Hidraulica de Tuberias y Canales (Libre)

i

HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES

iii

Arturo Rocha Felices

HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES

xi

CAPITULO I INTRODUCCION

1.1 Objetivo del libro

1.2 Esquema del contenido general

1.3 Diferencias entre canales y tuberías

1.4 Tipos de flujo

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

1.7 Efecto de la viscosidad

1.8 Efecto de la gravedad

1.9 Concepto de distribución de velocidades

1.10 Coeficiente de Coriolis

1.11 Coeficiente de Boussinesq

1.12 Discusión de los valores de y

1.13 Relación entre los coeficientes y

1.14 Otros estudios sobre los coeficientes y

1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Problemas propuestos

1

1

3

4

7

9

11

15

15

21

23

24

25

27

32

38

CONTENIDO

Presentación v

Prólogo vii

Palabras Preliminares del Autor ix

Indice de Figuras xvi

Indice de Tablas xxi

Lista de Símbolos Principales xxiii

xii

43

46

52

55

62

69

72

75

76

79

82

87

91

94

95

98

101

103

104

109

CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

2.2 Relación entre el corte y la inclinación

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para un canal muy ancho con movimiento laminar

2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para una tubería con movimiento laminar

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos lisos

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos rugosos

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e

hidráulicamente rugosos

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl


CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO

UNIFORME

3.1 Ecuación de Darcy

3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares)

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas

3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de

Nikuradse

3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de

distribución de velocidades

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de

Colebrook - White

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.

Errores

3.8 Tuberías de sección no circular

xiii

3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades

3.10 Concepto de capa límite

3.11 Espesor de la capa límite

3.12 Desarrollo de la capa límite

3.13 La separación. Expansión de un conducto


CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS

4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea

piezométrica

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes

4.7 Tuberías en serie

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

4.9 Tubería con boquilla convergente final

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo


CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES

5.1 Tuberías en paralelo

5.2 El problema de los tres reservorios

5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos

5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

5.5 Conducto que da servicio (filtrante)

5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo

5.7 Fórmula de Hazen y Williams

5.8 Diseño de una conducción

5.9 Diámetro más económico

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross


Problemas complementarios

111

121

123

125

126

130

135

138

150

163

166

168

170

174

177

180

186

193

199

205

210

211

215

218

223

228

229

237

249

xiv

CAPITULO VI CALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales

6.2 Fórmulas antiguas

6.3 Fórmula de Manning

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a

emplearse en la fórmula de Manning

6.5 Determinación de la sección transversal

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

6.7 Concepto de borde libre

6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno


CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

7.2 Energía específica a gasto constante

7.3 Sección rectangular

7.4 Sección parabólica

7.5 Sección triangular

7.6 Sección trapecial

7.7 Sección circular y otras secciones

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, LS )

7.10 Transiciones

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

energía específica

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

7.13 Salto hidráulico

7.14 Descarga por una compuerta de fondo


CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1 Introducción

8.2 Definiciones fundamentales

257

260

265

271

272

281

288

292

296

317

323

325

335

347

350

353

361

365

369

371

377

378

382

387

389

395

399

xv

8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

8.7 Curva de remanso


CAPITULO IX VERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

9.3 Fórmula de Francis

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares

9.5 Vertederos triangulares

9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

9.9 Vertederos laterales

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error

en la medición de la carga

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero

9.12 Vertedero sumergido


Tablas Generales

Referencias Bibliográficas

401

407

409

418

423

451

455

466

469

471

478

483

485

487

490

492

493

497

502

507

513

xvi

INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4

Figura 1.3 Tipos de flujo 5

Figura 1.4 Movimientos variados 6

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10

Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para

varios fluidos 13

Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para

diferentes gases y líquidos 14

Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para

varios tipos de aceite 14

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18

Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20

Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28

Figura 1.19 Ecuación de la energía 33

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35

xvii

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45

Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46

Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y

(b) en una tubería 51

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53

Figura 2.8 Subcapa laminar 65

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la

distribución de velocidades 67

Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73

Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78

Figura 2.13 Aspereza del contorno 80

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91

Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98

Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100

Figura 3.5 Flujo paralelo 122

Figura 3.6 Generación de una capa límite 122

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123

Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127

Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135

Figura 4.2 Abaco de Moody 140

xviii

Figura 4.3 Pérdida de carga local 150

Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155

Figura 4.5 Contracción brusca 157

Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170

Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171

Figura 4.8 Esquema de un sifón 175

Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178

Figura 4.10 Presencia de una bomba 180

Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181

Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194

Figura 5.4 Tubería ramificada 196

Figura 5.5 Tres reservorios 199

Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200

Figura 5.7 Cuatro reservorios 202

Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206

Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210

Figura 5.10 Conducto que da servicio 211

Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214

Figura 5.12 Diseño de una conducción 223

Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224

Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227

Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se

caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274

Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290

Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297

Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301

xix

Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324

Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336

Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal

rectangular 339

Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363

Figura 7.11 Grada positiva en un río 373

Figura 7.12 Grada negativa en un río 373

Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374

Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

Energía Específica 378

Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza

Específica 378

Figura 7.19 Fuerza Específica 380

Figura 7.20 Salto hidráulico 382

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399

Figura 8.4 Ríos y torrentes 400

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402

xx

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy 408

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426

Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

maxy determinado por la condición de entrega al lago. 427


miny determinado por la grada. 427

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre

( HP ) 457

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente

en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada.

Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461

Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464

Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un

vertedero rectangular 466

Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK 473

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474

Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en

cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486

Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488

Figura 9.17 Vertedero lateral 491

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497

Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de

un vertedero sumergido 498

xxi

INDICE DE TABLAS

Tabla 1.1 Valores aproximados de y (Kolupaila) 25

Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30

Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74

Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144

Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158

Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160

Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216

Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219

Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236

Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259

Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se

usa en los diseños 262

Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la

fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263

Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la

fórmula de Bazin 264

Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos

factores sobre el coeficiente n 273

Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304

Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309

Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311

Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313

Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315

Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316

Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m) 345

xxii

Tabla 7.2 Secciones críticas ( gVyE cc 22⌡ ) 360

Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento

gradualmente variado 416

Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436

Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458

Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481

Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490

Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496

Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499

xxiii

LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES

A Area de la sección transversal

SA Area de la sección transversal de salida

a Rugosidad absoluta

a Altura de una grada

B Ancho de fondo

b Ancho

b Longitud de la cresta de un vertedero

..lb Borde libre

C Coeficiente de Chezy

HC Coeficiente de Hazen y Williams

c Coeficiente de descarga en vertederos

cc Coeficiente de contracción

vc Coeficiente de velocidad

D Diámetro de la tubería

d Tirante hidráulico

E Energía

e Constante de los logaritmos neperianos

F Número de Froude

fF Fuerza debida a la fricción

f Coeficiente de Darcy

G Coeficiente de rugosidad de Bazin

H Carga de agua

H Energía total con respecto a un plano de referencia

bombaH Energía suministrada por una bomba

SH Altura de succión

iH Altura de impulsión

fh Pérdida de carga o energía

xxiv

ih Altura del salto hidráulico

loch Pérdida de carga local

rozh Pérdida de carga por rozamiento

vorth Pérdida de carga por la formación de vórtices

Vh Energía de velocidad o cinética

K Coeficiente de pérdida de carga

K Factor de capacidad

nK Factor de capacidad para condiciones normales

k Rugosidad absoluta

0k Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)

tk Rugosidad después de transcurrido el tiempo t

L Longitud de un vertedero

eL Longitud equivalente

L. E. Línea de energía

L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica

M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas

m Relación de máxima eficiencia hidráulica

m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter

N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme

N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido

n Coeficiente de Kutter

n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades

P Umbral de un vertedero

P Perímetro

P Fuerza hidrostática

p Presión

vp Presión absoluta de vaporización

Pot Potencia

Q Caudal o gasto

nQ Gasto para un flujo normal

xxv

cQ Gasto crítico

q Caudal o gasto específico

R Radio hidráulico

Re Número de Reynolds

r , or Radio de la tubería

S Pendiente

S Pendiente media

cS Pendiente crítica

ES Pendiente de la línea de energía

LS Pendiente límite

WS Pendiente de la superficie libre

0S Pendiente del fondo

T Ancho superficial

T Temperatura

V Velocidad media

cV Velocidad crítica

hV Velocidad a la distancia h del contorno

maxV Velocidad máxima

*V Velocidad de corte

W Peso

w Velocidad de caida de una partícula

y Tirante

y Eje de coordenadas

cy Tirante crítico

ny Tirante normal

y Profundidad del centro de gravedad

Z Factor de sección

cZ Factor de sección para flujo crítico

z Elevación con respecto a un plano de referencia

xxvi

Coeficiente de Coriolis

1 Velocidad de aumento de la rugosidad

Coeficiente de Boussinesq

Espesor de la subcapa laminar

L Espesor de la capa límite laminar

T Espesor de la capa límite turbulenta

Constante de Karman

Densidad del fluido

Peso específico

Eficiencia de la bomba

Viscosidad dinámica o absoluta

Viscosidad cinemática

Esfuerzo de corte

0 Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno

h Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno

0 Esfuerzo medio de corte sobre el fondo

Angulo

E Variación de energía

p Diferencia de presiones

1

IntroducciónCapítulo I

1.1 Objetivo del libro

El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulicay Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otrasaplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir elescurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, seofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.

El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridosanteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuacionesde Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.

En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite opetróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangencialesen el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.

1.2 Esquema del contenido general

Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente

Capítulo I: Introducción.Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribuciónde velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.

CAPITULO IINTRODUCCION

2

Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales

Capítulo II. Movimiento uniforme.Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos derugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación deChezy.

Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Conceptode capa límite. El fenómeno de separación.

Capítulo IV. Diseño de tuberías.Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidadcon el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.Bombeo.

Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.

Capítulo VI. Cálculo de canales.Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficienten . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptosde borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.

Capítulo VII. Energía específica y Momenta.Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidadcrítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.Su uso como disipador de energía.

Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendientefuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos delmovimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.

Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.

3


1.3 Diferencias entre canales y tuberías

Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.

El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería ellíquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre elcontorno. (Figura 1.1).

La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,sino en el comportamiento hidráulico.

Superficie libre

TUBERIA CANAL

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías

En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamentepor la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y es el peso específicodel fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,se denomina cota piezométrica.

zcapiezométriCota

pzh ⌡ (1-1)

ph (1-2)

En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse decualquier fluido (líquido o gaseoso).

El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no esnecesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto dedesagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Alhaber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto eshidráulicamente un canal.

4


Piezómetro

Plano de referencia

h

z

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro

En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Haytuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferenciasentre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad delcontorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro devinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados deaspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas comolas anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.

En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que losproblemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.

En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa unavariación en la sección.

La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede serde ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.

A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posibleestudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.

1.4 Tipos de flujo

Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presentavariaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una

5


sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.

El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.

Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal nocambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas lascaracterísticas hidráulicas. Hay impermanencia.

Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimentade un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).

Nivel de la superficie libre

Q

Figura 1.3 Tipos de flujo

Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presentavariaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, siobservamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemosque el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a uncaso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de latubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no espermanente. Es impermanente. Es variable.

Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, enuna tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se produciráuna onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquierahabrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Estefenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.

Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las característicashidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho

6


tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta deun estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniformeporque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.

El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,presión o cualquier otra característica hidráulica.

Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamentevariado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hayfuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es unmovimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).

Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de lascaracterísticas hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una granlongitud. De acá su nombre de gradual.

Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá unacierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición oempalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influenciade la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, seproduce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmentevariado M. G. V. (Figura 1.4)

M. uniforme M. G. V.

y

Figura 1.4 Movimientos variados

En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambioen el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es

gradualmente variado.

No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de sergradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).

7


Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problemapráctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimientorápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.

Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Eséste el más frecuente en los problemas de ingeniería.

Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación delrégimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimende corriente con respecto al tiempo.

Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.

En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en launidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando secalcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1.

Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad defluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante

constanteAV

siendo la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidadmedia de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación decontinuidad es

constanteQVAVA 2211 (1-3)

A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media

AQV (1-4)

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

La forma más conocida del teorema de Bernoulli es

constantezpg

V ⌡⌡2

2

(1-5)

8


La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en unmovimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).

Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de pesodel fluido.

V 2

g21 2V2

p

12p

1z z 2

E

g2

Línea de corriente

Plano de referencia

1 2

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli

Al primer término gV 22 , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía

cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte delreposo, para adquirir la velocidad V .

Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa laenergía potencial y constituye la cota piezométrica.

El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energíacinética y la potencial es constante.

En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma deBernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente

En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.

Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energíaperdida, sino transformada en calor debido a la fricción.

La ecuación de la energía para un fluido real es entonces

2122

22

11

21

22 �⌡⌡⌡⌡⌡ fhzp

gVzp

gV

(1-6)

9


o bien,

2121 �⌡ fhEE (1-7)

V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un planohorizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos seccionesconsideradas), es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.

E es la energía total, 21�fh es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.

En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constantepara toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente yotra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presioneses hidrostática.

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que elescurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.

Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.

Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregulary variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido porpartículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lechomóvil. Ver Figura 1.15d.

Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.

Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.

Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetromojado de un conducto hidráulico.

PAR (1-8)

Para una tubería de sección circular se tiene

4DR (1-9)

10


es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenersefácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.

En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como semuestra en la Figura 1.6

A

T

P (Perímetro mojado)

y

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal

Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A

y el ancho superficial T .

TAd (1-10)

Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie

libre.

Radio hidráulico en un canal muy ancho

Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es uncanal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canalmuy ancho

byA ybP 2⌡

by

yyb

byR212 ⌡

⌡

y

b

11


En un canal muy ancho by es muy pequeño y se puede considerar

yR (1-12)

Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.

1.7 Efecto de la viscosidad

El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimientose expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.

El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión

VLRe (1-13)

siendo

V : velocidad media del escurrimientoL : longitud característica

: viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad

dinámica o absoluta ( ) y la densidad del fluido ( )

En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de latubería

VDRe

Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radiohidráulico

VRRe

y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.

En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.

La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando semenciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o seaque se debe señalar cual es la longitud característica.

12


El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasviscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes quelas de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.

El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos sellama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetrotiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en laque paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujose hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el casoinverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando lavelocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hayun límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más,dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores.

