = f(

n∑αi

i=1

|φi〉 ,n∑βj

j=1

|φj〉)

=n∑βi

j=1

f(n∑αi

i=1

|φi〉 , |φj〉)

=n∑βi

j=1

n∑αif(i=1

|φi〉 , |φj〉)

=

n∑

j=1

n∑αif(i=1

|φi〉 , |φj〉)βi

Teorema 4 Si A es matriz n× n entonces 〈φ|Aψ〉 = 〈A∗φ|ψ〉 , ∀ |φ〉 , |ψ〉 ∈ Cn

demostracion: sea

A =

α11 α12 · · · α1n

......

. . ....

αn1 αn2 · · · αnn

Lema 4 pongamos

〈e1| =(

1 , 0 , · · · , 0), 〈e2| =

(0 , 1 , 0 , · · · , 0

), · · · , 〈en| =

(0 , · · · , 0 , 1

)

y

|e1〉 =

10...0

, |e2〉 =

010...0

, · · · , |en〉 =

0...01


Por otro lado

A |ej〉 =

α11 α12 · · · α1n

......

. . ....


00

1j100

=

α1j

α2j

...αnj

Ademas

〈ei|Aej〉 =(

0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0)

α1j

α2j

...αnj

= αij

entonces

〈ei|Aej〉 = αij = 〈A∗ei|ej〉=⇒ |e1〉 , |e2〉 , · · · , |en〉 son basicos en Cn

=⇒ 〈φ|Aψ〉 = 〈A∗φ|ψ〉 , ∀ |φ〉 , |ψ〉

la siguiente propiedad es importante para la logica de las compuertas cuan-ticas.

Lema 5 Sea U matriz n× n es unitaria ⇐⇒ 〈Uφ|Uψ〉 = 〈φ|ψ〉 ∀ |φ〉 |ψ〉 ∈ CnPrueba(=⇒)

〈Uφ|Uψ〉 = 〈U∗Uφ|ψ〉si U es unitaria =⇒ UU∗ = I = U∗U

〈Iφ|ψ〉 = 〈φ|ψ〉(⇐=)

〈Iφ|Iψ〉 = 〈UU∗φ|UU∗ψ〉= 〈U∗φ|UU∗U∗ψ〉= 〈U∗U∗φ|U∗U∗ψ〉

〈Iφ|Iψ〉 = 〈φ|ψ〉


Con lo cual podemos sitar el siguiete colorario

Corolario 1 Sea U : Cn → Cn lineal y {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉} base de Cn orto-normal entonces si {U |φ1〉 , U |φ2〉 , · · · , U |φn〉} es ortonormal =⇒ U es unita-ria.

demostracion:

〈Uφi|Uφj〉 = δij

= 〈φi|φj〉=⇒ U es unitaria (por la propiedad anterior)

Este capıtulo trata de compuertas cuanticas aunque aun no hemos visto nin-guna. Era necesario exponer el formalismo matematico para no tan solo entendersi no crear compuertas cuanticas, La definicion que daremos a continuacion fuedada por Dirac.

Definicion 17 Sea B = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φn〉} base ortonormal de un espaciovectorial complejo H si |ψ1〉 , |ψ2〉 , · · · , |ψn〉 ∈ H =⇒

A = |ψ1〉〈φ1|+ |ψ2〉〈φ2|+ · · ·+ |ψn〉〈φn|

denota a la funcion linealA : H → H

tal que

A |φ1〉 = (|ψ1〉〈φ1|+ |ψ2〉〈φ2|+ · · ·+ |ψn〉〈φn|) |φ1〉= |ψ1〉〈φ1|φ1〉︸︷︷︸

1

+ |ψ2〉〈φ2|φ1〉︸︷︷︸0

+ · · ·+ |ψn〉〈φn|φ1〉︸︷︷︸0

= |ψ1〉

y asi hasta A |φn〉

A |φn〉 = (|ψ1〉〈φ1|+ |ψ2〉〈φ2|+ · · ·+ |ψn〉〈φn|) |φn〉= |ψ1〉〈φ1|φn〉︸︷︷︸

0

+ |ψ2〉〈φ2|φn〉︸︷︷︸0

+ · · ·+ |ψn〉〈φn|φn〉︸︷︷︸1

= |ψn〉

Ejemplo 18 Mostraremos la compuerta conocida como Not X : C2 → C2

X = |1〉〈0|+ |0〉〈1|

X =

(0 11 0

)


