Guía Didáctica del profesor Matemáticas 4°
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4° Básico EDUCACIÓN MATEMÁTICA Los cuadriláteros Guía Didáctica
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Libro para la enseñanza de niños de 4 grado de primaria
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4° Básico
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Los cuadriláteros
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Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM
Nivel de Educación Básica
División de Educación GeneralMinisterio de Educación
República de Chile
Autores:Universidad de Santiago
Lorena Espinoza S.Enrique González L.
Ministerio de Educación:Dinko Mitrovich G.
Colaboradores:Joaquim BarbéGrecia Gálvez
María Teresa García
Asesores internacionales:Josep Gascón. Universidad Autónoma de Barcelona, España.
Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia.
Revisión y Corrección DidácticaMinisterio de Educación 2007:
Patricia PonceJuan Vergara
Carolina Brieba
Revisión y Corrección de EstiloJose!na Muñoz V.
Coordinación EditorialClaudio Muñoz P.
Ilustraciones y Diseño:Miguel Angel Marfán
Elba Peña
Impresión:xxxxx.
Marzo 2006Registro de Propiedad Intelectual Nº 154.024
Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Lorena Espinoza S. • Enrique González L. • Dinko Mitrovich G.
Cuarto Año BásicoPRIMERA UNIDAD DIDáCtICA
• • Autores • •
Los cuadriláteros
Matemática
I Presentación 6
II Esquema 12
III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 14
IV Planes de clases 30
V Prueba y Pauta 38
VI Espacio para la reflexión personal 44
VII Glosario 45
VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 47
Índice
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primerA UnidAd didácticALos cuadriláteros
CUARto BásICo
Aprendizajes esperados para la Unidad
• �aracterizan cuadriláteros seg�n la longitud�� paralelismo y per� �aracterizan cuadriláteros seg�n la longitud�� paralelismo y per�pendicularidad de sus lados.
• Dibujan cuadriláteros a partir de características de sus lados y que sean congruentes a otros dados.
• �lasifican cuadriláteros seg�n cantidad de lados de igual medi�da�� pares de lados paralelos y perpendiculares.
• En la resolución de problemas que ponen en juego los conteni�dos de la Unidad�� profundizan aspectos relacionados con la per�tinencia de los resultados obtenidos en relación con el contexto�� la comunicación de los procedimientos utilizados para resolver el problema y los resultados obtenidos.
• Reconocen lados�� vértices y ángulos en polígonos de 3 y 4 lados.
• Miden longitudes�� utilizando regla graduada en centímetros.
• Verifican si dos lados de una figura son paralelos o perpendiculares.
Aprendizajes previos
mAtemáticA
Aprendizajes esperados del Programa
• �aracterizan�� dibujan y clasifican cuadriláteros (Aprendizaje esperado 10, Pri-mer Semestre).
• En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad�� profundizan aspectos relacionados con la pertinencia de los resul�tados obtenidos en relación al contexto�� la comunicabilidad de los proce�dimientos utilizados para resolver el problema y los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 11 del Primer Semestre).
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n esta Unidad se estudian los cuadriláteros. Niños y niñas aprenderán a identificar y a dibujar un cuadrilátero que sea congruente a otro o que cumpla con ciertas condiciones�� tales como tener cierta cantidad de lados de la misma medida�� algu�
nos ángulos rectos y uno o dos pares de lados paralelos. En este quehacer�� niñas y niños afianzarán conocimientos y procedimientos que les permitan verificar si un cuadrilátero tiene dos o más lados de la misma medida�� lados paralelos o perpendiculares. Para ello�� utilizarán como instrumentos principales la regla y la escuadra. Asimismo�� tendrán que clasificar cuadriláteros que ellos mismo produzcan�� basándose en la cantidad de lados de la misma medida y de pares de lados paralelos�� y en la cantidad de ángulos rectos que ellos tengan.
La Unidad se desarrolla principalmente teniendo como contexto la reposición de baldosas que se han caído de un embaldosado.
A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta Unidad.
tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad son:
o Identifican�� de entre un conjunto de triángulos y cuadriláteros�� aquellos que son idénticos a uno conocido.
o Dibujan triángulos y cuadriláteros idénticos a otros�� apoyándose en estructuras cuadriláteras hechas con bombillas.
o Dibujan cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos�� apoyándose en cintas de igual y de distinto ancho.
o Seleccionan entre un conjunto de triángulos un par que�� al yuxtaponerlos�� les permitirá dibujar un cuadrilátero que tenga ciertas características�� tales como ángulos rectos�� lados congruentes y lados paralelos.
1.
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o Justifican los procedimientos utilizados.
Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son:
o Recursos que se utilizan para dibujar figuras: regla�� escuadra�� estructura de bom�billas�� pares de triángulos y cintas de lados paralelos.
o �aracterísticas de los pares de triángulos con los que se dibujan cuadriláteros: ambos tienen al menos un par de lados de la misma medida�� son dos triángulos congruentes; uno o los dos son rectángulos; uno o los dos son isósceles�� equilá�teros o escalenos.
o La disponibilidad de los cuadriláteros que se necesita dibujar o identificar: se encuentra disponible completamente�� se encuentra disponible una parte de él�� se conocen solo algunas características.
Procedimientos
Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:
o Para identificar un cuadrilátero congruente a otro�� utilizan regla y escuadra�� en el proceso de estudio se ponen en discusión los procedimientos que resul�tan más eficientes�� seg�n las características del cuadrilátero. Es así como�� en el caso de un cuadrilátero cualquiera�� se necesita medir sus cuatro lados y una de sus diagonales. Si el cuadrilátero tiene al menos un ángulo recto�� solo se necesita medir sus cuatro lados y verificar si el ángulo recto se encuentra entre los pares de lados correspondientes.
o Para dibujar cuadriláteros�� lo hacen principalmente utilizando pares de trián�gulos que tienen al menos un lado de la misma medida. Yuxtaponen los dos lados de igual medida y marcan el contorno de la figura que se forma.
o Para verificar igualdad de lados: comparan los lados yuxtaponiéndolos o mi�diéndolos con una regla.
3.
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o Para verificar si un ángulo es recto: hacen coincidir el vértice y uno de los catetos de la escuadra con el vértice y uno de los lados de la figura; si el otro lado de la figura coincide con el otro cateto de la escuadra�� el ángulo es recto�� es decir�� los lados que forman el ángulo son perpendiculares.
o Para verificar si dos lados son paralelos: hacen coincidir uno de los catetos de la escuadra con uno de los lados del cuadrilátero y apoyan el otro cateto en la regla (bien apoyada en la superficie de la hoja). Si al trasladar la escuadra a lo lar�go de la regla�� es posible hacer coincidir el cateto con otro lado del cuadrilátero�� significará que dichos lados son paralelos.
Fundamentos centrales
o Dadas las medidas de 4 lados consecutivos�� se pueden formar infinitos cuadri�láteros que difieren en su forma. Es decir�� dos o más cuadriláteros de distintas formas pueden tener las mismas medidas de sus 4 lados. A partir de un cuadri�látero es posible formar otro sin modificar la longitud de sus lados.
o Un triángulo queda determinado si se conoce la medida de sus tres lados. Es decir�� existe un �nico triángulo que tiene por lados tres medidas dadas. Esta �ltima idea se manifiesta físicamente en que los triángulos son figuras rígidas o indeformables�� no se les puede cambiar la forma sin modificar las medidas de sus lados.
o Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero�� queda formado por dos trián�gulos�� por tanto es indeformable. Existe un solo cuadrilátero que tiene por me�didas 4 lados consecutivos y una diagonal determinada.
o Un criterio para caracterizar cuadriláteros es la comparación de las medidas de sus lados: todos sus lados de diferente medida; dos�� tres o los cuatro de la mis�ma medida.
4.
presentación
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o Otro criterio para caracterizar cuadriláteros es el paralelismo entre sus lados: dos pares de lados paralelos�� un par de lados paralelos o ning�n par de lados para�lelos.
o Otro criterio para caracterizar cuadriláteros es la perpendicularidad entre sus lados (existencia de ángulos rectos): cuatro ángulos rectos�� dos ángulos rectos o ning�n ángulo recto.
o Los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos de igual medida tienen�� necesa�riamente�� sus lados opuestos paralelos�� es decir�� conforman la familia denomi�nada paralelogramos. Son paralelogramos los rectángulos�� los cuadrados y los rombos.
o Los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos tienen�� necesariamen�te�� sus lados opuestos de la misma medida.
o Los cuadriláteros que tienen 4 lados de igual medida conforman la familia deno�minada rombos. El cuadrado es un rombo.
o Los cuadriláteros que tienen 4 ángulos rectos conforman la familia denominada rectángulos. El cuadrado es un rectángulo.
Descripción global del proceso de enseñanza y aprendizaje
El proceso se organiza en torno a la resolución de un problema genérico�� que con�siste en reponer una baldosa que se ha caído de una pared. El problema se retoma con diferentes condiciones en algunas de las clases. En la primera de ellas�� los niños tienen que identificar entre un conjunto de baldosas�� una con forma de triángulo y otra con for�ma de cuadrilátero que calzan en dos embaldosados distintos. La actividad les permite reconocer que medir los lados de una figura para identificar una que sea congruente�� es un procedimiento que funciona para los triángulos�� pero no así para los cuadriláteros. Sin embargo�� considerar a los cuadriláteros como dos triángulos con un lado com�n contribuye a valerse de las propiedades de los triángulos para identificar un cuadrilátero congruente a otro.
En la segunda clase se retoma la problemática inicial�� para afianzar lo aprendido en la primera clase. En la actividad planteada niñas y niños no solo deberán identificar una figura congruente (idéntica) a otra�� sino que tendrán que crearla. En dicha labor nece�sitarán reconocer que para identificar un cuadrilátero congruente a otro es necesario�� además de verificar que los cuatro lados correspondientes de las dos figuras miden lo mismo�� verificar que una de sus diagonales tiene la misma medida. Posteriormente�� con el mismo contexto�� se propone a los niños crear baldosas de 4 lados que tienen algunos lados de la misma medida�� utilizando pares de triángulos.
5.
presentación
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En la tercera clase se varían las condiciones del problema con la finalidad de que niñas y niños adquieran más conocimientos sobre los cuadriláteros. Las baldosas que deben reponer tienen algunos ángulos rectos. Se estudiará de qué manera esta caracte�rística facilita el reconocimiento o creación de la baldosa con la misma forma y tamaño. Se confrontará si el procedimiento utilizado hasta ahora (medir la diagonal) es más fun�cional que verificar que ambos cuadriláteros tienen un ángulo recto�� y que dicho ángulo se encuentra entre pares de lados correspondientes.
En la cuarta clase�� se amplía el estudio de los cuadriláteros a los paralelogramos. Aquí los niños aprenderán a dibujar cuadriláteros que tienen dos pares de lados parale�los�� utilizando como recursos cintas con bordes paralelos y pares de triángulos iguales. �omo resultado de las actividades propuestas en esta clase�� se espera que verifiquen que cuando un cuadrilátero tiene los lados opuestos paralelos�� también tiene sus lados opuestos de la misma medida. Recíprocamente�� los niños comprueban que en aquellos cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos de la misma medida�� dichos lados son paralelos.
Finalmente�� en la quinta clase se realiza una articulación del trabajo matemático realizado en las clases anteriores referido a la identificación y dibujo de cuadriláteros que cumplan con condiciones relativas a lados de la misma medida�� lados perpendicu�lares y paralelos. Se espera que en esta clase se afiancen los aprendizajes trabajados en las clases anteriores. En la sexta clase se aplica una prueba de finalización de la unidad que permite conocer el nivel de logro de los aprendizajes esperados.
sugerencia para trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad�� es necesario realizar un trabajo sobrelos aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos ne� cesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. El profesor debe asegurarse de que todos los niños y niñas:
Reconocen lados, vértices y ángulos en polígonos de 3 y 4 lados.
Proponga a los niños que realicen actividades del texto escolar en las que tengan que describir triángulos o cuadriláteros�� o actividades en las que tengan que cuantificar la cantidad de lados y vértices que tienen triángulos y cuadriláteros.
Miden longitudes, utilizando regla graduada en centímetros.
Entregue a los niños figuras o algunos objetos con lados rectos y medidas exactas en centímetros�� y pídales que midan sus lados.
6.
presentación
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Verifican si dos lados de una figura son paralelos o perpendiculares.
Muéstreles a los niños algunos dibujos en los aparezcan destacados algunos seg�mentos paralelos y no paralelos�� y segmentos perpendiculares y no perpendiculares. Pregunte: ¿�uáles son paralelos? ¿�uáles son perpendiculares? Una vez que hayan he�cho una anticipación basada en la percepción�� pida que la verifiquen utilizando la regla y la escuadra.
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III
Las actividades propuestas en esta Unidad�� permiten a niñas y niños vivir un conjun�to de experiencias significativas en las que aprenden propiedades de los cuadriláteros relativas a sus lados y a las relaciones entre ellos. El proceso se desarrolla de manera gradual�� girando en torno a un problema genérico que consiste en identificar o crear la cerámica que calza en un embaldosado.
Las condiciones del problema van cambiando en el transcurso de las clases�� de ma�nera que niñas y niños vayan conociendo con mayor profundidad características de algunos tipos de cuadriláteros e identificándolos a partir de ellas. Los cuadriláteros con los que van trabajando les permiten entender que hay una gran diversidad de ellos. Sin embargo�� existe una característica esencial que los define�� que es tener cuatro lados.
Asimismo�� el proceso está orientado para que los niños miren las figuras como una “familia de figuras que tienen una característica com�n que las identifica”�� es decir�� que relacionen las figuras con sus características geométricas y no con un dibujo estereoti�pado. Por ejemplo�� los cuadriláteros que tienen 4 lados de la misma medida�� pueden ser una gama de figuras con distinta forma�� encontrándose entre ellas el cuadrado.
En distintos momentos niños y niñas se enfrentan al problema de dibujar un cuadri�látero idéntico a otro o que tenga ciertas características. Los procedimientos que usan están sujetos a los instrumentos o recursos que se pongan a su disposición para reali�zarlos.
A continuación aparecen descritas cada una de las clases de la Unidad. Se reco�mienda:
o Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la (s) clase (s) anterior (es);
o Dejar espacio para que niñas y niños propongan y experimenten sus propios procedimientos;
o Mantener un diálogo permanente con los alumnos�� y propiciarlo entre ellos�� sobre el trabajo que se está realizando�� sin imponer formas de resolución;
o Permitir que se apropien íntegramente de los procedimientos estudiados;
o Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza;
o Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado.
primerA clAse
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1 Se ha utilizado en la unidad la palabra cerámica; sin embargo�� cada profesor (a) decidirá utilizar la palabra que sea más familiar para los niños; por ejemplo�� baldosa o azulejo.
Momento de inicio
La actividad propuesta en este momento es clave para que niñas y niños se interio�ricen y se involucren en la problemática que va a llevarlos a hacerse preguntas�� levantar conjeturas y verificarlas.
�on esta primera actividad se busca que niñas y niños reconozcan que no basta medir los lados de un cuadrilátero para encontrar uno que sea idéntico a otro�� y que expe�rimenten la necesidad de explorar para encontrarlo.
El contexto de la actividad es el de reponer una cerámica1 que se ha caído de una pared. Para su realización se utiliza el Material 1 “Pared del baño” y el Material 2 “Pa-red de la cocina” y Material recortable 3. Es necesario que las figuras del Material recortable 3 estén recortadas y mezcladas en el momento de la clase�� para que tengan que elegir entre varias figuras.
La actividad tiene dos partes. En la primera se presenta al curso una “pared” con cerámicas triangulares. Los niños deben seleccionar�� de un conjunto de triángulos (re�cortados del material 3)�� aquel que calza exactamente en la pared.
Los conocimientos matemáticos que se necesitan para identificar la figura�� de�penden de las condiciones que el profesor (a) ponga. Por ejemplo�� si los triángulos y el embaldosado se les entregan juntos a los niños y niñas�� les bastará ir superponiendo los triángulos�� hasta encontrar el que calza.
Si�� tal como se propone en el plan de la clase�� niñas y niños tienen el embaldosa�do en sus bancos y los triángulos están en el escritorio del profesor (a)�� se les dirá que tienen una sola posibilidad de ir a elegir un triángulo�� sin llevar el embaldosado. Así�� los niños deberán crear una estrategia para escogerlo�� debiendo para ello�� recurrir a sus conocimientos. El profesor debe cuidar de no decir en sus instrucciones lo que hay que hacer para resolver el problema.
Para el caso del triángulo�� basta con medir los lados del triángulo del embaldosa�do y�� posteriormente�� buscar en el conjunto de triángulos aquel que tenga dichas me�didas.
primerA clAse
orientaciones
1�
Si en un grupo no logran seleccionar la baldosa que calce�� significa que se han equi�vocado en medir�� puesto que desde el punto de vista geométrico es suficiente medir los tres lados de un triángulo para encontrar uno idéntico a él.
En la segunda parte de la actividad�� niñas y niños deberán resolver la misma situa�ción�� pero ahora con una pared en que las cerámicas tienen forma de cuadrilátero. En este caso�� no es suficiente medir los cuatro lados. De hecho�� todos los cuadriláteros entre los que tendrán que escoger tienen los lados de la misma medida y en el mismo orden correlativo. Se espera que la mayoría de los grupos no logren escoger la cerámica que calza en el embaldosado.
Después que niñas y niños hayan escogido la cerámica con forma de triángulo y de cuadrilátero�� el profesor (a) debe gestionar un momento de trabajo colectivo en que niñas y niños intenten explicar por qué la mayoría de ellos lograron seleccionar con éxito el triángulo�� y no así el cuadrilátero. En el plan de clases se sugieren las siguientes preguntas para orientar la reflexión de niños y niñas:
¿Cuántos grupos encontraron la “cerámica” en el embaldosado triangular? ¿Qué hicie-ron para identificar el triángulo que calza? ¿Cuántos grupos encontraron la “cerámica” en el embaldosado cuadrangular? ¿Qué hicieron para identificar el cuadrilátero que calza? ¿Por qué, en este caso, no basta medir sus lados para obtener una que calce?
Si lo considera pertinente para apoyar los argumentos de niños y niñas�� ponga a su disposición estructuras hechas con bombillas�� unas con forma de triángulo y otras con forma de cuadrilátero.
�omo resultado de este momento�� se debe lograr que niñas y niños hagan algunas conjeturas y propongan algunos procedimientos para seleccionar un cuadrilátero.
orientaciones
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Para que verifiquen si lo que postulan es correcto�� se propone darles una oportuni�dad más para que analicen el embaldosado y que uno de los niños o niñas vaya a buscar una cerámica.
Momento de desarrollo
En este momento se deben poner a prueba y difundir en todo el curso las ideas surgidas en la primera parte de la clase.
Niñas y niños deberán dibujar cuadriláteros y triángulos utilizando una estructura hecha con bombillas de 4 cm�� 6 cm�� 5 cm y 8 cm�� en ese orden. La idea es que confirmen que hay muchos cuadriláteros que tienen los lados de las mismas medidas�� y que hay un �nico triángulo que tiene los lados de unas medidas determinadas.
Para la realización de la actividad propuesta se utilizan las Fichas 1 y 2 “Dibujando figuras” y hojas sin líneas para que los niños dibujen.
Es necesario cuidar que cada niña y niño tenga sus materiales y que la forma en que estén organizados permita que intercambien ideas y comparen sus trabajos.
En la Ficha 1 tienen que dibujar algunos cuadriláteros y triángulos�� utilizando la es�tructura de bombillas�� recortarlas y responder las preguntas de la Ficha 2. En dicho tra�bajo es importante que comparen las figuras producidas por ellos.
Momento de cierre
En este momento el profesor (a) debe lograr hacer explícitos muchos de los conoci�mientos que han surgido en el trabajo realizado por niñas y niños.
Respecto al triángulo�� en la primera parte de la clase fue suficiente medir los lados de la cerámica para encontrar una que calzara en la pared. �uando se dibujaron 3 trián�gulos con la estructura de bombillas�� se comprobó que los triángulos eran congruentes (idénticos).
Un triángulo queda determinado si se conoce la medida de sus tres lados. Es decir, existe un único
triángulo que tiene por lados tres medidas dadas. Esta última idea se manifiesta físicamente en que los triángulos son figuras rígidas o indeformables, no se les puede cambiar la forma sin modificar la medida
de sus lados.
orientaciones
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Respecto al cuadrilátero�� en la primera parte de la clase se experimentó que no fue suficiente medir los 4 lados de la cerámica para identificar una que calzara en la pared. Posteriormente�� cuando se dibujaron cuadriláteros con la estructura de bombillas�� se comprobó que todos tenían los lados de la misma medida en el mismo orden correlati�vo; sin embargo�� tenían distinta forma.
Finalmente�� se resolvió el problema de identificar una cerámica con forma cuadri�látera idéntica a otra�� tomando la medida de una de sus diagonales. �uestión que en el trabajo de las Fichas 1 y 2 se expresó en el momento de poner una bombilla que uniera dos extremos. En dicho caso se comprobó que el cuadrilátero dibujado es �nico.
Los cuadriláteros construidos materialmente con “bombillas o varillas articuladas” no son rígidos�� es decir�� se deforman. �uando se fija una de sus diagonales (uniendo dos vértices opuestos)�� el cuadrilátero se triangula y por lo tanto es indeformable.
Momento de inicio
En esta clase se profundizan los conocimientos aprendidos en la clase anterior y se amplía el estudio a los cuadriláteros que tienen cierta cantidad de lados congruentes�� de manera que niños y niñas aprendan a caracterizarlos a partir de si tienen dos�� tres o cuatros lados de la misma medida.
segUndA clAse
Dadas las medidas de 4 lados, se puedenformar infinitos cuadriláteros. Todos ellos difieren en su forma. Es decir, dos o más cuadriláteros de
distinta forma pueden tener las mismas medidas de sus 4 lados; es posible formar otro cuadrilátero sin
modificar la longitud de sus lados.
Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero, queda formado por dos triángulos,
por tanto es indeformable. Existe un solo cuadrilátero que tiene por medidas 4 lados consecutivos y una diagonal determinada.
orientaciones
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Se retoma la problemática de la clase anterior con la intención de afianzar los cono�cimientos que se utilizaron para resolverla�� a través de una actividad con el mismo con�texto anterior (Material 4)�� pero con algunas modificaciones que lleven a niñas y niños a utilizar los conocimientos aprendidos�� es decir�� que para dibujar un cuadrilátero idéntico a otro se necesita�� además de la medida de los 4 lados�� la medida de la diagonal.
Para dibujar el cuadrilátero�� disponen de la estructura de bombillas que se utilizó en la clase anterior y que tiene las mismas dimensiones que los lados de la cerámica del embaldosado. Para dibujar la cerámica tendrán que buscar cómo rigidizar la estruc�tura de bombillas para obtener un cuadrilátero idéntico a la forma de la cerámica. Para conseguirlo�� deberán poner una bombilla en diagonal�� de manera que se formen dos triángulos.
Para lograr que emerjan tales conocimientos en manos de niñas y niños�� es nece�sario cuidar que no tengan a su alcance el embaldosado y la estructura de bombillas simultáneamente.
Una vez que dibujan la figura�� deberán comprobar si calza en el embaldosado.
Momento de desarrollo
Se propone una actividad�� similar a la planteada en el primer momento de la clase�� consistente en dibujar una cerámica con forma de cuadrilátero�� para que calce en una pared de la que se ha caído una de ellas. Las condiciones que modifican la actividad son que los niños dispondrán de los triángulos del Material recortable 5�� de los cuales deberán escoger un par para dibujar la cerámica. Además�� las cerámicas con las que está formado uno de los embaldosados tienen dos pares de lados de la misma medida�� y el otro está formado con cuadriláteros que tienen los 4 ángulos de la misma medida (Material 6 y 7).
�on esta actividad niñas y niños podrán establecer más nítidamente la relación que existe entre un cuadrilátero y los triángulos que lo forman.
Para formar los cuadriláteros requeridos�� deberán reconocer que el lado en los que se yuxtaponen los triángulos�� corresponde a una de las diagonales del cuadrilátero�� y que los otros dos lados de los triángulos corresponden a dos lados consecutivos del cuadrilátero. Por ejemplo�� para dibujar la cerámica que calce en el embaldosado del Material 7 se deben escoger dos triángulos E y yuxtaponerlos por el lado que mide 7 cm�� que corresponde a la diagonal del cuadrilátero.
Desde el punto de vista de la gestión de la actividad�� es necesario asegurar que los embaldosados no se encuentren al alcance de la mano de niñas y niños�� de manera que primero tengan que planear qué medidas ir a tomar de la cerámica�� para luego dibujarla utilizando dos triángulos. Una vez dibujadas las figuras�� pase el embaldosado a los niños del grupo�� para que comprueben si la cerámica dibujada calza.
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20
Al término de esta actividad es conveniente realizar un cierre colectivo�� haciendo preguntas a los niños para que expliciten los conocimientos utilizados para dibujar los cuadriláteros. Por ejemplo:
¿Cómo escogieron los triángulos para “crear” la “cerámica” que se había caído? ¿En qué se fijaron al momento de juntar los lados del triángulo?
Momento de cierre
En este momento el profesor (a) debe lograr hacer explícitos muchos de los conoci�mientos que han surgido en el trabajado realizado por niñas y niños.
Los cuadriláteros construidos materialmente con bombillas no son rígidos�� es decir�� se deforman. �uando se fija una de las diagonales (uniendo dos vértices opuestos)�� el cuadrilátero se rigidiza�� porque se forman dos triángulos�� figura que sí es rígida.
Sobre los procedimientos utilizados para formar un cuadrilátero utilizando dos triángulos�� es importante que a todos les quede claro que:
o Para dibujar un cuadrilátero utilizando dos triángulos�� se debe identificar dos la�dos que midan lo mismo�� yuxtaponerlos y marcar el contorno de la figura�� para luego verificar si cumple con las condiciones buscadas.
o Por cada lado com�n que tengan dos triángulos�� se pueden formar dos cuadri�láteros.
o Al yuxtaponer dos lados de la misma medida de dos triángulos�� no siempre se forma un cuadrilátero. Algunas veces resulta un triángulo.
tercerA clAse
orientaciones
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�aracterice los cuadriláteros dibujados por niñas y niños en la clase�� en función de los lados de la misma medida que ellos tienen. En la parte inicial de la clase dibujaron un cuadrilátero que tiene sus cuatros lados distintos; luego�� dibujaron dos cuadriláte�ros uno con dos pares de lados de la misma medida y otro con los 4 lados de la misma medida. En la Ficha 3�� además de volver a dibujar cuadriláteros con las características ya señaladas�� se dibuja un cuadrilátero con tres lados de la misma medida.
Momento de inicio
Se propone comenzar la clase con una actividad que permita afianzar lo aprendido en la clase anterior.
En el plan de clases se señala pedir a niñas y niños que dibujen un cuadrilátero que sea idéntico a uno dado o que tenga cierta cantidad de lados de la misma medida.
Se les puede mostrar un cuadrilátero que usted haya creado utilizando los triángu�los del material recortable 5 y pedirles que dibujen uno idéntico a él o que cumplan con algunas condiciones. En el primer caso�� niñas y niños pueden pedirle las medidas que ellos consideren necesarias. Para el caso en que tienen que dibujar un cuadrilátero que cumpla con algunas condiciones�� les puede pedir�� por ejemplo:
o Un cuadrilátero que tenga dos pares lados de lados de la misma medida.
o Un cuadrilátero que tenga los 4 lados de la misma medida.
o Un cuadrilátero que tenga 3 lados de la misma medida.
o Un cuadrilátero que no tenga ning�n lado de la misma medida.
tercerA clAse
Un criterio para caracterizar cuadriláteros es la comparación de las medidas de sus lados: todos sus lados de diferente medida; dos, tres
o los cuatro de la misma medida.
Los cuadriláteros que tienen 4 lados de igual medida conforman la familia denominada
rombos. El cuadrado es un rombo.
orientaciones
22
�on los triángulos del Material recortable 5 es posible dibujar los siguientes trián�gulos con lados de la misma medida:
Condición para los cuadriláteros Pares de triángulos
�on dos pares de lados de la misma medida
�on pares de triángulos ��� D�� E y F�� yuxtaponiendo dos lados de igual medida�� y los lados iguales pueden ser consecutivos u opuestos.
�on cuatro lados de la misma medida
�on pares de triángulos A�� B�� D y F�� yuxtaponiendo el lado de distinta medida.
�on tres lados de la misma medida
�on los pares de triángulos � y F; A y B; A y F.
�on dos lados de la misma medida
�on los pares de triángulos D y F; A y �; D y E.
�on ning�n lado de la misma medida
�on pares de triángulos que tengan solo un lado de la misma medida: B y �; E y F; � y E.
Momento de desarrollo
El problema genérico abordado en las dos clases anteriores�� es estudiado nueva�mente. Esta vez para que niños y niñas analicen de qué manera puede influir que un cuadrilátero tenga ángulos rectos�� para identificar uno idéntico a otro.
Para la realización de la actividad propuesta se utiliza la Ficha 4 “Reponiendo cerá-micas”. La distancia que se cuidó que existiera entre las cerámicas y el embaldosado en la primera clase�� es mantenida esta vez por medio del diseño de esta Ficha. Las alterna�tivas de cerámicas se encuentran al reverso del embaldosado.
Tal como se ha venido haciendo en las clases anteriores�� niñas y niños verifican sus respuestas�� recortando del Material recortable 8 la cerámica seleccionada y superpo�niéndola en el embaldosado.
Al término de esta actividad es conveniente realizar un cierre colectivo�� en el que ni�ñas y niños comparen los procedimientos que utilizaron para seleccionar la cerámica.
Posteriormente�� con las actividades propuestas en la Ficha 5�� dibujan algunos cua�driláteros que tengan cierta cantidad de ángulos rectos. Asimismo�� tienen que respon�der cuántos ángulos rectos puede tener un cuadrilátero.
Esta no es una pregunta fácil�� porque se tiende a reproducir lo que vieron para los la�dos�� es decir�� se piensa que puede tener 0�� 1�� 2�� 3 ó 4 ángulos rectos�� siendo que no existe el cuadrilátero que tiene 3. Si un cuadrilátero tiene 3 ángulos rectos�� necesariamente el
orientaciones
23
cuarto ángulo debe ser recto. Esta explicación que es muy clara�� esta sustentada en el conocimiento de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero�� que no es un co�nocimiento del que disponen los alumnos de este nivel. Por lo tanto�� la argumentación de por qué un cuadrilátero no puede tener 3 ángulos rectos�� debe estar sustentada en la representación de la situación mediante un dibujo.
�omo se ve�� la figura tiene 3 ángulos rectos�� y para formar el cuadrilátero se debe cerrar; para ello�� la �nica alternativa es extender los lados cortos�� formándose con ellos un ángulo recto más. En caso contrario�� habría que unir los extremos de los lados cortos�� pero se formaría una figura de 5 lados.
Momento de cierre
Uno de los temas de esta clase que es necesario sistematizar�� corresponde a compa�rar los procedimientos utilizados para identificar un cuadrilátero idéntico a otro�� cuando este tiene al menos un ángulo recto.
Hasta el momento cada vez que tuvimos que identificar o dibujar un cuadrilátero idéntico a otro�� ha sido necesario medir los 4 lados y una de sus diagonales. Particu�larmente para el caso que el cuadrilátero tenga uno de sus ángulos rectos�� es posible utilizar otro procedimiento�� que consiste en medir cada uno de los lados y verificar que el ángulo recto se encuentra entre los mismos pares de lados.
Para verificar que un ángulo es recto�� se debe hacer coincidir el vértice y uno de los catetos de la escuadra con el vértice y uno de los lados de la figura; si el otro lado de la figura coincide con el otro lado de la escuadra�� el ángulo es recto; es decir�� los lados que forman el ángulo son perpendiculares.
Un criterio para caracterizar cuadriláteroses la perpendicularidad entre sus lados
(existencia de ángulos rectos) cuatro ángulos rectos, dos ángulos o ningún ángulo recto.
Los cuadriláteros que tienen 4 ángulos rectos conforman la familia denominada rectángulo.
El cuadrado es rectángulo.
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24
Momento de inicio
Para ampliar el estudio de los cuadriláteros�� en esta cuarta clase niñas y niños co�mienzan dibujando cuadriláteros�� utilizando dos cintas del mismo ancho como instru�mentos�� Material recortable 9.
Para que entiendan cómo utilizar las cintas para dibujar los cuadriláteros�� haga un ejemplo en la pizarra. Al cruzar dos cintas�� se forma un cuadrilátero�� el que se aprecia al poner las cintas a contraluz.
Para dibujar se pueden marcar los cuatro vértices y luego unirlos con una regla.
Los cuadriláteros que se forman utilizando dos cintas de un mismo ancho�� tiene sus lados de la misma medida�� es decir�� corresponden a rombos.
Los cuadriláteros que se forman utilizando dos cintas de distinto ancho�� tienen sus lados opuestos de la misma medida.
Los cuadriláteros que se forman en uno u otro caso�� no siempre tienen sus lados medibles en centímetros enteros. Para los fines de esta actividad no interesa la medida�� sino la comparación de lados. Para tal efecto se pueden comparar plegando los cuadri�láteros�� de manera de verificar que tienen la misma longitud.
Una vez dibujadas 4 figuras con cada par de cintas�� pida que respondan las pregun�tas de la Ficha 6 “Creando cuadriláteros con cintas”.
Al finalizar esta actividad�� es importante sistematizar que en todas las figuras dibu�jadas utilizando dos cintas con lados paralelos�� se obtuvo cuadriláteros con dos pares de lados paralelos�� en los que se comprobó que sus lados opuestos tienen la misma medida.
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Asimismo�� se requiere asegurar que todos manejan la técnica o procedimiento para comprobar que dos lados son paralelos. Para ello�� descríbala:
o Hacer coincidir uno de los “catetos” de la escuadra�� con uno de los lados del cua�drilátero.
o Yuxtaponer la regla al otro “cateto” de la escuadra y presionarla sobre la hoja.
o Deslizar la escuadra�� apoyada en la regla�� hasta verificar si coincide con el otro lado del cuadrilátero.
o En tal caso�� los lados serán paralelos.
Momento de desarrollo
�ontinuando con el estudio de los cuadriláteros con lados paralelos�� se propone a niñas y niños resolver un problema consistente en averiguar la forma de una cerámica de cuatro lados�� de la cual solo se tiene una parte. La información que se proporciona es que la cerámica original tiene sus lados opuestos paralelos y los lados del trozo de cerámica tienen las mismas medidas que la cerámica original.
