Guía 6 - Nociones Básicas de Geometría del Espacio

Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO

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Nociones Básicas de la Geometría del Espacio

Introducción

Hasta el momento conocemos figuras geométricas ubicadas sólo en un plano, tales como el triángulo, el cuadrilátero, el círculo, etc. Sin embargo, en nuestra vida cotidiana observamos que en nuestro entorno existen objetos que no están ubicados en un solo plano; tales como una caja, una columna, un edificio, etc. Esto nos hace ver la necesidad de analizar la forma y extensión de los objetos ubicados en el espacio, lo cual se puede hacer representándolos mediante figuras geométricas espaciales denominados ‘‘sólidos geométricos’’, para esto también será necesario tener un manejo adecuado de las rectas, planos, ángulos diedros, etc., y sobre todo paciencia, orden y perseverancia por parte del alumnado.

PFigura en el plano

P

Figura en el espacio

A) PUNTO

Representación gráfica de un punto.

B) RECTA

Representación gráfica de una recta.

A Notación.- Punto A B

A

Notación.- Segmento de recta AB o AB

L

Notación.- Recta L: L

C) PLANO

Se denomina superficie plana o plano a una superficie tal que la recta que une a dos puntos cualesquiera tiene todos sus otros puntos en la misma superficie. Todo plano se supone de extensión ilimitada. La mayor parte de los objetos planos que observamos son porciones de plano de forma rectangular; por esta razón y ante la imposibilidad de representar los planos indefinidos adoptaremos la representación convencional por regiones paralelográmicas que es el aspecto que tiene aproximadamente los rectángulos vistos en perspectiva desde cierta distancia.

Notación.- Plano P: P

B

P

L

Un plano ‘‘P’’ queda determinado por uno de los cuatro casos.

Determinación de un plano

Tre s p u nto s n o co l i n e a l e s determinan un plano.

1. Teorema

B

P

AC

Si A, B y C son puntos no colineales.

A, B y C determinan el plano P.

Una recta y un punto, que no pertenece a ella, determinan un plano.

2. Teorema

P

A L

A y L determinan al plano P.

Conceptos previos

Si A ∉ L

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Si L1 ∩ L2 = {Q}

P

Q L1

L2

L1 y L2 determinan al plano P.

Dos rectas paralelas determinan un plano.

4. Teorema

P

L1L2

L1 y L2 determinan al plano P.

Si L1 // L2

Po s i c i o n e s R e l a t i v a s d e d o s planos

∅ : Vacío o Nulo

Si P ∩ Q = ∅ ⇒ P // Q

Dos planos son paralelos o paralelos entre sí, cuando no tienen un punto en común, es decir, no se intersecan.

A. Planos Paralelos

P

Q

Son dos planos que tienen una recta en común denominada arista o traza de un plano sobre el otro.

B. Planos Secantes

Arista

P

Q

L

⇒ P y Q son secantes.

Si P ∩ Q = L

Po s i c i o n e s R e l a t i v a s d e u n a Recta y un Plano

Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

1. R e c t a c o n t e n i d a e n u n plano

P A

BL

Observación

Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta está contenida en dicho plano.

Si A ∈ P y B ∈ P

2. Recta secante al plano

Una recta se denomina secante a un plano, si sólo tiene un punto en común con el plano, al cual se le denomina punto de intersección o traza de la recta sobre el plano.

P

M

L

L y P : Secantes

Punto M : Pie de la recta secante

Si L ∩ P = {M}

El Dato

Dos rectas son no coplanares si no son paralelas ni secantes.

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

1. Rectas Secantes

P

ba

a y b son secantes y pertenecen al plano P.

2. Rectas Paralelas

m y n son paralelas y pertenecen al plano P.

Pm

n

3. Recta paralela a un plano

Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

P

L

L // P

Si L ∩ P = ∅

Dos rectas secantes determinan un plano.

