Gráficos X-Bar y S-cuadrada

STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007

2006 por StatPoint, Inc. Grficos X-Bar y S-Cuadrada - 1

Grficos X-Bar y S-Cuadrada Resumen El procedimiento Grficos X-Bar y S-Cuadrada crea Grficos de control para una simple variable numrica donde los datos han sido recolectados en subgrupos. El procedimiento crea un Grfico X-bar para monitorear las medias de los subgrupos y un Grfico S2 para monitorear las varianzas de los subgrupos. Las seales fuera-de-control son iluminadas incluyendo los puntos que se encuentran ms all de los lmites de control y cualquier racha inusual en los datos. Los Grficos pueden ser construidos en el modo Estudio Inicial (Fase 1), donde los datos actuales determinan los lmites de control o en el modo Control a Estndar (Fase 2) donde los lmites provienen ya sea de un estndar conocido o de datos previos. El resultado y las opciones disponibles en el procedimiento X-bar y Grficos S-Cuadrada son similares a los de los procedimientos X-bar y Grficos R. Este documento sealar solamente las diferencias entre los dos procedimientos. Para una discusin detallada de las opciones comunes, refirase a la documentacin para X-bar y Grficos R. StatFolio de Muestra: xbarsschart.sgp Datos de la Muestra: El archivo pistonrings.sf3 contiene mediciones hechas en el dimetro de los anillos de pistones del motor de automviles, tomados de Montgomery (2005). Los datos consisten en m = 25 muestras de 5 anilllos cada una. La tabla de abajo muestra una lista parcial de los datos en ese archivo:

Simple (Muestra)

X1 X2 X3 X4 X5

1 74.030 74.002 74.019 73.992 74.008 2 73.995 73.992 74.001 74.011 74.004 3 73.988 74.024 74.021 74.005 74.002 4 74.002 73.996 73.993 74.015 74.009 5 73.992 74.007 74.015 73.989 74.014 6 74.009 73.994 73.997 73.985 73.993 7 73.995 74.006 73.994 74.000 74.005 8 73.985 74.003 73.993 74.015 73.988 9 74.008 73.995 74.009 74.005 74.004 10 73.998 74.000 73.99 74.007 73.995 11 73.994 73.998 73.994 73.995 73.990 12 74.004 74.000 74.007 74.000 73.996

STATGRAPHICS se refiere a cada fila del archivo como un subgrupo. El tamao del subgrupo es n = 5.



Captura de Datos En la captura de los datos para este procedimiento el usuario puede introducir:

1. las mediciones originales. 2. las medias subgrupales y las varianzas.

Caso #1: Introduciendo Medidas Originales En este caso, los datos para ser analizados consisten en las medidas originales tomadas de una sola variable.

Observaciones: una o ms columnas numricas. Si se introduce ms de una columna, cada

fila del archivo se asume que representa un subgrupo con tamao subgrupal n igual al nmero de columnas introducidas. Si solamente una columna es introducida, entonces los Nmeros Subgrupales o el campo Tamao es usado para formar los grupos.



Nmero o Tamao de Subgrupos: Si cada conjunto de n filas representa un grupo,

introduzca el nico valor n. Por ejemplo, introducir 5 implica que los datos en las filas 1-5 forman el primer grupo, las filas 6-10 forman el segundo grupo y as continua. Si los tamaos subgrupales no son iguales, introduzca el nombre de una columna numrica o no numrica adicional que contenga identificadores de grupo. El programa examinar esta columna y colocar filas secuenciales con cdigos idnticos dentro del mismo grupo.