Para que los niños entiendan el problema�� se sugiere simular lo ocurrido a don Ma�nuel�� personaje con el que se presenta el problema en la Ficha 7 “Descubriendo la cerámica”. Hacer un molde de una cerámica con forma de paralelogramo en una hoja de diario y romperla por la mitad (ver dibujo)�� destacando que la figura original tiene sus lados paralelos y la medidas de su lados de la parte que se quedó son los mismos que el original.
Los procedimientos que pueden utilizar niñas y niños para descubrir la forma y ta�
maño de la cerámica son:
1. Unir los vértices opuestos para formar un triángulo. Identificar entre los trián�gulos del Material recortable 5�� dos que tengan las mismas dimensiones. �on ambos triángulos�� formar los dos cuadriláteros�� que una de sus diagonales mida 7 cm y seleccionar aquel que tiene sus lados opuestos paralelos.
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2. Si se utiliza regla y escuadra�� el procedimiento para completar la cerámica con�siste en utilizar la técnica ya descrita para verificar que dos lados son paralelos�� pero esta vez�� deslizando la escuadra hasta el otro vértice conocido y luego trazar la línea paralela. Se repite el mismo proceder en el otro lado.
En la Ficha 8�� se propone que niños y niñas dibujen todos los cuadriláteros con los triángulos � y D (del material recortable 5). Si usted considera necesario pedir que for�men otras figuras utilizando triángulos�� a continuación se listan los cuadriláteros que se forman con cierta cantidad de lados paralelos:
Condición para los cuadriláteros Pares de triángulos
Ning�n par de lados paralelos
�on los pares de triángulos � y F; D y E; A y B; A y �; A y E; A y F
Un par de lados paralelos �on pares de triángulos � y D
Dos pares de lados paralelos
�on pares de triángulos A�� B�� ��� D�� E y F�� yuxtaponiendo dos lados de igual medida y los lados iguales opuestos.
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Momento de cierre
En la primera parte de la clase se comprobó que los cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos�� tienen sus lados opuestos de la misma medida.
En la segunda actividad se comprobó que con dos triángulos idénticos se puede dibujar un paralelogramo. Para ello es necesario yuxtaponer un par de lados y ubicar los otros lados iguales uno al frente del otro.
Para verificar si dos lados son paralelos�� se debe hacer coincidir uno de los catetos de la escuadra con uno de los lados del cuadrilátero y apoyar el otro cateto en la regla (bien afirmada en la superficie de la hoja). Si al trasladar la escuadra a lo largo de la regla�� es posible hacer coincidir el cateto con otro lado del cuadrilátero�� significará que dichos lados son paralelos.
Momento de inicio
En esta clase�� se propone un trabajo de integración del trabajo matemático realiza�do en las clases anteriores�� relativo a identificar y dibujar cuadriláteros que tengan como características cierta cantidad de lados de la misma medida�� ángulos rectos y pares de lados paralelos.
Se trabaja individualmente en la realización de la Ficha 9 “Dibujando cuadrilá-teros”.
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Los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos tienen, asimismo, los lados
opuestos de la misma medida.
Los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos de igual medida tienen, asimismo,
dos pares de lados opuestos paralelos, es decir, conforman la familia denominada paralelogramos. Son paralelogramos los rectángulos, los cuadrados
y los rombos.
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Momento de desarrollo
Las figuras dibujadas y recortadas en la parte inicial�� se comparan en función de sus características y las clasifican de acuerdo al esquema propuesto en la Ficha 10 “Clasifi-cando cuadriláteros”.
�on el trabajo sobre el esquema se pretende que niñas y niños establezcan relacio�nes entre el tipo de figuras estudiadas. Se tiene que lograr que relacionen las caracte�rísticas de los cuadriláteros inclusivamente�� cuando corresponda. Los cuadriláteros di�bujados y recortados se deberán ubicar en más de un recuadro seg�n las características que tengan. Es así como�� todas las figuras se debieran ubicar en el primer recuadro de la Ficha 10�� independientemente de la forma que tengan�� porque todas ellas tienen 4 lados�� 4 vértices y 4 ángulos y por tanto�� son cuadriláteros.
Momento de cierre
Entre los cuadriláteros se pueden distinguir dos grupos en función del paralelismo de sus lados: los trapecios y los paralelogramos.
En los paralelogramos se comprobó que los lados opuestos miden lo mismo�� por lo tanto�� esta propiedad la cumplen particularmente los cuadrados�� los rombos y los rectángulos�� porque todos ellos son paralelogramos.
De todos los cuadriláteros que se estudiaron�� el �nico que siempre tiene la misma forma es el cuadrado. En esta familia un cuadrado se distingue de otro solo por su ta�maño.
En los otros cuadriláteros no ocurre lo mismo; por ejemplo�� en la familia de los rec�tángulos todos tienen distinta forma�� tal como se ve en los dibujos (excepto los que son semejantes).
En consecuencia�� una figura se denomina de una determinada manera�� no porque se asocie a una forma (como ocurre con la asociación del rombo con el diamante) o po�sición�� sino que por sus características. Un cuadrado�� será siempre un cuadrado�� aunque se le rote o cambie de posición.
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En la primera parte de la clase se aplica la prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a los profesores(as) que lean la pregunta 1 y se cercioren de que todos comprendan lo que se les solicita�� sin entregar información adicional a la planteada en el problema. Espera que todos los niños y niñas respondan. �ontinuar con la lectura de la pregunta 2 y proseguir de la misma forma�� hasta llegar a la �ltima pregunta. Una vez que los estudiantes responden esta �ltima pregunta�� retirar la prueba a todos.
En la segunda parte de la clase�� se sugiere que el profesor realice una corrección de la prueba en la pizarra�� preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. Si hubo errores�� averiguar por qué los cometieron.
Para finalizar�� destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores.
Incluimos�� además de la prueba�� una pauta de corrección�� que permite organizar el trabajo del profesor en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.
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Los cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos de igual medida tienen,
asimismo, dos pares de lados opuestos paralelos, es decir, conforman la familia denominada
paralelogramos. Son paralelogramos los rectángulos, los cuadrados y los rombos.
Los cuadriláteros que tienen 4 lados de igual medida conforman la familia denominada rombos.
El cuadrado es un rombo.
Los cuadriláteros que tienen 4 ángulos rectos conforman la familia denominada rectángulos. El cuadrado es un
rectángulo.
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e m
edid
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cm�� 6
cm y
8 cm
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tra fo
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n tre
s tro
zos d
e m
edid
as 6
cm�� 5
cm y
8 cm
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peg
amen
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n S
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niño
no
pued
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n pr
imer
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seg
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n. A
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nici
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ir lo
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reco
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do q
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tero
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nen
los
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dos
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éntic
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ble
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fija
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ica��
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que
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n so
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na
opor
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para
hac
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n. L
a ce
rám
ica
no se
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ver n
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biar
.La
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ivid
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s�� un
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del b
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zand
o el
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la c
ocin
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inad
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act
ivid
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o y
la c
ocin
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feso
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ntea
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gunt
as q
ue p
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n en
dis
cusi
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val
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de
los
proc
edim
ien-
tos u
tiliz
ados
par
a en
cont
rar l
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que
calz
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bos c
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os g
rupo
s en
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raro
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icie
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pos e
ncon
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n la
“cer
ámic
a” e
n el
em
bald
osad
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n pa
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entifi
car e
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que
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so, n
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MEN
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E D
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el e
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s cu
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el p
robl
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proc
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s de
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uadr
iláte
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que
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com
para
rlos.
Activ
idad
: “D
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ando
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Fic
ha 1
y la
Fic
ha 2
(“D
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que
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n de
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stru
ctur
as d
e bo
mbi
llas��
tijer
as y
peg
a�m
ento
.
Identifican, de entre un conjunto de triángulos y cuadriláteros, aquellos que son idénticos a uno conocido.
Dibujan triángulos y cuadriláteros cuyos lados tienen medidas determinadas.plAn
es de
clAs
esIV
t M
*
* Ta
reas
mat
emát
icas
.
31
Plan
de
la P
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era
clas
e(c
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que
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a a
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regu
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1 de
la F
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2 re
cono
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que
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en c
on la
s co
ndic
ione
s so
licita
das
y qu
e�� e
n la
s re
spue
stas
a l
as
preg
unta
s 3
y 4
debi
eran
rec
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er q
ue
hay
una
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a so
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ón�� p
orqu
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s cu
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lado
s.
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MEN
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que
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par
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un
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adril
áter
o�� p
orqu
e ha
y in
finito
s cu
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enen
por
med
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4 la
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los t
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s cu
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una
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ro�� s
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n la
do�� l
o qu
e pr
ovoc
a qu
e la
figu
ra fí
sicam
ente
se ri
gidi
ce.
planes de clases
32
Plan
de
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egun
da c
lase
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eria
les:
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a gr
adua
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n ce
ntím
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s; Fi
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3; M
ater
ial 4
�� 5�� 6
y 7
. Est
ruct
uras
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adas
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bom
billa
s con
stru
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1; ti
jera
s; pe
gam
ento
.
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Activ
idad
esEv
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n V
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que
que
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noce
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s de
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rear
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a id
éntic
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que
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ad d
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la d
iago
nal��
basá
ndos
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que
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form
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ulos
.
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erifi
que
que
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b�s
qued
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i�lá
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s:•
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e cu
adril
áter
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iáng
ulos
.•
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en lo
s la
dos
o lo
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onen
par
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car q
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enen
la m
isma
med
ida.
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can
los q
ue so
n co
ngru
ente
s�� au
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en d
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ión.
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bser
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que��
pa
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ifica
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seg�
n su
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lado
s co
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s�� no
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n so
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al.
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ropo
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que
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ita p
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ado
en la
cla
se a
nter
ior.
Se b
usca
que
niñ
as y
niñ
os c
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que
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ir un
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adril
áter
o co
ngru
ente
a o
tro
se n
eces
ita�� a
dem
ás d
e la
med
ida
de lo
s 4 la
dos��
la m
edid
a de
un
a de
sus d
iago
nale
s.Ac
tivid
ad: “
Fabr
ican
tes
de c
erám
icas
”. �a
da g
rupo
se
debe
imag
inar
que
son
“fab
rican
tes
de c
erám
icas
” y q
ue t
iene
n la
misi
ón d
e “c
rear
una
cer
ámic
a pa
ra re
empl
azar
la q
ue s
e ha
ca
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de u
na p
ared
” (M
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ial 4
). D
ibuj
an la
cer
ámic
a qu
e fa
lta u
tiliz
ando
la e
stru
ctur
a de
bo
mbi
llas.
El e
mba
ldos
ado
(Mat
eria
l 4) s
e de
be e
ncon
trar
dist
ante
de
niña
s y
niño
s al
mom
ento
que
di
buje
n la
cer
ámic
a. P
erm
ita q
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ngan
dos
opo
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idad
es d
e ir
a to
mar
las m
edid
as n
ece�
saria
s par
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a ce
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ica.
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ho u
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que
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elve
el p
robl
ema��
pid
a qu
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reco
rten
y
verifi
quen
si c
alza
en
el M
ater
ial 4
“Rep
onie
ndo
cerá
mic
as”.
Mo
MEN
to D
E D
EsA
RRo
LLo
: Par
a se
guir
avan
zand
o en
el c
onoc
imie
nto
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s cu
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á�te
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s y
niño
s de
berá
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buja
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s co
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de
lado
s de
la m
isma
med
ida.
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idad
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eand
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ica
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triá
ngul
os”.
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“f
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s de
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que
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izan
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triá
ngul
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Mat
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que
se
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ldos
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l 6 y
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ial 7
). U
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triá
ngul
os�� p
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que
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Los e
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con
los q
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esta
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cla
se so
n lo
s que
est
án
dibu
jado
s en
los M
ater
iale
s 6 y
7.
�uan
do la
act
ivid
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real
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os�� p
lant
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que
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util
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os:
¿Cóm
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ngul
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los
tiene
n�� p
ropo
nga
que
real
icen
las
activ
idad
es p
ropu
esta
s en
la F
icha
3.
Dibujan un cuadrilátero idéntico a otro. Dibujan cuadriláteros que tienen cierta cantidad de lados de igual medida. Clasifican cuadriláteros, según la cantidad de lados
congruentes que tengan.
planes de clases
33
Plan
de
la s
egun
da c
lase
(con
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ción)
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ient
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o es
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? ¿�u
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rilát
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El p
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isma
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áter
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ó 4
lado
s de
la m
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la m
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bos.
El c
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planes de clases
34
Plan
de
la t
erce
ra c
lase
M
ater
iale
s: Re
gla
grad
uada
en
cent
ímet
ros;
Fich
as 4
y 5
; mat
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l rec
orta
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8; e
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Identifican, de entre un conjunto de cuadriláteros, aquel que es idéntico a uno conocido.Dibujan cuadriláteros que tienen cierta cantidad de ángulos rectos.
Clasifican cuadriláteros según la cantidad de ángulos rectos que tengan.
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lado
s son
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alel
os.
Dibujan cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos, apoyándose en dos cintas de igual y distinto ancho.
Dibujan cuadriláteros que tienen cierta cantidad de lados paralelos.
planes de clases
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seleccionan entre un conjunto de triángulos, un par que les permitirá dibujar un cuadrilátero que tenga ciertas características, tales como, ángulos rectos, lados
congruentes y lados paralelos.Clasifican cuadriláteros según la cantidad de ángulos rectos, pares de lados paralelos y
cantidad de lados de la misma medida.
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38
Nombre: Escuela:
Curso: Fecha: Puntaje:
Indicaciones para el profesor (a):Lea la prueba y responda sólo preguntas relativas a las instrucciones. Pase a la pregunta 2 y prosiga de la misma forma hasta llegar a la última pregunta. Una vez que respondan esta pregunta, retire la prueba a todos.
1. Escribeenloscasilleroslasletrascorrespondientesalascaracterísticasdelasfiguras. Usareglayescuadra,silonecesitas.
A. Tengodosángulosrectos
B. Tengomiscuatroladosdelamismalongitud
C. Tengomiscuatroladosdediferenteslongitudes
D. Tengocuatroángulosrectos
E. Tengosolotresladosdelamismalongitud
F. Tengosólounángulorecto
G. Notengoningúnángulorecto
H. Tengosólodosladosdelamismamedida.
NoTA
Prueba y PautaV
Prueba de la Primera unidad didácticamatemática • cuarto año básico
39
2. Elembaldosadoespartedeunaparedenlaquesehacaídounacerámica.Identificacuálde loscuadriláterosqueestánen lasiguientepágina,eselquecalzaexactamenteenelembaldosado.
Aquíescribelaletradelcuadriláteroqueelegiste:
40
Unodeestoscuadriláteroscalzaenelembaldosadodelapregunta2.
41
b)¿Porqué?
3. Explica qué hiciste para seleccionar el cuadrilátero que calza en el embaldosado de lapregunta2.
4. a) Sitepidierandibujarcuadriláterosdemedidas4cm,4cm,3cmy5cm, ¿cuántoscuadriláterosdistintospodríasdibujar?
42
5. Lasdoslíneasdibujadassonparalelas.
Forma, utilizando regla y escuadra, los cuadriláteros que se indican a continuación, demaneraquetengandosdelosladosenlaslíneasparalelas.
a) Unrectángulocuyosladosmidan3y2cm.
b) Unrombodelado4cm.
43
Cantidad de alumnos que
respondió bien
Porcentaje de logro Preg. Tareas matemáticas
1 Identificanlascaracterísticasquetieneuncuadrilátero
2 Identificandeentreunconjuntodecuadriláteros,aquelqueesidénticoaotro
3 Justificanelprocedimientoutilizadoparaidentificaruncuadrilátero idénticoaunodado 4 Determinanlascaracterísticasdecuadriláterosquetienenloslados delamismamedida
5 Dibujanunrectángulo
6 Dibujanunrombo
% total de logro del curso
Evaluación de la unidad por el curso
Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Pregunta Respuesta Puntos
Sialcorregirlapruebaconlapautasugerida,encuentraalgunasrespuestasambiguasdelosniños, sesugiereque losentrevistesolicitandoque frentea lapreguntaencuestiónpuedanexplicarsusrespuestas.
1Figura1:AnotalasletrasByGFigura2:AnotalasletrasEyFFigura3:AnotalasletrasAyH
222
Puntaje máximo 15
2 2
3
a) Señalaquesepuedendibujarmuchoscuadriláteros 1puntob) Señalaqueuncuadriláteronoesunafigurarígida,daunejemplo 1punto4
3
2
AnotalaletraA
Enlaexplicaciónseñala:Quemidióloscuatrolados 1puntoQuemidióunadelasdiagonales 1puntoQueverificóqueelángulorectoestabaentrelosladosquemiden4y2cm 1punto
a) Dibujaunrectángulocuyosladosmiden3y2cm 1puntob) Dibujaunrombodelado4cm 1punto5 2
44
• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:
• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:
esPacio Para la reflexión PersonalVI
45
GlosarioVII
objetogeométricodelimitadoporlíneascurvasorectas(segmentos).Enestaunidadseestudiafigurascerradasdelimitadasporsegmentos.
Figura :
Triángulos : Figurasgeométricascerradasde3lados.
Figurasgeométricascerradasde4lados.Cuadriláteros :
Paralelogramos : Cuadriláterosquetienendosparesdeladosparalelos.
Paralelogramosquetienen4ángulosrectos.Rectángulos :
Paralelogramosquetienen4ladosdeigualmediday4ángulosrectos.
Cuadrados :
Rombos : Paralelogramosquetienen4ladosdeigualmedida.
Cuadriláterosquetienensólounpardeladosparalelos.Trapecios :
Segmentoqueunedosvérticesopuestos.Loscuadrilá-terostienendosdiagonales.
Diagonal :
fichas y materiales Para alumnas y alumnosVIII
49
Primera UnidadClase 1Ficha 1 Cuarto Básico
“Dibujando figuras”
1. Dibuja3cuadriláteros,utilizandolaestructuraformadacon4bombillasdelados4cm,6cm,5cm,y8cm(eneseorden).
Recórtalosyrespondelaspreguntas1y2delaFicha2.
Nombre:Curso:
50
Primera UnidadClase 1
Ficha 1continuación Cuarto Básico
“Dibujando figuras”
2. Dibuja3triángulos,utilizandolaestructuraformadacon3bombillasdelados6cm,5cm,y8cm(eneseorden).
Recórtalosyrespondelapregunta3delaficha2.
Nombre:Curso:
51
Primera UnidadClase 1
Ficha 1continuación Cuarto Básico
“Dibujando figuras”
3. Cortaunabombillade7cmyubícalaenlaestructuradebombillascuadrilátera,demaneraqueseformendostriángulos.
Marcaenunahojauncuadriláteroyrecórtalo.
Nombre:Curso:
52
“Dibujando figuras”.
1. Comparaloscuadriláterosrecortadosconlosdetuscompañeros(as),ycompletalatabla:
2. Sitepidierandibujaruncuadriláterodemedidas2cm,4cm,3cmy6cm,¿cuántoscuadriláterosdiferentespodríasdibujar?
3. Comparalostriángulosrecortadosconlosdetuscompañeros(as),ycompletalatabla:
4. Comparaelcuadriláterorecortadoconlosdetuscompañeros(as).
Primera UnidadClase 1Ficha 2 Cuarto Básico
Respectoalasmedidas,¿cómosonsuslados?
¿Cómosonsusformas?
Respectoalasmedidas,¿cómosonsusdiagonales?
Nombre:Curso:
Respectoalasmedidas,¿cómosonsuslados?
¿Cómosonsusformas?
Respectoalasmedidas,¿cómosonsuslados?
¿Cómosonsusformas?
Respectoalasmedidas,¿cómosonsusdiagonales?
53
Primera UnidadClase 2Ficha 3 Cuarto Básico
1. ConlostriángulosAyB,delMaterial recortable 5,dibujaaquítodosloscuadriláterosqueformaste.
Nombre:Curso:
54
2. UtilizandolostriángulosdelMaterial recortable 5,dibujaloscuadriláterosquecumplenconlacondiciónpedida.
3. Señalalacantidaddeladosdelamismamedidaquepuedeteneruncuadrilátero:
4. Elcuadriláteroquetieneloscuatroladosdelamismamedidasedenomina:
Dibujaaquíloscuadriláterosquetienendosladosdeigualmedida.
Dibujaaquíloscuadriláterosquenotienenningúnladodeigualmedida.
Dibujaaquíloscuadriláterosquetienensuscuatroladosdeigualmedida.
Dibujaaquícuadriláterosquetienentresladosdeigualmedida.
55
Primera UnidadClase 3Ficha 4 Cuarto Básico
“Reponiendo cerámicas”.
Losdosembaldosadossonpartesdedosparedesenlasquesehacaídounacerámica.Identificacuáldeloscuadriláterosqueestánalreversodelahojaeselquecalzaexactamenteencadapared.
Nombre:Curso:
Aquíescribelaletradelcuadriláteroqueelegiste:
Aquíescribelaletradelcuadriláteroqueelegiste:
56
A. B.
C. D.
E. F.
57
Primera UnidadClase 3Ficha 5 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1. ConlostriángulosDyC,delMaterial recortable 5,dibujaaquíloscuadriláterosqueformaste.
58
3. Señalalacantidaddeángulosrectosquepuedeteneruncuadrilátero:
4. Elcuadriláteroquetieneloscuatroángulosrectossedenomina:
Dibujaaquíloscuadriláterosquenotienenningúnángulorecto.
Dibujaaquíloscuadriláterosquetienenunángulorecto.
2. UtilizandolostriángulosdelMaterial recortable 5,dibujaloscuadriláterosquecumplenconlacondiciónpedida.
Dibujaaquícuadriláterosquetienendosángulosrectos.
Dibujaaquíloscuadriláterosquetienensuscuatroángulosrectos.
59
Primera UnidadClase 4Ficha 6 Cuarto Básico
“Creando cuadriláteros con cintas”.
1. Completen la tabla comparando las figuras dibujadas. Dibuja cuadriláteros utilizando las cintas
AyB.
En todos los cuadriláteros se cumple que:
Almedirlosladosdecadacuadrilátero,secumpleque…
Sisetrazaunadesusdiagonales,lostriángulosqueseformanson…
Alverificarelparalelismoentrelosladosopuestos,secumpleque…
2. Dibuja,utilizandolascintasAyBdelMaterial recortable 9,uncuadriláteroquetengaángulosrectos.¿Quétipodecuadriláteroes?¿Porqué?
3. Completen la tabla comparando las figuras dibujadas. Dibuja cuadriláteros utilizando las cintas AyC.
4. Dibuja,utilizandolascintasAyCdelMaterial recortable 9,uncuadriláteroquetengaángulosrectos.¿Quétipodecuadriláteroes?¿Porqué?
Nombre:Curso:
En todos los cuadriláteros se cumple que:
Almedirlosladosdecadacuadrilátero,secumpleque…
Sisetrazaunadesusdiagonales,lostriángulosqueseformanson…
Alverificarelparalelismoentrelosladosopuestos,secumpleque…
60
Primera UnidadClase 4Ficha 7 Cuarto Básico
1. UtilizandountriángulodelMaterial recortable 5,reconstruyelacerámicaparaquedonManuellapuedacomprar.
2. Dibujalacerámica,recórtalayverificasicalzaenlapareddelbañodedonManuel,(Material10).
Nombre:Curso:
“Descubriendo la cerámica”.
EnlacasadedonManuelsecayeronalgunascerámicasdelapareddelbaño.Elsacóunmoldedeunacerámicaenunpapel.Poraccidente,selerompióelmoldeantesdellegaralaferretería.ElsiguienteeseltrozodelmoldedelacerámicaconquesequedódonManuel.
61
2. Lasdoslíneasdibujadassonparalelas.
Forma,utilizandoreglayescuadra,loscuadriláterosqueseindicanacontinuación,demaneraquetengandosladosenlaslíneasparalelas.
• Unrectánguloquesusladosmidan3y5cm.
• Unrombodelado4cm.
3. EligeparesdetriángulosidénticosdelMaterial recortable 5,para:
a) Dibujaruncuadriláteroquetengadosparesdeladosparalelosytodossusladosmidan4cm.
b) Dibujaruncuadriláteroquetengadosparesdeladosparalelosysusladosopuestosmidan 4cmy5cm,respectivamente.
Primera UnidadClase 4Ficha 8 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1. ConlostriángulosCyFdelMaterial recortable 5,formatodosloscuadriláterosposibles.Identificacuáldeellostieneladosparaleloseindicacuántos.
62
Primera UnidadClase 5Ficha 9 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
“Dibujando cuadriláteros”.
1. SeleccionaunpardetriángulosidénticosdelMaterial recortable 5,paradibujarenunahojaenblanco cuadriláteros que cumplan con las siguientes condiciones que se señalan. Responde laspreguntas.
a) Dibujauncuadriláteroquetengasus4ángulosrectos.
¿Todossusladossondeigualmedida?
¿Susladosopuestossonparalelos?
b) Dibujauncuadriláteroquetengasus4ladosdeigualmedidayquesusángulosnoseanrectos.
¿Susladosopuestossonparalelos?
63
c) Dibujauncuadriláteroquetengasus4ladosdeigualmedidaysus4ángulosrectos.
¿Todossusladosmidenlomismo?
¿Susladosopuestossonparalelos?
2. ConlostriángulosDyCdelMaterial recortable 5,formatodosloscuadriláterosposibles.
3. Unavezdibujadosloscuadriláterosdelejercicio1y2,recórtalostodos.
64
“Clasificando cuadriláteros”.
UbicacadaunodeloscuadriláterosrecortadosdelaFicha 9enellugarquelecorresponde,segúnlascaracterísticasquetenga.
Primera UnidadClase 5Ficha 10 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Cuadriláteros:Figuracerradade4lados.
Rectángulo:Paralelogramosquetienen4ángulosrectos.
Cuadrado:Paralelogramoquetienesus4ladosdeigualmedidaysus4ángulosrectos.
Trapecios:Cuadriláterosquetienenunpardeladosparalelos.
Paralelogramos:Cuadriláterosquetienendosparesdeladosparalelos.
Rombos:Paralelogramosquetienen4ladosdeigualmedida.
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4° Básico
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Ampliación y reducción de figuras
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Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM
Nivel de Educación Básica
División de Educación GeneralMinisterio de Educación
República de Chile
Autores:Universidad de Santiago
Lorena Espinoza S.Enrique González L.
Joaquim Barbé F.
Ministerio de Educación:Dinko Mitrovich G.
Colaboradores:Alfredo Carrasco
Asesores internacionales:Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia.
Revisión y Corrección DidácticaMinisterio de Educación 2007:
Patricia PonceJuan Vergara
Carolina Brieba
Revisión y Corrección de EstiloJose!na Muñoz V.
Coordinación EditorialClaudio Muñoz P.
Ilustraciones y Diseño:Miguel Angel Marfán
Elba Peña
Impresión:xxxxx.
Marzo 2006Registro de Propiedad Intelectual Nº 154.024
Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Cuarto Año BásicoSEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA
Ampliación y reducción de figuras
Matemática
• • Autores • •
Joaquim Barbé F. • Lorena Espinoza S.
Enrique González L. • Dinko Mitrovich G.
I Presentación 6
II Esquema 10
III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 12
IV Planes de clases 26
V Prueba y Pauta 32
VI Espacio para la reflexión personal 37
VII Glosario 38
VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 39
Índice
�
segundA unidAd didácticAAmpliación y reducción de figuras
CuArto BásICo MAteMáticA
• Reconocen y llevan a cabo transformaciones de figuras geométricas, por rotación, ampliación y reducción y describen los efectos que cada una de ellas provoca. (Aprendizaje esperado 11, primer semestre)
Aprendizajes esperados del Programa
• Reconocen ampliaciones y reducciones de figuras geométricas y las distinguen de otras transformaciones que agrandan o achican una figura.
• Describen los cambios producidos por una ampliación o reducción en cuadriláteros, distinguiendo qué cambia y qué se conserva con respecto a la longitud, paralelismo y perpendicularidad de los la-dos.
• Dibujan la ampliación o reducción de cuadriláteros y triángulos.
Aprendizajes esperados para la unidad
Aprendizajes previos
• Reconocen lados, vértices y ángulos de un polígono de 3 y 4 lados.
• Miden longitudes en centímetros, utilizando una regla.• Verifican si dos lados de una figura son paralelos o per-
pendiculares, apoyándose en instrumentos como regla y escuadra.
�
1.
presentAciónI
e n esta Unidad se estudia el tema de ampliación y reducción de figuras, a través de la ampliación y reducción de triángulos y cuadriláteros. Niños y niñas aprenderán a identificar figuras que corresponden a una ampliación o reducción de una figu-
ra dada. Conocerán los cambios que experimenta una figura cuando es ampliada o re-ducida, focalizando la mirada en propiedades de paralelismo, perpendicularidad y lados de la misma medida. Además, aprenderán algunos procedimientos que les permitirán verificar si una figura es una ampliación o una reducción, y también procedimientos para dibujar figuras ampliadas y reducidas. Para ello, utilizarán como instrumentos prin-cipales la regla y la escuadra. La unidad se desarrolla recurriendo a diversos contextos en los que ampliar o reducir una figura tenga sentido para los niños.
A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta Unidad.
tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad son:
Determinan si una figura corresponde o no, a una ampliación o a una reducción de una figura dada.
Amplían una figura a través de la ampliación de cada una de las partes en que ha sido fragmentada.
Amplían o reducen cuadriláteros y triángulos, y dibujan la figura resultante.
Anticipan y posteriormente verifican, las características que cambian y las que se conservan al ampliar o reducir una figura.
Calculan la medida de los lados de dos figuras sabiendo que una es la amplia-ción o reducción de la otra.
Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las ta-reas matemáticas que niñas y niños realizan son:
Tipos de figura:
• Cuadriláteros: rectángulos, paralelógramos y otros.• Triángulos: rectángulos y no rectángulos.
2.
�
La disponibilidad de las figuras: se encuentra(n) disponible y se permite su mani-pulación; se encuentra disponible, pero no se puede manipular, y no se encuen-tra disponible.
Recursos para dibujar: se utiliza papel cuadriculado de 1 cm y papel sin líneas, se utiliza solo regla, se utiliza regla y escuadra.
Procedimientos
Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:
Para identificar que una figura es la ampliación o reducción de otra, com-prueban que se cumplen dos condiciones: que la medida de los lados de la figura ampliada o reducida corresponde a la medida de los lados de la figura original multiplicado o dividido por un mismo número y que todos los ángulos de ambas figuras coinciden si se superponen. Esta segunda condición puede ser verificada utilizando la técnica irradiar fijando un vértice.
Para determinar la medida de los lados de dos figuras con la misma forma, sin medir, se identifica un lado de la figura original y un lado de la figura am-pliado o reducido, que están en la misma posición y se conoce su medida. A partir de ellos, se encuentra el número por el cual la medida de los lados de una figura se encuentran multiplicados o divididos. Se calculan la medida de los otros lados, multiplicando o dividiendo los lados conocidos que se encuentran en la misma posición.
Para dibujar una figura ampliada o reducida, en primer lugar se calcula la me-dida de los lados de la nueva figura, multiplicando o dividiendo por un mismo número la medida de los lados de la figura original, según se quiera ampliar o reducir. Posteriormente, se dibuja recurriendo a la técnica irradiar fijando un vértice. Para ello, se elige uno de los ángulos de la figura original y se extienden los lados que lo forman. En dichas prolongaciones se marcan dos de los vértices de la nueva figura, tomando la medida de los lados respectivos. Para determinar el cuarto vértice. Se traza la diagonal del cuadrilátero a partir del vértice común, y la medida de dicha diagonal se multiplica o divide por el mismo número que los lados. Al tomar la medida obtenida sobre la diagonal se obtiene el cuarto vértice del cuadrilátero, al unir todo los vértices, se consigue el cuadrilátero ampliado o reducido.
Fundamentos centrales
Cuando se aumentan las medidas de los lados de una figura, esta aumenta su tamaño; equivalentemente, cuando se disminuyen los lados de una figura esta disminuye su tamaño, sin embargo, sólo en algunos casos una nueva figura tie-ne la misma forma que la figura original.
3.
4.
presentación
8
La ampliación de una !gura es una nueva !gura, cuyos lados tienen la medida de los lados de la !gura original multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas !guras tienen pares de ángulos correspondientes de la misma medida.
La reducción de una !gura, es una nueva !gura cuyos lados tiene por medida, la medida de los lados de la !gura original divididos todos por un mismo número. Además, ambas !guras tienen pares de ángulos de la misma medida.
La ampliación y reducción son transformaciones que mantienen la forma de la !gura original, esto signi!ca que si una !gura tiene lados paralelos, lados per-pendiculares o lados de la misma medida, su ampliación o reducción conserva-rán las mismas propiedades.
Solamente en los polígonos que son una ampliación o reducción de otro, se veri!ca que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas !guras, las diagonales correspondientes al vértice que se ha hecho coincidir del polígono de menor tamaño, quedan sobrepuestas sobre las diagonales del otro polígo-no. Particularmente, en los triángulos que son una ampliación o reducción de otro, se cumple que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambos triángulos, los terceros lados son paralelos.
Descripción global del proceso
El proceso se genera en torno a la resolución de un problema genérico, que consiste en ampliar o reducir la parte que falta de una !gura para ampliarla o reducirla comple-tamente. El problema se retoma con diferentes condiciones en algunas de las clases. En la primera de ellas, los niños y niñas se encuentran con actividades que les llevará a preguntarse sobre que condiciones se deben tomar en cuenta para que al modi!car las medidas de los lados de rectángulos, estos conserven la forma.
En la segunda clase se retoma la problemática inicial, sistematizando los cambios producidos en una !gura cuando a sus lados se les suma una misma cantidad o cuan-do estos se multiplican o dividen por un mismo número. En las dos primeras clases se trabaja solamente con triángulos rectángulos y rectángulos y sobre un cuadriculado, de manera de concentrar a los niños, en la medida de los lados de la !gura original y su ampliación o reducción.
En la tercera clase se determina la medida de algunos lados de dos !guras, sabien-do que una es la ampliación de la otra. En esta actividad los niños veri!can la reversi-bilidad entre la multiplicación y la división. En el desarrollo de la clase los niños com-prueban que no es su!ciente veri!car que los lados de dos cuadriláteros se encuentren multiplicado o dividido por un mismo número, para concluir que tiene la misma forma. Es necesario comprobar, además, que las !guras tienen los mismos ángulos.
5.
Presentación
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En los cuadriláteros que cumplen con lo señalado anteriormente, se verifica que so-lamente en ellos se cumple, que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas figuras, una de sus diagonales coinciden. En esta clase se introduce el procedimiento que denominamos irradiar fijando un vértice, que permite verificar si dos o más cuadrilá-teros tienen la misma forma, es decir, que corresponden a una ampliación o reducción de una figura dada.