3. Teorema

⇒ L ⊂ P

⇒

⇒



189

Es el ángulo determinado por dos rayos respectivamente paralelos a las rectas dadas y cuyo origen es un punto cualquiera en el espacio.

3. R e c t a s C r u z a d a s o Alabeadas

a

b

P

Q

d

R e c t a p e r p e n d i c u l a r a u n plano

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en dicho plano.

L1 L2

P

a

Si a ⊥ L1 y L2 → a ⊥ al plano P.

Observación

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

T e o r e m a d e l a s t r e s perpendiculares

Si se cumple: a ⊥ plano Q b está contenida en el plano Q HE ⊥ b “F” es un punto cualquiera de a.

Q b

a

EH

F

EF ⊥ b

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS

m

A B

O

q

n

P

Por un punto de una de ellas se traza una recta paralela a la otra determinandose así el ángulo que se busca.

OTRA FORMA

l

mn

P

q

P

Es el ángulo formado por la proyección ortogonal de la recta respecto al plano.

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

P

A

H

l

q Si AH ⊥ P

TEOREMA DE TALES EN EL ESPACIO

A D

B E

C FR

Q

P

Si P // Q // R

ABBC

DEEF

=→

a ∈ P b ∈ Q “d” : distancia entre a y b

Si OA // m y OB // n

“q” es el ángulo entre m y n

Si n // m

“q” es el ángulo entre l y n

“q” es el ángulo entre l y el P



190

Nivel I

1) Indica verdadero (V) o falso (F). según corresponda:I. Una recta y un punto, que no

pertenece a ella, determinan un plano. ( )

II. Dos rectas secantes no forman un plano. ( )

III. D o s r e c t a s p a r a l e l a s determinan un plano. ( )

a) VFV b) VVV c) FVFd) FFF e) VFF

Resolución:

A

F

B

CH

M8

4

3

x

O6

C

Resolución:

A

F

B

C

M

l

l

l

2l

x

Resolución:

A

F

ME

C

D

H

P

N

B

Q

2 2

3

22

2

4

4

Resolución:

4) Los cuadrados ABCD y ABMN s e e n c u e n t r a n e n p l a n o s perpendiculares, siendo “O” centro del cuadrado ABMN. Calcula el perímetro de ABCD si CO = 3 u.

A

D

C

M

NO

l

l

B

3

2) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. Tres puntos cualquiera

determinan un plano. ( )II. Una recta y un punto

determinan un plano. ( )III. Dos puntos no colineales

forman un plano. ( )

a) VVV b) VFF c) FFFd) FVV e) VFV

3) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. La intersección de un plano

y una esfera nos da un círculo. ( )

II. Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. ( )

III. Todo plano tiene porciones limitadas. ( )

a) VFV b) FFV c) VFFd) VVV e) VVF

1) En una circunferencia de diámetro AB; se traza AF perpendicular al plano de la circunferencia. Si la cuerda BC de la circunferencia mide 6 m y AF = 8 m, calcula la longitud del segmento que une el punto medio de AB con el punto medio de FC.

Si AF ⊥ C ⇒ AF ⊥ ACAB diámetro ⇒ m ACB = 90°MH // AF ⇒ MH ⊥ C ⇒ MH ⊥ HOPero: AH = HC y MH = FA/2 = 4 (T. Puntos medios)En ACB: AO = OB ∧ AH = HC⇒ HO = 6/2 = 3

q En MHO:x2 = 32 + 42 ⇒ x = 5

Rpta.: 5

2) Por el vértice A de un triángulo equilátero ABC se traza AF perpendicular al plano del triángulo, además 2 AF = AB. Calcula el ángulo que forma FM con el plano del triángulo si “M” es punto medio de BC.

