FFssiiccaa UUnniivveerrssiittaarriiaa PPrroobblleemmaass ddee FFssiiccaa M Ma an nu ue el l R R. . O Or rt te eg ga a G Gi ir r n n R Ra af fa ae el l L L p pe ez z L Lu uq qu ue e Departamento de Fsica Aplicada. Universidad de Crdoba. iiFsica Universitaria Fsica Universitaria Problemas de Fsica Primera edicin: julio 2009 Copyright:Manuel R. Ortega Girn Rafael Lpez Luque Editor:Manuel R. Ortega Girn CL Santa Cruz, 10 14.012 Crdoba. Espaa. Tfnos.:+34 957 280051 (particular) +34 957 218483 (departamento) Fax:+34 957 218483 e-mail: mr.ortega@uco.es http://www.uco.es/users/mr.ortega Impresin:Reprografa Don Folio 14.013 Crdoba. Espaa. I.S.B.N. Depsito legal: Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor. Fsica Universitariaiii PPrrllooggoo EstelibrocompletanuestrasobrasLeccionesdeFsicayFsicaUniversitariaque vienen teniendo una amplia y buena acogida, durante ms de dos dcadas, en diversas Universidades Espaolas. Problemas de Fsica, as como el conjunto de la obra en la que se integra, es un libro concebido como apoyo a la enseanza de la Fsica en los estudios universitarios, tanto de carcter tcnico como cientfico, presentando un nivel apropiado para la Fsica que se imparte en los Primeros Ciclos de nuestras Facultades y Escuelas Tcnicas. Desdelamsremotaantigedad,laenseanzasehaenfrentadocondosproblemas bsicos:decidirquconocimientossedebentransmitir(contenidos)yacertarcon cmo puede hacerse esa transmisin (forma).Enelaspectodecontenidos,lamayorpartedelcontenidodeestelibroprocedede nuestraexperienciapersonalydelosexmenespropuestosalosalumnosaquienes hemosimpartidolaasignatura,ycorrespondealosdescriptoresoficiales correspondientes a los Fundamentos Fsicos de la Ingeniera.Enelaspectoformal,durantelapreparacindeestelibrohemospretendidola consecucindedosobjetivosprincipalesqueentendemosquedebenorientarla docenciadelasasignaturasdeFsicadePrimerCiclodelosestudiosuniversitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes bsicas que constituyen laesenciadelaFsicaydesarrollarenelestudiantelahabilidadparamanejaresas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas En Problemas de Fsica hacemos un uso intensivo de figuras y esquemas para facilitar la comprensin de los problemas, su tratamiento y soluciones. Adems, hay un aspecto queconvienedestacar:enmuchosdelosproblemas,lasfigurasrepresentanengran medida la solucin del mismo, lo que realza la importancia de las figuras y esquemas en el planteamiento resolucin de los problemas. Crdoba, julio 2009 ivFsica Universitaria Fsica Universitariav A Estela y Olga Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de stas se poda adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es til para la vida, yo tena un vivsimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acab el curso de los estudios, al finalizar los cules es costumbre ser admitido en la jerarqua de los doctos, cambi enteramente de opinin. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me pareca no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia. REN DESCARTES (1596-1650) El Discurso del Mtodo. viFsica Universitaria Fsica Universitariavii FFssiiccaa UUnniivveerrssiittaarriiaa PPrroobblleemmaass ddee FFssiiccaa viiiFsica Universitaria MMaatteerriiaass LoscdigosdemateriassecorrespondenconelndicedeMateriasdelaobraFsica Universitaria, del mismo autor. M01. lgebra vectorial.M02. Vectores deslizantes.M03. Anlisis vectorial.M04. Cinemtica de la partcula.M05. Cinemtica del slido rgido.M06. Principios de la Mecnica Clsica. La ley de la inercia.M07. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservacin de la cantidad de movimiento.M08. Las fuerzas de la Naturaleza.M09. Sistemas de referencia en rotacin.M10. Trabajo y energa.M11. Conservacin de la energa.M12. Momento angular. Fuerzas centrales.M13. Movimiento armnico simple.M15. Superposicin de movimientos armnicos simples.M16. Geometra de masas.M17. Sistemas de partcilas.M18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.M19. Colisiones.M20. Esttica del slido rgido.M21. Dinmica del slido rgido.M22. Trabajo y energa en el movimiento general del sl. rg.M24. Dinmica impulsiva del slido rgido.M25. La ley de la Gravitacin Universal.M27. Elementos de elasticidad.M29. Esttica de los fluidos.M31. Cinemtica de los fluidos.M32. Dinmica de los fluidos ideales.M33. Dinmica de los fluidos reales.M34. Flujo viscoso.M35. Ondas mecnicas.T00. Termodinmica. E01. Campo elctrico. E02. Capacidad elctrica. E03. Corriente continua. E04. Campo magntico E05. Induccin magntica. E06. Corriente alterna. Fsica Universitaria: Problemas de FsicaVectores. M01.1 1.Consideremos el vector A y la direccin definida por el vector B. Descompongamos el vector A en dos: uno paralelo y otro perpendicular a la direccin del vector B. Demostrar que los vectores componentes de A son (AB/$)eB y (B(AB)/$2. El vector A tiene como componentes los vectores A1 y A2, tal como se indica en la figura. El mdulo de la componente del vector A en la direccin del vector B es la proyeccin de A sobreB,demodoqueloobtenemosmultiplicandoescalarmenteAporelversorenla direccin de B; esto es, 1AB== BBA e ADe modo que el vector A1 viene expresado por 1B( )

=

( )BBA A eEncuantoalacomponenteA2,deladefinicindelproductovectorialsesiguelaexpresin del mdulo de A2; esto es, ( )2 2sen sen AB B A BA ABR R

= = = =A BA BPuesto que la direccin del producto vectorial AB es normal al plano del papel y entrante, la del producto B(AB) ser la del vector A2, de modo que este vector vendr dado por ( ) ( )2 2B B

==BA B B A BA e A1 BAA2 - 1 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaVectores. M01.2 2.Hallarelvectorquerepresentalasuperficiedeltringulodeterminadoporlosvectores 5 8 9 = A i j ky6 5 = B i j kconcurrentes en un punto dado. El vector que define la superficie del tringulo formado porlosdosvectoresvienedadoporlamitaddesu productovectorial.Enconsecuencia,elvectorSesun vectornormal(perpendicularalplano)determinadopor los vectores A y B, y su mdulo vale 12sen A B R , siendo el ngulo que forman entre s los vectores dados, y su sentidovienedeterminadoporlaregladelamano derecha. Analticamente, tenemos 5 6 49 24.51 1 18 1 29 14.52 2 29 5 53 26.5( ) ( ) ( ) ( ) == = = ( ) ( ) ( ) ( )S A B Y su mdulo (superficie del tringulo) es 2 2 224.5 14.5 26.5 38.9 S = = A B S - 2 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaVectores deslizantes. M02.1 1.El mdulo de la resultante de un sistema de vectores es R = 6, el invariante escalar del sistema es M$R = 30 y las ecuaciones del eje central del sistema son 2x = y = 2z. Hallar: a) el momento mnimo; b) la resultante; c) el momento respecto al origen; d) el momento con respecto al punto (2, 1, 0). Elejecentraldelsistemadevectorespasaporelorigendecoordenadas(0,0,0)ysus ecuaciones pueden expresarse en la forma: 2 21 2 1x y zx y z = = = = , por lo que su versor director es 11261| | |= | |\ .ea)Elmomentomnimoesigualalaproyeccinsobreeleje central del momento en cualquier punto del espacio; esto es, mn mn mn130 55 2661M M| | |= = = = = | |\ .M RM eR< b) La direccin de la resultante es la del eje central: esto es,1 162 6 261 1R| | | | ||= = = || ||\ . \ .R ec) Dado que el origen de coordenadas pertenece al eje central, ser0 mn15 6261| | |= = | |\ .M Md) Aplicamos la frmula de cambio de momentos:P O1 2 1 1 1 15 6 5 6 6 6 6PO 2 1 6 2 2 2 226 6 6 61 0 1 1 3 13 | | | | | | | | | | | | ||||||= + = + = + = |||||| |||||| \ . \ . \ . \ . \ . \ .M M RJJJG Eje central R M0 - 3 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaVectores deslizantes. M02.2 2.Unsistemadevectoresdeslizantesestalqueenelorigenelmomentoresultanteesnuloyenlospuntos A(1,0,0) y B(0,1,0) los momentos son MA = aj + k y MB = i + b j- k, respectivamente. Determinar: a) Los valoresdeaybenlasexpresionesdelosmomentos.b) Laresultantedelsistema.c) Elejecentral.d) Si estuvisemosdescribiendoconesteejercicioelmovimientodeunslidorgido,escribadenuevoel enunciado del problema. a) y b) Sea R = (li + mj + nk) la resultante del sistema. Relacionamos los momentos en A y B con el momento en O: A O= M MB O0 1 0AO 011 0la na m nmn m | | | | | | | |= ||||+ = = ||||= ||||\ . \ . \ . \ .=RM MJJJG11 0 1BO 1 0101111 00l n nb mabllnbnml = | | | | | | | | |||| + = = = |||| ||| = == = = | = \ . \ . \ . \ . RJJJG de modo que A B0 1 11 0 11 1 1 | | | | | | |||= = = ||| ||| \ . \ . \ .M M Rc) Puestoqueelmomentoenelorigenesnulo,elejecentralpasaporelorigende coordenadasytieneladireccindelaresultanteR,demodoquevienedadoporlas ecuaciones: 1 1 1x y zx y z = = == d) Un slido rgido tiene un movimiento tal que, en un instante dado, las velocidades de tres desuspuntos......a) ...b) Larotacinresultante.c) Elejeinstantneoderotaciny deslizamiento. - 4 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaVectores deslizantes. M02.3 3.Dadoelsistemadevectoresdeslizantesdelafigura,determinar:a) Losinvariantesdel sistema. b) El eje central. c) El momento respecto al eje Oy. d) Un sistema equivalente al anteriorformado por dos vectorestalesquelarectadeaccin deunodeellosseaeleje Oy. a) Los invariantes del sistema son: 1 12 2=(0 1 0)P =(0,0,1)=(0 0 1)P =(1,0,0)=+VVR j k 1O0 0 1 0 1OP OP 0 1 0 0 11 0 0 1 0 | | | | | | | | | | |||||= + = + = ||||| |||||\ . \ . \ . \ . \ .21 2M V VJJJG JJJG O O0 11 1 11 01 | | | | || = = || ||\ . \ .= R M R M < < , dos soluciones reales distintas. Hay colisin. Si =0 :( )( )221 21 222v vv v ad ad = = , dos soluciones reales iguales. Hay contacto. Si , no hay solucin real. No hay colisin. Otro mtodo: Movimiento relativo. Describimos el movimiento del expreso en el referencial del mercancas, de modo que su velocidad es 12 1 2v v v = . Para evitar la colisin, la velocidad relativa deber anularse antes de que el expreso recorra la distancia d que le separa del mercancas: i.e., ( )221 2 2 2 12rel 122 02 2v v vv v ad ad d= = = = expresomercancasv2 v1 a d x xtdesaceleracion crticamovimiento uniforme del mercancasmovimiento del expreso- 13 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.2 2.Despusdepararelmotordeunacanoa,statieneunaaceleracinensentidoopuestoasuvelocidady directamente proporcional al cuadrado de sta. a) Expresar la velocidad de la canoa en funcin del tiempo. b) demladistanciarecorridaalcabodeuntiempot.c) demlavelocidaddelacanoadespusdehaber recorridounadistanciax.d) Supongamosquecuandoseparaelmotorlavelocidaddelacanoaerade 20 m/s y que 15 s despus dicha velocidad se haya reducido a la mitad. Determinar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en la definicin de la aceleracin. Deacuerdoconelenunciado,laaceleracin vienedadaenfuncindelavelocidadmediante laexpresin 2a kv = ,porloquesetratadeun movimiento rectilneo variado general; i.e., no se trata de un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, ya que la aceleracin no es constante a) Apartirdeladefinicindelaaceleracinymedianteintegracinobtenemoslavelocidad en funcin del tiempo: 002200d d 1 1dd1vv tvvv va kv k t kttktv v v v = = = = = +l l b) Delmismomodo,apartirdeladefinicindelavelocidadymedianteintegracin, obtenemos la posicin o distancia recorrida en funcin del tiempo: ( )00 000000001d d 1 1 dd1d dd d11 1ln 1d 1 1 1 1ln ln ln1x ttu ktx t tv v kt xt x v vktu k tvktv ux u ktk u k k vkv tk kv= += = = + =+=+| |= = = + = = |\ . +

l ll c) Denuevo,apartirdeladefinicindelaaceleracinymedianteintegracinobtenemosla velocidad en funcin del espacio recorrido: 02000d d d dd lnd d dv xvktv v ev x v v va v kv k x ktx t x v v= = = = = = l l d) Apartirdelaexpresindelavelocidadenfuncindeltiempo,obtenidaenelprimer apartado, despejamos la constante de proporcionalidad k y determinamos su valor: 0-1 01 11 1 11 1 110 20 2015 150.0030m30v vkt kv v t= + = = = = =