En la cuarta clase, se amplía el estudio de la ampliación o reducción de figura, in-corporando la tarea de dibujar figuras ampliadas o reducidas. Los alumnos aprenden al-gunos procedimientos para dibujar figuras utilizando como apoyo hojas cuadriculadas e instrumentos, tales como regla y escuadra.
En la quinta clase se realiza una sistematización del trabajo matemático realiza-do en las clases anteriores, proponiendo a los niños actividades en las que usarán los procedimientos aprendidos para verificar si una figura es la ampliación o reducción de otra, así como para dibujar una figura ampliada o reducida. En esta clase se enfatiza la comparación de las propiedades que tiene la figura original y su transformación de ma-nera que los niños reconozcan que cuando se amplía o reduce una figura, ésta conserva las propiedades de paralelismo, perpendicularidad e igualdad de lados que la figura original.
Finalmente, en la sexta clase se propone una prueba de finalización de la unidad que permita conocer el nivel de logro de los aprendizajes esperados.
sugerencia para trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes espera-dos en ella. El profesor(a) debe asegurarse de que todos los niños son capaces de:
Reconocen lados, vértices y ángulos en polígonos de 3 y 4 lados. Proponga a los niños que realicen actividades del texto escolar en las que tengan que describir triángulos o cuadriláteros, o actividades en las que tengan que cuantificar la cantidad de lados y vértices que tienen triángulos y cuadriláteros.
Miden longitudes, utilizando regla graduada en centímetros. Proponga la ac-tividad “reponiendo cerámicas” del momento inicial de la primera clase de la unidad de cuadriláteros o una variación de ella.
Verifican si dos lados de una figura son paralelos o perpendiculares. Proponga a los niños la Actividad: “Creando cuadriláteros con cintas” del momento inicial de la cuarta clase de la unidad de cuadriláteros o una variación de ella. Una vez que dibujen las figuras, pídales que verifiquen paralelismo y perpendicularidad de los lados.
6.
presentación
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12
orientAciones pArA el docente:estrAtegiA didácticA
III
Las actividades propuestas en esta Unidad permiten a niñas y niños vivir un conjun-to de experiencias significativas que son parte de un proceso en el cual se encontrarán con algunos hitos desde el punto de vista de los conocimientos involucrados que les permitirá aprender: los cambios producidos en las figuras cuando se aumentan o dis-minuyen la medida de sus lados; qué tipo de cambios en las medidas permite formar una nueva figura que conserve la forma; comprobar que no es suficiente que los lados de un cuadrilátero sean tantas veces la medida de los lados de otro para que una figura conserve la forma de una original, sino que es necesario, además, que las figuras tengan los ángulos iguales; y que los cuadriláteros y triángulos cuando se amplían o reducen conservan las propiedades de paralelismo, perpendicularidad e igualdad de lados que la figura original.
Las actividades y problemas están secuenciados de manera de posibilitar el estudio por parte de niños y niñas para que vayan profundizando en los conceptos de amplia-ción y reducción, y en los procedimientos que pueden utilizar para reconocer si una figura ha sido ampliada o reducida, así como en los procedimientos para dibujar la am-pliación o reducción de un triángulo o cuadrilátero.
A continuación aparecen descritas las clases de la Unidad, detallando las tareas ma-temáticas que se realizan en cada una y las actividades que se efectúan para ello; los conocimientos matemáticos que se ponen en juego al realizarlas; la intención didáctica que se persigue en cada caso; y algunas orientaciones para la gestión del docente. La descripción de cada clase está organizada en función de sus tres momentos: de inicio, desarrollo y cierre. Algunos aspectos importantes para una buena gestión del proceso de enseñanza aprendizaje, y que son comunes a cualquier clase, son:
Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s) clase(s) anterior(es);
Dejar espacio para que niñas y niños propongan y experimenten sus propios procedimientos;
Mantener un diálogo permanente con los alumnos y propiciarlo entre ellos, sobre el trabajo que se está realizando, sin imponer formas de resolución;
Permitir que se apropien íntegramente de los procedimientos estudiados;
Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza;
Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado.
13
Momento de inicio
La Actividad “Identificando las figuras deformadas” con que comienza la Unidad busca que niños y niñas se introduzcan en el contexto de la ampliación y reducción de figuras y lo relacionen con sus conocimientos previos. De ahí que es importante que al entregarles la Ficha 1, se invite a niños y niñas a observar los afiches, los comparen esta-bleciendo semejanzas y diferencias. En este sentido, entre las diferentes características que ellos puedan señalar, es importante sistematizar que se parecen en que todos los afiches tienen forma de rectángulos y tienen la misma figura dibujada y, se diferencian en que, en algunos afiches, la figura se encuentra deformada.
Al momento de definir en cuál de los afiches la figura está deformada, pueden surgir algunas discrepancias. Si esto ocurre, se recomienda dejar explicitado cuáles son los ar-gumentos que utilizan niños y niñas para tomar su decisión. Se espera que a medida que se avance en el estudio, ellos pasen de argumentos basados en la percepción y un tanto subjetivos, a argumentos comprobables, basados en conocimientos geométricos.
Momento de desarrollo
Con la actividad “Ampliando un rectángulo” planteada en la Ficha 2, se busca que los niños y niñas se encuentren con la tarea de aumentar la medida de los lados de una figura. Esto les llevará a hacerse algunas preguntas sobre ¿qué relaciones debe existir entre los lados de la figura original y la figura ampliada, para que al aumentar la medida de los lados se conserve la forma?
En esta actividad se enfrenta a los alumnos a decidir sobre el tipo de transformación, aditiva o multiplicativa, que realizaran a los lados de la figura para que ella conserve la forma.
Para que se logren los propósitos esperados, es necesario cautelar algunos aspectos en la gestión de la actividad, tales como:
Disponer para cada grupo de: la Ficha 2, tijeras y hojas cuadriculadas de 1 cen-tímetro (Material 1).
Formar grupos de 4 niños y niñas, de manera que cada uno tenga que ampliar una figura.
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No dar pistas acerca de cómo ampliar cada figura, sino que promover que cada uno busque sus propias estrategias.
Promover que, en cada grupo, una vez que hayan ampliado las partes, intercam-bien sus procedimientos y lleguen a una conclusión sobre con cuál de ellos se logra ampliar las figuras.
Que sean los propios alumnos(as) los que evalúen el logro de la realización de la tarea, al comprobar si las partes coinciden y arman un rectángulo que sea una ampliación del rectángulo dado.
Tal cual está redactada la consigna en la actividad, pondrá en cuestionamiento si lo que hay que hacer es sumar 3 a cada lado o duplicarlos, es decir, se pueden dar los siguientes casos para determinar la medida de los lados de la figura que les tocaron a los niños:
Determinan la longitud de los lados de la figura ampliada, agregándole 3 a cada lado de la figura original, porque es la diferencia entre 3 y 6.
Determinan la longitud de los lados de la figura ampliada, multiplicando por 2 cada lado de la figura original, porque 6 es el doble de 3.
Solamente en el segundo caso se logra ampliar cada parte y, por lo tanto, conservar la forma de la figura original.
Una vez que los niños(as) hayan averiguado la medida de los lados de la figura am-pliada, tendrán que resolver el cómo dibujarla en la hoja cuadriculada.
Para dibujar los rectángulos no hay mayor problema, puesto que los lados coinciden con el cuadriculado, por lo tanto, para dibujarlos es necesario medir o contar la cantidad de cuadraditos que tiene cada lado.
En el caso de los triángulos rectángulos, se usa un procedimiento similar para los lados que coinciden con el cuadriculado, y para el lado que no, lo dibuja a partir de unir los extremos de los otros dos lados.
Momento de cierre
Se sistematiza relacionando las dos actividades que han realizado los niños, al poner en evidencia que una figura puede aumentar la medida de sus lados y, en conse-cuencia, aumentar su tamaño, sin embargo, solo en algunos casos la figura resultante tiene la misma forma que la figura original. Tal es el caso del único afiche de la actividad “Identificando las figuras deformadas” en que la figura no se deformó, pese a que todas habían aumentado de tamaño.
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En la segunda actividad “Ampliando un rectángulo”, tuvieron que decidir si para ampliar la figura que les tocó debían sumar 3 a cada lado o multiplicar por 2. Se espera que, como resultado del trabajo realizado, puedan descartar que sumar a los lados de una figura una misma cantidad no permite obtener una figura con la misma forma que la original.
Multiplicar los lados de un rectángulo o triángulo rectángulo por un mismo número permite obtener una nueva figura con la misma forma que la original. Cualquier otro tipo de cambio en la medida de los lados no preserva la forma de la figura, pese a que los ángulos siguen siendo rectos.
En esta clase se encuentran plasmados dos de los fundamentos centrales de la Unidad:
Momento de inicio
En este primer momento se aborda la problemática central de la clase anterior, ten-diente a definir qué tipo de transformación en la medida de los lados conserva la forma de una figura original.
En la actividad “¿Qué pasa con la medida de los lados cuando una figura se amplía?” de la Ficha 3, se confronta el procedimiento de sumar a todos los lados una misma cantidad con el procedimiento de multiplicar por dos todos los lados. Como una
segundA clAse
Cuando se aumentan las medidas de los lados de una figura, esta aumenta su tamaño;
equivalentemente, cuando se disminuyen los lados de una figura, esta disminuye su tamaño; sin embargo,
solo en algunos casos una nueva figura tiene la misma forma que la figura original.
La ampliación de una figura, es una nueva figura, cuyos lados tienen por medida la medida de los lados de la figura original,
multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida.
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forma preliminar de resolver este dilema, se propone comparar los rectángulos de la Ficha 3 con los rectángulos de los afiches de la Ficha 1. Se espera que los niños, basados en la deformación de la figura del afiche, descarten la alternativa de sumar un mismo número como procedimiento que permite conservar la forma de la figura original.
Momento de desarrollo
Se proponen tres actividades con la finalidad de que niñas y niños pongan a prueba los conocimientos adquiridos hasta el momento y los lleven a buscar una manera de justificar por qué una figura es o no la ampliación de otra.
En las dos primeras actividades propuestas en la Ficha 4 “¿Qué triángulos tienen la misma forma?” y Ficha 5 “¿Qué rectángulos tienen la misma forma?”, los niños tienen que seleccionar entre un conjunto de triángulos, en primer lugar, y luego entre un conjunto de rectángulos, aquellos que corresponden a una reducción o ampliación de una figura que se encuentra destacada. En ambas actividades, se promueve que los niños argumenten la selección así como el descarte de figuras. El argumento esperado es que señalen que los lados de una figura, multiplicados o divididos por un mismo nú-mero, resulta la medida de los lados de la figura ampliada o reducida.
En la Ficha 6, se plantean a los niños preguntas, para que las respondan indivi-dualmente o como máximo entre dos niños, para que, posteriormente, comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Esta información es necesaria recogerla para retomarla en el momento del cierre de la clase.
Es importante que los niños comprueben en la Ficha 4, que los triángulos sombreados D y C corresponden a una reducción del triángulo sombreado. Para ello verifican que al dividir por dos en un caso, y por cuatro en el otro, los lados del triángulo sombreado, resultan las medidas de los triángulos D y C respectivamente. Además, solo en estos triángulos se cumple que al comparar los ángulos, superponiéndolos, coinciden exactamente; por esta razón, los triángulos tienen la misma forma.
Análogamente, en los rectángulos de la Ficha 5, hay dos rectángulos cuyos lados corresponden a la medida de los lados del rectángulo sombreado multiplicado por 3 (rectángulo E), por 4 (rectángulo B).
Finalmente, pida a los niños que recorten las figuras y comprueben que en aquellos que sus lados se encuentran multiplicado o divididos por un mismo número, respecto a los lados de una figura original se cumple que:
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En los triángulos, en particular los triángulos rectángulos, al superponer dos o más triángulos de mayor a menor tamaño, teniendo como referencia uno de los ángulos, se cumple que los terceros lados de los triángulos son paralelos.
En los rectángulos al superponer dos o más rectángulos de mayor a menor ta-maño, teniendo como referencia uno de los ángulos, se cumple que las diago-nales trazadas desde el vértice común quedan sobrepuestas.
Pida que los niños y niñas verifiquen si estas propiedades no las cumplen los trián-gulos y rectángulos que descartaron.
Momento de cierre
En este momento el profesor(a) explicitará los principales conocimientos que han surgido en el trabajo realizado por niñas y niños.
Lo principal se encuentra expresado en las preguntas de la Ficha 6; por tal motivo se recomienda revisar dichas preguntas colectivamente y sistematizar:
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Momento de inicio
Como una forma de afianzar lo aprendido en la clase anterior y ponerlo en práctica, en la Ficha 7 “Anticipar la medida de los lados” que determinen la medida de los lados de pares de figuras donde una es la ampliación o reducción de la otra. En las instruccio-nes que dé a los niños(as) es importante enfatizar que la medida de los lados la deben obtener sin medir, es decir, calculando.
Las figuras se encuentran dibujadas con sus medidas reales con la intención de que los niños anticipen la medida de los lados que faltan, valiéndose de la relación multipli-cativa entre los lados de ambas figuras, y luego verifiquen si las medidas obtenidas por intermedio de un cálculo coinciden con las obtenidas a través de la medición.
En la resolución de cada ejercicio verifique que los niños identifiquen el número por el cual los lados de una figura se encuentran multiplicados o divididos para obtener los lados de la otra.
En el trabajo realizado es importante relevar la relación inversa entre la multiplica-ción y la división. Así, por ejemplo, si los lados de la figura A son el triple que los lados
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La ampliación de una figura, es una nueva figura cuyos lados tienen por medida, la medida de los lados de la figura original
multiplicados todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida. La reducción de una figura, es una nueva figura cuyos lados tienen por medida, la medida de los lados de la figura original
divididos todos por un mismo número. Además, ambas figuras tienen pares de ángulos de la misma medida.
En los triángulos, particularmente en los triángulos rectángulos, que son una ampliación o reducción de otro, se cumple que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambos triángulos los terceros lados son paralelos.
En rectángulos que son una ampliación o reducción de otro, se verifica que cuando se hacen coincidir uno de los ángulos de ambas figuras, la diagonal correspondiente al vértice del ángulo que se ha hecho coincidir, del rectángulo de menor tamaño queda sobrepuesta sobre la diagonal del otro rectángulo.
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de la figura B, los lados de la figura B son la tercera parte de los lados de la figura A. Dicho de otra manera, si un lado de la figura B se multiplica por 3, se obtiene uno de los lados de la figura A, y si este mismo lado se divide por 3, se obtiene el lado original de la figura B.
Momento de desarrollo
En esta parte de la clase se profundiza la noción de ampliación y reducción. Hasta el momento los niños han ampliado o reducido figuras con un predominio de ángulos rectos, lo cual en la práctica ha significado, enfatizar la relación multiplicativa entre los lados. Las actividades aquí propuestas les permitirá reconocer que no es suficiente que los lados de una figura se encuentren multiplicado o dividido por un mismo número para que conserve la forma.
Para introducir la actividad propuesta en la Ficha 8 “Ampliando parte de un ju-guete a escala” y Ficha 9 “reduciendo parte de un juguete a escala”, se sugiere contextualizar señalando que algunos autos o aviones de juguetes son construidos conservando la forma de los originales. Recuérdeles la ampliación del rectángulo reali-zada en la clase 1, señalando que cuando se amplió cada parte, se obtuvo el rectángulo ampliado, lo que equivale a reconocer que cuando una figura compuesta por varias partes, se amplía, también se amplía cada una de sus partes.
El auto dibujado en la Ficha 8, corresponde a una reducción de otro auto dibujado en la Ficha 8 A (esta ficha solo se encuentra en la unidad didáctica: material para el pro-fesor). Los niños tienen la tarea de seleccionar entre los paralelogramos aquel que calza exactamente en la puerta del auto ampliado en la Ficha 8 A.
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En la gestión de la actividad es importante:
Cautelar que la figura ampliada no se encuentre disponible para los niños, hasta el momento en que requieran verificar si su selección ha sido correcta.
Señalar que tienen solo una oportunidad para seleccionar una de las puertas y verificar si calza en el auto ampliado.
Que los niños trabajen en grupos pequeños para que todos participen en la elección de la figura.
Que los grupos tengan regla, hojas y tijera para medir los lados y verificar si los ángulos son iguales.
La actividad propuesta en la Ficha 9, es análoga a la actividad de la Ficha 8, en este sentido, es necesario conservar los mismos criterios para gestionar la actividad.
En ambas actividades los lados de los cuadriláteros tienen la misma medida, lo que seguramente desconcertará a algunos niños, puesto que hay más de una figura que cumple con tener la medida de los lados de la figura original multiplicado o dividido por un mismo número, sin embargo, tienen distinta forma.
En la Ficha 10, se estudian similitudes entre las figuras que se proponen, se debería generar un debate entre quienes opinen que una figura determinada es una reducción o no de otra, y quienes opinen lo contrario.
Es importante lograr que se produzca este tipo de debate, para que los alumnos(as) argumenten y así aparezcan los elementos geométricos que ellos perciben como deter-minantes para que una figura sea una ampliación o una reducción de otra. Sistematice que dos figuras que tienen la misma forma con tener ángulos de la misma medida.
Para seleccionar la puerta que calza en el auto ampliado o, el ala que calza en el avión reducido, los niños tendrán que verificar, en primer lugar, que los lados del cua-drilátero original se encuentran multiplicado o dividido por un mismo número, y luego podrán utilizar algunas de las dos opciones:
1. Comprobar que todos los ángulos de una figura coinciden con los ángulos de la otra figura cuando se superponen.
2. Utilizan el procedimiento “irradiar fijando un vértice” que consiste en:
Superponer adecuadamente la o las figuras, poniendo las de mayor tamaño abajo y haciendo coincidir un vértice y dos lados correspondientes.
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cuArtA clAse
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Trazar todas las rectas que pasan por el vértice común y por otro vértice, de una de las figuras. El vértice elegido es como un sol y las rectas son sus rayos (metáfora que explica el nombre del procedimiento).
Si todos los vértices quedan alineados respecto al vértice común, entonces las figuras tienen la misma forma. Por ejemplo, en la siguiente figura, el hexágono sombreado no es una reducción del otro, puesto que no todas las rectas formadas por el vértice fijado y los vértices del hexágono sombreado quedan alineadas con los vértices del hexágono grande.
Momento de cierre
En esta clase los niños han podido verificar que para que una figura sea la amplia-ción o reducción de otra figura, no basta fijarse en la medida de los lados o fijarse que tienen los mismos ángulos, sino que en ambos aspectos a la vez. Para ello, en el momen-to del cierre es importante sistematizar cuáles son las condiciones que debe cumplir una figura para que sea la ampliación o reducción de una figura dada. Se recomienda retomar los fundamentos centrales de la unidad vistos en el cierre de la clase anterior.
Momento de inicio
Con la intención de continuar profundizando el estudio de la ampliación y reduc-ción de polígonos, se propone a los niños seleccionar entre un conjunto de trapecios, Ficha 11 “¿Cuál de las figuras es una ampliación o una reducción?, aquellos que corresponden a una reducción o ampliación de una figura que se encuentra destacada.
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Se espera que en la identificación del o los trapecios que tienen la misma forma, los niños verifiquen que las figuras seleccionadas cumplen las dos condiciones que se estudiaron las clases anteriores. Para ello, tendrán que comprobar que los lados de un trapecio corresponden a los lados del trapecio original, multiplicados o divididos por un mismo número y, además, es posible comprobar que ambas figuras tienen pares de ángulos iguales. Al utilizar la técnica irradiar fijando un vértice cuando las diagonales trazadas desde el vértice común de dos o más cuadriláteros quedan sobrepuestas, tam-bién permite comprobar que las figuras tienen la misma forma.
Momento de desarrollo
En esta parte de la clase se propone a los alumnos un nuevo tipo de problema con-sistente en dibujar la reducción o ampliación de un triángulo o un cuadrilátero. Para resolverlos tendrán que ampliar los conocimientos aprendidos hasta el momento, así por ejemplo, el procedimiento irradiar fijando un vértice utilizado para verificar que un polígono tiene la misma forma que otro, puede ser utilizado para dibujar la ampliación o reducción de una figura.
Las actividades propuestas se contextualizan, al igual que en la clase anterior, en el tema de juguetes construidos a escala, es decir, juguetes que aumentan o reducen su tamaño manteniendo la forma del original.
En la primera actividad, Ficha 12 “reducir una lámpara”, los niños tendrán que dibujar la reducción de un cuadrilátero que corresponde a la pantalla de una lámpara. Para dibujar la figura, los niños podrán utilizar una hoja de papel cuadriculado, de ma-nera que las líneas le sirvan de referente para producir la figura. Una vez que la hayan dibujado, pedir que la recorten para que comprueben que calza en el dibujo de la Ficha 12 A.
El papel cuadriculado es un soporte que contribuirá a ubicar los vértices del cuadri-látero. El procedimiento que pueden utilizar los niños para reducir la figura, consiste en copiar el cuadrilátero en la hoja cuadriculada de manera que los lados paralelos coinci-dan con las líneas del cuadriculado. Calcular la medida de los lados de la figura reducida, dividiendo por dos los lados de la figura original. Tomar dichas medidas en los lados del cuadrilátero, de esta forma se determinan dos de los vértices de la figura reducida. El cuarto vértice se puede ubicar de dos formas. Una, trazando la línea paralela a la base del trapecio y midiendo la longitud del lado, que fue previamente calculado. Otra posi-bilidad, es trazar la diagonal a partir del vértice común y ubicar el punto medio. Como la medida de la diagonal puede ser una medida expresada en números decimales, se sugiere evitar trabajar sobre esta medida y en su lugar obtener el punto medio por un plegado del segmento.
En ambos casos, al unir los vértices se obtiene la figura reducida.
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De manera similar, en la Ficha 13 “Ampliando un juguete”, se propone otra activi-dad en que los niños tienen que dibujar una figura; en este caso, la ampliación de una parte de un dibujo, el cual debe calzar en una imagen ampliada del mismo juguete. Esta actividad es más compleja que la anterior, porque la figura original no se encuentra dibujada sobre papel cuadriculado y se les pide a los alumnos que dibujen un parale-logramo (parte de una cuna) ampliado, también sobre una hoja blanca, utilizando para ello regla y escuadra.
En ambas actividades los procedimientos para determinar la medida de los lados de las figuras son los mismos, ya que en las instrucciones se da a conocer que los lados de la figura corresponden a la mitad de la figura original en un caso, y en el otro corres-ponden al doble.
Para dibujar la figura ampliada, se puede utilizar la técnica irradiar fijando un vértice, previamente al cálculo de las medidas de las figuras.
Momento de cierre
En el cierre de esta clase es importante hacer preguntas a los niños que los lleven a expresar cuáles son las dos condiciones que tiene que cumplir una figura, para que sea una ampliación o reducción de otra.
La tarea matemática principal que se abordó en esta clase, correspondió a dibujar cuadriláteros ampliados o reducidos, en este sentido, es necesario sistematizar las técni-cas utilizadas, realizando al menos una ampliación o reducción de una figura, en la piza-rra o en un retroproyector. Para hacerlo en la pizarra se necesita disponer de escuadra y regla para pizarra y una figura de mayor tamaño para que la puedan ver claramente los niños desde sus asientos. Si se decide utilizar un retroproyector, se necesitan transpa-rencias y lápices para escribir en ellas.
Momento de inicio
En esta clase, se propone un trabajo de integración del trabajo matemático realiza-do en las clases anteriores, relativo a los diferentes tipos de problemas abordados.
En un primer momento, se propone a los niños una actividad similar a la realizada en la primera clase en la que tiene que ampliar una figura, a partir de ampliar cada una de las cuatro partes en que se encuentra fragmentada.
La actividad está propuesta en un momento del desarrollo de la Unidad, que puede contribuir a evaluar parte de los conocimientos adquiridos hasta el momento. Es así
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24
como podremos saber si los niños han descartado que sumar a los lados una misma cantidad permite obtener una figura ampliada, y si los procedimientos que utilizan para dibujar una figura ampliada son efectivos.
Tal cual se señaló en la actividad de la primera clase, es importante considerar al-gunos aspectos en la gestión de la actividad para que los niños pongan en juego sus conocimientos. Se necesita considerar que:
Cada grupo disponga de los siguientes materiales: una Ficha 14 “Ampliando el pez”, tijeras y hojas cuadriculadas de 1 centímetro (Material 1).
Los niños estén organizados en grupos de 4 niños y niñas, de manera que cada uno tenga que ampliar una figura.
Desde un punto de vista didáctico se necesita tener en cuenta los siguientes cri-terios:
No dar pistas acerca de cómo ampliar cada figura, sino que promover que cada uno busque sus propias estrategias.
Que sean los propios alumnos(as) los que evalúen el logro de la realización de la tarea, al comprobar si las partes coinciden y arman el pez ampliado.
Momento de desarrollo
En las actividades propuestas se busca que los niños pongan a prueba los conoci-mientos adquiridos en las clases anteriores. Es así como en las Fichas 15 y 16 los niños tendrán que resolver dos tipos de problemas. Por un lado, en la primera actividad debe-rán calcular la medida de los lados de dos cuadriláteros, sabiendo que uno es la amplia-ción del otro. Usted deberá preocuparse que los niños primero calculen la medida de los lados y luego validen sus resultados midiéndolos con una regla.
La otra actividad de la Ficha 15 y la propuesta en la ficha 16, ponen en juego lo aprendido por los niños para identificar entre un conjunto de figuras aquellas que tie-nen la misma forma que una original.
Finalmente, en la Ficha 17, tiene que dibujar la reducción de un paralelogramo y comparar si las características de la figura original, que son tener dos pares de lados paralelos y los lados opuestos de la misma medida, se conservan o no en la figura redu-cida.
Momento de cierre
En el cierre de esta clase se debe hacer una sistematización de los conocimientos utilizados para resolver cada uno de los problemas, enfatizando las dos condiciones que debe cumplir una figura para que sea la ampliación o reducción de otra y que las propie-dades de una figura se conservan, cuando esta se amplía o reduce.
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En la primera parte de la clase, se aplica la prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos comprendan lo que se les solicita, sin entregar información adicional a la planteada en los problemas.
En la segunda parte de la clase, se sugiere que el docente realice una corrección de la prueba en la pizarra, preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. Si hubo errores, averiguar por qué los cometieron.
Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la Unidad.
Incluimos, además de la prueba, una pauta de corrección, que permite organizar el trabajo del profesor en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.
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distinguen entre un conjunto de figuras aquellas que están deformadas. Amplían una figura descompuesta, ampliando cada una de sus partes.
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distinguen entre un conjunto de rectángulos aquellos que están deformados de las que no lo están. Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.
planes de clases
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Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.Calculan la medida de los lados de figuras sabiendo que son ampliación o reducción de otra.
t M
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planes de clases
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Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.dibujan la ampliación o reducción de triángulos y cuadriláteros.
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Activ
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ción
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30
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Comprueban si una figura es una ampliación o una reducción de una figura dada.dibujan la ampliación o reducción de triángulos y cuadriláteros.
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Activ
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ción
planes de clases
32
Nombre: Escuela:
Curso: Fecha: Puntaje:
Indicaciones para el profesor (a):Leer la prueba completa, pregunta por pregunta, señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional a la ya entregada en la pregunta.
1. Eltriánguloexteriordelaescuadra(figura1),esunaampliacióndeltriángulointerior.Sinmedir,completalasmedidasdelosladosquefaltan.
Nota
Prueba y PautaV
Prueba de la segunda unidad didácticamatemática • cuarto año básico
Explicacómocalculastelamedidadelosladosdesconocidos:
Respuesta
Figura 1: Escuadra
4cm 3cm
9cm
15cm
33
2. Reduceeltrapecioyescribelasmedidas. Los lados de la figurareducidadebenserlamitaddelosladosdeltrapeciooriginal.
Figura 2: Trapecio
3. Completalatablaenrelaciónalasfigurasdelapregunta2.
Figura original Figura reducida
Cuántosparesdeladosparalelostiene
Cuántosángulosrectostiene
Cuántosladosdelamismamedidatiene
Dibujaaquí.
34
4. Dibujaunaampliacióndelafigura3,demaneraqueunladoquemide2centímetrosdelargo,mida6centímetrosenlafiguraampliada.
5. anota la letra de la (s) figura (s) que son una ampliación o reducción del cuadrilátero som-breado.
Respuesta:
Figura 3
35
Recortalasfigurassiloestimasconveniente.
A
B
C
D
36
Evaluación de la unidad por el curso
Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Si al corregir la prueba con la pauta sugerida, encuentra algunas respuestas ambiguas de losniños, se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedanexplicarsusrespuestas.
Puntaje máximo 13
% total de logro del curso
Pregunta Tareas matemáticasCantidad de alumnos que
respondió bien%
de logro
1 Calculanlamedidadelosladosdedosfigurassabiendoqueeslaampliaciónoreduccióndelaotra.
2 Dibujanlareduccióndeuncuadriláterosinapoyodecuadriculado.
3Comparanunafiguraconsuampliaciónseñalandoqueconservalaspropiedadesdeparalelismo,perpendicularidadeigualdaddelados.
4 Dibujanlaampliacióndeuncuadriláteroconapoyodecuadriculado.
5 Identificanentreunconjuntodefigurasaquellasquesonunaampliaciónounareducción.
Pregunta Respuesta Puntos
1
Escribe12cmenelladocorrespondientea4cm 1
3Escribe5cmenelladocorrespondientea15cm 1
Enlarespuestaexplicaquedeterminóelnúmeroporelcualestánampliadoslosladosdeltriángulo,dividiendo9por3.tambiénseñalaqueparacalcularlamedidadelosotrosdivideomultiplicapor3.
1
2Indicaquelosladosdeltrapecioreducidomiden:5,2,4y5cm. 1
2Dibujaeltrapecioreducido. 1
3
Completalaprimerafilacon:tieneunpardeladosparalelos. 1
3Completalasegundafilacon:tienedosángulosrectos. 1
Completacon:tienedosladosdelamismamedida. 1
4 Dibujauntrapecioampliadoenquelosladosdelafiguraoriginalseencuentrantriplicados. 3 3
5 EscribelasletrasayC 2 2
37
• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:
• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:
esPacio Para la reflexión PersonalVI
38
glosarioVII
Dosladossonparaleloscuandoalcortarlosporunarectalosánguloscorrespondientestienenlamismamedida.
Lados paralelos :
Ladosperpendiculares : Sonladosqueseintersectanformandounángulorecto.
Consiste en aumentar el tamaño de una figura conser-vando su forma.todos los lados de la figura aumentanproporcionalmente y todos los ángulos conservan sumedida.
Ampliar una figura :
Reducir una figura :
Consiste en disminuir el tamaño de una figura conser-vandosuforma.todoslosladosdelafiguradisminuyenproporcionalmente y todos los ángulos conservan sumedida.
M (α) M (β)
β
α
=
fichas y materiales Para alumnas y alumnosVIII
41
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4° Básico
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Comparando resultados de
repartos equitativos y exhaustivos de
objetos fraccionales
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tica
Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM
Nivel de Educación Básica
División de Educación GeneralMinisterio de Educación
República de Chile
Autores:Universidad de Santiago
Joaquim Barbé F.Lorena Espinoza S.
Enrique González L.Fanny Waisman C.
Ministerio de Educación:Dinko Mitrovich G.
Colaboradores:Francisco Cerda B.
Grecia Gálvez P.
Asesores internacionales:Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia.
Revisión y Corrección de EstiloJosefina Muñoz V.
Coordinación EditorialClaudio Muñoz P.
Ilustraciones y Diseño:Miguel Angel Marfán
Elba Peña
Impresión:xxxxx.
Marzo 2006Registro de Propiedad Intelectual Nº xxxxx
Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Cuarto Año BásicoCuArtA uNIDAD DIDáCtICA
Matemática
• • Autores • •
Joaquim Barbé F. • Lorena Espinoza S. Enrique González L. • Dinko Mitrovich G. • Fanny Waisman C.
Comparando el resultado de repartos equitativos y exhaustivos de objetos
fraccionables
I Presentación 6
II Esquema 14
III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 16
IV Planes de clases 43
V Prueba y Pauta 50
VI Espacio para la reflexión personal 53
VII Glosario 54
VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 55
Índice
�
• Resuelven problemas de reparto equitativo, utilizando la división para anticipar el resultado del reparto y registrando el resto, cuando es distinto de cero.
• Utilizan fracciones para expresar el tamaño de una o varias partes iguales, respecto al tamaño del objeto que ha sido fraccionado.
• Realizan fraccionamientos concretos de papeles con forma rectangular, en 2, 3, 4, 6 y 8 partes iguales.
Aprendizajes previos
• Reconocen las fracciones como números que permiten cuantificar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables.
• Establecen relaciones de orden entre fracciones unitarias y entre fracciones de igual numerador o denominador.
• En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, pro-fundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos.
Aprendizajes esperados para la unidad
• Reconocen las fracciones como números que permiten obtener información que no es posible lograr a través de los números naturales (Aprendizaje esperado 3, primer semestre).
• Establecen relaciones de orden entre fracciones e identifican familias de fracciones que tienen igual valor (Aprendizaje esperado 2, segundo semestre).
• En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la for-mulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 10, segundo semestre).
Aprendizajes esperados del Programa
CuArto BásICo
cUARTA UnidAd didácTicAComparando el resultado de repartos equitativos y exhaustivos de objetos fraccionables
MATeMáTicA
�
1.
pResenTAciónI
E n la presente Unidad se aborda el problema matemático que consiste en deter-minar la cantidad que reciben los participantes de distintos repartos equitativos y exhaustivos de objetos fraccionables de un mismo tipo, y comparar dichas cantidades
para decidir quién recibe más. Interesa que niños y niñas se encuentren con la necesidad de utilizar los números fraccionarios para cuantificar el resultado de un reparto equita-tivo, cuando no es posible hacerlo con los números naturales. Para ello, en esta unidad se estudian problemas en que la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de participantes del reparto, por lo que queda un resto que los niños deberán igualmente repartir. Se propone que niños y niñas avancen desde la realización concre-ta de los repartos equitativos hacia la anticipación del resultado de los mismos, es decir, que puedan obtener el resultado sin realizar el reparto. En este caso, la realización del reparto sirve para comprobar el resultado planteado.
A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:
tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son:
Realizan un reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables de un mis-mo tipo y luego cuantifican la cantidad que recibe cada uno de los participantes del reparto.
Anticipan el resultado de repartos equitativos y exhaustivos de objetos fraccio-nables.
