Experimentación en agricultura

EXPERIMENTACINEN AGRICULTURA

R. FERNNDEZ ESCOBAR

A. TRAPERO

J. DOMNGUEZ

Sevilla, 2010

EXPERIMENTACIN EN AGRICULTURA

Edita: Junta de Andaluca.Consejera de Agricultura y Pesca

Publica: Secretara General TcnicaServicio de Publicaciones y Divulgacin

de los textos: Autores

Serie (Agricultura: formacin)

Depsito Legal: SE-1877-2010

ISBN: 978-84-8474-281-4

Diseo, Maquetacin e Impresin: Ideas, Exclusivas y Publicidad. S.L.

Fernndez Escobar, Ricardo

Experimentacin en agricultura / R. Fernndez Escobar, A.Trapero y J. Domnguez. - - Sevilla: Consejera de Agricultura y Pesca,Servicio de Publicaciones y Divulgacin, 2010350 p. : grf., tablas, diagr. ; 24 cm. - - (Agricultura: formacin)D.L. SE-1877-2010ISBN 978-84-8474-281-4

Investigacin. - - Experimentacin. - - AgriculturaTrapero Casas, AntonioDomnguez Gimnez, JuanAndaluca. Consejera de Agricultura y Pesca631.001.4

RICARDO FERNNDEZ ESCOBARCatedrtico de Pomologa

Departamento de AgronomaEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Agrnomos y de Montes

Universidad de Crdoba

ANTONIO TRAPERO CASASCatedrtico de Patologa VegetalDepartamento de Agronoma

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Agrnomos y de MontesUniversidad de Crdoba

JUAN DOMNGUEZ GIMNEZInvestigador Coordinadorrea de Produccin Agraria

IFAPA, Centro Alameda del Obispo, Crdoba

PRLOGO

Una de las mayores dificultades que se le presenta a un estudiante de segundo ciclo cuandoha de abordar un trabajo de investigacin es, probablemente, el tratamiento estadstico delos datos. Esto suele ser as por dos motivos, el primero porque es consciente de su escasaformacin en esta materia, y el segundo porque suele ser inconsciente de que el problemasuele presentarse antes de comenzar el experimento, aunque es en el momento del anlisisde los resultados cuando aparece la dificultad. El problema, no obstante, es general y no ex-clusivo de los estudiantes, pues muchos de los artculos que son rechazados en revistascientficas de impacto en el campo de la agronoma (y tambin en otros campos afines), loson debido a un mal planteamiento de los experimentos o a un mal anlisis estadstico de losdatos. En el mbito profesional el problema se agrava an ms, pues muchos tcnicos conresponsabilidad en la transferencia de tecnologa, extensionistas agrarios o responsables dela direccin tcnica de empresas productoras de insumos o de explotaciones agrarias, nosuelen aplicar mtodos estadsticos sencillos para determinar si una tcnica nueva, un pro-ducto fitosanitario o una nueva variedad superan o no a lo habitual de la zona. El valor de laexperiencia para juzgar la bondad de nuevas tcnicas o las ventajas de un nuevo material,suele anteponerse al rigor de un anlisis matemtico, en muchas ocasiones por falta de pe-ricia en el manejo de estos mtodos.

Esta obra se ha concebido para aliviar las dificultades de investigadores, tcnicos y estu-diantes poniendo a su disposicin una descripcin y discusin de procedimientos para el di-seo y establecimiento de experimentos, as como para facilitar el clculo, el anlisis y lainterpretacin de los datos de una forma sencilla y prctica sin grandes exigencias en co-nocimientos matemticos. En definitiva, se ha tratado de manejar conceptos y mtodos dis-ponibles en la actualidad para un correcto planteamiento de un experimento o de una simpleprueba comparativa y del anlisis e interpretacin de los datos. Para facilitar la comprensinde los procedimientos se expone el clculo manual del anlisis de datos y, para facilitar y agi-lizar el trabajo rutinario, se recurre a un programa estadstico, Statistix Version 8.0 (Analyti-cal Software, Tallahassee, FL, USA) que, en opinin de los autores, cumple el requisito desencillez, resulta asequible, y su contenido abarca la prctica totalidad de las necesidadesque requiere un experimentador agrcola.

En la actualidad existen magnficos libros sobre diseos de experimentos y anlisis de datos,pero no suelen despejar las dificultades aludidas al principio, al menos en la experiencia quetienen los autores de esta publicacin tras muchos aos de dedicacin a la docencia, a la in-vestigacin y a la formacin de personal. A ello hay que aadir que esos libros, por lo gene-ral, solo tratan de aspectos estadsticos, fundamentales para el diseo de los experimentosy el anlisis de datos, pero hay aspectos de la experimentacin agrcola que escapan del m-bito matemtico, como la definicin de los objetivos, la seleccin de los tratamientos, latoma de datos o la interpretacin y presentacin de los resultados. Estos aspectos han sidoincluidos en este texto como complemento al componente estadstico.

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La estructura de la obra se ha basado en los ms de 25 aos de imparticin de una asigna-tura en los cursos de doctorado, y actualmente en los msteres, en la Escuela Tcnica Su-perior de Ingenieros Agrnomos y de Ingenieros de Montes de la Universidad de Crdoba,que en los ltimos aos se ha denominado Mtodos Experimentales en Agronoma. A lolargo de estos aos se ha ido diseando el perfil de esta materia y ajustndola a las necesi-dades reales de los alumnos, hasta llegar a la estructura que se recoge en esta publicacin.En este momento, es justo mencionar la labor pionera del Profesor Luis Rallo Romero, queinici la imparticin de esta asignatura con el afn altruista de ofrecer a sus alumnos una for-macin bsica, de la que carecan, para la realizacin de sus trabajos experimentales. La per-severancia en el mantenimiento de la asignatura, acompaada por la buena aceptacin porparte del alumnado y el consiguiente xito en la matriculacin, hizo que otros profesores nosintegrsemos en las enseanzas y mantuviramos vigente el objetivo con el que el ProfesorRallo la concibi.

La obra se ha organizado en 24 captulos y tres apndices. Los dos primeros captulos tra-tan sobre aspectos a considerar en el diseo y planteamiento de los experimentos; los tressiguientes abordan los procedimientos para la comparacin de dos o ms muestras, intro-duciendo al lector en el anlisis de la varianza. A continuacin se describen los diseos mscomunes en la experimentacin agrcola, que incluyen una introduccin sobre el tipo de di-seo, la aplicacin prctica, el establecimiento de un experimento diseado de esa forma yel anlisis de los datos, tanto manual como con el programa Statistix. Le siguen captulos de-dicados al estudio de la correlacin y las regresiones, as como al anlisis de covarianza, detanta utilidad al trabajar con plantas perennes. Un captulo se dedica a los mtodos no pa-ramtricos, importantes en experimentos agrcolas y tradicionalmente ignorados por los in-vestigadores. Para finalizar, se incluyen captulos dedicados a la toma de datos en campo,las medidas en plantas y la interpretacin y presentacin de resultados tal como se exigenactualmente en las revistas de impacto. La obra termina con tres apndices. El primero esun glosario que resulta de utilidad para aquellos menos familiarizados con la materia. El n-mero de trminos podra ampliarse considerablemente, pero se ha realizado un esfuerzo desntesis evitando repeticiones de algunos conceptos claramente definidos en los captulos.El segundo describe brevemente las distribuciones ms comunes, para que el curioso puedaentender algo ms sobre la distribucin con la que trabaja. El tercero es una recopilacin detablas estadsticas, necesarias para el clculo manual.

Tenemos la conviccin de que esta publicacin resultar de gran utilidad a estudiantes y pro-fesionales, que requieren de estas herramientas para el desarrollo de sus trabajos. Con eseespritu la hemos preparado y en la esperanza de su utilidad confiamos.

Primavera de 2009LOS AUTORES

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NDICE

1. La experimentacin en Agricultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13USOS Y ABUSOS DE LA ESTADSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13COMO REALIZAR UN BUEN EXPERIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15EXPERIMENTOS EN EXPLOTACIONES COMERCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Estructura y diseo de un experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19DEFINICIN DE EXPERIMENTO: CLASES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19UNIDAD EXPERIMENTAL Y TRATAMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20ERROR EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21CONTROL DEL ERROR EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21LAS REPETICIONES Y SUS FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24FACTORES A TENER EN CUENTA PARA ELEGIR ELNMERO DE REPETICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

SORTEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25EMPLEO DE FILAS GUARDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26INFERENCIAS ESTADSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Comparacin de dos muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29MUESTRAS PAREADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29MUESTRAS INDEPENDIENTES DE IGUAL TAMAO CON 1=2 . . . . . . . . . . . . . 32MUESTRAS INDEPENDIENTES DE DISTINTO TAMAO CON 1=2 . . . . . . . . . . . 35MUESTRAS INDEPENDIENTES CON 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38CONSIDERACIONES FINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Anlisis de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41MODELOS DE ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41PROCEDIMIENTO GENERAL DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Modelo I: efectos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Modelo II: efectos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

SUPUESTOS DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Homogeneidad de las varianzas (Homoscedasticidad) . . . . . . . . . . . . . . . 50Independencia de medias y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TRANSFORMACIONES DE LOS DATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Logartmica [log(Y)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Raz cuadrada [ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Inversa [1/Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Angular o Arcoseno arcsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Escalas pretransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Otras transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Datos perifricos o raros (outliers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

REALIZACIN DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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5. Separacin de medias y contrastes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67COMPARACIONES A PRIORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Contrastes ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Contrates polinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Comparaciones con un control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Comparaciones con el mejor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

