Guia Estudio Funciones a Trozos

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REFLEXIÓN IGNACIANA:

Queridos estudiantes, hoy los dejo con una frase de nuestro querido Ignacio tomadas

de sus Ejercicios Espirituales, experiencia única, iluminadora y de encuentro íntimo con

el Señor, que ustedes después de un año exactamente estarán viviendo y que marcará

sus vidas, como de tantos que los hemos realizado en el pasado, y que siguen siendo

fuente de inspiración de nuestras vidas. Los animo a ir preparando su corazón para

vivir profundamente esta experiencia transformadora.

“Imaginando a Cristo nuestro Señor

delante y puesto en cruz,

preguntarse qué he hecho por Cristo,

lo que hago por Cristo,

lo que debo hacer por Cristo”

San Ignacio de Loyola [EE 53]

FUNCIONES ESPECIALES

Función a trozos

A continuación encontrarás algunos ejercicios con los que puedes ejercitarte:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS:

1. Realiza la gráfica de la función definida a trozos. Determine su dominio y recorrido.

Adicionalmente evalúa f(-4), f(-2) y f(0).

( ) {

Observemos que la función f tiene 2 trozos de gráfica, y cada trozo tiene unos intervalos en los

que está restringida.

PRIMER TROZO: Contiene la función lineal ( ) cuando x es menor o igual a -2, y en

ese intervalo damos valores y graficamos la recta resaltando los puntos en los que se pasa de

un intervalo a otro.

x -4 -2

y -2 0

2

Veamos la gráfica del primer trozo ( ) :

Observe que solo se ha resaltado con un círculo lleno el punto (-2;0) donde se pasa de un trozo

a otro, y es lleno porque el intervalo incluye el punto 2 porque contiene el igual.

SEGUNDO TROZO: Contiene la función cuadrática ( ) cuando x es mayor a -2.

Damos valores en ese intervalo incluyendo el extremo abierto x=-2 y luego buscamos puntos

adicionales hacia el lado derecho para completar la gráfica.

x -2 -1 0 1 2 3

y 5 2 1 2 5 10

Veamos la gráfica del segundo trozo:

3

Observe que solo se ha resaltado con un círculo vacío el punto (-2;0) donde se pasa de un trozo

a otro, y es lleno porque el intervalo incluye el punto 2 porque contiene el igual.

GRÁFICA COMPLETA:

Evidentemente la gráfica de la función está compuesta por todos los trozos dibujados en un

mismo plano cartesiano, que por efectos didácticos fueron mostrados anteriormente por

separado. En los siguientes ejercicios se mostrará solamente la gráfica completa. Veamos

cómo queda nuestra función a trozos:

Nota una vez más que los extremos de los intervalos se resaltan con un círculo, que es lo que

hemos hecho en x=-2, pero solo uno de ellos puede estar cerrado porque si ambos estuvieran

cerrado tendríamos dos valores para x=-2, y ya no sería función.

DOMINIO Y RECORRIDO:

EVALUACIÓN DE FUNCIONES:

Volvamos a observar la regla de correspondencia dada de nuestra función a trozos:

( ) {

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Evaluemos las funciones pedidas:

a. f(-4)

Observemos que x=-4 pertenece al intervalo que restringe al primer trozo, por lo que

evaluamos en ( ) :

( ) ( )

b. f(-2)

Observemos que x=-2 es el extremo cerrado del intervalo que restringe al primer trozo, por lo

que evaluamos en ( ) :

( ) ( )

c. f(0)

Observemos que x=0 pertenece al intervalo que restringe al segundo trozo, por lo que

evaluamos en ( ) :

( ) ( )


Adicionalmente evalúa f(-4), f(1) y f(3).

( ) {

La función f tiene 2 trozos de gráfica, y cada trozo tiene unos intervalos en los que está

restringida.

PRIMER TROZO: Contiene la función lineal ( ) cuando x es menor a 1, y en ese intervalo

damos valores y graficamos la recta, incluyendo el punto extremo abierto del intervalo x=1,

por lo que lo graficamos con un círculo vacío.

X 0 1

Y 0 1

SEGUNDO TROZO: Contiene la función constante ( ) cuando x es mayor o igual a 1.

Tome en cuenta que se trata de una recta horizontal que pasa por y=2. Damos valores en ese

intervalo incluyendo el extremo cerrado x=1 que lo graficamos con un círculo lleno.

x 1 2

y 2 2

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GRÁFICAMOS:

Observa que los puntos extremos de ambos intervalos los resaltamos con un punto lleno o

vacío según sea cerrado o abierto.


