UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL CONCEPCIÓN DEL URUGUAY

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

“La Física de los operadores vectoriales”.

ALUMNOS:

DIZ, María Florencia.

GALIZZI, Nazareno Nahuel.

DOCENTES:

PONCE DE LEON, Julio Alejandro.

ROMERO, Marisa Viviana.

CARENA, María Fernanda.

La Física de los operadores vectoriales diferenciables.

Veremos cómo se interpreta el concepto de divergencia en mecánica de los fluidos.

Sea �⃗�(x, y, z) el campo de velocidades de un fluido en movimiento.se va a mostrar que la

divergencia de �⃗� es igual al “incremento total de volumen de líquido por unidad de volumen y

de tiempo”; es decir, que ∇ · v representa la razón de expansión del fluido por unidad de

volumen.

Consideramos un elemento en forma de paralelepípedo, en un sistema cartesiano ortogonal,

con aristas Δx, Δy, Δz, y cuyo centro en el punto P de coordenadas (x, y, z) como se ve en la

figura 1. El campo de velocidades del fluido en cuestión, está dado en forma general, como:

En donde v1, v2 y v3 son funciones escalares continuas.

Analizáremos primero el movimiento en la dirección del eje y y se supondrá que v2 evaluada

en el punto (x, y + (Δy/2), z ) es positiva.

Considérese ahora la porción del fluido que se encuentra entre y y (y + Δy/2), y que va a salir

por la cara EFGH en la dirección de v. después del tiempo Δt= (Δy/2)(1/v2), todo ese líquido

habrá cruzado la cara EFGH y es fácil ver que su volumen es igual a :

Δx·Δz·(Δy/2) = Δx·Δz·v2 Δt

Figura 1

Por el teorema del valor medio del cálculo diferencial se tiene que:

En donde η es el valor de y para el cual se cumple el teorema. Entonces el volumen de líquido

que sale por la cara EFGH por unidad de tiempo es

De forma similar se obtiene el volumen de líquido que entra por la cara ABCD, por unidad de

tiempo:

Así, el volumen de líquido que sale por las caras del paralelepípedo perpendiculares al eje y

por unidad de tiempo se obtiene como la diferencia de lo que sale por la cara EFGH y lo que

entra por la cara ABCD, es decir:

(1)

Donde ΔV= Δx ·Δy·Δz es el volumen del paralelepípedo, siguiendo el mismo razonamiento sobre lo ejes x y z se obtiene:

(2)

(3)

El volumen total de líquido que sale por las caras se obtendrá de sumar (1) + (2) + (3).

Dónde: (1) + (2) + (3).= Div (v)

Si div(v)>0 en P(x,y,z): el flujo es saliente en P(x,y,z) (FUENTE O MANANTIAL)

Si div(v)<0 en P(x,y,z): el flujo es entrante en P(x,y,z) (SUMIDERO)

Si div(v)=0 (CAMPO SOLENOIDAL)

EJEMPLO 1:

En la mecánica de los fluidos la divergencia tiene grandes aplicaciones. Considérese por

ejemplo, la ecuación de continuidad de la dinámica de fluidos:

Donde ρ es la densidad y v el campo de velocidades. Si el fluido es incompresible, la densidad

es constante y, por lo tanto, el campo v es solenoidal. En efecto, como:

De donde:

EJEMPLO 2:

Cualquier distribución de cargas y corrientes eléctricas en el espacio dan origen a un campo

electromagnético. Este campo puede caracterizarse en general por medio de cuadro vectores:

E: Intensidad de Campo Eléctrico

H: Intensidad de Campo magnético.

D: Densidad de Flujo Eléctrico.

B: Densidad de Flujo Magnético

Las leyes que rigen el comportamiento de estos campos son las siguientes cuatro ecuaciones,

llamadas ecuaciones de MAXWELL.

