Geometría Sem 9

1 GEOMETRA TEMA 9SAN MARCOS REPASO 2014 I

GEOMETRA ANALTICA(RECTA - CIRCUNFERENCIA - PARBOLA)

SNI3G9

GEOMETRATEMA 9

DESARROLLO DEL TEMA

I. RECTA

A. Caratersticas de la recta

1. ngulo de inclinacinEs el ngulo que forman la recta con el eje delas abscisas, medido en sentido antihorario.

Y

X

2. Pendiente de una rectaEs la tangente trigonomtrica de la medida delngulo de inclinacin de la recta.

Y

X

En la figura:

Sea "m" la pendiente de la recta 2

m Tan ; 90 m( ) < = +

Sea "m1" la pendiente de la recta 1

1m Tan ; 90 m( ) < =

3. Clculo de la pendiente

P(x ,y)1 1(x - x )2 1 M

(y - y )2 1

Q(x ,y)2 2

X

Y

Conociendo las coordenadas de dos puntos de la recta, se puede calcular su pendiente de esta manera:

En la figura: La pendiente de la recta es m Tan=

PMQ 2 1 2 12 1 2 1

y y y yTan m

x x x x

= =

4. Clculo de la medida angular entre dosrectas

P( )x, yY

X

A( )x , yo oxyo

yyo

Sean:

m1: Pendiente de la 1

m2: Pendiente de la 2

GEOMETRA ANALTICA (RECTA - CIRCUNFERENCIA - PARBOLA)

2GEOMETRATEMA 9 SAN MARCOS REPASO 2014 I

Luego: 1 2m Tan , m Tan( ) = =

P QM: + = =

Luego: Tan Tan( )Tan Tan )

Tan 1 Tan . Tan

=

=

Reemplazando: 2 1Tan m Tan m = =

2 1

2 1

m mTan

1 m . m

=

Nota:a) Si: 1 // 2 0 =

1 2m m =

b) Si: 1 2 90 =

1 2m . m 1 =

II. PLANO CARTESIANO

El producto 2 = es el conjunto de todos lospares ordenados del plano que est determinado por2 rectas numricas reales perpendiculares, siendo estashorizontal y vertical respectivamente. Dichas rectas sonlos ejes de coordenadas rectangulares o Planocartesiano y a la interseccin de los ejes de denominaorigen de coordenadas.

1

2

- 3

+

+

-

- - 2 - 1 (0,0) 1 2 31

2

Eje X

Eje Y

Se le denomina as: Eje x, horizontal llamado "Eje de las abscisas" o Eje

de las x. Eje y vertical llamado "Eje de las ordenadas" o "Eje

de las y".

Al conjunto de los ejes, se les llama "Eje coorde-nadas".

Al punto de interseccin de los ejes, se le llama"Origen de coordenadas"

En el eje x, se considera positivo el sentido de laderecha del origen.

En el eje y, se considera positivo el sentido haciaarriba del origen.

Nota: Los ejes de coordenadas determinan en el plano

cartesiano cuatro regiones, las cuales se denomi-nan "cuadrantes".

Tomando en sentido antihorario, se enumeran loscuadrantes en: IC; IIC; IIIC y IV C.

Al plano cartesiano se le denominan tambin, sis-tema de coordenadas, sistema de coordenadasrectangulares o sistema x y.

el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) sedenomina plano numrico y se denota por 2 , as:

{ }2 ^(x, y) / x , y =

X

Y

II C

x ( - )y (+)

I C

III C IV C

x (+)y (+)

x ( - )y ( - )

x (+)y ( - )

A. El punto en el plano cartesianoEn todo plano cartesiano existen infinitos puntos y acada punto se le asocia un nico par o pareja de nmeros,el cual se le denomina: "Par ordenado" oo(x , y ) .

Eje de abscisas

Eje de ordenadas

oy

ox

P( , )o ox y

origendecoordenadas.