x a0v0a vt t0- 14 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.3 3.Lavelocidaddeunvehculoquitanievesesinversamenteproporcionalaltiempotranscurridodesdeque comenz a nevar. Transcurrido un cierto tiempo, t0, a partir del instante en que empez a nevar, el vehculo se pone en marcha y recorre 2 km en la primera hora y 1 km en la segunda. a) Determinar la ecuacin del movimientodelvehculo,i.e.,x(t).b) Calcularelvalordet0yeldelaconstantedeproporcionalidad. c) Qu distancia recorrer el vehculo durante la tercera hora de funcionamiento? a) Aplicamos la definicin de velocidad e integramos para obtener la distancia al origen (x) en funcin del tiempo: 000d dd lndx ttx k t tv x k x kt t t t= = = =l l b) Sustituimos en esta expresin los datos que nos proporciona el enunciado, expresando las distancias en kilmetros (km) y los tiempos en horas (h): 001 0 100002 0 200111 2 ln 2ln2( )22 3ln2 3 ln 3ttt t x kttttt t x ktt+ += + = = =++= + = = Desarrollamos la ecuacin anterior( ) ( )3 23 20 0 0 00 0 00 0 0 03 2 3 2 20 0 0 0 0 0 0 01 2 1 23ln 2ln 1 23 3 1 4 4 1 0t t t tt t tt t t tt t t t t t t t| | | | + + + += = + = + ||\ . \ .+ + + = + + + = 01 50.618 h1 1 4 1 522 21 502t += + = = = < Ahora determinamos el valor de la constante k: 1000 02ln 2.078 km 2.078ln1 1.6180.618ln ln ln0.618x t x tx k k xt ttt t= = = = = =+ c) Utilizamos la expresin anterior para determinar la posicin de la mquina quitanieves en el instante t3 = t0+3 y el recorrido durante la tercera hora de funcionamiento: 3 3 3 23.6182.078ln 3.672 km 0.672 km0.618x x x x = = = = 2 km1 km t0 t0+1t0+20 t =x = 2 km 3 km- 15 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.4 4.Un transbordador navega en lnea recta con una velocidad constante v0 = 8 m/s durante 60 s. A continuacin, detienesusmotores;entonces,suvelocidadvienedadaenfuncindeltiempoporlaexpresin 2 20 1/ v v t t = , siendo t1 = 60 s. Cul es el desplazamiento del transbordador en el intervalo0 t < < ? El espacio recorrido con velocidad constante hasta el instante t1 = 60 s es 1 0 18 60 480 m x v t = = =Apartirdeeseinstante,lavelocidadvadisminuyendo,porloqueobtendremoselrecorrido mediante una integracin: 1 112 22 0 1 0 10 12 2 22 21 0 1 0 1 0 11d dd d dd1 1 1xx ttv t v t x tv x t x v tt t t tx x v t v t v tt t= = = = | | = = = |\ .l l de modo que el desplazamiento total en el intervalo0 t < < es 1 0 1 0 1 0 1 0 12 960 m x x v t v t v t v t= + = + = = t60 s 120 sv 960 m 480 m x 8 m/s - 16 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.5 5.El bloque de la figura est unido al extremo un hilo inextensible que pasa por una polea B. Para acercar el bloquemasahacias,unoperariohacedescenderelextremoAdelhiloconunavelocidadconstantede 1 m/s. Calcular la velocidad y la aceleracin que tendr la masa cuando pase por el punto C, indicado en la figura, situado a 8 m del operario. Consideramos el sistema de ejes de la figura y establecemos la relacin existente entre la distancia l y la distancia x: l2 = x2 + 62 y la derivamos respecto al tiempod d d d2 2d d d dl x l xl x l xt t t t= =As,cuandox=8myteniendoencuentaquedl/dtesla velocidaddedecrecimientodelalongitudl,quecoincide conlavelocidadconquedesciendeelextremoAdelhilo (i.e., dl/dt = - 1 m/s), se obtiene 2 2d d 8 6 51 m/s =d d 8 4- 1.25 m/sx l lt x t+= = = Derivamos de nuevo 2 22 22 2d d d dd d d dl l x xl xt t t t| | | |+ = + ||\ . \ . y teniendo en cuenta que 22d0dlt=y que para x = 8 m es d 5m/sd 4xt= , despus de despejar se obtiene 2 222 2 220.0703 m/sd 1 d d 1 25 91 m/sd d 8 16 128 dx l xx t t t | | | |= = = = || \ . \ . y x 6 m x l - 17 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.6 6.SielcuerpoAdelafigurasemuevehacialaizquierdaconunaceleridadde 6 m/s, determinar la celeridad del cuerpo B. Adems, si la celeridad del cuerpo A disminuye a razn de 1 m/s2, determinar la aceleracin del cuerpo B. Establecemos la condicin de que la longitud de la cuerda permanece constante, adoptando el convenio de signos que se indica en la figura, A B4 2 cte. x x + =y la derivamos con respecto al tiempo A B B A B A12 m/s 4 2 0 2 2 2 6 x x x x v v + = = = = =de modo que el cuerpo B se mueve hacia la izquierda (al contrario de lo indicado en la figura). Derivamos de nuevo con respecto al tiempo para obtener las aceleraciones: A B B A B2A4 2 0 2 2 2 ( 1 2 m/s ) x x x x a a + = = = = + =de modo que el cuerpo B presenta una aceleracin en sentido contrario a su velocidad, por lo que sta disminuye. En la figura adjunta se indican los sentidos reales de las velocidades y aceleraciones. AB A BOxAxB vA, aAvB, aB- 18 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.7 7.LadeslizaderaAsemuevehacialaderecha,porlaguarectilneahorizontal,conunavelocidadvA constante. La deslizadera A est unida al bloque B mediante un hilo inextensible que pasa por una polea en C. Calcular velocidad y aceleracin del bloque B en funcin de la distancia x que se indica en la figura. SeaLlalongituddelhilo.Escribimoslacondicin geomtrica de ligadura: 2 2L x h s = + +y la derivamos con respecto al tiempo: B A2 2 2 2202xxsxv vx hsx h+ = = =+ +

ParaobtenerlaaceleracintangencialdelbloqueB debemos derivar de nuevo con respecto al tiempo: 2 22 2A2 2 32 22 2 2t A A2 2 2 2 3/ 2 / 2(( ) ) ()xxx hx x h xx x x x ha s v vh vx h x h h x++ += = = =+ + +

La aceleracin normal del bloque B ser: 2 2 2BnA2 2v xR xvhaR += = A C B Ou hx s - 19 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.8 8.Sobreunterrenohorizontal,lanzamosunapelota,verticalmentehaciaarriba,conunavelocidadinicialde 10 m/s. El viento ejerce sobre la pelota una fuerza horizontal igual a la quinta parte de su peso. a) Calcular la altura mxima que alcanza la pelota y su velocidad (mdulo y direccin) en ese instante. b) Determinar la distancia entre el impacto en el suelo y el punto de lanzamiento, as como la velocidad de la pelota (mdulo y direccin) en ese instante. Setratadelacomposicindedosmovimientosunifor-mementeaceleradosendireccionesperpendiculares entre s, cuyas aceleraciones son 0.2xya ga g= = Mediante dos integraciones sucesivas, obtenemos 2 22 0010.10.2212xx xyx a t gtv a t gtv v gty v t gt= = = = = = a) En el punto ms alto de la trayectoria ser: 0A(A) 0yvv tg= =La altura mxima alcanzada y la velocidad en ese instante sern: 2 2 2 20 0 0A2001 105.10 m2 2 2 9.8(A) (A) 0.2 0.2 0.2 10 2 m/sxv v vy gg g gvv v g vg= = = == = = = = b) Cuando la pelota regresa al suelo, ser: 2 00 B B B2 1(B) 02vy v t gt tg= = =El alcance y las componentes de la velocidad en ese instante sern: 2 2 20 0B20B 000 B 0 04 100.1 0.4 0.4 4.08 m9.82(B) 0.2 0.2 0.4 0.4 10 4 m/s2(B) 10 m/sxyv vx g gg gvv gt g vgvv v gt v g vg= = = == = = = == = = = El mdulo y direccin de dicha velocidad son: 2 210(B) 4 10 116 10.77 m/s arctg arg tg 2.5 684v u = + = = = = =yx123456 1 2 3 4 5 6 g g/5 v(A) A B v(B) v0 - 20 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.9 9.Unmuchachoqueestsituadoa4 mdeunaparedverticallanza contraellaunapelotasegnindicalafigura.Lapelotasaledesu mano a 2 m por encima del suelo con una velocidad inicial v = (10i + 10j)m/s.Cuandolapelotachocaenlapared,seinviertela componentehorizontaldesuvelocidadmientrasquepermanecesin variarsucomponentevertical.Aqu distanciadelaparedcaerla pelota al suelo? Tomamos un sistema coordenado de referencia con origen en elpuntodelanzamientodelapelota,comoseindicaenla figura.Podemossimplificarlaresolucindeproblemaobservandoquelaparedactacomo unespejo,demodoqueconsideraremoslatrayectoriavirtualqueseindicaenlafigura inferior.Escribimoslasecuacionesparamtricasdelmovimientodelapelotay,apartirde ellas, eliminando el tiempo, obtenemos la ecuacin de la trayectoria: 0002 210 2 20 02xxyyx xxx v t tvvgy v t gt y x xv v= == = 2 2210 9.80.04910 2 10y x x x x= = La pelota toca el suelo cuando y = -2 m, de modo que 2 22 0.049 0.049 2 022.24 m1 1 8 0.049 1 1.1798(negativo) 2 0.049 0.098x x x xx = = + = = = lo que representa una distancia a la pared de 22.24 4. 18.24 m 00 D = = v0 20.049 y x x = v0 D y x Trayectoria virtual- 21 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.10 10. En un cierto instante la celeridad de una partcula es de 20 m/s y el mdulo de su aceleracin es 3 m/s2. En ese instante, los vectores velocidad y aceleracin forman entre s un ngulo de 30. Determinar la curvatura y el radio de curvatura de la trayectoria de la partcula en ese instante. Componentes intrnsecas de la aceleracin: tt t n nncossena aa aa auu= = + =a e eDelarelacinexistenteentrelaaceleracincentrpetao normal y el radio de curvatura, se sigue: 2 2 2nnsenv v vaa app u= = =Sustituyendo los valores dados en el enunciado: 2 220267 msen 3sen30vapu= = =La curvatura se define como la inversa del radio de curvatura: -12 21 sen 3sen300.00375 m20avukp= = = =a an at C v - 22 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.11 11. Unapartcula,quesemueveconaceleracinconstantea=2i+3j+k(S.I.),pasaporelorigende coordenadas en el instante inicial (t = 0) con una velocidad v = - 3 i - 2 j (S.I.). a) Escribir las expresiones de lavelocidadylasecuacionesdelatrayectoriaenfuncindeltiempo.b) Determinarelinstanteenquela velocidadesmnimayelvalordesta.c) Dgasequetipodetrayectoriasiguelapartcula(circular, rectilnea, elptica, u otra). Puestoquelaaceleracinesconstante,lasexpresionesdelavelocidadydelvectorde posicin sern: 0 0t = + = v v a r r210 2t t + + v aa) Sustituyendo en estas expresiones las condiciones propuestas, obtenemos: 22 223 2 3 2 3 2 312 3 2 3 2 3 2 1.520 1 0 1 0.5t tt t t t tt t| | + + | | | | | | | | | | | |||||= + = + = + = + | ||||| ||||| |\ . \ . \ . \ . \ .\ .v ry las ecuaciones paramtricas de la trayectoria son 2 2 23 2 1.5 0.5 x t y t z t = + = + =b) La celeridad o mdulo de la velocidad viene dado por 2 2 2 2 2( 3 2 ) ( 2 3 ) 14 24 13 v t t t t t = + + + + = +de modo que derivando con respecto al tiempo e igualando a cero (condicin de mximo o de mnimo), tenemos: 2d( ) 2428 24 0d 286s7vt tt= = = =y la celeridad en ese instante es 2 236 6 504 1008 637 13314 24 13 2.71 (m/s)49 7 49 491.65 m/s v v += + = = = =c) Con carcter general, cualquier movimiento en el que la aceleracin sea constante presenta unatrayectoriaparablica.Elparadigmadetalesmovimientoseselmovimientodeun proyectil en el campo gravitatorio. - 23 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaCinemtica de la partcula. M04.12 12. Una partcula se mueve en el plano xy con aceleracin constante. Para t = 0, la partcula se encuentra en la posicinr0=4i+3jmysemueveconvelocidadv0.Parat = 2 s,lapartculasehadesplazadoala posicinr2=10i2jmysuvelocidadhacambiadoav2=5i6jm/s.Determinar:a) Lavelocidadv0. b) La aceleracin de la partcula. c) La velocidad de la partcula en funcin del tiempo. d) La ecuacin de la trayectoria. e) Las aceleraciones normal y tangencial y el radio de curvatura para t = 2 s. Puestoquelaaceleracinesconstante,lasexpresionesdelavelocidadydelvectorde posicin sern: 210 0 0 2t t t = + = + + v v a r r v aSustituyendo en estas expresiones las condiciones propuestas, obtenemos: 0000020005[1] 2 56 2[2] 2 60 0 010 4[3] 2 2 622 3 2[4] 2 2 5 20 0 0 0x xx xy yy yx xx xy yy yv av av av av av av av a| | | | | |+ = ||| = + |||+ = |||\ . \ . \ .| | | | | | | |+ = |||| = + + ||||+ = ||||\ . \ . \ . \ . demodoquedisponemosdecuatroecuacionesconcuatroincgnitas.Resolvindolas, tenemos: 0 0 0 02 20 01 m/s [2] 2 6 1 m/s [1] 2 5[3] 2 2 6 [4] 2 2 5 2 m/s 3.5 m/sy y y x x xx x y y x xv v a v v av a v a a a= + = = + = + = + = = = Los resultados pedidos son: 22 2 201 2 1 2 41 m/s 3.5 m/s 4.03 m/s 1 3.5 m/s 3 1.75 m0 0 0 0t t ta t t t| | + + + | | | | | | | |||= = = = = + | ||| ||| |\ . \ . \ .\ .v a v re) En el instante t = 2 s, sern 2t t2n t n2 5 5 1551 31 13.5 6 6 18661 61 610 0 0 02 155 331 13.5 186 27.5613.97 m/s0.610 0 0av v va| | | | | | | || | | |||||= = = = = = || ||||\ . \ . |||| \ . \ . \ . \ . | | | | | | |||= = = = ||| |||\ . \ . \ .a v v a va v va a a0, de modo que 22 2 204g gN mg m A A XX Q O= < = . b) Ahora,interviene una fuerza de rozamiento esttico de valor f N mg N N _ =Denuevoconsideramosunaelongacingenricaxy escribimoslaec.delmovimientodelamonedaenel supuestodequepermanezcaenreposorespectodela plataforma, 2f mx m x X = = de modo que la fuerza de rozamiento tiene en cada instante direccin opuesta a la elongacin y presenta su valor mximo para x = A, tal que2mxf m A X =Combinando estas dos ecuaciones tenemos: 22 2 24g gm A mg AN NX NX Q O< < =mg N x mg N f x - 113 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaMovimiento armnico simple. M13.13 13. Undeportistaquepesa60kgselanzadesdeunpuentesujetoaunacuerdaelsticade30mdelongitud natural (practica puenting) llegando justamente a tocar la superficie del agua situada a 40 m por debajo en laverticaldedondeinicielsalto.a) Calcularlaconstanteelsticadelacuerda.b) Determinarla aceleracinmximaalaqueestarsometidoeldeportistayenqupuntolaadquiere.c) Unavezquese hayaamortiguadolacada,demodoquelacuerdapermanezcasiempretensa,determinarlafrecuenciade las oscilaciones verticales que experimentar el deportista. a) Conservacin de la energa entre A y C: ( )( )20 201 202mglmgl k l l kl l= = de modo que 22 60 9.8 40 N470.410 mk