COMPARACIONES A POSTERIORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Mtodo de la Mnima Diferencia Significativa (MDS o LSD) . . . . . . . . . . . 76Mtodo de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Procedimientos de Bonferroni y de Sidak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Procedimiento de Scheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Otros mtodos de comparacin mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Diseo completamente aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85EL MODELO LINEAL ADITIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85DISEO Y ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7. Diseo en bloques al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93MODELO LINEAL PARA UN DISEO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR . 94DISEO Y ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8. Cuadrado Latino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101MODELO LINEAL PARA UN DISEO EN CUADRADO LATINO . . . . . . . . . . . . . . . 101DISEO Y ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9. Diseo aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111DISEO DEL EXPERIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111ANLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10. Experimentos factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121DISEOS EXPERIMENTALES Y MODELOS DE ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . 122REALIZACIN DEL ANLISIS DE VARIANZA FACTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11. Diseo en parcelas divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135FUNDAMENTOS DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136REALIZACIN DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12. Diseo en bloques divididos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149FUNDAMENTOS DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150REALIZACIN DEL ANLISIS DE VARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

13. Anlisis de varianza combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167OBSERVACIONES MLTIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Anlisis de muestreos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Anlisis de mediciones temporales repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

SERIES DE EXPERIMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Anlisis de diferentes pocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Anlisis de diferentes aos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Anlisis de diferentes localidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

ANLISIS DE EXPERIMENTOS DE LARGA DURACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

14. Correlacin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194INTERPRETRACIN DE LOS VALORES DE r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195CONSIDERACIONES FINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15. Regresin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199CLCULO DE LA REGRESIN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200RELACIONES CON LA CORRELACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203ESTIMACIONES DE LA REGRESIN POBLACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204AJUSTE DE LA RECTA POR EL ORIGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207COMPARACIN DE LNEAS DE REGRESIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210CONSIDERACIONES FINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16. Regresin mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215CORRELACIN PARCIAL Y MLTIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215REGRESIN CON DOS VARIABLES INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218REGRESIN CON MS DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . 226CONSIDERACIONES SOBRE LA REGRESIN MLTIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

17. Regresin curvilnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233CURVAS DE TIPO LOGARTMICO Y EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Curvas de tipo logartmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Curvas de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Otras curvas de tipo logartmico o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

CURVAS DE TIPO POLINMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

18. Anlisis de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247REALIZACIN DEL ANLISIS DE COVARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253COVARIANZA MLTIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256CLCULO CON EL PROGRAMA Statistix (SX) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261CONSIDERACIONES SOBRE EL ANLISIS DE COVARIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . 261

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19. Mtodos no paramtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263PRUEBA DE LOS SIGNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263PRUEBA DE RANGOS (CATEGORAS) CON SIGNOS DE WILCOXON . . . . . . . . . . 264PRUEBA DE LA SUMA DE RANGOS (CATEGORAS) DE WILCOXON . . . . . . . . . . . 266PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270PRUEBA DE FRIEDMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274CORRELACIN DE RANGOS DE SPEARMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

20. Toma de datos y medidas en campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281MTODOS DE MUESTREO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Muestreo aleatorio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Muestreo sistemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

ESTIMACIONES Y CATEGORAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286MEDIDAS INDIRECTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

21. Medidas en plantas leosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289EXPERIMENTACIN CON PLANTAS LEOSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Seleccin y calibracin de plantas leosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290La parcela elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

MEDIDAS DEL CRECIMIENTO VEGETATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Medidas del crecimiento nuevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Medidas del tamao del rbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Otras medidas del crecimiento vegetativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

MEDIDAS DE LA PRODUCTIVIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Medidas de la floracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Medidas del cuajado de frutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Medidas de la produccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

MEDIDAS DE CALIDAD DE LA COSECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Medidas del tamao del fruto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Medidas del color del fruto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

22. Medidas en plantas herbceas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299MEDIDAS DURANTE EL CICLO VEGETATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299MEDIDAS DE LA COSECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

23. Interpretacin y presentacin de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301CONSIDERACIONES GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301PRESENTACIN DE RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Experimento en bloques al azar con medida de una variable cualitativa . . . 304Experimento en bloques al azar con medida de una variablecuantitativa y un factor no cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Experimento en bloques al azar con medida de una variablecuantitativa y un factor cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Experimento factorial con interaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Experimento factorial sin interaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Presentacin de regresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Presentacin de datos por la media y el error estndar de la media . . . . . 310

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Apndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3131.- Conceptos estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3132.- Distribuciones ms comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Distribucin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Distribucin de medias de muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Distribucin t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Distribucin F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Distribucin binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Distribucin chi-cuadrado ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3.- Tablas estadsticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Tabla A 1. Distribucin de la t de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Tabla A 2. Distribucin F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Tabla A 3. Distribucin de (Chi-cuadrado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Tabla A 4. Coeficientes de correlacin r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Tabla A 5. Nmero de signos iguales requeridos para obtener

Significacin en la prueba de los signos. . . . . . . . . . . . . . . 332Tabla A 6. Prueba de categoras con signos de Wilcoxon. . . . . . . . . . 333Tabla A 7. Prueba de la suma de categoras de Wilcoxon

(Prueba de Mann-Whitney). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Tabla A 8. Coeficientes de correlacin de Spearman rs. . . . . . . . . . . . 336Tabla A 9. Transformacin arcsen Porcentaje/100 expresada en grados. 337Tabla A 10. Coeficientes an-i+1 para el test de Shapiro-Wilk. . . . . . . . . . . 338Tabla A 11. Valores crticos (W) del test de Shapiro-Wilk. . . . . . . . . . . . 340Tabla A 12a. Valores crticos para el test de rachas (R1). . . . . . . . . . . . . 342Tabla A 12b. Valores crticos para el test de rachas (R2). . . . . . . . . . . . . 343Tabla A 13. Valores crticos (d) del test de Dunnett. . . . . . . . . . . . . . . . 344Tabla A 14. Valores crticos (Q) del test de Tukey. . . . . . . . . . . . . . . . . 346Tabla A 15. Coeficientes para contrastes polinmicos ortogonales

(con igual espaciamiento entre los niveles de la variableindependiente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349

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CAPTULO 1LA EXPERIMENTACIN EN AGRICULTURA

La agricultura est siempre sujeta a continuos cambios. En la actualidad se est asistiendoa la transicin desde una agricultura convencional, cuya productividad ha estado basada enla aplicacin masiva de productos qumicos para el control de la salud y la productividad delos cultivos, hacia una agricultura sostenible basada en la obtencin de una produccin decalidad competitiva respetando el medio ambiente y conservando los recursos naturales.Estos cambios se logran gracias al avance de los conocimientos generados por la investi-gacin, que permiten desarrollar tcnicas apropiadas para esos fines. No obstante, granparte de la prctica agrcola presenta an una base emprica.

El desarrollo de nuevas tcnicas aplicables en la agricultura pasa necesariamente por la ex-perimentacin. No basta hoy en da con que destacados tcnicos agrcolas establezcan susimpresiones sobre la bondad de una nueva tcnica o la utilizacin de un determinado mate-rial, sino que las recomendaciones transferibles deben estar soportadas por datos sujetosa un riguroso examen. Como muchos ya conocen, es hoy en da difcil, si no imposible, queun trabajo de investigacin sea aceptado en una revista agronmica de cierto impacto sin lautilizacin de procedimientos estadsticos adecuados para el diseo de los experimentos yel anlisis de los datos.

El objetivo de la experimentacin es obtener datos fiables que permitan establecer compa-raciones entre tratamientos diferentes y apoyar o rechazar hiptesis de trabajo. El procesoexperimental comprende diversas etapas hasta su conclusin. De forma breve, el procesoexige la definicin del problema a resolver, el establecimiento de los objetivos, la seleccincorrecta de los tratamientos a aplicar, del material vegetal a emplear en el experimento, eldiseo experimental, la toma correcta de datos, su anlisis y la interpretacin y presentacincorrecta de los resultados. No basta, pues, con recopilar y presentar datos, sino que hay queobtenerlos de forma correcta y buscarle un sentido a los mismos. El componente estadsticorepresenta tan solo una parte, aunque importante, de la experimentacin; es la herramientatil para el diseo correcto del experimento y el anlisis de los datos.

USOS Y ABUSOS DE LA ESTADSTICA

El empleo de los mtodos estadsticos resulta de inters y de importancia tanto para el in-vestigador como para los tcnicos que apliquen los conocimientos tecnolgicos resultantesde las investigaciones. Hay que tener en consideracin que en la agricultura, la complejidadexistente en las relaciones entre el medio de cultivo y las plantas es de tal magnitud que es-capan al control simple de una frmula sencilla. Como indican Little and Hills (1991), por muyprofundos conocimientos que se tengan sobre un cultivo, no es posible predecir con exacti-tud cual ser la produccin que se obtendra en determinadas condiciones de la misma

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manera que lo sera calcular el rea de un circulo conociendo su radio. An teniendo todo bajocontrol, cualquier variacin aleatoria alterara los resultados de la prediccin. Es, por ello, porlo que resulta difcil contestar a las preguntas planteadas en una experimentacin con abso-luta seguridad, an tras varios aos de estudio, pues siempre se corre el riesgo de llegar aconclusiones incorrectas.