Etiquetas de Subgrupos: etiquetas opcionales para cada subgrupo. Las etiquetas sern

aplicadas en secuencia a los subgrupos cuando se grafiquen los Grficos de control. Seleccin: seleccin del subconjunto. Caso #2: Introduciendo Estadsticos de Subgrupo En este caso, los estadsticos para cada subgrupo han sido calculados en algn lugar e introducidos dentro de la hoja de base de datos como en la tabla de abajo:

Muestra Media Varianza Tamao 1 74.0102 0.0002182 5 2 74.0006 0.0000563 5 3 74.008 0.0002175 5 4 74.003 0.0000825 5 5 74.0034 0.0001493 5 6 73.9956 0.0000758 5 7 74 0.0000305 5 8 73.9968 0.0001502 5 9 74.0042 0.0000307 5 10 73.998 0.0000395 5 11 73.9942 0.0000082 5 12 74.0014 0.0000178 5



Estadsticos por Subgrupo: los nombres de la columna que contiene las medias de los

subgrupos y las varianzas de los subgrupos. Nmero o Tamao de Subgrupos: Si todos los subgrupos contienen el mismo nmero de

observaciones, introduzca el nico valor n. De otra manera, introduzca el nombre de una columna numrica que contenga los tamaos de los subgrupos.

Etiquetas de Subgrupos: etiquetas opcionales para cada subgrupo. Seleccin: seleccin del subconjunto.



Grfico X-bar Este Grfico grafica las medias subgrupales jx .

Grfico X-bar para X1-X5

0 5 10 15 20 25Subgrupo

73.98

73.99

74

74.01

74.02

X-b

ar

CTR = 74.00LSC = 74.01

LIC = 73.99

En el modo Fase 1 (Estudios Iniciales), la lnea central y los lmites de control son determinados a partir de los datos. La lnea central est localizada en el promedio cargado de las medias subgrupales.

=

== mj

j

m

jjj

n

xnx

1

1 (1)

Los lmites de control son colocados arriba y debajo de la lnea central en:

nkx (2)

donde k es el mltiplo de sigma especificado en la tabulacin Grficos de control del cuadro de dilogo Preferencias (k = 3 excepto en casos raros), es la estimacin de la sigma del proceso y n es el tamao subgrupal. Si los tamaos de los subgrupos no son iguales entonces dependiendo de las Opciones de Anlisis, n es reemplazado por:

(1) n , el tamao subgrupal promedio. En este caso, los lmites de control son los mismos para todos los subgrupos.

(2) nj , los tamaos subgrupales individuales. En este caso, los lmites de control son funciones peldao.



El mtodo para la estimacin de la sigma del proceso tambin depende de las especificaciones establecidas en la tabulacin Grficos de control del cuadro de dilogo Preferencias, como se declara en la seccin Resumen del Anlisis abajo. Cualquier punto ms all de los lmites de control ser sealado usando un smbolo de punto especial. Cualquier punto excluido del anlisis, usualmente con darle clic en el punto sobre el Grfico y presionando el botn Excluir/Incluir, ser indicado por una X. Si es indicado en el cuadro de dilogo Opciones de Cuadro, las secuencias inusuales de puntos tambin son sealadas. En el Grfico actual no hay puntos inusuales o seales de fuera-de-control indicadas. Opciones de Cuadro

Lmites Externos de Advertencia: verificar este Grfico para aadir lmites de aviso en el

mltiplo de sigma especificado, usualmente en sigma 2. Lmites Internos de Advertencia: verificar este Grfico para aadir lmites de aviso en el

mltiplo de sigma especificado, usualmente en sigma 1. Promedio Mvil: verificar este Grfico para aadir un promedio mvil suavizador al

Grfico. En adicin a las medias de los subgrupos, el promedio de los ms recientes puntos q ser tambin mostrado, donde q es el orden del promedio mvil. El valor predeterminado es q = 9 dado que los lmites de aviso interno sigma 1 para las medias subgrupales originales son equivalentes a los lmites de control sigma 3 para aquel orden de promedio mvil.