MN // AF ⇒ MN ⊥ AB; MN ⊥ ABCD ⇒ MN ⊥ NCEn MNC: QH // MN ⇒ QH ⊥ NC;QH = MN/2 ⇒ QH = 2; NH = HC(Teorema puntos medios)

⇒ En el trapecio DANC: PH es mediana

⇒ PH = ⇒ PH = 3

Como QH // MN ⇒ QH ⊥ ABCD ⇒ QH ⊥ PH

q PHQ:

T. Pitágoras: x2 = 32 + 22 ⇒ x = 13 Rpta.: 13 u

4 + 22

3) Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de AD y MC (M punto medio de EF) si AB = 4 u.

AF ∆ ABC ⇒ AF ⊥ AMq FAM rectángulo: AM = l 3q FAM notable: x = 30° Rpta.: 30

Si ABCD ⊥ ABMN ⇒ CB ⊥ BOSi AB = l ⇒ OB = l 2/2; BC = l CBO: (OC)2 = (BC)2 + (BO)2

( 3)2 = l2+ (l 2/2)2

⇒ 3 = ⇒ l = 2

q 2pABCD = 4 2 u Rpta.: 4 2 u

3l2

2



191

4) Calcula el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 15

5) ¿Cuántos planos como máximo forman 6 rectas paralelas?

a) 1 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

6) Con “K” rectas paralelas se determinan 66 planos como máximo. Halla “K”.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15

8) Calcula la proyección de AB sobre el plano ‘‘P’’ si ‘‘A’’ pertenece al plano ‘‘P’’, AB = 50 y BH = 48.

a) 7 b) 14 c) 16d) 18 e) 24

P

A H

B

9) Calcula la proyección de AC sobre el plano ‘‘Q’’ s i ‘‘B ’’ pertenece al plano ‘‘Q’’, AN = 4 u, MC = 6 u y AC = 26 u.

a) 12 u b) 24 u c) 13 ud) 26 u e) 10 u

M B

A

N

C

Q

10) Sea ABC un triángulo equilátero de lado “L”, por “B” se levanta la perpendicular BT al plano del triángulo tal que BT = L/2. Calcula el área de la región triangular ATC.

a) L2 b) 2L2 c) L2/2d) L2/4 e) L2/6

11) Si OA es perpendicular al plano “P”, OA = 5, r = 2 y “T” es punto de tangencia. Halla AM si TM = 8.

a) 9 b) 12 c) 93d) 95 e) 97

A

MTLOr

P

A B C

P

Q

13) En el gráfico, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si AB = BF = BC = a y “M” es punto medio de CD. Halla el área de la región sombreada.

a) a2 2 /2 d) 3 a2/8b) a2 2 /4 e) a2 2 c) a2/4

14) Si AB y CD son dos segmentos ortogonales que miden 6 y 8 cm respectivamente, calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AD y BC.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

A

B

C

D

P

15) En la figura se muestra un cubo. Calcula la medida del ángulo que forman PQ y MN.

a) 45° b) 60° c) 90°d) 30° e) 120°

M

N

Q

P

7) Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q, respectivamente. Calcula la distancia PQ si

AB = 4 u.

a) 2 u b) 2 2 u c) 2 ud) 3 2 u e) 5 2 u

12) En el gráfico “A”, “B” y “C” pertenecen al plano “Q”. Si PA, PB y PC forman en el plano ángulos de 45°, 30° y 53°, además PC = 15, calcula PA/PB.

a) 2 b) 2 /2 c) 2 /4d) 3/4 e) 5/6

A

B C

D

M

F



192

Nivel II

16) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

- Tres puntos determinan

siempre un plano. ( )- Dos rectas determinan

siempre un plano. ( )- Un plano queda determinado

cuando una recta se desplaza paralelamente a sí misma.