Interpretación Física del Rotor. - En el estudio de los fluidos existe un campo vectorial derivados del campo de

velocidades: el rotacional de la velocidad, que como se verá a continuación, es una medida de la rotación o vorticidad local de una partícula dentro del flujo. Por esta razón, al rotacional selo conoce también como campo vorticoso. Considérese una partícula que se encuentra dentro de un fluido en movimiento. Se supondrá que la partícula es lo suficientemente pequeña para poder considerar que la velocidad del fluido es igual a la de la partícula en cada punto. En general, el movimiento del fluido puede producir rotación local además del movimiento de traslación. La rotación pura se puede estudiar localmente prescindiendo de la traslación, mediante el giro alrededor de un eje instantáneo de rotación que pasa por el centro de gravedad de la partícula. Se analizará el movimiento de las dos rectas perpendiculares, definidas por los puntos (P,R) y (Q, S) que giran con la partícula (figura 2).

Figura 2

El punto P0 se localiza mediante el vector posición r0 referido a un sistema de coordenadas con cualquier orientación, pero cuyo origen, por comodidad, se encuentra en el eje instantáneo de rotación. El punto P está en una vecindad de P0 y se localiza mediante el vector de posición r de manera que el vector que los une es r – r0 = D r. La velocidad v, tangencial a la trayectoria circular en el punto P, corresponde a la traslación propia de ese punto y en general es distinta de la que corresponde a P0. Se puede demostrar que el vector v se puede expresar en términos de la velocidad angular 𝝎 y del vector unitario �̂� paralelo al eje instantáneo de rotación, mediante el producto vectorial:

Donde 𝝎 = 𝝎�̂� y se le conoce como vector torbellino. Aplicando el rotacional a esta igualdad.

∇ × 𝑣 = ∇ × (𝜔 × ∆𝑟) Entonces,

∇ × 𝑣 = −𝜔 + 3𝜔

- De acuerdo con esta igualdad, el rotacional de la velocidad de un flujo es igual a dos veces la velocidad angular con la que gira una partícula diminuta dentro del fluido. Si el

movimiento del fluido es tal que 𝑟𝑜𝑡(𝑣) = 0, se tiene lo que se conoce como flujo irrotacional. En general, se define un campo irrotacional como aquél que satisface la ecuación:

𝑟𝑜𝑡(𝐹) = 0 Si F es un campo irrotacional arbitrario, existe una función escalar 𝜑 tal que F es el gradiente de 𝝋, es decir,

También la afirmación inversa es cierta si se exige sobre 𝝋 una condición extra. Es decir, si F es el gradiente de una ecuación escalar arbitraria 𝝋 con segundas derivadas parciales continuas, entonces,

𝑟𝑜𝑡(𝐹) = 0 Lo cual nos indica que el rotacional de cualquier gradiente es nulo.

- En mecánica clásica las fuerzas irrotacionales desempeñan un papel muy importante. En estos casos se puede demostrar que la energía se conserva y por tal razón a las fuerzas irracionales se las llama también fuerzas conservativas. Si F representa una fuerza conservativa, a la función 𝝋 , tal que 𝐹 = −∇𝜑, se la llama energía potencial o simplemente potencial.

El concepto de rotacional también es muy importante en la teoría electromagnética. Recordemos que en las dos últimas ecuaciones de Maxwell vistan en divergencia:

Aparece los rotacionales del campo eléctrico E y del flujo magnético B. Se ve que la densidad

de flujo magnético no varía con el tiempo (𝜕𝐵

𝜕𝑡= 0), el campo eléctrico es irrotacional y que

por lo tanto existe una función escalar 𝝋 tal que 𝐸 = −∇𝜑 , a la que se llama potencial electico.

- Para recordar sobre qué tipo de campos se aplican los operadores divergencia y rotacional, y el tipo de campos a los que dan lugar, se presenta el siguiente cuadro:

Operador Se aplica a Da por resultado Divergencia Campo vectorial Campo escalar Rotacional Campo vectorial Campo vectorial