Promedio Mvil Exponencialmente Ponderado: verificar este Grfico para aadir un

suavizador EWMA al Grfico. En adicin a las medias subgrupales, un promedio mvil cargado exponencialmente de las medias subgrupales ser tambin mostrado, donde es el parmetro de suavizamiento del EWMA. El valor predeterminado es = 0.2 desde que los



lmites de aviso interno sigma 1 para las medias subgrupales originales son equivalentes a los lmites de control sigma 3 para ese EWMA.

Cifras Decimales para Lmites: el nmero de lugares decimales usados para mostrar los

lmites de control. Marcar Violaciones a Reglas de Secuencias: seala con un smbolo de punto especial

cualquier secuencia o racha inusual. Las reglas de las Corridas aplicadas de manera predeterminada se especifican en la tabulacin Pruebas de Corridas del cuadro de dilogo Preferencias.

Color de Zonas: verificar este Grfico para mostrar zonas verdes, amarillas y rojas.

Grfico S Cuadrada Este Grfico grafica las varianzas de los subgrupos 2js .

Grfico S-cuadrada para X1-X5

0 5 10 15 20 25Subgrupo

0

1

2

3

4

5(X 0.0001)

S-c

uadr

ada

CTR = 0.00LSC = 0.00

LIC = 0.00

En el modo Fase 1 (Estudios Iniciales), la lnea central y los lmites de control estn determinados a partir de los datos. La lnea central est localizada en:

2=CL (3) Los lmites de control son colocados en localizaciones determinadas por los valores crticos de una distribucin chi-cuadrada:

21,2/

2

1

= nnUCL (4)

2

1,2/1

2

1

= nnLCL (5)



donde es la probabilidad de alarma falsa del Grfico, es la estimacin de la sigma del proceso y n es el tamao subgrupal. est determinado para proporcionar la misma probabilidad de alarma falsa que el mltiplo de sigma especificado en la tabulacin Grficos de control del cuadro de dilogo Preferencias ( = 0.0027 excepto en casos raros). Si los tamaos de los subgrupos no son iguales, Opciones de Anlisis especifica si se usa el tamao subgrupal promedio o los tamaos subgrupales individuales. El Grfico S2 para los datos muestrales muestra que no hay seales inusuales. Opciones de Cuadro Las mismas opciones existen para el Grfico X-bar.



Reportes de los Subgrupos Este cuadro tabula los valores graficados en los Grficos de control:

Reporte de Subgrupos Todos los Subgrupos X = Excluida * = Fuera de Lmites Subgrupo Tamao X-bar S-cuadrada 1 5 74.0102 0.0002182 2 5 74.0006 0.0000563 3 5 74.008 0.0002175 4 5 74.003 0.0000825 5 5 74.0034 0.0001493 6 5 73.9956 0.0000758 7 5 74.0 0.0000305 8 5 73.9968 0.0001502 9 5 74.0042 0.0000307 10 5 73.998 0.0000395 11 5 73.9942 0.0000082 12 5 74.0014 0.0000178 13 5 73.9984 0.0001093 14 5 73.9902 0.0002342 15 5 74.006 0.0000535 16 5 73.9966 0.0000608 17 5 74.0008 0.0001117 18 5 74.0074 0.0000488 19 5 73.9982 0.0000717 20 5 74.0092 0.0000637 21 5 73.9998 0.0001477 22 5 74.0016 0.0000553 23 5 74.0024 0.0001423 24 5 74.0052 0.0000757 25 5 73.9982 0.0002617

Los puntos fuera-de-control son indicados por un asterisco. Los puntos excluidos de los clculos son indicados por una X. Opciones de Cuadro

Mostrar: especifica los subgrupos a mostrar en el reporte.