Ejemplo 19 La compuerta de Hadamard

H =1√2

(|0〉+ |1〉) 〈0|+ 1√2

(|0〉 − |1〉) 〈1|

H =

(1√2

1√2

1√2− 1√

2

)

=1√2

(1 11 −1

)

observe que

H |0〉 =

(1√2

(|0〉+ |1〉) 〈0|+ 1√2

(|0〉 − |1〉) 〈1|)|0〉

=1√2

(|0〉+ |1〉) 〈0|0〉︸︷︷︸1

+1√2

(|0〉 − |1〉) 〈1|0〉︸︷︷︸0

=1√2

(|0〉+ |1〉)

H |1〉 =

(1√2

(|0〉+ |1〉) 〈0|+ 1√2

(|0〉 − |1〉) 〈1|)|1〉

=1√2

(|0〉+ |1〉) 〈0|1〉︸︷︷︸0

+1√2

(|0〉 − |1〉) 〈1|1〉︸︷︷︸1

=1√2

(|0〉 − |1〉)

es decir {H |0〉 = 1√

2(|0〉+ |1〉)

H |1〉 = 1√2

(|0〉 − |1〉)

y como podemos ver H es evidentemente unitaria pues manda los ortnormales|0〉 , |1〉 a los ortonormales 1√

2(|0〉+ |1〉) , 1√

2(|0〉 − |1〉)

veamos el siguiente ejemplo;

Ejemplo 20 pongamos:

|00〉 =

1000

, |01〉 =

0100

, |10〉 =

0010

, |11〉 =

0001

La cual es base ortonormal de C4 → C4. se define CNOT : C4 → C4 lineal

CNOT = 1 = |00〉〈00|+ |01〉〈01|+ |11〉〈10|+ |10〉〈11|

CNOT es matriz unitaria evidentemente(ortonormal que van a ortonormales)


Cuadro 3.2: Compuerta logica:CNot

CNOT|00〉 |00〉|01〉 |01〉|10〉 |11〉|11〉 |10〉


CNOT|000〉 |001〉|001〉 |011〉|010〉 |101〉|011〉 |110〉|100〉 |000〉|101〉 |010〉|110〉 |100〉|111〉 |111〉

calculemos CNOT como matriz

CNOT |00〉 = |00〉CNOT |01〉 = |01〉CNOT |10〉 = |11〉CNOT |11〉 = |10〉

CNOT =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

La matriz CNOT se llama No Controlado (Control Not). Veamos la siguientetabla.

Se puede interpretar que el primer qubit del ket es un qubit de control sobreel segundo qubit, es decir, si el primer qubit es cero el segundo no es cambiadoy cuando el primer qubit es 1 CNOT actua sobre el segundo qubit negandolo.

La compuerta AND cuantica como por definicion U manda base ortonormalen base ortonormal, U es unitaria: U escrita como matriz es con respecto a la


base B = {|000〉 , |001〉 , · · · , |111〉}

|000〉 = 0 |000〉+ 1 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|001〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 1 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|010〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 1 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|011〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 1 |110〉+ 0 |111〉|100〉 = 1 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|101〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 1 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|110〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 1 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 0 |111〉|111〉 = 0 |000〉+ 0 |001〉+ 0 |010〉+ 0 |011〉+ 0 |100〉+ 0 |101〉+ 0 |110〉+ 1 |111〉

U =

0 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1

Como observacion es importante notar lo siguiente

|00〉 = |0〉 ⊗ |0〉|01〉 = |0〉 ⊗ |1〉|10〉 = |1〉 ⊗ |0〉|11〉 = |1〉 ⊗ |1〉

3.3. Producto Tensorial

Definicion 18 El producto tensorial de matrices (producto de Kronecker) esbilineal y podemos definir a las matrices como

A = (aij) matriz n×mB = (bij) matriz r × sC = (cij) matriz r × s

tales que

A⊗ (αB + βC) = αA⊗B + βA⊗ C

(αB + βC)⊗A = αB ⊗A+ βC ⊗A

3.3. PRODUCTO TENSORIAL 49

Vemos un simbolo nuevo ⊗ el cual significa producto tensorial, daremos unosejmplos y despues algunas propiedades