En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que correspondeaproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está enla ecuación 1-9.

El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través demedios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas deingeniería.

La viscosidad absoluta o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un

esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistemaabsoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional.

En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m2. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mideen gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise

scmmasagr1poise1�

�

La viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad

. Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke

scm1stoke1 2

En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con latemperatura.

Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, EditorialDossat.

13


Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para variosfluidos (p.e. es el peso específico relativo)

Glicerina Fuel Oil(p.e. = 0,97)

Fuel Oil(p.e. = 0,94)

SAE 30 Helio

Hidrógeno

SAE 10

Petróleo crudo (p.e. = 0,93)

Metano

Aire y oxígeno

Amoníaco

Anhidrido carbónico

Salmuera (20% NaCl)

Petróleo crudo(p.e. = 0,86)

Benceno

Kerosene

Alcohol etílico

Agua

Tetracloruro de carbono

Gasolina(p.e. = 0,68)

Mercurio10

-7

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

8

6

4

2

4

2

68

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

6

8

6

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

8

0o o50 o100

50o0 o 100o

2

sm

T ºC

14


15


1.8 Efecto de la gravedad

El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condicionesdel escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.

El número de Froude ( F ) tiene por expresión

gLVF (1-14)

siendo

V : velocidad media

g : aceleración de la gravedad

L : longitud característica

El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud

característica el tirante hidráulico d Por lo tanto

gdVF (1-15)

Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona dela corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todoel escurrimiento.

El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasgravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influenciade la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número deReech-Froude.

1.9 Concepto de distribución de velocidades

En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada puntode la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.

Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de lasección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definenbásicamente la curva de distribución de velocidades.

16


En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia delcontorno es simétrica y perfectamente definida.

En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hayinfluencia del fondo.

Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de

la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en la superficie. Enel fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidadeses el siguiente

Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso

del fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución

de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.

En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canalrectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparecedebajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de loslados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales

para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura

1.15b.

En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se

muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para 2Dh se obtiene la velocidad máxima.

Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidades cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal

Vy

h

h

17


La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y elalineamiento del canal.

Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrolladay la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima alcontorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.

Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millonespodría tenerse la siguiente distribución de velocidades

En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande entoda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipoparabólico (ver Figura 1.12).

Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribuciónde velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).

Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución develocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera unfluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.

h = D2

D

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento

D

18


Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtieneturbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conllevaun aumento del grado de turbulencia.

En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de lassecciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influenciade las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces unadistribución transversal de velocidades.

Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquemade la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen lospuntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidadmedia. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidadque es el doble de la velocidad media.

En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidadtípicas para diferentes secciones transversales.

El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantesde la curva de distribución de velocidades.

D

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)

D

19


Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales

2,01,5

1,00,5

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2,5

2,0

1,51,00,5

2,52,0

1,5

1,0

0,5

(a)Canal circular poco profundo

(d)Canal natural (río)

(b)Canal rectangular angosto

(c)Canal circular parcialmente lleno

20


La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman asípor no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largodel conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamientose desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujoprincipal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".

Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. Laresistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí laenergía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión quese produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior yque debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.

La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidadesserá analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de laFigura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,según que el contorno sea liso o rugoso.

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos

A

A

SECCION A - A

Liso

Rugoso D

21


A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto

dAVQ h (1-16)

1.10 Coeficiente de Coriolis

El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 estableceque la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significaque cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.

Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es hVy la energía cinética correspondiente es gVh 22 . Pero, al ingeniero no le interesa trabajarcon líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.

Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de

presiones y por lo tanto la suma zp ⌡ , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas

las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes

líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.

Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el

promedio de los valores de gVh 22 . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se

tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca unaequivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a lavelocidad media.

Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de loscuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda lasección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de uncoeficiente que generalmente se designa con la letra y que recibe el nombre de coeficientede Coriolis ó coeficiente de energía.

Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV , quetiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es .

La energía en general se expresa por QH

Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3

dAVdQ h

22


y el valor de la energía cinética es

gVH h

2

2

para el tubo de corriente la energía resulta

gVdAV h

h 2

2

que equivale a

dAVh3

2

y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior

dAVh3

2

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando lavelocidad media se tendría

AV 3

2

para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor ocoeficiente de corrección al que se denomina

dAVAV h33

22

de donde,

AVdAVh

3

3

(1-17)

que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.

Obsérvese que representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energíareal y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.

dQ H

23


Para canales prismáticos se tiene usualmente

36,103,1 (1-18)

1.11 Coeficiente de Boussinesq

El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se veafectado por la distribución de velocidades.

El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir dela velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente sedesigna con la letra y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficientede la cantidad de movimiento.

Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV quetiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es .Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por QV

y para el tubo de corriente es

dAVh2

La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de laecuación anterior

dAVh2

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de lavelocidad media se tendría

AV 2

para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o

coeficiente de corrección al que se denomina

dAVAV h2

luego,

AVdAVh

2

2

(1-19)

24


que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.

El producto QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en unasección dada.

Para canales prismáticos se tiene usualmente

12,101,1 (1-20)

1.12 Discusión de los valores de y

De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente se usará en los cálculos en losque intervenga la energía y el coeficiente en los cálculos en los que intervenga lacantidad de movimiento.

Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversalconsiderando como velocidad la velocidad media se obtiene

2122

22

211

21

1 22 �⌡⌡⌡⌡⌡ fhzp

gVzp

gV

(1-21)

Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de .

Es evidente que el uso de los coeficientes y depende de la exactitud con la que seestén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casosse justifica, considerar

1 (1-22)

Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.

A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la

distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición 1 .

En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.

Siempre se tendrá que puesto que en la expresión de VVh interviene al cuboy en la expresión de interviene al cuadrado.

En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de y son

grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar

25


234 (1-23)

Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresionespara los valores de y

32 231 �⌡ (1-24)

21⌡ (1-25)

siendo

1�V

Vmax (1-26)

expresión en la que maxV es el valor de la velocidad máxima.

Como hemos señalado anteriormente los valores de y dependen del tipo de curvade distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidadmáxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.

Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valoresaproximados de y

TABLA 1.1VALORES APROXIMADOS DE Y (KOLUPAILA)

Tipo de cauce Min. Prom. Max. Min. Prom. Max.

Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07

Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17

Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,33

1.13 Relación entre los coeficientes y

Considerando que la velocidad puntual hV correspondiente a la distancia h del contorno,se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera

26


VVVh ⌡ (1-27)

siendo V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirseque

0VdA (1-28)

Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que

dAVQ h

Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene

⌡ dAVVQ )(

⌡ VdAVAQ

de donde se concluye que la integral es nula.

Para calcular el valor de evaluaremos la integral

dAVV

Ah

31

que es la ecuación 1-17.

dAVV

AdA

VVV

AdA

VV

Ah

333

1111 ⌡⌡

dAVV

VV

VV

A⌡⌡⌡

32

3311

dAVV

AdA

VV

AdA

VV

A⌡⌡⌡

32 1331

Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y essiempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. Latercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con

27


respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valorespositivos y negativos. Luego

dAVV

A⌡

231 (1-29)

Para calcular el valor hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se

obtiene de la ecuación 1-19

dAVV

AdA

VV

AdA

VV

Ah ⌡⌡

22 1211

La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego,

dAVV

A⌡

211 (1-30)

Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre

y

131 �� (1-31)

Expresión que evidentemente es aproximada.

1.14 Otros estudios sobre los coeficientes y

Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes y

. Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del

tipo

nh khV

1

(1-32)

expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia

al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad paravalores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución

28


real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n . El valor de k no tieneninguna influencia sobre los valores de y .

Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factoresadimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo lasecuaciones genéricas de y (ecuaciones 1-33 y 1-34)

Los factores adimensionales son

HH1

1BB

1

2

BB

definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una seccióntransversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el taludesta formado por dos pendientes diferentes.

H1H

B

1BB2

Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss

Según la sección transversal se determinan los valores de , y con ayuda de laTabla 1.2.

Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes

1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de y son independientesdel tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución develocidades.

2. Para canales trapeciales los valores de y están influenciados además de ladistribución de velocidades, por la relación entre el ancho en el fondo B y el anchosuperficial 1B .

29


30


TABLA 1.2

FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS

Factores adimensionales

FORMASECCION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

01 H ; 21 BB ; 1BB

01 H ; 0B ; 21 BB

01 H ; 21 BB ; 1BB

HH 1 ; 1BB ; 21 BB

HH 1 ; 1BB ; 12 BB

HH 1 ; 0B ; 21 BB

HH 1 ; 0B ; 21 BB

HH 1 ; 1BB ; 21 BB

'3022ºtg ; 21 BB

tg ; tg ; 21 BB

HH1

1BB

1

2

BB

0 1 1

0 0 1

0 10 1

10 10 1

10 1 1

10 0 1

10 0 1

10 10 1

0,4142 0,4142 1

1414,0 0,4142 0,4142

Rectángulo

Triángulo

Trapecio

Trapecio + Rectángulo

Trapecio + Trapecio

Triángulo + Rectángulo

Triángulo + Trapecio

Trapecio + Trapecio

Semicírculo (sustituye al semioctógano)

Semicírculo + Rectángulo

31


3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), losvalores de y dependen de la forma de la sección expresada a través de losparámetros , y y de la distribución de velocidades en función de n .

4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de se presentanpara secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.

5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puededescribirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene

que los valores de están comprendidos entre 1,12 y 1,50.

6. Valores experimentales para obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canalescon pequeña pendiente a 1,85.

Papasov y Botcheva estudiaron los valores de y en ríos de Bulgaria de fondo móvil

y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio delos lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobreestas investigaciones.

Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribuciónde velocidades modifican los valores usuales de y . Después de estudiar tres ríosbúlgaros llegan a

97,4

056,01⌡V

Vmax

82,4

047,01⌡V

V xma

Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente de Boussinesq en un canal de

gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad deChile. Llegaron a la conclusión que para este caso

byc29,01⌡

expresión en la que cy es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.

32


1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, sepresenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.

Se ha considerado que fh es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que enrealidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicablepara un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.

En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradientehidráulica.

Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecialcuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación delos lados).

Solución.

0,5

1

= 3 mb

= 0,80 my

T

Ancho superficial 80,340,0200,3 Ι⌡T m

Perímetro mojado 79,4894,0200,3 Ι⌡P m

Area 72,2A m2

Radio hidráulico 57,079,472,2 PAR m

Tirante hidráulico 72,080,372,2 TAd m

Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes y para un canal rectangular muy ancho, aceptando una

distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación

nh khV

1

k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).

33


2V 2

p

2

2z

L. E.hf

L. P.

2V

g1

2

p

1

1z

L. P.

2V1

z 1

p

V22

2z

L. E. hf

= y

y1

y2

p = 0

Plano de referencia

Plano de referencia

2g

2g

2g

1 2

Figura 1.19 Ecuación de la energía

(a) Tubería

(b) Canal

Ecuación de la energía:

fhg

Vzpg

Vzp ⌡⌡⌡⌡⌡22

22

22

21

11

34


Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión

dhVdq h

reemplazando la velocidad,

dhkhdq n1

El gasto es

dhVq h

y

n dhhkq0

1

La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,

y

dhhk

yqV

yn

0

1

Reemplazando en la ecuación 1-17

yy

dhhk

dhhk

AVdhV

yn

yn

h

3

0

1

0

33

3

3

211313

3

111

131

⌡⌡�⌡

⌡

⌡ nny

n

n

De donde,

nn

n⌡

⌡3

12

3

Haciendo un desarrollo similar se obtiene

nn

n⌡

⌡2

1 2

35


Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente

h (m) hV (m/s)

0,05

0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

El tirante es y = 0,95 m.

Calcular

a) el gasto específico qb) la velocidad media Vc) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.d) el coeficiente de Coriolise) el coeficiente de Boussinesqf) los valores de y aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados

anteriores.g) el número de Reynolds (T = 18 °C)

Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución develocidades

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)

1,52

0,125

0,075

0,20

1,061,24

h

0,20

0,20

0,15

1,73

1,65

(m)

1,80

V (m/s)

0,95 m

36


El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión

yh

hh hVq

0

En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dosconceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y lavelocidad mínima siempre está en el fondo.

Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constantede la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez paraque tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Laspartes no tienen que ser necesariamente iguales.

a) Según la figura

15080120073120065120052112502410750061 ,,,,,,,,,,,,q Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι

48,1q m3/s/m

b) 56,195,048,1

yq

AqV m/s

c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m

d) Para calcular hacemos el siguiente cuadro

hV 3hV A AVh .3

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,19

1,91

3,51

4,49

5,18

5,83

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,089

0,238

0,702

0,898

1,036

0,875

AVh3 = 3,838

06,195,056,1

838,33

Ι

= 1,06

37


e) Para el cálculo de hacemos un cuadro similar

hV 2hV A AVh .2

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,12

1,54

2,31

2,72

2,99

3,24

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,084

0,192

0,462

0,545

0,599

0,486

AVh2 = 2,368

024,195,056,1

368,22

Ι

= 1,02

f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de paralo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.

15,0156,180,11 ��

VVmax

15,0

0225,02

003375,03

061,1231 32 �⌡ 06,1

0225,11 2 ⌡ 02,1

g) 18T ºC; 610� m2/s

66 10482,1

1095,056,1Re ΙΙ �

VR

38


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Capítulo I)

1. Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por

2

1

2

2

1

)(2

�

�

AA

hygAQ f

En donde 1A y 2A representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia

de cotas piezométricas es y . La pérdida de energía entre 1 y 2 es fh .

2. Calcular el valor de si = 1,2

3. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene

= 2 = 4/3

4. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación dedistribución de velocidades es

�44

2hDhgSVh

siendo h la distancia al contorno, la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de

la línea de energía; se cumple que

= 2 = 4/3

5. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es

71

231rhVVh ,

se cumple que = 1,07. Hallar el valor de .

39


6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por

n

maxh rhVV

1

A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá conlos valores de ?

7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es

n

maxh dhVV � 1

La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje.

Calcular los valores de y

8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.

9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es

� 2

2

1o

maxh rrVV

r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV

Hallar los valores de y

10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 men B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m dediámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidadmedia en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.