Comparan la cantidad que reciben los participantes de distintos repartos equi-tativos y exhaustivos de objetos fraccionables de un mismo tipo y establecen relaciones del tipo más que - menos que.
Comparan dos fracciones de igual numerador o denominador, una fracción con la unidad o una fracción con una cantidad fraccionaria expresada como un na-tural más una fracción.
Explican procedimientos para realizar y cuantificar la cantidad que recibe cada uno de los participantes de un reparto equitativo.
Elaboran problemas.
�
presentación
Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las ta-reas matemáticas que niñas y niños realizan son:
La forma de los objetos a repartir: rectangulares, cuadrados.
La relación entre la cantidad de objetos a repartir y la de participantes del repar-to: la cantidad de objetos a repartir es múltiplo de la cantidad de participantes del reparto, la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de participantes del reparto, la cantidad de objetos a repartir es menor que la can-tidad de participantes del reparto, la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes del reparto.
Relación entre las fracciones a comparar: fracciones de igual numerador, fraccio-nes de igual denominador.
Disponibilidad de material concreto: disponen de cuadrados de papel lustre que representan los objetos a repartir; no disponen de papel lustre.
Cantidad de partes iguales en las que se fraccionan los objetos: a lo largo de la unidad solo se trabajará con repartos que requieran fraccionar un objeto en 2, 3, 4, 6 y 8 partes, obteniendo con estas particiones medios, tercios, cuartos, sextos y octavos de una unidad.
Procedimientos
Los procedimientos que niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:
Para cuantificar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo:
• Fraccionan cada uno de los objetos o unidades (papel lustre) en 2, 3, 4, 6 u 8 partes iguales siguiendo algún procedimiento conocido por los alumnos. Luego distribuyen equitativamente las partes obtenidas y cuantifican la cantidad recibida por cada participante en relación a un objeto (unidad). Por ejemplo, para calcular cuánto chocolate recibe cada niño que partici-pa en un reparto equitativo y exhaustivo de 5 chocolates entre 4 niños, se fracciona cada chocolate en 4 partes iguales, por lo que cada parte es 1
4 de barra de chocolate. A cada niño le toca 1
4 de cada barra de chocolate. En total recibe 5 veces 1
4 , es decir, 54 de barra de chocolate.
• Determinan la cantidad de objetos enteros que le tocan a cada participante del reparto equitativo y exhaustivo, y luego fraccionan los restantes según técnica anterior. Para el ejemplo anterior, como 5 : 4 = 1 y queda todavía un
2.
3.
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presentación
chocolate por repartir, entonces a cada niño le toca una barra de chocolate y, la barra restante, se fracciona en 4 partes iguales tocándole a cada niño
14 de esta barra. En total cada niño recibe 1 + 1
4 de barra de chocolate.
Para expresar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo de a objetos entre b personas, identifican el resultado de la división a : b como la cantidad fraccionaria a
b . Por ejemplo, en el caso anterior los alumnos podrían deter-minar que a cada niño del reparto le tocan 5/4 de barra de chocolate, porque 5 : 4 = 5
4 .
Comparan fracciones unitarias relacionándolas con el tamaño de las partes reci-bidas (área) o bien con la cantidad de personas que participan en el reparto: “en dos repartos equitativos de una misma cantidad de objeto de un mismo tipo, les to-cará más donde hay menos participantes”. Es decir, si a < b entonces 1
a > 1b . Por
ejemplo, si se reparte equitativamente un chocolate entre 5 niños, y un choco-late del mismo tipo entre 9 niños, en el primer reparto cada niño recibe 1
5 de chocolate, mientras que en el segundo recibe 1
9 de chocolate. Los niños del primer reparto reciben más chocolate que los del segundo, puesto que en este grupo hay menos niños. Es claro que 5 < 9, pero 1
5 > 19 .
Comparan fracciones menores y mayores que 1, de igual denominador, por re-ferencia al orden de los números naturales (o por referencia a la comparación de números naturales). Por ejemplo: 7
3 > 53 porque 7 > 5, luego 7 veces 1
3 es mayor que 5 veces 1
3 .
Comparan fracciones menores y mayores que 1, de igual numerador, por refe-rencia al orden de las fracciones unitarias (o por referencia a la comparación de fracciones unitarias). Por ejemplo: 5
6 > 58 porque 1
6 es mayor que 18 enton-
ces 5 veces 16 es mayor que 5 veces 1
8 .
Para comparar dos cantidades expresadas como un natural más una fracción, primero se comparan los naturales y luego las fracciones, si es necesario, si-guiendo el mismo procedimiento anterior.
Para comparar fracciones con la unidad o con una cantidad expresada como un natural más una fracción, primero se expresan ambas cantidades en el mismo tipo de notación y luego se comparan de acuerdo a como se describe más arriba.
Fundamentos centrales
La fracción 1b es la cantidad que repetida b veces da como resultado la unidad.
En consecuencia, el resultado de dividir la unidad en b partes iguales es la can-tidad 1
b , esto es, 1 : b = 1b .
4.
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presentación
Ejemplo 1: Determina qué cantidad de un papel lustre representa el siguiente trozo.
Como se necesitan cuatro pedazos iguales al trozo para cubrir todo el papel lus-tre, entonces el trozo representa 1
4 del papel lustre.
Ejemplo 2: Si se reparte el papel lustre del ejemplo 1 en cuatro partes iguales, ¿qué fracción de papel lustre representa cada parte?
Dado que las partes son iguales, y entre las cuatro partes cubren el papel com-pleto, entonces cada parte corresponde a 1
4 del papel lustre, ya que cada parte repetida cuatro veces da la unidad.
Una fracción cuyo numerador es 1 se denomina fracción unitaria. Para ordenar fracciones unitarias, hay que tener en cuenta que, mientras mayor es la cantidad de partes en que se fracciona el objeto, más pequeñas son las partes obtenidas. En consecuencia, cuanto mayor sea el denominador de la fracción unitaria, me-nor es la cantidad que representa. Esto es:
Si a < b entonces 1a > 1
b Ejemplo: Compara las siguientes cantidades 1
6 y 14
Si se construye un trozo de tamaño 16 de unidad y otro de tamaño 1
4 de la misma unidad (fraccionando la unidad en 6 y 4 partes iguales respectivamente) y se comparan las áreas del 1
4 y del 16 de la unidad, se evidencia que 1
4 es mayor que 1
6 .
La fracción ab representa la cantidad resultante de sumar a veces la cantidad , es
decir,
Parte 1 Parte 2
Parte 3 Parte 4
16
14
Papel lustreTrozo
Trozo Trozo
Trozo
10
presentación
a veces a
b = a veces 1b = 1
b + 1b + ..... + 1
b = a • 1b
Ejemplo: Si se parte un chocolate en 3 partes iguales y me como dos de ellas, ¿qué parte del chocolate me he comido?
Me he comido dos trozos de 13 chocolate, o sea 2 veces 1
3 del chocolate, esto es 1
3 + 13 o sea 2
3 del chocolate, fracción que nombramos como dos tercios.
En un reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables, si la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de participantes en el reparto, la cantidad que recibe cada participante se expresa mediante un número fraccio-nario.
a : b da como resultado ab
Ejemplo: Cuatro hermanos se reparten equitativamente cinco barras de chocolate. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponde a cada hermano?
5 : 4 = 54 , de forma que a cada hermano le corresponde 5
4 de barra de cho-colate, o, lo que es lo mismo, 1 + 1
4 de barra.
Repartir equitativamente a objetos entre b personas es equivalente a repartir cada objeto en b partes iguales y dar un trozo de cada objeto a cada persona. Esto es,
a : b = a veces ( 1: b ) = a veces 1b = a
b
Ejemplo: Cuatro amigos se reparten equitativamente 3 barras de chocolate. ¿Cuánto chocolate recibe cada amigo?
Para resolver este problema, se puede repartir equitativamente cada barra de chocolate entre los 4 amigos (por separado). Sumando los trozos recibidos por cada amigo, podemos ver que cada uno recibe 3 trozos de tamaño 1
4 de barra de chocolate, esto es 3
4 de barra de chocolate.
13
13
Amigo 1 Amigo 2
Amigo 3 Amigo 4
Amigo 1 Amigo 2
Amigo 3 Amigo 4
Amigo 1 Amigo 2
Amigo 3 Amigo 4
Amigo 1 Amigo 2
Amigo 3 Amigo 4
11
presentación
La comparación de fracciones de igual numerador, que han sido obtenidas frac-cionando el tamaño de objetos de un mismo tipo en partes iguales, puede basar-se en la comparación de las fracciones unitarias correspondientes, de modo que:
si 1a < 1
b entonces ca < c
b
Ejemplo: Comparar las siguientes cantidades 34 y 3
8 3
4 > 38 porque 1
4 es mayor que 18 entonces 3 veces 1
4 es mayor que 3 veces 18 .
La comparación de fracciones de igual denominador, que han sido obtenidas fraccionando el tamaño de objetos de un mismo tipo en partes iguales, puede basarse en la comparación de los números naturales (de los numeradores corres-pondientes), de modo que:
si a < b ac < b
c
Ejemplo: Compara las siguientes cantidades 38 y 5
8
58 > 3
8 , porque 5 > 3, luego 5 veces 18 es mayor que 3 veces 1
8 .
En un reparto equitativo, la comparación de los datos permite anticipar si el resul-tado será mayor o menor que 1, de acuerdo a si la cantidad de objetos a repartir es mayor o menor que la cantidad de participantes en el reparto. En caso de que la cantidad de objetos a repartir sea menor que la cantidad de participantes del re-parto, entonces cada participante del reparto recibirá menos de 1 objeto. En caso de que la cantidad de objetos a repartir sea mayor que la cantidad de participan-tes del reparto, entonces cada participante del reparto recibirá más de 1 objeto.
Ejemplo: Tres compañeros se reparten equitativamente 4 barras de chocolate. ¿Cada uno recibe más o menos de una barra de chocolate? Como 4 : 3 = 1 y queda todavía un chocolate por repartir, cada compañero recibe más de un chocolate.
Descripción global del proceso
El proceso parte en la primera clase planteando a los alumnos problemas de reparto equitativo de un solo objeto fraccionable, en los cuales la técnica óptima de resolución consiste en fraccionar dicho objeto en tantas partes iguales como participantes del re-parto haya y dar uno de los trozos resultantes a cada uno. Aquí aparecerán fracciones del tipo 1
b , llamadas fracciones unitarias, que son menores que 1. Luego, niños y niñas resuelven problemas de comparación. Frente a dos repartos equitativos y exhaustivos de un mismo tipo de objeto (unidad) entre distinta cantidad de participantes, los niños deben determinar en cuál reparto los participantes reciben más chocolate. Se propone trabajar con papel lustre, de modo que los niños logren establecer una comparación entre el tamaño de las partes (área) y elaboren criterios para comparar fracciones unitarias.
En la segunda clase, el proceso avanza incorporando problemas de reparto equitativo de más de un objeto fraccionable, siendo la cantidad de participantes del reparto mayor que la cantidad de objetos a repartir. Aquí aparecerán fracciones que, al igual que las fracciones unitarias, también son menores que 1, pero en este caso, el numerador es
5.
12
presentación
distinto de 1. Para resolver este tipo de problemas se espera que aparezca la técnica de fraccionar cada uno de los objetos en tantas partes como participantes haya en el repar-to, y luego repartir todos los trozos resultantes entre dichos participantes. No obstante, pueden aparecer otros procedimientos para resolverlos; de ser así, interesa que los ni-ños reflexionen sobre la equivalencia entre ellos y que la puedan justificar apoyándose en la superposición de los trozos del reparto, esto es, mediante la comparación de áreas. A continuación, se propone a niños y niñas que resuelvan problemas de comparación en los que se pide determinar, frente a dos repartos equitativos y exhaustivos de una misma cantidad de objetos entre dos grupos con distinta cantidad de participantes, en cuál grupo los participantes reciben más chocolate. Al igual que en la clase anterior, se propone trabajar con papel lustre, de modo que los niños puedan establecer una com-paración entre el tamaño de las partes (área) y elaborar criterios para comparar fracciones menores que 1 (propias) de igual numerador.
En la tercera clase se incorporan problemas de reparto equitativo de más de un ob-jeto fraccionable, siendo la cantidad de participantes del reparto menor o mayor que la cantidad de objetos a repartir. Aparecen aquí fracciones mayores y menores que 1. En este caso se espera que surjan dos posibles técnicas: fraccionar cada uno de los obje-tos en tantas partes como participantes haya en el reparto, y luego repartir todos los trozos resultantes entre dichos participantes; o bien, determinar la cantidad entera de objetos a repartir que recibe cada participante y luego repartir los objetos sobrantes de acuerdo a como se explica en la técnica de la clase anterior. Posteriormente, niños y niñas resuelven problemas de comparación, en los que se pide determinar, frente a dos repartos equitativos y exhaustivos de distinta cantidad de objetos entre dos grupos de igual cantidad de participantes, en cual grupo los participantes reciben más chocolate. Al igual que en las clases anteriores, se propone trabajar con papel lustre, de modo que los niños puedan establecer una comparación entre el tamaño de las partes y elaborar criterios para comparar cantidades fraccionarias tales como: fracciones de igual deno-minador, una fracción con la unidad o una fracción con una cantidad expresada como un natural más una fracción.
En la cuarta clase niños y niñas progresan en el estudio resolviendo problemas de comparación. Se les pide determinar, frente a dos repartos equitativos y exhaustivos de una misma cantidad de objetos entre dos grupos de distinta cantidad de participantes, en cuál grupo los participantes reciben más chocolate. En esta clase, a diferencia de la clase 2, la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes en el reparto, por lo que las fracciones involucradas son mayores que 1. Como en las clases anteriores, se propone trabajar con papel lustre, de modo que se logre establecer una comparación entre el tamaño de las partes y elaborar criterios para comparar cantidades fraccionarias tales como: fracciones mayores que 1 de igual numerador, una fracción con la unidad o una fracción con una cantidad expresada como un natural más una fracción.
En la quinta clase se plantean actividades en que se utilizan los conocimientos adquiridos para resolver problemas en que se requiere cuantificar y comparar repartos equitativos y exhaustivos, utilizando fracciones.
13
presentación
En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y niña.
sugerencias para trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. El docente debe asegurarse que todos los niños:
Resuelven problemas de reparto equitativo mediante una división
Para ello se sugiere proponer a los alumnos problemas de reparto equitativo. Esto es, problemas en que los datos que se dan son: la cantidad de objetos para repartir (C) y la cantidad de personas (u otros seres) entre los cuales hay que hacer el reparto equitativo (N). Se espera que los alumnos puedan plantear la división C : N, resolverla y determinar que a cada participante del reparto le corresponde una cantidad de objetos correspon-diente al número obtenido como cuociente de esa división. Cuando el dividendo es múltiplo del divisor, el resto será cero y el cuociente, que en este caso será un número natural, expresará el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo. En cambio, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor, además de determinar el cuociente, los alumnos y alumnas deberán precisar otro número, correspondiente al resto. Este número será me-nor que el divisor, ya que si fuera mayor o igual, la división no estaría completa; habría que agregar más unidades al cuociente, hasta que el resto fuera menor que el divisor.
Fraccionan un objeto en partes iguales y cuantifican el tamaño de las partes mediante fracciones.
El profesor podrá pedir a los alumnos que, mediante dobleces, fraccionen un papel (unidad) en 2, 3, 4, 6 u 8 partes iguales, que reconozcan a qué fracción de la unidad co-rresponde cada parte y que, además, identifiquen y escriban el número fraccionario co-rrespondiente a dos o más de esas partes.
Las técnicas a las que niños y niñas pueden recurrir para realizar los fraccionamientos son:
• Para fraccionamientos en 2, 4 u 8 partes iguales, doblar el objeto sucesivamente por la mitad 1, 2 ó 3 veces, respectivamente. También es posible realizarlos me-diante el uso de una regla.
• Para fraccionamientos en 3 partes iguales, mediante ensayo y error; doblando en tres partes tentativas y ajustando posteriormente la medida o mediante el uso de una regla.
• Para fraccionamientos en 6 partes iguales, doblando por la mitad los tercios o mediante el uso de una regla.
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14
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III
En la presente unidad se aborda el problema matemático que consiste en determi-nar la cantidad de objetos que le corresponde a cada una de las partes que participan en un reparto equitativo, si se reparten exhaustivamente todos los objetos. Para que sea posible repartir en partes iguales una cierta cantidad de objetos de manera exhaustiva (se re-parten todos los objetos), aun cuando no sea múltiplo de la cantidad de partes en las que se vaya a repartir, los objetos a repartir deben ser fraccionables.
Se ha elegido el contexto de reparto equitativo, porque permite plantear situaciones problemáticas en que los números naturales no siempre permiten responder; en efecto, hay repartos en los que los números naturales no permiten cuantificar lo que recibe cada participante del reparto. Es aquí donde aparecen los números fraccionarios como la herramienta matemática que siempre permite dar respuesta. Además, el estudio de estos problemas permite relacionar las fracciones con los conocimientos que tienen los niños y niñas sobre la división de números naturales.
En este nivel, los alumnos deben saber resolver mediante divisiones, problemas en los que está involucrado un reparto equitativo. En particular, en aquellos casos en los que el dividendo no es múltiplo del divisor, encuentran un resultado que se expresa por dos números: el cuociente y el resto. Por ejemplo, frente al problema:
Problema 1: Si se reparten en partes iguales 5 chocolates entre 2 niños, ¿cuántos chocolates recibe cada niño?
Para resolverlo, los niños calculan: 5 : 2 = 2 1
Y dan como respuesta: “a cada niño le tocan 2 chocolates y queda 1 chocolate sin repartir”.
En la unidad, a este tipo de problema se le agregará la condición de repartir todos los chocolates. Es decir, los niños deberán construir un técnica que les permita repartir el chocolate que, hasta el momento, en problemas de reparto equitativo se dejaba sin repartir. Ya que los niños saben realizar fraccionamientos concretos de objetos fraccio-nables se espera aquí que reconozcan que pueden recurrir al fraccionamiento para
1�
orientaciones
encontrar respuesta al problema. Esto es, siguiendo con el ejemplo, que fraccionen el chocolate que todavía queda sin repartir, en dos partes iguales y que den a cada niño la misma cantidad de chocolate, repartiéndolo todo. Cada niño recibe 2 + 1
2 de barra de chocolate.
Uno de los problemas matemáticos que se aborda en esta unidad es cómo expresar el cuociente cuando se reparte todo el chocolate. Es aquí precisamente donde se necesita-rán las fracciones. Notemos que los chocolates son un tipo de objeto “fraccionable”.
Para que los niños lleguen a resolver este tipo de problemas, se propone comenzar por resolver problemas de reparto equitativo de un objeto y, progresivamente, ir au-mentando la cantidad de objetos que se deben repartir. Dado que los objetos que se reparten tienen forma rectangular o cuadrada y un grosor constante, como por ejemplo chocolates o turrones, se sugiere proponer a los alumnos que realicen los repartos utili-zando papel lustre. Ello facilita que realicen el fraccionamiento concreto de los objetos y comparen los distintos resultados obtenidos.
Desde el punto de vista de la enseñanza, la unidad se centra en que los niños y niñas:
Experimenten situaciones en las cuales los números naturales no son suficien-tes para expresar lo que recibe cada participante de un reparto equitativo y exhaustivo.
Resuelvan problemas de reparto equitativo de objetos fraccionables, con la con-dición que no debe sobrar nada. De esta forma se espera que se reconozcan las fracciones como números que permiten cuantificar partes de un entero.
Realicen un trabajo exploratorio para comparar los resultados de dos repartos equitativos de objetos del mismo tipo, que les permita llegar a conclusiones para comparar fracciones con igual numerador o igual denominador.
Relacionen el estudio de las fracciones con el estudio de la división de los núme-ros naturales, de modo que los alumnos reconozcan que las fracciones permi-ten expresar el resultado de una división en la que se reparte el resto.
A continuación aparecen descritas cada una de las clases de la unidad, detallando las tareas matemáticas que se realizan en cada clase y las actividades que se efectúan para ello; los conocimientos matemáticos que se ponen en juego al realizarlas; la inten-ción didáctica que se persigue en cada caso; y algunas orientaciones para la gestión del docente. La descripción de cada clase está organizada en función de sus tres momentos: de inicio, desarrollo y cierre. Algunos aspectos importantes para una buena gestión del proceso de enseñanza aprendizaje, y que son comunes a cualquier clase, son:
1�
orientaciones
Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s) clase(s) anterior(es);
Dejar espacio para que niñas y niños propongan y experimenten sus propios procedimientos;
Mantener un diálogo permanente con los alumnos, y propiciarlo entre ellos,
sobre el trabajo que se está realizando, sin imponer formas de resolución;
Permitir que se apropien íntegramente de los procedimientos estudiados;
Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza;
Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado.
Momento de inicio
En esta clase se propone que alumnos y alumnas resuelvan problemas de reparto equitativo y exhaustivo de un objeto fraccionable, ya sea porque se trata de repartir un objeto entre varias personas o bien, más de un objeto entre varias personas, pero que al realizar la división entera, queda un objeto por repartir.
La clase se inicia proponiendo a los niños que resuelvan dos o tres problemas de reparto equitativo de objetos fraccionables, donde la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de participantes en el reparto y en las que el resto que resulta al efectuar la división que los alumnos conocen, es 1.
Ejemplo 1: Se reparten 9 chocolates en partes iguales entre 4 personas. ¿Cuánto chocolate recibe cada persona?
En este caso, niños y niñas efectúan inicialmente la división 9 : 4 = 2 y queda un objeto sin repartir. La cuestión problemática que se plantea consiste justamente en re-partir ese chocolate entre las 4 personas. Apoyándose en un papel lustre, ellos pliegan el papel en 4 partes iguales y reparten uno de esos trozos a cada persona. Es claro que a cada persona le toca 1
4 de ese chocolate, y en total le corresponde 2 + 14 de barra
de chocolate.
Interesa que los alumnos tomen conciencia de que este tipo de repartos equitativos y exhaustivos pueden ser efectuados solo cuando los objetos son fraccionables y que,
pRiMeRA clAse
1�
orientaciones
en estos casos, la cantidad recibida por cada participante del reparto viene expresada mediante un número fraccionario. También se espera que los alumnos reconozcan que las fracciones permiten expresar el resultado de una división en la que se reparte el resto.
Momento de desarrollo
Los problemas que se proponen en esta parte del proceso, deben buscar poner a prueba los conocimientos que tienen niños y niñas, de manera de precisar posibles erro-res en el fraccionamiento y profundizar la noción de fracción. Este trabajo comienza con la Ficha 1. El tipo de problemas que se propone trabajar es como el siguiente:
Ejemplo 2: Si se reparte en partes iguales un chocolate entre 4 personas, ¿cuánto recibe cada una?
Inicialmente, niños y niñas disponen de material concreto para realizar el reparto; por ello se espera que resuelvan el problema haciendo físicamente el reparto y expre-sando lo que recibe cada persona mediante números fraccionarios. Más adelante, el profesor plantea nuevos problemas, para cuya resolución los alumnos no dispondrán de material concreto. Al no disponer de material para responder al problema, niños y niñas deberán anticipar el resultado y después comprobarlo efectuando el reparto.
Al repartir en partes iguales el papel lustre que simula chocolate, es factible que aparezca una variedad de formas de realizar el reparto en que las partes no tengan la misma forma, debido a que un objeto se puede fraccionar de distintas maneras. En esta unidad el fraccionamiento se propone como un recurso didáctico para controlar si los repartos estuvieron bien hechos e, incluso, para comparar partes. Para que este propó-sito se logre, es necesario restringir lo que se entienda por fraccionar equitativamente solo a aquellos casos en que las particiones que se realicen en un mismo objeto sean idénticas, es decir, que coincidan completamente si se superponen. Sin embargo, esto no significa limitar la variedad de formas de fraccionar que se puedan realizar en cada reparto equitativo. Por ejemplo, para fraccionar el chocolate en 4 partes, se puede ple-gar o cortar, al menos de las siguientes maneras:
Cada parte, según el fraccionamiento realizado, tiene una forma distinta:
20
orientaciones
Sin embargo, todas ellas corresponden igualmente a 14 de chocolate.
La reflexión por parte de alumnos y alumnas respecto a la equivalencia de los dis-tintos trozos resultantes de los diferentes fraccionamientos, se puede guiar mediante preguntas como: si les ofreciera uno de los trozos de chocolate resultantes (cuadrado, triángulo o rectángulo), ¿cuál de ellos les convendría? ¿En algún caso comerían más o menos chocolate? ¿Cómo podríamos justificarlo?
Por otro lado, esta igualdad puede ser comprobada por alumnos y alumnas median-te superposición. Por ejemplo, si corto el triángulo por la mitad, con los dos triángulos resultantes se puede formar un cuadrado, cuya igualdad con el primero se comprueba mediante superposición.
Lo mismo ocurre al cortar el rectángulo por la mitad.
Se sugiere que los problemas que se planteen supongan o impliquen usar fraccio-nes con denominador 2, 4 y 8, para facilitar el fraccionamiento por medio de plegados y poner el énfasis en la cuantificación de cada parte y en el significado del numerador y el denominador. Recomendamos que el profesor evalúe la conveniencia de plantear, en un comienzo, problemas que requieran fraccionar un objeto en 3 ó 6 partes, depen-diendo de la dificultad que hayan tenido los niños para realizar los fraccionamientos por 2, 4 u 8. Fraccionar en tres partes iguales se puede hacer plegando el papel, ajustando el tamaño de cada parte para que queden iguales; si se dobla por la mitad, se obtendrán 6 partes iguales.
Cuando niños y niñas realizan tareas de cuantificación y de comparación de fraccio-nes, es necesario que se refieran al objeto que ha sido fraccionado, porque el tamaño de una parte obtenida por fraccionamiento, depende del tamaño del objeto o “referente” que fue fraccionado para obtenerla: no mide lo mismo 1
2 de una pizza pequeña que 12 de una pizza grande.
El trabajo realizado en la primera parte de la clase debe ser debidamente registra-do, de modo que permita ser analizado. Por ello, para cada problema de reparto que se proponga, se sugiere que los niños peguen en el cuaderno el papel lustre que simula el objeto repartido y lo que recibe cada participante en el reparto, con su correspondiente interpretación.
21
orientaciones
Por ejemplo, si se han propuesto los problemas:
Si se reparte 1 turrón en partes iguales entre Martín y Gabriel, ¿cuánto recibe Gabriel?
Reparte en partes iguales 1 turrón entre 4 niños e indica cuánto recibe cada uno.
¿Cuánto recibe cada niño que participa en el reparto de un turrón en 8 partes iguales?
Luego de efectuados algunos problemas de manera concreta, el profesor plantea nuevos problemas del mismo tipo en los que les pide a alumnos y alumnas que:
Anticipen el resultado del reparto previo a realizarlo de manera concreta.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comprueben el resul-tado anticipado.
Escriban la división que corresponde y el resultado obtenido con el objetivo de que vayan detectando las regularidades existentes.
Los niños y niñas deberán ser capaces, finalmente, de anticipar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo, expresando lo recibido por cada participante en el re-parto por una fracción unitaria, reconociendo que para cualquier número n, 1 : n = 1
n (en palabras de los propios alumnos). Por ejemplo, si se reparte 1 chocolate entre 12 personas, cada una de ellas recibe 1 : 12 = 1
12 , que se lee un-doceavo de chocolate.
Si se reparte el turrón entre 2 niños, cada uno recibe 1
2 del turrón.
Esto es, 1 : 2 = 12
Si se reparte el turrón entre 8 niños, cada uno recibe 1
8 del turrón.
Esto es, 1 : 8 = 18
Si se reparte el turrón entre 4 niños, cada uno recibe 1
4 del turrón.
Esto es, 1 : 4 = 14
Forma y tamaño del turrón que se reparte en diferente cantidad de niños
22
orientaciones
A continuación, se propone que los niños resuelvan problemas en los que es ne-cesario comparar la cantidad recibida por los participantes de dos repartos equitativos distintos, pero de objetos del mismo tipo.
Ejemplo 3: Juan y dos amigos se reparten en partes iguales un “súper 8”. ¿Qué parte del súper 8 comió Juan? Verónica y tres amigas se reparten en partes iguales otro “súper 8”. ¿Qué parte del súper 8 se comió Verónica? ¿Quién comió menos súper 8, Juan o Verónica?
Frente al problema, pida que los niños:
Anticipen, sin realizar materialmente el reparto, quién creen que recibe menos, Juan o Verónica, escribiendo la fracción que cuantifica lo recibido por cada niño.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comparen el tamaño de los trozos recibidos.
Después de resolver algunos problemas y recurriendo a lo registrado hasta el mo-mento, pida que niños y niñas establezcan criterios para comparar fracciones que tengan 1 en el numerador. La idea es que resuelvan problemas de comparación, sin necesidad de hacer el reparto, (esto es anticipar). Por ejemplo, ante un problema como el siguiente:
Ejemplo 4: ¿Quién recibe más, Paula, que ha participado en el reparto de 1 chocolate entre 3 niñas o Marco, que ha recibido 1
4 del mismo tipo de chocolate?
Se espera que los niños lleguen a preguntarse: ¿qué es mayor 13 ó 1
4 ?, llegando a concluir que:
Una vez establecidos los criterios de comparación de fracciones unitarias, los alum-nos resuelvan la Ficha 2, en la que se ponen en juego los nuevos aprendizajes. Se reco-mienda que esta ficha sea revisada colectivamente.
Un tercio es mayor que un cuarto, porque 13 significa
que el chocolate se ha partido en 3 partes iguales, mientras que 1
4 significa que un chocolate del mismo tamaño se ha partido en 4 partes iguales. Por lo tanto, es mayor la parte resultante de partir en 3
que la de partir en 4 trozos iguales.
23
orientaciones
Momento de cierre
Se sugiere formular preguntas que permitan discutir la importancia de las fraccio-nes como números que permiten cuantificar información que no es posible cuantificar mediante los números naturales, como por ejemplo: ¿Es posible cuantificar (expresar) la cantidad que recibieron los participantes de los repartos realizados en clases, mediante el uso de un número natural? ¿Qué números fueron necesarios para cuantificar dichas cantidades? ¿Cómo interpretarían ustedes 1
5 ( 14 , 1
2 , etc. ) de barra de chocolate? Se espera llegar a establecer que cuando un objeto se fracciona en partes iguales, cada parte se puede cuantificar en relación al objeto fraccionado, mediante un número frac-cionario. Por ejemplo: si un cuadrado de papel lustre se fracciona en 4 partes iguales, una de esas partes es 1
4 del papel lustre.
A continuación, se recomienda recordar y describir los procedimientos que rea-lizaron niños y niñas para comparar fracciones unitarias, formulando preguntas del tipo: ¿Qué es mayor, 1
2 ó 14 ? ¿Por qué? Se espera que niñas y niños respondan con sus
palabras, que al repartir un mismo tipo de objeto entre distintas cantidades de perso-nas, podemos deducir que mientras más sean las personas, menor será el tamaño del pedazo que le tocará a cada persona. Interpretando las fracciones a partir del reparto equitativo, se puede inferir que 1
4 < 12 , porque el trozo resultante de repartir un ob-
jeto entre 4 personas es más pequeño que repartir el mismo objeto entre 2 personas.
Una fracción cuyo numerador es 1 se denominafracción unitaria. Al ordenar fracciones unitarias obtenidas
partiendo un mismo tipo de objetos en partes iguales, puede apreciarse que mientras mayor es la cantidad de partes en
que se fracciona el objeto, menor es la fracción que cuantifica la parte, puesto que corresponde a un pedazo más pequeño del
objeto.
La fracción 1b es la cantidad que repetida b veces da como resultado
la unidad. En consecuencia, el resultado de dividir la unidad en b partes iguales es la cantidad 1
b 1 : b = 1
b
En el reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables, si el número de objetos a repartir no es múltiplo del número de participantes en el reparto, la
cantidad que recibe cada participante se expresa por un número fraccionario.
24
segUndA clAse
orientaciones
Dicha cantidad se designa como un b-avo, salvo cuando b toma valores entre 1 y 10, y las potencias de 10 en cuyo caso reciben nombres distintos. A continuación se escriben los nombres de las fracciones unitarias desde el 1
2 hasta el 130 .
Momento de inicio
En esta clase se propone que alumnos y alumnas resuelvan problemas de reparto equitativo, donde la cantidad de objetos a repartir es mayor que 1, pero menor que la cantidad de partes en que se reparte.
Se sugiere comenzar la clase presentando a los alumnos problemas de compara-ción de cantidades, como los resueltos en la clase anterior.
Ejemplo 5: Andrés se comió 13 de negrita, mientras que Miriam se comió 1
5 de negrita. ¿Quién se comió un trozo más grande de negrita?
La comparación de fracciones unitarias es de gran importancia ya que en ella puede basarse la comparación de las fracciones de igual numerador.
Una vez resueltos un par de problemas como los de la clase anterior, es el momento de presentarle a los alumnos un nuevo desafío. Se trata de resolver un problema de re-parto equitativo y exhaustivo en el que la cantidad de objetos a repartir es mayor que 1, pero menor que la cantidad de participantes del reparto.
12 un medio13 un tercio14 un cuarto15 un quinto
16
un sexto17 un séptimo18 un octavo19 un noveno1
10 un décimo
111 un onceavo1
12 un doceavo1
13 un treceavo1
14 un catorceavo1
15 un quinceavo1
16 un dieciseisavo1
17 un diecisieteavo1
18 un dieciochoavo1
19 un diecinueveavo1
20 un veinteavo
121 un veintiunavo1
22 un veintidosavo1
23 un veintitresavo1
24 un veinticuatroavo1
25 un veinticinco1
26 un veintiseisavo1
27 un veintisieteavo1
28 un veintiochoavo1
29 un veintinueveavo1
30 un treintavo
2�
orientaciones
Ejemplo 6: Repartir en partes iguales 2 chocolates entre 3 personas. ¿Cuánto recibe cada una?
Los alumnos disponen de papel lustre para realizar dicho reparto de manera con-creta.
Momento de desarrollo
En esta situación puede que surja una variedad mayor de maneras de repartir que en la clase anterior, debido a que hay distintas estrategias de abordar el reparto. Algunas formas de realizar el reparto que pueden aparecer son:
Fraccionar cada objeto en 3 partes, obteniendo 6 veces 13 , que es posible
repartir equitativamente entre 3,
de manera que la cantidad que recibe cada uno es 23 de chocolate.
Fraccionar cada objeto en mitades, obteniendo 4 mitades que es posible repar-tir entre 3, dándole 1 a cada uno y la mitad que queda se reparte en tres partes iguales.