Notacin: Punto: P = oo(x , y )

a b c

1 1 1 1r r r r

= + +ox : es abscisa

oy : es ordenada



B. Distancia entre dos puntosConociendo las coordenadas de dos puntos cua-lesquiera P oo(x , y ) y Q 1 1(x , y ) , usted podr de-terminar la distancia entre ellos.

oy

ox

P( , )o ox y

1x

1y

1( )ox y-

1 1Q ( , )x y

1( )oy y-

d

M

Y

X

PMQ: 2 2 21 1o 0d (x x ) (y y )= +

2 21 1o od (x x ) (y x ) = +

C. Divisin de un segmento en una razn dadaConociendo las coordenadas de dos puntos cua-lesquiera 1 1(x , y ) y M(x,y) un punto del PQ , tal

que: PM rMQ

=

1 1Q( , )x y

1( )oy y-

P( , )o ox y

1x

ox

oy

1y

x

ya

bb

M( )x, y

1( )y y-

1( )x x-

( )ox x-

( )oy y-

Si: PM rMQ

= ; luego PLM MNQ

o

1

(x x ) PM r(x x) MQ

= =

Entonces:o 1

1

x r xx r 1

x x

+=

Anlogamente:o 1y r yy r 11 r

+

= +

Adems: De la grfica anterior, diremos PM = a yMQ = b; obtendremos:

o1o

1

x x ax bxa xx x b a b

+

= = +

Anlogamente:

o1o

1

y y ay bya yy y b a b

+

= = +

D. Punto medio de un segmento

Sean los puntos P oo(x , y ) ; Q 1 1(x , y ) y "M" (x, y)

punto medio de P Q ; tal que PM = MQ.

PM 1MQ

=

x

oy

ox

P( , )o ox y

M ( )x; y

y

1x

1ya

a

O

Y

X

o 1 o 1x x y y

x y2 2+ +

= =

III. ECUACIN DE LA RECTA

A. Ecuacin forma, punto y su pendienteSea un punto P(x, y) de la recta cuya pendientees "m" se representa mediante la ecuacin.

ooy y m(x x) =

P( )x, yY

X

A( )x , yo oxyo

yyo



Si: o oA(x y ) o oo o

y y y ym

x x x x

= =

Luego:Ecuacin

o oy y m(x x) = Punto Pendiente

Donde:P(x, y) : Punto de paso

A o o(x , y ) : Punto genrico

m : Pendiente

B. Ecuacin forma pendiente y su ordenada alorigenEs la tangente trigonomtrica de la medida delngulo de inclinacin de la recta.

(o, b)

A(x ,y)o o

xe

(yo - b)

y = mx + bo o

X

Y

Donde:A o o(x , y ) : Punto genrico(o, b) : Intersecto con el eje Y.

m : Pendiente.

C. Ecuacin forma de coordenadas de origenLa recta que pasa por (o, b) y (a, o) tiene comoecuacin:

yx 1a b

+ =

(o, b)(x ,y)o o

(a; o)

Y

X

De la figura:

o b bm ma o a

= =

Luego:Aplicamos ecuacin pendiente y ordenada deorigen.

: o oy mx b= +

o oby x ba

= +

Luego:

o ox y 1a b

+ =

Ecuacin de coordenadas al origen.

D. Ecuacin forma simtrica

P(x -y )1 1c

Q(x; y)

d

Y

X

De la figura:

1 1y y x xc d

=

E. Ecuacin, distancia de un punto a una recta

: Ax + By + C = 0 y un punto.

1 1P(x , y ) que no pertenece a la recta.

P(x ; y )1 1

(x; y) d

Y

X

Ax+By+C=0

1 1(P, ) 2 2

A B C

A B

x yd

+ +=

+



I. INTRODUCCIN

Las figuras que se van a estu-diar, todas ellas conocidas conel nombre genrico de cnicas,se pueden obtener como in-terseccin de una superficiecnica con un plano. Llamamossuperficie cnica de revolucina la superficie engendrada poruna lnea recta que gira alre-

dedor de un eje manteniendo un punto fijo sobre di-cho eje; mientras que denominamos simplementeCnica a la curva obtenida al cortar esa superficie cni-ca con un plano, las diferentes posiciones de dicho pla-no nos determinan distintas curvas: circunferencia, elip-se, hiprbola y parbola.

Un Poco de Historia: El estudio de las cnicas tienesu origen en el libro de Apolonio de Perga, Cnicas, enel cual se estudian las figuras que pueden obtenerseal cortar un cono cualquiera por diversos planos. Pre-viamente a este trabajo existan estudios elementalessobre determinadas intersecciones de planos perpen-diculares a las generatrices de un cono, obtenindoseelipses, parbolas o hiprbolas segn que el ngulosuperior del cono fuese agudo, recto u obtuso, res-pectivamente. Si bien no dispona de la geometraanaltica todava. Los resultados obtenidos por Apoloniofueron los nicos que existieron hasta que Fermat yDescartes, en una de las primeras aplicaciones de lageometra analtica, retomaron el problema llegando asu casi total estudio, haciendo siempre la salvedad deque no manejaban coordenadas negativas, con lasrestricciones que esto impone.

