Propiedades exponenciales. Propiedades logarítmicas. Solución de ecuaciones logarítmicas....
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Propiedades exponenciales. Propiedades logarítmicas. Solución de ecuaciones logarítmicas. Gráficas de funciones exponenciales. Gráficas de funciones logarítmicas. Resumen del capítulo. Menú © Manuel Pontigo Alvarado. ISBN 978-9968-9634-2-8 Instituto Tecnológico de Costa Rica.
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Propiedades exponenciales.
Propiedades logarítmicas.
Solución de ecuaciones logarítmicas.
Gráficas de funciones exponenciales.
Gráficas de funciones logarítmicas.
Resumen del capítulo.
Menú
© Manuel Pontigo Alvarado.
ISBN 978-9968-9634-2-8
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Propiedades Exponenciales: Multiplicación
2
La multiplicación de los exponentes está definida por: baba xxx Considere: x = _ ; a = _ b; = _ Fórmula a operar:
Resuelto mediante la HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
La instrucción para la HE es
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: División caso 1
3
La división de los exponentes está definida por: ba
b
a
xx
x
Fórmula a operar:
Instrucción para la He:
Considere: x = __; a = __ b; = __.
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: División caso 2
4
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = __; a = __ b; = __.
ba
b
a
xx
x
Fórmula a operar:
Instrucción para la He:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por el cuadroDe operaciones
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: División caso 3
5
La división de los exponentes está definida por:
)( bab
a
xx
x
Considere: x = __; a = __ b; = __.
Fórmula a operar:
Instrucción para la He:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: Distributiva de la multiplicación.
6
La distribución de la multiplicación en los exponentes está definida por:
Considere; x = __; y =___; a = _
aaa yxxy
Formula a operar:
Instrucción para la He:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
7
Propiedades Exponenciales: Distribución de la división.
7
La distribución de la división en los exponentes está definida por:
a
aa
y
x
y
x
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Considere; x = __; y = __; a = __
Fórmula a operar:
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: La potencia de una potencia.
8
La potencia de una potencia en los exponentes está definida por:
abba xx
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Considere; x = __; y = __; a = __
Fórmula a operar:
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Propiedades Exponenciales: La potencia inversa.
9
La potencia inversa en los exponentes está definida por:
aa
xx
1
Considere; x = __; a = __
Fórmula a operar:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Propiedades Exponenciales: La potencia raíz.
La potencia raíz en los exponentes está definida por: aa xx 1
10
Considere; x = 5; a = 2
Fórmula a operar:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HERemplace por su fórmula
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Propiedades Exponenciales: La potencia racional.
La potencia racional en los exponentes está definida por:
11
b aba
xx Considere; x = __; a = __; b = __
Fórmula a operar:
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE Remplace por suCuadro Remplace con su
Gráfico
Propiedades Logarítmicas: La forma logarítmica.
La forma logarítmica esta definida por:
12
ya axyx cumplirse debey ;log
Esto se lee como: y es exponente al que debe elevarse a para obtener x
Número
Base
;log yxa
Exponente
En otras palabras: los logaritmos son exponentes para una base cuya potencia arrojan el valor del número.
Considere Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
3.13 Logaritmos y bases de uso común.
13
Logaritmo de base 10.
Se dice que todo número positivo N puede expresarse como una potencia de 10, es decir, se pueden encontrar siempre una base a tal que N = 10a. Se dice que y es el logaritmo de N en base 10 = a o logaritmo decimal de N. Se puede escribir:
Por ejemplo; 1.000 = 103, por tanto, log10 1.000 = 3. Análogamente, como: 0,01 = 10–2, log10 0,01= –2
Cuando N es un número entre 1 y 10, es decir 100 y 101, a log10N está comprendido entre 0 y 1.
Logaritmo neperiano.
Existe un logaritmos muy especial en la matemática conocido como Logaritmo Neperiano cuya base es 2,71828183… que por su importancia se conoce como Logaritmo Natural y la instrucción para calcular el logaritmo natural de cualquier número (excepto 0) en la Hoja Electrónica es =LN(Número).
Ny a 10log
Propiedades Logarítmicas: La multiplicación.
La multiplicación en los logaritmos está definida por:
14
yxxy aaa loglogLog
Considere; x = _____; y = _____
Logaritmo de base 10
Logaritmo natural
La función inversa
La función inversa
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
3.15 La multiplicación mediante logaritmos en forma gráfica.
15
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de 10, el resultado de la exponenciación de la suma de los logaritmos y el producto directo de x con y. En estudiante habrá comprendido las facilidades que dan los logaritmos en la operación de unidades astronómicas.
Responda: Desarrolle la función para el logaritmo natural.
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Propiedades Logarítmicas: La division.
La división en los logaritmos está definida por:
16
Considere: x = _____; y = _____
Logaritmo de base 10
Logaritmo natural
La función inversa
La función inversa
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.
yx
y
xaaa logloglog
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
3.17 La división mediante logaritmos como función.
17
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de BASE 10, el resultado de la exponenciación de la resta de los logaritmos y el cociente directo de x entre y.
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Propiedades Logarítmicas: La potencia.