= =b) Enuninstantegenrico, laecuacindelmovimiento del deportista se escribe en la forma F mg ma =siendo F la tensin de la cuerda. La aceleracin mxima ocurre en el instante en el que la cuerda elstica presenta su mximo alargamiento (l = 40 m) y, por ende, su mxima tensin;( ) ( )mx mx mx mxmx mx kF mg ma k l mg ma a l gm = = = o sea 2mx470.4 109.8 78.4 9.8 68.6 m/s 760a g

= = = =c)Unavezquesehayaamortiguadolacada,demodoquelacuerdapermanezcasiempre tensa, el deportista experimentar un m.a.s. vertical cuya frecuencia es 470.4 12.8 rad/s 0.446 Hz 2.24 s60 2kTmXX OQ O= = = = = = = Laposicindeequilibriocorrespondeaunalargamientox0delacuerdatalquesutensin equilibre el peso del deportista; esto es 0 060 9.80 1.25m470.4mgF mg kx mg xk

= = = = = l0 = 30 m l = 40 m Fmgav0AB C - 114 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaMovimiento armnico simple. M13.14 14. Unmuellede20 cmdelongitudy10 N/mdeconstanteelsticaest unido por uno de sus extremos a un eje vertical y en el otro extremo a unapesade100 gsituadaunplanohorizontal.Cuandoelejerotaa razn de 1 r.p.s., la pesa describe una trayectoria circular sobre el plano horizontal(sinfriccin)altiempoqueoscilaradialmente.Determinar el alargamiento del muelle y la frecuencia de las oscilaciones. Describimoslasituacinenunsistemadereferenciaenrotacinenelquelapesase encuentraenreposo.Enestesistemadereferencia,lafuerzaqueproporcionaelmuelle extendido ser igualada por la fuerza centrfuga; esto es,muelle cfF F = . SiendoR

la velocidad angular de rotacin del eje yl el alargamiento que experimenta el muelle, ser: ( ) ( )2 22 2 222 ml lk l m l l k m l ml lkk mmR RR R RRR= = = =

Y sustituyendo los valores dados en el enunciado ( )( )22220.20 27.896 0.130 m 13 cm1060.5220.1llkmQRR Q

= = = = =

Lafrecuenciaangulardelasoscilacionesvendrdadaporlabien conocida expresin general: 10 1010 rad/s 1.59 Hz0.1 2 2kmXX OQ Q= = = = = = - 115 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSuperposicin de m.a.s. M15. 1 1.Expresar la elongacin en funcin del tiempo para los m.a.s. siguientes: a) Movimiento con periodo de 1 s tal que para t = 0 son v = 3 cm/s y a = 0. b) Movimiento con frecuencia 0.25 Hz tal que para t = 0 son v = 0 y a = 16 cm/s2. c) Es la superposicin de los m.a.s. cuyas ecuaciones, en el S.I. de unidades, son: 1 240.06sen 2 0.08sen(2 ) x t x tQQ Q( ) = =

( ) Ecuaciones del m.a.s.: 002 2 2 20 0sen sen( )cos( ) 0 cossen( ) senx A x A tv A t t v Aa A t x a A xG X GX X G X GX X G X X G X' '1 = 1 = 1 11 11 1= = =| |1 11 11 1= = = =1+ 1+ a) 21s 2 rad/s TTQX Q = = =Comoa0 = 0,serx0 = 0yseno = 0,demodoqueo = 0o180y coso = 1. Comov0 = +3 cm/s(positiva),sercoso >0,demodoqueo = 0,de donde resulta 0030.48 cm2vv A A XX Q= = = =0.0048 sen(2 ) (S.I.) x t Q=b)0.25 Hz 2 2 0.25 rad/s2tv e tv t = = = =Como v0 = 0, ser coso = 0, de modo que o = 90 y seno = 1. Comoa0 = 16 cm/s2(negativa),deberserseno >0,demodoque o = +90, resultando 00 2 2 216 16 46.48 cm( / 2)ax Ae t t = = = = + = +0.0648sen( ) 0.0648 cos( ) (S.I.)2 2 2x t tt t t= + = c) Se trata de superponer (sumar) dos m.a.s. de la misma direccin y de la misma frecuencia. Recurrimos a la representacin fasorial (vide figura): 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 cos 0.06 0.08 2 0.06 0.08 cos 45 0.01679 A A A A A G G = = =1 1 2 21 1 2 2sen sen 0.06 sen 45tg 0.3465cos cos 0.06 cos 45 0.08A AA AG GGG G = = = 0.13 m 19.11 0.33 rad A G = = = 0.13sen(2 0.33) (S.I.) x t Q= v0 x0a0 A1 A2 A A 45 v0 x0 a0 o - 116 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSuperposicin de m.a.s. M15. 2 2.Calcular la ecuacin del movimiento armnico resultante de la composicin de:1 23sen4sen6 4x t x tt te e| | | |= + = + ||\ . \ . Ambosm.a.s.tienenlamismafrecuencia,loquenospermiteutilizardemodoinmediatola representacin de Fresnel, compleja o fasorial de tales movimientos. Esto es, ( )( )1 30 12 45 23 2.60 1.50 3sen 304 2.83 2.83 4sen 45x tx tXX' '= = = 1 11 1| |1 1= = = 1 1+ +%%jj 1 2 38.6 0.67 rad5.43 4.33 6.94 6.94 = = = = % % % j y la ecuacin del movimiento resultante es ( ) 6.94sen 0.67 x t e = + Otro mtodo A partir de la representacin geomtrica de Fresnel (fasorial) del m.a.s., resulta inmediato la determinacin del mdulo de m.a.s. resultante: ( )2 2 2 21 2 1 2 1 22 cos 3 4 2 3 4 cos15 6.94 A A A A A o o = + + = + + =as como la fase inicial del mismo: 1 1 2 21 1 2 2sen sen 3 sen30 4 sen 45tg 0.80 38.6 0.67 radcos cos 3 cos30 4 cos 45A AA Ao oo oo o+ + = = = = =+ + y la ecuacin del movimiento resultante es ( ) 6.94sen 0.67 x t e = + A1 ReImA2 A o1 o2 o - 117 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSuperposicin de m.a.s. M15. 3 3.Una partcula se mueve en el plano xy de modo que las componentes cartesianas de su aceleracin vienen dadas por ax = -9x y ay = -9y (S. I.) a) Qu tipo de movimiento se produce sobre cada eje? b) Determinar los vectores de posicin y de velocidad de la partcula sabiendo que en el instante inicial el punto pasa por el origendecoordenadasconunavelocidad:v0=i+2j(S.I.)c) Determinarlatrayectoriadelpuntoyel mximo alejamiento del origen de coordenadas. a) Lasecuacionesquedescribenelmovimientodelapartculasobre los ejes x e y son: sen(3 9 9 09)sen(3 9 ) 0x A t x x x xy t y y B y yBC'= = 11|1== = = 1+ yaque,porserdelaforma,20 x x X =,representansendosm.a.s. simplesendireccionesperpendiculares,conlamismafrecuencia angular3 rad/s X = . b) Imponemos las condiciones iniciales a las soluciones desen( ) 0 0 sen30sen( ) 0 0 sen3x A x A tty B y B tB BC C' '= = = =1 11 1= =| |1 1= = = =1 1 + + Derivandoconrespectoaltiempo,obtenemoslascomponentesdela velocidad, a las que imponemos las condiciones iniciales: 3 cos3 3 1 1/ 3 m03 cos3 3 2 2/ 3 mx A t x A Aty B t y B B' '= = = =1 11 1= =| |1 1= = = =1 1 + + de modo que podemos escribir 1323sen3cos3 3sen32cos3 6sen3sen3x tx t x ty t y ty t'11=1' '= =1 111 1 1| | |1 1 1= =1 1 + + 1=111+ c) Se trata de dos m.a.s. de la misma frecuencia, en fase y en direcciones perpendiculares, de modo que la trayectoria de la partcula es rectilnea, como resulta fcil comprobar eliminando el tiempo entre la ecuaciones paramtricas de la misma. Esto es, 1323sen31/ 3 12/ 3 2se 32nx txyy ty x'11=111 = = |1111+==1 El mximo alejamiento del origen ser: 2 21 4953 9D A B = = = AB xy v0 - 118 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaGeometra de masas. M16.1 1.Unapiezademaquinaria,demasam,estconstituidaporundiscodematerial homogneo, deradio R, al que le falta una porcin circular de radio R/2, tal como se indicaenlafigura.a) Determinarlaposicindelcentrodemasadelapieza. b) Calcular los momentos de inercia de la pieza con respecto a los ejes coordenados (x,y,z) indicados en la figura. Expresar los resultados en funcin de R y de la masa m de la pieza. Comenzamos determinando las masas del disco completo (sin merma alguna) y de la porcin suprimida (negativa) en funcin de la masa mde la pieza: 21112 212 422321 2 44 43 3( / 2)1 13 3mm Rm mmm R Rmm mm m m RmTQTQ TQTQ' '' 1 11 =1 1= = 11 111 111 1 1= = | | |1 1 11 1 1= =1 1 1= =1 1 11+1 1 + + a) Centrodemasa.Aplicamoselteoremacorrespondientealadeterminacindelcentrode mas de un cuerpo compuesto por otros cuerpos: 131 1 2 2cm1 2026Rmm x m x Rxm m m= = = b) Momentosdeinercia.Concarctergeneral,determinamoslos momentos de inercia de un disco de masa m y radio R con respecto a los ejes que se indican: 2 21 12 4zz xx yy zz yyI mR I I I I mR = = = y aplicando el Teorema de Steiner 2 2 2 2 2 2' ' ' '1 3 1 52 2 4 4z z y yI mR mR mR I mR mR mR = = = = Ahora,aplicamosestosresultadosparael clculo delos momentosdeinerciapedidosenel enunciado del problema: 22 2 2 2 21 1 2 222 2 2 2 21 1 2 222 2 2 2 21 1 2 21 1 1 4 1 1 1 1 154 4 4 3 4 3 4 3 48 481 5 1 4 5 1 1 5 114 4 4 3 4 3 4 3 48 481 3 1 4 3 1 2 1 262 2 2 3 2 3 4 3 8 48xxyyzzRI m R m R mR m mR mRRI m R m R mR m mR mRRI m R m R mR m mR mR( ) = = = =

