CONDICIONES DE FRONTERA DE UNA EDP.

PROBLEMAS DE VALOR INICIALCONDICIONES DE FRONTERA, CONVERGENCIA Y ESTABILIDADJENIFER GUERRERO PARRASILVIA JULIANA GUTIERREZSTHEFANY DURNJHOULY OSORIO JAIMESHISTORIA E IMPORTANCIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESLa historia puede consistir en cinco etapas que marcaron un avance definitivo:

Desde los inicio de 1820 cuando Cauchy publica su teorema de existencia.

2. Lo de cauchy da paso a definir esta otra etapa importante que fue la edad del rigor.

3. En 1870 M.s Lie con la aplicacin de la teora de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales

4. 1880 con el trabajo de E.picard CON EL TEORIEMA DE EXISTENCIA con la construccin de las ecuaciones diferenciales con analoga a la teora de las ecuaciones algebraicas de GALOIS

5. 1930 se comienza a estudiar EC.dif infinitas y el calculo de variaciones al anlisis funcional

DIFERENCIA ENTRE EC.DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALESAl igual que es posible establecer un problema de valor inicial para una ecuacin diferencial ordinaria, tambin lo es para una ecuacin diferencial parcial. La diferencia aqu es que en vez de una ecuacin diferencial ordinaria, se utiliza una ecuacin diferencial parcial que tiene un pre-requisito inicial sujeto a la misma.DEFINICINUn problema de valor inicial de la ecuacin diferencial de n-ensimo orden:

consiste en encontrar una solucin de dicha ecuacin diferencial en un intervalo I, que satisfaga en el punto de I, las n condiciones siguientes:

CUANDO SE DA UN PROBLEMA DE VALOR INCIAL PVIDATOS A TENER EN CUENTA ACERCA DE LAS CONDICIONES INICIALESSOLUCION DE PVIEXISTEN VARISO TIPOS DE SOLUCIONES AnalticoNumrico Grafico

SOLUCIN NUMERICA En la mayor parte de los casos no es posible encontrar una forma cerrada para la solucin de los diferentes problemas y no se pueden usar mtodos analticos.

En el siguiente ejemplo no puede desarrollarse por mtodos analticos sencillos.

Usando el teorema del valor medio podemos obtener

Pero a partir de esa teorema no encontramos una formula para la solucin, y a partir de aqu se usaran mtodos numricos, para su desarrollo

Hay gran variedad de ejercicios y problemas aqu es donde se debe saber aplicar un mtodo numrico que pueda resolver la ecuacin dada.

Existen gran variedad de mtodos numricos que pueden ser usado entre ellos estn: el mtodo de Picard, mtodos por integracin, etc.

MTODO DE EULERDe este mtodo se derivan gran variedad de mtodos

De lo mtodos que se derivan el mtodo de Euler estn :

Serie de TaylorLa solucin se desarrolla alrededor de Xn, y se usa la ecuacin diferencial para obtener:

La notacin indica el punto que indica el punto intermedio entre Donde podemos encontrar la solucin al problema

Comparacin entre Euler y TaylorEULER

TAYLOR

EJEMPLO : F(x,y)= X-Y h= 1/4 EULER: Yn+1= Yo+h(Xo-Yo) TAYLOR: Yn+1= Yo+h((Xo-Yo)+h(1-Xo-Yo)) fx(derivada parcial)=1 fy(derivada parcial)=-1 F=fx +fy F(x,y)

EULER TAYLORn XnYn00,00010,25020,500,062530,750,171841,000,3163n Xn Yn00,00010,250,0312520,500,0110430,750,2268341,000,37253Cuadratura NumricaAl integrar la ecuacin diferencial se tiene que:

De aqu al aplicar esta solucin se acota usando el valor de

Diferenciacin NumricaA partir de la definicin de derivada tenemos que:

Para generar un solucin debemos usar un valor de arranque o una condicin inicial en nuestro caso:

Pero en estas aplicaciones de definiciones no obtener un valor exactamente sino una aproximacin a lo cual

De cada uno de los mtodos anteriormente mencionados se derivan :

Mtodo de Taylor Orden 2Regla de TrapecioRegla de SimpsonEuler modificadoEuler mejoradoMtodo leap-frogAdam-Moulton de 2 pasos.EJERCICIO

P0(x0,y0)errorf(x0,y0)y0y1f(x1)F(xf)x0x1xi xi+1x0 x1 x3 x4 xi xnSOLUCIN1. Definir el intervalo de inters:

2. Definir h el intervalo

3.Determinar los argumentos

4.Determinar los valores de Yi

El intervalo de inters [x0,xf] = [0,1]Determinando h: dividimos el intervalo [0,1] en 5 subintervalos Determinar los argumentos:

Determinando los valores de yiSOLUCIN ANALITICA

En general la forma de una Ecuacin diferencial lineal de orden A es:

...........................(1)La solucin de (1) son soluciones exponenciales, o se construyen a partir de funciones exponenciales. En donde su solucin general es:

La solucin General

Aplicando .I. X0 = 0

El valor de x 1

COMPARACIN ENTRE LAS DOS SOLUCIONES

La solucin analtica es: 1.10364El error relativo :El error porcentualEl error absoluto:IMPORTANCIA DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA.DIFERENCIAS FINITAS

Hacia adelanteCentralesHacia atrs

DIRICHLET

C.F en las que la variable dependiente se especifica en cada uno de los puntos de la frontera de una regin.EJEMPLO: distribucin de T en una placa caliente.

