FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Lucas Picos

Millán.

LOGARITMO DE UN NÚMERO

El logaritmo en base b de un número a es el número c, si b elevado al exponente c da como resultado a.

En símbolos: logba = c bc =a

b es la base del logaritmo y debe ser un número positivo y distinto de 1.

a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.

CAMBIO DE BASE

El procedimiento cambio de base nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otras mas conveniente.Si llamamos c a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente formula :

Así podemos obtener con la calculadora científica el logaritmo de un numero en cualquier base.La nueva base que elegiremos será 10 o e.

Ejemplo: log2256= log256/log2=8 o bien Log2256=

ln256/ln2=8

Logab=logcb/logca

Logaritmos decimales: son aquellos de base 10. Generalmente, la base no se escribe. Por ejemplo: log x = log10x

El número e: es un número irracional cuyo valor aproximado es: e = 2,71828

Logaritmos naturales: son los de base e. Se los escribe con ln, es decir que:

Logaritmos con la calculadora:

Para obtener logaritmos decimales (en base 10): pulsamos la tecla logPara obtener logaritmos naturales o neperianos (en base e): pulsamos la tecla lnPara obtener logaritmos en otra base, aplicamos cambio de base: (ver “Propiedades de los Logaritmos”)

LOGARITMOS

xx elogln

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica se simboliza de la manera:

y=logaX (Se lee: «Logaritmo en base a de X»)

• El dominio de la función Y=logaX es R+, pues coincide con el conjunto imagen de su inversa y=aX

• K > 0 a > 1 b > 0 crece• K > 0 a > 1 b < 0 decrece• K > 0 a < 1 b < 0 crece• K > 0 a < 1 b > 0 decrece• K < 0 a > 1 b > 0 decrece • K < 0 a > 1 b < 0 crece• K < 0 a < 1 b < 0 decrece• K < 0 a < 1 b > 0 crece• Desplazamiento horizontal: y = logb(x - a)• Dominio: (0, ∞); R+

• Imagen: R• Asíntota vertical: x = a

ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LOS GRÁFICOS.

Esta es una representación de lafunción: y=log2x • El conjunto imagen es R+

• Es creciente en todo su dominio

• Tiene una asíntota vertical que es el eje y

• No corta el eje de ordenadas

• Corta el eje de abscisas en x=1

EJEMPLO:

FUNCIONES LOGARÍTMICAS DE DISTINTAS BASES

En este ejemplo podremos ver en qué afectan las diferentes bases en una función logarítmica. En el gráfico se encuentran dibujadas las funciones:

f(x)= log2x

G(x)= log3 x

H(x)=log1/2x

J(x)= log1/3x

CONCLUSIONES:Características comunes:

Cortan al eje de abscisas en el punto (0 ; 1)

No cortan el eje de ordenadas, y el conjunto imagen es R+

Tiene una asíntota vertical que es el eje x

Diferencias:

Si la base es mayor que 1, la función es creciente

Si la base es menor que 1, la función es decreciente

Las curvas correspondientes a funciones de bases recíprocas son simétricas

En este caso se graficaron las funciones:f(x) = log2xDominio: R+ Asíntota: Eje y

g(x) = log2(x-2)Dominio: [2;+∞] Asíntota: x = 2

h (x) = log2(x+1)Dominio: R Asíntota: x = -1

• Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2x

dos unidades hacia la derecha, obtenemos el gráfico de la función g(x) = log2(x-2)

• Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2x

una unidad hacia la izquierda, obtenemos el gráfico de la función h(x) = log2(x+1)

• El desplazamiento horizontal, en estos casos, modifica el dominio de la función y la asíntota.

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

En todos los casos en que se aplican las funciones exponenciales, como los expuestos anteriormente, son necesarios lo logaritmos para averiguar los valores de las variables que aparecen como incógnitas en los exponentes

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La escala de Ritcher, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logarítmica de base 10.La magnitud de un terremoto en esa escala está dada por la fórmula:

Donde M es el grado de la escala de Ritcher y p es la potencia, que indica cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación con una onda de referencia correspondiente a la situación normal.

M = log p

INTENSIDAD SÍSMICA.

La concentración de iones hidrógeno en una solución determina su grado de acidez. Como se trata de cantidades muy pequeñas, se inventó una escala logarítmica que facilita su manejo.La fórmula que relaciona el pH de una solución con la concentración de iones hidrógeno es la siguiente: pH = log (1/[H+]), donde [H+] representa los moles de iones hidrógeno por litro.

PH Y ACIDEZ DE LAS SOLUCIONES