La importancia fundamental de las cnicas radica en suconstante aparicin en situaciones simples

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de losplanetas dice que estos siguen rbitas elpticas, enuno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posi-ble que Newton no hubiese podido descubrir su fa-mosa ley de la Gravitacin Universal de no haber cono-cido ampliamente la geometra de las elipses.

La rbita que sigue un objeto dentro de un campogravitacional constante es una parbola. As, la lnea quedescribe cualquier mvil que es lanzado con una ciertavelocidad inicial, que no sea vertical, es una parbola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad noes constante: depende de la distancia del punto alcentro de la Tierra. En realidad la curva que describeel mvil (si se ignora el rozamiento del aire) es unaelipse que tiene uno de sus focos en el centro de laTierra.

Una cnica se puede considerar como el resultado decortar una superficie cnica con un plano; o como ellugar geomtrico de los puntos del plano tal que la ra-

zn de sus distancias a un punto y a una recta es cons-tante; o bien puede darse de ella una definicin espec-fica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

II. DEFINICIN

Es el lugar geomtrico de un punto P(x,y) del plano2 , de tal manera que se mueve mantenindose

siempre igual a una cantidad constante r (r radio)de un punto fijo C del plano denominado centro de lamisma. Es decir:

{ }2P(x, y) / d(C,P) r= =C

III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

LN

LT

B

O E A

U

C r

X

Y

C Centro de la circunferencia

CU Radio (CU = r)

B O Cuerda

AE Dimetro

NL Recta Normal

TL Recta Tangente

CIRCUNFERENCIA

Cnicas



IV. FORMAS DE LA ECUACIN DE UNACIRCUNFERENCIA

A. Forma Cannica:Es la ecuacin de la circunferencia con centro enel origen.

(0;0)

P(x;y)

X

Y

r x

y

r

2 2 2x y r+ =

B. Forma Ordinaria:Si el centro de la circunferencia no est en el origende coordenadas, sino en el punto C (h; k) y es deradio r; entonces la ecuacin de la circunferenciaser:

Y

X

k

r

P(x,y)

ykC(h k)

H

En la figura:

Centro: C(h,k)

Radio: r

Punto Genrico: P(x,y)

2 2 2(x h) (y k) r + =

V. ECUACIN GENERAL DE LA CIRCUN-FERENCIASi se desarrolla la ecuacin ordinaria de la circunferenciase obtiene la ecuacin general:

Para pasar de la ecuacin ordinaria a la ecuacin general:

2 2x y D x E y F 0+ + + + =

2 2 2(x h) (y k) r + =

2 2 2 2 2x 2xh h y 2yk k r 0 + + + =

2 2 2 2 2x y 2yh 2yk (h k r ) 0+ + + + =

De donde:

D 2h= E 2k= 2 2 2F h k r= +

Tambin:

Dh2

= Ek2

= 2 2D E 4F

r2

+ =

PARBOLA

I. INTRODUCCINLas parbolas aparecen en diferentes situaciones de lavida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuandolanzamos un baln bombeado o golpeamos una pelotade tenis. En la curva que describe la pelota en sumovimiento se puede ver que se trata de una trayectoriaparablica. Al dibujar este desplazamiento, podemosconsiderar esta parbola como la representacin grficade una funcin que asigna a cada desplazamientohorizontal x la altura y alcanzada por la pelota.La parbola es una de las curvas cnicas ms utilizadasen la tecnologa actual. Un ejemplo son las antenasparablicas que sirven para captar las seales detelevisin emitidas por un satlite. Con ella podemosver emisoras de televisin de todas partes del mundo.Del mismo modo, la parbola tambin se emplea parafabricar los faros de los coches.

II. PROPIEDADES DE LA PARBOLAUna de las propiedades geomtricas de la parbola msutilizada fue descubierta por los griegos: un rayo, porejemplo de luz, que emane del foco, se refleja en laparbola a lo largo de una trayectoria paralela al eje dela parbola, sin importar cual sea el punto de reflexin.