Ejemplo 21 |0〉 ⊗ |0〉

|00〉 = |0〉 ⊗ |0〉

=

(10

)⊗(

10

)

=

1 · 11 · 00 · 10 · 0

=

1000

Ejemplo 22 |0〉 ⊗ |1〉

|01〉 = |0〉 ⊗ |1〉

=

(10

)⊗(

01

)

=

1 · 01 · 10 · 00 · 1

=

0100


Ejemplo 23 |1〉 ⊗ |0〉

|10〉 = |1〉 ⊗ |0〉

=

(01

)⊗(

10

)

=

0 · 10 · 01 · 11 · 0

=

0010

Ejemplo 24 |1〉 ⊗ |1〉

|11〉 = |1〉 ⊗ |1〉

=

(01

)⊗(

01

)

=

0 · 00 · 11 · 01 · 1

=

0001

Como podemos verC2 ⊗ C2 = C4

C2 ⊗ C2 ⊗ C2 = C8

en general C2 ⊗ · · · ⊗ C2 = C2n

Corolario 2 1.

A1, A2 son matrices n×mB1, B2 son matrices r × sα, β, δ, ξ ∈ C

=⇒ (αA1 + βA2)⊗ (δB1 + ξB2)

= αδA1 ⊗B1 + αξA1 ⊗B2 + δβA2B1 + βξA2 ⊗B2

3.3. PRODUCTO TENSORIAL 51

2.

A1, A2, · · · , An son matrices n×mB1, B2, · · · , B% son matrices r × sα1, α2, · · · , αk, β1, β2, · · · , β` ∈ C

=⇒(

k∑

i=1

αiAi

)⊗(∑

i=1

βiBi

)

=k∑

i=1

k∑

j=1

αiβjAi ⊗Bj

Definicion 19 Si A matriz y n ∈ N

A⊗n =

n terminos︷︸︸︷A⊗A⊗ · · · ⊗A

ademas(A⊗B)⊗ C = A⊗ (B ⊗ C)

Ejemplo 25 |0〉 ∈ C2

|0〉⊗3

= |0〉 ⊗ |0〉 ⊗ |0〉

= |0〉 ⊗

1000

=

(10

)⊗

1000

=

10000000

∈ C8


Teorema 5 F : H1 → H ′1, g : H2 → H ′2 funciones lineales =⇒ ∃ una funcionlineal f ⊗ g : H1 ⊗H2 → H ′1 ⊗H ′2 tal que

(f ⊗ g) (ψ ⊗ φ) = f(ψ)⊗ g(φ); ∀ψ ∈ H1, φ ∈ H2

Ejemplo 26 X : C2 → C2, Not

(X =

(0 11 0

))

X = |1〉〈0|+ |0〉〈1|

ahora tenemos a Id : C3 → C3;

Id =

1 0 00 1 00 0 1

Luego X ⊗ Id : C2 ⊗ C3 → C2 ⊗ C3 =

(1 00 1

)

1 0 00 1 00 0 1

esto es

(X ⊗ Id)

|0〉 ⊗

i12

= X |0〉 ⊗ Id

i12

= |1〉 ⊗

i12

y dejamos al lector que termine este ejemplo.

Lema 6 Si H1 es espacio vectorial complejo con producto interno 〈|〉1 y H2 esespacio vectorial complejo con producto interno 〈|〉2 entonces H1⊗H2 es espaciovectorial con producto interno 〈|〉 . tal que

〈φ⊗ %|ψ ⊗ θ〉 = 〈φ|ψ〉1 〈%|θ〉2 , ∀φ, ψ ∈ H; ∀%, θ ∈ H2

Lema 7 Si B1 = {|ψ1〉 , |ψ2〉 , · · · , |ψn〉} es base del espacio vectorial H1 yB2 = {|φ1〉 , |φ2〉 , · · · , |φm〉} es base del espacio vectorial H2 entonces el con-junto formado por

|ψi〉 ⊗ |φi〉 , i = 1, · · · , r, j = 1, · · · ,m

es una base de H1 ⊗H2 en particular dim(H1 ⊗H2) = nm = dimH1 dimH2

3.4. MEDICIONES 53

Corolario 3 El conjunto formado por |b1〉⊗ |b2〉⊗ · · ·⊗ |bn〉 con bi = 0 o 1, i =1, 2, · · · , n es una base de C2 ⊗ C2 ⊗ · · · ⊗ C2

