FUNCIONES EXPONENCIALES Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La funcin f(x) = x2 es una funcin que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una funcin cuadrtica que fue estudiada anteriormente. La funcin g(x) = 2x es una funcin con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de funcin llamada funcin exponencial.

Definicin: Una funcin exponencial con base b es una funcin de la forma f(x) = bx , donde b y x son nmeros reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y el recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. 1) f(x) = 2x8 6 4 2 0 -4 -2 0 2 4

1 2) f ( x ) = = 2 1 2

x

( )

x

= 2x8 6 4 2 0 -4 -2 0 2 4

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Todas las grficas intersecan en el punto (0,1). Todas las grficas son continuas, sin huecos o saltos. El eje de x es la asntota horizontal. Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La funcin f es una funcin uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:

a )(a x )(a y ) = a x + y b) ax = a x y y ay

c) a x

( )

= a xy

d )(ab) x = a x b x ax a e) = x b b2) ax = ay si y slo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y slo si a = b.x

Ejemplo para discusin: siguientes ecuaciones: 1) 2) 3) 4) 2x = 8 10x = 100 4x-3 = 8 5 2 - x = 125

Usa las propiedades para hallar el valor de x en las

Ejercicio de prctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 64 2) 27 x + 1 = 9

La funcin exponencial de base e Al igual que , e es un nmero irracional donde e = 2.71828... La notacin e para este nmero fue dada por Leonhard Euler (1727). Definicin: Para un nmero real x, exponencial de base e. la ecuacin f(x) = ex define a la funcin

Las calculadoras cientficas y grficas contienen una tecla para la funcin f(x) = ex. La grfica de f(x) = ex es:

25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4

El dominio es el conjunto de los nmeros reales y el rango es el conjunto de los nmeros reales positivos. La funcin f(x) = ex es una funcin exponencial natural. Como 2 1 F(x)= 2^x

Dom: R Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asinttica al eje X

Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

Comparacin entre F(x)= 2^x y F(x)= -2^x

Caractersticas de F(x)= -2^x

Dom: R Rec: RF(x):decreciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda) Asinttica al eje X Cncava hacia abajo El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,-1)

F(x) = 3^ x

Dom: R Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asinttica al eje X Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

Comparacion entre F(x)= 2^x y F(x) = 3^x

Grafico de la funcin exponencial y= a^x, con 0 < a < 1 F(x)=( ) ^x

Dom: R Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda) Asinttica al eje X Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

F(x) = (!) ^x

Dom: R Rec: R+

F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de derecha a izquierda) Asinttica al eje X Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

Comparacin entre F(x)=( ) ^x y F(x) = (!) ^x

Grafico de la funcin F(x)= a^1, con a= 1

Dom : R Rec : [ 1 ] F(x) constante

Recta Asinttica al eje X El punto de interseccin con el eje Y es el punto (0,1)

Conclusiones: Si a > 1:

Si a < 0 :

La curva asociada a esta funcin exponencial intersecta al eje y en el punto (0,1) La funcin es creciente para todo valor de X Mientras a es mayor, mas se aproxima al eje Y La curva es asinttica al eje X (se acerca indefinidamente a el sin llegar a tocarlo)

La curva asociada a esta funcin intersecta al eje Y en el punto (0, -1) La funcin es decreciente para todo valor de X Al igual que en el caso anterior la curva es asntota al eje X La curva se presenta como un reflejo de su inverso aditivo

Si 0 < a < 1:

Si a = 1

La curva asociada a esta funcin exponencial intersecta al eje Y en el punto (0,1) La funcin es decreciente para todo valor real de X Mientras a se acerca mas a 1, la curva se hace mas recta alejndose del eje Y. La curva es asinttica al eje X

Se observa que para todo valor real de x se tiene y= 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje X, es decir, se trata de una funcin constante.