El trozo grande que recibe cada uno es la mitad de un chocolate, mientras que el trozo chico corresponde a 1
6 de chocolate, puesto que se necesitan seis trozos chicos para obtener un chocolate. De manera que la cantidad que recibe cada uno es 1
2 + 16
de chocolate.
En este punto es posible que surja la pregunta: ¿Cuánto es 12 + 1
6 de chocolate? Pregunta que es posible responder cubriendo dicha cantidad con trozos de 1
6 de cho-colate, tal y como muestra el dibujo.
13
13
12
16
2�
orientaciones
Dado que para cubrir 12 + 1
6 de chocolate se ocupan cuatro trozos de 16
de chocolate, entonces podemos afirmar que 12 + 1
6 de chocolate son 46 de
chocolate.
Independiente de la forma en que se realice el reparto, hay que insistir que las par-tes en que se fracciona cada objeto deben ser equivalentes en área.
A partir de los dos procedimientos anteriores, puede surgir la pregunta de si es po-sible demostrar que en ambos casos se obtiene la misma cantidad de chocolate. Si bien hay varias formas de desarrollar una demostración, en esta unidad proponemos trabajar en demostraciones que se desarrollen a través de la comparación de áreas, sin introducir las nociones de amplificación, simplificación y/o fracción equivalente. En ese sentido desarrollamos dos formas distintas de demostrar que el resultado de ambos procedi-mientos es el mismo.
¿Son iguales las siguientes cantidades?
La primera demostración consiste en partir el trozo chico por la mitad, tal y como muestra el dibujo y reubicar los trozos de forma de obtener una figura igual que la for-mada por los 2
3 .
Paso 1:
12
16
16
16
16
16
12
16
13
13
12
16
13
13
2�
orientaciones
Paso 2:
La segunda consiste en partir el trozo grande en tres trozos de tamaño 16 de cho-
colate cada uno y reubicar estos trozos de forma de obtener una figura igual a la forma-da por los 2
3 , tal y como muestra el dibujo.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Por las dificultades mostradas, se recomienda relevar la forma de repartir en la que se fracciona cada objeto en la cantidad de partes señaladas en el reparto. Por ejemplo, si se quiere saber cuánto queque recibe cada niño si se reparten 5 queques (con forma rectangular) entre 8 niños, se puede fraccionar cada queque en 8 partes equivalentes.
1 2
16
16
13
13
13
13
13
13
13
13
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
2�
orientaciones
Cada niño al que se le repartió queque, recibe 5 trozos como los indicados en negro, siendo cada uno de ellos 1
8 de un queque.
Esto es, cada niño recibe 58 de queque (5 veces 1
8 es igual a 58 ).
Luego de efectuados algunos problemas de manera concreta, el profesor plantea nuevos problemas del mismo tipo y pide a los alumnos que:
Anticipen el resultado del reparto previo a realizarlo de manera concreta.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comprueben el resul-tado anticipado.
Escriban la división que corresponde y el resultado obtenido, con el objetivo de que vayan detectando las regularidades existentes.
Niños y niñas deberán ser capaces, finalmente, de anticipar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo, expresando lo recibido por cada participante en el reparto por una fracción propia (menor que 1), reconociendo que para cualquier par de números a y b, a : b = a
b (en palabras de los propios alumnos). Por ejemplo, 5 : 9 = 59 .
Posteriormente, se propone que niños y niñas resuelvan problemas en los que es necesario comparar la cantidad recibida por cada participante en dos repartos equitati-vos distintos, pero de objetos del mismo tipo.
Ejemplo 7: La profesora entregó a cada grupo 5 barras de chocolate para que las re-partieran en partes iguales. El grupo de Manuel está formado por 6 niños y el grupo de Carolina está formado por 8 niños. ¿Cuánto chocolate comió Manuel? ¿Cuánto chocolate comió Carolina? ¿Quién comió más chocolate, Manuel o Carolina?
Frente al problema, pida a los niños y niñas que:
Expresen, utilizando fracciones, la cantidad recibida por cada persona partici-pante en ambos repartos equitativos.
En síntesis, si se reparten equitativa y exhaustivamente 5 objetos (fraccionables) entre 8 personas, la fracción 5
8 representa la cantidad de objetos recibida por cada participante, que corresponde a 5 veces 1
8 . Esto es, 5 : 8 = 58 .
2�
orientaciones
Anticipen quién creen que recibe más o menos, escribiendo la fracción que cuantifica lo recibido por cada niño.
Realicen los repartos equitativos y comparen el tamaño de cada parte, si es necesario.
Después de resolver algunos problemas, y recurriendo a los criterios establecidos en la primera clase para comparar fracciones unitarias, pida a los niños que establezcan criterios para comparar fracciones que tengan los numeradores iguales.
Operando de este modo es posible establecer que:
Parece una conclusión trivial, pero el desafío didáctico es lograr que los niños relacio-nen este razonamiento, tal vez habitual para ellos, con una comparación entre números que se opone a la lógica que han utilizado hasta ahora en la comparación de números naturales. En efecto, si Juan tiene 8 lápices y Sonia tiene 4, los alumnos no dudarán en afirmar que Juan tiene más lápices que Sonia, porque al fijarse en los números, podrán apreciar que: 8 > 4. Por otra parte, si Juan tiene 1
8 de una barra de chocolate y Sonia tiene 1
4 de la misma barra o de otra barra igual a ella, probablemente necesitarán com-parar el tamaño de los trozos de chocolate que tiene cada uno para concluir que Juan tiene menos que Sonia, lo que se escribe como: 1
8 < 14 . Esta desigualdad puede ser
difícil de establecer por los alumnos, puesto que el conocimiento de que 8 > 4 tiende a imponerse equivocadamente para afirmar que 1/8 también es mayor que 1
4 .
Se trata de que los alumnos lleguen a resolver problemas de comparación, sin nece-sidad de hacer el reparto. Por ejemplo, ante un problema propuesto como el siguiente:
¿Quién tiene más chocolate, Manuel que tiene 56 o Carolina que tiene 5
8 ?
Se espera que realicen la comparación interpretando las fracciones como:
5 veces 16 es lo que recibe Manuel y 5 veces 1
8 es lo que recibe Carolina, llegando a concluir que Manuel tiene más chocolate que Carolina, porque según lo aprendido en la primera clase: 1
6 es mayor que 18 entonces 5 veces 1
6 es mayor que 5 veces 18 . Por
lo tanto, 56 > 5
8 .
Cuando se reparten varios objetos, mientras más personas participen del reparto, más pequeñas serán
las partes iguales que cada una reciba. Esto es, mientras mayor es la cantidad de participantes de un reparto, menor es la fracción que cuantifica las partes que le corresponden a
cada uno de ellos, si se reparte equitativamente un conjunto de objetos: “Si en dos repartos equitativos hay igual cantidad de
chocolates, les toca más en donde hay menos niños”.
30
orientaciones
Una vez establecidos los criterios de comparación de fracciones menores que 1 con igual numerador, los alumnos resuelven las Fichas 3 y 4. En estas fichas se ponen en juego los nuevos aprendizajes y se recomienda que sea revisada colectivamente con los alumnos, aprovechando de reforzar sus nuevos conocimientos.
Momento de cierre
El cierre comienza recordando y describiendo los procedimientos que realizaron ni-ños y niñas para realizar los repartos. Se formulan preguntas del tipo: ¿Cómo realizarían de manera concreta el reparto de 2 papeles lustre entre 3 personas? (La idea es que lo describan) y en general: ¿Cómo se desarrolla el reparto cuando se reparte más de un objeto entre varias personas? Se espera que niñas y niños respondan, con sus palabras, que cuando se reparte más de un objeto entre varias personas, se fracciona cada objeto en la cantidad de participantes del reparto. Por ejemplo, si se reparten 2 pasteles entre 3 niños, cada pastel se fracciona en 3 partes dando a cada participante 1
3 de cada pas-tel. Entonces, cada participante recibe 1
3 + 13 es decir, 2 veces 1
3 de pastel, que se expresa por la fracción 2
3 .
Concluye el cierre recordando y describiendo los procedimientos que realizaron niños y niñas para comparar fracciones de igual numerador. Se formulan preguntas del tipo: ¿Qué fracción es mayor, 3
4 ó 38 ? ¿Por qué? Se espera llegar a establecer que la
comparación de fracciones de igual numerador puede basarse en la comparación de las fracciones unitarias correspondientes. Por ejemplo, si en un reparto equitativo Manuel recibió 3
4 de un chocolate y Daniela 38 del mismo tipo de chocolate, para saber
quién recibió más necesitamos comparar las fracciones 34 y 3
8 . Como entendemos que Manuel recibió 3 veces 1
4 y Daniela 3 veces 18 solo necesitamos comparar 1
4 con 1
8 , y como se sabe por lo aprendido en la clase anterior que 14 es mayor 1
8 , entonces 3 veces 1
4 también es mayor que 3 veces 18 . Finalmente, podemos concluir
que 34 > 3
8 . También es posible que surjan explicaciones del tipo: 34 es mayor que
38 , porque en ambos casos se repartió una misma cantidad de chocolates, pero en el
primer caso se repartió entre una menor cantidad de personas, por lo que a cada una le tocó una mayor cantidad.
La fracción ab representa la cantidad resultante de sumar
a veces la cantidad 1b . a
b = a veces 1
b .Repartir equitativamente a objetos entre b personas es
equivalente a repartir cada objeto en b partes iguales y dar un trozo de cada objeto a cada persona a : b = a veces (1 : b) = a veces 1
b = ab .
La comparación de fracciones de igual numerador, que han sido obtenidas fraccionando el tamaño de objetos de un mismo tipo en partes
iguales, puede basarse en la comparación de las fracciones unitarias correspondientes.
TeRceRA clAse
31
orientaciones
Momento de inicio
Se modifican los problemas de reparto equitativo en relación a los propuestos en las dos primeras clases, de manera tal que la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes del reparto.
Antes de proponer a los alumnos y alumnas problemas como los enunciados para esta clase, se propone plantear problemas de reparto equitativo en los cuales la canti-dad de objetos a repartir sí es múltiplo de la cantidad de participantes del reparto (divi-dendo múltiplo del divisor):
Ejemplo 8: Si se reparten 20 chocolates, en partes iguales, entre 4 personas, ¿cuánto chocolate recibe cada persona?
Solo una vez que los niños hayan recordado que la división les permite determinar la cantidad que recibe cada participante en un reparto equitativo, se sugiere comenzar a plantear problemas en los cuales la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de participantes del reparto y es mayor que éste.
Ejemplo 9: Si se reparten en partes iguales 13 turrones entre 5 niños, ¿cuánto choco-late recibe cada niño?
Una vez resuelta la problemática, niños y niñas contestan preguntas del tipo: ¿Cómo se puede expresar la cantidad de chocolate que recibe cada niño si se reparte todo el chocolate? ¿Podemos cuantificar con los números naturales lo que recibe cada persona? ¿Y con los números fraccionarios?
Momento de desarrollo
Los alumnos resuelven la Ficha 5, que aborda la misma problemática que el pro-blema planteado en el momento de inicio. Es importante tener presente que este tipo de problema puede ser resuelto, al menos, utilizando dos procedimientos distintos (lo que sugiere dos formas distintas de expresar el resultado). En el caso particular de la Ficha 5, las diferentes maneras de resolución van a surgir por las condiciones propias de cada uno de los problemas planteados: en el ejercicio 1, se tendrá que fraccionar cada chocolate en 3 partes para su repartición, lo que sugiere expresar la cantidad recibida por cada hermano como 3
2 de barra de chocolate; en el caso del ejercicio 2, se tendrá que partir por determinar la cantidad de chocolates enteros que recibe cada hermano, lo que sugiere expresar la cantidad recibida por cada uno como 1 + 1
2 .
TeRceRA clAse
32
orientaciones
A continuación vienen desarrolladas dos posibles formas de resolver los problemas de reparto equitativo y exhaustivo en los que la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes del reparto:
Ejemplo 10: Si se reparten en partes iguales 15 chocolates entre 4 niños, ¿cuánto cho-colate recibe cada niño?
Fraccionar cada chocolate en 4 partes, repartir los chocolates y determinar la cantidad que recibe cada persona. En este caso, cada persona recibe 15 veces
14 que corresponde a la fracción 15
4 . De aquí que podemos afirmar que 15 : 4 = 15
4
Determinar la cantidad de chocolates enteros que recibe cada persona a la que se le reparte chocolate, lo que significa realizar la división:
15 : 4 = 3 3
Con las fracciones, podemos cuantificar el reparto del resto de la división. Para ello, los 3 chocolates que quedan por repartir se fraccionan y reparten entre 4, esto es 3 : 4 = 3
4 . Entonces, cada persona recibe 3 + 34 de chocolate. De aquí que podemos
afirmar que 15 : 4 = 3 + 34
. Ante estas dos posibilidades de expresar lo que recibe cada persona, es necesario
abrir la discusión sobre la equivalencia de los resultados a los que se llegó por ambos procedimientos:
¿Es equivalente con 154 con 3 + 3
4 ?
Para justificar la equivalencia, es necesario que niños y niñas primero conozcan que:
12 + 1
2 = 22 = 1 1
3 + 13 + 1
3 = 33 = 1
16 + 1
6 + 16 + 1
6 + 16 + 1
6 = 66 = 1 1
4 + 14 + 1
4 + 14 = 4
4 = 1
No se trata de que los niños sumen las fracciones, sino que verifiquen con trozos de papel recortado o plegados que:
Con 2 trozos que corresponde a 12 del papel lustre, se puede
formar un papel lustre completo. 2 veces 12 es lo mismo que
22 , que es igual a 1.
33
orientaciones
Con 3 trozos que corresponde a 13 del papel lustre, es
posible formar un papel lustre completo. 3 veces 13 es
lo mismo que 33 , que es igual a 1.
Con 4 trozos que corresponde a 14 del papel lustre, se
puede formar un papel lustre completo. 4 veces 14 es
lo mismo que 44 , que es igual a 1.
De la misma manera, con 6 trozos de papel que correspondaa 1
6 del papel lustre, se puede formar uno completo.6 veces 1
6 es lo mismo que 66 , que es igual a 1.
Establecidas dichas relaciones, recién es posible comprobar la equivalencia entre las escrituras 15
4 y 3 + 34 . La fracción 15
4 según la hemos interpretado, significa 15 veces 14 de un chocolate como el siguiente:
Es decir:
4 trozos de 14 de chocolate, es equivalente a 1 chocolate entero.
Entonces, podemos decir que 154 de chocolate es equivalente a 3 chocolates
completos más 34 de otro chocolate o lo que es lo mismo, 15
4 de chocolate es equivalente a 3 + 3
4 chocolate.
Luego de efectuados algunos problemas más de manera concreta, el profesor(a) plantea nuevos problemas del mismo tipo en los que les pide a los alumnos que:
Determinen el resultado del reparto sin realizarlo de manera concreta.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comprueben el resul-tado dado.
34
Escriban la división que corresponde y el resultado obtenido, en sus dos po-sibles notaciones, con el objetivo de que vayan detectando las regularidades existentes.
Los niños y niñas deberán ser capaces, finalmente, de determinar el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo, reconociendo que existen dos formas posibles de realizar el reparto y, por tanto, de escribir el resultado. Estas dos maneras de expresar el resultado se reflejan en los siguientes ejemplos, en los que se expresa de diferente manera la cantidad de objetos que recibe cada uno de los 6 integrantes de un reparto de 20 objetos:
a) 26 : 6 = 206
b) 21 : 8 = 2 y 5 : 8 = 58 21 : 8 = 2 + 5
8 5
Luego se abordan dos tipos de problemas de comparación:
Primer tipo: Comparaciones en las que se comparan los resultados de dos repartos equitativos de distinta cantidad de objetos entre igual cantidad de personas. Se espera abordar problemas en los que la cantidad de objetos es mayor que la cantidad de per-sonas, así como también algunos problemas en los que la cantidad de objetos es menor que la cantidad de personas. Numéricamente, esto significa comparar fracciones con iguales denominadores, tanto mayores como menores que 1.
Ejemplo 11: Carolina y ocho amigos se reparten en partes iguales 7 barras de cho-colates. Patricia y ocho amigos se reparten en partes iguales 5 barras de chocolates. ¿Quién recibió más barras de chocolate, Carolina o Patricia?
Ejemplo 12: ¿Quién recibe más, Miguel, que ha participado en el reparto de 15 cho-colates entre 9 niños o María, que ha recibido 2 + 1
9 del mismo tipo de chocolate?
Frente a los problemas, el profesor pide que:
Expresen, utilizando fracciones, la cantidad recibida por cada persona partici-pante en ambos repartos equitativos.
Determinen, sin realizar materialmente el reparto, quién creen que recibe mas chocolate, escribiendo la fracción que cuantifica lo recibido por cada niño.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comparen el tamaño de los trozos recibidos.
Después de resolver uno o dos problemas y recurriendo a lo registrado en la pri-mera parte de la clase, el profesor pide que los niños y niñas establezcan criterios para comparar fracciones que tengan igual denominador.
orientaciones
3�
La idea es que resuelvan problemas de comparación, sin necesidad de hacer el repar-to (anticipar). Por ejemplo:
Ejemplo 13: ¿Quién recibe más, Pedro, que ha participado en el reparto de 11 cho-colates entre 5 niñas o Marco, que ha recibido 13
5 del mismo tipo de chocolate?
Las técnicas para comparar van a depender de la manera en que se exprese el resul-tado del reparto en el que participó Pedro. Si la cantidad recibida por Pedro se expresa como 11
5 , la forma de comparar las fracciones puede ser: 11 veces 15 es lo que recibe
Pedro y 13 veces 15 es lo que recibe Marco, y como 11 < 13, entonces 11 veces 1
5 es menor que 13 veces 1
5 . De esta forma se llega a concluir que Marco tiene más chocolate que Pedro.
También es posible que surjan explicaciones del tipo: 115 < 13
5 , porque en el segundo caso se repartieron más objetos entre la misma cantidad de personas que en el primer caso.
Si la cantidad recibida por Pedro se expresa como 2 + 15 , para hacer la comparación
de los repartos es necesario llevarlos a un mismo tipo de escritura. En este caso, se podría expresar los 11
5 de chocolates que recibe Marco como 2 + 35 de lo cual se puede
deducir que 2 + 15 < 2 + 3
5 , puesto que ambos reciben dos barras más una parte de una tercera barra, pero la fracción adicional recibida por Pedro es 1
5 mientras que la fracción adicional recibida por Marco es 3
5 siendo 15 < 3
5 . Luego, en este caso (dado que la cantidad entera es igual para los resultados de ambos repartos), la comparación se reduce a comparar la parte fraccionaria (fracción propia) de ambos resultados.
segundo tipo: Comparar si lo que recibe una persona que participa en un reparto equitativo es mayor, igual o menor que 1:
Ejemplo 14: Pedro tiene 53 de queque. ¿Pedro tiene más o menos de un queque?
Par responder esta pregunta es necesario comparar 53 con 1. Para ello hay, al me-
nos, tres alternativas:
a) Se compara numerador con denominador en la fracción de queque que tiene Pedro. Como el numerador es mayor que el denominador (esto es, la cantidad de queque repartida es mayor que la cantidad de participantes del reparto) en-tonces Pedro tiene más de un queque.
b) Expresar 1 como 33 y luego comparar con 5
3 . Como 3 veces 13 es menor
que 5 veces 13 , entonces 1 < 5
3 .
c) Interpretar 53 como 5 veces 1
3 , y como se sabe que 3 veces 13 es igual a un
queque, entonces 53 tiene 2
3 más que un queque.
En los tres casos se llega a la conclusión de que Pedro tiene más de un pastel.
orientaciones
3�
Ejemplo 15: Andrea recibe 45 de queque. ¿Andrea recibe más o menos de un
queque?
Para responder esta pregunta es necesario comparar 45 con 1. Para ello hay, al
menos, dos alternativas:
a) Se compara numerador con denominador en la fracción de queque que recibe Andrea. Como el numerador es menor que el denominador (esto es, la cantidad de queque repartida es menor que la cantidad de participantes del reparto) entonces Andrea recibe menos de un queque.
b) Expresar 1 como 55 y luego comparar con 4
5 . Como 5 veces 15 es mayor que
4 veces 15 , entonces 1 > 4
5 . Si se intenta interpretar 45 como un número
natural más una fracción, se verá que no alcanza a formarse un natural con la fracción 4
5 (pues una unidad es igual a 55 ), por tanto 4
5 es menor que 1.
En ambos casos se llega a la conclusión de que Andrea recibió menos de un pastel.
Previo al momento de cierre, los alumnos resuelven la Ficha 6, cuyo propósito es reforzar los nuevos aprendizajes. Al igual que en todas las fichas, se recomienda que sea revisada colectivamente con los alumnos.
Momento de cierre
El cierre comienza recordando y describiendo los procedimientos que realizaron niños y niñas para realizar los repartos, formulando preguntas del tipo: ¿De qué formas diferentes se puede efectuar el reparto de 15 chocolates entre 4 personas? ¿De qué maneras distintas podemos expresar el resultado? ¿Son equivalentes estas formas de expresar el resultado? ¿Por qué? ¿Toda fracción se puede expresar como un natural más otra fracción? ¿En que casos es posible utilizar dicha notación? Es de esperar que los alumnos expliquen con sus palabras que en los problemas de reparto equitativo y exhaustivo, donde la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de parti-cipantes, el reparto se puede hacer de dos formas (ver momento de desarrollo), lo que implica que la cantidad recibida por cada participante se puede expresar por dos escri-turas que son equivalentes: como un número fraccionario mayor que 1 o un número natural más un número fraccionario menor que 1.
Se cierra la clase recordando y describiendo los procedimientos que realizaron niños y niñas para comparar los resultados obtenidos en dos repartos equitativos entre dos grupos con igual cantidad de personas que se reparten una misma cantidad de objetos, con preguntas como: ¿Qué fracción es mayor, 3
5 ó 65 ( 2 + 2
3 ó 2 + 13 ,
4 + 34 ó 3 + 2
5 , 3 + 16 ó 9
4 )? ¿Por qué? ¿La fracción 23 ( 7
5 ) es mayor o menor que la unidad? ¿Por qué? Se procura llegar a establecer que el criterio para anticipar quién recibe más en dos repartos equitativos entre dos grupos con igual cantidad de personas que se reparten una misma cantidad de objetos, dependerá de la forma en que vengan expresadas dichas cantidades:
orientaciones
3�
Si ambos valores vienen expresados como una fracción (propia o impropia) para comparar fracciones de igual denominador, se comparan sus numerado-res (números naturales). Por ejemplo, si en un reparto equitativo Carlos recibió
54 de un chocolate y Carla 7
4 del mismo tipo de chocolate, para saber quién recibió más necesitamos comparar las fracciones 5
4 y 74 . Como entendemos
que Carlos recibió 5 veces 14 y Carla 7 veces 1
4 solo necesitamos comparar 5 con 7, y cómo 5 < 7, entonces 5 veces ¼ es menor que 7 veces 1
4 , o lo que es lo mismo 5
4 < 74 . También es posible que surjan explicaciones del tipo:
54 < 7
4 , por que en el segundo caso se repartieron más objetos entre la mis-ma cantidad de personas que en el primer caso.
En el caso de que ambos valores vengan expresados como un natural más una fracción propia, se comparan primero los naturales (siendo mayor aquel valor que tiene un natural mayor) y en caso de ser igual el natural, la comparación se reduce a comparar las fracciones propias correspondientes.
En el caso de necesitar comparar una cantidad expresada mediante una fracción impropia con otra cantidad expresada mediante un natural más una fracción propia, se deberán expresar ambas cantidades con la misma notación y poste-riormente compararlas con alguno de los métodos ya descritos, según corres-ponda.
Para comparar una fracción con la unidad, una técnica eficaz es comparar el numerador con el denominador de la fracción. Si el numerador es mayor que el denominador (esto es, la cantidad de objetos repartidos es mayor que la canti-dad de participantes del reparto), entonces la fracción es mayor que la unidad. Si el numerador es menor que el denominador (esto es, la cantidad de objetos repartidos es menor que la cantidad de participantes del reparto), entonces la fracción es menor que la unidad.
• La comparación de fracciones de igual denominador, que han sido obtenidas fraccionando
el tamaño de objetos de un mismo tipo en partes iguales, puede basarse en la comparación de números
naturales (comparación de los correspondientes numeradores).
• En un reparto equitativo, la comparación de los datos permite anticipar si el resultado será mayor o menor que 1, de acuerdo a si la cantidad de objetos a repartir es mayor o
menor que la cantidad de participantes en el reparto.
orientaciones
3�
Momento de inicio
Se retoman los problemas de reparto equitativo en los que la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes del reparto. Esta vez, con el propósito de abordar problemas de comparación en los que se comparan los resultados de dos repartos equitativos de una misma cantidad de objetos entre diferente cantidad de per-sonas, lo que numéricamente significa comparar fracciones con iguales numeradores, mayores que 1.
Ejemplo 16: ¿Quién recibe más turrón, Javier que recibe 134 de turrón o uno de 5 niños
que se reparten en partes iguales 13 turrones, iguales a los de Javier?
Momento de desarrollo
Las técnicas para comparar van a depender de la manera en que se exprese el resul-tado del reparto. Si la cantidad recibida en los repartos es 13
4 y 135 , respectivamente, la
forma de comparar las fracciones va a ser la misma que la que utilizamos para comparar fracciones menores que 1:
135 significa que un niño recibió 13 veces 1
5 de turrón, mientras que Javier recibió 13 veces 1
4 , entonces, para determinar quien recibe más turrón, basta comparar 14 con
15 . Por lo aprendido en la primera clase, sabemos que 1
4 > 15 , por lo tanto, 13
4 > 135 .
Si el resultado de uno de los repartos se expresa como un número natural más una fracción, para hacer la comparación de los repartos es necesario llevarlos a un mismo tipo de escritura. Así por ejemplo, si se determina que repartir equitativamente 13 turro-nes entre 5 niños corresponde a:
13 : 5 = 2 donde 3 : 2 = 32 , de donde, finalmente 3 : 5 = 2 + 3
2 3
esto es, cada niño recibe 2 + 35 turrones.
En tal caso, se puede expresar los 134 turrones que recibe Javier de la misma mane-
ra: 134 = 3 + 1
4 turrones.
De lo cual se puede deducir directamente que 2 + 35 < 3 + 1
4 , puesto que 2 < 3. En este caso, la comparación se reduce a comparar la parte entera de los resultados de cada reparto.
cUARTA clAse
orientaciones
3�
Frente a cada problema, el profesor pide a niños y niñas que:
Expresen, utilizando fracciones, la cantidad recibida por cada persona partici-pante en ambos repartos equitativos.
Determinen, sin realizar materialmente el reparto, quién creen que recibe más turrón, escribiendo la fracción que cuantifica lo recibido por cada niño.
Realicen los repartos utilizando láminas de papel lustre y comparen el tamaño de los trozos recibidos.
Ejemplo 17: Pedro recibió 3 + 25 barras chocolate y Andrés recibió 9
4 barras de chocolate. ¿Quién recibió más chocolate, Pedro o Andrés?
Para responder a esta pregunta es necesario interpretar 9
4 como 9 veces 14 . Como
se sabe que 4 veces 14 equivale a 1, entonces 9
4 es equivalente a 2 + 14 de chocolate.
Luego, Pedro recibió más chocolate, ya que recibió más de 3 chocolates.
También se aprovecha de continuar con el trabajo de comparar si lo que recibe una persona que participa en un reparto equitativo es mayor, igual o menor que 1:
Ejemplo 18: A Gabriel le regalan 85 de pastel. ¿Gabriel recibe más o menos de un
pastel?
Par responder esta pregunta es necesario comparar 85 con 1. Para ello hay, al me-
nos dos alternativas:
a) Se compara numerador con denominador en la fracción de pastel que recibe Gabriel. Como el numerador es mayor que el denominador (esto es, la cantidad de pastel repartida es mayor que la cantidad de participantes del reparto) en-tonces Gabriel recibe más de un pastel.
b) Expresar 1 como 55 y luego comparar con 8
5 . Como 5 veces 15 es menor que
8 veces 15 , entonces 1 < 8
5 .
c) Interpretar 85 como 8 veces 1
5 , y como se sabe que 5 veces 15 es igual a un
pastel, entonces 85 tiene 3
5 más que un pastel.
En los tres casos se llega a la conclusión de que a Gabriel le regalaron más de un pastel.
Previo al momento de cierre, los alumnos resuelven la Ficha 7, en la que se ponen en juego los nuevos aprendizajes. Se recomienda que sea revisada colectivamente con los alumnos aprovechando de reforzar sus nuevos conocimientos.
orientaciones
40
Momento de cierre
Se cierra la clase recordando y describiendo los procedimientos que realizaron ni-ños y niñas para comparar los resultados obtenidos en dos repartos equitativos de una misma cantidad de objetos entre dos grupos con distinta cantidad de personas, donde la cantidad de objetos a repartir es mayor que la cantidad de participantes del reparto. Para esto se propone realizar preguntas como: ¿Qué fracción es mayor, 7
5 ó 73 (2 + 2
3 ó 3 + 2
5 , 4 + 34 ó 4 + 3
5 , 3 + 34 ó 9
4 )? ¿Por qué? Se procura llegar a establecer que el criterio para anticipar quién recibe más en dos repartos equitativos como los descritos, dependerá de la forma en que vengan expresadas dichas cantidades:
Si ambos valores vienen expresados como una fracción impropia, la compara-ción de fracciones de igual numerador puede basarse en la comparación de las fraccio-nes unitarias correspondientes. Por ejemplo, si en un reparto equitativo Carlos recibió
54 de un chocolate y Carla 5
3 del mismo tipo de chocolate, para saber quién recibió más necesitamos comparar las fracciones 5
4 y 53 . Como entendemos que Carlos reci-
bió 5 veces 14 y Carla 5 veces 1
3 , solo necesitamos comparar 14 con 1
3 , y por lo apren-dido en la clase anterior sabemos que ¼ es menor que 1
3 , entonces 5 veces 14 también
es menor que 5 veces 13 , o lo que es lo mismo 5
4 < 53 . También es posible que surjan
explicaciones del tipo: 54 < 5
3 , porque en el primer caso se repartió la misma cantidad de objetos que en el segundo caso, pero entre una mayor cantidad de personas.
En el caso de que ambos valores vengan expresados como un natural más una fracción propia, se comparan primero los naturales (siendo mayor aquel valor que tiene un natural mayor) y en caso de ser igual el natural, la comparación se reduce a comparar las fracciones propias correspondientes.
En el caso de necesitar comparar una cantidad expresada mediante una fracción impropia con otra cantidad expresada mediante un natural más una fracción propia, se deberán expresar ambas cantidades con la misma notación y posteriormente compa-rarlas con alguno de los métodos ya descritos, según corresponda.
• La comparación de fracciones de igual numerador, que han sido obtenidas fraccionando el tamaño de objetos
de un mismo tipo en partes iguales, puede basarse en la comparación de las fracciones unitarias correspondientes.
• En un reparto equitativo, la comparación de los datos permite anticipar si el resultado será mayor o menor que 1,
de acuerdo a si la cantidad de objetos a repartir es mayor o menor que la cantidad de participantes en el reparto.
qUinTA clAse
orientaciones
41
Momento de inicio
En esta clase se espera integrar el trabajo realizado en las cuatro clases anteriores, revisando los criterios para comparar lo que reciben las personas que participan en re-partos equitativos distintos, tanto para el caso en que se reparte una misma cantidad de objetos entre una cantidad distinta de personas, como para el caso en que se reparte una cantidad distinta de objetos entre una misma cantidad de personas.
Se sugiere comenzar esta clase comparando los problemas planteados en las tres primeras clases. La idea es que los niños puedan ir caracterizando la relación entre la cantidad de objetos a repartir equitativamente, la cantidad de partes en que se reparte y los procedimientos que utilizan para determinar cuánto recibe cada persona que par-ticipa en el reparto, sin necesidad de realizarlo concretamente.
Ejemplo 19: Pedir que resuelvan problemas como los que se proponen a con-tinuación:
Si se reparte equitativamente un chocolate entre 4 personas, ¿cuánto recibe cada una?
Si se reparten 3 chocolates entre 4 personas, ¿cuánto recibe cada una?
Si se reparten 7 chocolates entre 4 personas, ¿cuánto recibe cada una? Se espera que determinen que en el primer problema cada niño recibe 1
4 ; en el segundo, cada niño recibe 3 veces 1
4 , es decir, 34 y en el tercero, cada niño recibe
7 veces 14 , esto es, 7
4 .
Momento de desarrollo
A continuación, se sugiere proponer a los alumnos problemas como los resueltos en las clases anteriores, de manera combinada.
Ejemplo 20: A Alberto le regalaron 54 de pastel. ¿Alberto recibió más o menos que un
pastel?
A Claudia le regalaron 23 del mismo tipo de pastel que Alberto. ¿Claudia
recibió más o menos que un pastel?
¿A quién le regalaron más pastel, a Claudia o Alberto?
qUinTA clAse
orientaciones
42
Finalmente, los alumnos resuelven la Ficha 8, en la que también se ponen en juego todos los aprendizajes esperados de la unidad. Durante su revisión es importante apro-vechar de reforzar los conocimientos nuevos de los alumnos.
Momento de cierre
Durante el cierre de esta clase se recomienda repasar los fundamentos centrales de la unidad, que han ido surgiendo durante las distintas clases.
En la primera parte de la clase se aplica la prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a los profesores(as) que lean la pregunta 1 y se cercioren de que todos comprendan lo que se les solicita, sin entregar información adicional a la planteada en el problema. Espera que todos los niños y niñas respondan. Continuar con la lectura de la pregunta 2 y proseguir de la misma forma, hasta llegar a la última pregunta. Una vez que los estudiantes responden esta última pregunta, retirar la prueba a todos.
En la segunda parte de la clase, se sugiere que el profesor realice una corrección de la prueba en la pizarra, preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. Si hubo errores, averiguar por qué los cometieron.
Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores.
Incluimos, además de la prueba, una pauta de corrección, que permite organizar el trabajo del profesor en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.
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• Comparan fracciones menores que la unidad de igual numerador
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*• Cuantifican el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables.
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• Cuantifican el resultado de un reparto equitativo y exhaustivo de objetos fraccionables. • Comparan cantidades fraccionarias.
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Nombre: Escuela:
Curso: Fecha: Puntaje:
Indicaciones para el profesor (a):Leer la prueba completa, pregunta por pregunta, señale los espacios en que se debe responder cui-dando de no dar información adicional a la ya entregada en la pregunta.
1. a)Partelabarradeturrónen4partesigualesymarcaunodelostrozosobtenidos.