Resumen del Anlisis El Resumen del Anlisis resume los datos y los Grficos de control. Grficos X-bar y S-cuadrada - X1-X5 Nmero de subgrupos = 25 Tamao de subgrupo = 5.0 0 subgrupos excluidos Distribucin: Normal Transformacin: ninguna Grfico X-bar Perodo #1-25 LSC: +3.0 sigma 74.0147 Lnea Central 74.0012 LIC: -3.0 sigma 73.9877

0 fuera de lmites Grfico S-cuadrada Perodo #1-25 LSC: +3.0 sigma 0.000447308 Lnea Central 0.000100516 LIC: -3.0 sigma 0.00000265779

0 fuera de lmites Estimados Perodo #1-25 Media de proceso 74.0012 Sigma de proceso 0.0100509 s agrupada 0.0100258

Sigma estimada a partir de la s agrupada con correccin de bias Se encuentran incluidos en la tabla:

Informacin Subgrupal: el nmero de los subgrupos m y el tamao subgrupal promedio

m

nn

m

jj

== 1 (5)

Si algn subgrupo ha sido excluido de los clculos, ese nmero es mostrado tambin.

Distribucin: la distribucin asumida para los datos. De manera predeterminada, se asume que los datos siguen una distribucin normal. Sin embargo, alguna de las otras 26 distribuciones pueden ser seleccionada usando Opciones de Anlisis.

Transformacin: cualquier transformacin que ha sido aplicada a los datos. Usando

Opciones de Anlisis, el usuario puede elegir transformar los datos usando ya sea una transformacin comn tal como una raz cuadrada u optimizar la transformacin mediante el mtodo de Box-Cox.



Grfico X-bar: un resumen de la lnea central y los lmites de control para el Grfico X-bar, el cual grafica las medias de los subgrupos jx . Usando Opciones de Anlisis, lmites separados pueden ser calculados para diferentes periodos (conjuntos de subgrupos).

Grfico S-Cuadrada: un resumen de la lnea central y los lmites de control para el

Grfico S2, el cual grafica las varianzas estndar de los subgrupos 2js .

Estimaciones: estimacin de la media del proceso y la desviacin estndar del proceso . La media del proceso es estimada del promedio cargado de las medias de los subgrupos:

x= (7)

La sigma del proceso puede ser estimada en alguna de las 4 formas dependiendo de las especificaciones en la tabulacin Grficos de control del cuadro de dilogo Preferencias, accesible a travs del men Edicin.

There are 4 options:

(1) Del promedio s con correccin no sesgada: la sigma del proceso es estimada

de un promedio cargado de las desviaciones estndar subgrupales. (2) Del promedio s con correccin sesgada: la sigma del proceso es estimada de

un promedio cargado de las desviaciones estndar de los subgrupos y entonces multiplicado por un factor que hace que el resultado sea una estimacin insesgada de .

(3) Del conjunto s con correccin no sesgada: la sigma del proceso es estimada del conjunto dentro de la varianza del grupo como en una ANOVA de una va. En este caso, s2 es una estimacin insesgada de 2 pero s es un estimador sesgado para .

(4) Del conjunto s con correccin sesgada: la sigma del proceso es estimada del conjunto dentro de la varianza del grupo y entonces multiplicada por un factor que hace que el resultado sea una estimacin insesgada de .

Conjunto s: el conjunto dentro de la desviacin estndar del subgrupo:

( )( )

=

=

= k

jj

j

k

jj

p

n

sns

1

2

1

1

1 (8)



Opciones de Anlisis

Tipo de Estudio: determina cmo se especifican los lmites de control. Para un Grfico

Estudio Inicial (Fase 1), los lmites son estimados a partir de los datos actuales. Para un Grfico Control a Estndar (Fase 2), los lmites de control estn determinados a partir de la informacin de la seccin Control a Estndar del cuadro de dilogo.

Normalizar: si es seleccionado, todos los estadsticos sern normalizados calculando los

valores Z y los valores Z graficados en los Grficos. La lnea central sobre la cual un Grfico est siempre localizado en 0 y los lmites de control, estn siempre localizados en k.

