Funciones cuadraticas
47
Funciones Cuadráticas Décimo Grado Por: Prof. Edison Burgos Prof. José Torres
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Funciones
Cuadráticas
Décimo GradoPor:
Prof. Edison Burgos
Prof. José Torres
Objetivos:
2
1. Definir una función cuadrática.
2. Expresar una función cuadrática en su forma estándar o
canónica.
3. Encontrar el vértice de una parábola dada la ecuación.
4. Encontrar el eje de simetría de una parábola.
5. Encontrar la ecuación de una parábola usando la gráfica o
puntos.
3
Definición:
Una función de la forma
donde a , b , c son números reales y
se llama función cuadrática.
cbxaxxf 2)(
0a
Ejemplos de funciones
cuadráticas:
4
2
2
2
2
2
1. ( ) 42. ( ) 3 4 23. ( ) 44. ( ) 55. ( ) 2 4 6
f x xg x x xh x x xj x xk x x x
5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Vértice
Eje de simetría
(h , k)
2
bx
a
Observaciones:
6
1. La gráfica de una función cuadrática es unaparábola.
2. La parábola puede abrir hacia arriba o haciaabajo dependiendo del signo del coeficiente principal, a.
a. Si a es negativo abre hacia abajo.
b. Si a es positivo abre hacia arriba.3. El vértice de la parábola está determinado por la
traslación horizontal y por la traslación vertical de la función cuadrática básica.
7
4. El dominio es en conjunto de todos los números reales, R .
5. El alcance de la función depende del vértice y del valor de a;
a. Si a es negativo abre hacia abajo y
a. Si a es positivo abre hacia arriba y
24,
4
ac bA
a
24,
4
ac bA
a
Ilustración:
8
La parábola abre hacia
arriba si , “es positivo’’.0acbxaxxf 2)(
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
9
La parábola abrirá hacia abajo
si , “es negativo’’.0a
cbxaxxf 2)(
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Ejemplos:
Determine hacia dónde abre la gráfica de cada
función.
10
21. ( ) 2 3f x x x
2aque Observe
abre parábola La
arriba. hacia-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
11
22. ( ) 5 2f x x x
que Observe
abre parábola La
abajo. hacia
1a
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
12
213. ( ) 4
2f x x
que Observe2
1a
abre parábola La
arriba. hacia
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
13
Expresa las siguientes funciones en forma estándaro canónica , encuentra el vértice, el eje de simetría, determina si el vértice es un máximo o un mínimoy traza la gráfica.
Ejemplos:
Recordar: Para expresar una función
cuadrática en forma estándar usamos la
técnica de completar el cuadrado.
14
1263 2 xxy
12 63 2 xxy
12 23 2 xxy
22 2 1
1 1
3121 23 2 xxy
9113 xxy
9132
xy
1. Escribe la función en la forma estandar,encuentra el vértice y traza la gráfica.
1, 9
1x
15
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
(2,-12)(0,-12)
913 2
xy
Vértice
Eje de simetría
Dominio
D R
, 9A
Alcance
16
22. 6 7y x x
226 9
9 9
232
xy
7 62 xxy
17
Tenemos que 1.a
El vértice es 3, 2 y es un punto mínimo
absoluto.
232
xy
El eje de simetría es 3 . x
18
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
232
xy
a. Traslación horizontal de tres unidades hacia la derecha.b. Traslación vertical de dos unidades hacia la abajo.
Vértice
3, 2
Eje de simetría
Dominio
D R
2,A
3x
Alcance
19
23. ( ) 2 3f x x x
2 12 3
2f x x x
21
22
2
2
1
2
12
4
1
16
1
1 1
16 16
2 1 1 12 3
2 16 8f x x x
2 1( ) 2 3
2f x x x
20
2 1 1 12 3
2 16 8f x x x
21 25
24 8
f x x
Tenemos que 2.a
1 25El vértice es , y es un punto mínimo
4 8
absoluto.1
El eje de simetría es . 4
x
21
a. Estiramiento vertical de dos unidades.b. Traslación horizontal de un cuarto de unidades hacia la derecha.c. Traslación vertical de veinticinco octavos de unidades hacia la abajo.
21 25
24 8
f x x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6Vértice
1 25,
4 8
Eje de simetría
28,
8A
1
4x
Alcance
1. Encuentra la ecuación de la parábola que tiene
como vértice al punto (-2, 3) y pasa por el punto
(1,5).