11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.

12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.

13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). Lapresión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de latubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el númerode Reynolds.

40


14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite deviscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2

y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular elnúmero de Reynolds.

15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial Aes 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la líneapiezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de ladistancia AB.

16. Una tubería tiene en su primertramo 6" de diámetro y unavelocidad de 3 m/s. El segundotramo tiene 8" de diámetro.Calcular el gasto y lavelocidad en el segundo tramo.

17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquierpunto.

18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se formeen el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar

los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).

19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus

extremos 1 y 2 una pérdida de carga fh ,igual a

gVVhf 2

2502

21 � ,

1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6

m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.

La longitud del tubo es de 8 m. La presiónen el punto 2 equivale a 10 m de agua.Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.

20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por

encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía fh , entre ambas secciones. Elfluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.

8"6"

8 m

2

1

D1

D2

41


21. Una tubería vertical de sección variableconduce agua. El diámetro en la partesuperior es de 12 cm y en la parte inferiorde 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuandoel gasto es de 80 l/s la diferencia de presiónentre los manómetros instalados en lassecciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm2.Determinar cual es el gasto que deberíapasar en esta tubería para que la diferenciade presiones entre 1 y 2 sea cero.

Considerar que la perdida de carga fh

entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.

22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad.Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.

23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canalcuya sección se muestra en la Figura 1.14.

24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por laecuación 1-32 se cumple que

)992(4)132(

24

32

⌡⌡⌡⌡nnn

nn

calcular el valor de para n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.

25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las

pérdidas de energía en el sistema equivalen a gV 24 2 .

10 m

2

1

6 cm

12 cm

H = 10 m

42


26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presiónentre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de

gV 2150 21, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?

27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio decírculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por lavelocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38;1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de y . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular elcaudal.

43

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos detuberías como en los de canales.

En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propiavelocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrápor integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.

En un canal con movimiento uniforme la profundidad , el área , la velocidad media

y el gasto son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre

y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)

0 (2-1)

es la pendiente de la línea de energía

es la pendiente de la superficie libre

0 es la pendiente del fondo

Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es quela pendiente no sea excesivamente grande.

CAPITULO MOVIMIENTO UNIFORME

44

En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. Enmuchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,como uniforme.

22

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal

Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y elmovimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a queel agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y quealteran la uniformidad del escurrimiento.

En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes entodas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérveseque estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométricase le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como . es elángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, es la presión,

el peso específico del fluido, la elevación con respecto al plano horizontal de referencia.

es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.

En una tubería se denomina , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la

diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lolargo de la tubería.

2121 (2-2)

45

2

2

2

2

1

1

2 2

1-2

2

1

1

2

1 2

Plano de referencia

1

2

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería

En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferenciade energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea deenergía y la línea piezométrica son paralelas.

2

21

1

(2-3)

El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuacionesde distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre elesfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre lavelocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una funciónque relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo sesigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).

Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. Eneste capítulo se considera que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.

46

2.2 Relación entre el corte y la inclinación

a) Canal muy ancho

En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimientouniforme.

Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan

con la letra (ecuación 2-1). es la componente del peso, de la parte achurada, en la

dirección del escurrimiento, es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de

la porción achurada, cuya longitud es .

Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medidoperpendicularmente al plano del dibujo).

Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es

)(

y su peso es

)(

El producto de la densidad por la aceleración de la gravedad es igual al peso

específico .

Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

22

47

La componente del peso en la dirección del escurrimiento es

)(

Como el ángulo , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño

se considera que luego,

)(

En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la direccióndel escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo

unitario de corte por el área en que actúa

)(

De donde, la relación entre el corte y la inclinación es

)( (2-4)

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para =0

(2-5)

Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico

(2-6)

Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto delpeso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).

b) Canal de cualquier sección transversal

El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la prácticalos canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas seesquematizan en la Figura 2.4.

Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia . Para las

mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, enla dirección del escurrimiento es

48

es la densidad del fluido, la aceleración de la gravedad, la sección transversal,

la pendiente.

Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobreel fondo no es constante), que tiene por expresión

0

es el perímetro mojado, 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo.

o bien, aproximadamente

0

Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene

0

o bien,

0 (2-7)

Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo mediode corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, porel radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.

Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal

49

c) Tubería de sección circular

En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular dediámetro .

Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. es el ángulo que forma el eje dela tubería con la horizontal.

La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.

La fuerza debida al corte es

22

expresión en la que es el esfuerzo de corte a la distancia del contorno (en este caso,

de la pared de la tubería).

La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es

22

21 22)(

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería

2

1

2 2

50

operando,

212

2

pero,

21

luego,

22

11

2

2

teniendo en cuenta que,

2

21

1

se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso

2

2

que debe ser igual a la fuerza de corte,

2

222

de donde, la relación entre el corte y la inclinación es

24 (2-8)

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para 0

4

pero la expresión 4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,

(2-9)

51

Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideracionesanálogas

0

En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es

0 (2-10)

Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.

Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.

La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en lasuperficie.

En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro ycorresponde a la ecuación 2-11 en la que es el radio de la tubería.

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería

(a)

(b)

52

La ecuación de distribución de corte es

1 (2-11)

que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.

Se observa que si 2 (eje de la tubería), entonces .0 Si 0 se tiene que

0 (contorno).

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara un canal muy ancho con movimiento laminar

En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia del

contorno existe un valor de la velocidad ( ) y un valor del corte ( ). La relación entre

y depende de que el flujo sea laminar o turbulento.

Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conociday corresponde a la definición de viscosidad.

(2-12)

Combinando esta ecuación con la 2-4,

)(

dividiendo por ,

)(

separando variables,

e integrando, se obtiene

2

2

53

Expresión en la que es la velocidad a la distancia del fondo, es la pendiente de la

línea de energía, es la viscosidad cinemática, es el tirante, es una constante de

integración.

El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es

nula en el contorno ( 0 ; 0 ; 0 ), luego,

2

2 (2-13)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.Es una curva parabólica.

La velocidad máxima corresponde a la superficie ( )

2

2 (2-14)

La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de laecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución esparabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedadesgeométricas de la parábola.

Según la Figura 2.7

32

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar

Parábola

54

Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. es el

gasto específico (por unidad de ancho).

Pero también se tiene que,

Luego,

32

2

232

3

2 (2-15)

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y queevidentemente equivale a

3

2 (2-15)

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potenciade la pendiente.

En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición

0

Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.

0

calculado se obtiene por división entre el área , el valor de la velocidad media, que es

el de la ecuación 2-15.

55

2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara una tubería con movimiento laminar

Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene

24

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a

44

2

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0 ;

0 ; 0 ). Luego,

44

2 (2-16)

que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.

La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a 4

16

2 (2-17)

La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en estecaso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es lamitad del cilindro circunscrito.

Luego,

21

En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidadmáxima; es decir,

32

2 (2-18)

56

que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en funcióndel radio hidráulico, tenemos

2

2 (2-19)

expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. Enun caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra seccióntransversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tuberíacircular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.

)32(

2

á

La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16

2/

0 22

de donde,

128

4

y,

4/2

obteniéndose el valor de la ecuación 2-18

Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de

cotas piezométricas separadas por la longitud a lo largo de la tubería es

232

(2-19a)

Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto esde 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a unadistancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad delpetróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en elgasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanececonstante.

57

Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,

221

32

(2-19a)

1 y 2 son las presiones en las dos secciones de la tubería.

21 = 0,103 kg/cm2 = 1030 kg/m2

= 25 l/min = 0,000417 m3/s

4

2 = 0,00283 m2

= 0,147 m/s

Luego,

4103600011470320301

De donde, = 7,9 x 10-4 kg-s/m2

Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidaddinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidadrelativa es 0,86. Luego,

= 9 x 10-6 m2/s

980109

0601470Re 6

El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.)

Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces

= 1,6 x 10-3 kg-s/m2

Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a

4

3

103600011061320301

Se obtiene,

= 0,0724 m/s

que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).

58

El nuevo gasto es

= 12,3 l/min

La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 %

Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad mediapromediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.

Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal conflujo laminar

2

2

Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados

22

28,0 48,0

264,08,0

22,0 18,0

El promedio de estos dos valores es 233,0 , expresión que es prácticamente igual a la ecuación

2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar

2

3

Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidadrelativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturasde los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima quese presenta en la tubería?

0,8

0,2

A

B

3 m

59

Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)

2

2

Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos

= 1,78 m/s

= 1,07 x 10-4 m2/s

Luego,

Re = 1 664

con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente

2

2 = 0,0619

o bien,

= 0,0619 = 0,0619 x 300 = 18,57 m

La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,

= 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2

La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es

16

2

= 3,55 m/s

Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimenlaminar).

Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,

1

expresión en la que es la velocidad a la distancia del eje , es la viscosidad dinámica y

es el gradiente de presiones.

60

Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio

comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1 y 2 , entonces la velocidad máxima se

presenta al radio

ln212

11

2

Solución. Consideremos un elemento anular de espesor , ubicado al radio y cuya velocidad es

. Consideremos también, longitudinalmente, una distancia , en cuyos extremos hay presiones

1 y 2 cuya diferencia es . Se cumple así que,

La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones

2 (1)

La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte

2

o bien,

2

Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.

La variación de la fuerza de corte con el radio es

2

121

2

1

2

61

y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por

2 (2)

Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales

22

de donde,

1

Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad

2

2

2

ln

4

2

Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones

Si 1 , entonces 0

Si 2 , entonces 0

4ln

21

1

4ln

22

2

de donde,

4)ln(ln

22

21

12

1

2

22

21

ln

14

La velocidad es máxima cuando 0

62

02

0ln

142

1

2

22

21

2

1

22

1

22

212

ln

112

obteniéndose finalmente

ln212

1 siendo 1

2

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,en Delft.

La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lohemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.

Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrirademás a información experimental.

Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculanen base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entrelos que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.

Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamenteuna relación entre el corte y la velocidad.

Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presenteen el flujo turbulento y que es

''

' y ' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), es la

densidad del fluido.

Prandtl introduce una longitud característica , a la que llama longitud de mezcla. Estalongitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o

63

perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla esanálogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.

Prandtl consideró que

' es proporcional a

oo

o '

' es proporcional a

oo

o '

y por lo tanto,

22

(2-20)

expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,que es para el flujo laminar.

De la ecuación 2-20 obtenemos

(2-21)

Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.

a) Canal muy ancho

Debemos establecer para este caso una relación entre y la profundidad. La condición esque la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Estopuede expresarse por medio de

21

1 (2-22)

es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos ensuspensión).

Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos

21

1

64

sustituyendo ahora el valor de según la ecuación 2-4

21

1)(

simplificando,

separando variables,

(2-23)

Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dadapor la ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan tambiénuna concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargoacá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl.

La expresión que es igual a 0

recibe el nombre de velocidad de corte,

0* (2-24)

Luego reemplazando en 2-23

*

integrando

ln (2-25)

Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para 0 ,

0ln , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta

una cierta distancia muy próxima al fondo.

Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando dehallar, tiene la forma

65

0* ln

0 representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero.

Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración seobtiene

0

* ln (2-26)

La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensarque algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría dePrandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa enla que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa esdiferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.

En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparicióndentro de ella de una subcapa laminar.

El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra

Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e

igual al esfuerzo de corte sobre el fondo ( 0 , para ).

Figura 2.8 Subcapa laminar

Ecuación 2-26

Ecuación 2-27

Fondo liso

66

En el flujo laminar el corte es

reemplazando 0 y separando variables,

2*00

integrando,

2*

La condición de velocidad nula en el fondo determina que 0

Luego

2* para 0 (2-27)

Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujoturbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una

capa cuyo espesor, muy delgado, es , y se designa con el nombre se subcapa laminar.

En este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber consideradoque dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y noparabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8.

Evidentemente que para ambas ecuaciones deben coincidir

2* (flujo laminar)

0

* ln

(flujo turbulento)

igualando estos dos valores se obtiene

0

*2

* ln

(2-27a)

Para determinar el valor de se realizó una combinación de consideraciones teóricas y

67

experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conductoliso es una relación entre dos parámetros adimensionales

*

;

tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Sillevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar losvalores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidosse tiene

Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una deellas y resulta ser 11,6; luego

11,6*

a ese valor de se le denomina . Luego

11,6*(2-28)

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para elcálculo de la distribución de velocidades

350

150 10511,6

2520 30

10

10 000

1 000

*

100

*

100 000

68

Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a

0

*

*

2* ln6,11

6,11ln0

El valor de , constante de Karman es de 0,4

644ln0

1040 (2-29)

si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene

104ln* (2-30)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.

Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica,como se demuestra a continuación.

b) Tubería

En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión

21

21 (2-31)

reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuacióncorrespondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual.

La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyasparedes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidadesen el flujo turbulento es logarítmica.

69

Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetrosadimensionales.

*

;

que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,

*

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductoslisos

En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso esaquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.

a) Canal muy ancho

Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muyancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.

Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación

de . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que

corresponde al flujo laminar.

104ln*

lnln104ln*

lnln104ln*

Reemplazamos los límites

70

Se obtiene

ln104ln*

Consideramos ahora que,

ln1104ln*

3,38ln104ln **

3,38ln*

3,38ln*

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondohidráulicamente liso y que evidentemente equivale a

3,38ln* (2-32)

En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, lasimplificación de suponer , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto.

De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado elflujo a través de la subcapa laminar.

b) Tubería

El gasto es

22

71

el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de

espesor , cuya distancia al contorno es . El perímetro es 2

2 y el área

elemental correspondiente es 2

2 .

104ln2

22/

*

2/* 104ln

22

Como límites de la integral fijamos (despreciando así el flujo a través de la subcapa

laminar) y 2/ (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites de

integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento).

2* 104ln104ln

22

la primera integral ya ha sido evaluada, luego,

2* lnln104lnln

22ln

2104ln

22

Figura 2.10 Flujo a través de un anillo

72

desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos

2/3

2*

2104ln

82

2/3*

2 2104ln

4/

sustituyendo 4

4,46ln* (2-33)

que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa.

Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un conceptofundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.