Nota
Prueba y PautaV
Prueba de la Cuarta unidad didáCtiCamatemátiCa • CuartO añO básiCO
SiJuliarecibeuntrozodelprimerrepartoyandrearecibeuntrozodelsegundoreparto.
turrón
Parteestaotrabarradeturrón,igualquelaanterior,en8partesigualesymarcaunodelostrozosobtenidos.
turrón
b) andrearecibió delturrón.
c) Juliarecibió delturrón.
d) ¿Quiénrecibiómásturrón
51
2. Laprofesorade4°Básicoformadosgruposyleregalaacadagrupodosqueques.
a) EnelgrupodeCarmenson4niñasyserepartenlosdosquequesenpartesiguales.
4.
5. Completalassiguientescantidadesfraccionarias,encerrandoenuncírculolamayorencadarecuadro.
Carmenrecibió dequeque.
b) EnelgrupodeMarcosson6niñasyserepartenlosdosquequesenpartesiguales.
Marcosrecibió dequeque.
c) ¿Quiénrecibemásqueque,MarcosoCarmen?
3. Serepartendiferentescantidadesdebarradechocolates,indicadasenlaprimeracolumnadelatabla,entre8 niños.
Completa la tabla:
Cantidad de chocolates¿A cada niño le toca
más de un chocolate?Sí - No
¿Cuánto chocolate le toca a cada niño?
3
11
¿Quiénrecibiómásturrón?
Mónica Ramón
a) 73
73
c) 165
353+
b) 54
74
d) 254+2
34+
Recibí 38
de un turrónequitativamente 5 turrones
Entre 8 amigos nos repartimos
del mismo tipo
52
Evaluación de la unidad por el curso
Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Sialcorregirlapruebaconlapautasugerida,encuentraalgunasrespuestasambiguasdelosniños,sesugierequelosentrevistesolicitandoquefrentealapreguntaencuestiónpuedanexplicarsusrespuestas.
Puntaje máximo 24
Pregunta Tareas matemáticasCantidad de alumnos que
respondió bienPorcentaje
de logro
1a Realizafraccionamientosdefigurasrectangulares,anivelgráfico1b Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionables.1c Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionables.1d Comparanfraccionesunitarias.2a Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionables.2b Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionables.2c Comparanfraccionesdeigualnumeradormenoresque1.
3a Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionablesycomparanfraccionesconlaunidad.
3b Cuantificanelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionablesycomparanfraccionesconlaunidad.
4 Comparanfraccionesdeigualdenominador.5a Comparanfraccionesdeigualnumeradormayoresque1.5b Comparanfraccionesdeigualdenominador.5c Comparanfraccionesdeigualdenominador.5d Comparanfraccionesdeigualnumeradormenoresque1.
Pregunta Respuestas Puntos
1
a) Dibujo 1: PintaloquerecibeJuliacoloreandountrozodeturrónrectangularotriangularocualquierfiguraconáreaequivalentea¼delturróndibujado.
Dibujo 2:Pintaloquerecibeandreacoloreandountrozodeturrónrectangularotriangularocualquierfiguraconáreaequivalentea¼delturróndibujado.
1puntoporcada
figuradibujada
b) Escribelafracción1/4 1puntoc) Escribelafracción1/8 1puntod) Escribeandrea 1punto
2a) Escribe½dequequeomedioquequeocualquierotraescrituraequivalentea1/2. 1puntob) Escribe1/6dequequeocualquierotraescrituraequivalentea1/6 1puntoc) EscribeCarmen 1punto
3a) Enlaprimerafiladelatablaescribeenlascolumnasrespectivas:Noy3/8 2puntosb) Enlasegundafiladelatablaescribeenlascolumnasrespectivas:Síy11/8ocualquier
escrituraequivalente,comoporejemplo:1chocolatemás3/8. 2puntos
4 EscribeRamón 2puntos
5
a)Encierraenuncírculolafracción7/3 1puntob)Encierraenuncírculolafracción7/4 1puntoc)Encierraenuncírculolacantidad3+3/5 1puntod)Encierraenuncírculolacantidad4+2/3 1punto
% total de logro del curso
53
• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:
• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:
esPaCiO Para la reflexión PersOnalVI
54
GlOsariOVII
Resultadodeunamediciónocálculo,que representaelnúmerode veces que está contenida la unidad de medida en el objetomedido.
Cantidad :
Cantidad fraccionaria :
Cantidadenlaquelaunidaddemedidanoestácontenidaunnú-meroenterodeveces.
Expresarnuméricamenteunamagnitud.Cuantificar:
Contar : Cuantificarlacantidaddeobjetosdeunacolección.
Cuantificarlacantidaddemagnituddeunatributodeunobjeto.Medir :
Fracción unitaria :
Fracción :
Enestaunidadentenderemosporfracciónaunnúmeroqueper-mitecuantificarelresultadodeunrepartoequitativoyexhaustivodeobjetosfraccionables.Estosnúmerossonimprescindiblescuan-dohayquecuantificarpartesquenosonmúltiplosdelaunidad.
Fraccióncuyonumeradoresiguala1.
Fracción propia :Estodafracciónmenorque1( a
b <1).Esimportantedestacarque,en toda fracción propia el numerador es menor que el denomi-nador.
Fracciónimpropia :
todafracciónmayorque1( ab >1).Esimportantedestacarque,
entodafracciónimpropia,elnumeradoresmayorqueeldenomi-nador.
Repartoequitativo :
Repartoenelcualcadaunodelosintegrantesdelrepartorecibelamismacantidad.
Repartoexhaustivo :
Repartoenelcualnosobranada,esdecir,elobjetoarepartirsedistribuyeensutotalidad.
Objetofraccionable :
todoaquelobjetoquealserfraccionadonopierdesunaturaleza.Porejemplo,unapelotanoesfraccionable,porquesilafracciono,laspartespierdenlanaturalezaoriginaldejandodeserpelota.Encambiounchocolatesíesfraccionable,yaquealfragmentarlolaspartessiguensiendochocolate.
fiChas y materiales Para alumnas y alumnOsVIII
57
Cuarta UnidadClase 1Ficha 1 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Javierarecibió
deunpapellustre
1.Reparteequitativamenteunpapellustreentre2niños:JavierayGabriel.PegaaquíeltrozoquerecibióJaviera.
Juanrecibió
deunpapellustre
2.Reparteequitativamenteunpapellustreentre4niños:Daniela,Jorge,EduardoyJuan.PegaeltrozoquerecibióJuan.
Soniarecibió
deunpapellustre
3.Reparteequitativamenteunpapellustreentre8niños:Samuel,Eliana,Raúl,Vivi,Sonia,Juan,anayMaría.PegaeltrozoquerecibióSonia.
58
Cuarta UnidadClase 1Ficha 2 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.
¿Quiénrecibiómás“súper8”?
Mauricio
Álvaro
¿Porqué?
2.
¿Quiénrecibiómásqueque?
Claudio Javiera
¿Porqué?
3.
¿Quiénrecibiómáspapellustre?
Matías Bastián
¿Porqué?
Entre 4 amigosnos repartimosun “súper 8”
Entre 2 amigosnos repartimosun “súper 8”
Entre 6 amigosnos repartimosequitativamente
Yo recibí 15
del mismo tipode quequeun queque
Recibí 12
de
un papel lustreRecibí 1
3 de
un papel lustre
59
Cuarta UnidadClase 2Ficha 3 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.aungrupode8niñosleregalarontresbarrasdechocolates.aotrogrupode4niñasleregalarontresbarrasdechocolatedelmismotamaño.
Losniñosrecibieronestastresbarras: Lasniñasrecibieronestastresbarras:
Serepartieronlastresbarrasdechocolateenpartesiguales.
Serepartieronlastresbarrasdechocolateenpartesiguales.
Cadaniñorecibió debarradechocolate.
Cadaunorecibióunpedazocomoeste:
¿Quiénrecibiómáschocolate,unniñoounaniña?
Cadaniñorecibió debarradechocolate.
2.Laprofesorade4°Básicoentregóderegaloacadagrupodelcurso,2barrasdechocolateparaqueselasrepartieranenpartesiguales.Lasbarrasqueentrególaprofesorasonlossiguientes:
ElgrupodeCarolinaestáformadopor6amigas.
Escribeconnúmeroslacantidaddebarradechocolatequerecibiócadaniño
¿Quiénrecibiómáschocolate,ManueloCarolina?
Cadaniñorecibió debarradechocolate.
ElgrupodeManuelestáformadopor3amigos.Cadaintegrantedelgruporecibióunpedazo
comoeste.
60
Cuarta UnidadClase 2Ficha 4 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.Francorecibió 2
5dequeque.
Mónica y sus dos amigas se repartieron en partes iguales 2 queques delmismotipoqueeldeFranco.
¿Quiénrecibiómásqueque,FrancooMónica?
Explicacómosupistequiénrecibiómásqueque.
2.Luisrecibió 3
8debarradechocolate.
aBeatrizledieron 35 debarradechocolate,delmismotipo.
¿Quiénrecibiómáschocolate,LuisoBeatriz?
Explicacómosupistequiénrecibiómáschocolate.
61
Cuarta UnidadClase 3Ficha 5 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.Dos hermanosrecibenderegalo3 barrasdechocolatedelmismotamaño,perodedistintossabores(naranja,frutillaymanjar).Serepartieronloschocolatesdemaneraqueacadaunoletocólamismacantidaddecadaunodelossabores.
¿Cómohicieronlarepartición?:
¿Cuántasbarrasdechocolaterecibiócada unodeellos?(Sinimportarelsabor):
2.Losmismosdos hermanosrecibenlasemanasiguiente3 barrasdechocolatedelmismotamañoquelavezanterior,peroestavezlostreschocolateserandelmismosabor.Serepartieronequitativamenteloschocolates,tratandodepartirloslomenosposible.
¿Cómofuelarepartición?:
¿Cuántoslestocóacadaunodeellos?:
3.Comparalascantidadesdechocolatequecadahermanorecibiólaprimerasemanaconloquerecibiólasegundasemana.
62
Cuarta UnidadClase 3Ficha 6 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.Efectuardistintostiposdedoblecesenlospapeleslustreycortarcadahojaen4partesiguales,comosemuestraacontinuación:
Materiales:• 3 hojas cuadradas de papel lustre.
Cadaunadeestashojasrepresentará1 unidad.
Conlaspiezasrecortadas,seformaronalgunasfigurasyseanotólamedidadecadaunadeellas:
24 delaunidad 3
4 delaunidad 44 delaunidad
63
Cuarta UnidadClase 3
Ficha 6continuación Cuarto Básico
Nombre:Curso:
2.a continuación se presentan varias figuras construidas con las piezas de papel lustre obtenidasanteriormente.
Sepideescribirloquemidecadafigura,enelrecuadrocorrespondiente.
24
¿Cuáldelasfigurasmidemenos?
¿Cuáldelasfigurasmidemás?
¿Cuálesdelasfigurasmidenmásdeunaunidad?
¿Cuálesdelasfigurasmidenmenosdeunaunidad?
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
64
Cuarta UnidadClase 3
Ficha 6continuación Cuarto Básico
Nombre:Curso:
3.Construirconlaspiezasrecortadas,figurasquemidan1 unidad,yluegohacerundibujodeellasenelcuadriculadosiguiente:
(Sedibujaronlas3piezasbásicascadaunadelascualesmide 14
delaunidad).
65
Cuarta UnidadClase 4Ficha 7 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1.Serepartenentre6niñosdiferentescantidadesdebarrasdechocolates.Completalasiguientetablaconsiderandoqueenlaprimeracolumnaseindicalacantidaddechocolatesquesereparte.antesderepartirloschocolatesrespondan:
Cantidad de chocolates¿A cada niño le toca
más de un chocolate? Responde Sí - NO
Escribe con números la cantidad de chocolate que le toca a cada
niño
42
5
1213676
12
2+
2.¿Quiénrecibemásturrón?
3.¿Quiénrecibemásqueque?
Franciscorecibió debarradeturrón.
Entre5niñosserepartieronenpartesiguales13barrasdeturrónigualesaesta:
Franciscoesunodelos5niños.
Entre4amigasserepartenlasbarrasdeturrónquelesregalaron
(turronesigualesalasqueserepartieronlosniños).
Javiera,unadelasniñas,recibe 134
debarradeturrón.
¿Quiénrecibiómásturrón,FranciscooJaviera?Explicaturespuesta
¿Quiénrecibiómásturrón,FranciscooJaviera?Explicaturespuesta
Francisco Javiera
Yo recibí 2 + 13
de queque
Yo recibí 54
del mismo tipode queque
66
Cuarta UnidadClase 5Ficha 8 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
acadagrupodeamigoslesregalaron5barrasdechocolate.
2. Completalatabla:
Encadagrupo,losniñosserepartieronloschocolatesenpartesiguales.
1. Deacuerdoconlasituaciónrespondan:
a) alosniñosdequégrupolestocará,acadauno,másdeunabarradechocolate
b) alosniñosdequégrupolestocará,acadauno,menor cantidaddechocolate
c) alosniñosdequégrupolestocará,acadauno,mayor cantidaddechocolate
Grupo de niños Escribe con números la cantidad de chocolate que recibe cada niñode acuerdo al grupo que pertenece
Los conversadores
Los lectores
Los ecológicos
Los juguetones
Los juguetones Los ecológicos
Los conversadores
Los lectores
67
Cuarta UnidadClase 5
Ficha 8continuación Cuarto Básico
Nombre:Curso:
3.
¿Quiéntienemás“súper8”,MartínoLaura?Explicaturespuesta
Martín Laura
4.
Utilizandolainformaciónqueentreganlosdibujosdearriba,inventaunproblemadecomparacióndedosrepartosequitativosyresuélvelo.
5.
Utilizandolainformaciónqueentreganlosdibujosdearriba,inventaunproblemadecomparacióndedosrepartosequitativosyresuélvelo.
Yo tengo 3 + 25
de “súper 8”Yo recibí 16
5de “súper 8”
4° Básico
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Estudiando problemas
multiplicativos y técnicas para dividir
Guí
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Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM
Nivel de Educación Básica
División de Educación GeneralMinisterio de Educación
República de Chile
Autores:Universidad de Santiago
Lorena Espinoza S.Enrique González L.
Joaquim Barbé F.
Ministerio de Educación:Dinko Mitrovich G.
Asesores internacionales:Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia.
Revisión y Corrección de EstiloJosefina Muñoz V.
Coordinación EditorialClaudio Muñoz P.
Ilustraciones y Diseño:Miguel Angel Marfán
Elba Peña
Impresión:xxxxx.
Marzo 2006Registro de Propiedad Intelectual Nº 155.876
Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Cuarto Año BásicoTERCERA UNIDAD DIDáCTICA
Matemática
Estudiando problemas multiplicativos y
técnicas para dividir
• • Autores • •
Lorena Espinoza S. • Enrique González L. • Dinko Mitrovich G. • Joaquim Barbé
I Presentación 6
II Esquema 16
III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 18
IV Planes de clases 48
V Prueba y Pauta 54
VI Espacio para la reflexión personal 57
VII Glosario 58
VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 61
Índice
�
• Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas• Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedi-
miento de cálculo.• Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones aso- ciadas.• Restan utilizando un procedimiento convencional.
Aprendizajes previos
• Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias. • Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes. • En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan
aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver problemas y la formu-lación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos.
• Utilizan procedimientos resumidos para resolver problemas de reparto equitativo, de agrupa-miento en base a una medida y de iteración de una medida, estableciendo semejanzas y dife-rencias entre ellos y distinguiendo la operación que los resuelve e interpretando el significado de los datos y la incógnita.
Aprendizajes esperados para la Unidad
• Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias (Aprendizaje esperado 4, segundo semestre).
• Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes (Aprendizaje esperado 5, segundo semestre).
• Establecen diferencias y semejanzas entre las características asociadas a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división (Aprendizaje esperado 7, segundo semestre).
• En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan aspec-tos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 10, segundo semestre).
Aprendizajes esperados del Programa
CUARTo BásICo
TeRceRA UnidAd didácTicAEstudiando problemas multiplicativos y técnicas para dividir
MATeMáTicA
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1.
pResenTAciónI
E sta Unidad gira en torno a la resolución de problemas multiplicativos que invo- lucran una relación de proporcionalidad directa y el desarrollo de técnicas para dividir con el fin de resolver los problemas planteados. Tal y como se vio en
la Cuarta Unidad Didáctica de Tercero Básico, este tipo de problemas se caracterizan por involucrar tres cantidades, el total de una colección, la cantidad de grupos que la confor-man y la medida de cada grupo, siendo esta última medida igual para todos los grupos. Tanto los problemas de agrupamiento en base a una medida, de reparto equitativo y de iteración de una medida, pertenecen a este tipo de problemas. El estudio de la división se realiza a partir de los conocimientos que niñas y niños ya tienen sobre la multiplicación. Los niños avanzan en la apropiación de una estrategia de resolución de problemas multiplicativos identificando qué operación hay que realizar para resolver un determi-nado problema, aprenden procedimientos para dividir, explican sus procedimientos y elaboran problemas. A partir de la relación inversa que existe entre ambas operaciones, los niños construyen una noción amplia y significativa de la división y profundizan la de multiplicación. Las cantidades involucradas en las actividades propuestas en la unidad corresponden a números menores que mil, y en el caso de los problemas que se resuel-ven con una división, el cuociente es un número de una o dos cifras.
A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:
Tareas Matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes es-perados de esta unidad son:
• Resuelven problemas asociados a una relación de proporcionalidad directa, esto es, problemas de iteración de una medida, de reparto equitativo y de agru-pamiento en base a una medida.
• Calculan divisiones cuyo dividendo tiene hasta tres cifras y el divisor una.
• Comprueban el resultado de una división estableciendo la relación entre el divi-dendo y el divisor, el cuociente y el resto.
• Resuelven problemas inversos de proporcionalidad directa en los que se efectuó una acción de reparto equitativo o agrupamiento en base a una medida, pero que se resuelven efectuando una multiplicación, ya que se itera una medida.
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2.
presentación
• Realizan acciones de repartir en partes iguales, agrupar en base a una medida e iterar una medida asociando las dos primeras acciones a una división y la terce-ra a una multiplicación.
• Elaboran problemas de iteración de una medida, de reparto equitativo o de agru-pamiento en base a una medida a partir de información numérica y un contexto dado, que les permite obtener nueva información a partir de información dis-ponible.
Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las ta-reas matemáticas que niñas y niños realizan son:
Ámbito numérico: hasta 1.000.
Tipo de acción involucrada en el enunciado del problema: del tipo agrupar (proble-mas de agrupamiento en base a una medida), repartir en partes iguales (proble-mas de reparto equitativo) o iterar (problemas de iteración de una medida).
Tipo de problemas: directos e inversos.
Disponibilidad de las colecciones: disponibles y no disponibles.
Características de los objetos de las colecciones: manipulables y no manipulables.
Relaciones entre los números en la multiplicación:
• Uno de los factores es un número de una cifra y el otro puede ser un número de hasta tres cifras.
• Un factor es un número de dos cifras y el otro un número de hasta tres ci-fras.
• Uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100.
Relaciones entre los números en la división:
• Ámbito numérico del dividendo: números de dos y tres cifras.
• Relación entre el dividendo y el divisor: Dividendo múltiplo y no múltiplo del divisor.
• Cuociente: menor que 10 (una cifra); igual a 10, mayor que 10 y menor que 99 (dos cifras), mayor que 99 y menor 1000 (tres cifras).
• Ámbito numérico del divisor: una o dos cifras.
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3. Procedimientos
Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:
En la resolución de problemas: Se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas que incluye las siguientes fases:
• Reconocer el contexto en que se presenta el problema: relacionan la acción involucrada en el problema con repartir en partes iguales, agrupar en base a una medida o iterar una medida.
• Identificar los datos y la incógnita. ¿Qué nos dice el problema? ¿Qué nos pide averiguar?
• Reconocer la relación aritmética entre datos e incógnitas para decidir si la operación que resuelve el problema es una multiplicación o una división.
• Realizar la operación.
• Interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema.
En las técnicas para multiplicar recurren a distintos procedimientos estudiados en tercero básico, según la relación entre los números:
• Números de una cifra, utilizan las combinaciones multiplicativas básicas o la tabla pitagórica.
• Cuando uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100, extienden las com-binaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100.
• Cuando uno de los factores es un número de dos o tres cifras, los descompo-nen canónicamente y multiplican cada sumando por el número de una cifra, sumando finalmente cada producto.
• Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de productos.
En las técnicas para dividir recurren a distintos procedimientos, estudiados en tercero básico, ampliándolos según la relación entre los números:
• Cuando el divisor es de una cifra, recurren a las combinaciones multiplicati-vas básica y/o a la tabla pitagórica extendida.
• Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100.
• Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de cuocientes.
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Fundamentos centrales
Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abor-dados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total), la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de ele-mentos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).
La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos, jugando el rol de la constante de proporcionalidad, de forma que podemos decir que:
Tanto los problemas de iteración de una medida, como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas.
En los problemas de iteración de una medida directos se tienen como datos la me-dida que debe tener cada grupo (en el entendido que esa medida es la misma para todos los grupos) y el número de grupos, siendo la cantidad total la incógnita del problema.
Dado que la cantidad total equivale a repetir tantas veces como grupos la cantidad de medida de cada grupo, la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por el número de grupos.
En los problemas de agrupamiento en base a una medida directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y la medida que tiene cada grupo que hay que formar, siendo el número de grupos que se pueden formar la incógnita del pro-blema.
Por cada grupo de a unidades que formo me quedan a unidades menos en la colec-ción, por tanto, puedo formar tantos grupos como número de veces está contenido el valor a en el total de la colección. La cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse a través de una división, buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida a para acercarme lo más posible a la cantidad total de mi colección sin pasarme.
En los problemas de reparto equitativo directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y el número de grupos que se deben formar, siendo la medida de los grupos la incógnita del problema.
Si tengo que repartir t unidades entre a grupos de forma que le correspondan la misma cantidad de unidades a cada grupo, entonces puedo repartir las unidades por “rondas” dando una unidad a cada grupo en cada ronda. Como tengo a grupos, entonces en cada ronda reparto un total de a unidades (una unidad por cada gru-
número de grupos x medida de grupo = cantidad total
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po). Durante el reparto, la cantidad de elementos que tiene cada grupo coincide con la cantidad de rondas efectuadas. De ese modo, la cantidad de elementos que hay en cada grupo una vez finalizado el reparto coincide con la cantidad de rondas efectuadas. Entonces, para poder anticipar para cuantas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que le puedo quitar a unidades al total t. Dicho cálculo corresponde a la división t : a, siendo el cuociente de esa división igual a la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo, o sea, a lo que hemos llama-do medida de grupo.
El cuociente de una división se puede determinar a través de la suma de cuocien-tes parciales. Para ello, se empieza buscando cuál es el mayor múltiplo de 100, que multiplicado por el divisor da una cantidad lo más cercana posible al dividendo sin pasarse. Luego se calcula la diferencia entre el dividendo y el resultado de dicho producto. Nuevamente, se busca cuál es el mayor múltiplo de 10 que multiplicado por el divisor se acerca mas a esa diferencia. Una vez determinado, se efectúa la resta entre la diferencia y dicho producto. Finalmente, se determina el factor de una cifra que multiplicado por el divisor se acerca más al resultado obtenido en la última res-ta. El cuociente se obtiene a partir de sumar los tres cuocientes parciales anteriores: el múltiplo de las centenas, más el múltiplo de las decenas, más las unidades.
En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo, a la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto, y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el divisor, dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. Sea como sea, en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento.
En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo, la relación entre datos e incógnitas cuando la cantidad total no es múltiplo del núme-ro de grupos o de la medida, se representa por la expresión:
La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como:
Esta expresión permite comprobar el resultado de una división, dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el divi-dendo.
número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial
divisor x cuociente + resto = dividendo
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Los Problemas directos de proporcionalidad directa, son problemas donde la opera-ción que resuelve el problema es la misma con la que se modeliza la acción descrita en el enunciado. Los problemas inversos, son problemas donde la operación que re-suelve el problema es distinta a la que modeliza la acción descrita en el enunciado.
Descripción global del proceso
Durante las seis clases la intención está puesta en que los alumnos estudien pro-blemas multiplicativos de proporcionalidad, identificando la o las operaciones que los resuelven, se enfrenten ante la necesidad de buscar procedimientos de cálculo más eficaces, entendidos estos como procedimientos con pocos pasos y en los que se utilizan cálculos sencillos, y desarrollen herramientas para comprobar y justificar sus procedimientos.
En las primeras 4 clases se plantean actividades que constituyen elementos de un proceso graduado frente al cual los niños tendrán la posibilidad de avanzar y sis-tematizar sus conocimientos sobre la resolución de problemas multiplicativos con la orientación del profesor(a). La quinta clase es esencialmente una clase de ejercitación y sistematización del trabajo desarrollado en las clases anteriores. Finalmente, la sexta corresponde a una clase de evaluación.
El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños actividades que involucran problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medi-da como por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos ¿cuántas bolsas necesita, sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? O bien: Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja ¿cuántas semillas ha ocupado sabiendo que en cada bolsa ha echado 10 semillas? Interesa que los niños se familiaricen con este tipo de actividad, puesto que dependiendo de la pregunta del problema, surge la multiplicación o la división como operación que resuelve el problema. En esta etapa interesa que los niños y niñas se familiaricen con este tipo de problemas y adquieran seguridad a la hora de resolverlos. Por ello, pese a que los niños sean capaces de anticipar el resultado del problema es importante que tengan la oportunidad de comprobarlo realizando la acción concreta. Luego, resuelven una serie de problemas que están en el mismo contexto que la activi-dad inicial. La clase termina sistematizando la estrategia de resolver la división a partir de la búsqueda del factor que, multiplicado por el cuociente, se acerca más al dividendo sin pasarse.
En la segunda clase el proceso avanza de forma que son los niños los que, dada una determinada situación, formulan problemas de iteración y de agrupamiento en base a una medida y luego los resuelven. En esta clase, mediante el juego “¿Cuántos pa-quetes? ¿Cuántas unidades?” se pretende que los niños desarrollen procedimientos abreviados para calcular el cuociente de una división, cuando este tiene dos cifras y, a su vez, profundicen en el significado de los distintos datos en los problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. De hecho, las nuevas condiciones en las que se plantean los problemas hacen que los procedimientos de la clase anterior
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fracasen, debido fundamentalmente a la ampliación del ámbito numérico. Se espera que los alumnos utilicen combinaciones básicas de múltiplos de 10 para obtener el re-sultado.
En la tercera clase se sigue trabajando con problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Nuevamente se amplía el ámbito numérico. En esta clase se proponen problemas muy similares a los estudiados en la clase anterior, pero en este caso los cuocientes pueden ser cantidades de hasta tres cifras. De ese modo se propone ampliar la técnica de acercarse al dividendo mediante múltiplos de 10, a múltiplos de 100. Al final de la clase, se sistematiza la estrategia que permite de-cidir la operación que resuelve el problema en función del significado de los diferentes datos.
En la cuarta clase a los problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida, se les añaden los problemas de reparto equitativo. Si bien el trabajo central en la clase anterior era el de desarrollar un procedimiento para dividir, en esta clase el énfasis esta puesto en el planteo y la resolución de problemas, más que en el cálculo. Mediante la actividad de “Formulando Problemas” se desarrolla la habilidad de reconocer el rol de cada uno de los datos y de la incógnita dentro de los problemas mul-tiplicativos de proporcionalidad, así como de establecer la operación que relaciona los datos con la incógnita, independientemente de la acción formulada en el problema. En este sentido, en esta clase aparece algún problema inverso, como Luz repartió una bol-sa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? De forma que los niños vivan la experiencia de que no es suficiente con identificar la acción involucrada en el problema para resolverlo. Es precisamente en estos casos donde el uso de los esquemas aparece como una herramienta especialmen-te útil a la hora de poder determinar y justificar la operación que resuelve el problema.
La quinta clase tiene como propósito principal trabajar lo estudiado en las clases anteriores, de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los cono-cimientos construidos. La clase se inicia con una situación en la que los alumnos deben formular tres problemas distintos y resolverlos recordando lo estudiado en la clase an-terior. Esta situación pone en juego la habilidad para interpretar correctamente el rol que puede jugar cada uno de los datos en los distintos problemas. Luego se propone que los alumnos efectúen un conjunto de cálculos que incluyen multiplicaciones y divi-siones, en los que el ámbito numérico de las cantidades involucradas varía entre uno y tres dígitos. En esos cálculos se propicia que el alumno, además de practicar los proce-dimientos desarrollados en la segunda y tercera clase, adquiera destreza en comprobar los resultados obtenidos en las divisiones. Una vez hechos los cálculos, se propone que resuelvan un conjunto de cuatro problemas multiplicativos entre los que hay un proble-ma inverso. La clase termina con una síntesis de las principales nociones estudiadas en la unidad.
En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y los que habrá que retomar.
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sugerencias para trabajar los Aprendizajes Previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes espera-dos en ella. El profesor debe asegurarse que todos los niños:
• Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas
• Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún pro-cedimiento de cálculo.
Para cerciorarse que los niños y niñas disponen de dichos conocimientos, proponga problemas multiplicativos de proporcionalidad directa, en que los números involucra-dos sean de una cifra, por ejemplo:
Don Raúl tiene 6 paquetes de zanahorias, con 8 zanahorias cada uno. ¿Cuántas zanahorias tiene?
Si se detecta que no hay dominio o estabilidad en la evocación de las combinacio-nes multiplicativas básicas, se sugiere introducir la “Tabla Pitagórica”. Lo importante es asegurarse que los alumnos asocien a este tipo de problemas la multiplicación, como la operación que permite resolverlos en forma simple y eficaz.
La Tabla Pitagórica permite encontrar los productos de las combinaciones multipli-cativas básicas. El procedimiento es el siguiente: para obtener, por ejemplo, el producto de 6 y 8, se ubica uno de los factores en la primera fila y el otro factor en la primera columna de la tabla. En la intersección de esa fila con esa columna se encuentra el pro-ducto buscado. En la siguiente Tabla Pitagórica se señala el procedimiento seguido para obtener el producto buscado (48).
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La Tabla pitagórica también permite determinar el cuociente de una división, siem-pre y cuando dicho cuociente y el divisor estén dentro del ámbito numérico de los fac-tores representados en la tabla, que suelen ser del 1 al 10. Veamos un ejemplo de ello; queremos calcular el cuociente de la división 50 : 8. Dado que dicho cuociente es el factor que multiplicado por 8 se acerca lo más posible a 50 sin pasarse, entonces nos situamos sobre la columna del 8 y dentro de ella buscamos la cantidad más cercana a 50 pero sin pasarse, esto es 48. Luego una vez encontrada, identificamos la fila en la que se encuentra el 48, o sea el 7. Finalmente podemos establecer que el cuociente de la divi-sión es 7 ya que 7 x 8 es 48. Si se desea obtener el resto basta con calcular la diferencia entre el dividendo, o sea 50 y el producto seleccionado de la tabla, o sea 48, de forma que el resto es 2.
La Tabla pitagórica extendida es una Tabla Pitagórica en la que se han incluido más filas y columnas, de manera de ampliar el ámbito numérico de las combinaciones multi-plicativas que aparecen más allá de las combinaciones básicas.
Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones asociadas
Presentar a los niños situaciones en que tengan que determinar la cantidad de di-nero u objetos, si se encuentran agrupados de a 10 y 100.
Por ejemplo, Rodrigo tiene 8 monedas de $100. ¿Cuánto dinero tiene?
Igualmente, se espera que los niños puedan responder el problema recíproco. Rodrigo tiene $800 solo en monedas de a $100. ¿Cuántas monedas tiene?
A quienes tienen dificultad para cuantificar colecciones de objetos agrupadas de a 10 ó 100, apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Segunda Unidad de Tercero Básico.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
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Restan utilizando un procedimiento convencional
Utilizan procedimientos resumidos para resolver restas de números de hasta tres cifras.
A quienes tienen dificultad para determinar la diferencia entre dos números, apóye-los proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Tercera Unidad de Tercero Básico.
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III
La estrategia didáctica consiste en generar un proceso acotado en seis clases, en las cuales se propone a los niños y niñas un conjunto de tareas matemáticas con distintas condiciones de realización, de manera de enfrentarlos a situaciones que les permitan afianzar estrategia para resolver problemas multiplicativos y consolidar procedimientos para multiplicar y avanzar en desarrollar la adquisición de procedimientos para dividir.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa
Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abor-dados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total), la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tie-ne cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).
La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos, jugando el rol de la constante de proporcionalidad, de forma que podemos decir que:
Expresión [1]
Tanto los problemas de iteración de una medida, como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas.
Veamos un ejemplo de cada uno de ellos:
Problema 1. Pedro compró 7 paquetes de 8 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias compró en total? Problema 2. Pedro repartió equitativamente 56 zanahorias entre sus 7 amigos.
¿Cuántas zanahorias le tocaron a cada amigo?
Problema 3. Pedro tenía un saco con 56 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno. ¿Cuántos paquetes obtuvo?
número de grupos x medida de grupo = cantidad total
1�
orientaciones
Pese a que los tres problemas son claramente distintos, los tres pueden ser plantea-dos utilizando la expresión [1], pero en cada uno de ellos la incógnita es distinta. En el Problema 1, los datos son el número de grupos y la medida de grupo, y la incógnita es la cantidad total, mientras que en el Problema 2 los datos son la cantidad total y el número de grupos y la incógnita pasa a ser la medida del grupo. Finalmente, en el Problema 3 los datos son la cantidad total y la medida del grupo, mientras que la incógnita es el número de grupos.
El Problema 1 se enmarca en el contexto de iteración de una medida, esto es, se tie-ne que calcular el resultado de iterar una determinada medida una cantidad de veces. Para resolver el problema podemos recurrir a la utilización de esquemas o dibujos, de forma que el problema podría plantearse:
Lo que da un total de 56 zanahorias. En este caso, la relación de este problema con la expresión [1] es evidente, dado que podemos plantear:
El Problema 2 se enmarca en el contexto de reparto equitativo, esto es, se tiene que calcular el resultado de repartir una determinada cantidad entre un determinado núme-ro de personas. En ese sentido, la cantidad que se reparte podemos identificarla clara-mente con la cantidad total, mientras que el número de personas se puede identificar con el número de grupos que se forman, pensando que a cada persona le corresponderá un grupo de zanahorias. El resultado del reparto se puede identificar con la medida de grupo, dado que corresponde a las zanahorias que le tocan a cada uno, o sea, la cantidad de zanahorias que va a haber en cada grupo.
