TRIGONOMETRÍA

Función Circular.

IEMMMMATEMÁTICAS DÉCIMOS.Elaborado por Mariela Correa O.

Taller.

Copie en su cuaderno:• Todo lo escrito en tinta azul• Las preguntas con sus respectivas respuestas• Las gráficas.

Al final se recogen los cuadernos.

La Función Circular.

Hasta ahora hemos calculado las relaciones trigonométricas para los ángulos agudos de un triángulos rectángulo.

¿En un triángulo rectángulo, entre qué valores puede variar cada uno de los ángulos agudos?

En un triángulo rectángulos los ángulos agudos varían entre:

Más de 0º y menos de 90º

Entonces:

¿Qué pasa con las relaciones trigonométricas de los ángulos mayores de 90º?

Bien, en este capítulo iremos más allá de calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos…

…calcularemos estas razones para ángulos rectos, obtusos, mayores de 180º, etc., en fin, calcularemos las funciones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para iniciar, recordemos que los ángulos se pueden trazar en posición normal para lo cual necesitamos un Plano Cartesiano.

Trace un plano cartesiano y escoja como unidad un segmento de 5cm.

Plano Cartesiano

1

-1

1

-1

Y

X

Una unidad

Plano Cartesiano.

Trace un plano cartesiano y escoja como unidad un segmento de 5cm. Divida esta unidad en décimas como se muestra a continuación

Plano Cartesiano

1

-1

1

-1

Y

X0.1-0.1

0.1

0.30.2

Posteriormente, trace una circunferencia de radio igual a una unidad y cuyo centro coincida con el centro de los ejes coordenados.

Este círculo es llamado círculo unitario.

Ejercicio: En su cuaderno explique qué es un círculo unitario.

P.C

1

-1

1

-1

Y

X0.1-0.1

0.1

Ahora, trace en posición normal un ángulo de 30º

Calcule las coordenadas (X, Y) del punto donde el eje terminal del ángulo se interseca con el círculo trazado.

Plano Cartesiano

1

-1

1

-1

Y

X0.1-0.1

0.1

(0,86 , 0,5)

30º

Repita el ejercicio anterior para los ángulos de 45º, 60º y 90º

Al final:

Plano Cartesiano

1

-1

1

-1

Y

X0.1-0.1

0.1

(0.86 , 0.5)

30º

( , )

( , )

( , )

( , )

Dibuje la siguiente tabla en su cuaderno y complétela con los resultados obtenidos.

Angulo (grados)

Angulo (radianes) Coordenadas

Valor seno θ

Valor coseno θ

Valor tang θ

Valor cotang θ

0º

30º

45º

60º

90º

Conclusiones:

1. En los triángulos trazados anteriormente, la hipotenusa es el mismo radio y su valor es de una (1) unidad.

2. Como la hipotenusa es la unidad, se cumple que:

EJERICIO:

Teniendo en cuenta que el radio siempre es positivo, complete la siguiente tabla con el signo que tomaría cada relación trigonométrica dependiendo del ángulo donde se encuentre. (Ver ejemplo en la siguiente diapositiva)

CUADRANTE SignoEje X

SignoEje Y

SignoSen θ

SignoCos θ

SignoTang θ

SignoCotg θ

Primero

Segundo

Tercero

Cuarto

VER EJEMPLO EN LA SIGUIENTE DIAPOSITIVA

Ejemplo: Completemos el renglón del segundo cuadrante:

• En el plano cartesiano:

Eje X

Eje Y

Primer cuadrante

Segundo cuadrante:

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

En el segundo cuadrante el eje X es negativo (-) y el eje Y positivo (+), luego:

Sen θ = Y, y como Y es positivo, entonces Sen θ es positivo.

Cos θ = X y como X es negativo , entonces Cos θ es negativo.

Tang θ =Y/X, es decir Tang θ = (+)/(-) = (-)

Y, finalmente Cotg θ = (X )/(Y ) = ( -)

ASI:

Eje X (-) Eje Y (+)

CUADRANTE SignoEje X

SignoEje Y

SignoSen θ

SignoCos θ

SignoTang θ

SignoCotg θ

Primero

Segundo - + + - - -Tercero

Cuarto

Ahora si, complete los siguientes renglones de la tabla.

Otra forma de calcular las relaciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º

El triángulo OAB se refleja sobre el eje en X obteniendo un triángulo OAA´Escriba las medidas de los siguientes ángulos:<AOA´____ <OAA´____ <OA´A____

1

-1

1

-1

Y

X0.1-0.1

0.1

A

O B

A´

¿Qué tipo de triángulo es OAA´?___________________

1. Para 30º

30º

Funciones trigonométricas para el ángulo de 30º

Los tres lados del triángulo son iguales ¿Por qué? ___________________________________________

En el triángulo rojo el valor de la hipotenusa es:___ y, el valor de y (cateto opuesto al ángulo) es:___Además, de desconoce el valor de X.

Calcule el valor de X

Nota: Se conservan los colores del triángulo anterior.

1 unid.

1 unid.

Y = 1/2 unid.

1/2 unid.

X

Funciones trigonométricas para el ángulo de 30º

Una vez conocidos los valores de X, Y y hipotenusa, calcule las funciones trigonométricas para el ángulo de 30º

Pero antes de seguir, veamos cuánto dio x:

X = 12 –( ½)2 , entonces X = 1 – ¼ = 3/4Y racionalizando el denominador:

X =

Funciones trigonométricas para el ángulo de 30º

Así:

Sen 30º = Tang 30º= = =

Cos 30º = Ctag30º= =

1 unid.

Calcule las funciones trigonométricas para las ángulos de 45º y 60º.

Estas son las claves para estos cálculos

Angulo de 45ºEn el triángulo OAB ¿Cómo son los lados X e Y?

Bien, entonces se puede reemplazar así:

Ahora calcule el valor de X

• 1

• -1

• 1

• -1

• Y

• X• 0.1

• -0.1

• 0.1

X

Y

X

X1

O

O

O

A

A

A

B

B

B

45º

Una vez encontrado X, como X = Y, calcule las funciones trigonométricas para el ángulo de 45º.

Sen 45º =

Cos 45º=

Tang 45º =

Cot 45º=