Graficar Funciones Cuadráticas

y = ax2 + bx + c

Funciones Cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Una parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo indefinidamente….

Cuando abre hacia arriba, su punto más bajo se llama el vértice y es el punto mínimo.Cuando abre hacia abajo, el punto más alto se llama el vértice y es el punto máximo.

NOTA: Si la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda, no es una función.

y

x

Vértice

Vértice

y = ax2 + bx + c

La parábola abrirá hacia abajo cuando a es negativo.

La parábola abrirá hacia arriba cuando a es positivo.

Forma Estándary

x

La forma estándar de una función cuadrática es:

a > 0

a < 0

y

x

Eje de Simetría

Eje de Simetría

Las parábolas tienen una propiedad de simetría.

Si dibujamos una línea por el centro de la parábola, podemos doblar la parábola en mitad.Llamamos esta línea el eje de simetría.

El eje de simetría SIEMPRE pasa por el vértice.

Si graficas un lado de la parábola, podemos doblar (o reflejar) la gráfica sobre el eje de simetría para graficar el otro lado.

Encuentra el eje de simetría de la ecuy = 3x2 – 18x + 7

Para encontrar el Eje de Simetría

Cuando una función cuadrática está en forma estándar

La ecuación del eje de simetría es

y = ax2 + bx + c,

2ba

x

Por ejemplo…

Utilizando la fórmula…

18

2 3x 18

6 3

El eje de simetría es x = 3.

Para encontrar el Vértice

Sabemos que el eje de simetría siempre pasa por el vértice.

La línea de simetría nos da la coordenada en x del vértice.

Para encontrar la coordenada en y del vértice, tenemos que sustituir la coordenada en x en la ecuación original.

PASO 1: Encuentra el eje de simetría

PASO 2: Sustituye la x en la ecuación original para encontrar el valor de y.

y = –2x2 + 8x –3

8 8 22 2( 2) 4

ba

x

y = –2(2)2 + 8(2) –3

y = –2(4)+ 8(2) –3

y = –8+ 16 –3

y = 5

Por lo tanto, el vértice está en (2 , 5)

Para encontrar el Intercepto en y

PASO 3: Encuentra el intercepto en y

2 8(0) 32(0)y

Por lo tanto,

el intercepto en y es y = -3

22 8 3y x x

3y

También podemos encontrar el intercepto en y.

El intercepto en y es donde la gráfica choca con el eje de y.

Como sabemos que el intercepto en y es un punto que está sobre el eje de y, la x en ese punto es cero. Por lo tanto, si sustituyes x = 0 en la ecuación original, obtendremos el intercepto en y.

PASO 1: Encuentra el eje de simetría

Vamos a graficar

y = 2x2 – 4x – 1

( )4

12 2 2

bx

a

-= = =

Graficar una Función Cuadráticay

x

El eje de simetría es x = 1

Vamos a graficar

y = 2x2 – 4x – 1

PASO 2: Encuentra el vértice

Graficar una Ecuación Cuadráticay

x

( ) ( )22 1 4 1 1 3y = - - =-

El vértice está en (1 ,–3).

Como el valor de x del vértice está dado por el eje de simetría, necesitamos sustituir la x = 1 para encontrar el valor de y del vértice.

Vamos a graficar

y = 2x2 – 4x – 1

( ) ( )22 3 4 3 1 5y = - - =

PASO 3: Encuentra el intercepto en y.

Graficar una Ecuación Cuadráticay

x

( ) ( )22 0 4 0 1 1

1

y

y

= - - =-

=-Busque un valor adicional.

x y

3 5

Sabemos que abre hacia….

PASO 1: Encuentra el eje de simetría

Vamos a graficar

y = x2

( )0 0

02 2 1 2

bx

a-

= = = =

Graficar una Función Cuadráticay

x

El eje de simetría es x = 0

Vamos a graficar

y = x2

PASO 2: Encuentra el vértice

Graficar una Ecuación Cuadráticay

x

( )20 0y = =

El vértice está en (0,0).

Como el valor de x del vértice está dado por el eje de simetría, necesitamos sustituir la x = 0 para encontrar el valor de y del vértice.

Vamos a graficar

y = x2

( )22 4y = =

PASO 3: Encuentra el intercepto en y.

Graficar una Ecuación Cuadráticay

x

( )20 0

0

y

y

= =

=Busque un valor adicional.

x y

2 4

Sabemos que abre hacia….

Dominio y Rango de una Función

Dominio: es el conjunto de todos los valores que la función acepta de entrada (los valores de x)

Rango: es el conjunto de todos los valores de salida de una función. (los valores de y).

NOTA: No todas las ecuaciones son funciones, pero cuando lo son, se les nombra diferente. En vez de escribirla como y = x2 se escribe como f(x) = x2 .

1

Dominio y Rango de una Función

yx

-1

f(x) = x2

-2

0-1

-2

4014Dominio Rango

¿Cuál es el dominio y rango de esta función?

y

x

Dominio: es el conjunto de todos los valores que la función acepta de entrada (los valores de x)

Rango: es el conjunto de todos los valores de salida de una función. (los valores de y).

D: números realesR: y ≥ -3

¿Cuál es el dominio y rango de esta función?

y

x

Dominio: es el conjunto de todos los valores que la función acepta de entrada (los valores de x)

Rango: es el conjunto de todos los valores de salida de una función. (los valores de y).

D: números realesR: y ≥ 1

¿Cuál es el dominio y rango de esta función?

y

x

Dominio: es el conjunto de todos los valores que la función acepta de entrada (los valores de x)

Rango: es el conjunto de todos los valores de salida de una función. (los valores de y).

D: números realesR: y ≥ -5