El Punto, La Línea, El Plano, El Ángulo

El Punto:

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

La Línea:

Una línea es una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular. La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa a la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada. En geometría, la línea también puede considerarse la distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano. En matemáticas y geometría, línea suele denotar línea recta o curva

Línea Curva:

En matemáticas, el concepto de curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La rectasería el caso límite de una circunferencia de radio de curvatura infinito. Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1.

El Plano:

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

El Águlo:

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Geometría: Conceptos Básicos

  Objetivos:

Entender los conceptos básicos de la geometría plana. Introducir los elementos básicos de la geometría.

Reconocer figuras geométricas planas.

  Introducción

El estudio de la geometría debe incluir experiencias y actividades que les permita a los estudiantes entender el significado de la geometría en sus vidas del diario vivir. Es importante que los estudiantes desarrollen habilidades inductivas usando manipulativos o programado de computadoras. Además es importante el aprendizaje en grupo que les permita discutir la solución de los problemas y las conexiones de la geometría con las otras disciplinas como álgebra y cálculo.

La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte de razonar, porque es abstracta, pero fácil de visualizar y tiene muchas aplicaciones concretas como por ejemplo, calcular el área de un lote a ser cercado, determinar el volumen de un lata que contiene refresco, construir puentes bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio, grandes coliseos deportivos, etc. A continuación se muestra la iglesia de Santa Sofía construída en los años 300, pertenece a la arquitectura Bizantina y fue diseñada usando figuras geométricas, como semiesferas, rectángulos.

Iglesia de Santa Sofía

La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana (estudia la figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad).

  Geometría plana

La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.Para comprender la geometría plana de manera mas clara, es indispensable, comenzar por la definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

   Conceptos básicos

Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.

Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

Ejemplo:

Tres puntos

Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:

Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin.

segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos donde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.

Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.

En la siguiente aplicación, mueve y manipula los elementos básicos en el plano. Indica cuales de los elementos presentes son puntos, cuales son rectas, cuales son semirrectas y cuales son segmentos. 

¿Se pueden medir todos los elementos que ves en la imagen? Razona la respuesta.

¿Dirías que el punto "D" pertenece a la recta "a" ? 

  Polígonos

Un polígono es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus puntos extremos. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están formados.

Triángulo: polígono de 3 ladosCuádrilatero: polígono de 4 ladosPentagono: polígono de 5 ladosHexágono: polígono de 6 ladosHeptágono: polígono de 7 lados

Octágono: polígono de 8 ladosNonágono: polígono de 9 ladosDecágono: polígono de 10 ladosDodecágono: polígono de 12 ladosn - ágono: polígono de n lados

Ejemplos de polígonos:

En la siguiente aplicación, se muestran las graficas de los polígonos regulares según la cantidad de lados.Para detener la animación pulsa el botón del lado inferior izquierdo. A lado derecho puedes mover el punto negro para cambiar el numero de lados del polígono. Observa como cambia la figura y el nombre de cada una de ellas.

Matetodo, Creación realizada con GeoGebra

Las partes de un polígono son:

Vértices: puntos finales de los segmentos que forma el polígono, en la figura: A, B, C, D, E.

Lados: segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos del polígono, en la figura los lados son: AB,

Lados consecutivos: cualquier par de lados que comparten un vértice, en la figura: AB y BC, BC y CD,

Diagonal: un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos, en la figura: AC.

Apotema: de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

  Círculos

El círculo es una figura plana que consiste de todos los puntos que están sobre una curva cerrada y de los puntos interiores de ella, en la cual cada punto sobre la curva tiene la misma distancia al centro del círculo.

El radio de un círculo es la distancia entre el centro y cualquier punto de la curva y tiene longitud r.

El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos cualesquiera de la curva cerrada y que pasa por el centro y tiene longitud d = 2r y divide a un círculo en dos partes iguales.

La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la circunferencia.

El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia del círculo dado.

En la siguiente aplicación mueve los deslizadores y luego:

1. Compara las superficies del polígono inscrito en la circunferencia y la del círculo delimitado por la misma.

2. Aumenta el número de lados y cambia la longitud del radio ¿Qué harías para que la superficie del polígono fuese lo más parecida posible a la del círculo?

3. Activa las casillas "Datos del polígono" y "Radio". Repite las actividades uno y dos. Comprueba que la respuesta que has dado en la actividad dos es la correcta.