Entonces el total de zanahorias se puede calcular a partir de 7 veces 8 zanahorias, lo que resulta 7 x 8 = 56
número de grupos medida de grupo cantidad total
7 grupos x 8 zanahorias = ? zanahorias
7 paquetes deUn paquete
tiene 8 zanahorias
20
orientaciones
Para resolver el problema podemos recurrir a un dibujo como el siguiente:
A partir del dibujo, los alumnos pueden desarrollar la siguiente argumentación para deducir el cálculo que resuelve el problema:
Para repartir equitativamente las zanahorias entre mis 7 amigos voy a hacer una bolsa para cada amigo. Luego, reparto las zanahorias por “rondas”, poniendo en cada ronda una zanahoria en cada bolsa. Siempre la cantidad de zanahorias que hay en cada bolsa corresponde a la cantidad de rondas que he efectuado. De ese modo, la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno coincide con el total de “rondas” efectuadas una vez finalizado el reparto. Como hay siete bolsas, en cada ronda reparto siete zanahorias, por tanto, para anticipar para cuántas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que puedo quitarle siete a la colección de zanahorias, correspondiendo cada vez a una ronda. Dado que ese procedimiento es una resta iterada (descontar de 7 en 7; 56-7, 49-7, 42-7,....) entonces la operación que resuelve el problema es 56 : 7, es decir, las veces que cabe el 7 en el 56.
En este caso la relación de este problema con la expresión [1] no es tan evidente dado que la incógnita no es la cantidad total, sino que es la medida de cada grupo. La cantidad de amigos corresponde al número de grupos que se deben formar, mientras que la cantidad de zanahorias a repartir corresponde a la cantidad total y la cantidad de zanahorias que le toca a cada uno corresponde a la medida de grupo.
Por ronda 7 zanahorias
cantidad total número de grupos medida de grupo
56 zanahorias : 7 grupos = ? zanahorias
Cantidad de zanahorias en cada bolsa = número de rondas
número de grupos medida de grupo cantidad total
7 grupos = ? zanahorias = 56 zanahorias
21
orientaciones
Esta forma de plantear el Problema 2 hace explícita la relación entre los problemas de reparto equitativo y los de iteración en base a una medida. Bajo este punto de vista, la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno se puede calcular mediante un producto determinado el factor que repetido siete veces da un total de 56. Como se puede apre-ciar, en los problemas de reparto equitativo resulta relativamente complejo desarrollar una argumentación de por qué la división permite anticipar el resultado del reparto.
El Problema 3 se enmarca en el contexto de agrupamiento en base a una medida. En este tipo de problemas se da la cantidad total de elementos de una colección y la medida de los grupos que hay que formar y la incógnita es la cantidad de grupos que se puede formar. En este caso, 56 es la cantidad total de la colección zanahorias, 8 zanaho-rias por paquete es la medida de grupo y el número de paquetes que se pueden formar corresponde al número de grupos que es la incógnita. La operación que permite resolver el problema es:
La relación entre los problemas de agrupamiento en base a una medida y los de iteración de una medida es bastante evidente, dado que en ambos casos aparecen explí-citamente las nociones de medida, cantidad total y cantidad de grupos, de ese modo si se utiliza la expresión [1] para plantear el problema, tendríamos que:
De tener representada la colección. Para resolver el problema podemos recurrir a
agrupar las zanahorias, tal y cómo muestra el dibujo siguiente:
cantidad total medida de grupo número de grupos
56 zanahorias = 8 zanahorias = ? grupos
número de grupos medida de grupo cantidad total
? grupos = 8 zanahorias = 56 zanahorias
22
orientaciones
Aquí se van formando sucesivos grupos de 8 zanahorias cada uno, hasta que ya no sea posible formar ninguno más, esto, es hasta que queden menos de 8 zanahorias.
Es importante hacer notar la diferencia entre este dibujo y el dibujo del Problema 2. Así como en el Problema 2 lo que se hacía era distribuir las zanahorias entre las 7 bolsas, en este caso lo que se hace es agruparlas en grupos de 8. No es de extrañar que a los alumnos les cueste entender que la operación que soluciona ambos problemas es una división, dado que las acciones de repartir y agrupar que están involucradas son muy distintas y, de hecho, son acciones casi antagónicas.
En este sentido, para poder comprender bien los problemas de agrupamiento en base a una medida y de reparto equitativo creemos que es necesario profundizar sobre el significado de cada una de las dos divisiones. En el Problema 2 la división 56 : 7 sig-nifica 56 zanahorias que se reparten equitativamente en 7 grupos siendo el resultado de la división la cantidad (o medida) de zanahorias que corresponden a cada paquete, mientras que en el Problema 3 la división 56 : 8 significa 56 zanahorias que se agrupan en grupos de 8 zanahorias, siendo el resultado de la división el número de grupos que se obtienen.
Cuando el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos; El rol del resto en los problemas multiplicativos
Recordemos la expresión [1],
Expresión que, como ya se discutió en el punto anterior, sirve para esquematizar cualquier problema multiplicativo de proporcionalidad directa. Ahora bien, ¿qué suce-de con aquellos problemas en los que la división planteada no es exacta? ¿Qué rol juega el resto de la división en la expresión [1]? En este punto trataremos de abordar estas cuestiones.
En primer lugar, hay que aclarar que la cantidad total a la que hace referencia la expresión [1] es la cantidad total efectivamente repartida o bien agrupada y no a la can-tidad total que se desea repartir o agrupar.
Veamos dos ejemplos de ello:
Problema 4. Pedro quiere repartir equitativamente 58 zanahorias entre sus 7 amigos. ¿Cuántas zanahorias le tocarán a cada amigo?
Problema 5. Pedro tenía un saco con 58 zanahorias e hizo paquetes de 8 za-nahorias cada uno. ¿Cuántos paquetes obtuvo?
número de grupos x medida de grupo = cantidad total Expresión [1]
23
orientaciones
Ambos problemas plantean divisiones que, formalmente, no tienen solución en los números naturales; 58 : 7 no tiene solución, porque no hay ningún número natural que multiplicado por 7 dé como resultado 58. Lo mismo sucede con la división 58 : 8, dado que no hay ningún número natural que multiplicado por 8 dé como resultado 58.
Ahora bien, ¿qué respuesta se puede dar entonces a los problemas 4 y 5? La res-puesta a esta pregunta está en considerar que tanto en el reparto equitativo, así como en el agrupamiento en base a una medida, se reparten o se agrupan la máxima cantidad posible de objetos de la colección, cantidad que no necesariamente coincide con el total a repartir o agrupar. A la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto, y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el cuociente, dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el proble-ma es de reparto equitativo, o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. Sea como sea, en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento.
De ese modo, en el Problema 4 podemos considerar como solución que la cantidad de zanahorias repartidas entre los 7 amigos es 56, tocando 8 zanahorias a cada amigo y quedando 2 sin repartir. Si queremos formular una expresión que relacione la cantidad total repartida con la cantidad a repartir, basta que a la primera le añadamos el resto para obtener la segunda.
Si se desea, también es posible incorporar el resto al esquema, de forma que el es-quema refleje tanto la cantidad por repartir como la cantidad repartida.
Veamos un ejemplo:
número de grupos medida de grupo
7 grupos x ? zanahorias + zanahorias que quedan = 58 zanahorias
cantidad total repartida cantidadpor repartir
zanahoriassin repartir
7 veces ¿qué medida? da un total de 58 zanahorias
Total 58 zanahorias
Total zanahorias repartidas(múltiplos de 7)
? zanahorias
paquete paquete paquete paquete paquete paquete paquete
24
orientaciones
Lo mismo sucede en el Problema 5, donde la cantidad total de zanahorias agrupada es 56 quedando 2 sin agrupar, de forma que podemos plantear el problema así:
Al igual que sucedía con el Problema 4, en el Problema 5 también se puede añadir al esquema el resto, de forma de representarlo:
En los problemas en que aparece como dato la cantidad por repartir o por agrupar, la expresión [1] no es demasiado útil, puesto que en dicha expresión la cantidad total indica la cantidad que efectivamente se reparte o agrupa, cantidad que solo es conocida una vez realizada la división. Así pues, en esos casos resulta más útil modificar la expre-sión [1] de modo que la cantidad total que aparezca en la expresión sea el total por re-partir o agrupar. Esto se logra añadiendo el resto de la división al resultado obtenido del producto de la medida por la cantidad de grupos, ya que dicho producto representa la cantidad efectivamente repartida/agrupada. De ese modo, la expresión [1] modificada queda de la forma:
La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como
Expresión [2]
expresión que permite comprobar el resultado de una división, dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo.
número de grupos medida de grupo
? grupos x 8 zanahorias + zanahorias que quedan = 58 zanahorias
cantidad total agrupada cantidadpor repartir
zanahoriassin repartir
¿cuántas veces? 8 zanahorias da un total de 58 zanahorias
Total 58 zanahorias por agregar
Total zanahorias repartidas(múltiplos de 8)
8 zanahorias 8 zanahorias 8 zanahorias
paquete paquete paquete ?
divisor x cuociente + resto = cantidad total
número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial
pRiMeRA clAse
2�
orientaciones
Veamos un ejemplo de cómo utilizar la expresión [2] para comprobar el resultado de una división.
Problema 6. Discute cuál de los siguientes resultados corresponde a la división 879 : 7
a) Cuociente 125 y resto 4
b) Cuociente 127 y resto 0
c) Cuociente 127 y resto 4
d) Cuociente 125 y resto 8
Para resolver el Problema 6, hay dos caminos, el primero es hacer la división, y el se-gundo es utilizar la relación señalada en la expresión [1]. Utilizando esa expresión pode-mos descartar inmediatamente la opción d) dado que el resto debe ser menor al divisor, pues de lo contrario se puede seguir repartiendo o agrupando. Para seguir descartando calculamos entonces el producto 127 x 7, lo que da un total de 889, cantidad que es mayor que 879 de manera que podemos descartar las respuestas b) y c). La respuesta correcta por tanto debería ser la a), y vamos a verificarla:
de manera que podemos asegurar que la respuesta correcta es la a).
Se comienza trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida, debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven, con la acción involucrada en el problema. Asi-mismo, se espera que niñas y niños reconozcan el carácter anticipatorio de la operación respecto a la acción.
En esta primera clase los problemas planteados a los niños se proponen teniendo como referencias situaciones de agrupamiento concreto de objetos.
Momento de inicio
Proponer una actividad que permita a los niños encontrarse con la necesidad de realizar un problema de agrupamiento en base a una medida en la que se conozca la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo.
Una posible actividad es “Bolsas de semillas”. En esta actividad niñas y niños tienen que agrupar objetos diferentes teniendo en cuenta distintas medidas.
7 x 125 + 4 = 879
pRiMeRA clAse
2�
orientaciones
Para la realización de la actividad se deben contemplar los siguientes materiales:
• Cada jugador debe tener su cuaderno y lápiz,
• 1.000 bolsas chicas de plástico para el curso, y
• ½ kilo de porotos, garbanzos y lentejas.
Descripción de la actividad “Bolsas de semilla”: Contextualice la situación expli-cando que un jornalero tiene que sembrar semillas de porotos, garbanzos y lentejas en maceteros para que broten. Los porotos se siembran de a 5 en cada macetero, mientras que los garbanzos de a 3 y las lentejas de a 10. Para ganar tiempo en la siembra, el jorna-lero prepara el día anterior bolsas con la cantidad de semillas justas, que hay que poner en cada macetero.
Plantee a los niños que deberán ayudar al jornalero a averiguar cuántas bolsas nece-sita para guardar las semillas de distinto tipo. Por ejemplo, si el jornalero tiene 40 porotos, ¿cuántas bolsas necesita, sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa?
Recíprocamente, proponga a niñas y niños problemas en la que se pregunte por la cantidad de semillas que formó el jornalero, conociendo el número de bolsas y la canti-dad de semillas que hay en cada una. Por ejemplo, si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lentejas, ¿cuántas semillas ha ocupado?
En ambos tipo de problemas pida a los niños que anticipen el resultado de la can-tidad de bolsas o semillas. Es decir, que a partir de la información de la que disponen, averigüen cuántas bolsas se necesitará o cuántas semillas ha ocupado el jornalero, sin realizar materialmente la acción. Posteriormente, una vez que hayan anticipado la can-tidad de bolsas o semillas, pídales que comprueben su resultado, realizando la acción concretamente.
La intención que no se debe perder en la gestión de la actividad es que los niños anticipen un resultado, justifiquen el procedimiento utilizado para obtenerlo y com-prueben la veracidad de éste realizando la actividad concretamente.
Proponga otros problemas similares y con las mismas condiciones para que los ni-ños entiendan la situación y logren establecer la relación entre los datos. En los proble-mas que formule considere que la cantidad total de semilla sea múltiplo de la medida (múltiplo de 3 si se trata de garbanzos, de 5 si son porotos y de 10 si son lentejas), por ejemplo:
¿Cuántas bolsas se necesita para guardar 27 garbanzos?
Si al jornalero le quedan 60 lentejas, ¿cuántas bolsas necesita?
2�
orientaciones
Finalice este momento inicial sistematizando los procedimientos que han utilizados los niños para resolver los problemas.
Momento de desarrollo
En el momento de desarrollo de la clase se plantean problemas de variación pro-porcional del tipo iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida como los planteados en la Ficha 1. Se espera que ante los problemas los niños justifi-quen la elección de la operación que los resuelve y que progresen en los procedimien-tos que utilizan, que establezcan similitudes y diferencias entre ellos.
En los problemas de iteración de una medida como el 1 y 3 de la Ficha 1, se espera que los niños reconozcan que la medida, cantidad de verdura que tiene un paquete en ambos problemas, se repite una cierta cantidad de veces. De tal interpretación se puede deducir que para determinar la cantidad de verduras, por ejemplo zanahorias, es necesario averiguar cuánto es 6 veces repetido 8 zanahorias. Si bien sumar 6 veces el 8 es una técnica que permite determinar la cantidad total de zanahorias, se espera que en este curso los niños usen procedimientos más eficaces como lo es para este caso, evocar la multiplicación 6 x 8.
En problemas como el 2 y 4 de la Ficha 1, en que la incógnita es la cantidad de pa-quetes, se debe lograr que lo niños interpreten y representen la situación y la distingan de los otros dos problemas. Esto significa reconocer que la multiplicación de los datos no tiene sentido para averiguar la cantidad de paquetes que es posible formar.
Se espera que los niños exploren en la búsqueda de procedimientos para resol-verlos. En cuarto básico es altamente probable que muchos alumnos aún no se hayan apropiado de un procedimiento resumido para efectuar una división y los resuelvan utilizando restas reiteradas.
Técnicas para resolver un problema de agrupamiento en base a una medida
Con el problema que se presenta a continuación (segundo de la Ficha 1) se ilustran algunos posibles procedimientos que podrán utilizar los niños para resolverlos. Los pro-cedimientos son comparados desde el punto de vista de su efectividad, explicitando los conocimientos matemáticos que los fundamentan y que contribuyen a su eficacia.
Doña María tiene 24 cebollines. Para venderlos, ella hace paquetes de a 3 cebollines. ¿Cuántos paquetes de cebollines puede hacer?
Procedimiento 1: Si se hace un paquete, se ocupan 3 cebollines, que equivale a quitar 3 a los cebollines disponibles:
24 – 3 = 21, quedan 21 cebollines.
2�
orientaciones
Continuando con este procedimiento de restar, que equivale a sacar tres cebollines de los que quedan y registrando la cantidad de paquetes que se van formando. Estas restas repetidas o iteradas es posible de hacerlas hasta que se agoten o no alcancen para formar otro paquete.
Tal como se aprecia, esta técnica permite resolver el problema pero a un alto costo
de trabajo, el cual aumenta si la cantidad de objetos es mayor. Además de la poca efica-cia del procedimiento, está el riesgo de equivocarse debido a la cantidad de restas que es necesario efectuar.
Procedimiento 2: Si en vez de restar sucesivamente tres cebollines, se buscara la cantidad de cebollines que se ocupan en hacer varios paquetes, se reduciría la cantidad de restas sucesivas. Por ejemplo, como para hacer 4 paquetes se utilizan 12 cebollines, entonces quedan disponibles aún
24 – 12 = 12
Con los 12 cebollines restantes, se pueden formar más paquetes, si se resta nuevamente 12
12 – 12 = 0
Con estas restas sucesivas, se llega al resultado de manera mucho más rápida que con el procedimiento anterior. Mientras mayor sea la cantidad de paquetes que se con-sidere, el procedimiento será más corto.
Procedimiento 3: Lo que se necesita mejorar de los procedimientos anteriores, es la forma de búsqueda. Es decir, superar la búsqueda por tanteo del número de paquetes, y desarrollar una estrategia para encontrar el número de paquetes. Para ello, una buena estrategia es recurrir al carácter decimal del sistema de numeración.
24 –3 = 21 (1 paquete)
21 – 3 = 18 (2 paquetes)
18 – 3 = 15 (3 paquetes)
... ... 6 – 3 = 3 (7 paquetes)
3 – 3 = 0 (8 paquetes)
2�
orientaciones
Para buscar el número de paquetes multiplicar por 10 o múltiplos de 10 la medida de cada paquete hasta encontrar la cantidad que más se acerque a la cantidad de obje-tos de los que se dispone.
En este caso sería ¿qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca (por abajo) o es igual a 48?
Es decir:
? ∙ 3 = 48 10 • 3 = 30 20 • 3 = 60
Podemos deducir que si se hacen 10 paquetes, se ocupan 30 cebollines y que si se hacen 20 paquetes, se necesitan 60 cebollines, que son más que los disponibles. Con lo cual se puede acotar la cantidad de paquetes que se puede hacer. Son más de 10 y menos de 20.
Con los cebollines restantes, 48 – 30 = 18 es posible hacer otros 6 paquetes (6 • 3 =18).
Finalmente, podemos afirmar que con los 48 cebollines es posible formar 10 + 6 = 16paquetes de cebollines.
Problemas en que el dividendo no es múltiplo del divisor, probablemente generen cierto desconcierto en los niños, debido a que consideren que no tiene solución. Por ejemplo:
La Sra. María tiene 50 zanahorias y hará con ellas paquetes de a 8 . ¿Cuántos paquetes puede hacer?
Para resolver el problema es necesario formularse la pregunta ¿cuántas veces 8 es igual a 50? o ¿qué número por 8 es igual a 50?, es decir:
? • 8 = 50
Como no existe ningún número entero que multiplicado por 8 sea exactamente 50, los niños tienden a pensar que el problema no tiene solución, cosa que es cierta. En ese sentido es necesario flexibilizar la pregunta y, dado que no tiene solución, tratar de encontrar la solución más cercana a 50 que sea posible, pero sin pasarse. De esa forma se puede adaptar la pregunta que ellos se hacen a: ¿qué número multiplicado por 8 se aproxima más a 50 (por abajo)? (ver “El rol del resto en los problemas multiplicativos; cuan-do el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos”).
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orientaciones
Momento de cierre
En el momento del cierre sistematice las siguientes ideas:
a) Los problemas en los que los datos son el número de paquetes y la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida), siendo la incógnita del problema, la cantidad total de unidades. Por ejemplo, si una bolsa trae 6 cuchuflíes y Hugo tiene 4 bolsas y se quiere saber cuántos cuchuflíes tiene Hugo, la situación se representa por el siguiente esquema:
La cantidad total de cuchuflíes se calcula realizando la multiplicación entre el núme-ro de bolsas y las unidades que tiene cada paquete. El resultado de la multiplicación es justamente la cantidad total de unidades.
b) Los problemas en los que los datos son la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida) y la cantidad total de unidades de la colección, siendo la cantidad de paquetes que se pueden formar, la incógnita del problema. Por ejemplo, con 56 za-nahorias, ¿cuántos paquetes con 8 zanahorias cada uno se pueden formar?
La situación se puede representar a través del siguiente esquema:
segUndA clAse¿cuántas veces? 8 zanahorias da un total de 56 zanahorias
Total 56 zanahorias
8 zanahorias 8 zanahorias 8 zanahorias
paquete paquete paquete ?
8 zanahorias
paquete
medida
Total cuchuflíes
6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes
bolsa bolsa bolsa bolsa
Se repite 4 veces 6, es decir, 4 x 6
31
orientaciones
La cantidad final de paquetes que se pueden formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida, 8 zanahorias, para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme.
? paquetes • 8 zanahorias por paquete = 56 zanahorias
c) Ya que la división es la operación inversa de la multiplicación, podemos determinar la cantidad de grupos o paquetes que se forman mediante una división. Por ejemplo:
¿Cuántas pilas de ajos se pueden hacer con 56 ajos, si cada pila tiene 4 ajos?
La división 56 : 4 que resuelve el problema, se puede calcular si nos hacemos la pregunta:
¿Cuántas veces tengo que repetir el 4 para llegar lo más cerca posible de 56 sin pasarme?
? • 4 = 56
Dicho factor (cuociente de la división) se puede determinar a través de aproxima-ciones sucesivas, siendo las prioritarias las que se acercan al dividendo, multiplicando el divisor por un múltiplo de 10.
porque 10 • 4 = 40
porque 4 • 4 = 16
Se pueden hacer: 10 + 4 = 14 pilas de ajos.
Una división está terminada, cuando el resto (cantidad de objetos que quedan) es menor que el divisor (cantidad de objetos para formar un paquete).
En esta clase se sigue trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida, debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven, con la acción involucrada en el problema. Asimismo, se espera que los niños reconozcan el carácter anticipatorio de la multiplica-ción y la división respecto a las acciones de iterar una medida y de agrupar en base a una medida.
segUndA clAse
56 : 4 = 10– 40 16
16 : 4 = 4
32
orientaciones
Momento de inicio
En el momento inicial de la clase, para activar los conocimientos previos de los niños y niñas, propóngales problemas similares a los realizados en la clase anterior, con-textualizados en la venta de verduras en la feria, pues es un buen contexto para formular problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Además, es un contexto familiar para la mayoría de quienes cursan 4° básico. En los primeros problemas de agrupamiento en base a una medida proponemos que la cantidad total de objetos sea múltiplo de la medida. Se sugiere plantearlos en forma oral o, si es nece-sario, escritos en la pizarra. Se trata de generar un trabajo ágil, centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema.
Momento de desarrollo
En el momento de desarrollo de la clase, se propone que jueguen “¿Cuántos pa-quetes? ¿Cuántas unidades?”. Las instrucciones para jugarlo forman parte del mate-rial que se entrega a los niños (ver material anexo).
En el juego, a partir de una información presentada en dos tarjetas que se eligen al azar, los alumnos deberán formular una pregunta que incorpore la interrogante: ¿cuán-tos paquetes? O bien ¿Cuántas unidades? Por ejemplo, si les salen las tarjetas:
Podrán preguntar: Con 56 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 pueden hacer?
Mientras que si les salen las tarjetas
Podrán preguntar: Si tengo 6 paquetes de 8 zanahorias, ¿cuántas zanahorias tengo?
Una vez planteada la pregunta los niños tratan de resolverla en su cuaderno. El pri-mer jugador que llega a la solución dice; ¡alto! y les cuenta a sus compañeros cómo re-
56unidades
6paquetes
5 betarragastiene un paquete
Un paquetetiene 8 zanahorias
33
orientaciones
solvió el problema. Si todos están de acuerdo con la respuesta, entonces el jugador que llega a la solución se lleva las tarjetas con el dibujo.
Con las posibles combinaciones de tarjetas que permite el juego, se obtienen dos tipos de problemas, los de iteración de una medida y los de agrupamiento en base a una medida.
Si la palabra que aparece en la tarjeta sacada del mazo de los números es pa-quetes, entonces el problema que se puede formular es de iteración de una medida, mientras que si aparece la palabra unidades el problema que se puede formular es de agrupamiento en base a una medida. En ambos casos la medida está determinada por la segunda carta donde aparece la cantidad de unidades que tiene el paquete.
Se propone que niñas y niños, organizados en grupos, jueguen una vez el juego. El juego termina cuando uno de los jugadores logra reunir 3 tarjetas con productos dis-tintos.
Durante la actividad es importante que el profesor(a) ponga atención para apoyar a los grupos que tienen dificultad o no entienden cómo formular la pregunta. Además, debe identificar aquellos alumnos que no son capaces de discernir la operación que re-suelve el problema para apoyarlos e insistir en que el alumno que resuelve el problema tiene que explicar a todos los compañeros del grupo cómo lo resolvió, de forma que todos entiendan lo que hizo y por qué lo hizo. De lo contrario, no se lleva las tarjetas en juego y se devuelven al mazo.
Si en algún problema sale una operación que no saben resolver en el grupo, la dejan anotada en el cuaderno como sin resolver. Las cartas se retiran, se dejan a un lado y se sacan nuevas tarjetas.
Al finalizar el juego se hace una breve puesta en común de aquellos problemas que no se han sabido resolver, anotándolos en el pizarrón por grupos; cada grupo elige uno distinto y tratan de resolverlo. Luego, un representante de cada grupo sale al pizarrón a explicar cómo han resuelto el problema, compartiendo los procedimientos con todo el curso.
Posteriormente, en forma individual o en parejas, los alumnos resuelven los proble-mas de la Ficha 2. Los problemas de esta ficha tienen el propósito de que los niños se enfrenten a problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medi-da, en el contexto del juego, con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y las resuelvan recurriendo a la multiplicación o división.
Una vez que hayan respondido al menos las dos primeras preguntas, promueva que comparen las preguntas formuladas y los procedimientos utilizados para resolverlos.
34
orientaciones
El docente debiera procurar que los niños transiten desde los procedimientos ru-dimentarios como es la suma y/o resta iterada, hacia procedimientos más resumidos como son la multiplicación y/o la división para calcular el resultado.
Momento de cierre
En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas:
a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes, la pregunta se puede formular de distintas maneras, pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades; dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.
b) Para resolver problemas de iteración de una medida, como por ejemplo del pro-blema 3 de la Ficha 2, en la que es necesario determinar cuánto es 36 veces 4, los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 36 x 4.
Para realizarla se puede descomponer el 36 canónicamente e interpretar:
36 veces 4 como 30 veces 4 más 6 veces 4
Cálculos que para los niños son conocidos: 30 x 4 = 120 y 6 x 4 = 24
Luego 36 x 4 = 120 + 24 = 144
c) Por otra parte, si los datos son la medida y la cantidad total de unidades, la pre-gunta que se puede formular es ¿cuántos paquetes puedo formar? En ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de uni-dades por paquete.
d) Para calcular la división se recurre a la relación inversa entre la división y la multi-plicación, de manera que como la multiplicación es una suma iterada, la división es una resta iterada.
Es posible calcular el cuociente de una división a partir de buscar aquella cantidad que multiplicada por el divisor se acerca lo más posible (sin pasarse) al dividendo, a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10. Por ejemplo para resolver el problema 1 de la Ficha 2, es necesario hacerse la pregunta qué número de veces 3 cebollines, resulta o se acerca a 96, es decir:
? Paquetes • 3 cebollines por paquete = 96 cebollines
Asociando la división con la resta reiterada, se busca qué múltiplo de 10 multiplica-do por 3 se acerca más a 96, sin pasarse.
TeRceRA clAse
3�
orientaciones
96- 90
6- 6
0
: 3 =
: 3 =
30
2 32
10 · 3 = 30 si se hacen 10 paquetes se ocupan 30 cebollines20 · 3 = 60 si se hacen 20 paquetes se ocupan 60 cebollines30 · 3 = 90 si se hacen 30 paquetes se ocupan 90 cebollinesNo alcanza para 40 paquetes por que se necesitan 40 • 3 = 120 que es más que los cebollines que se tienen.
Con los 6 cebollines que quedan, se pueden hacer otros paquetes. Para averiguar cuántos, se hace una nueva división donde el dividendo es 62 • 3 = 6 si se hacen 2 paquetes se ocupan los 6 cebollines que quedaban.
30 + 2 = 32 Respuesta: se pueden formar 32 paquetes de cebollines.
Momento de inicio
En el momento inicial se retoma el trabajo realizado en la segunda clase para afianzar la estrategia propuesta para resolver problemas multiplicativos y determinar el cuociente y/o resto en una división. Para ello, la profesora dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajo en la segunda clase.
Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidos permitan el planteamiento de pro-blemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida, donde la división sea inexacta y tenga por cuociente una cantidad de dos cifras.
Para jugar colectivamente a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños. Pida que un niño formule una pregunta, la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cua-derno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado. Posteriormente, confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división.
Al término de este primer momento, afiance los procedimientos sistematizados al finalizar la segunda clase.
Momento de desarrollo
El momento de desarrollo de la clase, tiene dos partes en esta tercera clase. En esta primera parte se debe recordar un conocimiento previo, como es la multiplicación de números de una cifra por múltiplos de 10, 100 y las divisiones asociadas. A partir de
TeRceRA clAse
3�
este conocimiento, los niños y niñas irán adaptando los procedimientos aprendidos a números mayores. Para activar dichos conocimientos se propone continuar jugando a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando ahora solo algunas tarjetas del segundo set de números.
Para lograr el propósito planteado seleccione las tarjetas:
Inicialmente, escoja un par de tarjetas, una con números y la palabra paquetes y otra de verduras, y pida a niñas y niños que formulen una pregunta que relacione ambos datos, por ejemplo: 200 con ajos, que llevará a que los niños formulen preguntas del tipo: ¿Cuántos ajos tengo en 200 paquetes, con 4 ajos cada uno?
La multiplicación que resuelve este problema es 200 x 4 y se espera que la respon-dan, extendiendo las combinaciones multiplicativas básica a los múltiplos de 100, así como lo hicieron cuando las extendieron a los múltiplos de 10. La validez y justificación de esta extensión, los niños deben haberla realizado en 3º básico, cuando cuantificaron colecciones de objetos agrupados de a 100. En este momento debieran recurrir a argu-mentos como, ya que 2 x 4 = 8, y 20 x 4 = 80 entonces 200 x 4 = 800.
Si detecta algunas dificultades en el dominio de la multiplicación por múltiplos de 100 y las divisiones asociadas, se sugiere poner a disposición del curso tablas con la generalización de las combinaciones multiplicativas básicas (ver Cuadro de Productos, Material 11).
Posteriormente, escoja un par de tarjetas, una de números con la palabra unidades y otra de verdura y pida que formulen una pregunta que relacione ambos datos, por ejemplo: 800 con betarragas, que dará origen a preguntas del tipo: Con 800 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 betarragas se pueden hacer?
Para responder las preguntas directamente, se necesita recurrir a los conoci-mientos previos señalados. Así, para calcular 800 : 5, un procedimiento abreviado es el siguiente:
300unidades
500unidades
600unidades
800unidades
100paquetes
200paquetes
50paquetes
60paquetes
orientaciones
3�
Procedimiento Argumento
800 : 5 = 100- 500 300
Porque para hacer 100 paquetes de 5 betarragas cada uno, se utilizan 100 • 5 = 500 betarragasSi se hacen 200 paquetes, se utilizan 200 • 5 = 1.000 betarragas, cantidad que excede a la cantidad de betarragas de que se dispone.
300 : 5 = 60- 300 0
Como quedan 800 – 500 = 300 betarragas, se pueden formar otros paquetes.Para averiguar cuántos, comenzar probando con 10 paquetes, luego con 20 y así, hasta encontrar una cantidad con la que se ocupe la mayor cantidad posible de betarragas.10 ∙ 5 = 50; 20 • 5 = 100; 30 • 5 = 15040 ∙ 5 = 200; 50 • 5 = 250, 60 • 5 = 300
Se pueden hacer:100 + 60 = 160 paquetes de betarragas y no queda ninguna betarraga.
En la segunda parte del momento de desarrollo, se propone continuar con la di-námica del juego. Con esta actividad se pretende enfrentar a los niños a un problema similar a los que ya han resuelto, pero en este caso jugando con todas las tarjetas, lo que exigirá adaptar la técnica que vienen usando a esta nueva situación.
Escoja, por ejemplo, las tarjetas “252 unidades” y la palabra unidades y “cebollines”.
Pida que un niño formule una pregunta, escriba la división respetiva en la pizarra y que los niños y niñas trabajando en pareja, busquen la forma más económica de deter-minar el cuociente.
De los procedimientos utilizados por ellos, ponga en común aquellos que buscan
el cuociente ampliando lo aprendido, es decir, utilicen la relación inversa entre la mul-tiplicación y la división, calculen cuocientes parciales a través de multiplicar el divisor por múltiplos de 10 ó 100.
El trabajo con la Ficha 3 debe ser planteado como una extensión de la actividad anterior, para que los niños, trabajando ya sea individualmente o en pareja, comparen sus procedimientos con otros compañeros. En la medida que tengan claro que deben encontrar un procedimiento que les permita en pocos pasos encontrar el cuociente, podrán reconocerlo en los procedimientos que esté usando alguno de ellos.
Momento de cierre
En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas:
a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes, la pregunta se puede formular de distintas maneras, pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades; dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.
orientaciones
3�
b) Para resolver problemas de iteración de una medida, como por ejemplo del pro-blema 3 de la Ficha 3, en la que es necesario determinar cuánto es 312 veces 6, los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 312 x 6.
Para realizarla se puede descomponer el 312 canónicamente e interpretar:
312 veces 6 como 300 veces 6 más 10 veces 6 más 2 veces el 6
Cálculos que para los niños son conocidos: 300 x 6 = 1800; 10 x 6 = 60 y 2 x 6 = 12
Luego 312 x 6 = 1800 + 60 + 12 = 1872
c) Por otra parte, si los datos son la medida y la cantidad total de unidades, la pre-gunta que se puede formular es: ¿Cuántos paquetes puedo formar? En ese caso, dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de uni-dades por paquete.
d) Respecto a resolver divisiones cuando el dividendo es un número de tres cifras, sistematice que entre los procedimientos que hay para calcular el cuociente y/ o resto, hay algunos que son más eficaces. Destaque que la clave está en la estrategia de bús-queda; cuando el dividendo es un número de 3 cifras, se debe comenzar multiplicando el divisor por un múltiplo de 100, luego de 10 y números de una cifra. Por ejemplo, para resolver el problema 1 de la ficha 3, se debe calcular la división 808 : 3
Procedimiento Argumento
808 : 3 = 200- 600 208 : 3 = 60- 180 28 : 3 = 9- 27 1
Como el dividendo es un número de 3 cifras, se comienza multiplicando el divisor por múltiplos de 100:100 • 3 = 300 < 808, se prueba con el siguiente múltiplo de 100200 • 3 = 600 < 808, se prueba con el siguiente múltiplo de 100300 • 3 = 900 > 808 entonces el cuociente se encuentra entre 200 y 300
Se utiliza como estrategia multiplicar el divisor por múltiplos de 10:10 • 3 = 30 < 208, se probará con un múltiplo de 10 mayor40 • 3 = 120 < 208 , se probará con otro múltiplo de 10 mayor60 • 3 = 180 < 20870 • 3 = 210 > 208 entonces el cuociente se encuentra entre 260 y 270
Como 28 es mayor que 3, continuamos aproximándonos al cuociente, esta vez dividiendo 28 entre 3.