La estadstica es una parte de las matemticas que se fundamenta en la teora de probabili-dades, cuyos teoremas son tan precisos como otros teoremas matemticos, pero cuyos re-sultados son probabilsticos y, en consecuencia, con el riesgo de aceptar o de rechazar unahiptesis incorrectamente. En estos trminos hay que entenderse en agricultura, de ah la im-portancia de que tanto investigadores como tcnicos tengan un conocimiento bsico de esasteoras. Si bien, como se ha especificado, es difcil la publicacin de trabajos cientficos sinun planteamiento estadstico correcto, es bien cierto que en el mbito de la transferencia detecnologa y de la divulgacin no sea frecuente el anlisis estadstico de los datos, como sien esta fase final de aplicacin del conocimiento el rigor de los trabajos y la interpretacinde los resultados no fuera algo esencial. Esto hay que extenderlo tambin al mbito de la em-presa agraria, donde se requiere experimentar para la simple comprobacin del efecto de unanueva tcnica o del comportamiento de una nueva variedad. Se asiste, pues, hoy en da tantoa situaciones en las que el uso de la estadstica es algo circunstancial, como tambin a aque-llas en las que se trata de aplicar para solucionar problemas asociados a una mala planifi-cacin del experimento o, incluso, para adornar trabajos que rayan la mediocridad. Encualquiera de estos casos se est desaprovechando una tcnica que, si no absolutamenteprecisa en la conclusin, los rgidos fundamentos matemticos en los que se basa la hacenvital para la interpretacin correcta de los datos.

An en los casos en los que la estadstica trata de aplicarse racionalmente, los casos de maluso de los procedimientos son ms frecuentes de lo que podra imaginarse, sin que parezcaque pueda ponerse freno a una prctica que conlleva una mala interpretacin de los resulta-dos obtenidos. Aunque este mal uso parece contagiado en muchos campos cientficos, enel caso de la agronoma se vienen denunciando desde hace ms de tres dcadas casos deartculos cientficos publicados en revistas internacionales de cierto impacto que presentandatos analizados estadsticamente, pero de forma tan incorrecta que pueden alterar las con-clusiones obtenidas. Trabajos publicados en esas mismas revistas por Little (1978), Gates(1991) y Dyke (1997), por citar algunos a lo largo de casi dos dcadas, ponen de manifiestolas deficiencias en el empleo de los mtodos estadsticos en trabajos publicados. La lecturade estos artculos es recomendable a cualquier investigador. Sin tratar de resumir sus con-tenidos, se puede decir que los errores ms frecuentemente encontrados son, sin que se es-tablezca un orden de preferencia, la confusin entre el error experimental y el error demuestreo, lo que a veces lleva a disear experimentos sin repeticiones; el anlisis incorrectode experimentos factoriales, donde interviene ms de un factor en estudio y se trata de ob-servar si existe o no interaccin entre ellos; el anlisis de los datos de un diseo experimentalque no se corresponde con el diseo establecido; el abuso de los procedimientos de com-paracin mltiple para la separacin de medias, aplicados incluso cuando nicamente secomparan dos medias y tambin para comparar distintos niveles de un factor cuantitativo,que han de ser separados por regresin; y la ausencia de transformaciones de los datoscuando es un requisito requerido para el anlisis de varianza.

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Experimentacin en agricultura

En la actualidad el problema no se ha minimizado sino que, incluso, parece haberse compli-cado por el uso de paquetes informticos. No cabe duda de la utilidad que representan estastcnicas para el manejo de datos, pues ahorran mucho tiempo y ganan precisin al evitar mu-chos errores de clculo, pero hay que evitar la actitud de pensar que se trata de herramien-tas inteligentes que conocen lo que el investigador ha realizado por el simple hecho deintroducirle los datos obtenidos. Con una misma hoja de datos cualquier paquete informticoes capaz de analizarlos de muy diversas formas, dependiendo de la orden de clculo que ledemos, pero es evidente que la orden correcta es la que corresponde al diseo experimen-tal del que proceden los datos. La falta de conocimientos sobre los procedimientos de cl-culo, que hace aos los investigadores solan tener porque tenan que realizarlo manualmente,conduce con frecuencia a la eleccin de procedimientos inadecuados. Si a esto se aade lacantidad de informacin que suelen generar los programas una vez analizados los datos,que a veces confunden al inexperto, es fcil imaginar que la expresin final de los resultadosse aleje peligrosamente de la realidad en muchas ocasiones.

El rechazo de artculos cientficos para su publicacin en revistas especializadas tiene su ori-gen, con frecuencia, en un uso inapropiado de los mtodos estadsticos, y an parece queson pocos los rechazados si se tiene en cuenta que muchos evaluadores carecen de cono-cimientos slidos de esos procedimientos. Esto ha llevado a proponer a los Comits Edito-riales de algunas revistas que dispongan de expertos en estadstica para la evaluacin de lostrabajos presentados (Little, 1978) o, al menos, a exigir que se presenten ms datos de losque suelen aportarse, an a riesgo de aumentar la longitud de los manuscritos (Marini, 1999),de manera que el lector pueda interpretar los resultados por l mismo. Aunque sensatas,estas propuestas no parecen haber tenido aceptacin en los Comits Editoriales de las re-vistas.

CMO REALIZAR UN BUEN EXPERIMENTO

El procedimiento para la investigacin es el conocido mtodo cientfico, ms conocido aveces que comprendido. De forma breve, el mtodo se basa en establecer hiptesis a par-tir de hechos observados, es decir, formular una idea de cmo se interpretan y se explicanesos hechos. Para confirmar si la hiptesis establecida de esa manera es o no cierta, se di-sea un experimento que permita probar su validez, y con los datos obtenidos, que aportannuevos hechos a los ya conocidos, se interpreta si stos apoyan, rechazan o alteran la hi-ptesis de partida. En este punto, por lo general, nos encontramos de nuevo al inicio, parti-cularmente si la hiptesis se ha alterado, comenzando otra vez el proceso hasta poder llegara una conclusin plausible. En el caso ms simple de la experimentacin de campo, que con-siste en comparar una tcnica usual con otra nueva, las hiptesis que pueden establecerseson dos, la que considera que ambas dan el mismo resultado y la que considera que ambasdifieren en los resultados. Se denomina hiptesis nula, y se designa por H0, a aqulla que seformula en el sentido de que no hay diferencia entre las tcnicas, es decir, que las diferen-cias que puedan observarse se deben a diferencias en el muestreo de la misma poblacin.Esta suele ser la hiptesis de trabajo, en contraposicin con la denominada hiptesis alter-nativa (H1), que es la complementaria de la hiptesis nula, es decir, la que establece que

La experimentacin en agricultura

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ambas tcnicas difieren. El experimento puede complicarse al incluir diversos mtodos deaplicacin o al comparar varias tcnicas simultneamente, pero el procedimiento no vara.

Con independencia de lo que se pretende comparar, ya sea la produccin, el tamao delfruto o cualquier otra caracterstica de dos rboles adyacentes, por ejemplo, los datos quese obtengan de cada rbol raramente van a coincidir, an recibiendo ambos el mismo trata-miento. La diferencia es debida, fundamentalmente, a variaciones ambientales si ambos r-boles pertenecen a la misma variedad y estn injertados sobre un mismo patrn. Esavariabilidad suele escapar al control del investigador y representa el error experimental. Enel supuesto de comparar dos tcnicas, los resultados obtenidos son una mezcla del efectode las tcnicas y del error experimental, por lo que es necesario estimar ste para aislar elposible efecto de las tcnicas. Los mtodos estadsticos exigen la repeticin de los trata-mientos para estimar el error experimental, a la vez que aleatoriedad, es decir, que cadarbol del ejemplo tenga la misma probabilidad de recibir un determinado tratamiento. Esa ma-nera de proceder asegura un procedimiento objetivo de evaluacin de los datos, y al disearun experimento hay que pretender reducir en lo posible el error experimental para magnifi-car las posibles diferencias entre los tratamientos.

Al planificar un experimento hay que tener presente que las consideraciones estadsticas sonimportantes, pero no las nicas. El diseo del experimento debe hacer practicable los tra-bajos experimentales y no aadir variabilidad que aumente el error experimental. Por ejem-plo, en una experimentacin con rboles stos deben disponerse a marcos adecuados sihan de plantarse para el experimento, no a marcos ms estrechos para ahorrar espacio ose provocar un crecimiento anormal de los mismos que alterar los datos experimentales.Salvado esto, el diseo debe ser correcto estadsticamente; en este sentido hay que evitarla actitud de pensar que cualquier diseo es vlido porque cualquier experto en estadsticao cualquier programa informtico es capaz de resolverlo todo. La falta de repeticin y de ale-atoriedad es, con frecuencia, un aspecto de un mal diseo estadstico, lo que a veces se jus-tifica por cuestiones prcticas.

La simplicidad es un aspecto que hay que considerar al planificar un experimento. Algunosinvestigadores se empean en emplear diseos complejos porque piensan que les propor-cionarn mayor grado de informacin. Sin embargo, la informacin hay que obtenerla de laforma ms sencilla y fcil posible y aumentar la complejidad en caso necesario, por reque-rimiento de la planificacin del experimento o de los objetivos perseguidos, no para argu-mentar mayor precisin o mejor planteamiento del experimento. En adicin a ello, elexperimento debe tener precisin y sensibilidad para distinguir las posibles diferencias entrelos tratamientos y evitar errores sistemticos, es decir, que determinadas unidades experi-mentales que reciban un tratamiento difieran sistemticamente de las que reciben otro tra-tamiento. Por ltimo, hay que tener presente que la repeticin de un experimento de campoen el tiempo y en el espacio permitir aumentar la validez de las conclusiones que puedanobtenerse del mismo. En muy pocas ocasiones los resultados procedentes de un nico ex-perimento de campo pueden ser concluyentes.

