Examen extraordinario

Resistencia de Materiales,

Elasticidad y Plasticidad

3 de septiembre de 2012

Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nº.....................

3er Curso de Ingeniero de Caminos

Ejercicio 1 (Se recogerá a las 10,30 h aproximadamente.)

La estructura de la figura consiste en dos vigas-ménsula AB y CD unidas por un tirante BD. La

única carga actuante es la puntual del nudo D. Las rigideces de las piezas se dan en la propia figura.

(Se desprecian las deformaciones por axil y cortante en las vigas.) Se pide:

a) Calcular el esfuerzo axil en el tirante. (1,5 puntos)

b) Dibujar y acotar las leyes de momentos flectores en las ménsulas. (0,5 puntos)

c) Calcular el giro del tirante. (0,5 puntos)

Se puede usar la siguiente fórmula de la flecha en el extremo de una ménsula debida a una carga

puntual en ese extremo:

L=5a b=4a 5a

EI= 100.000 kN×m 2

A B

CD

P= 50 kN

"

T

T

P 50

a 1. L 5 a. h 3 a L C 5 a. EA 50000 EI 100000 cosα3

5senα

4

5

vB, vD positivas hacia abajov DP T cosα.( ) L

3.

3 EI.v B

T cosα. L3.

3 EI.

Ecuación hiperestática v D v B cosα.T L C.

EA

P L3.

3 EI.cosα.

L C

EA

2 cosα2

. L3.

3 EI.T. T

P L3. cosα.

3 L C.

EI

EA

. 2 L3. cosα

2.

T 31.25=

v DP T cosα.( ) L

3.

3 EI.v B

T cosα. L3.

3 EI.v D 0.013= v B 7.813 10

3=

Comprobación

v D v B cosα.T L C.

EA0=

M C P T cosα.( ) L. M A T cosα. L. M C 156.25= M A 93.75=

Bresse, con v positiva hacia abajo, θ positivo antihorario

v D v B θ BD x D x B.

T L C.

EAcosα. θ BD

v D v B

T L C.

EAcosα.

4 aθ BD 8.333 10

4=

Otro método:

u D u B θ BD 3. a.T L C.

EAsenα. θ BD1

T L C.

EA

senα

3 a

. θ BD1 8.333 104

=

A B

CD

P= 50 kN

"

Tcos"

MA

MC

Tcos"

Si se olvida del alargamiento del cable le sale

v D v B

4 a1.302 10

3=

1

EXAMEN EXTRAORDINARIO

RESISTENCIA DE MATERIALES,

ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD

3 de septiembre de 2012

Apellidos ............................................................................. Nombre ..................................................... Nº..................... 3er Curso ☐

Ejercicio 2 (se recogerá a las 11:00 h)

El pórtico atirantado de la figura está sometido a la carga que se indica. La rigidez de la sección constante de

todas sus piezas es EI=2,7×106

kNm2; el módulo de elasticidad del tirante es Ea=2×10

5 MPa y su tensión

admisible es σadm=350 MPa . Se desprecian las deformaciones producidas por el esfuerzo axil en el pórtico.

Se pide:

a) Si la sección del tirante fuese Aa=25 cm2, representación acotada de la ley de momentos flectores en el

pórtico. (0,4 puntos)

b) Sección necesaria del tirante para que el máximo momento flector en valor absoluto sea el mínimo

posible. (0,4 puntos)

Aa= mm2

c) Valor del máximo momento flector resultante en este caso: (0,5 puntos)

d) Con el fin de conseguir el mejor aprovechamiento de la resistencia del tirante, se dispone un tensor que

permite modificar la longitud de aquel. Obtener el acortamiento que hay que producir en el tirante para que, con la

sección mínima posible, se alcance la misma situación que en el apartado (b). (0,7 puntos)

e) Sección del tirante para el caso (d) (0,3 puntos)

f) Esfuerzo en el tirante para el mismo caso. (0,2 puntos)

Acortamiento que hay que producir en

el tirante

Sección mínima posible del

tirante (mm2)

Esfuerzo en el tirante

C

D A

2,5

B

10,0

(I)

Tirante, Ea, σadm

Pórtico atirantado inicial

-apartados a) b) c)-

10 kN/m

C

D A

Tirante

2,5

B

10,0

(II)

Tensor

Pórtico atirantado con tensor

-apartados d) e)-

10 kN/m

Solución

El pórtico es hiperestático de grado 1. Se libera el tirante y se aplica el método de las fuerzas.

Las leyes de momentos flectores de ambos estados son las siguientes:

La fuerza Na aplicada en el punto D del pórtico desplaza verticalmente la ley de momentos flectores del estado (0).