Casos particulares de Funciones Exponenciales Entre las funciones exponenciales merecen especial atencin aquellas que tienen como base los nmeros e y 10 F(x)= e ^ x

Dom: R Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asinttica al eje X Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

F(x)= 10^ x

Dom: R Rec: R+

F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asinttica al eje X Cncava hacia arriba El punto de interseccin de la grfica con el eje Y es el punto (0,1)

Conclusiones: Ambas curvas presentan las mismas caractersticas de una funcin exponencial con a > 1. Grficos de las Funciones Potenciales F(x)= x

Dom: R Rec: R+ F(x) creciente en su recorrido (parbola) Cncava hacia arriba Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0) La funcion y = x , es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x

Dom: R Rec: R F(x) creciente para toda medida angular a su dominio Intersecta el eje X e Y en el punto (0,0) La funcin y = x , impar, pues (-x) = - y, por lo tanto es simtrica respecto del origen

F(x)= x^4

Dom: R Rec: R+ F(x) creciente en su recorrido en los intervalos [ -, "[, [ , "[

Intersecta el eje X e Y en los puntos (0,0), (-, 0), (, 0) La funcion y = x , es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x + 1

Dom: R Rec: R+ salvo el intervalo entre el 0 y el 1 F(x) creciente en su recorrido (parbola) Cncava hacia arriba Intersecta el eje Y en el punto (0,1) La funcion y = x + 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x)= x - 1

Dom: R Rec: R+ [ 0,-1] F(x) creciente en su recorrido (parbola) Cncava hacia arriba Intersecta el eje X en los puntos ( -1, 0) y (1,0) y al eje Y en el punto (0,-1) La funcion y = x - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

F(x) = x + 2x+1

Dom: R

Rec: R+ F(x) creciente en su recorrido (parbola) Cncava hacia arriba Intersecta el eje X en el punto ( -1, 0) y al eje Y en el punto (0,1) La funcion y = x - 1, es par pues se obtienen los mismos valores de e independiente del signo de x

Conclusiones

Para toda funcin cuadrtica el dominio sern R El recorrido puede variar dependiendo si el existe una suma o resta, de esta manera : o Si sumamos 1 la curva se desplaza 1 lugar de hacia arriba de su posicin original volvindose asinttica o Si restamos 1 se desplaza 1 lugar hacia debajo de su posicin original intersectando al eje X en dos puntos En el caso de encontrarnos con una ecuacin cuadrtica la curva se corre un lugar hacia la izquierda de su posicin original (F(x) = x + 2x+1)

Grafico de la Funcin Logartmica Grafica de la funcin logartmica y = b log x , con b> 1 F(x)= x log2

Dom : R+ Rec: R F(x) creciente en se dominio Asinttica al eje Y

Cncava hacia abajo El punto de interseccin con el eje X es el punto (1, 0)

F(x)= x log 3

Dom : R+ Rec: R F(x) creciente en se dominio Asinttica al eje Y Cncava hacia abajo El punto de interseccin con el eje X es el punto (1, 0)

Grafica de la funcin logartmica y = b log x , con 0 < b < 1 F(x)= x log !

Dom : R+ Rec: R F(x) creciente en se dominio Asinttica al eje Y Cncava hacia arriba El punto de interseccin con el eje X es el punto (1, 0)

F(x) = x log !

Dom : R+ Rec: R

F(x) creciente en se dominio Asinttica al eje Y Cncava hacia arriba El punto de interseccin con el eje X es el punto (1, 0)

Conclusiones: Si b > 1:

La curva asociada a la funcion logartmica intersecta al eje X en el punto (1,0) La funcin es creciente para todo valor de x La curva es asinttica al eje Y

Si 0 < b < 1

La curva asociada a la funcion logartmica intersecta al eje x en el punto (1,0) La funcin es decreciente para todo valor real de x La curva es asinttica al eje Y

En sntesis: Las caractersticas de las funciones logartmicas y = x log b, con b perteneciente a los reales positivos incluido el -1, son:

El dominio es el conjunto de los nmeros reales positivos El recorrido es el conjunto de los nmeros reales La curva asociada a la funcin logartmica intersecta al eje X en el punto (1,0) Si b> 1, entonces la funcin es creciente Si 0 0 0 > sen x > -1 -1< sen x < 0

Cuadrante I II III IV

Es una funcin impar, pues (-x) = - sen x, x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simtrica respecto del origen Es peridica de periodo t = 2 Es creciente en los intervalos como ] -2 , - 3 / 2[ ; ] - / 2, / 2[ , ... Es decreciente en los intervalos como ] 3 / 2 , / 2[; ] / 2 , 3 / 2 [, ... No es inyectiva: x x tal que sen x = sen x No es Sobreyectiva Rec( funcin seno) = [ -1, 1] Por lo tanto no es biyectiva y no tiene funcin inversa Alcanza un valor : o Mximo y = 1 o Minimo y = -1