Como conclusin, Pearce (1976) sugiere que un buen experimento debe responder a las si-guientes cuestiones: es practicable?, es estadsticamente correcto?, son los tratamientos

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realmente lo que se proponen ser? Cualquier fallo en alguno de esos aspectos puede ser de-sastroso para la investigacin que se pretende desarrollar.

EXPERIMENTOS EN EXPLOTACIONES COMERCIALES

Idealmente los experimentos deberan realizarse en fincas experimentales propias de centrosde investigacin y desarrollo. En estas explotaciones, el investigador puede controlar no so-lamente lo que sera la parte experimental, sino tambin todas las facetas relativas al manejodel cultivo. El personal que trabaja en esas fincas experimentales conoce lo que es un expe-rimento, lo que puede representar un bloque, distingue el cultivo de una planta experimentalde lo que sera el cultivo en una explotacin comercial, est familiarizado con la toma de datosen cada parcela experimental y, en definitiva, forma parte de un equipo investigador.

En muchas ocasiones, sin embargo, los experimentos han de realizarse en explotaciones co-merciales. Los motivos son variados, pero hay dos razones generales que hace obligado laexperimentacin en esas explotaciones. La primera es que en las fincas experimentales noexistan las condiciones de medio necesarias para cubrir el objetivo de la experimentacin.En muchos estudios sobre fertilizacin se requiere cultivar las plantas en suelos que sean po-bres en un determinado elemento, por ejemplo, potasio; si no se dispone de una finca ex-perimental con suelos deficientes en ese elemento, la nica alternativa es buscar unaexplotacin comercial con suelos de esas caractersticas.

Los experimentos de transferencia de tecnologa constituyen la segunda y, a veces, la prin-cipal razn para realizar experimentos en explotaciones comerciales. En este tipo de expe-rimentos se persigue, por lo general, evaluar y divulgar una nueva tcnica que ha de sercomparada con la prctica habitual en la zona. Esto obliga a realizar los experimentos fuerade las fincas experimentales y repetirlos en varias localidades o zonas, con el objetivo de ob-tener mayor cobertura sobre la zona de trabajo y conseguir mayor divulgacin de la tcnicaal establecer ensayos demostrativos con varios agricultores de la zona.

En cualquiera de los casos, existen diferencias sustanciales entre los experimentos realiza-dos en fincas experimentales y los realizados en explotaciones comerciales. En primer lugar,stos se desarrollan con la participacin del agricultor, que es quien controla el manejo dela parcela experimental en lugar del investigador o de su equipo. Esto puede contribuir msa la variabilidad que la misma planta o el suelo en el que se cultiva, por lo que la seleccindel agricultor es esencial para que el experimento pueda finalizar satisfactoriamente. Hansido muchos los ensayos abandonados por el que escribe estos prrafos debido a la faltade inters del agricultor por el ensayo, o a su excesivo entusiasmo con el mismo, que le hallevado, en ocasiones, a tratar tambin las plantas testigo antes de finalizar el experimento.En la seleccin del agricultor es importante que ste sea cooperativo con el experimento, quelo entienda y comprenda los objetivos, de manera que pueda identificarse con ellos y los veade utilidad en su explotacin. Asimismo, sera aconsejable que estuviera al corriente de losresultados, en la conciencia de que son parciales y no concluyentes hasta que se d por fi-nalizado el experimento, pues esto le hara sentirse, como de hecho lo es, parte del equipoinvestigador.

La experimentacin en agricultura

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Otra diferencia sustancial de los experimentos en explotaciones comerciales, fundamental-mente los de transferencia de tecnologa, es que por lo general el nmero de tratamientoses ms limitado y la parcela experimental es de mayor tamao, idealmente de un tamao talque permita realizar las operaciones habituales de cultivo. Parcelas de entre una y 15 ha, hansido utilizadas en ensayos de este tipo.

En los ensayos de transferencia de tecnologa, normalmente se elige una zona objetivo ydentro de ella se seleccionan un nmero de explotaciones comerciales, cuyos criterios de se-leccin variarn en funcin de los objetivos del experimento. Como todos los factores noestn controlados, es conveniente aumentar en lo posible el nmero de explotaciones queparticipen en el experimento, lo que adems permite soportar la posibilidad de anular una deellas sin que peligre el experimento completo. Se ha sugerido (Petersen, 1994) que el nmerode explotaciones a seleccionar en un ensayo bsico con dos tratamientos (nueva tcnicafrente a la habitual en la zona) sea tal que los grados de libertad del error en el anlisis devarianza sea, al menos, de 10. Conforme aumente el nmero de tratamientos puede dismi-nuir el nmero de explotaciones seleccionadas, que nunca deberan ser inferiores a cuatro.En cada explotacin se realizar una nica repeticin de cada tratamiento y los datos expe-rimentales se analizarn como un diseo en bloques al azar en el que cada explotacin re-presenta un bloque. De esta forma, las diferencias entre tipo de explotaciones, incluidas lasdebidas al manejo diferente de cada una, se acumularn en los bloques y no en los trata-mientos. En este tipo de experimentos las parcelas elementales suelen ser grandes, comose ha indicado, deben ser iguales en tamao y forma en todos los tratamientos de cada ex-plotacin y estar lo ms cerca posible, aunque no hay necesidad de que sean adyacentes.Los tratamientos se sortean, como de costumbre, para asignarles una parcela a cada unode ellos.

La tcnica de disponer un bloque en cada explotacin se pone en prctica en la asuncin deque los resultados esperados sean similares en las distintas explotaciones, algo que puedeextenderse a experimentos en distintas localidades. Si en stos se esperase y se observaseuna interaccin localidad x tratamiento, sera necesario establecer un experimento completoen cada localidad.

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CAPTULO 2ESTRUCTURA Y DISEO DE UN EXPERIMENTO

DEFINICIN DE EXPERIMENTO: CLASES

Existen diferentes definiciones de experimento pero, de un modo general, en ciencias biol-gicas y ms, concretamente, en agronoma se puede definir un experimento como aquel es-tudio en el que se manipulan deliberadamente una o ms variables independientes (supuestascausas) para analizar las consecuencias que esa manipulacin tiene sobre una o ms varia-bles dependientes (supuestos efectos), dentro de las condiciones controladas por el investi-gador. En agronoma, los resultados de este estudio conducirn a tomar decisiones comola recomendacin de una variedad, de una concentracin de pesticida, de una dosis de abo-nado, etc.

Los experimentos pueden clasificarse segn diferentes criterios; en nuestro caso los clasifi-caremos en:

- Experimentos preliminares: Son aquellos en los que se prueba un gran nmero de tra-tamientos con el objeto de obtener indicios para trabajos futuros.

- Experimentos crticos o decisorios: Son aquellos en los que el investigador compara lasrespuestas a diferentes tratamientos, utilizando un nmero suficiente de observacio-nes para tener la seguridad razonable de que detecta o no diferencias significativas.

- Experimentos demostrativos: Son aquellos en los que se compara uno o ms trata-mientos nuevos con un testigo, por lo general el tratamiento convencional.

En cualquiera de ellos ser necesario definir la poblacin a la que se aplicarn las inferencias,disear el experimento apropiado y realizar las medidas de las variables en estudio.

Cada experimento se establece para proporcionar respuestas a una o ms preguntas y esel investigador quien debe decidir las comparaciones de tratamientos que proporcionarn lasinformaciones ms relevantes. El experimento se ha de realizar para probar hiptesis rela-cionadas con diferencias entre tratamientos en condiciones comparables. Una vez hechas lasmediciones y las observaciones sobre el material experimental, se responde a las preguntasplanteadas al comienzo del experimento.

As pues, un experimento utiliza un conjunto de reglas usadas para extraer una muestra deuna poblacin, por lo que la definicin de la poblacin es extremadamente importante. Eseconjunto de reglas es lo que se conoce como el procedimiento experimental o diseo del ex-perimento.

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Al disear un experimento se han de establecer claramente sus objetivos, en particular:

- Preguntas que han de responderse

- Hiptesis que se han de probar

- Efectos que se han de estimar

Es aconsejable clasificar los objetivos con arreglo a su importancia, ya que algunos diseosexperimentales estiman con ms precisin ciertas comparaciones entre tratamientos queotros.

UNIDAD EXPERIMENTAL Y TRATAMIENTOS

Una unidad experimental es la mnima unidad de material a la que se aplica un tratamiento;puede ser una parcela en el campo (Fig. 2.1), una maceta, una planta, un caldo de cultivo,una solucin, media hora, etc. Se conoce tambin como parcela elemental. El tratamiento esel procedimiento cuyo efecto se mide y se compara con otros tratamientos, y puede ser unaracin alimenticia, una variedad de semillas, un programa de aspersin, la concentracin deun frmaco, una combinacin temperatura/humedad, etc.

Fig. 2.1. Parcelas experimentales en un campo de ensayo.

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Cuando se mide el efecto de un tratamiento se mide en una unidad de muestreo, que puedeser una fraccin de la unidad experimental. Por lo tanto, la unidad de muestreo puede ser launidad completa, como un animal sometido a una racin de tratamiento, o una fraccin dela misma, como una muestra aleatoria de hojas de un rbol o la cosecha de 6 metros delsurco central de una unidad experimental de tres lneas en una parcela en el campo.

Al seleccionar los tratamientos es importante definir cada uno cuidadosamente y considerarlocon respecto a los dems para asegurarse, en lo posible, que el conjunto del experimentoproporcione respuestas eficientes relacionadas con los objetivos del mismo.