( )( ) = = = =

( )( ) = = = =

( ) de modo que 2 2 25 11 1316 48 24xx yy zzI mR I mR I mR = = = xy R xy R y - 119 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaGeometra de masas. M16.2 2.Una semiesfera y un cono, ambos macizos y homogneos, construidos con el mismo material y del mismo radio, estn soldados por sus bases. Calcular el valor mximo de la altura del cono quepermitaelconjuntocomportarsecomountentetieso(i.e.,quenovuelque)alapoyarlo sobre una superficie horizontal. Centro de masa del cono: ddz VzV= Descomponemoselconoelrodajas(discos)perpendicularesalejederevolucin,demodo que 2d dr z RV r z r zR H HQ = = =2 2 32 2 22 201d d d3 3HR R HV V r z z z R HH HQ Q Q Q = = = = = 2 2 43 2 22 201zd d4 4HR R HV z z R HH HQ Q Q = = = 2 221d3414d3R Hz Vz HVR HQQ = = = (medido desde el vrtice) Centro de la hemisfera. 2 2 3 3sen cos d sen dd d sen ( sen )d sen dr R z R z RV r z R R RR R R RQ Q R R R Q RR= = == = = 03 3 3/ 2(como es sabido)2sen d3V R RQQ RR Q = = 04 404 3 4/ 2/ 2send sen cos d4 4Rz V R RQQR QQ R R R Q l l= = = l l 43d3428d3Rz Vz RVRQQ = = = Centro de masa del cuerpo compuestoDeberestarsituadopordebajodelpuntoOparaqueelcuerpose comportecomountentetieso(equilibrioestable).Enlascondiciones crticas ser: cono cono hemisf hemisfcm cono cono hemisf hemisfcono hemisf2 3 2 20 01 3 2 333 4 3 83V z V zz V z V zV VR H H R H R R H R Q Q= = == = = z Rr z z R z r R H O z - 120 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de partculas. M17.1 1.Una varilla ligera de longitud l puede girar sin rozamiento alrededor de su centro. Se colocan en sus extremos sendas masas 2 m y m y se abandona el sistemadesde laposicin de lavarillahorizontal.Enelinstanteen quela varillaalcanzalaposicinvertical,determinar:a) laceleridaddelas masas; b) la vector cantidad de movimiento del sistema; c) la velocidad del centro de masa del sistema. Posicin del c.m. del sistema constituido por las dos masas: ( )cm2 2222 3 6l llm mlym m( ) ( )= = = a) Puesto que el sistema es conservativo, aplicamos el Principio de Conservacin de la Ener-ga, tomando como nivel de referencia la posicin inicial: ( )210 2 32 2 2 3l l glmg mg m v v = =b) Lacantidaddemovimientodelsistemaeslasumade las cantidades de movimiento de las dos masas: 1 223glmv mv mv m = = = = p p p i i i ic) Lacantidaddemovimientodelsistemaesigualal productodesumasaporlavelocidaddesucentrode masa; esto es, ( )cm cm1 13 3 3 3 3imv glm vm m4 = = = = =pp v v i i i m2 m m 2 mvEp=0 v vmvxy cm l/2 l/2 - 121 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de partculas. M17.2 2.Unmuchachoestsituadoenelcentrodeunaplataformacircular deradioR = 3 m.Laplataforma,inicialmenteenreposo,puede girarsinfriccinalrededordesueje.Elmuchachohacegirar alrededor de su cabeza una masa de 2 kg sujeta con una cuerda de longitud R/2, con una velocidad tal que la masa da una vuelta cada 3 segundos. a) Debido a la conservacin de qu magnitud fsica se poneenmovimientolaplataforma?Razonarlarespuesta. b) Determinarlavelocidadysentidodelmovimientodela plataformaylaenergacinticadelsistemaenmovimiento, sabiendoqueelmomentodeinerciadelconjuntoplataformay muchacho, respecto al eje de la plataforma, es 600 kgm2. Datos: 22 2m m22.094 rad/s 2 1.5 4.5 kg.m3 2RI mQX( ) = = = ==

( ) Por tratarse de un sistema aislado, el momento angular del sistema completo con respecto al ejederotacinpermanecerconstante,demodoquelaplataformaadquiereunarotacinen sentido opuesto a la de la masa de 2 kg. Conservacin del momento angular del sistema aislado: mm m p p p mp4.52. 0.0157 rad/ 094 s600II IIX X X X = = ==Energa cintica: 2 2 2 2k m m p p1 1 1 14.5 2.094 600 0.0157 9.870 0.074 9.994 J2 2 2 2E I I X X = == = m - 122 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de partculas. M17.3 3.Dosprismastriangulares,demasasMym,yanchurasayb,estnen reposo,talcomoseindicaenlafiguraadjunta,sobreuntablerohori-zontalliso.Lassuperficiesdecontactoentrelosdosprismasson,tam-bin,perfectamentelisas.Determinarelretrocesodelprismainferior hastaelinstanteenquelacaraverticaldelprismasuperioralcanzael tablero horizontal. Aplicacin numrica: M = 10 kg, m = 2 kg, a = 40 cm y b = 10 cm. Mtodo 1. Centro de masas. Todaslasfuerzasexternasqueactansobreel sistemaconstituidoporlosdosprismas(pesosy reaccinnormalenlabasedelprismainferior) tienen direccin vertical. Puesto que no hay fuerza externa alguna que de componente en la direccin horizontal, se conserva la cantidad de movimiento delsistemaenesadireccin(aunquenoenla direccinvertical).Enconsecuenciala componentehorizontaldelavelocidaddelcentro delsistemapermanececonstanteeneltranscurso delmovimiento.Puestoquepartimosdelreposo, laposicinhorizontaldelc.m.delsistema permaneceinvariable.Expresamosesta circunstancia en la forma siguiente. Enlafiguraadjuntahemosrepresentadolas posicionesdelosc.m.decadaunodelosprismasmediantelasdistanciasx1yx2 quese indican. En cada una de las dos situaciones, inicial y final, se determina la posicin del c.m. del sistema mediante el Teorema de Varignon: ( ) ( )1 21 2cmM x X m x a b XMx mxxM m M m = = [1] de modo que ser ( ) ( )1 2 1 2Mx mx M x X m x a b X = De donde se sigue 1Mx2mx 1Mx =2MX mx ( )( ) ( )( )m a b mXM m X m a bmX a bM m = = Y sustituyendo los valores dados en el enunciado ( )240 10 5 cm10 2X = = (sigue) b M m aX x1 x2 x2 a-b x1 b Mm a - 123 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de partculas. M17.4 Mtodo 2. Conservacin de la cantidad de movimiento. Todaslasfuerzasexternasqueactansobreel sistemaconstituidoporlosdosprismas(pesosy reaccinnormalenlabasedelprismainferior) tienendireccinvertical.Puestoquenohayfuerza externaalgunaquedecomponenteenladireccin horizontal,seconservalacantidaddemovimiento delsistemaenesadireccin(aunquenoenla direccin vertical). Siendo ddXtla velocidad del prisma inferior,ddxtlacomponentehorizontaldelavelocidadrelativadelprismasuperiorrespectodel inferior, d dd dx Xt t( )

( ) la componente horizontal de la velocidad absoluta del prisma superior, laconservacindelacomponentehorizontaldelacantidaddemovimientodelsistemase expresa en la forma: ( )d d d0 0d d dxX x XMV m v V M mt t t( ) = =

( )[2] De modo que ( ) ( )( )0 0d d d d dd d d dX a bM X m x X M m X m xm mX x X xM m M mmX a bM m= = = = = Y sustituyendo los valores dados en el enunciado ( )240 10 5 cm10 2X = = bMm a Xa-b v vx Vx- 124 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de partculas. M17.5 4.Una cua de masa M se encuentra en reposo sobre un tablero horizontal, como se muestra en la figura. En la partemsaltadelacua reposaunpequeobloquedemasa m,aunaalturahsobreeltablerohorizontal. Todas las superficies son perfectamente lisas. Abandonamos el sistema, de modo que el bloque desciende y lacuaretrocede.Encontrarlavelocidadderetrocesodelacuaenelinstanteenqueelbloquetocael tablero horizontal. Todaslasfuerzasexternasqueactansobreelsistemaformadoporlacuayelbloque (pesosyreaccionesnormalesenlabasedelacua)tienendireccinvertical,porloquese conservalacomponentedelacantidaddemovimientoenladireccinhorizontal.Esta circunstancia se expresa mediante la ecuacin h0 mv MV = [1] Adems, al no existir rozamientos, el sistema es conservativo y podemos escribir la ecuacin que expresa la conservacin de la energa, ( )2 2 2h v1 12 2mgh MV m v v = [2] dondeVeslavelocidadfinaldela cuayvhyvvsonlascomponentes horizontalyvertical,respectivamente, delavelocidaddelbloqueenel momentoenquesteabandonaala cua.Disponemosdedosecuacionesytres incgnitas(V,vhyvv).Necesitamos una tercera ecuacin que obtenemos de imponerque,enelsistemadereferenciadelacua,lavelocidaddelbloque( )h v, v V v es siempre tangente al plano inclinado, es decir ( )vv hhtg tgvv v Vv VR R = = [3] Despejando vh en la ecuacin [1] y sustituyndola en la ecuacin [3] tenemos h vtgM M mv V v Vm mR( ) = =

( ) Sustituyendoestasdosexpresionesenlaecuacin[2]nosquedaunaecuacinconVcomo incgnita nica,de la que despejamos V para obtener: ( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 22 2tg 1 tg tgm gh m ghVM m M M m M m M m R R R= = ll l ll l Multiplicandonumeradorydenominadorporcos2yextrayendolarazcuadradadela expresin anterior, obtenemos finalmente la velocidad pedida: ( )2 222 cossenm ghVM m M mRR= l l l VvvhvvMmh - 125 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaSistemas de masa variable M18.11.Una balanza de resorte est ajustada para leer el cero. Desde una altura de 5 m sobre el platillo de la balanza, dejamos caer un chorro de perdigones, a razn de 20 perdigones por segundo, que chocan contra el platillo, rebotanhaciaarribaconlamismavelocidadysalenabandonandodefinitivamenteelplatillo.Sicada perdign pesa 200 mg, )cul ser la lectura de la balanza? Lavelocidadquetienecadaunodelosperdigonescuando chocancontraelplatillosecalculaapartirdelprincipiode conservacin de la energa: 212 2 9.8 5 9.9 m/s2mgh mv v gh = = = =Cuandounperdigncolisionaelsticamenteconelplatillo, experimenta un cambio en su cantidad de movimiento expresado por: final inicial ( ) 2 m m m = = = p p p v v vEstecambioestdirigidohaciaarriba,demodoqueelplatillo tendrqueproporcionarimpulsoenesadireccin;i.e.,ejercer una fuerza hacia arriba sobre cada perdign. Comoalplatillollegann = 20 perdigonesporsegundo,elcambiodelacantidadde movimiento por unidad de tiempo, esto es, la fuerza, ser d 2dn nmt( ) = = =

( )pF p vY sustituyendo los valores tenemos ( )6 32 2 20 200 10 9.9 79.2 10 N 8.1g F nmv = = ==Esta ser la indicacin de la balanza, ya que los perdigones ejercen sobre el platillo una fuerza igual y opuesta a la que el platillo ejerce sobre ellos (Tercera Ley de Newton). v v + F - 126 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 1.Unautomvilde1200kg,queinicialmenteviajaconunavelocidadde27 m/s,chocacontralaparte posteriordeuncaminquepesa9000 kgysedesplazaenlamismadireccinysentidoa22 m/s.La velocidad del camin en el instante inmediato posterior al choque es de 23 m/s. a) Determinar el coeficiente derestitucin.b) Calcularlaenergamecnicaquesehaperdidoenelchoque.Cmoseexplicaesta prdida de energa? a) Conservacin de la cantidad de movimiento durante el choque: A A B B A A B BBA A B BA9000( ) 27 (22 23) 19.5 m/sm 1200m v m v m v m vmv v v v = = = = Aplicamosladefinicindelcoeficientede restitucin: A BA B19.50.23277022v vev v = = = de modo que se trata de una colisin parcialmente elstica. b) Duranteelchoquedisminuyelaenerga mecnica (cintica) del sistema. 2 2 2 2A B1 1 1 12 2 2 21200 27 9000 22 2 615 400 JkE mv mv = ==2 2 2 2A B1 1 1 12 2 2 21200 19.5 9000 23 2 608 650 JkE mv mv = ==6750 Jk k kE E E ^ = =Laenergamecnica(cintica)quehadesaparecidosehaconvertidoenotrasformasde energa, asociadas a la deformacin de los vehculos colisionantes. AB vB vA AB vB vA - 127 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 2.Uncochede1500 kgqueviajahaciaelesteconunavelocidadde25 m/schocaenuncruceconuna furgoneta de 2500 kg que viaja al norte con una velocidad de 20 m/s. Hallar la direccin y el mdulo de la velocidaddelosvehculosdespusdelacolisin,suponiendoquelosvehculossufrenunacolisin perfectamente inelstica (es decir, quedan unidos). Puesto que la colisin es perfectamente elstica, los dos cuerpos permanecen unidos despus del choque y tan solo se conserva la cantidad de movimiento del sistema coche-furgoneta. Cantidad de movimiento del coche:11500 25 37500 kg.m/s p==Cantidad de movimiento de la furgoneta:22500 20 50000 kg.m/s p ==Cantidad de movimiento de sistema coche-furgoneta: 2 21 237500 50000 62500 kg.m/s p p p = = =Velocidad comn despus del choque es 1 26250015.625 m/s4000pvm m= = = En una direccin que forma un ngulo , como se indica en la figura, tal que 2150arctg arctg 5337ppR = = = p1 p2 p - 128 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 3.Consideremos dos partculas, de masas respectivas m1 y m2, que efectan una colisin perfectamente elstica frontal,demodoquesusvelocidadesantesdelacolisinseanv1yv2=v1,con 0.Supongamosque fuesen iguales las energas cinticas iniciales de las partculas. Calcular el valor (o valores) que deber tener el parmetro para que la partcula "1" quede en reposo despus de la colisin y la relacin entre las masas de ambas partculas para que sea posible esa situacin. Ambaspartculastieneninicialmentelamismaenergacintica,conv2=v1;por consiguiente 22 2 2 2 2 1 21 1 2 2 1 1 2 22 11 12 2m vmv m v mv m vm vH( ) = = = =