︸︷︷︸n factores

= C2n

3.4. Mediciones

Para realizar un calculo en un sistema es nesesario preparar el sistema, evolu-cionarlo (con compuertas logicas) y por ultimo es necesario medir el resultado.Supongamos que M1,M2, · · · ,Mn son los posibles resultados de la medicionde un experimento. Entonces las mediciones estan descritas por una funcionMm1,Mm2, · · · ,Mmn de transformaciones lineales actuando sobre el sistema enmedicion, tales que cumplen

M∗m1Mm1 +M∗m2Mm2 + · · ·+M∗mnMmn = Id

si el estado del sistema es |φ〉 justamente antes de la medicion, entonces laprobabilidad de obtener mi despues de la medicion es

prob(mi) = 〈φ|M∗miMmi|φ〉

y despues de tal medicion. El estado del sistema se colapsa a

prob(mi) =Mmi |φ〉√

〈φ|M∗miMmi|φ〉

Como sabemos las computadoras trabajan con compuertas logicas, que re-suelven operaciones relativamente sencillas, pero al formar estructuras tan com-plejas como queramos, pueden resolver problemas mucho mas importantes.

Hasta aqui hemos visto la forma logica en que podemos pensar que funcio-naran dichas compuertas; para finalizar este capitulo nos gustaria mensionarla pauta que se esta siguiendo en la electronica cuantica que muchos prefierenllamarla nanoeloctronica, que su futuro desarrollo exige mas nuevos conceptosy no solamente la optimizacion de los conceptos actuales, que implica mas quesolamente una continua miniaturizacion de la microelectronica sino su fin esla fabricacion, el estudio y la aplicacion de estructuras, materiales molecula-res, interfases internas y superficies con dimensiones cuanticas y tolerancias deproduccion de unos 10 nm a tamanos atomicos. El objetivo final consiste en eldesarrollo de materiales, cuyas funciones y propiedades dependen exclusivamen-te de los efectos implıcitos de escala nanometrica y sus componentes es decir elaprovechamiento controlado del mundo atomico.

Capıtulo 4

Presentacion del Problemade Deutsch

4.1. El problema de Deutsch

Hasta aqui hemos visto todo lo necesario para entrar de lleno al problemade Deutsch. Se tiene un algoritmo f que admite un bit de entrada y otro bit desalida (igual o diferente).

f : {0, 1} → {0, 1}Supongase ademas que desconocemos como funciona exactamente este al-

goritmo, pero sin embargo sabemos que es muy complicado, porque cuando seejecuta en la mas rapida computadora se tarda 24hrs en dar la respuesta. Launica informacion que nos interesa de f es si f ante entradas diferentes dasalidas iguales o no. Es decir nos interesa saber si f es constante o no en 24 hrs.

4.2. El problema de Deutsch en una computa-dora clasica

Como vemos en una computadora clasica es imposible obtener el resultado en24 horas, es por eso que necesitamos a una computadora cuantica. En resumenpodemos decir que para realizar cualquier calculo en un sistema computacionalnecesitamo tres pasos.

1. Preparacion.

2. Evolucion.

55

56 CAPITULO 4. PRESENTACION DEL PROBLEMA DE DEUTSCH

3. Medicion.

antes de resolver este problema necesitamos una matriz unitaria

Uf : C2 ⊗ C2 → C2 ⊗ C2, |xy〉 7→ |x y ⊕ f(x)〉

Preparacion:

|φ〉 ←− |00〉

Evolucion:

1. |φ1〉 ←− Uf(H ⊗H)(Id⊗ x)

=1

2(|0〉 ⊗ (|f(0)〉 − |not f(0)〉) + |1〉 ⊗ (|f(1)〉 − |not f(1)〉))

= |ψ〉

2. Medicion:|φ2〉

|ψ〉 =1√2

(|0〉+ |1〉)⊗ 1√2

(|f(0)〉 − |not f(0)〉)

=1√2

(|0〉+ |1〉)⊗ (± |−〉)

M2 |ψ〉 = ± (H ⊗ |−〉〈−|)(

1√2

(|0〉+ |1〉)⊗ |−〉)

= ±(H

1√2

(|0〉+ |1〉)⊗ |−〉〈−|−〉)

= ± |0〉 ⊗ |−〉

3. if |φ3〉 ←− ± |0〉 ⊗ |−〉 then

4. return es constante.