NODO (1,1)1.NEUMANEJEMPLO: distribucin de T en una placa caliente cuando uno de sus lados esta aislado.

q=0

Aplicando la ecuacin anterior tenemos:Nodo (0,j):

Aplicando diferencias finitas:

q=0EJEMPLOSe ha diseado un experimento para determinar la termoestabilidad de un nuevo material desarrollado por un grupo de investigadores. Se elabora una placa cuadrada de 100cm^2 de rea la cual es sometida en sus extremos a diferentes niveles de temperatura constante:T=80 Cq=0 T=200 CAceite (T=120 C)yx1,01,11,21,32,02,12,22,3MATERIALK (cal/gC)h ( cal/s*cm^2*C)Aceite-0,01883Material0,103-Nodo (1,0):Aislado (q=0)Ecuacin 1 =Nodo (2,0):Ecuacin 2 =Nodo (1,1):Nodo (1,2):Ecuacin 6=Ecuacin 3 =Nodo (2,1):Ecuacin 4 =Ecuacin 5 =Nodo (2,2):Nodo (1,3):Ecuacin 7 =Ecuacin 8 =ECUACIONES:SOLUCIN:

Problema de EDP, condiciones iniciales de fronteraSistema de ecuaciones algebraicasSolucin aproximada del sistema planteadoSolucin exactaConsistenciaDiscretizacinMtodo adecuadoEstabilidadConvergenciaPensemosQu condiciones se le debe imponer a un esquema numrico para obtener una aproximacin aceptable del problema diferencial?

Cmo se puede obtener informacin cuantitativa sobre la precisin de la aproximacin numrica?

Por qu dos esquemas simples pueden tener comportamientos completamente diferentes?

Consistencia y orden Condicin sobre la estructura de formulacin numrica Convergencia Condicin sobre la solucin del esquema numricoEstabilidadCondicin sobre la solucin del esquema numricoEcuacin diferencialFormulacin discretaSolucin numrica Solucin exacta de la ecuacin discretizadaSolucin numricaSolucin exacta de la ecuacin diferencialDiscretizacin

Recordemos la ecuacin de calor unidimensional

Aumento de tAumento de x

123La ecuacin de calor discretizada queda:

De la cual despejamos el la temperatura en un punto en el espacio, en un instante dado:

45EstabilidadCriterio 1: VON NEUMANNConsiste en suponer una solucin compleja, de la forma

DiscretizandoCoeficiente de amplificacinSi , la solucin crecer con el tiempo y el mtodo es inestable, en caso contrario esta disminuye con el tiempo y la solucin es estable.

Retomamos la ecuacin de calor discretizada anteriormente

132

La solucin es estable si :Anlisis de estabilidad de Fourier

El anlisis es universal y se puede emplear para cualquier tipo de EDP de espacio-tiempo. este anlisis examina la estabilidad de un mtodo dado para resolver una EDP con las siguientes condiciones:

La EDP es linealEl dominio de inters es finitoLos coeficientes de la EDP son constantes

Para pocos casos el sistema numrico es estable bajo ciertas condiciones de frontera incluso cuando el anlisis de Fourier diga lo contrario.

Partiendo de la discretizacin para la ecuacin de calor hallada anteriormente.

Supongamos que la condicin inicial esta dada por una funcin de Fourier. Entonces la solucin del mtodo numrico tiene la forma12Por ltimo

Se sustituye 2 en 1, para hallar G

Consistencia

Cuando los erroresno se conocen, se debe analizar la ecuacin de diferencias completa para la consistencia, Esto se logra cuando se expresa cada trmino en la ecuacin de diferencias por un desarrollo de la serie de Taylor alrededor del punto de la malla (i, j).La ecuacin resultante, llamadaEDM, puede ser simplificada para proporcionar la forma exacta del error de truncamiento de la ecuacin de diferencias completa. Por lo tanto, la ecuacin diferencial modificada difiere de la EDP exacta por el error de truncamiento.

CONVERGENCIAQu es la convergencia?Se entiende por convergencia de un mtodo numrico la garanta de que, al realizar un buen nmero de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez ms al verdadero valor buscado.

Algunos mtodos numricos pueden escribirse de la siguiente forma:

Donde f , la funcn de incremento, depende de sus argumentos a travs de la funcin f (y a veces, como en los mtodos de Taylor, tambin de sus derivadas)

Ejemplos:

Para el mtodo de Euler

Para la regla del trapecio f viene definida implcitamente por:

En un mtodo numrico se dice de k pasos, pues se necesitan k valores anteriores, yn, . . . , yn+k1, para calcular yn+k. Por consiguiente, es necesario disponer de k valores de arranque, y0, . . . , yk1; sin embargo, el problema de valor inicial slo proporciona y0. Si k 2 habr que obtener los k 1 valores de arranque restantes por algn otro procedimiento, como puede ser por desarrollo de Taylor, utilizando un mtodo de un solo paso, etc.

Suposiciones Se harSupondremos tambin que, o bien o bien f depende de yn de forma no trivial.

. Excluimos as mtodos como por ejemplo:

Que es esencialmente de 1 paso, y no de 2, y que se puede escribir como:

Para todos los ejemplos f satisface las siguientes propiedades: Es continua Existen constantes h0 y L tales que:

Si f = 0, entonces f = 0.

Una medida posible de la bondad de la aproximacin es el mayor error cometido

En la medida en la que un mtodo numrico requiera de un menor nmero de iteraciones que otro, para acercarse al valor numrico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia

Definicin formal de convergenciaUn mtodo se dice convergente si para todo problema de valor inicial con f continua en D = [a, b]Rd se tiene que:

MUCHAS GRACIAS