El punto D pertenece a la vez al pórtico y al tirante. La condición de compatibilidad expresa que su movimiento

horizontal es único:

[

]

[

]

El movimiento horizontal de D para el pórtico se obtiene aplicando la fórmula de Bresse entre A y D:

Estado (0):

(

[ ])

Estado (1):

(

[

])

[ ]

El movimiento horizontal de D para el tirante de 25 cm2 de sección es:

[1]

C

D A

2,5

B

10,0

(0)

Tirante, Ea, σa

Pórtico atirantado inicial: método de las fuerzas

10 kN/m

C

D A Tirante

2,5

B

10,0

(1)

Na

Na

C

D A

2,5

B

10,0

(0)

Tirante sin carga

Pórtico atirantado inicial: método de las fuerzas

125 mkN

C

D A

2,5 Na

B

Na

(1)

Na

Na

2,5 Na

2,5 Na

50 kN

50 kN

Aplicando la condición de compatibilidad:

La tensión en el acero resulta ser menor que la admisible:

lo cual indica que se está desaprovechando el acero del tirante.

b) La sección del tirante ahora es desconocida. El movimiento horizontal de D en el tirante vale:

[2]

La ecuación de compatibilidad es:

(

) [3]

En esta ecuación hay dos incógnitas: el axil en el tirante, Na y su área Aa.

De la condición de que el momento flector máximo en valor absoluto ha de ser mínimo se obtiene una segunda

ecuación que permite obtener el valor de Na.

La Na necesaria para conseguir que el momento flector máximo en valor absoluto sea mínimo se obtiene imponiendo

que el momento flector final en el centro del dintel ha de ser igual al valor absoluto del momento flector final en un

extremo cualquiera del dintel:

Sustituyendo este valor en la ecuación de compatibilidad resulta el área necesaria para que se cumpla la condición de

igualdad de momentos máximos:

d) El valor del máximo momento flector resultante es, por tanto, igual a .

El alargamiento de este tirante es

C

D A

B

Pórtico atirantado inicial: distribución de esfuerzos

16,415 kN

-41,037

-41,037

83,962

-41,037

d) En estas condiciones la tensión en el tirante sigue siendo menor que la admisible:

El tirante con la mínima sección posible es el que trabaja a la tensión admisible:

Con ello se consigue aprovechar al máximo su capacidad resistente. Ahora bien, dicho nuevo tirante experimentará

un alargamiento mayor que el anterior (por lo que desarrollará un esfuerzo axil menor); pero es preciso que se mantenga

ejerciendo el esfuerzo axil Na =25 kN, para que se siga cumpliendo la condición impuesta de momentos flectores máximos.

Por eso hace falta pretensar el nuevo tirante, acortándolo para que desarrolle la misma Na =25 kN y que el alargamiento

final sea el mismo: .

La cantidad a acortar es la diferencia entre lo que se alarga el nuevo tirante y lo que se alarga el tirante anterior:

(

)

e) El área mínima del tirante es 71,43 mm2:

f) El esfuerzo en el tirante es Na =25 kN.

Ex. setiembre 2011-2012

Resistencia de Materiales,

Elasticidad y Plasticidad

3 de setiembre de 2012

Apellidos ............................................................................

Nombre ...................................................... Nº.....................

Curso 3º Alumnos de Adaptación marcad X aquí

Ejercicio 4. Se recogerá a las 13:30 h aproximadamente.

Se tienen dos anillos de sección circular de pared delgada con las siguientes dimensiones y

características. El anillo 1 está formado por un material con módulo elástico E1 = 2 107

N/cm2, tiene una dimensión axial de 1 cm, un espesor de pared de 2 mm, un radio medio de

20,2 cm y su radio interior es 0,3 mm menor que el radio exterior del anillo 2. El anillo 2 está

formado por un material con módulo elástico E2 = 107 N/cm

2, tiene una dimensión axial de 1

cm, un radio medio de 19,98 cm y un espesor de pared de 3 mm. Se calienta el anillo 1 de tal

manera que el anillo 2 se introduce en el mismo y, tras enfriarse, ambos anillos quedan

encajados formando un único elemento. Se pide:

1. Presión existente entre los anillos tras el enfriamiento, esto es, la presión de contacto

entre los dos anillos. (Nota: se indicará claramente la ecuación de compatibilidad

utilizada). (0,8 puntos)

2. Tensiones en los anillos tras el enfriamiento (0,4 puntos)

Se somete al conjunto a una presión en su radio interno de 60 N/cm2, se pide

3. Presión de contacto entre los anillos debido exclusivamente a la presión de 60 N/cm2.

(Nota: se indicará claramente la ecuación de compatibilidad utilizada). (0,8 puntos)

4. Tensiones totales en los anillos teniendo en cuenta las debidas al montaje y las

debidas a la presión de 60 N/cm2. (0,5 puntos)

Se recomienda utilizar para la resolución del problema la hipótesis de cilindros de pared

delgada así como un radio de cálculo de 20 cm para ambos anillos.

Vista de perfil de ambos anillos antes del montaje indicando que el radio interior del anillo1

es 0,3 mm menor que el radio exterior del anillo 2

Anillo 1 Anillo 2

20,3cm 20,1 19,83 20,13