( ) Conservacin de la cantidad de movimiento, con v2 = v1: 1 1 2 2 1 1mv m v mv = ( )2 12 2 1 2 2 1 1 1 221mm v v v v v v v vmH H H H = = =Regla de Huygens-Newton, con v2 = v1: 2 1v v ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 11 v v v v v v H= = = Igualando las expresiones de v2 en las dos ltimas ecuaciones: ( ) ( )2 2 21 11 1 2 1 0 v v H H H H H H H H = = =Resolvemos la ecuacin de segundo grado: 121210.4142(alcance) 0.1725.83 1 1 11 212.4142 (frontal) 5.83mmmmH'11 = =11 1= = =|11 =111+ v1 v2 v2 reposo > 0 v1v2 v2 reposo < 0- 129 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 4.Una pelota de ping-pong rebota escaleras abajo, escaln por escaln, de tal modo que todos los rebotes son idnticos.Elcoeficientederestitucinopercusinentrelapelotaylasbaldosasvale0.9ycadaescaln tiene una altura de 19 cm. Determinar la altura de rebote de la pelota sobre cada escaln. Consideremosunreboteaislado;pordefinicindecoeficientede restitucin (e), ser 221 1 2 2 22 1 221 12 22con2v ghv hv ev ev hv gh'1 =1= = =|1=1+ Lapelotadeping-pongrealizaelbotedesdeunaalturah1,respectoal escaln; despus de botar alcanza una altura h2. Como todos los rebotes son idnticos,despusdelboteestaralamismaalturarespectoalescaln siguiente, o sea 1 2h h a = de modo que 22 22 221h ee h ah a e= = de donde 22 210.9 0.810.19 0.19 0.81 81c m =1 0.9 0.1981m100 cm 19hh==== = h1 h2 h1 v2v1 h1 h2- 130 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 5.Dejamoscaerunapelotadeping-pongdesdeunaalturah0sobreunsueloduro,lisoyhorizontal. Observamosquedespusdelquintorebotelapelotasloasciendehastaunaalturah0/2.a) Determinarel coeficiente de restitucin de los rebotes. Es el mismo en todos ellos? b) Calcular la fraccin de energa que se disipa en los rebotes. Es la misma en todos ellos? Por qu? c) Cuntos rebotes debern transcurrir para que la altura de rebote se reduzca a la centsima parte de h0? a)Enlafigurarepresentamoslosrebotessucesivos.Obviamente,larelacinexistenteentre las velocidades indicadas y las respectivas alturas es: 2 para 0,1, 2,...n nv gh n = =donde el subndice n se refiere a la velocidad y a la altura alcanzadas tras el n-simo rebote. Designamosporeelcoeficientederestituciny aplicamos la regla de Huygens-Newton a cada uno de los rebotes sucesivos: 1 022 1 01 033 2 0...nn nv evv ev e vv ev e vv ev e v'=1111= =11 = =|1= =11111+ El valor del coeficiente de restitucin, que es el mismo en todos los rebotes, lo calculamos a partir de los datos para el quinto rebote: 5 5 1/10 5 55 00 01(0.5 0.93 )23v hv e v e ev h= = = = = =b) La prdida de energa en el n-simo rebote ser: 2 2 2 2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 2 22 2 ( ) ( 1) (1 ) (1 ) cten n n n n n nnnE E E mv mv m e v v mv eEE e E eE = = = = = = = La fraccin de energa perdida en cada rebote es la misma en todos ellos y viene dada por 2(1 ) 0.13 13%nEeE = = =c) A partir de la expresin de la velocidad tras el n-simo rebote,0nnv e v = , tenemos: 2 00 0 0 0log( / )2 log log2 loglog0.012 log033.2 rebotes.933n n n n n n nv h h h h he e n e nv h h h en= = = = = = =

h0 h1 h2 v0 v2 v1 v1 - 131 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 6.Sea un sistema formado por una masa de 300 g y un muelle deconstanteelsticaiguala120 N/m,situadosenreposo sobreunplanohorizontalliso,comoseindicaenlafigura. Sobreestamasa,inicialmenteenreposo,choca elsticamenteotramasaidnticaalaanteriorconuna velocidad de 5 m/s. Determinar: a) La velocidad de cada una delasmasasinmediatamentedespusdelchoque.b) Laamplituddelmovimientoarmnicosubsiguiente. c) El tiempo que tardan en volver a chocar las dos masas. d) Variar el resultado del apartado anterior si la velocidad con la que choca la masa incidente fuese el doble? Justifquese la respuesta. a) AplicamoselPrincipiodeConservacindelaCantidaddeMovimientoylaReglade Huygens-Newton (con e = 1) : 1 2 1 2 11 2 1 2 2122 0 05 m/ 2 s 2mv mv mv v v v vv v v v v v v vvv v' ' ' ' = = = 1 1 1 11 1 1 1 | | | |1 1 1 1 = == = =1 1 1 + + + +=1 porloqueelprimerbloquequedaenreposoyelotroadquierela velocidad del primero. b) Despusdelacolisin,laenergacinticadelbloqueunidoal muelle se convierte ntegramente en energa potencial elstica cuando este bloque alcanza su elongacin mxima (amplitud, A); esto es, 2 21 1 0.35 0.25 m2 2 12025 cmmmv kA A vk= = = = =c) Calculamos la frecuencia de las oscilaciones y, a partir de ella, el periodo: 2 220 rad/s 0.31 s20kTmQ QXX120= = = = = =0.8 Obviamente, el tiempo que tardan en reencontrarse los dos bloques es el correspondiente a media oscilacin, i.e., un semiperiodo, de modo que 0.162sTt ^= =d) No variar el resultado, puesto que el tiempo que tardarn en reencontrase los dos bloques ser un semiperiodo, en cualquier caso (en tanto que sea m1=m2), siendo T independiente de la amplitud de las oscilaciones. vk m m 12 (reposo) v12 A 1 2 - 132 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones m1m2 v1km1+ m2 v k m2 v2 m1v17.Unbloquedemasam1=1kgdeslizasobreunasuperficiehorizontallisaconunavelocidadde6 m/s.El bloquechocaconotrodemasam2=2kgqueestenreposounidoaunresortehorizontaldeconstante k = 1200 N/m.Determinarlafrecuenciaconlaqueoscilarelsistematraselchoqueylaamplituddel movimiento en los siguientes casos: a) El choque es totalmente inelstico y las dos masas quedan adheridas despus del choque. b) El choque es perfectamente elstico. a) Choque totalmente inelstico: La cantidad de movimiento se conserva: ( )11 1 1 2 11 21' 6 2 m/s3mmv m m v v vm m= = = = = 1 2120020 rad/s3km mX = = = 10Hz 3.18 Hz2XO OQ Q= = = =Conservacin de la energa despus del choque: 12 ( )21 21'2m m v =2 1 20.1 m220m m vkA A v Ak X= = = = = =b) Choque perfectamente elstico: El coeficiente de restitucin es e=1. ( )1 2 1 2 1 1' ' ' ' v v v v v v = = = La cantidad de movimiento se conserva: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1mv mv m v mv m v v m m v m m v = = = = 1 21 11 216 2 m/s3m mv vm m = = = 2' 6 2 4 m/s v = =por lo que la masa 1 vuelve hacia la izquierda. 2120024.5 rad/s2. H23 9zkmXX O OQ= = = = = = =Conservacin de la energa despus del choque: 1222 212m v=2 222412000.16 mmkA A v Ak= = = = =Nota:LasmasasnovuelvenachocaryaqueT=0.256syeltiempoquetardam1en recorrer la amplitud es: 10.160.08 s2Atv= = = - 133 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 8.Unapartculademasamsedesplazaavelocidadvcuandochoca elsticamente con otra de igual masa que se encontraba en reposo. Despus de la colisin, la trayectoria de la primera partcula forma un ngulo de 30 con respecto a su direccin original. a) Determinar la velocidad de cada una delaspartculastraselimpacto.b)Calcularlapercusinquerecibecada una de las partculas. a) Conservacin de la cantidad de movimiento: 1 2 1 2[1] m m m = = v v v v v vConservacin de la energa cintica: 2 2 2 2 2 21 1 11 1 1 2 2 2 2[2] mv mv mv v v v = = Las ecuaciones [1] y [2] corresponden a una suma vectorial encuadratura,porloquelasdireccionesdelaspartculas despus del choque determinan un ngulo recto, de modo que 1 2 290 60 0 90 3 R R R = = =y las velocidades de las partculas despus del choque son 1 20.87 0. cos30 50 cos 60 v v v v v v = = = =b) Lapercusinqueexperimentacadaunadelaspartculases igualalavariacindesucantidaddemovimientoduranteel choque; i.e., = = p v m , de modo que ( ) 2 2 2 2 = = = v v m mv mv m1 2 2m = = v 11 2 2mv = = en las direcciones en que cambia la velocidad de cada una de las partculas. Otro mtodo Escribimos de nuevo las ecuaciones [1] y [2] que expresan, respectivamente, la conservacin de la cantidad de movimiento y de la energa cintica durante el choque, descomponiendo la primera de ellas en sus componentes longitudinal y transversal: 3 31 2 2 2 2 1 2 21 2 222 1 1 11 2 2 1 2 2 2 2 2 22 22 2 21 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1cos coscos30 cos0 sen30 sen sen sen sen2 4v v v v v vv v vv vv v v vv vv v vv v v v v vR RRR R R R'1= = 1'1 1 = 1 11 11 1= = = =| |1 11 11 1= 1 1 +1 = = 1+ queconstituyenunsistemadetresecuacionescontresincgnitas 1 2 2( , , ) v v R .Resolviendo dicho sistema de ecuaciones se obtienen de nuevo los resultados que ya conocemos. 2 2 2 232 2 1 1 42 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 12 2 2 2 2 1 4 2 22 22 2 22 1cos 34cos 1 sen 1 cos4 4v v v vvv v vv v vv vv v vRR R R'1= 11111= = = = |11111 = 1+ De modo que 2v2 231 1 43 v vv v =2 2 2 3 11 1 1 1 1 4 22 3 v v v vv v v = = 30v v v1 v2 60 30 vv1 2 60 30 1v1 - 134 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 9.Una partcula de masa m se desplaza con una velocidad v cuando choca elsticamenteconotradeigualmasaqueseencontrabaenreposo. Despusdelacolisin,latrayectoriadelaprimerapartculaformaun ngulode60conrespectoasudireccinoriginal.a) Determinarla velocidaddecadaunadelaspartculastraselimpacto.b)Calcularla percusin que recibe cada una de las partculas. a) Conservacin de la cantidad de movimiento: 1 2 1 2[1] m m m = = v v v v v vConservacin de la energa cintica: 2 2 2 2 2 21 1 11 1 1 2 2 2 2[2] mv mv mv v v v = = Las ecuaciones [1] y [2] corresponden a una suma vectorial encuadratura,porloquelasdireccionesdelaspartculas despusdelchoquedeterminanunngulorecto,de modo que 1 2 290 30 0 90 6 R R R = = =ylasvelocidadesdelaspartculasdespusdelchoque son 1 20.50 0. cos 60 87 cos30 v v v v v v = = = =b) Lapercusinqueexperimentacadaunadelaspartculasesigualalavariacindesu cantidad de movimiento durante el choque; i.e., m = = p v , de modo que ( )2 2 2 2 m m mv mv = = = v v 1 2 2m = = v 1 20.87mv = = en las direcciones en que las que cambia la velocidad de cada una de las partculas. Otro mtodo (nada recomendable) Escribimos de nuevo las ecuaciones [1] y [2] que expresan, respectivamente, la conservacin de la cantidad de movimiento y de la energa cintica durante el choque, descomponiendo la primera de ellas en sus componentes longitudinal y transversal: 1 11 2 2 2 2 1 2 21 2 222 3 1 11 2 2 1 2 2 2 2 2 22 22 2 21 22 2 2 2 2 21 2 2 1cos coscos 60 cos3 30 sen 60 sen sen sen sen2 4v v v v v vv v vv vv v v vv vv v vv v v v v vR RRR R R R'1 = = 1' 11 = 11111 1= = = =| |1 11 11 1= 1 1 +1= = 1+ queconstituyenunsistemadetresecuacionescontresincgnitas 1 2 2( , , ) v v R .Resolviendo dicho sistema de ecuaciones se obtienen de nuevo los resultados que ya conocemos. 2 2 2 212 2 1 1 42 2 22 2 2 2 2 2 1 2 12 2 2 2 2 1 2 22 22 2 22 1cos3 4 3 3cos 1 sen 1 cos4 4 4v v v vvv v vv v vv vv v vRR R R'1 = 1111 1= = = = |11111 = 1+ De modo que 2v2 211 1 4v vv v =2 2 231 1 1 1 1 42 0.5 v v v vv v v = =60 v v v1 v2 60 30 v v1 2 60 301v1 - 135 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 10. En una mesa de billar, la bola 1 se mueve con una velocidad de 5 m/s y choca con la bola 2 de modo que sta se introduce en la tronera de la esquina, como seindicaenlafigura.Determinarlavelocidadyladireccindecadabola despusdelchoque,considerndolo:a) completamenteelstico;b) conun coeficiente de restitucin de 0.95. a) Esbiensabidoquecuandounapartculaincidentecolisiona elsticamentecontraotrapartculadelamismamasaqueseencuentraen reposo, las partculas se mueven despus de la colisin en direcciones que son perpendiculares entre s. As, el esquema de colisin es el que se ilustra enlafigura,con1 = 30y2 = 60.Puestoqueenestacolisinse conservantantolacantidaddemovimientocomolaenergacintica, podemos escribir: 1 2 1 1 2 11 2 1 22 2 2 2 2 21 1 11 2 1 1 2 1 2 2 2cos30 cos 60 sen 60 cos 60sen30 sen 60 0 cos 60 sen 60 0mv mv mv v v vmv mv v vmv mv mv v v v' ' 1 = = 11 11 11 1 = =| |1 11 11 1 = =1 1 + + demodoquedisponemosdeunsistemadetresecuacionescondos incgnitas (v1 y v2). A partir de las dos primeras se obtiene fcilmente 121 2 1 1 122 1 1 2 2sen 60 sen 60 cos 60 sen 60 sen 60cos 60 cos 60 sen 64.33m/s2.50m/s 0 cos 60 0v v v v vvvv v v v' ' ' 1 = = 1 11 1 1 | | |1 1 1 = =1 1 1 ++=+= b) Para resolver este problema de choque oblicuo analizamos por separado sus componentes frontalytransversal(tangencial).Paraello,tomamosunabasevectorialapropiadadefinida por los ejes x e y: el eje x sobre la recta que une los centros de las esferas en el instante de la colisin (componente frontal) ; el eje y es normal al anterior (componente transversal), como se muestra en la figura.Componentefrontal:AplicamoselPrincipiodeConservacindelaCantidadde Movimiento y la Regla de Huygens-Newton,... ( )1 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 1 21coscos cos21 coscos2xx x x xx x x x x xxev vmv mv mv v v ve v v e v v v v e vv vRR RRR' 11=1 ' ' = 1 = 111 1 1 | | |1 1 1 = =1 1 1 + +=111+ Componentetransversal:Suponiendoquelasbolas sean lisas, las fuerzas impulsivas que actan durante la colisinsonnormalesalassuperficiesenelpuntode contactodemodoquenotienecomponentessobreel eje y. En consecuencia, las componentes de las veloci-dadesnormalesalalneadeloscentrosnosealteran durante la colisin; i.e., 1 1 2 2sen 0y yv v v R = =Paracalcularelngulo1 bajoelquesaledispersada laesferaincidente,calcularemosprimero1+2;esto es, v1 v1 v2 2 1 v1 1 2 30 v1 v1 v2 x (frontal) y (transversal) 2 1 bola 1 (incidentebola 2 (blanco) - 136 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaM.19 Colisiones 11 21 2 211 2sen 2tg( ) tg11cos2yxvvev evRR R RR = = = Sustituimoslosvaloresdadosenelenunciadodelproblemaparaobtenerlosresultados numricos correspondientes a cada caso: e = 1 (colisin elstica) 211 21 212 122 11 125cos 60 2.5 m/s4.33 m/s 2.5 m05sen 6/s300 4.33 m/s 02tg( ) tg 901 1xxy yv vvvv vR R R R R R'11= =1 ' 1 =111111 1 = = =| |1 11 11 11 1+111+ = = = = == e = 0.95 (colisin parcialmente elstica) 1 21 22 2211 1 1 221 0.95 1 0.952 25cos 60 0.0625 m/s 5cos 60 2.44 m/s5sen 60 4.33 m/s 00.0625 4.332tg( ) tg60 69.2.44 m/s4.33 m/28 8s29 9.21 0.95.2x xy yvvv vv vR R R R R ' '1 11 1 = = = =1 11 11 11 11 1 = = =| |1 11 11 11 1 =1 11 11 1 + + ==== = = - 137 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.1 1.Una escalera AB, de 10 kg de masa, 2.5 m de longitud y centro de masa situado a mitad de la misma, se encuentra apoyada sobre una pared lisa y un suelo rugoso, cuando su extremo inferior se encuentra a una distancia de 1.5 m de la pared. a) Calcular las reacciones en los apoyos A y B. b) Determinar el valor mnimo del coeficiente de rozamiento entre el suelo y laescaleraparaquestapuedapermanecerenequilibrioenlaposicinindicadaenla figura. Determinamos el lado vertical del tringulo: 2 2 2 22.5 1.5 2 m b l a = = =a) AplicamoslasEcuacionesCardinalesdelaEsttica,descompo-niendolasfuerzasenlasdireccioneshorizontalyverticalytomando momentos en el punto A. B BA AB B0 3.75 kg =0 136.8 N98.0 N36.0 kg =1.510 3.75 kg =2 2 2 28 Nf N f NN mg N mga amg N b N mgb' = = = 1111 = = =1|111 = = ==1 1+ b) El valor mnimo del coeficiente de rozamiento es AA21.52 40.375abmgf af NN mg bN N _ _ = = = = A B1.5mA B G a b l mg NB NA f - 138 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.2 2.Una barra uniforme pesa P y se mantiene en equilibrio, apoyada en una pared vertical y enunsuelohorizontal,amboslisos,enlaposicinindicadaenlafigura,graciasala cuerda horizontal CD. Determinar las reacciones en los apoyos de la barra y la tensin en la cuerda en funcin del ngulo . Enlafiguramostramoseldiagramadefuerzasqueactansobrelavarilla. Aplicamos las ecuaciones cardinales de la esttica tomando momentos en el punto C: (1)(2) 100 kgA2(3) cos CGsen CBsen3R TN PlR P N R R R'111=1111| = =|1111= 111+z Con2 1CG )3 2 6ll( ) = =

