Funciones reales de variable real 1

Unidad 6: Funciones reales de variable real.

1.- Concepto de función. Expresión analítica de una función.

Por ejemplo: si un vehículo circuló a una velocidad constante de 110 km/h por una

autovía durante cinco horas, las variables x: tiempo en horas, y: distancia recorrida en

kilómetros están relacionadas, y su relación es de tipo funcional.

Una función es una relación entre dos variables que asocia a cada valor de la primera

variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable

dependiente y). Esta relación se representa . En el caso de que tanto los valores

de la variable dependiente como los de la variable independiente sean números reales, la

función se denomina función real de variable real.

A se le llama imagen de x.

Variables x e y

Existe relación entre x e y

Función: a cada valor de x le

corresponde un único valor de y

Otro tipo de relación

No hay relación

Funciones reales de variable real 2

Una función puede expresarse de distintas formas:

Mediante una tabla de valores

x: tiempo en horas 1 2 3 4 5

distancia en

kilómetros recorrida

110

220

330

440

550

Mediante su expresión analítica (expresión matemática o fórmula con la que se

establece la relación entre las dos variables, por ejemplo ).

Las funciones pueden venir definidas en ocasiones por medio de varias fórmulas

como, por ejemplo, las funciones definidas a trozos)

Mediante su representación gráfica (conjunto de puntos del plano

)

Funciones reales de variable real 3

No todas las curvas del plano se corresponden con la gráfica de una función. Para

que esto se verifique, debe cumplirse que a cada valor de la variable independiente le

corresponde un único valor de la variable dependiente. De esta forma la gráfica 1

corresponde a una función y la gráfica 2 no.

Gráfica 1

Gráfica 2

Expresión analítica en forma implícita

La variable dependiente no está definida en función de la variable independiente. Por

ejemplo, la ecuación general de la recta

1.- A partir de los siguientes enunciados determina:

a) Las variables que intervienen, considerando la unidad de su medida.

b) Las variables dependientes e independientes y la función que establece dicha

dependencia.

Funciones reales de variable real 4

El coste de consumo de electricidad que se factura con la siguiente regla: un

coste fijo de 11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kWh.

El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a

1,14 euros.

El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3cm y x cm

respectivamente.

El precio de un artículo y la rebaja de un 5% que realiza un determinado centro

comercial sobre dicho artículo.

2.- Dominio y recorrido de una función.

Dominio (o campo de existencia)

Para obtener el dominio de una función que viene dada por su expresión analítica se

tiene que tener en cuenta las operaciones que no se pueden realizar en el conjunto de los

números reales, es decir:

No se puede dividir ningún número real entre 0.

Se pueden calcular los radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o

igual a 0.

…

En ocasiones el dominio tiene restricciones por otros motivos.

El contexto del problema del cual está extraída la función.

Por voluntad o interés de quien propone la función.

2.- Calcula el dominio de las siguientes funciones.

Funciones reales de variable real 5

Recorrido o imagen

El recorrido lo obtendremos, la mayoría de las veces, a partir de la gráfica de la función.

3.- Calcula el dominio y el recorrido de las funciones cuyas gráficas son:

4.- Calcula el dominio de las siguientes funciones:

5.- Dada la función , construye una tabla para los valores de x: -5, -4,

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y representa dichos pares en los ejes de coordenadas. A partir

de la representación, ¿podrías perfilar la gráfica de la función?

6.- Dadas las funciones:

Determina si las siguientes curvas son la gráfica de alguna de las funciones anteriores.

x "Anchura" Dominio

y "Altura" Recorrido

Funciones reales de variable real 6

7.- Las siguientes curvas son las gráficas de varias funciones. Determina para cada una

su dominio y recorrido:

3.- Características generales de las funciones a partir de la gráfica.

A partir de la gráfica de una función, es posible determinar ciertas características de la

misma que nos ofrecen una amplia información sobre su comportamiento.

Gráfica 1

Creciente:

Decreciente:

Máximo relativo en

Máximo absoluto no tiene.

Mínimo relativo en

Mínimo absoluto en

No está acotada superiormente.

Está acotada inferiormente. es una cota inferior.

No es simétrica par ni impar.

Funciones reales de variable real 7

No es periódica.

Crecimiento y decrecimiento (monotonía)

es estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo si

del intervalo con se verifica que

(

es creciente (decreciente) en un intervalo si del intervalo

con se verifica que (

Máximos y mínimos relativos (o locales) y absolutos (o global)

(extremos de la función)

Una función tiene un máximo (mínimo) relativo en si existe un entorno

tal que de dicho intervalo se verifica que

Una función tiene un máximo (mínimo) absoluto en si se

verifica que .

Funciones acotadas

Superiormente: si existe un número K tal que .

A K se le llama cota superior.

Inferiormente: si existe un número K tal que .

A K se le llama cota inferior.