4. Activa las casillas "Área del polígono" y "Área del círculo". Comprueba si la respuesta dada en la actividad dos es acorde con los datos de las áreas.

Video Youtube sobre definiciones básicas de geometria

http://www.youtube.com/watch?v=Cb2zeOb1llk

Un segmento (1 dimensión) puede generar unpolígono (2 dimensiones). Mediante nuevas transformaciones podemos obtener un poliedro (3 dimensiones), un polícoro (4 dimensiones) o diversos politopos (n dimensiones).

Recuerda:

Triangulo:

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos

siempre es 180 grados.

Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (base x altura) / 2

(tipos de triángulos: Isósceles, escaleno y equilátero)

Cuadrado:

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales.

Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del cuadrado = lado al cuadrado

Rectángulo:

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90

grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rectángulo = base.altura

Rombo:

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rombo= (diagonal mayor x diagonal meno)/ 2

Trapecio:

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

Paralelogramo:

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = base.altura

Pentágono:

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2

Hexágono:

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.

Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2

Circulo:

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los

puntos que equidistan del centro.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del círculo = 3’14. radio al cuadrado

Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego

antiguo παραλληλεπίπεδον1 parallēlepípedon2 ‘planos paralelos’) es un poliedrode seis caras (por

tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos.

Un paralelepípedo tiene 12aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices.

Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:

Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.

Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.

Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los

vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.3

Paralelepípedo oblícuo.

MANEJO DE ESCUADRAS

https://www.youtube.com/watch?v=m1an_6vu9PQ

Perpendiculares y paralelas

Perpendiculares

Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.

La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:

(La cajita en la esquina significa "en ángulos rectos", así que no hacía falta poner también que son

90°, ¡pero queríamos hacerlo!)

Paralelas

Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se

van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:

Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.

La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos:

Ejemplo 1 Ejemplo 2

De perpendiculares a paralelas

Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre perpendiculares y paralelas? 

Respuesta: 90 grados (un ángulo recto)

Es verdad, si giras una línea perpendicular 90° se volverá paralela (¡pero no si la toca!), y también al revés.

Perpendiculares... Girar una línea 90° ... ¡Paralelas!

 

Curvas paralelas

Las curvas también pueden ser paralelas cuando están siempre a la misma distancia (se llaman

"equidistantes"), y nunca se encuentran. Como las vías de un tren.

La curva roja es paralela a la azul en los dos casos:

 

Superficies paralelas

Las superficies también pueden ser paralelas, siempre que se cumpla la regla: siempre a la misma

distancia y sin tocarse nunca.

Estrujarse la cabeza

Algo que me hace romperme la cabeza: sabemos que si tenemos dos líneas paralelas y giramos

una de ellas 90°, serán perpendiculares, ¿verdad? Bueno, ¿pasa lo mismo con curvas? ¿Podemos

tener "curvas perpendiculares", girando una de ellas 90°? Yo no lo sé, pero es divertido pensarlo

un poco.

DEFINICIÓN DEORTOGONALOrtogonal es un adjetivo que se emplea para nombrar a aquello que se encuentra en un ángulo de 90º. Se trata de una noción que, en el caso de los espacios euclídeos, es equivalente al concepto de perpendicularidad.

Se habla de proyección ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado de dibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Al realizar esta proyección, se establece un vínculo entre los puntos del componente proyectante y los puntos del elemento proyectado.

Supongamos que deseamos realizar la proyección ortogonal de un segmento PR sobre una recta T. Para esto tendremos que proyectar los extremos de PR a través de líneas que sean perpendiculares a T, lo que permitirá conocer la proyección ortogonal del segmento sobre dicha recta. La intersección entre las líneas proyectantes y T crea un nuevo segmento, que podríamos denominarMN. Cuando el segmento PR es paralelo a la recta T, el segmento MN resultará análogo a PR.

Puede decirse que el trazado ortogonal se fundamenta en un ángulo recto, desarrollándose en el espacio horizontal y en el espacio vertical. Esta idea no sólo se aplica en el ámbito de la geometría, sino que también es importante en el arte. Los artistas deben aprender a trabajar con la ortogonalidad en sentido estético para que el aspecto visual de un cuadro resulte llamativo.

Las circunferencias también pueden ser ortogonales cuando resultan secantes y, en un determinado punto, sus respectivas tangentes son perpendiculares. Respecto a un punto de intersección, sus radios también serán perpendiculares.