*

Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)

*

En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberanciasde su superficie, son tan grandes comparativamente con que no permiten el desarrollode una subcapa laminar.

Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturalezadel fondo (liso o rugoso)

0

* ln

Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos

73

Se observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.

El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse,quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuyasuperficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme . Repitiendo lasexperiencias para diversos diámetros y valores de llegó a la conclusión que la validezde la ecuación 2-26 puede extenderse hasta

300 (2-34)

siendo el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y quetiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor comorepresentativo, entonces

2 oo

o

150 (2-35)

Reemplazando el valor de en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)

se obtiene

30ln* (2-36)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).

Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de Karman-Prandtl.

En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales.

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso

Ecuación 2-26

74

TABLA 2.1

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por supropia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodosindirectos.

En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto elacabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en la Tabla 2.1.

La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.

MATERIAL (m)

Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero

nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)

Fierro forjado

Acero rolado nuevo

Acero laminado, nuevo

Fierro fundido, nuevo

Fierro galvanizado

Fierro fundido, asfaltado

Fierro fundido oxidado

Acero remachado

Asbesto cemento, nuevo

Concreto centrifugado nuevo

Concreto muy bien terminado, a mano

Concreto liso

Concreto bien acabado, usado

Concreto sin acabado especial

Concreto rugoso

Duelas de madera

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8x10-4 – 9 x 10-4

75

2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductosrugosos

a) Canal muy ancho

Obtenemos el gasto específico por integración.

considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene

0

30ln*

0

lnln30ln*

0lnln30ln*

0

lnln)(ln)(30ln 0000

pero, 00

30lnlnln30ln **

30ln*

11ln*

que evidentemente equivale a

11ln* (2-37)

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondohidráulicamente rugoso.

76

b) Tubería

Se procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es

2

2

Reemplazando el valor de según la ecuación 2-36,

2 *

0 2230ln

integrando y simplificando se obtiene

4,13ln* (2-38)

que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy

Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media enconductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).

3,38ln* (canales)

4,46ln* (tuberías)

La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado enfunción del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante.

Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico

del coeficiente de .

Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como acanales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene

Conductoslisos

77

42ln* (2-39)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canalmuy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemasprácticos usaremos la ecuación 2-39; para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33.

Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) yotra para tuberías (2-38)

11ln* (canales)

4,13ln* (tuberías)

Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra queconsidere el promedio aproximado de los coeficientes de

12ln* (2-40)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso(canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).

Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En elsegundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las característicasdel escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en elprimer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de suespesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.

Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinandolas ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sinode una adaptación

72

6ln*

(2-41)

Conductosrugosos

78

= Radio hidráulico

= rugosidad (según Tabla 2.1)

= espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)

Re =

(referido al radio hidráulico)

(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft,Holanda)

Figura 2.12 Coeficiente de Chezy

50201052

1 000

2

5

10

20

200

50

100

500

10 000

5 000

2 000

5 000 10 0001 000500200100 2 000

79

Si el valor de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierteen la de los conductos lisos; caso contrario si no tiene significación entonces es laecuación de los conductos rugosos.

Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma

72

6log10ln

72

6ln

72

6log3,25,2

Pero

183,25,2

Luego,

72

6log18 (2-41a)

(2-42)

que es la ecuación de Chezy, en la que

72

6log18 (2-43)

es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puesto

que corresponde a .

Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos ehidráulicamente rugosos

Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que estahecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es másrugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.

80

Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal,veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente

Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñascorrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en lascondiciones del escurrimiento.

Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias entuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetrouniforme.

Se designa por el diámetro y por el radio de los granos.

Al valor de (o al de ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad enel escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tiranteo cualquier otra medida característica.

Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes

;

,

;

,

;

,

(2-44)

Figura 2.13 Aspereza del contorno

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse

= 2

81

o sus inversas,

Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil.Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es laexperiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como loestudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo.

Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguienterango de rugosidades relativas

014130

Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grandela influencia de la rugosidad en el escurrimiento.

Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad,viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que sedesarrolle o no, una subcapa laminar.

La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de lasparedes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo

de y .

Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes sonhidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas.

El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparecepara cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propianaturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculosestos valores no pueden ser rigurosamente exactos.

Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando

4,0

Lo que equivale aproximadamente a

5*

Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando

6

82

lo que equivale aproximadamente a

70*

Para valores intermedios

705 * (2-45)

se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl

La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente lisopuede transformarse de la manera siguiente

104ln*

Combinando con 2-28, 6,11* se obtiene

** 97,8ln

Luego

97,8log3,2log3,2 *

*

de donde,

5,5log75,5 *

*

(2-46)

expresión equivalente a la 2-30.

Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media enun canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso

3,38ln*

83

** 3,3ln

3log75,5 *

*

(2-47)

expresión equivalente a la 2-32.

Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cada

valor de , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media

5,2log75,5*

(2-48)

Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemosun desarrollo similar.

La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transformaen

5,8log75,5*

(2-49)

y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en

6log75,5*

(2-50)

efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene

5,2log75,5*

expresión que es igual a la 2-48.

Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que

5,2log75,5*

(2-51)

o bien,

5,2log75,5*

(2-52)

84

Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar.

La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente

5,3log75,5 *

*

(2-53)

Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,

2log75,5*

(2-54)

Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en

5,6log75,5*

(2-55)

que restada de la 2-49 nos da

2log75,5*

(2-56)

obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptarque en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad mediareferida a la velocidad de corte, es

2log75,5*

(2-57)

Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero ( =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (pesoespecífico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presiónes de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular

a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el espesor de la subcapa laminarc) el coeficiente de Chezyd) la velocidad mediae) el gasto

Solución. La altura de presión en el punto inicial es

m256kg/m800

kg/m000503

2

85

La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica enel punto final es 47,1 m.

Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3

2103,560001

47,182,7

que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la líneade energía.

Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24)

m/s0,229103,560,159,8 2*

Consideremos, m/s0,23*

a) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos laecuación 2-45,

50,184101,25100,23

4

4*

Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.

b) Espesor de la subcapa laminar (2-28).

m0,00636,11

*

c) Coeficiente de Chezy (2-43).

Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad,

/sm5442log18 1/2

d) Velocidad media (2-42)

m/s3,95103,560,1554 2

e) Gasto

/sm1,123,954

32

86

Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcularla velocidad media verificamos que 3002Re ( 96018Re ).

A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdese

que el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico .

2400630150

500110

1504

310747404496018Re

/sm54 1/2

Se observa que todos los valores coinciden en un punto.

Para el cálculo de hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, seantuberías o canales.

Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. Elresultado habría sido prácticamente el mismo.

87


(Capítulo II)

1. En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( = 0,001 m), fluye aceite cuya

viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tuberíase muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?.

2. Demostrar que el coeficiente de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente

lisos, mediante la siguiente ecuación implícita

Relog18

Calcular el valor de para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio paraambos conductos.

3. A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir lasexpresiones siguientes

32 23121

siendo

1

3 kg / cm2

2 kg / cm2

8 m6 m

A

B

88

es el coeficiente de Coriolis, es el coeficiente de Boussinesq, es la velocidadmáxima y es la velocidad media.

4. Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presiónes 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 msuperior a la del punto inicial. Considerar = 0,0001 m. Calcular

a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el coeficiente de Chezyc) el gastod) la pérdida de energía entre A y B

5. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy anchocon flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de lasuperficie).

6. Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medidoa partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento yparedes rugosas.

7. Demostrar que si

1

entonces en un canal

83,75,2 *

8. Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. Laviscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente de Chezy. Definir la calidad de laparedes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.

9. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que

73,3*

10. Calcular el valor de

*

para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.

89

11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidadmedia: a) en un canal, b) en una tubería.

Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (compararcon el ejemplo 1.3 del capítulo I).

12. Un canal de concreto ( = 4x10-4 m) se usa para transportar agua. El ancho en el fondo es de4 m y el ancho superficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por100.

Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredesson lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.

13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de susección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dárselepara que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s?. La rugosidad esde = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál seríala reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?.

14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidadmedia. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.

15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme = 4x10-4 m. La presión en el punto Adebe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia deelevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamentelisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.

16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido la velocidadsuperficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absoluta y lavelocidad de corte.

17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot seha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia 4/ del contorno. Losvalores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.

18. Demostrar que en una tubería de radio se cumple que

73,3log75,5*

19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso sepuede expresar por

5

90

20. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por

1

Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25 delcontorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de comprendidos entre 4 y 10.

21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una solalectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar. b) si el flujo es turbulento.

22. Demostrar que

Re

12log18

23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para usar la fórmula en elsistema inglés?

24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidadmedia. Dibujar la distribución de velocidades.

91

3.1 Ecuación de Darcy

Consideremos el flujo en un cilindro de longitud . Las fuerzas que actúan son la diferencia

de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.

La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a

la resistencia que ofrece el contorno

021 sen (3-1)

CAPITULO LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL

MOVIMIENTO UNIFORME

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería

2

2

1

1

Plano de referencia

92

es la sección transversal, el perímetro y 0 el corte medio sobre el contorno.

Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se

tiene,

(ec. 2-10) 0

ooo

220

(ec. 2-42)

si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por y se reemplaza el valor obtenido

para 0 se obtiene

sen 2

21

de donde,

2

2

22

11

luego,

42

2

Multiplicando y dividiendo por 2 el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida

de carga

2

2 82

Denominaremos , coeficiente de Darcy a la relación entre 8 y el cuadrado de

28

(3-2)

Sustituyendo,

2

2

(3-3)

93

que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En

algunos textos el coeficiente de Darcy se designa con la letra .

La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse

utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones

algebraicas.

La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga que se presenta en un tramo

de tubería de longitud , diámetro y velocidad media .

El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se

puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación

de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.

(ec. 2-10) 0

ooo

2

oo

o

2

0

(ec. 2-19)2

2

Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para 0 ,

2sen21

dividiendo ambos miembros por y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro

por ,

2

2

2

Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones,

2Re

64 2

94

o bien,

2

2

que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,

Re64 (3-4)

el número de Reynolds esta referido al diámetro.

3.2 Significado del coeficiente de Darcy (en tuberías circulares)

En lo que respecta al flujo laminar, es simplemente una función del número de Reynolds.

En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de es más complejo.

En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

Re, (3-5)

La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.

2-44).

La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por

a) Altura media de las irregularidades de la superficie

b) Variación de la altura con respecto a la media

c) Forma de las irregularidades del contorno

d) Separación entre irregularidades adyacentes

Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que

Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme.

Es útil el concepto de rugosidad equivalente . Según este concepto, es una longitud que

mide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales

a los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valores

correspondientes de son los mismos para ambos conductos.

95

Si bien es cierto que en el flujo turbulento, es, en el caso más general, función tanto del

número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de

sólo uno de ellos.

En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es

bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro

de la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de .

En una tubería lisa,

Re (3-6)

En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de son tan grandes con

respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,

(3-7)

Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas

Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo

que,

41

Re

316,0(3-8)

Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores

que 105, (aproximadamente).

Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,

el valor de se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.

Partimos de la ecuación 2-33,

4,46ln*

96

luego sustituimos el valor de (ec. 2-28)

6,11

y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo

ln (3-9)

Necesitamos ahora una relación entre y . Para ello combinamos las siguientes

ecuaciones, ya conocidas

Dividiendo,

(3-10)

De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,

8

(3-11)

De las dos últimas se llega a

8

(3-12)

Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,

8

ln811

efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,

92,0)log(Re03,21 (3-13)

97

y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega

finalmente a

8,0)log(Re21 (3-14)

ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre y el número de

Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente

relación empírica,

2370Re221000320 (3-15)

en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos

resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.

Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de en el flujo turbulento,

251Relog8111

(3-16)

que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones

(con respecto al diámetro).

Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia

un cuarto de la viscosidad.

Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.

Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.

Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente de Darcy y el número de

Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)

y la transición entre ambos escurrimientos.

98

3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico deNikuradse

Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse

una subcapa laminar.

El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidad

relativa. El valor de se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.

Partimos de la ecuación 2-38,

4,13ln

4,13ln

e introducimos la ecuación 3-12,

8

de donde

35,3log03,21

(3-17)

Figura 3.2 Coeficiente de Darcy en tuberías lisas

2 300

0,08

10

0,02

0,01

0,04

0,06

210

3

Laminar

0,10

0,20

= 2 log Re

410

Re 4

0,3161

1

105

106

Turbulento

Re =

107

64Re

99

Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse

71,3log21

(3-18)

Se observa, pues, que ahora es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente

del número de Reynolds.

Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que

considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de se

obtiene el de (ó de , según el gráfico)

Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías

lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones

analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición

entre paredes lisas y rugosas.

El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas

y a la transición entre ambos. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras

3.2 y 3.3.

Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad

artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).

0,01

0,06

0,04

0,02

104 105 106

0,03

0,0530,

61,2

120,

252,504,

1014,

Re =

Figura 3.3 Coeficiente de Darcy en tuberías rugosas

100

Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente

a) En el régimen laminar ( Re 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna

influencia sobre la resistencia.

b) Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como

hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa

en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número

de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las

tuberías lisas.

c) Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el

coeficiente es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

Es la transición.

d) Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente es función exclusiva de la

rugosidad relativa.

Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no

es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de

transición se encontrarían fuertes diferencias.

Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV).

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse

103 104 105

Re =106

0,016

0,020

0,025

0,032

0,040

0,050

0,063

30

61,2

120

252

504

1 014

101

3.5 Introducción del coeficiente de Darcy en las ecuaciones dedistribución de velocidades

En el capítulo II establecimos la ecuación 2-57

2log75,5

Expresión en la que

: velocidad a la distancia del contorno

: velocidad media

: velocidad de Corte

: radio hidráulico

La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la

media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea

hidráulicamente liso o rugoso.

Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57

8

obteniendo así

171,0log03,2

Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,

se obtiene

1783,0log15,2

(3-19)

De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La

velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a 2 . Luego,

143,1

(3-20)

La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente de Darcy y de la velocidad

102

media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden

los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro, se obtiene

experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede

hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I.

A partir de los valores obtenidos para en función de es posible calcular y por

medio de la ecuación 3-19.

Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría

con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,

hallando así y . Sin embargo toda medición implica un error. Es preferible obtener y

a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.