( )

de modo que la tercera ecuacin se escribe en la forma 2(3) cos sen sen3 6 3l l lR P N R R R = Y, teniendo en cuenta las dos primeras ecuaciones, resulta: 4 tg 2 tg34 3 tg tg4R P NR P R T PR RR R= = = = DABG P Nl/32l/3 R TC D A Bl/3 2l/3CG- 139 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.3 3.LavarillahomogneaAB,quetieneunalongitudde1.6 mypesa2kg,seapoyaporsu extremoinferiorenunmuroverticaly,porunpuntointermedioC,enotravarillafija, horizontal y paralela almuro, a una distancia de 10 cm de ste. Suponiendo que no existan rozamientos entre la varilla AB y los dems elementos en contacto con ella, determnense en laposicinde equilibrioelnguloformadoporlavarillayelmuroylasreaccionesenlos apoyos de la varilla. a)En la figura mostramos el diagrama de fuerzas que actan sobre la varilla. Aplicamos las ecuaciones cardinales de la esttica tomando momentos en el punto A: A(1) costg(2) sen(3) sen2 senN RPP R Nl aP RRRRRR' '= 1 11 1= 111=11+||111=11+z Queconstituyeunsistemadetresecuacionescontres incgnita (N, R y ). Sustituyendo la (2) en la (3): 23sen sen sen2 sen 2 sen2 2 0.1 1sen1.6 81sen 302l a l aR RalR R RR RRR R= =

= = = = = De la ecuacin (2): sen 2 4 kgsenPP R R P RR= = = =Y de la (1), se sigue:3cos 4 2 3 3.46 kg2N R R = = = =Las direcciones y sentidos de estas reacciones son las indicadas en la figura. Otro mtodo Puesto que sobre la varilla solo actan tres fuerzas (P, N y R), stas deben ser concurrentes en unpuntotalcomoelD.Enconsecuencia,elproblemasereduceaunasimplecondicin geomtrica de que el centro de gravedad (G) de la varilla se encuentre en la vertical del punto D. Resolvemos considerando los tringulos ACE, ACD y ADG: ( )2 32AC ADsen AGsen sen sen sensen 2a l alR R R R RR= = = = =Que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

CA BC A B GPN Rl/2 a D E- 140 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.4 4.La barra AB de la figura tiene seccin recta uniforme, de masa m y longitud 1. Determinar el ngulo u correspondiente al equilibrio. De la figura, se siguen fcilmente las siguientes relaciones entre ngulos: 90 90 ( )90 90 ( )B B R B B RC C R C C R = = = = Aplicando las ecuaciones cardinales de la esttica, tomando momentos en G : A BA BG A B0 [1] sen sen0 [2] cos cos0 [3] sen sen2 2xyF N NF N N Pl lM N NB CB CB C'111 = =1111= =|1111 = =111+``` Puestoquetansloestamosinteresadosendeterminarel valordelnguloucorrespondientealaposicindeequilibrio,podemoseliminarfcilmente las reacciones en los apoyos de entre las ecuaciones [1] y [3]:A BA Bsen sensen sencos( ) cos( ) cos( ) cos( )N NN NB CB CB R C R B R C R'= 11 =1 = 1+ de modo que, desarrollando las expresiones trigonomtricas, tenemos sen sencos cos sen sen cos cos sen sensen cos cos sen sen sen cos sen cos sen sen sen2sen sen sen (cos se20.1n sen cos ) cossen( ) sen15tg 1.36602sen sen 2sen30 s n 4 e 5B CB R B R C R C RB C R B C R B C R B C RB C R B C B C RC BRBRC= = = = = = = A Bo u P NBNA o y x u o G A B45 u 30 - 141 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.5 5.Unabarradelongitudlseapoyasinrozamientosobreunapareddeperfil circulartalcomoseindicaenlafigura.a) Determinarlafuerzahorizontal que se debe aplicar en B para mantener la barra en equilibrio. b) Si en lugar de aplicar una fuerza en B se aplicase un par en B, qu valor debera tomar dicho par? a) Las fuerzas que actan sobre la barra son las que se representan en la figura. Tomamos momentos en O: 3sen 60232 4lFl P Pl P F = = =b) Enestecasolasfuerzasqueactansobrelabarrasernlasquese representanenlafigura.DenuevotomamosmomentosenO,para obtener: 3sen602 234lM P P M Pl = = = Lo que resulta obvio, ya que el momento del par (invariante) debe ser igual al de la fuerza F inicialmente aplicada con respecto al punto O. Clculo de reacciones Ecuaciones cardinales de la esttica: AAB AB A34321cos30cos30 2sen301 1 3sen302 2 4PFN PF NN N PN P N P P P'11111= = =1' = 1 11 1| |1 1 =1 1 +111= = = 111+7 NB P B NA 60 F O AllB NB PB NA60 M O A- 142 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.6 6.Unbloqueprismticodeseccincuadradaymasamseencuentraapoyadosobre unplanolisohorizontalyotroinclinadorugoso.Sabiendoquelasituacin representadacorrespondealadelmitedeequilibrio:a) Dibujareldiagramade fuerzas. b) Determinar el coeficiente de rozamiento. a) En la figura adjunta hemos representado el diagrama de fuerzas. b) Escribimoslasecuacionescardinalesdelaesttica,descomponiendoenlasdirecciones horizontal y vertical y tomando momentos en B: 2 21 212B[1] cos30 sen30 tg30[2] sen30 cos30[3] sen30 2 cos15con [4]N f N fN N f PN l Plf N N'1 = =111 =|111=1+={7 Puesto que tan solo estamos interesados en el valor delcoeficientederozamiento,essuficiente combinarlasecuaciones[1]y[4]para determinarlo: 2 21 1tg30tg30 0.5771.733N N N N = = = = 60 30 6030 15 60N1 N2 P l BA fl - 143 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.7 au bT P N f G A PsenuPcosu 7.Unbloquerectangulardedimensionesa = 1 myb = 3 msesitasobreunplano inclinado tal como se indica la figura. Una cuerda sujeta la parte superior del bloque para evitar que caiga por el plano, cul ser el ngulo mximo para que el bloque no deslice por el plano? Cuando el ngulo tiene el valor crtico, el bloque est a punto para volcar deslizandosobrelaaristaAdesubaseylasfuerzasqueactansobreelmismosonlas indicadas en la figura. Aplicandolasecuacionescardinalesdelaestticaenlascondicionescrticas,tomando momentos en A, tenemos: Asencoscos sen1sen cossen cos2 22 2conT f PN PT P Pab aT P PTb P Pbf NRRN R RR RR RN' = 1111= ' =11111 1 11=| |1 1= = 1 11 11+111=11+z14 1sen cos cos sen2 2sen cos 2 cos 2sense t n s g 2 2 coaP P P Pbaba ab bR R N R RR R N R RR N R N R = =( ) =

=

)( Sustituyendo los valores dados en el enunciado, resulta 1tg 2 0.1 0.53 28.13R R = = =