Se pueden hacer 200 + 60 + 9 = 269 paquetes de cebollines y queda un cebollín.
cUARTA clAse
orientaciones
3�
Es importante formar el hábito de comprobar los resultados obtenidos, porque así los niños y niñas controlan sus procedimientos y, además, enfatizan la relación inversa entre la multiplicación y la división.
Es probable que quienes utilicen el algoritmo tradicional de la división lleguen, en algunos casos, a resultados errados que podrán reconocer si comprueban la división.
En esta clase se pretende que los niños y niñas sepan formular y resolver problemas multiplicativos de iteración de una medida, reparto equitativo y agrupamiento en base a una medida. Además, se espera que sean capaces de distinguir claramente el rol que juega cada uno de los datos y la incógnita en el problema (número de grupos, medida de grupo, cantidad total de unidades), que interpreten correctamente el resto y que utilicen la calculadora para calcular productos y divisiones.
Momento de inicio
En el momento inicial de la clase se propone empezar jugando el juego “Plantean-do problemas” en grupos de 3 a 4 alumnos. Utilizar Ficha 4.
Es importante que cada docente se asegure de que los alumnos entienden bien las instrucciones y que haga especial énfasis en que en los problemas formulados la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. Además, que no es necesario resolverlos, sino que basta con plantear correctamente la operación que los resuelve.
Veamos un ejemplo del juego. Supongamos que nuestro tablero es el siguiente y que al sacar las cartas de los mazos salen los números 100 y 8;
Actividad 1. Formulando problemas con caramelos
Entonces, con estas tarjetas y ese tablero los problemas con solución que se pueden plantear son:
Problema 1 Problema 2
cUARTA clAse
? ?? 100 8
cantidad totalde caramelos
caramelosen cada bolsa
númerode bolsas Tarjetas que salieron
100
cantidad totalde caramelos
8
caramelosen cada bolsa
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100
cantidad totalde caramelos
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caramelosen cada bolsa
8
númerode bolsas
orientaciones
40
Problema 3 Problema 4
ya que los problemas que aparecen al ubicar el 8 en el total de caramelos no tienen so-lución. Eso se debe a que la cantidad total de unidades debe ser mayor que la cantidad de unidades en cada bolsa (o sea que la medida), y que la cantidad de bolsas (o sea que la cantidad de veces que se repite la medida).
Hay que tener presente que en la actividad es posible que los alumnos planteen algunos problemas que no tienen solución. En ese caso es bueno abrir la discusión de por qué ese problema “no sirve” y tratar de que emerja por parte de los alumnos que la cantidad total de unidades tiene que ser mayor que la cantidad de grupos que se deben formar o la cantidad de unidades que tiene cada grupo.
De los cuatro problemas que pueden aparecer en el juego con solución, el Problema 1 corresponde a un agrupamiento, el Problema 2 a un reparto equitativo, mientras que los Problemas 3 y 4 corresponden a la iteración en base a una medida.
Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de plantear la operación que resuel-ve el problema planteado especificando qué representa cada dato y qué representa la incógnita. Por ejemplo, la formulación del Problema 1 podría ser: Si tenemos 100 cara-melos y los agrupamos en bolsas de a 8, ¿cuántas bolsas se pueden formar?
La operación que resuelve el problema sería 100 : 8, siendo 100 la cantidad total de caramelos, 8 los caramelos que hay en cada bolsa y el resultado de la operación sería la cantidad de bolsas que puedo formar.
Con esta actividad se espera lograr que los alumnos sean capaces de, además de plantear problemas, especificar la operación que los resuelve y el significado de cada dato, así como del resultado. En esta actividad no se pretende que realicen la división o el producto, basta con que lo planteen.
Luego del momento del inicio, el profesor(a) selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos en que uno sea de agrupamiento, otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. El profesor guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas planteados como las operaciones planteadas por el curso e identifica el significado de cada dato y el sig-nificado del resultado.
Momento de desarrollo
En el momento de desarrollo de la clase, el profesor plantea una situación análoga a la actividad 1, en el pizarrón, con un tablero donde figuran la cantidad total de manza-nas, manzanas en cada bandeja, y el número de bandejas, siendo 24 y 6 las dos tarjetas.
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cantidad totalde caramelos
8
caramelosen cada bolsa
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caramelosen cada bolsa
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númerode bolsas
orientaciones
41
Alumnas y alumnos trabajan en forma individual, o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las diversas combinaciones que el profesor(a) es-cribe en el pizarrón.
Actividad 2
Los alumnos deben formular y resolver cada problema. Hay que tener presente que tanto (p1) como (p6) no tienen solución, así que podrían considerarse como problemas mal formulados. También es importante reflexionar que si bien el cálculo implicado en los problemas (p2) y (p3) es el mismo, ambos son problemas distintos. En (p2) se tienen seis bandejas con 24 manzanas en cada bandeja, mientras que en (p3) se tienen 24 ban-dejas con seis manzanas en cada bandeja.
Una vez que han resuelto los cuatro problemas, el docente pide a los alumnos que asocien la palabra repetir, agrupar o repartir a cada problema resuelto según sea la ac-ción involucrada para resolverlo, especificando en cada caso la cantidad que hay que repetir, agrupar o repartir.
(p1) sin solución
(p2) Se repite seis veces la bandeja de 24 manzanas (de iteración; la medida 24 manzanas por bandeja)
(p3) Se repite 24 veces la bandeja de 6 manzanas (de iteración; la medida 6 manzanas por bandeja)
(p4) Se agrupan 24 manzanas en bandejas de a seis manzanas cada una (de agrupamiento; la medida 6 manzanas por bandeja)
(p5) Se reparten 24 entre seis bandejas (de reparto equitativo; la medida 4 manzanas por bandeja)
(p6) Sin solución.
6
cantidad totalde manzanas
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24
númerode bandejas
(p4)(p1) 24
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cantidad totalde manzanas
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manzanasen cada bandeja
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númerode bandejas
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manzanasen cada bandeja
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númerode bandejas
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cantidad totalde manzanas
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númerode bandejas
(p6)(p3) 6
cantidad totalde manzanas
24
manzanasen cada bandeja
?
númerode bandejas
orientaciones
42
Una vez los niños han formulado y resuelto los problemas, el profesor escribe en el pizarrón y pide voluntarios que le dicten el problema que han formulado, la operación y la respuesta y los anota en la pizarra, corrigiéndolos en caso que sea necesario.
Luego, en la Actividad 3 se propone trabajar en forma individual (o por parejas) los problemas propuestos en la Ficha 5.
El primer problema de la ficha plantea una situación de agrupamiento en base a una medida.
Mireya tenía que poner 315 bebidas en cajas de a 12. ¿Cuántas cajas usó?
Para resolverlo se tiene que averiguar cuántos grupos de a 12 bebidas puedo for-mar, de manera que hay que dividir 315:12, o buscar qué cantidad multiplicada por 12 se acerca más a 315 sin pasarse.
La intención didáctica de estas actividades es que niñas y niños comparen los pro-cedimientos utilizados para resolver distintos problemas de división y puedan concluir que, independiente del contexto, los procedimientos aprendidos les permiten resol-verlos.
? cajas • 12 botellas = 315 botellas
Acá pueden proceder de la siguiente forma 10 x 12 = 120, 20 x 12 = 240
315 – 240 = 75, es decir formo 20 cajas y todavía me quedan 75 botellas. Lleno 4 cajas más (4 x 12 = 48), con lo que me quedan 75 – 48 = 27 botellas. Vuelvo a llenar dos cajas y me sobran 3 botellas. De forma que el resultado es 20 + 4 + 2 = 26 cajas y quedan 3 botellas.
El procedimiento desarrollado de la división podría ser:
315 : 12 = – 240 75– 60 15– 12 3
20 5+ 1 26
20 x 12 = 240 5 x 12 = 60 1 x 12 = 12
26 x 12 = 312 312 + 3 = 315
Resultado 26 cajas y quedan 3.
Comprobación:
orientaciones
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3 botellas
315 botellas
12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
caja ¿Cuántas cajas?caja caja
Resultado 10 + 10 + 5 + 1 = 26 cajas y quedan 3 botellas sueltas
Un esquema para este problema podría ser:
El segundo problema de la ficha, que pese a que la acción efectuada en el problema fue un reparto equitativo, los datos del problema son la cantidad de amigos (o sea la cantidad de grupos) y los caramelos que le tocan a cada amigo (o sea la medida) y la pre-gunta hace referencia al total de caramelos.
Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa?
Este problema pone de manifiesto la necesidad de que los alumnos no se guíen ex-clusivamente por palabras clave a la hora de resolver los problemas, sino que sean capa-ces de interpretar el rol de cada uno de los datos en el problema y puedan resolverlo.
En este caso, pese a que la acción efectuada por Luz fue un reparto equitativo, el problema se resuelve mediante un producto, dado que la incógnita del problema son los dulces que repartió; en este sentido, siguiendo la nomenclatura utilizada en el campo de problemas aditivos, se podría clasificar este problema como inverso, dado que la acción del problema involucra una división, pero sin embargo se resuelve con un producto.
De ese modo, la operación sugerida por el problema es la división:
¿Total de dulces? : 5 amigos = 20 dulces c/amigo
Un esquema para representar este problema y que podría ayudarnos a resolverlo sería:
¿Total caramelos?
20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces
amigo 1 amigo 2 amigo 3 amigo 4 amigo 5
orientaciones
44
Ahora bien, para poder obtener la cantidad total de dulces basta con interpretar correctamente el significado de cada dato. De ese modo, 20 dulces es la medida que le toca a cada amigo y dado que eran cinco amigos, podemos pensar el problema como de iteración de una medida para resolverlo. De ese modo la operación que lo resuelve sería:
5 amigos x 20 dulces c/amigo = Total de dulces
No es de sorprender que la mayoría de alumnos responda erróneamente el pro-blema, en ese caso es bueno insistir en que traten de reconocer el rol de los datos y la pregunta que plantea el problema.
El problema 3 de la Ficha 5 es un problema donde se itera una medida (la cantidad de hamburguesas de una caja); dado que los datos son el número de veces que se itera (18) y la medida (20 hamburguesas) y la pregunta es la cantidad total, que se resuelve mediante el producto entre los dos datos.
Momento de cierre
Al cierre de esta clase se enfatiza la importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el signifi-cado de la respuesta. Para ello sugerimos que el profesor retome los problemas 3, 4 y 5 planteados por los alumnos en la Actividad 2, y sobre ellos analice en voz alta junto con los alumnos el significado de cada dato, la operación que lo resuelve, y el resultado del problema.
Los problemas planteados podrían ser:
P3. Tengo 24 bandejas de 6 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas tengo en total?
P4. Tengo 24 manzanas y las agrupo en bandejas de a 6. ¿Cuántas bandejas puedo formar?
P5. Repartí 24 manzanas entre sus seis amigos. ¿Cuántas manzanas le tocaron a cada amigo?
Luego, se propone recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema, ya que la operación que lo resuelve no solo depende de la acción realizada (reparto, agrupamiento, iteración), sino también de cuá-les son los datos del problema, tal y como sucedía en el Problema 2, de la Actividad 3. Sugiera que propongan un ejemplo similar, en que la acción involucrada en el problema es un reparto, y sin embargo, se resuelve con una multiplicación (para ello los datos del problema deben ser la cantidad de personas participantes del reparto y la cantidad que le toca a cada uno, mientras que la pregunta debe ser la cantidad repartida).
qUinTA clAse
orientaciones
4�
En esta clase se pretende que los niños y niñas usen los procedimientos estudiados para plantear y resolver problemas multiplicativos de proporcionalidad y sean capaces de comprobar el resultado de una división. También se espera trabajar los procedimien-tos para dividir surgidos de las clases 2 y 3.
Así, esta clase tiene el propósito principal de trabajar lo estudiado en las clases anteriores, de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los cono-cimientos construidos.
Momento de inicio
En el momento inicial de la clase se propone empezar con un Actividad similar a la Actividad 2 de la clase anterior, donde se les plantea a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos, planteen tres problemas distintos y los resuelvan. La actividad se realiza individualmente, si bien está permitido consultar al compañero en caso de tener dudas. Utilizar Ficha 6.
Una vez resueltos los problemas planteados, se pide a los alumnos que, por parejas traten establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado.
El resultado de la división que van a tener que comprobar es 150 : 40. Un razona-miento que podrían establecer para elaborar un procedimiento de comprobación es el siguiente;
Si el resultado de la división 150 : 40 me ha dado 3 y sobran 30, eso significa que el 40 cabe (está contenido) tres veces dentro del 150, y todavía sobran 30 unidades. Enton-ces 3 veces 40 más los 30 que me sobran debería ser igual a los 150 que es la cantidad total. De lo contrario, es que me he equivocado al dividir.
Veamos un ejemplo de cómo podría ser el proceder de algún alumno(a):
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150 : 40 = – 80 70– 40 30
2 + 1 3
40 x 2 = 80 40 x 1 = 40
3 x 40 = 120120 + 30 = 150
Resultado 3 y sobran 30.
Comprobación:
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El momento inicial se cierra con una pequeña puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40.
Momento de desarrollo
En el momento de desarrollo de la clase se propone que los alumnos trabajen indi-vidualmente en las Actividades 2 y 3 de la Ficha 7.
La actividad 2 es una actividad centrada en el cálculo, con el propósito de que los alumnos practiquen las técnicas de cálculo que han aprendido en esta unidad y en uni-dades anteriores. A su vez se pretende que practiquen la técnica de comprobación de la división vista en el momento inicial.
Una vez que la mayoría haya finalizado la Actividad 2, comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos. En la corrección es recomendable dejar espacio a los alumnos para que puedan comentar entre ellos las dudas que tengan al respecto de la solución de los problemas y plantearle al profesor las cosas que no entienden.
Luego, proceden a resolver individualmente los problemas planteados en la Activi-dad 3. Una vez resueltos los problemas, por parejas, comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero(a).
Es probable que bastantes alumnos se equivoquen en la resolución del Problema 1, dado que es un problema inverso. Pese a que la acción del problema es de agrupar, para resolverlo hay que realizar el producto entre los dos datos. En ese sentido, se puede pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema, de forma que les pueda ayudar a deducir la operación que lo resuelve.
Momento de cierre
En el momento de cierre se propone que el profesor(a), junto con su curso, siste-maticen lo más importante de lo que han estudiado en la unidad.
1. La importancia de entender bien el significado de cada dato y de la incógnita en un problema antes de resolverlo. En este aspecto, en los problemas estudiados tenemos tres cantidades distintas: la cantidad de unidades que tiene cada grupo, el número de grupos y el total de unidades, dos de ellas son conocidas y la tercera desconocida.
2. En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3).
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• Si nos dan como datos la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo, la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo.
• Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos, la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos.
• Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo, la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo.
3. Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. Si ese cálculo coincide con el dividendo, el resultado es correcto (Aquí sugerimos comprobar el cálculo que los alumnos hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3).
En la primera parte de la clase, se aplica la Prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos y alumnas comprendan lo que se les solicita, sin entregar información adicio-nal a la planteada en los problemas.
En la segunda parte de la clase, se sugiere que el profesor(a) realice una corrección de la prueba en la pizarra, preguntando a niños y niñas los procedimientos que utiliza-ron. Si hubo errores, averiguar por qué los cometieron.
Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores.
Incluimos, además de la prueba, una pauta de corrección, que permite organizar el trabajo del profesor(a) en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.
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3 ó
312
x 6
?d)
¿Có
mo
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08 : 3
?
• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. • Comprobar el resultado de la división.
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Activ
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las
resp
uest
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• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida, iteración de una medida, y de reparto equitativo. • Comprobar el resultado de la división.
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54
Nombre: Escuela:
Curso: Fecha: Puntaje:
Indicaciones para el profesor (a):Leer la prueba completa, pregunta por pregunta, señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional.
Resuelvelossiguientesproblemas:
1. DonRaúldeseaecharlamismacantidaddeajosen4bolsas.
Nota
Prueba y PautaV
Prueba de la tercera unidad didácticamatemática • cuarto año básico
2. LaseñoraMartatiene960cebollines.Quierehacerpaquetescon3cebollinescadauno.
¿Cuántospaquetespuedehacer?
¿Cuántosajosdeberáecharencadabolsasitiene58ajos?
¿Cuántosajoslequedansinrepartir?
55
3. antoniatiene43sobrescon6láminasencadasobre.
726:7=
4. Formulaunproblema,resuélveloapartirdelosdatosquepresentaelsiguientetableroycompruebaelresultado.
5. Resuelvelassiguientesoperaciones:
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8
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¿Cuántasláminastieneantonia?
56
Evaluación de la unidad por el curso
Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Sialcorregir lapruebacon lapautasugerida,encuentraalgunasrespuestasambiguasde losniños, se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedanexplicarsusrespuestas.
Puntaje máximo 20
% total de logro del curso
Pregunta Tareas matemáticasCantidad de alumnos que
respondió bien% de logro
1 Resuelvenunproblemaderepartoequitativodistinguiendolacantidaddeobjetosquerecibecadagrupoylosobjetosquequedansinrepartir.
2 Resuelvenunproblemadeagrupamientoenbaseaunamedida,dondelacantidadtotaldeobjetosesunnúmerodetrescifras.
3 Resuelvenunproblemadeiteraciónenbaseaunamedida.
4a Formulanyresuelvenunproblemateniendocomodatoslacantidadtotaldeobjetosylamedidadecadagrupo.
4b Compruebanelresultadodeunadivisión.5a Resuelvenunadivisiónconeldividendodetrescifras.5b Resuelvenunamultiplicación.
Pregunta Respuesta Puntos
1
Responde14ajosencadabolsa,utilizandocomoprocedimientoparabuscarelcuocientemultiplicarpor10yluegopor4oelalgoritmoconvencional.Responde14paquetes,utilizandocomoprocedimientoparabuscarelcuocientemultiplicarporunnúmerocualquiera.Responde14paquetes,sinutilizar larelacióninversaentrelamultiplicaciónyladivisión(dibujan,sumanorestan).Respondequequedan2ajossinrepartir.
3
2
11
4
2
Responde 320 paquetes, utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento de loscuocientesparcialesmultiplicandopor300y20,elmayormúltiplode100yelmayormúlti-plode10,respectivamente.Responde320paquetes,utilizandocomoprocedimientolabúsquedadecuocientesparcia-lesmultiplicandopornúmerosdistintosa300y20.Responde320paquetes,sinutilizarlarelacióninversaentrelamultiplicaciónyladivisión(dibujan,sumanorestan).
3
2
1
3
3Responde258láminas,utilizandoelalgoritmoconvencionaloelprocedimientobasadoenladescomposicióncanónicade43.Responde258láminas,utilizandocomoprocedimientolasumade43seisveces.
3
23
4
Formulanunproblemadeltipoderepartoequitativo,porejemplo:Sitengo105tomatesylosquieroagruparenbandejasdeaocho¿cuántasbandejaspuedoformar?Escribenladivisión105:8Escriben13comoelcuocientedeladivisión.Compruebanelresultadoverificandoque13x8+1=105
2111
5
5 a)Resuelveladivisión726:7yescribe103decuocientey5derestob)Resuelvelamultiplicación87x5yescribe435.
32
5
57
• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:
• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:
esPacio Para la reflexión PersonalVI
58
GlosarioVII
Incluye todos aquellos problemas aritméticos que se re-suelven mediante un producto y/o cuociente entre losdatos.
Campo deproblemasmultiplicativos :
Problemassimples :
Problemasdecálculoaritmético,encuyoenunciadoapa-recensolodosdatosyunaincógnita,salvoenelcasodedivisiones inexactas en que aparecen dos incógnitas: elcuocienteyelresto.Losproblemasdeestaunidadsonto-dosdeestetipo.
Un problema multiplicativo es inverso cuando la acciónpresente en el enunciado no se asocia con la operaciónque debe efectuarse para resolverlo. Un ejemplo de pro-blemainversoes:
• anitarepartiótodos losdulcesdeunabolsaentresus5amigosy le tocaron20dulcesacadauno.¿Cuántosdulcesteníalabolsa?
aquellosenlosquesetieneunadeterminadamedidaqueserepiteunacantidaddevecesylaincógnitasueleserlacantidad total. algunos problemas de iteración de unamedidason:
• En cada pocillo ponemos 6 castañas. Si tenemos 12pocillos,¿cuántascastañasnecesitamos?
• Joan compró ocho bandejas de 6 tomates cada una.¿Cuántostomatescompró?
Problemasmultiplicativos deproporcionalidaddirecta :
Problemasinversos :
Problemasmultiplicativos deiteración de unamedida :
Problemasdelcampomultiplicativoenlosquelarelacióndeproporcionalidaddirectaexistenteentedatoseincóg-nitaeslaquepermiteresolverlos.
Número de veces x Medida = Total
59
aquellos en los que se tiene una determinada cantidadtotalquehayqueagruparenunadeterminadamedidaylaincógnitasueleserlacantidaddegruposquesepuedenformar. algunos problemas de agrupamiento en base aunamedidason:
• Noracompróunsacocon238betarragas.Luegoformópaquetes de 5 betarragas para venderlos en la feria.¿Cuántospaquetesobtuvo?
• Pablotienequeponer256bebidasencajas.Siencadacajacaben12bebidas,¿cuántascajasnecesita?
Problemasmultiplicativos deagrupamiento en base a unamedida :
aquellos en los que se tiene una determinada cantidadtotalquehayquerepartirequitativamenteenunadeter-minadacantidaddegruposopersonassiendolaincógnitalamedida(ocantidad)queletocaacadagrupoopersona.Unproblemaderepartoequitativoes:
• Josérepartióequitativamenteunmazode62cartasdeMitos y Leyendas entre sus 7 amigos. ¿Cuántas cartasle tocaron a cada amigo? ¿Le quedaron cartas porrepartir?
Problemasmultiplicativos de repartoequitativo :
fichas y materiales Para alumnas y alumnosVIII
63
Tercera UnidadClase 1Ficha 1 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1) Enlaferiasevendenalgunasverdurasenpaquetes.Porejemplo,laszanahoriassevendenenpaquetesdea8.
2) DoñaMaríatiene24cebollines.Paravenderlos,ellahacepaquetesdea3cebollines.
¿Cuántospaquetesdecebollinespuedehacer?
Resuelveelproblemaentucuaderno.
DoñaMaríatieneunpuestodeverdurasyhavendido6paquetesdezanahoria.
¿Cuántaszanahoriashavendido?
Resuelveelproblemaentucuaderno.
3) adonMatías,quientambiénvendeenlaferia,lequedaronluegodeundíadeventa,9paquetesdezanahorias.
¿Cuántaszanahoriaslequedan?
Resuelveelproblemaentucuaderno.
Resuelveelproblemaentucuaderno.
4) DonMatíasestáhaciendopaquetesdebetarragasparavenderlas.
Sitiene45betarragas,¿cuántospaquetespodráformar?
64
Tercera UnidadClase 2Ficha 2 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
2) Sieneljuego“¿Cuántospaquetes?¿Cuántasunidades?”dasvuelta2tarjetasytesalen:
10alcachofastieneunpaquete
15paquetes
1) Sieneljuego“¿Cuántospaquetes?¿Cuántasunidades?”dasvuelta2tarjetasytesalen:
96unidades
Escribeentucuadernounapreguntaquerelacioneambosdatos.
Respondelapreguntaquetehiciste.
Escribeentucuadernounapreguntaquerelacioneambosdatos.
Respondelapreguntaquetehiciste.
Loscebollinessevendenenpaquetesde3
4) DonMatíastiene72betarragasyvaahacerpaquetesde5.
¿Cuántospaquetespuedehacer?
Resuelveelproblemaentucuaderno.
3) DoñaMaríatiene36paquetesdeajos.
¿Cuántosajostiene,siencadapaquetehay4ajos?
Resuelveelproblemaentucuaderno.
65
Tercera UnidadClase 3Ficha 3 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1) Sieneljuego“¿Cuántospaquetes?¿Cuántasunidades?”dasvuelta2tarjetasytesalen:
Escribeentucuadernounapreguntaquerelacioneambosdatos.
Respondelapreguntaquetehiciste.
808unidades
2) DonFermínrecogió343tomates.Paravenderlosamejorpreciolosenvasaenbandejasde6tomatescadauna.
¿Cuántasbandejasdebecomprar?
3) Enuncriaderodeavesserecogióalfinaldeldía,loshuevosquepusieronlasgallinasyconelloshizo312cajasdehuevos,con6huevoscadauna.
4) LaseñoraBertacompróunpaquete con500cuchuflíes.Quiereponerlos enbolsasde7cuchuflíescadauna.
¿CuántasbolsasnecesitalaseñoraBerta?
Resuelvelosproblemasentucuaderno.
Unpaquetetiene8zanahorias
¿Cuántoshuevospusieronlasgallinasenesedía?
66
Tercera UnidadClase 4Ficha 4 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Materiales:• Dossetde24tarjetasconnúmeros.• tablero.• Cadaalumnodebetenersucuadernoylápiz.
Actividad 1. Planteando Problemas
Porturnossacadostarjetas,unadecadamazo.
Ubicarlastarjetasdeformaquetapendosdelosinterrogantesdeltableroyusandotodoslosdatosdeltableroformulaunproblemaatuscompañeros.
El primer compañero de juego que plantea la operación que resuelve elproblemadice¡alto!ylacomparteconelrestodesuscompañeros.
Elcompañeroquehaplanteadolaoperaciónmueveunaolasdostarjetascambiando su posición en el tablero y formula un nuevo problema a suscompañeros.
Elprocesoserepitehastaquesehayanformuladotresproblemasdistintosusandounmismopardetarjetas.
Luegootroniñooniñasacadosnuevastarjetasdelosmazosyserepiteelproceso.
Resuelveentucuadernocadaunodelosproblemasquesepuedenplantearconcadaparejadedatosdelpizarrón.Sicreesquenotienesoluciónescribe:“notienesolución”.
67
Tercera UnidadClase 4Ficha 5 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
1) Mireyateníaqueapilar315bebidasencajasdea12.¿Cuántascajasusó?
Resuelvelosproblemasentucuaderno.
Actividad 3:
2) Luzrepartióunabolsadecaramelosentresuscincoamigosyletocaron20caramelosacadaamigo.¿Cuántosdulcesteníalabolsa?
3) Pablo compró 18 cajas de hamburguesas para vender en su carnicería. Si cada bandeja trae 20hamburguesas,¿cuántashamburguesascompróPablo?
68
Tercera UnidadClase 5Ficha 6 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Actividad 1:
Conlastarjetas 150 40 yeltablerosiguiente,planteatresproblemasdistintosquetengan
soluciónyescribelaoperaciónqueresuelvecadaunodeellos.cantidad
defósforos
?fósforoscadacaja
?númerodecajas
?Problema1:
Problema2:
Problema3:
69
Tercera UnidadClase 5Ficha 7 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Actividad 2:
Realiza en tu cuaderno los siguientes cálculos y en el caso de las divisiones comprueba el resultado.
Problema1:Davidagrupólaszanahoriasdeunsacoenpaquetesdea10.obtuvo32paquetesylesobraron3.¿Cuántaszanahoriashabíaenelsaco?
Problema2:anita repartió una bolsa de 100 caramelos entre sus ocho amigos. ¿Cuántos caramelos letocaronacadauno?¿Sobróalgúndulce?
Problema4:Manuel compró 250 bombones al por mayor para ponerlos en cajitas y venderlos. Si pone6 bombones en cada cajita, ¿cuántas cajitas necesita comprar?, ¿podrías comprobar turesultado?
305x15=a)
62:4=c)
620:6=e)
745:20=b)
56x12=d)
198:7=f)
Actividad 3:
Resuelvelosproblemassiguientes:
Problema3:¿Cuántoshuevoshayen35docenas?
70
Tercera UnidadClase 2Material 1 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Instrucciones:
Puedenjugarde3a5niñosyniñas.
Ponersobrelamesadosmazosdetarjetasbocaabajo:lastarjetasconnúmerosylastarjetasconlosdibujosdeverduras.
Porturno,unjugadorsacaunacartadecadamazoylasdavueltaparaquelaspue-danobservartodoslosjugadores.
Eljugadorquedavueltalascartastienelamisióndeplantearenformaoralunapre-guntaquerelacioneambastarjetasvolteadas.
Porejemplo,paraestastarjetassepuedeformularlasiguientepregunta:
Si tengo 56 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 puedo formar?
Losjugadoresbuscanlarespuestaindividualmente.Elprimeroenencontrarladice¡Alto!
Muestrasurespuestaylaexplicaasuscompañerosdejuego.Sihaycualquierdudaodesacuerdo,sedeberácomprobarqueelprocedimientoutilizadoestácorrecto.
Silarespuestaescorrecta,eljugadorsequedaconlatarjetadelaverdura.
Ganaaqueljugadorqueprimeroreúne4tarjetasdeverdurasdistintas.
Juego: ¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?
56unidades
Materiales:• Unsetde24tarjetasconnúmeros,12quetienenlapalabraunidades
más12tarjetasquetienenlapalabrapaquetes.• Unsetde12tarjetascondibujodepaquetesdeverduras.• Cadajugadordebetenersucuadernoylápiz.
5betarragastieneunpaquete
71
Tercera UnidadClase 2Material 2 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas con números para segunda clase. (Recortarlastarjetas).
5paquetes
10paquetes
15paquetes
6paquetes
4paquetes
7paquetes
9paquetes
8paquetes
6paquetes
8paquetes
12paquetes
10paquetes
72
Tercera UnidadClase 2 y 3Material 3 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas con dibujos de paquetes de verduras. (Recortarlastarjetas).
Unpaquetetiene8zanahorias
Unpaquetetiene8zanahorias
Loscebollinessevendenen
paquetesde3
Loscebollinessevendenen
paquetesde3
5betarragastieneunpaquete
5betarragastieneunpaquete
4ajostieneunpaquete
4ajostieneunpaquete
6tomatesenunabandeja
6tomatesenunabandeja
10alcachofastieneunpaquete
10alcachofastieneunpaquete
73
Tercera UnidadClase 2Material 4 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas con números para primera clase. (Recortarlastarjetas).
35unidades
40unidades
48unidades
50unidades
56unidades
66unidades
68unidades
72unidades
75unidades
81unidades
85unidades
96unidades
74
Tercera UnidadClase 3Material 5 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas con números para tercera clase. (Recortarlastarjetas).
300unidades
500unidades
600unidades
800unidades
540unidades
252unidades
766unidades
153unidades
808unidades
316unidades
407unidades
960unidades
75
Tercera UnidadClase 3Material 6 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas con números para la tercera clase. (Recortar las tarjetas).
86paquetes
200paquetes
30paquetes
60paquetes
50paquetes
64paquetes
58paquetes
71paquetes
100paquetes
120paquetes
132paquetes
140paquetes
76
Tercera UnidadClase 4Material 7 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 1
960360120966026450540
143600500300Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 2
22181472561512810205
77
Tercera UnidadClase 4Material 8 Cuarto Básico
Nombre:Curso:
Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase.
? ? ?cantidadtotaldecaramelos
caramelosencadabolsa
númerodebolsas
Tablero 1
? ? ?cantidadtotal
delápiceslápicesen
cadaestuchenúmero
deestuches
Tablero 2
? ? ?cantidadtotaldezanahorias
zanahoriasencadapaquete
númerodepaquetes
Tablero 3
78
Tercera UnidadMaterial 9 Cuarto BásicoNombre:Curso:
Tabla Pitagórica
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
79
Tercera UnidadMaterial 10 Cuarto BásicoNombre:Curso:
Tabla Pitagórica ExtendidaX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 14 15 16 17 18 19 202 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 403 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 604 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 805 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1006 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 1207 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 1408 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 1609 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 20011 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 22012 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 24013 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 26014 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 28015 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 30016 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 32017 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 34018 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 36019 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 38020 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 40021 21 42 63 84 105 126 147 168 189 210 231 252 273 294 315 336 357 378 399 42022 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396 418 44023 23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 299 322 345 368 391 414 437 46024 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 48025 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 50026 26 52 78 104 130 156 182 208 234 260 286 312 338 364 390 416 442 468 494 52027 27 54 81 108 135 162 189 216 243 270 297 324 351 378 405 432 459 486 513 54028 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280 308 336 364 392 420 448 476 504 532 56029 29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435 464 493 522 551 58030 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 60031 31 62 93 124 155 186 217 248 279 310 341 372 403 434 465 496 527 558 589 62032 32 64 96 128 160 192 224 256 288 320 352 384 416 448 480 512 544 576 608 64033 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 66034 34 68 102 136 170 204 238 272 306 340 374 408 442 476 510 544 578 612 646 68035 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 490 525 560 595 630 665 70036 36 72 108 144 180 216 252 88 324 360 396 432 468 504 540 576 612 648 684 72037 37 74 111 148 185 222 259 296 333 370 407 444 481 518 555 592 629 666 703 74038 38 76 114 152 190 228 266 304 342 380 418 456 494 532 570 608 646 684 722 76039 39 78 117 156 195 234 273 312 351 390 429 468 507 546 585 624 663 702 741 78040 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560 600 640 680 720 760 80041 41 82 123 164 205 246 287 328 369 410 451 492 533 574 615 656 697 738 779 82042 42 84 126 168 210 252 294 336 378 420 462 504 546 588 630 672 714 756 798 84043 43 86 129 172 215 258 301 344 387 430 473 516 559 602 645 688 731 774 817 86044 44 88 132 176 220 264 308 352 396 440 484 528 572 616 660 704 748 792 836 88045 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720 765 810 855 90046 46 92 138 184 230 276 322 368 414 460 506 552 598 644 690 736 782 828 874 92047 47 94 141 188 235 282 329 376 423 470 517 564 611 658 705 752 799 846 893 94048 48 96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816 864 912 96049 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 98050 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
80
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300
350
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450
500
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01.
500
2.00
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500
3.00
03.
500
4.00
04.
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3.20
04.
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•2
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140
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120
160
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240
280
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5010
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025
030
035
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024
032
040
048
056
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800
1.00
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1.40
01.
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1.80
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800
1.20
01.
600
2.00
02.
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03.
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3.60
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1.00
01.
500
2.00
02.
500
3.00
03.
500
4.00
04.
500
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1.60
02.
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3.20
04.
000
4.80
05.
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6.40
07.
200