Funciones periódicas de periodo T (T > 0)

Una función es periódica de periodo T si se verifica

Funciones simétricas pares e impares

Simetría par: Si se verifica (simétrica

respecto del eje OY)

Simetría impar: Si se verifica (simétrica

respecto del eje origen de coordenadas O(0,0))

Funciones reales de variable real 8

8.- Estudia las características de las siguientes funciones.

Funciones reales de variable real 9

Funciones reales de variable real 10

9.- Analiza si las siguientes funciones son pares o impares:

10.- Las siguientes curvas son las gráficas de tres funciones:

Determina en cada una de ellas los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los

máximos y mínimos, y si están acotadas.

11.- Estudia si las siguientes funciones son pares o impares e indica el tipo de simetría:

12.- Construye la gráfica de dos funciones periódicas, la primera de periodo 3 y la

segunda de periodo 5.

Funciones reales de variable real 11

4.- Clasificación de las funciones

A partir de la expresión analítica de las funciones podemos efectuar la siguiente

clasificación:

Funciones algebraicas: son las funciones cuya expresión analítica está

construida a partir de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto,

división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas se clasifican a su

vez en:

Polinómicas

Racionales: cociente de polinomios

Irracionales: raíz n - ésima de una función

Funciones transcendentes: aquellas que no son algebraicas.

5.- Funciones polinómicas

Su dominio es todo R

5.1.- Polinómincas de grado cero: funciones constantes

Su gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0, k) (paralela al eje X)

5.2.- Polinómicas de primer grado: funciones afines y lineales

Función lineal:

Función afín:

Su gráfica es una recta oblicua de pendiente m.

13.- Calcula la expresión analítica de una función afín que pasa por el punto

y tienen pendiente m =3.

14.- Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

5.3.- Polinómicas de segundo grado: funciones cuadráticas

Función cuadrática:

Su gráfica es una parábola.

Para realizar su representación debemos tener en cuenta:

Si a>0, la parábola es abierta hacia arriba: convexa

Si a<0, la parábola es abierta hacia abajo: cóncava

Funciones reales de variable real 12

El vértice de la parábola tiene por abscisa

. La ordenada se calcula

sustituyendo en la función.

Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación

El punto de corte con el eje Y es (0,c)

El eje de la parábola es paralelo al eje Y, y pasa por el vértice.

El máximo o mínimo global de la función se alcanza en .

15.- Representa la siguiente función cuadrática y determina su vértice, puntos de corte

con los ejes, dominio y recorrido:

16.- Determina la expresión analítica de una función afín f que verifica

y cuyo dominio de definición es [-1,3]. Representa gráficamente dicha

función.

17.- Determina la expresión analítica de una función afín que verifica y cuya

pendiente es -2, definida en [0,5).

18.- Representa las funciones cuadráticas siguientes y determina su recorrido:

19.- Representa las funciones:

6.- Funciones definidas a trozos

El dominio de definición de estas funciones se obtiene analizando el dominio de cada

una de las funciones que la definen. La gráfica resulta de la representación parcial de

cada una de las funciones definidas. El recorrido se puede obtener fácilmente una vez

realizada la representación gráfica de la función.

20.- Representa gráficamente la función y determina su dominio y recorrido

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21.- Representa gráficamente las funciones y determina en cada una de ellas su dominio

y recorrido:

b)

c)

7.- Función valor absoluto

El valor absoluto de una función se denota por y se define de la siguiente

forma.

Para efectuar la representación gráfica de la función representamos en primer

lugar la función . Los situados debajo del eje Y, se transforman en otros tramos

simétricos respecto del eje OX.

22.- Representa y define como funciones definidas a trozos:

8.- Operaciones con funciones

Las funciones reales de variable real pueden operarse entre sí utilizando las principales

operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente,…

Por ejemplo:

Funciones reales de variable real 14

Si

, entonces

Si

, entonces

Si

, entonces

22.- Dadas las funciones

calcula las funciones

así como sus dominios de definición.

23.- Lo mismo que en el ejercicio anterior para:

9.- Composición de funciones

A cada valor de x primero se le aplica la función f, y al resultado obtenido le aplicamos

la función g.

Siempre se nombra, en primer lugar, la función que está más a la derecha ya que es la

que primero se aplica sobre la variable independiente.

Por ejemplo, si , se tiene

···

Funciones reales de variable real 15

La composición de funciones no es conmutativa: no se obtiene, en general, el mismo

resultado si cambiamos el orden de la composición.

Siguiendo con el ejemplo anterior se tiene

Luego

24.- Dadas las funciones

. Calcula y

determina el dominio de definición de ambas funciones.

25.- Dadas las funciones

. Calcula el

dominio de definición de la función .

26.- Sean las funciones

. Calcula

y determina el domino de definición de cada una de ellas.

27.- Dadas las funciones

calcula: y

determina el dominio de cada una de ellas.

28.- Sean las funciones

. Calcula:

Comprueba que .