Otro mtodo.- Tengamos en cuenta que: 1) La reaccin resultante R (suma de la reaccin normal N y de lafuerzaderozamientof),enlascondicionesdemovimiento inminente,formaunnguloconlanormalalplanoinclinado, tal que tgff NNN N K = = = 2) Puesto que sobre el bloque solo actan tres fuerzas (P, T y R), stas deben ser concurrentes en un punto tal como el D. De la figura, correspondiente a la posicin crtica, se sigue BC+CD / 2 tg2 G2 tg/ Baba bbKR N= = = a u u = 0.1b u T P R f G A BCDu N - 144 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.8 8.Unacajadeembalajecontieneunfrigorfico,pesa300kgytieneformadeparaleleppedorectangularde 2 m de alto por 80 cm + 80 cm de base. El coeficiente de rozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30. Si deseamosarrastrarlasobreelsuelomediantelaaplicacindeunafuerzahorizontal:a) Culdebeserla magnitud de esa fuerza? b) A qu altura sobre el suelo podemos aplicar esa fuerza sin riesgo de vuelco? Enlafigurahemosrepresentadoeldiagramadefuerzasqueactansobrelacaja.Obsrvese queactandosparesdefuerzas:elpar[F,f]provocaelvuelcosobreEyelpar[P,N]se opone a dicho vuelco. EscribimoslasEcuacionesCardinalesdelaEsttica,tomandomomentosenB(puntode aplicacin de la reaccin normal N): BN PF fFh Px| = == z De las dos primeras ecuaciones se sigue: F f N P F P N N N = _ = _Esto es0.3 300 90 kg F _=Laterceraecuacinnospermiterelacionarladistanciah (puntodeaplicacindelafuerzaexterna)conladistanciax (punto de aplicacin de la reaccin normal N): P P xh x xF P N N= _ = de modo que el valor mximo de h que no produzca el vuelco ser el que corresponda al valor mximo posible de la distancia x: esto es, mxmx/ 2 40133 cm 1.33 m0.3x lhN N_ = = = = P F f N x EBO H h l - 145 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.9 9.Deseamostransportarenunacarretillaunbloquehomogneo,demasam,cuyasdi-mensiones se especifican en la figura. Sea el coeficiente de rozamiento entre la base del bloque y la plataforma de la carretilla. Determinar los valores mximos de la aceleracin delacarretilla(acelerandoyfrenando)paraquenohayamovimientorelativoentreel bloque y la carretilla. a) Cuando la carretilla est acelerando, si la aceleracin es excesiva, elbloquepuedevolcarrotandoalrededordelejeA.Enesas circunstancias,eldiagramadefuerzasenelreferencialdela carretilla,queesnoinercial,eselqueseindiaenlafigura. Tomando momentos en A, tenemos ( ) ( )0 0A1 2 2lmg ma l a g = =z b)Cuando la carretilla est frenando, si la aceleracin es excesiva, el bloque puede volcar rotando alrededor del eje B o resbalar hacia delante(respectodelacarretilla).Enesascircunstancias,el diagramadefuerzasenelreferencialdelacarretilla,queesno inercial, es el que se indica en la figura.b.1) Vuelco. Tomando momentos en B, tenemos ( ) ( )0 0B122 4lmg ma l a g = =z b.2) Resbalamiento.000ma ff mgN mg a gfa gf N mNNNN' = 1 '= 11111 1= =| |1 1 = =1 1= 1 1+1+ Por consiguiente,Si < 0.25, tiene preferencia el resbalamiento. Si > 0.25, tiene preferencia el vuelco 4l l l 4l l l A B mg ma0 a0 4l l l A B mg ma0 a0 N f - 146 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.10 10. Una placa rectangular y homognea, de dimensiones 30 cm x 20 cm, pesa 2 kg y est unida a un eje vertical demodoqueenAestarticuladaconelejeyenBtansoloseapoyaenl,comoseindicaenlafigura. a) Determinar las reacciones en A y en B cuando el sistema est en rotacin con una velocidad angular de 30 r.p.m. b) A partir de que valor de la velocidad angular no se apoyar en B? Reconducimoselproblemaaunproblemadeesttica (equilibrioesttico)analizndoloenunreferencialen rotacinenelquelaplacaseencuentraenreposo.En estascondiciones,eldiagramadefuerzaseselquese muestra en la figura, incluida la fuerza centrfuga. Clculodelafuerzacentrfuga:Seaunelementode masa d d m b x T = , de modo que ( )( )2 2cf2 2 2 2 2cf0d d d1 1 1d2 2 2aF x m bx xF b x x ba ba a maX X TX T X T X T X= == = = =a) Escribimos las ecuaciones cardinales de la esttica, tomando momentos en A: Acf BB cf A[1] [3] [2]2 2R Pb aF bN PN F N' = 11 =|1| =1+}de modo que disponemos de tres ecuaciones con tres incgnitas (NA, NB y RA) De la primera, se sigue que AR P =De la tercera, obtenemos ( )22B cf1 1 12 2 2 2 2ma bN aP bF mga m ab gb b bXX( )( ) = = =

( )( ) y sustituyendo en la segunda ecuacin 22 2 2A B cf1 1 12 4 2 2 4 2 2mga mga ma bN N F ma ma ma gb b bXX X X( ) = = = =

( ) b) Para una cierta velocidad angular crtica, crt, desaparece la ligadura en B (i.e., NB=0): 2 2crt crtB crt20 02 2 2b b ma gN g gb bX XX( ) = = =

( ) Sustituyendo los valores dados, A2A2Bcrt2 0.30 0.209.80.30 m2 0.20 20.20 m2 0.30 0.202 kg9.82 0.20 230 r.p.m. rad/s2 9.89.9 rad/s0.2 kg 19.6 N16.2 N 1.65 kg13.2 N 1.35 kg94.5 r.p.m2.RNabmNQQX QX=( ) ' = == 1

1 ( )11=1 ( )| 1== =1

1 ( )1= =1+

= = ===='11111111111|11111111111+ A B a=30 cmb=20 cmRA NA NB P Fcf dx x G C- 147 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.11 11. Una puerta de garaje pesa 60 kg y est montada como se muestra en la figura. Las ruedas estn enmohecidas de modo que no ruedan sino que deslizan en la gua,siendo0.4elcoeficientecinticoderozamiento.Ladistanciaentrelas ruedas es de 2 m y cada una de ellas dista 50 cm de los bordes verticales de la puerta. Se empuja la puerta mediante una fuerza horizontal constante de modo que se mueva uniformemente. a) Si la lnea de accin de dicha fuerza dista 1 mdelagua,culeslafuerzaejercidaporcadaunadelasruedassobreel carril? b) Encontrar la mxima distancia h a la que se puede aplicar la fuerza horizontal F sin que ninguna rueda se separe del carril. a) Aplicamos las ecuaciones cardinales de la esttica, tomando momentos en el punto A: A B A BA B A B A B1B 2B B( )A2 2hbF f f N N F P F PP N N P N N N P Nb b N P FFh N b P Fh N b PN N N' '1 11 11 1 '= = = = 11 1 11 111 1 1= = = = = | | |1 1 11 1 11 1 1 = 1+ 1 1 = =1 11 1+ +}7 de modo que resulta A A1B B 224 kg42 kg 16.80.kg18 kg 7.2 kg4 600.4 4230 24 0.4 18FN fN f=== === = == b) En las condiciones del enunciado, ser NB = 0; i.e., 2 2 222 2 02.5 m.4h h bP F P h b hb bN NN= = = = = = = =

h F F h fANB NA fBPbA B- 148 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.12 12. Deseamosapilarunciertonmerodeladrillosunosobreotro,comose muestraenlafigura,demodoqueobtengamoselmximosaliente. Deseamosapilarunciertonmerodeladrillosunosobreotro,comose muestraenlafigura,demodoqueobtengamoselmximosaliente. a) Obtenerelcriterio quedebemosseguir paraconseguir nuestroobjeti-vo.b) Demostrarquesepuedeconseguirunsalientetangrandecomoqueramossinmsqueapilarun nmero suficientemente grande de ladrillos. a) En la figura, hemos representado mediante un circulito la posicin del centro de gravedad decadaunodelosladrillos.Medianteuntriangulito,hemosrepresentadolaposicindel centro de gravedad del ladrillo que sirve de base y de todos los que tiene encima. Elcriterioquedebemosseguirparaapilarlosladrillosesqueel centrodegravedaddelos ladrillosqueseencuentreencimadeunodadono sobresalga sobre el borde de este ltimo, tal como seilustraenlafiguraparaunacondicionescrticas de equilibrio. Lamayorlongituddelapartesalientedelladrillo superior(1)esigualal/2.Losladrillossucesivos sobresalensobrelosquelessirvendebaseuna distancia dada por (12)(123)(1234)0 ( / 2)ladrillo 2G=2 42 0 ( / 2)ladrillo 3G=3 63 0 ( / 2)ladrillo 4G=4 8m m l lmm m l lmm m l lm = = = deducindose de modo obvio la regla a seguir en el caso de que hubieran ms ladrillos. b)Ladistanciamximaenquelapartederechadelladrillosuperior(1)sobresalesobreel ladrillo inferior (n-simo) que sirve de base, se expresa en la forma: 1 1 1 1 1 1 1 12 4 6 8 2 1 2 3 4ll( ) ( ) = ( ) ( )! !que es la bien conocida serie armnica, que es divergente. As, para un nmero ilimitado de ladrillos, esta suma tiende hacia infinito, con lo que queda demostrado el aserto propuesto. l/2l/4 l/6 (1)(2) (3) (4) G123 G12 G1 - 149 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.13 AB C L PL 30 FL RT N 13. La barra homognea AB, de longitud L y peso P, mantiene en equilibrio gracias a una articulacin en el punto A y a una cuerda, de longitud tambin L, que acta unida a B y C. a) Qu tensin tendr la cuerda BC? b) Qu reaccin habr en A? Comenzamosdeterminandoelnguloqueformalacuerdaconla horizontal:cos30 cos cos 1 cos30 0.1340 82.3 L L L R R R = = = =Escribimos las Ecuaciones Cardinales de la Esttica, tomando momentos en A: cos82.3 0sen82.3 0A cos30 sen(82.3 30 ) 02T RT N PLP TL'111 =111| =|1111 =11+z y resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (T, N y R) resulta: 0.1340 0 0.1340 0.07330.9910 0 0.9910 0.45770.4330 0.7912 0 0.5473T R R T PT N P N P T PP T T P' = = =1111 = = =|11 = = 11+ de modo que la tensin de la cuerda es0.5473 T P =ylareaccinenA(queactasobralabarra)tiene de componentes 0.4577 0.0733 N P R P = =lo que representa una resultante 2 20.4577 0.0733 0.46350.4577tg 6.24 80.90.0733F P PK K= == = = A B C L L L 30- 150 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.14 14. Elextremosuperiordeunavarilla,demasamylongitudl,estarticuladoauna deslizadera que desliza a lo largo de una gua vertical lisa (vide figura), en tanto que la varilla no pierde contacto en B con el apoyo liso. Determinar el valor del ngulo correspondiente al equilibrio y las reacciones en los apoyos de la varilla. Aplicacin numrica: m = 10 kg, l = 100 cm y a = 5 cm. EscribimoslasEcuacionesCardinalesdelaEstticadelSlidoRgido, descomponiendo en las direcciones horizontal y vertical y tomando momentos en A: A BBBcossenA = sensen 2N NP Na lN PRRRR ==( ) ( ) ( ) ( )z7Demodoquedisponemosdetresecuacionescontres incgnitas. Combinando la tercera con la primera:2 3 3B B2sen sen sen2 2l l aN P Na a lR R R = = =1/3 1/32 10sen 0.4642 27.7100alR R( ) ( ) = = = = ( ) ( ) AB1019.04 kg 187 Ntag tag 27.71021.54 kg 211 Nsen sen 27.7PNPNRR= = = == = = = Mtodo de la energa Expresamos la energa potencial de la varilla (nivel de referencia en B) en funcin del ngulo que forma con la vertical (1 grado de libertad): pcos coscos cos2 sen sen 2l lE mg a mg aR RR RR R( ) ( ) = = ( ) ( ) En la posicin de equilibrio estable, la energa de potenciar debe tener un valor mnimo. As, determinamos el valor del ngulo correspondiente a dicho valor mnimo: 2 2p2 2dsen cossen sen 0d sen 2 2 senEl l amg a mgR RR RR R R( )( ) = = =

( )( ) De modo que 322sen sen2 senl a alR RR= =A Ba l a B l/2 A C P NB D NA - 151 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.15 15. UnavigaAB,de5mdelongitudy60kgdemasa(distribuida uniformemente),estapoyadaenelsuelo.Selevantaelextremo B,aunaalturade3m,medianteunafuerzaaplicadaenB, siempreperpendicularalaviga.Hllense:lafuerzaaplicadaen B,lareaccindelsueloenAyelcoeficientederozamiento mnimo necesario para que A no deslice. Datos: m= 60 kg, l = 5 m, h = 3 m 3sen 0.6 36.875hlR R = = = =Escribimos las ecuaciones cardinales de la esttica, tomando momentos en el punto A A[3][2][1]2 3 6sen 14.4 kg5 5 25sen8 17cos cos 40.8 kg =25 251 2coscos 24 kg =2141.1 N399.8 N235.225Nf F P Pf FN F P N P F P P PlFl PF P mgRRR RRR'1'1 1= = = = =1 11 1=1 11 11 11 1 = = = = = =| |1 11 11 11 1=1 1= = =1 11+ 11+z7Para que no exista deslizamiento en esta posicin deber ser 6170.353fNN = = NP F f AB G hl - 152 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.16 16. LavigaAB,demasa10 kgy1 mdelongitud,estcargadayapoyada comoseindicaenlafigura.DeterminarlareaccinenelapoyoAyla tensin del hilo BC cuando m1 = 2 kg y m2 = 7 kg. Enlafigurapresentamoseldiagramadefuerzasdelcuerpo libre correspondiente a la viga, con 7 2 5 kg 0.4 m10 kg 0.5 mF bP a' '= = =1 11 1| |1 1= =1 1 + + EscribimoslasEcuacionesCardinalesdelaEst-tica, tomando momentos en A: cos30sen30sen30xyT RT R F Pl T bF aP'1 =111 = |111= 1+ de modo que disponemos de 3 ecuaciones con 3 incgnitas (T, Rx, Ry). Sustituyendo valores y resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos: cos30 cos30 14cos30 12.1kg 119 Nsen30 5 10 15 15 sen30 15 7 8 kg 78 N7sen30 0.4 5 0.5 10 7 14 kg 137 Nsen30x xy yT R R T =T R R TT T'= = = = 11 11 = = = = = =11|111= = = = =111+ El mdulo y la direccin de la reaccin en el apoyo A son: 2 2 2 212.1 8 14.5 kg 145 N8=arctg arctg 33.412.1x yyxR R RRRR= = = == = B m1 m2 AC 0.4 m 30 A a 30 Ry Rx P F b - 153 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.17 17. Sobre un canaln cilndrico AB de 10 kg se enrolla un hilo que se engancha enelextremoB,talcomoserepresentaenlafigura.a) Determinarla magnitud mnima de la fuerza F con que debemos tirar del otro extremo del hilo para levantar el canaln. b) Calcular el valor mnimo del coeficiente de rozamientoquedebetenerelcanalnconelsueloparaqueelpuntoAno deslice. Cuando la fuerza F es la mnima necesaria para levantar el canaln, la reaccin en B es nula y el diagrama de fuerzas del cuerpo libre para el canaln es el que se indica en la figura. Aplicamoslasecuacionescardinalesdelaesttica, tomando momentos en el punto O: AAO A A0 (1) cos 00 (2) sen 00 (3) 0xyF F NF N F mgM N R FR N FR NR'1 = = =1111= = =|111= = = = =11+``` de modo que disponemos de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (F, NA y u). De la primera ecuacin, teniendo en cuenta el resultado de la tercera, se sigue: cos 0 cos cos 0 7 . 30 8 F F R N N R = = = =y, anlogamente, de la segunda ecuacin obtenemos:10 9.8sen 01 sen 1 sen30196 NmgF F mg F RR