5. else return no es constante.

4.3. Generalizacion a n Qubits

Ahora para finalizar este trabajo tenemos que generalizar este algoritmo an qubits. Tenemos un algoritmo f que admite n bits de entrada por lo tantotenemos 2n salidas

f : {x1, x2, · · · , xn} → {y1, y2, · · · , y2n}

4.3. GENERALIZACION A N QUBITS 57

Supongase ademas que desconocemos como funciona exactamente este al-goritmo, pero sin embargo sabemos que es muy complicado, por que cuandose ejecuta en la mas rapida computadora se tarda 24hrs en dar la respuesta.La unica informacion que nos interesa de f es si f ante entradas diferentes dasalidas iguales o no. Es decir nos interesa saber si f es constante o no en 48 hrs.

Necesitamos una matriz unitaria

Uf : C2n ⊗ C2 → C2n ⊗ C2, |x〉 ⊗ |c〉 7−→ |x〉 ⊗ |c⊕ f(x)〉donde ⊕ es la dos bits complemento a 2, o lo que es lo mismo, XOR.

1. Preparacion: |φ〉 ←− |0 · · · 00〉︸︷︷︸n+1 ceros

(el cero extra es para guardar el resultado)

2. Evolucion:

|φ1〉 ←− (H⊗n ⊗ Id) |φ〉 (es decir aplicamos tantas compuertas hadamardcomo variables)

|φ1〉 =

(1

2n/2

) 2n−1∑|i0〉

i=0

|φ2〉 ←− Uf |φ1〉

|φ2〉 =

(1

2n/2

) 2n−1∑

i=0

|if(i)〉

|φ3〉 ←− (Id⊗ Z) |φ2〉 (donde Z es la matriz de Pauli)

|φ3〉 =

(1

2n/2

) 2n−1∑

i=0

(−1)f(i) |if(i)〉

|φ4〉 ←− Uf |φ3〉

|φ4〉 =

(1

2n/2

) 2n−1∑

i=0

(−1)f(i) |i(0)〉

|φ5〉 ←− (Id⊗ Z) |φ4〉

|φ5〉 =1

2n

2n−1∑

i=0

2n−1∑

j=0

(−1)f(i)+i·j |j0〉

=1

2n

(2n−1∑

i=0

(−1)f(i) |0 · · · 00〉)

+1

2n

2n−1∑

i=0

2n−1∑

j=0

(−1)f(i)+i·j |j0〉

58 CAPITULO 4. PRESENTACION DEL PROBLEMA DE DEUTSCH

si el coeficiente del primer sumando es cero del lado derecho de la ecuacion entonces la funcion no sera constante.

3. Medicion:|φ6〉 ←− {Pi1 ⊗ · · · ⊗ Pin |i1 = 1, 2, · · · , in} |φ5〉if |φ6〉 = |0 · · · 00〉 then

return contante

else return no es constante

Capıtulo 5

Conclusiones

El problema de Deutsch muestra las ventajas que tiene la computacioncuantica a la clasica, ya que este problema fue creado con el proposito de serimposible de resolver en una computadora normal.

Como se vio en la Tesis los qubits tienen muchas propiedades inherentes,que al aprovecharlas podriamos realmente cambiar otra vez la historia de lahumanidad; al poder usar al paralelismo cuantico, tendrıamos un sin fin deposibilidades para resolver cualquier algoritmo, no importa que tan grande seaeste, con el paralelismo cuantico se podrıa trabajar al mismo tiempo todas lasposibles soluciones.

Realmente estamos parados frente a un nuevo reto en el conocimiento hu-mano ¿Cual sera el futuro? ¿Estaremos dispuestos a vivirlo?

59

60 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Bibliografıa

olin P. Williams, and Scott H. Clearwater ”Explorations in Quantum Compu-ting”, published by Springer-Telos, ISBN 0-387-94768-x

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El Problema de Deutsch en una Computadora Cuántica

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