ERROR EXPERIMENTAL

El error experimental es una medida de la variacin existente entre las observaciones reali-zadas en las unidades experimentales tratadas en forma similar. Esta definicin es ms sutilde lo que puede parecer a primera vista y se relaciona estrechamente con la definicin de loanterior. Por ejemplo, si se cultivan cinco plantas juntas en la misma maceta y se les aplicaun mismo tratamiento, la unidad experimental consiste en las cinco plantas. Se necesitanotras macetas de cinco plantas cada una para poder medir la variacin existente entre uni-dades experimentales tratadas de forma semejante. Esto es cierto an si una medida, comola altura de la planta, se realiza individualmente. El problema est en que si se van a comparardos tratamientos, cualquier diferencia observada ser, en parte, atribuible a la diferenciaentre macetas de cinco plantas y esto es probable que sea de mayor magnitud que las di-ferencias entre plantas de la misma maceta.

La variacin proviene de dos fuentes principales: 1.- existe la variabilidad inherente al materialexperimental al cual se aplican los tratamientos y 2.- existe una variacin resultante de cual-quier falta de uniformidad en la realizacin fsica del experimento. En un experimento de nu-tricin con animales como material experimental, los individuos tendrn constitucin genticadiferente a menos que haya una alta consanguinidad; sta es la variabilidad inherente al ma-terial experimental. As pues, el error experimental incluye todos los tipos de variaciones ex-traas a los tratamientos empleados.

CONTROL DEL ERROR EXPERIMENTAL

El error experimental puede ser controlado por el experimentador mediante:

1. El diseo experimental. El ms idneo es aquel que hace que la variacin natural existenteentre las unidades experimentales no afecte en nada a las diferencias entre las medias delos tratamientos. Una tcnica efectiva para ello es agrupar las unidades experimentales enbloques o grupos de unidades homogneas, de manera que los tratamientos se asignanal azar a cada unidad experimental dentro de cada bloque. En estas condiciones, en lasque cada bloque contiene todos los tratamientos, la variacin entre las unidades experi-mentales dentro de un mismo bloque es menor que entre las unidades de bloques distin-

Estructura y diseo de un experimento

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tos, aumentando la precisin del experimento como resultado de un buen control del errorexperimental.

En la Fig. 2.2 se muestra la disposicin de tres bloques de un experimento en funcin dela fertilidad del suelo. Si se aprecia un gradiente de fertilidad, la disposicin de bloques enel sentido de esa variacin permitira extraer las diferencias entre bloques (en este casoentre diferente fertilidad) del error experimental, aumentando la precisin del experimentoal comparar los tratamientos. La disposicin contraria hara que dentro de cada bloqueexistiera una variacin de fertilidad que afectara de forma diferente a cada tratamiento,y que no se podra extraer del error experimental.

Fig. 2.2.- Disposicin correcta e incorrecta de los bloques en un experimento.

Una gran variacin entre bloques indica que su uso ha sido de gran ayuda, porque estavariacin ha sido eliminada del error experimental y no contribuye a la diferencia entre tra-tamientos.

2. Uso de observaciones paralelas. En algunos experimentos se puede aumentar la precisinhaciendo uso de observaciones paralelas para realizar un anlisis de la covarianza. El an-lisis de la covarianza se utiliza cuando las variaciones entre las unidades experimentalesson, en parte, debidas a la variacin en otros caracteres mensurables. Por ejemplo, el ren-dimiento depende del nmero de plantas por parcela, con independencia del tratamientoque se aplique.

3. Tamao y forma de las unidades experimentales. Como regla general, unidades experi-mentales grandes muestran menos variacin que las pequeas. Sin embargo, un aumentoen el tamao de la unidad experimental puede hacer disminuir el nmero de repeticionesque pueden ser controladas por el experimentador. La unidad experimental debe tener

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unas dimensiones mnimas para poder realizar el experimento, pero ms all de esas di-mensiones no se gana nada aumentando el tamao y se obtiene mayor precisin aumen-tando el nmero de repeticiones. El tamao de las unidades depender tambin del tipode experimento, pues uno demostrativo normalmente exigir mayores parcelas que unopreliminar. En general, en cultivos anuales suelen utilizarse unidades experimentales com-puestas de una a seis filas de cultivo, o an menos en programas de mejora, en no msde 50 m2. Para el caso de especies perennes, vase el Captulo 21.

En los experimentos de campo, la forma de la parcela experimental es importante en re-lacin con la precisin. Los ensayos de uniformidad realizados por muchos investigado-res utilizando varios cultivos, han demostrado que la parcela experimental relativamentelarga y estrecha es ms conveniente para una mayor precisin, pues cubren una amplitudmayor de condiciones posibles y aumentan la uniformidad dentro de cada bloque. No obs-tante, tambin es posible usar otras formas, a veces determinadas por las operacionesde cultivo. En el supuesto de la rectangularidad de las parcelas es conveniente, pues, quese orienten al contrario que lo referido anteriormente para los bloques, es decir, el ladomayor en la direccin de la mayor variabilidad.

En relacin con la forma de los bloques, stos han de tender a lo ms cuadrado posible,aunque cualquier forma es correcta siempre que sea efectiva. Lo realmente importante eneste caso es que exista la menor variabilidad posible dentro de ellos. No hay ninguna ne-cesidad de que sean adyacentes, aunque si lo son facilita el manejo del experimento(Fig. 2.3).

Fig. 2.3. Diseo experimental en bloques al azar con 6 bloques adyacentes y 16 tratamientos.


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LAS REPETICIONES Y SUS FUNCIONES

Cuando un mismo tratamiento aparece ms de una vez en un experimento se dice que estrepetido. Las funciones de la repeticin son: permitir una estimacin del error experimental;mejorar la precisin de un experimento mediante la reduccin del error estndar de unamedia de tratamiento; aumentar el alcance de la inferencia del experimento a travs de la se-leccin y del uso apropiado de unidades experimentales ms variables; y ejercer controlsobre la varianza del error.

Para realizar las pruebas de significacin y para estimar el intervalo de confianza, es nece-sario obtener una estimacin del error experimental. Un experimento en el cual cada trata-miento aparece slo una vez, se dice que consiste en una repeticin simple. De unexperimento como ste no es posible estimar el error experimental, puesto que no es posi-ble explicar si una diferencia observada se debe a una diferencia entre tratamientos o a unadiferencia entre unidades experimentales. Por consiguiente, cuando no existe un mtodopara estimar el error experimental, no hay manera de determinar si las diferencias observa-das indican diferencias reales o si se deben a la variacin inherente.

A medida que el nmero de repeticiones aumenta, las estimaciones de las medias poblacio-nales se hacen ms precisas. Si se detecta una diferencia de cinco unidades usando cuatrorepeticiones, un experimento de diecisis repeticiones detectar la mitad de esa diferencia,o sea, 2,5 unidades, pues los errores estndar / 4 y / 16 estn en proporcin 2: 1. Endefinitiva, al aumentar el nmero de repeticiones disminuye el error estndar.

Aumentar el nmero de repeticiones puede significar el uso de material experimental menoshomogneo o una tcnica menos cuidadosa, dando as una nueva poblacin principal con unmayor error experimental. Sin embargo, el aumento en el nmero de repeticiones, por lo ge-neral, mejora la precisin, disminuyendo las amplitudes de los intervalos de confianza y au-mentando el poder de las pruebas estadsticas.

FACTORES A TENER EN CUENTAPARA ELEGIR EL NMERO DE REPETICIONES

El nmero de repeticiones de un experimento depende de varios factores, de los cuales elms importante es el grado de precisin deseada. Cuanto ms pequea sea la discrepanciacon respecto a la hiptesis nula que se ha de comprobar, mayor ser el nmero de repeti-ciones requeridas. En cualquier experimento es, pues, muy importante tener en claro la mag-nitud correcta de la precisin deseada. No tiene sentido usar diez repeticiones para detectaruna diferencia que se puede detectar con cuatro, ni tampoco realizar un experimento en elque el nmero de repeticiones sea insuficiente para detectar diferencias importantes, ex-cepto ocasionalmente.

Cuando se comparan tratamientos que de antemano se sabe que van a ser muy similares (se-lecciones genticas muy parecidas, por ejemplo), se debe aumentar el nmero de repeti-

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ciones para detectar posibles diferencias; sin embargo, cuando se trata de comparar trata-mientos que se prevn muy distintos, no ser necesario establecer un nmero elevado de re-peticiones (tratamientos de fungicidas y testigos no tratados, por ejemplo).

El nmero de tratamientos tambin afecta a la precisin de un experimento, as como al n-mero de repeticiones necesarias para un grado de precisin determinado. Por ejemplo, si seaumenta el nmero de tratamientos y se mantiene constante el nmero de repeticiones paracada uno, entonces aumenta el tamao del experimento y el nmero de grados de libertadpara la estimacin de la varianza del error. Si se mantiene constante el tamao del experi-mento, entonces un mayor nmero de tratamientos implicar un menor nmero de repeti-ciones de cada uno de ellos y, por lo tanto, un menor nmero de grados de libertad paraestimar la varianza del error. Como resultado se tiene una precisin menor, por lo que se de-bera aumentar el nmero de repeticiones para lograr una precisin prefijada. De cualquiermanera, este razonamiento es ms apropiado para experimentos pequeos, por ejemplo, conmenos de 20 grados de libertad en el error.

El diseo experimental tambin afecta a la precisin de un experimento y al nmero de re-peticiones necesarias. Cuando el nmero de tratamientos es grande y resulta obligado usarunidades experimentales ms heterogneas, aumenta el error experimental. Con diseos ex-perimentales apropiados se puede controlar parte de esa variacin.