Tamao Promedio de Subgrupo: si es verificado los lmites de control sern lneas

horizontales basadas en el tamao subgrupal promedio. Si no es verificado, los tamaos subgrupales individuales sern usados, resultando en lmites de control de funciones peldao si los tamaos subgrupales no son todos iguales.

Usar Formato de Zona: si es verificado, los estadsticos sern graficados usando un Grfico

de zona en vez que el formato usual. Ver el ejemplo de abajo. Recalcular en: los lmites de control del Grfico pueden ser recalculados hasta en 4 lugares

a lo largo del eje X especificando los nmeros subgrupales en los cuales nuevas estimaciones sern iniciadas. Estimaciones separadas de la media y la sigma del proceso se obtendrn usando los datos en las diferentes secciones. En tales casos, los lmites de control sern ajustados al inicio de cada nuevo periodo.

Lmites de Control para X-bar: especifica el mltiplo k para usar en la determinacin de

los lmites de control superior e inferior en el Grfico X-bar. Para eliminar un lmite completamente introduzca 0.

Lmites de Control para S Cuadrada: especifica el mltiplo k para usar en la

determinacin de los lmites de control superior e inferior en el Grfico S2. Para suprimir un



lmite completamente, introduzca 0. El valor k ser convertido en un equivalente al riesgo por la creacin de los lmites de control.

Control a Estndar: para realizar un anlisis Fase 2 seleccione Control a Estndar para el

Tipo de Estudio y despus introduzca alguno de los siguientes:

Especificar Parmetros: especfica la media y sigma del proceso estndar establecida (u otros parmetros si no se asume una distribucin normal). Esos valores sern usados para posicionar las lneas centrales y los lmites de control en los Grficos. Especificar Lmites de Control: especifica la localizacin de las lneas centrales y los lmites de control exactamente donde el usuario desea que sean colocados. Botn de Excluir: Use este botn para excluir subgrupos especficos de los clculos.

Botn de Transformacin: Use este botn para especificar una transformacin o una

distribucin no normal.

Ejemplo: Definiendo Secciones Mltiples El eje del tiempo del Grfico de control puede ser dividido en secciones si se requiere que los lmites de control sean recalculados en diferentes puntos en el tiempo. Por ejemplo, el campo Recalcular en en el siguiente cuadro de dilogo Opciones de Anlisis pregunta que secciones nuevas inician en los subgrupos 6 y 15:

Los Grficos de control entonces muestran diferentes lmites para cada seccin:



Grfico X-bar para X1-X5

0 5 10 15 20 25Subgrupo

73.98

73.99

74

74.01

74.02

74.03X

-bar

CTR = 74.00LSC = 74.02

LIC = 73.99

Las etiquetas a lo largo del eje derecho muestran la mayora de los lmites recientes.

Guardar Resultados Los siguientes resultados pueden ser guardados en la hoja de base de datos:

1. Medias las medias de los subgrupos. 2. Varianzas las varianzas de los subgrupos 3. Tamaos los tamaos de los subgrupos 4. Etiquetas las etiquetas subgrupales 5. Media de Proceso la media del proceso estimada 6. Sigma dl Proceso la desviacin estndar del proceso estimada.



Clculos Estimacin de la Sigma del Proceso (1) Del promedio s con correccin no sesgada:

=

== kj

j

k

jjj

n

sn

1

1 (9)

(2) Del promedio s con correccin sesgada:

( )

=

=

= kj

j

k

j j

jj

h

ncsf

1

1 4 (10)

donde ( )

( )jj

j ncnc

h 24

24

1= (11)

(3) Del conjunto s con correccin no sesgada:

( )( )

=

=

= k

jj

j

k

jj

n

sn

1

2

1

1

1 (12)

(4) Del conjunto s con correccin sesgada:

( )( )

=

=

= m

jj

j

k

jj

n

sn

dc1

2

1

4 1

1

)(1 (13)

donde ( )

=+=

k

jjnd

111 (14)

Gráficos X-Bar y S-cuadrada

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