= = = = F uNAB u NA mg O u x y G R F 30 BA- 154 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.18 18. Uncilindrohomogneode1.2 mdedimetro pesa1 tydescansasobrelaplataformadeun caminsegnseindicaenlafigura.Los bloquesrepresentadosseutilizanparaimpedir que ruede el cilindro cuando acelere el camin. Determinar la aceleracin de ste que hara que el cilindro rodara sobre el bloque. Supongamos que el camin frena con una aceleracin constante-a0.Sobreelcilindroapareceunafuerza deinerciadirigidahaciadelante(enelsentidodela marcha)dadapor-m(-a0) = ma0.Enlafigurahemos representa el diagrama del cuerpo libre o diagrama de fuerzas que actan sobre el cilindro, en un referencial solidarioconelcaminenelque,enlascondiciones crticas,elcilindroaunpermaneceenequilibrio, aunquemanifiestaunatendenciaarodarsobreel borde A del bloque indicado. Aplicamos tan slo la segunda ecuacin del equilibrio, tomando momentos en A: 0 0( )bma R h mgb a gR h = = A partir de la figura, por aplicacin del teorema de Pitgoras, tenemos: 2 2 2 2( ) 2 (2 )10(120 10) 33.17 cmb R R h Rh h h R hb= = = = = De este modo, la aceleracin pedida es 2033.170.6660 106.5 m/s a g g = = = Obviamente,lasmismasconsideracionesnosllevarnalosmismosresultadosenelcasode queelcaminacelere,soloqueentonceslafuerzadeinerciatendrsentidoopuestoal indicado en la figura y la rodadura se presentar sobre el borde B del bloque trasero. Otromtodo: Aplicamostanslolaprimeraecuacindelequilibrio,enlasdirecciones horizontal y vertical; i.e., 000coscotgsencotg a gma Namg N gRRR R' =11 = |1=1+=7 con 50 5sen 56.4 cotg 0.6660 6R hRR R R= = = = =de modo que 20cotg 0.66 6.5 m/s a g g R = = = 10cm60cm mg ma0 h O b A BFuerza de inercia - 155 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.19 60 N P F f 60 A O 19. Calcular la fuerza horizontal tangencial F mnima necesaria para que el disco de la figura, de masa 25 kg, ruede por el plano inclinado a 60. Hllese tambin la fuerza que imprime el plano inclinado al disco, y el coeficiente de rozamiento mnimo para que en esas condiciones no deslice. Aplicamoslasecuacionescardinalesdelaesttica, tomandomomentosconrespectoalejequepasaporel punto A; i.e., cos sen[1][2] cos senA [3]sen ( cos ) (1 cos )F f NN f PPR F R R FRR RR RR R R' = 1111 =|11= = 11+{7Disponemosdetresecuacionescontresincgnitas (F, N , f). sen 314.43 kg =14 [3]1 cos 31.5 N F P F P FRR= = = = = (+ m.a.m.)( sen )( cos )sen cos[1]sen cos[2]cos senN f FN F PN f PRRR RR RR R

' =11 = |1 =1+ De modo que 2senco 25 kg = 245.0 N s1 cosN P P P P N NRRR= = = = = = cos 1 cos 3sen sen 314.43 kg =1 1 N 2 . [ 4 5 ]P Nf P P F f F fR RR R = = = = = = = =A partir de la definicin del coeficiente de rozamiento, tenemos ( 3 /3. 8353)0f PN PN = = = = La ecuacin [3] tambin puede escribirse tomando momentos con respecto al eje que pasa por el punto O; de modo que las ecuaciones cardinales de la esttica quedan en la forma: cos sen [1][2] cos senO [3]F f NN f PfR FR f FR RR R'1 = 1111 =|111= = =11+{7 Laresolucindeestesistemadetresecuacionescontresincgnitas(F, N,f)nosllevaalos mismos resultados anteriormente obtenidos. F60 - 156 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.20 20. Una esfera uniforme de radio R y masa M, se mantiene en reposo sobre un planoinclinadodenguloumedianteunacuerdahorizontalcomose muestraenlafigura,siendoelcoeficientederozamientoentrelas superficies u . Determinar: a) La tensin de la cuerda. b) La fuerza normal ejercida sobre la esfera por el plano inclinado. c) La fuerza de rozamiento que acta sobre la esfera. Aplicacin numrica: M = 3 kg, u = 30 y u = 0.5. Aplicamoslasecuacionescardinalesdelaesttica, tomando momentos con respecto a un eje en O: O 0 [1] cos sen 0 [2] cos sen 0 [3]xyF T f MgF N Mg TM TR f R T fR RR R= = == = == = = =demodoquedisponemosde3ecuacionescon 3 incgnitas (T, N y f ).Rescribimos la ec. [1] con T = f : sen1 co(1 cos ) sensT Mg T Mg R RRR= = y de la ec. [2] se sigue: 2 2 2sen cos cos sen 1 coscos1 cos 1 cos 1 coscos sen N Mg T Mg Mg Mg MgR R R R RRR R RR R ( ) = = = = =

( ) de modo que sen sen1 cos 1 cosT Mg N Mg f MgR RR R= = = y sustituyendo valores 0.8s0en4 k3031gc3 kg 0.804 kgos30T N f = = = = Como la magnitud del la fuerza de rozamiento es tal que max0.5 3 1.5 kg f f N N _ = = =efectivamente hay equilibrio. uu y x T Mg f N A u u O- 157 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.21 21. Dostablerospesan10y20kgymiden2y4mdelongitud, respectivamente. Los tableros estn articulados en sus extremos, entre ellos y en el techo y soportan un cilindro de 1 m de dimetro y 30 kg de peso. No hayrozamientoenningncontacto.a) Qureaccionessoportarnlas articulacionesAyC?(exprsenseenformavectorial)b) Qufuerzase ejercen los dos tableros en la articulacin B? Geometra del problema 2sen 0.5 304AC BCcos30 4 3 / 2 2 3 3.46 mBD BE ODcotg30 1/ 2 3 3 / 2 0.87 mR R = = == == == = == =Aplicamoslasecuacionescardinalesdelaesttica alcilindroyacadaunodelostableros,por separado: Cilindro1 2 12 2333 / 2sen30 tg30 30 10 3 kg30cos30 20 3 kgcos30N N N PPN P N'11 = = = =111|11= = = =111+7 Tabla vertical ( ) ( )A B 1 A B BA B 1 A BA A 1B10 3 10 3 7.5 9.82 kg102 3/ 4 10 3 7.5 kg 2 3/ 2X X N X X XY Y P Y Yx x N'1 '111 = = = =111111 1 = =| |1 11 11 1= = =1 11 1+1+z7Tabla oblicua C 2 BC 2 2 B3C 2 2 C 2C B 23B C 2 2 23 3 1 1C C 2 2 3 2 4 3B7.5 kgsen30cos302 3 2 3sen30 9.82 10 3cos30 14 35.67 kg .33 20 214.330 37.5 1 5 3 k 0 gX N XY P N YX P N YX X NY Y P NY X P N'1 =111= |111 =1+'1= = =1111= = =|111= = =1+1z7 A B C(7.5, 45.7) kg (9.82, 35.7) kg ( 7.5, 14.3) kg = = =R R Ro bien, en newtons: A B C(73.5, 448) N (96.2, 350) N ( 73.5, 140) N = = =R R RA 90BC4m 2m A90BCl2 3030 P2 PN2 N1P130YA YC XC XA YB XB=30 l1 ODE- 158 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.22 22. Una barra homognea AB de 5 N de peso y 4 m de longitud est articuladaenAunaparedverticalymantenidaensuextremo superiormedianteunhilohorizontalBD,formandounngulo de 45 con la vertical. La barra soporta un disco, de 3 N de peso y 1 m de dimetro, que se encuentra tambin en contacto con la pared.Considerandodespreciableslosrozamientos,determinar la tensin del hilo y la reaccin en la articulacin A. Enprimerlugardeterminamoslasdistanciasaybdel punto de contacto C a los extremos de la barra: 0.5tg 22.5 1.21m 0.4142r a a = = =Enlafiguraadjuntahemosrepresentadolosdiagramas de fuerzas que actan sobre cada uno de los dos cuerpos (el disco y la barra). Aplicamos las ecuaciones cardinales de la esttica al disco, 1 disco1 22 disco discodisco 223 N222 3 2 4.24 N222N PN NN P PP N'11'= =1 =11111 1| |1 1 = = = =1 11 1| =1+11+

y a la barra, tomando momentos en A, 2 2barra 2barra2 barra 22 24.31 32 225 322 2 2 1.21 23 2 2.52 2 2 2 41.31 N8 N4.31 NX XYN N T N T NN P NP l aN a P Tl T Nl'11 = = = =1111111| = = =|111111 = = = =111+z B45C Pdisco N2G N2 NXTabPbarra ADNYrN1- 159 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.23 23. Un semicilindro homogneo, de peso P1 y radio R, se apoya en su base sobre un plano horizontal rugoso. Una varilla homognea AB, de longitud l y peso P2, est articuladaalaparedporsuextremoAyseapoyaenlasuperficielisadel semicilindroformandounngulode60conlavertical.a) Determinarelvalor mnimodelcoeficientederozamientodelsemicilindroconelplanohorizontal para quela posicinindicadaseadeequilibrio. b) Endichaposicin,calcularla reaccin en la articulacin A. De la geometra de la figura se sigue: tg60 tg60 3hh R RR= = =a) Enlafigurasemuestraeldiagramadefuerzasqueactansobrecadaunodelosdos cuerpos. Aislamos la varilla y tomamos momentos en A: 21 2 21 2 2 2sen 60 3sen 602 2 4 4 3l l l lhN P N P P Ph R R( ) = = = =

( ) Aislamos el semicilindro y aplicamos la primera condicin de la esttica: 12 221 1 21 1 12 1 2cos 6088 33sen 608lf N PRlP fNRP lPlN P N P PRN'11 = =1111 _ =|111 | = = 111+ b) Aislamos la varilla y aplicamos la primera condicin de la esttica: h 21 2v 21 2 v 2 21 2cos 6083sen 60 sen 60 18lT N PRlT N P T P N PR'11 = =11111|( ) 1 1 1| = = =

1

1( )11+ 60 A B 60 AB P1 P2 N21 N12 N1 Th Tv 60 C Ohh30 60 Rf - 160 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.24 24. UnaescaleraseapoyacontrauncilindrolisoderadioR,fijosobreunasuperficiehorizontal.Laescalera forma un ngulo de 60 con la superficie horizontal y su longitud es 5 R/2. Determinar: a) La fuerza que el cilindro ejerce sobre la escalera. b) La fuerza de rozamiento que evita que la escalera deslice. c) La fuerza normalquelasuperficiehorizontalejercesobrelaescalera.d)Elvalormnimodelcoeficientede rozamiento entre el suelo y la escalera para mantener el equilibrio. Geometra del problema: 5AB 2.525AG 1.252 4AC cotg30 3 1.73R RR RR R R'11= = =111111= = =|1111= = =1111+AA Ecuaciones cardinales de la esttica: CC AA C0 cos300 sen300 AC AGsen30[1][2][3]xyF N fF N N mgM N mg'1= =1111= =|111= =11+``` Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (NA, NC y f): C0.AGsen30 (5 / 4) (1/ 2) 5 324[ 6 3AC 33 ]RN mg mg mg mgR= = = =C5 3 3 5cos3024 2 16[1 0.31 ] mg f N mg mg = = = =C5 3sen30 1480.8 2] 2 [Amg N mg N mg( )

= = =

( ) En las condiciones de deslizamiento inminente es: min min0.310.80. 823AfNN N = = = = G NC C ANA mg O30 30 30 f BxyR - 161 -Fsica Universitaria: Problemas de FsicaEsttica del slido rgido. M20.25 25. Untablerorectangularuniforme,delongitud25 cm,seapoyasobreun cilindrode5 cmderadioysobreelsuelo, comoseindicaenlafigura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kg. Cunto deben valer, como mnimo, los coeficientes estticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entrecilindroysueloyentretableroysueloparaqueelsistema permanezca en equilibrio? Determinamos la posicin del punto D de contacto del tablero con el cilindro: 5AD 18.66 cmtg15 tg15R= = =Paraqueelsistemaestenequilibrio,debernestarloeltableroyelcilindroporseparado