Desafortunadamente, el nmero de repeticiones puede estar determinado, en parte, por losfondos y el tiempo disponible para el experimento, por lo que se ha de llegar a un equilibrioentre fondos, tiempo y precisin de modo que se minimicen los primeros y se maximice laltima. No obstante, siempre hay que considerar que la falta de fondos o de tiempo no cons-tituye una excusa para realizar un mal experimento.

SORTEO

La razn del sorteo no es ms que asegurar la obtencin de un error experimental que noest sesgado. Esto se logra asegurando que un tratamiento en particular no estar consis-tentemente favorecido o discriminado en cada una de las repeticiones. En otras palabras,cada tratamiento deber tener las mismas probabilidades de ser asignado a cualquier unidadexperimental.

Sortear es algo anlogo a una pliza de seguros, por la que se toman precauciones para unaeventualidad que puede o no puede ocurrir. Aquellos diseos en donde los tratamientos seaplican de una forma prefijada y no al azar, a veces resultan en una estimacin ms alta oms baja que la adecuada del error experimental; asimismo, la precisin en la comparacinentre medias se ve alterada.

Esto es particularmente importante en los ensayos de campo. Numerosos estudios han de-mostrado que las parcelas adyacentes tienden a tener rendimientos ms parecidos que par-celas ms distantes. Tales parcelas producen un error correlacionado o residuo. Comoresultado de ello, si los tratamientos estn dispuestos en el mismo orden sistemtico en


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cada repeticin, puede haber considerables diferencias en la precisin de las comparacionesentre varios tratamientos. Normalmente resulta en una precisin mayor para los tratamien-tos ms cercanos. El sorteo destruye la correlacin entre los errores y hace vlidos los testsde significacin.

EMPLEO DE FILAS GUARDA

Las plantas que se encuentran en el exterior de las unidades experimentales suelen tener uncomportamiento distinto al de aquellas que se encuentran en su interior, en el supuesto deque no haya otras plantas que rodeen a las del experimento. Esto es debido a varios facto-res, entre los que se encuentran una mejor exposicin a la iluminacin, a la humedad delsuelo, los nutrientes, etc. Para evitar que ese efecto aumente la variabilidad, se suelen dis-poner filas guardas que rodeen las unidades experimentales, de manera que las plantas delexperimento siempre se encuentren en el interior de las parcelas (Fig. 2.4). En el caso de lafigura se han dispuesto tanto filas guarda externas, que rodean el conjunto del experimento,como internas, aislando cada unidad experimental.

Fig. 2.4.- Disposicin de rboles guarda en dos unidades experimentales de un experimento.

Las filas guardas dispuestas de esa forma tambin evitan el riesgo de afectar a plantas detratamientos adyacentes, en particular cuando stos consisten en la aplicacin de produc-tos que puedan derivar fcilmente por el aire o por el suelo. En estos casos, es corriente dis-poner de filas guardas dobles (Fig. 2.5). Si no es de temer ese efecto, basta en muchoscasos con disponer filas guardas externas rodeando los bloques o el experimento si aqu-llos se disponen de forma contigua.

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Fig. 2.5.- Diseo experimental con cuatro bloques (indicado en diferentes colores), siete tratamientos, parcela ele-mental de cuatro rboles y filas guardas dobles internas y externas.

INFERENCIAS ESTADSTICAS

Como se ha visto, el objetivo de los experimentos es determinar si existen diferencias rea-les entre las medias de los tratamientos y estimar la magnitud de estas diferencias en casode que existan. Inferir estadsticamente acerca de las diferencias obtenidas lleva consigo elasignar una magnitud de probabilidad a esa inferencia. Por ello, es necesario que sean in-troducidas la repeticin y la aleatoriedad apropiadas al caso, ya que las repeticiones asegu-ran formas de calcular el error experimental y el sorteo asegura una medida vlida de dichoerror.

Escoger entre un experimento con el debido sorteo y uno con tratamientos sistemticos,que aparentemente lleva consigo una mayor precisin, es como escoger entre un itinerariodel que se conoce su estado y longitud y otro de la que lo nico que se conoce es que esms corto.


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CAPTULO 3COMPARACIN DE DOS MUESTRAS

En la investigacin es muy comn evaluar las diferencias entre tratamientos distintos. En elcaso sencillo de comparar nicamente dos tratamientos, se puede realizar la investigacinde dos formas:

1.- Muestras pareadas. En este caso se seleccionan individuos o cosas de dos en dos, esdecir, por pares, de forma que a un miembro de cada par se le aplica un tratamiento y alotro miembro el segundo tratamiento. En ocasiones, el mismo individuo proporciona losdatos para dos muestras distintas que se pretenden comparar; por ejemplo, se puedemedir el contenido de clorofila de una planta antes y despus de una aplicacin de unproducto qumico que se supone puede afectar al contenido en clorofila.

2.- Muestras independientes. Es un caso muy comn en el que se desea comparar las me-dias de dos poblaciones y para ello se toman muestras de cada una de ellas indepen-dientemente. Debido a la naturaleza del muestreo y de las poblaciones, el tamao de lasmuestras puede ser igual o distinto y las varianzas respectivas pueden, asimismo, seriguales o diferentes.

MUESTRAS PAREADAS

La Tabla 3.1 recoge los datos de un experimento en el que se pretenda conocer la formams efectiva de aplicacin del nitrgeno para corregir deficiencias de este elemento en plan-tas jvenes de olivo. Para ello, plantas autoenraizadas de olivo se trasplantaron a macetasde 2 litros de capacidad, que se colocaron en un invernadero durante varias semanas y seregaron con una solucin nutritiva con deficiencia en nitrgeno. Transcurrido un tiempo de cul-tivo en esas condiciones, se seleccionaron plantas por pares, de manera que una planta decada par recibi una aplicacin adicional de nitrgeno al suelo para su absorcin radical, yla otra recibi la misma cantidad de nitrgeno pero en aplicacin foliar. La Tabla 3.1 mues-tra el contenido en nitrgeno de cada planta al finalizar el experimento.

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Tabla 3.1. Contenido en nitrgeno (mg/planta) en plantas jvenes de olivo tras laaplicacin de nitrgeno va foliar o radical.

En el supuesto de que las desviaciones Di D sean normal e independientemente distribui-das con la media poblacional de cero, la cantidad

sigue la distribucin t de Student con (n-1) grados de libertad y puede utilizarse para probarla hiptesis nula de D=0 y calcular el intervalo de confianza de D. Los clculos son los si-guientes:

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Foliar Radical Diferencia Desviacin

Par X1 X2 D = X1 - X2 d = D - D d 2

1 62,9 52,7 10,2 5,62 31,58

2 60,0 54,8 5,2 0,62 0,38

3 87,3 78,6 8,7 4,12 16,97

4 81,0 59,7 21,3 16,72 279,56

5 70,7 56,0 14,7 10,12 102,41

6 65,0 72,8 -7,8 -12,38 153,26

7 67,1 73,0 -5,9 -10,48 109,83

8 58,9 41,4 17,5 12,92 166,93

9 66,5 71,4 -4,9 -9,48 89,87

10 51,7 64,9 -13,2 -17,78 316,13

Total 671,1 625,3 45,8 0 1266,9

Media 67,11 62,53 4,58

El valor 1,22 es menor de 2,262, valor en las tablas de t0,05 para (n-1)=9 grados de libertad(Tabla A1), lo que no permite rechazar la hiptesis nula D=0. Los resultados indican, por con-siguiente, que la forma de aplicacin del nitrgeno no influye en la cantidad absorbida deeste elemento en plantas jvenes de olivo.

El intervalo de confianza al 95% para D es:

luego:

Clculo con el programa Statistic (SX)

Una vez introducidos los datos experimentales, seguir la secuencia:

Statistics>One, Two, Multi-Sample Tests>Paired T Test

y seleccionar las variables en estudio. En el ejemplo, se desea probar la hiptesis nula de quela D=0, esto es, que no existe diferencia entre las medias, siendo la hiptesis alternativa elque sean diferentes (Not Equal). Pinchar en OK y aparece la tabla:

Paired T Test for X1 - X2Null Hypothesis: difference = 0Alternative Hyp: difference 0

Mean 4.5800Std Error 3.7519Mean - H0 4.5800Lower 95% CI -3.9075Upper 95% CI 13.067T 1.22DF 9P 0.2532

Cases Included 10 Missing Cases 0

En la tabla aparece el valor de la media de la diferencia (D), el error estndar de la media( ), el intervalo de confianza, el valor de t, los grados de libertad y la significacin (el valorde P).

Comparacin de dos muestras

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El empleo de muestras pareadas en el curso de la experimentacin viene impuesto muchasveces por las variaciones en el ambiente. As, en condiciones de campo puede ser interesanteponer los tratamientos uno al lado de otro para evitar variaciones respecto al suelo (aunqueesto no siempre es posible). En condiciones de invernadero o de cmaras de crecimiento elmtodo es de gran utilidad, pues si los tratamientos se aplican a macetas contiguas, o a gru-pos de macetas, se evitan diferencias ambientales, particularmente en temperatura y hu-medad, ms que si las macetas se encuentran separadas, pues en esas condiciones decultivo las variaciones ambientales pueden ser acusadas en espacios cortos.

MUESTRAS INDEPENDIENTES DE IGUAL TAMAO CON 1= 2

Con dos muestras independientes normalmente distribuidas, con medias X1 y X2 , que esti-man sus respectivas medias poblacionales 1 y 2, las pruebas de significacin estn basa-das en la distribucin t de Student de la forma:

siendo el denominador una estimada del error estndar de .