22
Solución: khxay2
:que Tenemos 2h 3 k
2
2 3y a x
Ejemplos:
23
2 2 3y a x
por pasa parábola la Como
el punto 1, 5 ,sustituyendo tenemos,2
5 1 2 3a2
5 3 3a
5 9 3a
2 9a
24
32 2
xayComo
329
2
2x y
2
9a
2. Encuentra la ecuación de la siguiente
parábola.
25
Forma estándar:
khxay2
2 3 4y a x
2 1 0 3 4a
1 9 4a
3 9a
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
(0, -9)
4 ,3
0, 1
26
3 1
9 3a
3 9a
21 3 4
3y x
43 2
xayComo
27
3. Usa la forma alterna (dividiendo por a ) para escribir la función en la forma estandar, encuentrael vértice y traza la gráfica.
2( ) 3 6 12f x x x
1263 2 xxy
3
12
3
6
3
3
3
2 xxy
423
2 xxy
28
423
2 xxy
22
21
xxy
243
2
xxy
2 43
21 1
11 33
xxy
29
11 33
xxy
21 3
3x
y
31 3
2x
y
30
31 3
2x
y
33132
xy
913 2
xy
:que Tenemos 3a
:es Vértice 9 ,1Punto Máximo
Absoluto
simetría de eje el es 1x
31
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14-24
-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
(0, -9)
(0, -12) (1 -12)
9132
xy
4. Encuentra el vértice, los ceros, los interceptos,
el dominio y el campo de valores de la función.
32
6)( 2 xxxf
6 2 xxy4
1
4
1
4
25
2
12
xy
Vértice4
25 ,
2
1
Absoluto Mínimo
Dominio R
Alcance ,4
25
33
: Ceros
6)( 2 xxxf
062 xx
023 xx
2 3 x y x
:en Intercepto y 6002
y
6y
6 ,0
Intercepto en :x 0,2,0,3
34
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
(-2, 0) (3, 0)
(0, -6)
35
Ejercicios:
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función.
21. ( ) 6f x x x Solución
22. ( ) 2 15f x x x
23. ( ) 2 6 2f x x x
24. ( ) 6f x x x
Solución
Solución
Solución
36
El vértice4
25 ,
2
1
Campo de Valores
25,
4
6)( 2 xxxf
1 1
2 2 2
bx
a
Dominio R
21 1 1
62 2 2
f
1 25
2 4f
1. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica.
Ejercicios
37
6)( 2 xxxf
062 xx
023 xx
2 3 x y x
:en Intercepto y
6002
y
6y
6 ,0Ejercicios
Ceros de la función
38
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
yVértice
4
25 ,
2
1
3, 2
Ceros
Intercepto en y
6 ,0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
6)( 2 xxxf
Ejercicios
39
El vértice :
1, 16
Campo de Valores
16,
21
2 2
bx
a
Dominio R
21 1 2 1 15f
1 16f
2. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función.
2( ) 2 15f x x x
Ejercicios
40
2( ) 2 15f x x x2 2 15 0x x
5 3 0x x
5 3x y x
:en Intercepto y2
0 2 0 15y
15y
0, 15Ejercicios
Ceros de la función
41
El vértice :
1, 16
5, 3
Ceros
Intercepto en y
0, 15
-30 -20 -10 10 20 30
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
2( ) 2 15f x x x
Ejercicios
42
El vértice3
, 6.52
Campo de Valores
,6.5
6 3
2 2 2 2
bx
a
Dominio R
23 3 3
2 6 22 2 2
f
3 136.5
2 2f
3. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica.
2( ) 2 6 2f x x x
43
22 6 2 0x x22 3 1 0x x
3 13 3 13
2 2x y x
:en Intercepto y2
2 0 6 0 2y
2y
0, 2Ejercicios
Ceros de la función
2( ) 2 6 2f x x x
44
El vértice :
3 13 3 13 ,
2 2
Ceros
Intercepto en y
0, 2
3, 6.5
2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
2( ) 2 6 2f x x x
Ejercicios
45
El vértice1
, 5.752
Campo de Valores
, 5.75
1 1
2 2 1 2
bx
a
Dominio R
21 1 1
62 2 2
f
1 235.75
2 4f
4. Encuentre el vértice, los ceros, el intercepto en y, el dominio y el campo de valores de la función. Traza la gráfica.
2( ) 6f x x x
Ejercicios
46
2 6 0x x
2 6 0x x
1 23
2
ix
:en Intercepto y2
0 0 6y
6y
0, 6Ejercicios
Ceros de la función2( ) 6f x x x
47
El vértice :
No tiene ceros reales
Ceros
Intercepto en y
1, 5.75
2
0, 6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
Ejercicios