( )

a) VVV b) VVF c) FFVd) FVF e) FFF

17) ¿Cuántos planos como máximo determinan 8 puntos no colineales en el espacio?

a) 28 b) 20 c) 36d) 56 e) 60

18) ¿Cuántos planos como máximo determinan 10 rectas paralelas en el espacio?

a) 45 b) 90 c) 120d) 96 e) 68

19) La distancia de un punto “A” a otro “B” contenido en un plano “P” es 8 m. La distancia de “A” al plano “P” es 5 m. Halla la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano “P”.

a) 4 m b) 3 m c) 37 md) 39 m e) N.A.

20) Si la distancia de un punto a un plano “Q” es 6 u y la distancia del punto a una recta contenida en el plano es 9 u. Halla la distancia desde la proyección de dicho punto al plano hacia la recta.

a) 2 6 u b) 3 5 u c) 4 6 ud) 2 7 u e) 5 3 u

21) En la figura, A'B' = 12 y la diferencia de las distancias de B y A al plano P es 5. Halla AB.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15

A' B'

AB

P

22) Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de 8 m situado en el plano y un punto ‘‘P’’ que dista 12 m del plano. Halla la distancia de AB al pie de la distancia de “P” al plano “Q” si AP = BP = 13 m.

a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) 5,2 m

24) Calcula la longitud de un segmento exterior a un plano sabiendo que su proyección sobre el plano mide 15 cm y las distancias de sus extremos al plano se diferencian en 8 cm.

a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cmd) 20 cm e) 23 cm

25) La distancia de un punto “P” a una recta contenida en un plano es de 13 cm, y además la distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de “P” al plano es 12 cm. Calcula la distancia de “P” al plano.


26) Dos puntos “A” y “B” situados a uno y otro lado de un plano distan de él 3 m y 5 m. Si la proyección de AB sobre el plano mide 6 m, calcula AB.

a) 9 m b) 10 m c) 12 md) 13 m e) 14 m

27) Se traza PQ perpendicular a un plano “H” (“Q” en el plano “H”). Haciendo centro en “Q” se traza una circunferencia de radio 9 m; y por un punto “B” de ésta se traza la tangente BC que mide 8 m. Calcula PC si PQ = 12 m.

a) 15 m b) 17 m c) 20 md) 25 m e) 30 m

28) En un plano se ubican los puntos A y B, exterior al plano se ubica el punto P de modo que AP y BP forman ángulos que miden 30° y 45° con dicho plano. Si AP = 4, calcula BP.

a) 2 b) 3 c) 2 2d) 3 2 e) 4

29) Una habitación tiene 4 m de altura y en un punto del techo se sujeta una cuerda de 8 m de longitud y con el extremo libre se traza una circunferencia en el piso procurando tener bien tensa la cuerda. Calcula el área del círculo formado.

a) 18q m2 b) 24q m2 c) 36q m2

d) 48q m2 e) 52q m2

23) La recta L es la intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre sí; además L es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre R y L es 8 m y entre L y S es 15 m, calcula la distancia entre R y S.

a) 10 m b) 12 m c) 15 md) 17 m e) 19 m

30) Se t ienen los cuadrados perpendiculares ABCD y ABEF. Halla DE si BC = 2.

a) 3 b) 4 c) 2 2d) 2 3 e) 4 3



193

Nivel III

33) En la figura, OA es perpendicular al plano P. Si OA = 4 u, OB = 3 u y AD = 29 u, calcula DB.

a) 8 u b) 6 u c) 7 ud) 4 u e) 2 u

O

P

A

B

D

34) En la figura, la circunferencia está contenida en el plano P y tiene un diámetro de 8 m. Si la distancia de A al plano es 3 m, calcula la distancia más larga de A a la circunferencia sabiendo que la más corta mide 5 m.

a) 12 m d) 89 mb) 15 m e) 16 m c) 3 17 m

P

5m

A

35) Calcula el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio.

a) 48 b) 72 c) 84d) 96 e) 106

36) ¿ Cu á l d e l a s s i g u i e n t e s proposiciones es falsa?

a) Todos los planos paralelos a

un plano dado son paralelos entre sí.

b) Todos los planos paralelos a una recta, son paralelos entre sí.

c) Si un plano intersecta a una de tres rectas paralelas, también intersecta a las otras dos.

d) Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano, está contenida en el plano.

e) Por cualquier punto exterior de un plano sólo puede trazarse un plano paralelo al primero.