Se conoce que la varianza de una diferencia es la suma de las varianzas siempre que las va-riables estn distribuidas independientemente, de forma que:

Puede demostrarse que, aplicando esto a las dos medias X1 y X2 sacadas de poblaciones devarianza 2, cada media tiene de varianza ------, siendo n el tamao de la muestra. En conse-cuencia:

Cada muestra proporciona una estimacin de 2, representadas por s12 y s22. En muestrasdel mismo tamao:

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2

n


con 2(n-1) grados de libertad, es decir, la suma de los grados de libertad de s12 y s22.

El error estndar de la diferencia entre las medias, como se indic anteriormente, es:

y

El ejemplo siguiente recoge los datos de un experimento en el que se evalu el contenido deN-NO3 en un suelo cultivado con olivar en muestras tomadas de parcelas diferentes; en unade ellas no se aplic nitrgeno y en la otra se aplic 1 kg de nitrgeno por olivo durante va-rios aos. Los resultados se muestran en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2. Contenido de N-NO3 en el suelo (mg N/kg suelo seco)

X1 X2(0 kg N/rbol) (1 kg N/rbol)

11.23 30.7214.55 62.1510.28 51.9733.83 51.1328.63 53.038.31 28.42

16.65 51.7813.13 52.0323.38 58.0634.99 58.2814.98 33.518.39 69.58

15.32 48.3817.31 40.3144.8 57.72

n 15 15Total 295,78 747,07X 19,719 49,805s2 121,50 139,36gl 14 14

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El alto valor de t, comparado con el de la Tabla A1 para 28 gl (t0,001 = 3,674), permite rechazarla hiptesis nula a un valor de P de, al menos, el 0,001%; en consecuencia, los resultadosindican que las diferencias entre ambas muestras son altamente significativas.

Los lmites de confianza al 95% para (1 2) son:

luego:

-38,626 1 2 -21,546

Clculo con el programa Statistic (SX).

Una vez introducidos los datos experimentales, seguir la secuencia:

Statistics>One, Two, Multi-Sample Tests>Two-Sample T Test

y seleccionar las variables en estudio. En el ejemplo, se desea probar la hiptesis nula de quela D=0, esto es, que no existe diferencia entre las medias, siendo la hiptesis alternativa elque sean diferentes (Not Equal). Pinchar en OK y aparece la tabla:

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Two-Sample T Tests for X1 vs X2Variable Mean N SD SEX1 19.719 15 11.023 2.8461X2 49.805 15 11.805 3.0481Difference -30.086

Null Hypothesis: difference = 0Alternative Hyp: difference 0

95% CI for DifferenceAssumption T DF P Lower UpperEqual Variances -7.21 28 0.0000 -38.628 -21.544Unequal Variances -7.21 27.9 0.0000 -38.630 -21.542

Test for Equality F DF Pof Variances 1.15 14,14 0.4006


La tabla muestra los valores para ambas variables (media, nmero de datos, desviacin t-pica y error estndar). El valor de t, con los grados de libertad, la significacin (el valor deP) y los lmites de confianza los muestra en los supuestos de igualdad o de desigualdad delas varianzas. En el ejemplo se suponen las varianzas iguales, y el programa aporta esta in-formacin al final de la tabla, donde aparece que el test para la igualdad de las varianzas noda significacin, lo que indica que no se puede rechazar la hiptesis nula de igualdad de lasvarianzas.

MUESTRAS INDEPENDIENTES DE DISTINTO TAMAO CON 1= 2

Aunque siempre es preferible comparar muestras de igual tamao, en ocasiones esto no esposible por falta de datos o por prdidas accidentales durante el proceso del experimento.En estos casos sera posible la comparacin de las muestras siguiendo un anlisis parecidoal que se realiza cuando las muestras son iguales, pero con algunos cambios.

En el supuesto de que las varianzas sean iguales, tenemos dos muestras de tamao n1 y n2,con medias X1 y X2 que tienen varianzas y . La varianza de la diferencia es:

La varianza global se obtiene ponderando por los grados de libertad las varianzas de cadamuestra. As, siendo x1 y x2 las correspondientes desviaciones respecto a su medias, estoes, x1 = X1 - X1 y x2 = X2 - X2 ,


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2__n1

__2n2

esto es, basta sumar las sumas de cuadrados de las desviaciones de cada muestra y divi-dir por la suma de sus grados de libertad.

Como ejemplo se utilizar el ejemplo anterior pero en el supuesto de que en la segundamuestra el tamao sea de 8 en lugar de 15. Los datos se recogen en la Tabla 3.3.

Tabla 3.3. Contenido de N-NO3 en el suelo (mg N/kg suelo seco)

X1 X2(0 kg N/rbol) (1 kg N/rbol)

11.23 30.7214.55 62.1510.28 51.9733.83 51.1328.63 53.038.31 28.4216.65 51.7813.13 52.0323.3834.9914.988.3915.3217.3144.8

n 15 8Total 295,78 381,23X 19,719 47,654 x2 1701,0 962,63gl 14 7

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que ha resultado, como en el ejemplo anterior, altamente significativo, pues 5,67 es mayorque lo reflejado en la Tabla A1 para 21 gl

Los lmites de confianza al 95% para (1 2) son:

luego:-38,189 1 2 -17,685

Clculo con el programa Statistic (SX).

En el programa SX se sigue exactamente la misma secuencia que si se tratase de muestrasde igual tamao. Por ello, una vez introducidos los datos experimentales se sigue la se-cuencia:

Statistics>One, Two, Multi-Sample Tests>Two-Sample T Test

y se seleccionan las variables en estudio. En el ejemplo, se desea probar la hiptesis nula deque la D=0, esto es, que no existe diferencia entre las medias, siendo la hiptesis alter-nativa el que sean diferentes (Not Equal). Pinchar en OK y aparece la tabla:


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Two-Sample T Tests for X1 vs X2Variable Mean N SD SEX1 19.719 15 11.023 2.8461X2 47.654 8 11.727 4.1461Difference -27.935

Null Hypothesis: difference = 0Alternative Hyp: difference 0

95% CI for DifferenceAssumption T DF P Lower UpperEqual Variances -5.67 21 0.0000 -38.189 -17.681Unequal Variances -5.55 13.6 0.0001 -38.748 -17.122

Test for Equality F DF Pof Variances 1.13 7,14 0.3977


La tabla muestra los valores para ambas variables (media, nmero de datos, desviacin t-pica y error estndar). El valor de t, con los grados de libertad, la significacin (el valor deP) y los lmites de confianza los muestra en los supuestos de igualdad o de desigualdad delas varianzas. En el ejemplo se suponen las varianzas iguales, y el programa aporta esta in-formacin al final de la tabla, donde aparece que el test para la igualdad de las varianzas noda significacin, lo que indica que no se puede rechazar la hiptesis nula de igualdad de lasvarianzas.

MUESTRAS INDEPENDIENTES CON 1 2

Lo ms comn es presumir que las dos varianzas de poblacin sean iguales, pero hay oca-siones en que no lo son pues las muestras pueden provenir de poblaciones diferentes, la puede tender a cambiar cuando cambia , o puede haberse muestreado una poblacin ses-gada. En estos casos la varianza de ( X1 - X2 ) no vara de lo recogido anteriormente:

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y la t resulta:

cantidad que no sigue la distribucin t de Student cuando 1 = 2.

Se han desarrollado varias formas de la distribucin t. Siguiendo a Snedecor and Cochran(1974), en el caso de muestras de igual tamao, t = t, con lo que se calcula la t como seha visto anteriormente pero se le da n-1 gl en lugar de 2(n-1). Si las muestras son de dife-rente tamao, se calcula la t y el nivel de significacin viene dado por la expresin:

siendo t1 y t2 los niveles de significacin de t para n1-1 y n2-1 gl, respectivamente, y =

y = . Si el valor de t es mayor que el calculado de esta manera, se concluye que la di-ferencia es significativa.

El programa SX calcula, como ya se ha visto, los valores de t, la significacin y los interva-los de confianza en los supuestos de igualdad y de desigualdad de las varianzas, as comola prueba de igualdad de las varianzas para no dudar de los valores a utilizar. No obstante,en caso de duda es preferible asumir que 12.

La prueba de igualdad de las varianzas se realiza mediante una prueba F de dos colas deforma que:

siendo s1 la mayor de las dos. Si se conociera que 1>2, se puede utilizar la prueba de unacola, esto es, las mismas tablas de F que se utiliza en el anlisis de varianza.

CONSIDERACIONES FINALES

Cuando se trata de comparar dos muestras, como se ha visto en este captulo, hay quetener muy claro si las muestras son pareadas o independientes, pues los resultados del an-lisis pueden alterar las conclusiones si se usa el procedimiento inadecuado.

w2s22

w1s12


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n1

n2

Las muestras pareadas tienen la ventaja de que sus pruebas t no exigen que 1=2 y, enocasiones, el tamao de las muestras puede ser inferior que si se tratase de muestrasindependientes. Pero no siempre es posible hacer un emparejamiento efectivo al disear unexperimento. Hay que tener en cuenta que puede perderse precisin si el criterio para esta-blecer parejas no tiene relacin con la variable en estudio, o si los miembros de un par estncorrelacionados negativamente.

Un problema adicional que se presenta, sean la muestras pareadas o independientes, es quese introduzca un factor aberrante al elegir los individuos o las muestras, que haga que(X1- X2) no sea una estimada de la diferencia media de poblacin entre los dos tratamien-tos. Por ejemplo, que al disponer muestras pareadas de plantas en maceta en un invernaderolas mayores pertenezcan a X1 y las menores a X2. El investigador debe vigilar que estas si-tuaciones no se produzcan. Una forma til de evitar ese problema es hacer el muestreo alazar, de manera que en cada par o en cada muestra independiente los tratamientos se asig-nan por sorteo.