F(x) = cos

Dom : R Rec : [ -1, 1] Es una funcin par, pues cos (x)= cos (- x), por lo tanto, es simtrica respecto del eje Y Es peridica, de periodo t = 2 Es creciente en intervalos como ] , 0 [ , ] , 2 [, .... Es decreciente en intervalos como ] -2 ,- [, ] 0, [, .... Es continua en R No es inyectiva : x x tal que cos x = cos x No es Sobreyectiva Rec( funcin coseno) = [ -1, 1] Por lo tanto no es biyectiva y no tiene funcin inversa Alcanza un valor : o Mximo y = 1 o Minimo y = -1

- Su comportamiento se puede resumir en el siguiente cuadro: Cuadrante I II III IV F(x) = Tan Comportamiento de y= cos x Decreciente positiva Decreciente negativa Creciente negativa Creciente positiva Valores que toma y = cos x 1> sen x > 0 0 > sen x > -1 -1< sen x < 0 0< sen x < 1

Dom : R - { / 2 k } ; k"N Rec: R Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simtrica respecto del origen Es peridica, de periodo = Es creciente para toda medida angular a su dominio Es continua en Dominio( funcin tangente). No es inyectiva : x x tal que tan x = tan x No es Sobreyectiva Rec( funcin tangente) = [ -1, 1] Por lo tanto no es biyectiva y no tiene funcin inversa No es una funcin acotada, ya que puede tomar cualquier valor real Es cero o nula para medidas angulares mltiplos de , tales como: o -2, -, 0, , 2,... es decir: tan (k) = 0 ; k " Z

F(x) = cosec x

F (x) = cot x

Dom : R - { / 2 k } ; k"N Rec: R Es una funcion impar, pues (-x) = - tan x, x "Dom (funcion tangente), por lo tanto es simtrica respecto del origen Es peridica, de periodo = Es decreciente para toda medida angular a su dominio Es continua en Dominio( funcin tangente). No es inyectiva : x x tal que tan x = tan x

No es Sobreyectiva Rec( funcin tangente) = [ -1, 1] Por lo tanto no es biyectiva y no tiene funcin inversa No es una funcin acotada, ya que puede tomar cualquier valor real Es cero o nula para medidas angulares mltiplos de , tales como: o -2, -, 0, , 2,... es decir: tan (k) = 0 ; k " Z

F(x) = sec

F(x) = 2 sen x

Dom: R Rec : [ -2, 2]

La funcin seno toma entre -2 y 2, por lo tanto esta definida por todos los Nmeros Reales entre estos dos nmeros. El comportamiento de la curva esta representada en el siguiente cuadro Comportamiento de y= sen x Creciente positiva Decreciente positiva Creciente negativa Decreciente negativa Valores que toma y = sen x 0< sen x < 2 2> sen x > 0 0 > sen x > -2 -2< sen x < 0

Cuadrante I II III IV

Es una funcin impar, pues (-x) = - sen x, x "Dom (funcion seno), por lo tanto es simtrica respecto del origen Es peridica Es creciente en intervalos y decreciente por intervalos No es inyectiva: x x tal que sen x = sen x No es Sobreyectiva Rec( funcin seno) = [ -1, 1] Por lo tanto no es biyectiva y no tiene funcin inversa Alcanza un valor : o Mximo y = 2 o Minimo y = -2

F(x) = 2 sen ( x+ )

F(x) = 2 sen (2x + )

Conclusiones

El dominio de las funciones seno y coseno es todo R. Mientras tanto, en la definicin de tangente y de secante aparece la abscisa x en el denominador, por lo tanto deben excluirse de su dominio todos los valores de q para los cuales x = 0; es decir hay que excluir los ngulos de medida, donde n es un nmero entero. El dominio de la tangente y la secante es entonces:

R- Estn excluidos, por ejemplo, valores tales como: , - /2, 3 /2, -3 /2, 5 /2, -5 /2

(todos los "mltiplos impares" de ). Por otro lado, en la definicin de cotangente y cosecante aparece la ordenada y en el denominador. De manera que el dominio de estas dos funciones excluye todos los valores de la forma p , con n entero. Quedan fuera, por ejemplo, los nmeros: 0, , - , 2 , -2 (todos los "mltiplos de p "). Sistemas: x + y = 36 xy=6

Las ecuaciones de este sistema corresponden a una circunferencia y una hiprbola.