La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera

43,1log15,2

que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma

Siendo,

15,2

103

43,1

Los valores de y se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue

los valores de y .

La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería.

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook- White

Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.

Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí

liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede

comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de

la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría

desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.

En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren

de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.

Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor

de la relación de .

En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el

fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad

natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas

protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.

Los valores de en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por

medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en

Tuberías rugosas (ec. 3-18)

71,3log21

Tuberías lisas (ec. 3-14) 51,2Re

log21

Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.

104

Re51,2

71,3log21

(3-21)

Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II.

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.Errores

Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías

y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de

dimensionamiento.

Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.

Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un

contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de

energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.

Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida

de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.

Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la

misma que depende del grado de turbulencia.

Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.

Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes

sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de

comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.

Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento

-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y

las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.

Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las

siguientes

105

a) Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos

b) Explicación clara del fenómeno de disipación de energía

c) Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno

d) Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida

e) Facilidad de uso en los problemas de ingeniería

La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras

transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene

8451,2

8,14log82

expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,

72

6log18

y que es mucho más simple. En ambas

: velocidad media de escurrimiento

: radio hidráulico

: pendiente de la línea de energía

: rugosidad absoluta

: espesor de la subcapa laminar

: viscosidad cinemática

: coeficiente de Chezy

Si en la última ecuación sustituimos,

8

se obtiene

8

que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.

106

Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro

requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,

rugosidad, viscosidad, etc.)

Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos

factores.

Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación

en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.

Tuberías lisas

La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es

251,2log2

42

2

de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro

es

251,2log

65,05,2

Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es

251,2log

217,05,0

Tuberías rugosas

La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es

71,3log2

42

2

107

Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,

71,3log

43,05,2

y,

5,0

Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene

aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo diámetros

comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.

Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes

(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.

Se obtiene finalmente que,

5,2 (1)

y

5,0 (2)

Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de

una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores

medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).

Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de

71,3log21

de donde,

21

21

2

108

y con respecto a la rugosidad relativa,

71,3log

43,02

A partir de la ecuación de Chezy (expresando en función de )

8

se obtiene

21

importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones

del coeficiente de Darcy.

Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene

71,3log

43,0

Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra

que,

)174,00775,0(

o bien,

121

61 a (3)

109

Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la

influencia de la rugosidad es mucho menor.

Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que

- Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.

- Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.

- Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el

gasto.

Combinado (1) y (2), se obtiene

5

lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un

aumento del 50 % en la pérdida de carga.

3.8 Tuberías de sección no circular

En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad

media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho

infinito y sección circular.

En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso de

tuberías circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente de Darcy en función del diámetro.

Sin embargo, en algunos casos, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección

diferente a la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.

Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es

constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte

será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las

circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.

Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente de

Darcy (3-5)

110

Re,

tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección”

,Re,

Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen

una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.

Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula

de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico, tal

como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).

El radio hidráulico de una sección circular es 4/ . De acá que la ecuación de Darcy se

transforma en

24

2

Para el cálculo de se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,

considerando

4Re

4

Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las

secciones no se aparten demasiado de la forma circular.

En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de en tuberías lisas (ecuación

3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,

pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a

05,1log03,21

111

3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades

A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución

de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.

La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones

- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro

de la tubería.

- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la

viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.

- Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad.

Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad

máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma

proporción.

- La velocidad a la distancia del contorno se describe según la siguiente expresión

(3-22)

Siendo la potencia cuyo valor debe determinarse; es el radio de la tubería.

Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte

0

que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da

220

(3-23)

De otro lado, según Blasius (3-8)

41

Re

316,0

Reemplazando la ecuación 3-2, 28

, y reemplazando el número de Reynolds de la

ecuación de Blasius

112

41

41

41

2

316,0

8

Reemplazando este valor en la ecuación 3-23

41

474

1

0 8316,0

Luego sustituimos el radio en lugar del diámetro y se tiene,

41

41

474

1

0 28

316,0

Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media

Sustituyendo en 3-22

De donde,

ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para 0 ,

41

41

47

47

47

47

41

0 28

316,0

Para que 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio

sea nulo. Luego,

113

041

47

71

Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es, en una tubería

71

(3-24)

Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,

las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds

menores que 105).

Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente tiende a disminuir. Prandtl

menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades

queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces

mayor, el exponente es 1/10.

Experimentalmente se ha establecido que en una tubería

235,1 (3-25)

Luego,

71

235,1 (3-26)

Ejemplo 3.1 Calcular el valor de en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con

una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos

diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.

Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,

9601810251

600953Re 4

Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)

027,073,11

316,0

96018

316,0

Re

316,041

41

114

Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16),

2)5,1Relog81,1(1

95,381

)5,174,7(1

)5,1277,481,1(1

22

026,0

Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es

m99422953

60020010270

2

22

o bien,

m39412953

60020010260

2

Ejemplo 3.2 Calcular el valor de y luego el valor de en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.

Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar

la ecuación 3-14.

Solución. Calculamos el número de Reynolds,

560161025,1

75,076,2Re4

Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)

0280027903411

3160

56016

3160

Re

316041

41

A modo de verificación calculamos el valor de (ecuación 3-11)

538 m1/2/s

Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto

se debe a que el problema es idéntico.

115

Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.

80Relog21

5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8

5,99 6,08

Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo

hidráulicamente rugoso se cumple que

884,0

Siendo 1

. Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable

Solución.

30ln

La velocidad máxima corresponde a

30ln

La velocidad media es

11ln

Luego,

ln

1130ln11ln

5,2

Pero,

8

Luego,

88408

528

52

116

Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial = 0,001 m,

velocidad 4 m/s, = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.

Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds

56 108

1020,04Re

Luego la rugosidad relativa

005,020,0001,0

Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene

= 0,030.

Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular utilizando

la fórmula 3-18,

713log21

0010200713log21

0303,0

valor bastante próximo al calculado con el abaco.

La pérdida de carga es

m45122216

20000010300

2

2

Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores

que 105 se cumple que

87

Re

El número de Reynolds está referido al radio de la tubería. Hallar el valor de . En la deducción debe

utilizarse la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28).

117

Solución. Sabemos que

41

Re

316,0 y 8

Combinando estas dos ecuaciones,

81

Re8

316,0

Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de

316,0Re86,11 8

1

81

81

81

31608611

Multiplicando y dividiendo por y reemplazando 2 .

81

81

81

81

237,58

87

87

87

81

237,58

87

Re65,63

Luego,

87

Re

65,63

El valor de es 63,65.

Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores

que 105 se cumple que

87

Re

El número de Reynolds está referido al radio de la tubería. Hallar el valor de . La deducción debe

hacerse sin utilizar la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28).

118

Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es

41

47

41

410

28

316,0

o bien,

41

2 Re0330

El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.

Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual

a 0 ,

0

Igualando,

41

2 Re0330

41

Re0330

4

3

Re0330

Pero, según la ecuación 3-26,

71

235,1

Reemplazando,

71

43

235,1Re033,0

76

43

235,1Re033,0

Elevando a la potencia 7/6,

876

7

Re235,1033,0

119

De donde,

87

Re

45,68

Luego, = 68,45

Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al

diámetro, es menor que 105, se cumple que

71

99,6

Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius

41

Re

316,0

Sabemos también que

2

2

8

Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.

Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por

20 8

1

Solución. Partimos de la ecuación de Darcy

2

2

Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene,

2181

Combinando con

0

Se obtiene finalmente

20 8

1

120

Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberías

geométricamente similares es

2

Para el caso de una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la

pérdida de carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.

Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro

en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.

Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. Considerar

Peso específico del aire : 1,25 kg/m3

Peso específico del agua : 1 000 kg/m3

Viscosidad del aire : 1,8x10-4 poises

Viscosidad del agua : 1,2x10-2 poises

Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds

es el mismo para ambas

2

222

1

111

Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entre

las pérdidas de carga se llega a

1

22

2

21

2

1

2

1

2

1

De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos

2

4

1

2

2

1

2

112 1021

1081104

2510001500

m/s422

calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga

148234

1042

50015040

2510001 2

2

1

121

Luego,

m0108014823250

2

la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.

3.10 Concepto de capa límite

En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección

transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente

transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea

cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,

y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades

disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente

desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un

aumento en el grado de turbulencia.

En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi

uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy delgada, próxima

a las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso.

A esta pequeña capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy

compleja, pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente

en el aspecto físico del problema.

Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno

alguno.

Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el

fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno

deben ser iguales. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del

cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá

un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad

aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia la velocidad que

tendría en ausencia del cuerpo.

122

Consideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde de

ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la

escala vertical aparece considerablemente ampliada.

Esta zona de espesor variable que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas

abajo se denomina capa límite.

La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más

significativos a la Mecánica de Fluidos.

La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una

interior y otra exterior a la capa límite.

Figura 3.5 Flujo paralelo

Figura 3.6 Generación de una capa límite

123

Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente

de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con

energía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo

potencial.

La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como

si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una pequeña capa, próxima al contorno, que es la

capa límite.

El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un

número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente

que el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1.13).

3.11 Espesor de la capa límite

De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad

sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.

Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.

Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.

La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es

el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite

(a) (b)

124

Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a).

Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo que

las áreas achuradas sean iguales.

En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asintota con una

tangente a la curva de origen.

Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de

desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia

de la disminución de velocidad en la capa límite.

Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujo

cuyo valor sería

0)(

El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la

capa límite por el espesor de desplazamiento * .

0)(

o bien,

01 (3-27)

Figura 3.8 Espesor de la capa límite

0,99

125

3.12 Desarrollo de la capa límite

En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En

cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es

laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve

turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta

subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).

La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para

valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo,

Re

Se denomina a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en la

dirección del escurrimiento.

Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al

número de Reynolds de una tubería o un canal.

El espesor de la capa límite laminar viene dado por,

212

1

21 5

Re

5

(3-28)

El espesor de la capa límite turbulento viene dado por,

545

1

51 38,0

Re

38,0

(3-29)

Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece

con el exponente 4/5 de , mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.

Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.

Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el

cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.

126

3.13 La separación. Expansión de un conducto

Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán lasfases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de la capa límite turbulenta sehabrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y es igual al radio. Si las paredes

de la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor .

Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener

energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del

escurrimiento, lo que implica

0

Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la

dirección del escurrimiento,

0

Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el

primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.

El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se

ecuación 3-28

ecuación 3-29

subcapalaminar

laminar transición turbulento

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta

127

ilustra en el siguiente dibujo esquemático.

La condición 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se

presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se

tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy

lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego

por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una

contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.

Capa límite

0

0

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones

Figura 3.11 Fenómeno de la separación

Contracorriente

S

128

La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la

que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento

en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).

Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra

haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta

detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección

contraria a la del escurrimiento.

Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes.

Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición).

Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión

Capa límite

Capa límite

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes

Contracorriente

Contracorriente

Corriente principal

129

Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo

es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción

laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.

Solución. La transición se produce para

5105

Luego,

m2,05,2

10105 65

La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.

Luego para = 5 cm la capa límite es laminar.

21

Re

5

4105,12Re

a) m1007,7105,12

1055 4

2

2

b) A la distancia de 1 m el flujo es turbulento

51

Re

38,0

El número de Reynolds es

6105,2Re

y,

cm21938,0

130


(Capítulo III)

1 . Discutir como varía en una tubería la relación de la velocidad

máxima a la media

a ) Para números de Reynolds crecientes.

b) Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial).

2. Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para en los ejemplos 3.5

y 3.6.

3. Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de viene dado por la ecuación de Blasius

y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería

1,75.

4. Demostrar que

23

55,193,21

98,01

5. Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulentoencontrándose que la velocidad a la distancia 4/ del contorno es igual a 0,89 Calcular el valor del coeficiente de Darcy y la rugosidad relativa.

6. Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Comparar resultados.

7. Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Comparar resultados.

8. Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Calcular el valor de a partir del coeficiente de Chezy y a partir dela ecuación de Blasius. Comparar resultados.

9. A partir del valor de obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el

valor de y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida

de carga.

131

10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el flujo es

laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000 (referido al

diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1,67.

11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia 0 por unidad de área

del contorno depende de la viscosidad , de la densidad , de la velocidad del fluido y del

diámetro y la rugosidad absoluta de la tubería, demostrar que

,2

0

12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,

2

expresión en la que es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno, es la densidad,

es la velocidad media, el diámetro y la viscosidad dinámica.

Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua.

La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular

a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud.

b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo

para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.

Peso específico del agua : 1 000 kg/m3

Peso específico del aire: 1,25 kg/m3

La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire.

13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente de Darcy y el número de Reynolds Re ,

referido al diámetro, es

237,0Re221,00032,0

para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor de y el correspondiente número de Reynolds, para los que ésta fórmula da los mismos resultados

que la ecuación de Blasius.

132

14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que

14

15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook

y White

8451,2

8,14log82

tiene la forma de la ecuación de Chezy,

72

6log18

Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son

exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?

16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por

71

235,1

Calcular a qué distancia del contorno la velocidad )( es igual a la velocidad media.

17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida de

presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está 2 m por

encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad de las paredes

es uniforme. Calcular

a) El coeficiente de Darcy

b) La calidad de las paredes (lisa o rugosa)

c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente

d) La velocidad máxima

18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al

diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente de Darcy.

133

19. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única diferencia

en la longitud).

20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.

21. En una tubería el valor de es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media.

22. Calcular los valores de y para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo.

23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1,25x10-4 m2/

s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de recorrido se pierde una

energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución

en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y no interior, como se supuso en los

cálculos.

El espesor de la tubería es de 2 cm.

24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.

25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se mantiene

un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por

cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s.

Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores iniciales

y finales de la velocidad media y del coeficiente de Darcy.

Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el

nuevo valor de la rugosidad.

135

CAPITULO DISEÑO DE TUBERIAS

4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y líneapiezométrica

Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos laecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería

2

2

2

2

1

1

L. E.

2 2

1 2

Plano de referencia

1

2L. P.

1

2

1-2

136

�⌡⌡⌡⌡⌡

2122

22

211

21

1 22

(4-1)

Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no setransforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción yque denominamos , pérdida de energía o pérdida de carga.

Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidadtambién lo es y la energía de velocidad es constante

22

22

2

21

1

es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.

Entonces, la ecuación de la energía es simplemente

�⌡⌡⌡

2122

11

A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie depiezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea degradiente hidráulica (L. P.).

Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía develocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y lalínea piezométrica son paralelas.

Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos

a) La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión encualquier punto de ella.

b) En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendienteo inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido.

c) La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entredos secciones (para el movimiento uniforme).

d) La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante ypara tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.

La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloqueuna bomba.

137

La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento.

La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido enreposo. Tal sería el caso de un estanque.

En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como �21

a la suma de todas las

pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2.

Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales.

Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy (ecuación 3-3).

2

2

Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula,codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.

Potencia

Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.

(4-2)

es el peso específico del fluido en kg/m3, es el gasto en m3/s, es la energía total con

respecto al plano de referencia, en metros, es la potencia en kg-m/s (teórica). Para

obtener esta potencia en

HP (Horse Power) 76

CV (Caballos de vapor) 75

KW (kilowatts) 102

138

Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” dediámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro.

Solución. El gasto es

Ι 0,1216 m3/s

La energía en la boquilla es

2

2

11,48 m ( es la velocidad de salida)

La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es

1 396 kg m/s

o bien,

18,4 HP = 13,7 KW

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

En el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de lastuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificialconstituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).

Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El Estudio experimental de la pérdidade carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse

y que relaciona el coeficiente de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidad

relativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse.

Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento,concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyovalor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presenteque la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es másrugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías serádescrito mas adelante.

La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo dereposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración,

calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta se

obtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.

139

Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes

a) Cálculo de la pérdida de carga

Es el caso más simple, los datos son

: gasto

: longitud

: diámetro


: rugosidad

Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicarel diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa

Con ellos se determina el valor de y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la

pérdida de carga .

b) Cálculo del gasto

Los datos son

: longitud

: diámetro


: rugosidad

: pérdida de carga

Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse poraproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando eldiagrama de Moody se supone un valor para (podría ser, por ejemplo, el que correspondea turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de incorporado a los datos secalcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número deReynolds.

Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para , el cual secompara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse unnuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidoslos valores de y de se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con elvalor correcto de la velocidad se calcula el gasto.

141

Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido ( = 0,00025 m) de 10” de diámetro. La

longitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía)en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto.

Solución. La rugosidad relativa es

= 0,001

Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada

= 0,0198

Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,

22540

0001019802

1022

De acá se obtiene,

= 1,59 m/s

Luego,

56 10044

102540591Re ΙΙ �

Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos en eldiagrama de Moody,

= 0,0205

Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de hacemos un nuevo cálculo para lavelocidad y se obtiene

= 1,56 m/s

de donde,

Re = 3,96x105

y en el diagrama de Moody encontramos,

= 0,0205

Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto

56,14

2 = 0,079 m3/s = 79 lps

Los valores de y satisfacen la ecuación de Darcy.

142

c) Cálculo del diámetro

Los datos son

: longitud

: viscosidad

: rugosidad

: pérdida de carga

: gasto

Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y delárea se tiene

22

2

42

De donde,

2

285

o bien,

2082705 (4-3)

Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento

1. Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valorescomerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacerun diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles.Eventualmente su número puede ser muy restringido.

2. Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.

3. Calcular la rugosidad relativa.

4. Con el diagrama de Moody hallar el valor de .

5. Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.

6. Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de cargaadmisible (dato).

7. Caso contrario repetir el procedimiento

8. Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comercialessucesivos, tomar el diámetro mayor.

143

Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente

1. Suponer un valor para .

2. Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.

3. Calcular el número de Reynolds considerando que

Re

y que, por la ecuación de continuidad

2 4

se expresa como,

D14Re

4. Calcular la rugosidad relativa.

5. Con el diagrama de Moody hallar el valor de .

6. Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.

7. Si el valor de es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramenteel diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.

Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Estatabla es muy útil para aligerar los cálculos.

Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existendiversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valordel coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynoldsdados.Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingenierohidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidadmedia en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y elnúmero de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que lavelocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán uncomportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetromás económico, lo que será analizado posteriormente.

Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, comoel golpe de ariete, por ejemplo.

El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente entérminos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidadesadmisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado.

144

TABLA 4.1

VALORES DE PARA EL AGUA

Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de x 104

(Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)

Velocidad

m/s Calidad

0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00

4”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

435 355 300 240

415 320 265 205

410 310 250 190

405 300 240 180

400 290 230 170

395 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 260 200 140

375 250 190 130

370 250 185 120

6”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

425 335 275 220

410 310 250 190

405 300 240 175

400 285 225 165

395 280 220 160

395 275 210 150

390 265 205 145

385 260 200 140

380 250 190 130

375 240 180 120

365 235 175 115

8”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

420 320 265 205

405 300 240 180

400 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 265 205 140

380 260 200 135

375 250 190 130

370 240 185 120

365 235 175 115

360 225 170 110

10”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

415 315 260 200

405 295 230 170

400 280 220 160

395 270 210 150

390 265 205 145

385 260 200 135

380 255 190 130

375 245 185 125

370 240 180 115

365 230 170 110

360 225 165 105

12”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

415 310 250 190

400 285 225 165

395 275 210 150

395 265 205 140

390 260 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 240 180 120

365 235 175 115

360 225 165 110

355 220 160 105

16”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

405 300 240 180

395 280 220 155

390 265 205 140

385 260 200 135

380 255 195 130

375 250 190 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 225 170 110

350 215 160 105

350 210 155 100

20”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 290 230 170

395 275 210 150

390 265 200 135

385 255 195 130

380 250 190 125

375 245 180 120

370 235 175 115

365 230 170 110

360 220 165 105

350 215 160 100

350 205 150 95

24”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 285 225 165

395 265 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 245 185 120

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 105

350 210 155 100

345 200 150 95

30”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 280 220 160

385 255 195 135

380 250 190 130

375 245 185 120

370 240 180 115

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 210 160 105

350 205 155 100

345 200 150 95

36”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

395 275 215 150

385 255 195 135

375 245 185 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 230 170 110

355 225 165 110

355 220 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

48”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

395 265 205 140

385 250 190 125

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 215 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

335 190 140 90

145

Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido ( = 0,0004 m)para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m.La pérdida de carga admisible es de 25 m.

Solución.

1. Supongamos = 0,02

2. Calculamos el diámetro.

265,00827,05 2

m7670

3. Calculamos el Número de Reynolds

61077214Re Ι

4. La rugosidad relativa es

00052,00767,00004,0

5. Con el ábaco de Moody hallamos el valor de

= 0,0168

6. Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de .

5 = 0,222

= 0,74 m

Re = 2,87 x 106

= 0,00054

= 0,0168

7. Como el valor que hemos encontrado para es igual al último valor supuesto éste es el valor

correcto. Los valores de y de satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,

= 0,74 m

= 29,13’’

146

En este caso escogemos

= 30’’

Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro.No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si estavelocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad nonos traerá dificultades.

Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximopara la velocidad.

Posteriormente se verá que el problema es también económico.

Ejemplo 4.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa, horizontal, de2” de diámetro. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.

Solución. Por ser una tubería horizontal

21 �

Para calcular la presión requerida ( 21 � ) debemos establecer la pérdida de carga.

El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama de

Moody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene

= 381,6 m

y por lo tanto

� 21 38,2 kg/cm2

Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar auna alta velocidad y a una gran pérdida de carga.

Ejemplo 4.5 Calcular el gasto delsistema mostrado en la figura. Laviscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s.La tubería es lisa. Considerarúnicamente las pérdidas de cargacontinuas. El diámetro de la tuberíade descarga es de 2 cm.

0

4 m

1 2

5 m

147

Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2

2122

22

11

21

22 �⌡⌡⌡⌡⌡

Pero,

21 ; 21

Luego,

2

2

21

21 ��

Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1

11

21

00

20

22

⌡⌡⌡⌡

020

Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene

22

221

10 ⌡�

Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencerla fricción.

De acá,

1

2 1021

⌡

�

Reemplazando valores,

120010

10204

5221 ⌡

⌡

Ι

(1)

De otro lado sabemos que el número de Reynolds es

1611 66716

1021020Re

�

148

Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad.

1 4,51 m/s

0,00142 m3/s

Los valores de se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido del

diagrama de Moody.

Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimirenergía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.

En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.

Energía de velocidad 2

2

= 1,04 m

Fricción = 3,96 m

Energía = 5,00 m

1

(supuesto) Re

(según Blasius) 1

1,02,02,54,04,2

4,34,4

4,54,51

16 667 33 334 41 667,5 66 668 70 001,4

71 668,1 73 334,8

75 001,5 75 168,2

0,0278 0,0234 0,0221 0,0197 0,0194

0,0193 0,0192

0,0191 0,0191

3,87 4,16 4,25 4,46 4,48

4,49 4,50

4,51 4,51

149

Ejemplo 4.6 Calcular el gasto que fluye en elsistema mostrado en la figura. La tubería es lisa,de 10 cm de diámetro. La viscosidad del agua es1,25x10-6 m2/s.

No considerar pérdidas de carga locales.

Solución. Aplicando el teorema de Bernoullientre 1 y 2

2

22

2112 ��

Análogamente entre 3 y 4 se obtiene

2

23

3443 ��

Se ha considerado que 041

Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3

2

2

2332 ⌡��

puesto que 32 .

Observando que � 41 0 se llega a

)()( 342132 ��

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

2

2

41 �

(Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura)

Reemplazando los datos del problema

289,22

El número de Reynolds es 80 000 .

Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Para un valor supuesto de lavelocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Luego, en el ábaco de Moody se

1

5 m

2 m

1 m

3

4

2

150

encuentra el valor de . Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para

este problema). Si la velocidad es igual a la supuesta, el problema está resuelto. Caso contrario debenproseguirse los tanteos. Se obtiene finalmente

= 14,17 m/s = 0,0114

y el gasto es

= 111 lps

Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14, 3-15 y 3-16 (estas ecuacionespodrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Los valores obtenidos de y de satisfacen la ecuación de la energía.

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. Las pérdidas de carga continuasson proporcionales a la longitud, se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy.

Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y sedeben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo,una válvula, un estrechamiento, etc.

En la figura 4.3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída queexperimenta como consecuencia de una singularidad, que produce una pérdida de cargalocal a la que designamos como .

Figura 4.3 Pérdida de carga local

Línea de energía L. E.

Singularidad

151

Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidaden la tubería

2

2

(4-5)

expresión en la que es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud, es un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad quegenera la pérdida de carga (codo, válvula, etc) así como del número de Reynolds y de larugosidad, es la velocidad media en la tubería.

A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. Esto en razónque en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Sin embargo entuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muyimportantes.

Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento.

A. Entrada o embocadura

Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque

A la entrada se produce una pérdida de carga originada por la contracción de la venalíquida. Su valor se expresa por, (ec. 4-5),

2

2

Expresión en la que es la velocidad media en la tubería.

El valor de esta determinado fundamentalmente por las características geométricas de laembocadura. Las que se presentan más frecuentemente son

Entrada (embocadura)

152

a) Bordes agudos

b) Bordes ligeramente redondeados ( es el radio de curvatura)

En este caso el valor de depende de la relación . El valor 0,26 corresponde a unarelación de 0,04. Para valores mayores de , disminuye hasta llegar a 0,03 cuando

es 0,2.

c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados). El borde acampanado significa queel contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirseseparación.

d) Bordes entrantes (tipo Borda)

Zona de separación

= 0,5

= 0,26

= 0,04

= 1

153

Los valores aquí presentados para son valores medios, que pueden diferir según lascondiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores sólo se hacen dependerda las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad.

En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar aestas entradas la forma más hidrodinámica posible. A modo de ejemplo cabe indicar que parauna velocidad media de 2,5 m/s en una tubería la pérdida de carga es de 0,159 m si la entradaes con bordes agudos y sólo 0,013 m, si la entrada es acampanada.

B. Ensanchamiento del conducto

En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro

mayor. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual.

a) Ensanchamiento brusco

La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de laecuación de la cantidad de movimiento. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

⌡⌡⌡ 2

221

21

22 (4-6)

2

2

2 2

1 2

1

2

L. P.

L. E.

2

A D

1

B C

21

154

Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.

Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultantede las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.

)()( 12221 ��

Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1.

Dividiendo esta última expresión por 2 se obtiene

21

2221 ��

Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a

2222

22

21

2121

22

2221 �⌡�⌡�

agrupando se obtiene,

2)(

22

2212

221

21 �⌡⌡⌡

Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de

carga en el ensanchamiento brusco es

2

)( 221 � (4-7)

expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuaciónde continuidad se obtiene

2

12

12

2

2

1

22

1

2

2

1 �� (4-8)

Este resultado teórico está confirmado por los experimentos.

155

Si la superficie 2 es mucho mayor que

1 como podría ser el caso de entregade una tubería a un estanque, se tieneque

1

2

2

(4-9)

puesto que 0/ 21

Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica.

b) Ensanchamiento gradual

La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiadaexperimentalmente, entre otros, por Gibson. En una expansión gradual se producen torbellinosy vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de cargaadicional a la que corresponde por fricción con las paredes. Este fenómeno fue descrito en elcapítulo III al estudiar la teoría de la capa límite. La pérdida de carga en el ensanche graduales la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes, más la pérdida por formación detorbellinos. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanchebrusco.

1A

A 2

0º 20º 100º0

0,2

2

= 1,5

40º 60º 80º 120º 140º 160º 180º

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1

21

= 3

1 2

1 2 ( ) 2

2

Figura 4.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual)

156

En la Figura 4.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. El valorobtenido del gráfico para se reemplaza en la fórmula 4-10

2

)( 221 � (4-10)

Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual.

Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones

a) Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8° para el cual la pérdida de carga es mínima.

b) Para un ángulo de aproximadamente 60° la pérdida de carga en la expansión gradual esmayor que en la brusca.

Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir auna expansión curva.

En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansióngradual y una brusca.

C. Contracción del conducto

La contracción puede ser también brusca o gradual. En general la contracción brusca produceuna pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco.

La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1)en la Figura 4.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de

1 2

1 2

157

menor diámetro. Se produce consecuentemente una zona de separación. Luego se inicia ladesaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme.

Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. Lamayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). La energíaperdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. La pérdida de energía entre 1 y 2 secalcula con la expresión 4-8

2

12

2

2

1

2 �

en la que 1 es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y 2 esel área de la tubería menor (aguas abajo). 2 es la velocidad media en la tubería de menordiámetro (aguas abajo). La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente

2

112

12

2

222

2

2

2 �� (4-11)

Siendo el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinadosexperimentalmente por Weisbach (Tabla 4.2)

2

21

1 2

L. E.

L. P.2

2 2

0 1 2

Figura 4.5 Contracción brusca

158

TABLA 4.2COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS

Si

�2

11, entonces

2

22 (4-12)

Si 12 / es cero esto significa que 2 es mucho menor que 1 y se interpreta como una

embocadura con bordes agudos )5,0(

Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima, pues se reduce o casi eliminala formación de vórtices, dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corrientes.Consideraremos que su valor es cero.

Según Idelchik el coeficiente para la pérdida de carga en una contracción brusca se puedecalcular con la fórmula semiempírica

�2

1

2121

(4-13)

1 es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y 2 es el diámetro de la tubería menor

(aguas abajo).

D. Cambio de dirección

Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producenzonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior. El caso másimportante es el codo de 90°. La pérdida de carga es

⊕ ℘ 212 / 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,586 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1

159

2

9,02

(4-14)

Para el codo a 45° la pérdida de carga es

2

42,02

(4-15)

Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es

2

75,02

(4-16)

Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es

2

6,02

(4-17)

E. Válvulas y Boquillas

Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de

abertura. Los principales valores de son

Válvula globo (completamente abierta) 10Válvula de compuerta (completamente abierta) 0,19Válvula check (completamente abierta) 2,5

Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetrode la tubería y el grado de abertura. En una boquilla la pérdida de carga es

2

11 2

2 �

es el coeficiente de velocidad y es la velocidad de salida.

es la pérdida de carga en la boquilla.

160

TABLA 4.3PERDIDAS DE CARGA LOCALES

ENTRADA

2

22 ( : velocidad media de la tubería)

Bordes Agudos = 0,5

Bordes ligeramente redondeados = 0,26

Bordes Acampanados = 0,04

Bordes Entrantes = 1

ENSANCHAMIENTO

21

2

22

2

1

22

21 ��

( 1 : velocidad aguas arriba; 2 : velocidad aguas abajo)

Brusco = 1

Gradual Gráfico de Gibson

CONTRACCION

2211 2

22

2

2

� ( 2 : Velocidad aguas abajo)

Brusca Tabla de Weisbach

Gradual = 0

CAMBIO DE DIRECCION 2

2

( : velocidad media)

Codo de 90º = 0,90

Codo de 45º = 0,42

Codo de curv. fuerte = 0,75

Codo de curv. suave = 0,60

VALVULAS ( : velocidad media)

Válvulas de globo (totalmente abierta) = 10,0

Válvula de compuerta (totalmente abierta) = 0,19

Válvula check (totalmente abierta) = 2,5

161

Ejemplo 4.7 Calcular el gasto que escurreen el sistema mostrado en la figura. Latubería es de fierro fundido bastante oxidado.El diámetro es de 10 cm . La temperatura delagua es de 25 °C. La embocadura es conbordes agudos.

Solución. De la ecuación de la energía seobtiene

2227

2

2

2

1

2

⌡⌡

Por ser la embocadura con bordes agudos, 1 = 0,5 (ec. 4-5), 2 es igual a 1 por corresponder a la

entrega de una tubería en un depósito. (ec. 4-9). Sustituyendo

225,0

21,067

222

⌡⌡

Operando,

5,160142

⌡

La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.1. Luego,

015,0

Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada, se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4.2) que

= 0,044

Con este valor de , que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulenciaplenamente desarrollada, se calcula la velocidad.

= 5,76 m/s

Verificamos ahora el número de Reynolds. La viscosidad se obtiene de la Figura 1.8a o de la Tabla depropiedades mecánicas del agua.

5104,6Re Ι

confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. Esto significa, como sabemos, queel valor de es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds).Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.

5 m

2 m

1 m

162

= 45 l/s

A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga

Embocadura

2

502

0,85 m

Continua

2

2

4,47 m

Entrega

2

2

1,69 m

Energía total 7,01 m

Ejemplo 4.8 En el sistema mostrado en lafigura, la bomba impulsa gasolina cuyo pesoespecífico relativo es 0,68. La gasolina debepermanecer en el depósito con una cargaconstante de 1,0 m. En el depósito la presiónmanométrica es de 1,8 kg/cm2. A la salida dela bomba el diámetro de la tubería es de 3” yluego de una contracción gradual continúapor medio de un codo de curvatura suavede 2” hasta entregar al depósito. Elmanómetro ubicado inmediatamentedespués de la bomba indica 2 kg/cm2.Calcular el gasto.

Solución. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después dela bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contraccióngradual se desprecia.

2222

22

22

00

20

11

21 ⌡⌡⌡⌡⌡⌡

Por continuidad se tiene que,

21 = 0,1975 2

2

Reemplazando se obtiene

94,12

402,12

1 m

B

0

1

163

Luego,

2 = 5,2 m/s

= 10,5 l/s

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

En el ejemplo 4.7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega)representan el 36 % de la energía total. El 64 % restante corresponde a la pérdida de cargacontinua. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmentemuy elevadas. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor, el valor de la pérdida de cargacontinua crecería. Para una longitud muy grande podría darse el caso que las pérdidas decarga locales sean despreciables.

Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarsesin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos. Corresponde a valoresgrandes de la relación entre la longitud y el diámetro ( ).

Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes conrespecto a la energía total y por lo tanto no pueden despreciarse en los cálculos. Correspondea valores pequeños de la relación ( ).

A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de cargalocales consideremos que en la figura del ejemplo 4.7 la longitud de la tubería es , eldiámetro y la energía . Entonces,

222

2

2

2

1

2

⌡⌡

Admitamos que 1 es 0,5, 2 es 1 y = 0,024 (son valores escogidos arbitrariamente,pero que se presentan frecuentemente. En este cálculo se usan a fin de poder establecercomparaciones).

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene,

2024,05,1

2

⌡

Examinemos varias posibilidades

164

a)

= 100, luego

2

9,32

1

Pero si despreciamos las pérdidas de carga locales, entonces

2

4,22

2

La relación entre las velocidades calculadas, según que se desprecie o no, las pérdidasde carga locales, sería

27,14,29,3

Luego el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %. Evidentemente esto significaque al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado.

b)

= 1 000

Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidadsería del 3 %

c)

= 10 000

El error en el cálculo de la velocidad sería del 0,3 %

Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.

/ (con ) (sin ) 12 / Error

100

1 000

10 000

1,5 + 2,4

1,5 + 24

1,5 + 240

2,4

24

240

1,27

1,03

1,003

27 %

3 %

0,3 %

165

Estos valores son sólo indicativos, pues no corresponden a un caso absolutamente general(por ejemplo, 1 podría no ser 0,5). Sin embargo, el cuadro precedente ilustra claramentepara que orden de valores de el error es muy pequeño.

A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de laspérdidas de carga locales.

En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de laecuación de Darcy, o su equivalente

5

2

0827,0 (4-18)

Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a

2g

2

que equivale a

4

2

0827,0

La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas

4

2

5

2

0827,00827,0

⌡

La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que latubería sea larga o corta. Transformando,

4

2

082700827,0

⌡

Según lo expuesto en el capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la

estimación de la rugosidad (lo que es perfectamente posible), esto representará un error

del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en

el cálculo de la velocidad).

De acá se desprende que la condición límite corresponde a

166

4 % de 0827008270

,040

Examinemos el mismo sistema anterior ( y 024,05,1 ). Reemplazando se

obtiene,

1 562,5

1 500

En lo sucesivo se considerará, para fines prácticos, que si

1 500 (4-19)

la tubería es larga y por lo tanto las pérdidas de carga locales son despreciables.

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadascon las pérdidas de carga continuas.

Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible detratamiento analítico. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca(ensanchamiento del conducto).

Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco, las dos ecuaciones fundamentalespara el cálculo son

⌡⌡⌡⌡ 2

22

22

12

11 22

1122221 ��

167

es el coeficiente de Coriolis, es el coeficiente de Boussinesq, es la velocidadmedia, es la presión, el peso específico del fluido, su densidad, el gasto, elárea de la sección transversal. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arribay los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo.

Para el flujo laminar consideramos

221

3/421

Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida decarga local

33 2121 �� (4-20)

Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento, ec. 4-7.

En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) lapérdida de energía por rozamiento con el contorno, b) la pérdida de energía por disipación enla formación de vórtices

⌡

Para el flujo laminar, (según ecuaciones de Darcy)

2Re

64 2

que para longitud y diámetro constante equivale a

2Re

2

La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es

2

2

168

se tiene que

⌡Re (4-21)

Naturalmente que si el flujo es turbulento

y son dos constantes.

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes

Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energíapara que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. Lo que equivale a decir que dossistemas hidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la mismapérdida de carga.

Así por ejemplo, los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes

Siempre que los valores de la energía y del gasto sean iguales en ambos sistemas.

Ejemplo 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0,10 m de diámetro 0,020 de coeficiente

de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo, del mismo diámetro y rugosidad, en

las que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de = 2 ?

Solución. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas

⌡

222

222

169

22

2

⌡

Reemplazando los valores conocidos se obtiene = 110 m.

Ejemplo 4.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de latubería es de 4”. Está hecha de fierro fundido, nuevo. La viscosidad del agua es 1,4x10-6 m2/s. Losbordes de la entrada son ligeramente redondeados. El chorro descarga libremente a la atmósfera.Verificar por el método de la tubería equivalente.

Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 seobtiene

⌡⌡⌡� 122 21

2

20

Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general

= 3,6 m/s = 0,029 m3/s 29 l/s

La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212,24 m.

Luego,

m08,3526,3

1016,024,2120254,0

2

Con lo que queda verificado el problema.

0

1

5 m40 m

2

120 m 75 m

170

4.7 Tuberías en serie

Se dice que dos o más tuberías, de diferente diámetro y/o rugosidad, están en serie cuandose hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismogasto.

En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie. Corresponde a un sistemaformado por dos tramos que conecta dos estanques. La carga o energía disponible debeser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas ylocales). Esta condición se expresa por la ecuación de la energía

⌡⌡

22

22

2

22

21

1

11 (4-22)

Los subíndices 1 corresponden al primer tramo, los subíndices 2 corresponden al segundotramo. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos.

La ecuación de la energía junto con la de continuidad, constituyen las dos ecuacionesfundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie.

21

Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. El primero, quees el más simple, tiene por incógnita la energía . Son datos básicos los diámetros,longitudes, rugosidades y el gasto. La solución es inmediata.

L. E.

L. P.1

2

1

2=

Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos)

171

El segundo caso es más laborioso. La incógnita es el gasto. Los datos son la energía disponible , los diámetros, longitudes y rugosidades.

Hay varios métodos para resolver este problema. Uno podría ser suponer sucesivamentevalores para el gasto y verificar en cada caso si la suma de todas las pérdidas de carga esigual a la energía disponible . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energíay se determina para el valor de , dato del problema, cual es el valor correspondiente de .

Otro método es el siguiente. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuaciónde la energía en función de una de las dos velocidades ( 1 ó 2 ). Conviene luego iniciar loscálculos haciendo la siguiente suposición

21

Se debe entonces suponer un valor para . Esto puede hacerse, aproximadamente, teniendo

en cuenta la Tabla 4.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para porobservación del Diagrama de Moody, Figura 4.2 (se puede suponer inicialmente que laturbulencia está plenamente desarrollada).

Con el valor supuesto para se calcula las velocidades y luego los números de Reynoldspara cada tramo, y se determina con las rugosidades relativas los valores 1 y 2 .

Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy, se rehace el cálculo hallándosenuevos valores para 1 , 2 , Re , 1 y 2 .

Si estos valores obtenidos para son iguales a los dos últimos, esto significa que se hadeterminado los verdaderos valores de y de las velocidades. Se puede entonces calcular elgasto y cada una de las pérdidas de carga. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía.

Puede darse también el caso de un sistema en serie que descarga a la atmósfera.

L. E.

L. P.1 2

1

2=

3

3=

Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos)

172

Se mantiene el concepto general. La energía disponible es igual a la suma de todas laspérdidas de carga continuas y locales, más la energía de velocidades correspondiente alchorro final.

La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto.

321

Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro, el último de loscuales descarga a la atmósfera con una velocidad (velocidad de salida), se demuestrafácilmente que

⌡⌡

12

2

2

2

2

1 (4-23)

el gasto es evidentemente

Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que laspérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de cargacontinuas. En este caso se desprecian las pérdidas de carga locales.

Ejemplo 4.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros6 m y 9” en los 15 m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco.La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m. La tubería es de fierrofundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Calcular cada una de laspérdidas de carga.

Solución. La ecuación de la energía es

22222

5,062

22

2

2

22

221

21

1

11

21 ⌡⌡�⌡⌡ (1)

De la ecuación de continuidad se obtiene 21 25,2

Reemplazando los valores conocidos,

2

62,6521,19909,562

221 ⌡⌡ (2)

173

Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua podríamos suponer inicialmente02,021 . Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas

y observando el valor de para turbulencia plenamente desarrollada. El objetivo de esta suposiciónes obtener el orden de magnitud del valor 2 . Reemplazando se obtiene,

2 = 3,36 m/s

Lo que significa

1 = 7,56 m/s

Considerando que para 20 °C, la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s.

Los números de Reynolds son,

1Re = 1,15x1062Re = 7,7x105

y las rugosidades relativas,

1

= 0,0016 2

= 0,0011

Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0,00025 m, según la Tabla 2.1 o la 4.4.

Del diagrama de Moody (Figura 4.2) se obtiene el valor de

1 = 0,022 2 = 0,0205

Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0,02). Usando estos valores calculamosun nuevo valor para las velocidades en (2)

1 = 7,42 m/s 2 = 3,3 m/s

Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de . Se obtienen valores iguales a los

supuestos. Por lo tanto,

11 135 l/s

Verificación de la ecuación de la energía

25,0

21 1,40 m

2

21

1

111

2,43 m

174

� 2

221 0,87 m

2

22

2

222

0,75 m

2

22 0,56 (Energía total: 6,01 m)

Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este caso las tuberías son relativamentecortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el 47 % de la energíatotal.