37) Dado un triángulo ABC, se traza BP perpendicular al plano que lo contiene. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y PC si BP = 10 u y AC = 24 u.

a) 12 b) 13 c) 15d) 13 e) 15

38) D o s p u nto s “A” y “ B ” s e encuentran a uno y otro lado de un plano. Si las distancias de “A” y “B” al plano miden 6 y 2 cm respectivamente, halla AB si la proyección del segmento AB sobre el plano mide 15 cm.


39) Si ABCD - EFGH es un hexaedro regular, calcula la medida del ángulo que forman EM y DN.

a) 60° b) 45° c) 30°d) 90° e) 120°

A

BM

E H

G

N

C

D

F

40) En la figura, G es el baricentro de la región triangular ABC y PG es perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC. Si m PBA = m CBP; AC = 12 y PG = 17, calcula la distancia de P a AB.

a) 3 2 b) 26 c) 23d) 5 e) 30

B

P

C

G

A

41) Con “n” rectas paralelas y 6 puntos en el espacio se han determinado como máximo 125 planos. Halla “n”.

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) 15

31) Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB, sobre otra recta secante L2 los segmentos CF y FD. Si AB = 8, CD = 12 y FD - EB = 1, halla CF.

a) 6 b) 8 c) 9d) 4 e) 2

32) Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7 m. Si se levanta por C la perpendicular CE, y EB mide 25 m, calcula EC + ED.

a) 24 m b) 25 m c) 49 md) 50 m e) 59 m



194

42) Si los planos “P”, “Q”, “R” y “T” son paralelos, halla k - n si

n + k = 8.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

a n

k

10

a+3

a+6

T

R

Q

P

A

B

C

DL1

L2

44) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

- Si una recta es paralela a

un par de plano, entonces dichos planos son paralelos entre sí. ( )

- Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí. ( )

- Por un punto exterior a un plano sólo pasa una recta paralela a dicho plano. ( )

- La intersección de 3 planos es siempre una recta. ( )

a) VVVV b) FFFF c) FVFVd) VVFF e) FVFF

50) La figura muestra un cubo de arista “a”. Calcula la menor distancia entre BE y FH.

a) a 3 /2 d) a 6 /2b) a 3 /3 e) a 6 /3c) a 2 /3

E

A

B C

D

G

H

F

43) El ángulo entre L1 y L2 es 60°. Si DA = AB = BC = 6, calcula CD.

a) 6 b) 6 2 c) 3d) 3 2 e) 9

45) El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero ABE se encuentran en plano perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de BE y AD si AB =8 u.

a) 8 u b) 10 u c) 12 ud) 16 u e) 6 u

46) E n u n c u a d r a d o A B C D, con diámetro AB se traza l a s e m i c i r c u n f e r e n c i a perpendicular al plano del cuadrado. Si M, N y P son puntos medios de AB, AC y CD respectivamente, calcula

m MNP.

a) 100° b) 120° c) 90°d) 150° e) 135°

47) Las rectas L1 y L2 son alabeadas y forman un ángulo de 60°, además AB es la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2). Si se ubica “P” en L1 y “Q” en L2; AB = 2 5u; AP = 4u; BQ = 6u, calcula el área del triángulo PBQ.

a) 12 2 u2 d) 12 u2

b) 24 u2 e) 36 u2

c) 24 2 u2

48) Las rectas L1 y L2 son alabeadas y ortogonales siendo AB la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2); además se ubican R y S en L1 y L2 respectivamente, AB = 17; AR = 2 3; BS = 2 13. Calcula RS.

a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 12

F

B

C D

H

AG

E

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