La potencia en los logaritmos está definida por:
18
xbx ab
a loglog Considere: x = ___; b = __
Logaritmo de base 10
La función inversa
Logaritmo natural
La función inversa
R: Elija cualquier juego de numerales para x, b, diferentes a los usados y resuelva.
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
3.19 Potencia mediante logaritmos como función.
19
Gráfico de las funciones:
y ;
y comprobación del uso de las potencias con logaritmos.
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Remplace por su fórmula Remplace por su fórmula
Propiedades Logarítmicas: Propiedad de identidad y propiedad de cambio
de base.La propiedad de identidad esta definida por:
En esta propiedad de identidad debe entenderse que los logaritmos de los números x e y son iguales, si la base a que hay que elevar con el logaritmo da un número idéntico:
La propiedad del cambio de base:
Si x, y, z son números positivos, además x e y son diferentes de 1, entonces:
entonces, ;loglog yxyx aa
z
zz
y
yx log
loglog
Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas:
Pregunta: Escriba log 1.000 = 3 en forma exponencial.
Respuesta: 1.000 = 103
21
Pregunta: Resuelva
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
3.22 Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas: Cambio de base
Resuelva para x usando una base a:
22
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
Resuelva para x usando una base a:
Considere una base a cualquiera, dígase 5. Por definición por tanto, implica:
Sustituyendo:
yzLog a
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
RF
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
3.23 Soluciones a ecuaciones logarítmicas: Potencia inversa.
Usando logax = y, resuelva:
23
Por definición:
Resolviendo para x potenciando ambos lados por –3:
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
Recuerde que afectando a ambos lado de una igualdad por el mismo valor no se altera el resultado
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadroDe operaciones de la
HE
Graficas de funciones exponenciales.
Construya en la HE valores de dominio y rango y grafique las funciones:
24
;)( ykf x
yk
fx
1
Se dice que la potencia de una constante crece y la ponencia inversa decrece exponencialmente a mediada que x se incrementa o decrementa.
Responda: decrece; incrementa o decrementa ; crece
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Graficas de funciones exponenciales. Ej: 3,22
Grafique la función lineal: donde k, y b son constantes
25
xbky
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo valor inicial e incrementos.
Remplace con suGráfico
Remplace por suCuadro
3.26 Grafica de función exponencial para ubicar asíntotas.
Grafique las funciones: y .
26
dkfy cbx 1 dkfy cbx 2
Las asíntotas de la función ocurren en -2 para y1 y en +2 para y2.
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo vlor inicial e incrementos; -2; +2.
Remplace por suCuadro Remplace con su
Gráfico
3.27 Función logarítmica: Asíntotas.
Desarrolle y grafique las funciones: y .
27
21 2 xLogy 22 2 x Logy
La asíntota ocurre cuado el dominio se aproxima a la indefinición, esto es a 0. Mientras el rango, tiende ha hacerse paralelo al eje x a medida que los valores del dominio aumentan.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
Remplace con suGráfico
Remplace por suCuadro
3.28 Función logarítmica: Función lineal con dos parámetros.
Desarrolle y grafique las funciones: y .
28
221 10 xLogy 222 10 x Logy
La asíntota depende de la función, en y1 la función se indefine cuando x = 2 ya que se hace cero y los logaritmos no están definidos para el cero. Así, en y2 se indefine cuando x llega a −2.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
Remplace por suCuadro
Remplace con suGráfico
Resumen de las operaciones exponenciales
29
Multiplicación:
División:
baba xxx
ba
b
a
xx
x
Propiedad distributiva con multiplicación: aaa yxxy
a
aa
y
x
y
x
Potencia de una potencia: abba xx
Potencia Inversa:
aa
xx
1
Propiedad distributiva con división:
Potencia Racional: aa xx 1
Las funciones exponenciales se hacen asintóticas al ____.
Responda: eje x; eje y.
Resumen de las operaciones logarítmicas
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Forma logarítmica: a = base; b = Número; y = exponente.
En donde y es la cantidad a la que hay que elevar a para obtener x.
Multiplicación:
Potencia:
Propiedad de identidad:
División:
Propiedad de cambio de base: si x, y y z son números positivos, y si x e y diferentes de 1, entonces
Las funciones logarítmicas se hacen asintóticas al _____.
yxa log
.logloglog yxxy aaa
yx
y
xaa
a
logloglog
xbx ab
a loglog
yxyx aa entonces loglog si
z
zz
y
yx log
loglog
Responda: eje x; eje y.
ResumenEl capítulo 3 del curso denominado Precálculo dedicado a
exponentes y logaritmos contiene el material didáctico necesario para que el estudiante cuente con una base mínima sólida para comprender cursos de cálculo u álgebra avanzados y de la estadística que usualmente se imparte a carreras que no son del área de la matemática.
Consta de tres herramientas computacionales cuyos fines son complementarios: El editor de textos que contiene el material del curso con respuestas en bastardilla de color azul; el Libro Electrónico que contiene las operaciones ejemplificadas y el ejercicio mínimo para el estudiante; y este proyector de diapositivas cuyo objeto es que sea elaborado como complemento del estudiante con ejercicios particularizados.
Manuel Pontigo Alvarado, Enero 2007.