{ }


Observemos la regla de correspondencia dada de nuestra función a trozos:

( ) {


a. f(-4)

Como x=-2 pertenece al intervalo que restringe al primer trozo, evaluamos en ( ) :

( )

b. f(1)

Como x=1 pertenece al intervalo que restringe al segundo trozo, evaluamos en ( ) :

( )

c. f(3)


( )

Note que en el trozo que corresponde a la función constante para cualquier valor de x, f(x)

siempre va a ser 2. Obsérvelo en la gráfica también.

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Adicionalmente evalúa f(-3), f(0), f(1), f(2) y f(4).

( ) {

La función f tiene 3 trozos de gráfica con sus respectivas restricciones, en este caso, dados en

forma de intervalo.

PRIMER TROZO: Contiene la función cuadrática ( ) cuando x está entre

menos infinito y 1 (incluido). En ese intervalo damos valores y graficamos la parábola.

X -3 -2 -1 0 1

Y 4 1 0 1 1

SEGUNDO TROZO: Contiene la función constante ( ) cuando x está entre 1 (no incluido)

y 3 (no incluido). Tome en cuenta que se trata de una recta horizontal que pasa por y=4, en

cualquier valor que demos a x dentro del intervalo, incluyendo los extremos abiertos x=1 y x=3.

x 1 2 3

y 4 4 4

TERCER TROZO: Contiene la función lineal ( ) cuando x es mayor o igual a 3, y en

ese intervalo damos valores y graficamos la recta, incluyendo el punto extremo cerrado del

intervalo x=3.

X 3 4

Y 4 5

GRÁFICAMOS:

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Nota que anteriormente hemos dicho que los extremos de los intervalos se resaltan, sin

embargo, en esta gráfica no los hemos resaltado. ¿Por qué? Cuando los extremos coinciden

entre un trozo y el siguiente, pasa que se junta un círculo lleno con un círculo vacío, y por esa

razón, ya no hay necesidad de resaltar esos puntos extremos. En este caso si observas los tres

trozos coinciden perfectamente en sus extremos, por tanto, no se resaltaron sus extremos.



Observemos nuevamente la regla de correspondencia dada de nuestra función a trozos:

( ) {


a. f(-3)

Como x=-2 pertenece al intervalo que restringe al primer trozo, evaluamos en

( ) :

( ) ( ) ( )

b. f(0)

Como x=0 pertenece al intervalo que restringe al primer trozo, evaluamos en

( ) :

( ) ( ) ( )

c. f(1)

Como x=1 pertenece al intervalo que restringe al primer trozo, evaluamos en

( ) :

( ) ( ) ( )

d. f(2)


( )

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e. f(4)

Como x=4 pertenece al intervalo que restringe al tercer trozo, evaluamos en ( ) :

( ) ( )

No olvides observar la gráfica y comprobar que estos resultados son correctos.


Adicionalmente evalúa f(-2), f(-1), f(2) y f(3).

( ) {

La función f tiene 3 trozos de gráfica con sus respectivas restricciones.

PRIMER TROZO: Contiene la función constante ( ) cuando x está entre -4 (no incluido) y

-1 (Incluido). Tome en cuenta que se trata de una recta horizontal que pasa por y=3 en

cualquier valor de x.

x -4 -3 -2 -1

y 3 3 3 3

SEGUNDO TROZO: Contiene la función cuadrática ( ) cuando x está entre -1 (no

incluido) y 2 (incluido). En ese intervalo damos valores y graficamos la parábola.

X -1 0 1 2

Y 3 2 3 6

TERCER TROZO: Contiene la función lineal ( ) cuando x es mayor a 2, y en ese

intervalo damos valores y graficamos la recta, incluyendo el punto extremo abierto del

intervalo x=2.

X 2 3

Y 4 5

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GRÁFICAMOS:

Una vez más fíjese que hemos resaltado los puntos extremos de cada trozo, con excepción en

el punto x=-1, puesto que ahí empatan perfectamente el primer y segundo trozo, por lo que no

hay necesidad de resaltarlo. Todos los demás extremos están resaltados ya sean cerrados o

abiertos.



Observemos nuevamente la regla de correspondencia dada de nuestra función a trozos:

( ) {


a. f(-2)


( )

b. f(-1)


( )

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c. f(2)

Como x=2 pertenece al intervalo que restringe al segundo trozo, evaluamos en

( ) :

( ) ( )

d. f(3)

Como x=3 pertenece al intervalo que restringe al tercer trozo, evaluamos en ( ) :

( ) ( )

Si observas la gráfica podrás comprobar estos resultados.

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