Una ltima cuestin es conocer cual sera el tamao de la muestra que impidiera que una di-ferencia significativa aparezca como que no lo es porque el experimento fue demasiado pe-queo. Se han desarrollado procedimientos para estimar el tamao de la muestra en esascircunstancias (Snedecor and Cochran, 1974), pero a nivel prctico hay que considerar quesi no se conoce nada acerca de la variabilidad de la variable en estudio, es preferible tomaral principio un tamao de la muestra suficientemente grande para evitar ese problema.

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CAPTULO 4ANLISIS DE VARIANZA

El anlisis de varianza o ANOVA (del ingls ANalysis Of VAriance) es una tcnica paramtricautilizada cuando hay ms de dos grupos independientes. Se trata de un mtodo para com-parar medias, no varianzas como su nombre podra sugerir. Su hiptesis nula (H0) establecela igualdad entre las medias de los a grupos o poblaciones (1 = 2 == a), mientras quela hiptesis alternativa (H1) establece que al menos una de las medias es distinta. El anlisisse completa cuando se acepta la hiptesis H0, es decir, no hay diferencias entre grupos. Encambio, cuando se rechaza H0, se sabe que hay diferencias entre grupos, pero para cono-cer en concreto cules son esas diferencias es necesario continuar con los procedimientosde separacin de medias y contrastes que se detallan en el Captulo 5.

MODELOS DE ANLISIS DE VARIANZA

El modelo matemtico que se aplica para el ANOVA en cualquier diseo experimental es elmodelo lineal aditivo, que se formula en forma de suma:

expresando que el valor de cualquier unidad experimental est compuesto por la media ge-neral () ms la suma de los efectos de los diferentes factores ( , ) y sus interaccio-nes,() ,, y la suma de los diferentes errores ( ). Adems de la aditividad, unacaracterstica fundamental de este modelo es que supone que los errores son independien-tes y se encuentran normalmente distribuidos con medias cero y varianzas iguales, es decir,ij...r ~ N(0, 2) para toda i,j,..r.

La expresin concreta de este modelo vara con el diseo experimental y con el nmero y tipode factores que intervienen. Cuando hay un solo factor para analizar se tiene el ANOVA uni-factorial o de una va (One Way ANOVA), mientras que si intervienen dos o ms factores re-sulta el ANOVA multifactorial o factorial a secas. El nmero de factores debe ser limitadoporque al aumentar ste se incrementan las posibles interacciones entre ellos, lo que com-plica el anlisis y su interpretacin.

Los factores o variables independientes pueden ser de dos clases, segn sean sus efectos:

ij ij ...r

i j

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fijos o aleatorios. Ello da lugar a dos tipos de modelos de ANOVA: modelo de efectos fijos(modelo I) y modelo de efectos aleatorios (modelo II). Ambos modelos varan en las asun-ciones, en los propsitos y en la interpretacin, aunque los clculos y las pruebas de signifi-cacin son idnticos.

En el modelo de efectos fijos, los diferentes niveles de los factores se seleccionan de an-temano, por lo que se consideran como parmetros fijos tales que:

La hiptesis nula de este modelo establece que todas las medias (factores e interacciones)son iguales, lo que puede escribirse en trminos del modelo como:

H0: i = 0 para toda iH0: j = 0 para toda j............................................H0: ()ij = 0 para toda i y j

En este modelo I, las inferencias estadsticas respecto a los efectos de los tratamientos per-tenecen, de forma exclusiva, a los niveles seleccionados, por lo que no se pueden extraerconclusiones para otros posibles niveles. Este es el caso ms comn de los experimentosagronmicos, donde generalmente estamos interesados en conocer el efecto de unos nive-les concretos de una variable cualitativa o categrica. Cuando en este modelo se incluyen va-riables independientes cuantitativas (temperatura, tiempo, etc.), se supone que slo estamosinteresados en conocer el efecto de esos niveles concretos, pero no el de toda la poblacinposible de niveles.

En el modelo de efectos aleatorios, los diferentes niveles de los factores se seleccionanal azar de una poblacin mayor de posibles niveles. Por tanto, para cada factor (por ejem-plo el factor T) de efectos aleatorios, 1, 2, a son variables aleatorias independientescon j ~ N(0, ) para toda j. La hiptesis nula en este modelo consiste en la proposicin deque la varianza entre los j (o los efectos del tratamiento) es cero; es decir:

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As, al suponer independencia entre los errores y tratamientos aleatorios, tenemos que la va-rianza total es:

En este modelo II, el inters recae en conocer cunto de la varianza en las observaciones(Var(Yij)) se debe a diferencias reales en las medias de los tratamientos ( ) y cunto se debea errores aleatorios con respecto a estas medias ( 2). Por ello, las inferencias estadsticascon respecto a los niveles del factor estudiado pertenecen a toda la poblacin posible de ni-veles de ese factor. El modelo II es menos habitual en los experimentos agronmicos, perodebera considerarse sobre todo cuando se incluyen variables cuantitativas como variable in-dependientes.

Un tercer modelo (modelo III), denominadomodelo mixto, resulta cuando unos factores sonde efectos fijos y otros de efectos aleatorios. Otra consideracin sobre los modelos es si eldiseo est equilibrado o no. Se dice que est equilibrado cuando cada combinacin del mo-delo contiene el mismo nmero de casos o repeticiones (n1= n2 == nj). En cambio, se con-sidera desequilibrado cuando todos los niveles de los tratamientos no contienen el mismonmero de repeticiones. Estos modelos desequilibrados requieren clculos ms complicadosy dificultan la construccin de los contrastes de hiptesis sobre cada factor, por lo que nosuelen utilizarse en los experimentos agronmicos.

PROCEDIMIENTO GENERAL DEL ANLISIS DE VARIANZA

Modelo I: efectos fijos

Para explicar el desarrollo y los clculos a realizar en el ANOVA se va a considerar el casoms simple: ANOVA de una va para un diseo completamente aleatorio y el modelo de efectofijos. Tenemos, pues, un solo factor o tratamiento (A) con a niveles (i = 1, 2.a) y varias ob-servaciones (repeticiones) en cada nivel (j = 1, 2,.ni). El nmero de repeticiones en cadanivel de A no tiene por qu ser igual, pero es conveniente en algunos casos, sobre todocuando se trabaja con muestras pequeas (pocas observaciones). Para esos casos: n1 = n2=.= ni = n. El nmero total de casos (N) sera:

Los datos se podran agrupar como se indica en la Tabla 4.1.

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Anlisis de varianza

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Tabla 4.1. Ordenacin de los datos para un experimento con un solo factor (A) enun diseo completamente aleatorio con n repeticiones

Repeticiones Niveles del factor A (tratamientos)

1 2 . . . j . . . a

1 Y11 Y12 . . . Y1j . . . Y1a2 Y21 Y22 . . . Y2j . . . Y2a. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .i Yi1 Yi2 . . . Yij . . . Yia. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .n Yn1 Yn2 . . . Ynj . . . Yna

El modelo lineal aditivo para este supuesto sera:

donde, Yij es la i-sima observacin del j-simo tratamiento, es la media general sobretodas las poblaciones, j es el efecto en la respuesta debido al j-simo tratamiento y ijes el error experimental para la i-sima observacin bajo el j-simo tratamiento.

Si 1, 2.a son las medias de las poblaciones y es la media de todas las poblacio-nes, el modelo puede escribirse como:

o bien:

Los parmetros 1, .a y no son conocidos, pero pueden estimarse en base a las ob-servaciones que tenemos de las muestras aleatorias, segn los estadsticos:

Al sustituir los parmetros j y por sus estimadores Yj y Y, tendremos la expresin:

que establece que la desviacin de una observacin (Yij) respecto al promedio de la muestratotal (Y), se divide en dos componentes: la desviacin de la media del tratamiento (Yj) res-pecto a la media global (Y), y la desviacin de Yij respecto a la media del tratamiento (Yj).

Si en lugar de las desviaciones se toma el cuadrado de ellas, para eliminar el signo, y sesuman sobre todos los i y j, se llega a la expresin:

Esta expresin se conoce como la ecuacin fundamental del anlisis de la varianza. Cada unode sus trminos se denomina suma de cuadrados (SC), pudiendo abreviarse en la expresin:

SCTotal = SC Tratamientos + SCError

que indica que la variacin total de un experimento es una suma de dos componentes: la va-riacin entre grupos o tratamientos, ms la variacin dentro de cada grupo o error experi-mental. Si en lugar de un solo factor interviniesen varios (ANOVA factorial), el nmero desumandos aumentara incluyendo las suma de cuadrados de cada factor, de sus interaccio-nes y del error o errores. La descomposicin de la suma de cuadrados es, por tanto, apli-cable a todos los diseos y modelos de ANOVA.

Igualmente, los grados de libertad (gl) correspondientes a este modelo se descomponen ensumandos segn la expresin:

gl(SCT) = gl(SCA) + gl(SCE)o bien:

N-1 = a-1 + N-a; (an -1) = (a -1) + a(n -1)

Dividiendo las sumas de cuadrados por sus respectivos grados de libertad se obtienen loscuadrados medios (CM), que seran por definicin varianzas. Se ha demostrado que el cua-drado medio del error (CME) es un estimador no sesgado de la varianza residual del experi-mento (2), mientras que el cuadrado medio de los

Experimentación en agricultura

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