O recprocamente, un rayo paralelo al eje de la parbolay reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es tilen la construccin de linternas, faros automotrices yfaros buscadores en los cuales el reflector tiene unaseccin transversal parablica y la fuente luminosa estaen el foco. Igualmente, en los telescopios y receptoresde radar, las seales de una fuente remota entranparalelas al eje y se reflejan pasando por el foco,mediante un reflector parablico. La potenteconcentracin que produce un reflector parablicogrande, como el de un radiotelescopio, hace posibledetectar y analizar seales luminosas muy pequeas.La propiedad de reflexin se muestra en la figura.

PARBOLAFoco Eje



III. DEFINICINEs el lugar geomtrico de un punto P(x,y) del plano2 , que se mueve de tal manera que equidista deuna recta fija L (Llamada Directriz). Situada en el planoy de un punto fijo F (Llamado Foco) del plano 2 yque no pertenece a la recta L. Es decir:

{ } 2P(x, y) / d(P,L) d(P,F)= =P

Y

X

T F

U

M

E

V L

C

P

P

QL1

Directriz

P(x,y)

Eje Focal Eje de Simetra

IV. ELEMENTO DE LA PARBOLA Foco F es el punto fijo de la parbola. Vrtice V es el punto medio del segmento que

une la directriz y el foco. Eje focal 1L es la recta perpendicular a la directriz L.

Cuerda focal T U es el segmento que une dospuntos de la parbola y que pasa por el foco.

Radio vector EF es el segmento que une unpunto de la parbola E y el foco F.

Lado recto CM es la cuerda focal pe rpendicularal eje focal.

Excentricidad es la razn constante entre ladistancia de un punto al foco y la distancia de dichopunto a la directriz.

Parmetro (P): FV = VQ = P

V. FORMAS DE LA ECUACIN DE LAPARBOLA Ecuacin de la parbola de vrtice en el origen y

eje focal el eje X.

P(x,y)

F(p,0)

Y

X

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parbola.

2y 4px=

Ecuacin de la parbola de vrtice en el origen yeje focal el eje Y.

P(x,y)

F(0,p)

X

Y

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parbola.

2x 4py=

Ecuacin de la parbola con vrtice en (h, k) y paraleloal eje X.

Y

X

F

h

k

2(y k) 4p(x h) =

Ecuacin de la parbola con vrtice en (h, k) y ejeparalelo al eje Y.

Y

X

F

V(h,k)

h

2(x h) 4p( k) = y



PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Dadas las ecuaciones de las rectas:L1: 9y + Kx + (K = 3) = 0L2: Ky + 4x + S = 0Hallar (K + S) de manera que L1 y L2representen la misma recta si se sabeque K > 0

A) 12 B) 14 C) 16D) 20 E) 36

Resolucin:Para que las rectas L1 y L2 representenla misma recta se debe cumplir.

K 39 KK 4 S

+= =

K 6=Como K > 0, K = 6S = 6

nos piden

K S 12+ =

Respuesta: A) 12

Problema 2Demostrar que la ecuacin de lacircunferencia, donde los puntos

1 2A (a ;a ) y 1 2B (b ; b ) son extremosde uno de los dimetros, es:

2 21 1 2 2a b a bx y

2 2

+ + =

( )221 1 2 2(a b ) a b4

+

Resolucin:

(b ,b )1 2

A(a ,a )1 2

C(h,k)

r

r

r

Y

X 0

B

Por punto medio del AB , se tiene:

1 1 2 2a b a bh k2 2

+ +

= =

Por distancia entre dos puntos:

( ) ( )2 21 1 2 22r d(A,B) a b a b= = +

( ) ( )2 21 1 2 21r a b a b2 = +

Luego la ecuacin de la circunferencia es:

2 21 1 2 2a b a bx y

2 2

+ + +

=( ) ( )2 21 1 2 2a b a b

4 +

Problema 3

Halle la ecuacin de la parbola cuyadirectriz es la recta X=6 y su foco esF = (0,0).

A) y2 = 4x + 9B) y2 = 12x + 36

C) y2 = 12x 36

D) y2 = 4x + 36

E) y2 = 4x 36

ResolucinGraficando de acuerdo con los datosse obtiene la figura:

xV(-

3;0)

(-6; 0) F(0;0)

y

Se observa que la parbola es de laforma: 4P(x h) = (y k)2

donde: V(h;K) ( 3;0)P d(V F) 3

= = =

2

2

4(3)(x 3) y

y 12x 36

+ =

= +

Respuesta: B)

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