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) haypresión negativa.

En la figura se observa un estrechamientoen la tubería. Se produce aumento de lavelocidad y por consiguiente debe haberdisminución de la presión. Si elestrechamiento es muy grande, como elmostrado en la figura, la línea de gradientequeda por debajo de la tubería y se producepresión negativa.

En la Figura 4.8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón, quepodría ser de tipo topográfico, tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente. Aeste sistema hidráulico se le denomina sifón. es la carga.

La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une lassuperficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta, pues latubería no lo es).

Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. En lospuntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero.

Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Por lo tanto “presión cero” significa“presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”.

L. P.

175

En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire

contenido en el agua y si la velocidad

no es suficientemente grande el aire

queda retenido en la parte superior de

la tubería impidiendo la normal

circulación del agua.

Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava. Por lo tanto unsifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondientea la formación de vapor a la temperatura del agua.

Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4.8).Considerando en este caso para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas, se tiene

⌡⌡⌡⌡⌡2

2033,100

siendo,

: velocidad media en la tubería

A

B

D

C

= 0= 0

Figura 4.8 Esquema de un sifón

176

: altura correspondiente a la presión absoluta

: sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto, con respecto al nivel de lasuperficie libre en el reservorio de alimentación

: pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso)

El máximo valor de depende del valor que se admite para la presión absoluta en C. A fin deevitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor, esta presión nodebe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. EnC se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrarlas burbujas de aire.

Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas.Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente.

Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas(cavidades) de vapor en el seno del líquido. Las burbujas se forman en las zonas de reducciónde presión. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruidocaracterístico.

En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones

a) La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducciónde la eficiencia de conducción.

b) La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido ovibraciones.

c) La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la fallaestructural de la tubería.

La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominadoParámetro de Cavitación

22 �

(4-24)

es la presión absoluta en el punto considerado, es la presión absoluta de vaporizacióndel líquido a la temperatura existente, es la densidad del líquido y es la velocidadmedia.

Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler.

177

La presión absoluta de vaporización varía, como es sabido, con la temperatura. Hay curvas ygráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura. Sinembargo debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas, sales, que obligan a aceptarvalores prácticos diferentes. Para temperaturas normales se acepta que la presión absolutade vaporización del agua es el orden de 0,2 a 0,3 kg/cm2.

Ejemplo 4.12 Dos estanques A y B (Figura 4.8) están conectados por una tubería que pasa por unpunto C, ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. Calcular la máxima elevación quepuede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2,4 m decolumna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de latubería es de 1 000 m. La longitud entre A y C es 400 m. La diferencia de nivel entre ambos estanques

es 15 m. El diámetro de la tubería es 0,4 m. Considerar que el coeficiente de Darcy es 0,04. Calcular

además el gasto.

Solución. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales

por se tubería larga). Se obtiene = 1,71 m/s.

Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C

220

22

⌡⌡⌡

Reemplazando,

= 1,78 m

La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1,78 m, con respecto a la superficielibre del estanque A.

El gasto es = 215 l/s

4.9 Tubería con boquilla convergente final

Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye elgasto, pero aumenta la potencia del chorro.

La pérdida de carga en la boquilla viene dada por

2

11 2

2 � (4-25)

178

: es el coeficiente de velocidad propia de la boquilla

: es la velocidad de salida del chorro

Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es

2211

22

22

2

22

⌡�⌡⌡ (4-26)

Esta ecuación se resuelve combinándolacon la de continuidad

Los subíndices corresponden a la salida.

La potencia del chorro es

2

2

(4-27)

Ejemplo 4.13 De un estanque sale una tubería de 1,20 m de diámetro y de 840 m de longitud. La tuberíaes de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. La energía disponiblees de 40 m. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. El coeficientede velocidad en la boquilla es 0,9. La temperatura del agua es 10 °C. La embocadura es ligeramente

redondeada ( = 0,2).

Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final

L. E.

L. P.

2

2

179

Solución. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla.

222

222

⌡⌡

Reemplazando los valores conocidos

7002,1240

⌡Ι

La rugosidad relativa es 0,00004. Se obtiene finalmente

= 0,010

= 9,78 m/s

= 11,06 m3/s

La potencia del chorro es

m/s-kg0297353278906110001

2

22

ΙΙ

= 710 HP

Si la descarga se produce con boquilla, entonces

2211

22

22

2

22

⌡�⌡⌡

Por la ecuación de continuidad

4

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

70088,19240

⌡Ι

encontrándose finalmente

= 0,011

= 5,33 m/s

180

= 21,32 m/s

= 6,03 m3/s

= 1 840 HP

Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2,59 veces mayor, pero el gasto sereduce al 54,5 %

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo

Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. Las bombas aportan energía.Las turbinas absorben, toman, energía. Las bombas están accionadas por un motor. Lasturbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida.

La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía.

El aumento en la energía dela corriente depende del gasto, delpeso específico del fluido y de lapotencia

(4-28)

( 1 es la energía inmediatamenteantes de la bomba y 2 es laenergía inmediatamentedespués).

Para el caso de una turbina cambia el signo de la expresión anterior. Vale decir que en unaturbina se usa la energía de la corriente para producir potencia. Se aprovecha la energía deelevación para obtener energía mecánica.

Si de un estanque sale una tubería que descarga por medio de un chorro libre, este chorrotiene una potencia que es aprovechable. La potencia es un trabajo por unidad de tiempo. Laaltura de velocidad del chorro, obtenida a partir de su velocidad de salida , es un trabajo porunidad de peso del fluido. Luego la potencia del chorro, tal como lo vimos en el apartadoanterior, es igual al producto del gasto por el peso específico del fluido y por la altura develocidad.

2

2

1

L. E.

Tubería

2

B

Figura 4.10 Presencia de una bomba

181

Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente yla energía que acciona la bomba.

La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energíatomada de la corriente.

Esquema genérico de un suministro por bombeo

En la Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro porbombeo de M a N. B representa una bomba. En M el líquido está confinado y sometido a unapresión 0 . El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) sedenomina de impulsión. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión.En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N, queestá a presión.

Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene

�⌡⌡⌡

101

21

10

2

B

0

21

0

3

3

M

N

Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo

182

El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales, según el

caso) entre 0 y 1. La presión 1 debe ser lo suficientemente grande como para que no se

produzca cavitación en la bomba.

De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3.Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías, succión e impulsión, no es necesariamenteigual (ver ejemplo 4.14).

�⌡⌡⌡⌡

323

23

3

22

22

22

La energía suministrada por la bomba debe ser 12 �

⌡�⌡

22

21

11

22

22

o bien,

��⌡⌡⌡�� 10

032

23

33

2

�⌡⌡�⌡⌡

30

23

303

2

(4-29)

Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera 030

La ecuación anterior se reduce a

�⌡⌡⌡

30

23

3 2

(4-30)

Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. Evidentemente que es la energía necesaria para establecer el flujo.

La potencia teórica de la bomba en HP debe ser

76 (HP) (4-31)

183

Si introducimos el coeficiente de eficiencia de la bomba entonces la potencia real es

76 (4-32)

Ejemplo 4.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s?. Las tuberíasson de fierro fundido, nuevas. El fluido es agua con una viscosidad de 1,4x10-6 m2/s. No considerarpérdidas de carga locales. La eficiencia de la bomba es 0,8. Hallar la presión a la entrada y salida de labomba.

Solución. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías, designándolas porel subíndice que corresponde al diámetro.

8 = 2,16 m/s 6 = 3,84 m/s

y luego los números de Reynolds respectivos

8Re = 3,14x1056Re = 4,18x105

Las rugosidades relativas son

0,0012 0,0016

En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente de Darcy.

8 = 0,021 6 = 0,023

Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo

B

3,0 m

0 m

33,0 m

= 8" = 300 m

= 600 m = 6"

184

8 = 7,38 m

6 = 68,12 m

La energía que debe suministrar la bomba es (ec. 4-30)

m25,1062

302

6

68

⌡⌡⌡

(no se ha considerado pérdidas de carga locales).

La potencia teórica es

76 = 97,86 HP

La potencia efectiva es 122,3 HP

La presión a la entrada de la bomba ( ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía

8

28

00

20

22

⌡⌡⌡⌡⌡

Reemplazando,

0 + 0 + 3 = 0,24 + + 0 + 7,38

Se llega finalmente a

= - 4,62 m (- 0,46 kg/cm2)

La presión a la salida de la bomba ( ) es

�⌡⌡

22

26

28

0,24 - 4,62 = 0,75 + - 106,25

= 101,12 m (10,11 kg/cm2)

Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De estamanera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.

185

TABLA 4.4


Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propianaturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos.

En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concretoel acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en esta tabla.

La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. (Esta tabla es igual a laTabla 2.1).

MATERIAL (m)



Fierro forjado

Acero rolado nuevo



Fierro galvanizado


Fierro fundido oxidado

Acero remachado


Concreto centrifugado nuevo


Concreto liso



Concreto rugoso

Duelas de madera

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8x10-4 – 9 x 10-4

186


(Capítulo IV)

1. Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s, de

aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). El acero es nuevo.

La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería

2. En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Está

sometido a una presión de 0,12 kg/cm2.

Descarga por medio de la tubería

mostrada, que tiene 4 cm de diámetro y

es muy lisa, de cobre. Determinar la

viscosidad del líquido sabiendo que el

gasto es de 4 l/s. La embocadura es

perfectamente redondeada, por lo que

puede despreciarse la pérdida de carga

local. La carga es 0,90 m y la

longitud es 8 m.

3. El sistema mostrado en la figura

descarga agua a la atmósfera.

Calcular el gasto. La embocadura es

con bordes agudos. La tubería de 6

cm de diámetro es de fierro fundido

nuevo. La temperatura del agua es

de 20 °C.

4. Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente

abierta.

5. Calcular cual debe ser el valor de la carga en el sistema mostrado en la figura para que el

gasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3” de diámetro. La longitud total es de 75 m.

La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con bordes

agudos. El codo es a 90°. Calcular cada una de las pérdidas de carga.

100 m80 m

0

1

2

187

( = 4,5 x 10-5 m)

6. Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería

arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la

tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globo

completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese

que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.

7. La pérdida de presión debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en una

tubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro de la tubería, de la velocidad

media del escurrimiento, de la densidad del fluido y de su viscosidad dinámica .

Determinar la forma más general de una ecuación, dimensionalmente homogénea para obtener

. ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?.

8. En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es de

750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2. Descarga por medio de la tubería

mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del

líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo

que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga es 0,30 m y la longitud es 20 m.

9. Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de

un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desague. A lo largo de la tubería

hay 2 codos standard de 90° y una válvula ( = 10). La embocadura es con bordes agudos.

Calcular el gasto ( = 20 °C).

10. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetro

y 1 550 m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Calcular el

gasto.

11. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior

para que el gasto sea de 50 l/s?.

188

12. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. La

diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primer

estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera.

Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema se puede

considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0,95.

Considerando que el coeficiente de fricción es constante e igual a 0,032. Calcular el gasto:

a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta.

13. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en los

primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25,1 m. La embocadura es con bordes ligeramente

redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cual debe ser la diferencia de nivel

entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123,5 l/s. Dibujar la

línea de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamente cada una de las

pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3x10-6 m2/s.

14. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que los

une tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que longitud debe tener el segundo

tramo, cuyo diámetro es de 2”, para que el gasto sea 8 l/s. La embocadura es acampanada ( =

0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro forjado.

15. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro en

los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordes

ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las

superficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3x10-6 m2/s.

Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica.

16. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20 pies

y de 9” en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de sección es

brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies.

Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar = 0,04 en ambas tuberías.

17. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero

remachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro. El segundo

tramo, unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro.

La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocado

una válvula. Calcular para que valor de , de la válvula, el gasto queda reducido al 90 % (del

que existiría en ausencia de la válvula). La temperatura del agua es de 15 °C.

189

18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25 m

y 8” en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio de sección

es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías son de fierro

fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto, y cada una de las

pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.

19. Dos estanques estan conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20 m

y 6” en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio de sección es

brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es de fierro fundido.

La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Dibujar la línea de energía y la línea

piezométrica.

20. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. Descarga libremente a

la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente de Darcy.

Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemos que

la pérdida de carga es despreciable, determinar cual debe ser el diámetro de la boquilla para que

la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia.

21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, su

rugosidad es de 1,5x10-4 m, la viscosidad es de 10-6 m2/s.

3,0 m

3,0 m4,0 m

7,0 m

1,5

8,0 m

190

22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La

eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es

de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de la bomba.

El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de

cada uno de los tramos.

23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 % para bombear 15 l/s.

La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( = 0,8). Hay una

válvula check ( = 2) y una válvula de compuerta ( = 17). El codo es de curvatura suave. Latubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.

B

22,0 m

10,0 m

= 4"


= 4"

50 m

250 m90,0 m

B11,5 m

10,0 m

1,5 m

191

24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular lapotencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en direccióncontraria.

25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. Si lapotencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal.

B = 12" = 300 m

= 600 m = 12"

12 m

193

CAPITULO DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES

5.1 Tuberías en paralelo

Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica.Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en elpunto C. La tubería continúa a lo largo de CD.

Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo

Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) lamisma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la mismaenergía. Se cumple entonces el siguiente principio

Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC

La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina,de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La

A B C D

M

N

194

energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En unconducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar quela energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que laramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene supropio diámetro, longitud y rugosidad.

A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) parael sistema mostrado en la Figura 5.2

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo

Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se produciráen cada una de ellas la misma pérdida de carga.

Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo

Se cumplirá que

54321 (5-1)

A B C D

1

2

3

4

5

A B C D

B -C

L. P.

195

representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos.

La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total de latubería AB (y de la tubería CD).

54321 ⌡⌡⌡⌡ (5-2)

La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C.

Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambossuponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, asícomo las propiedades del fluido.

1. Se conoce la energía disponible entre B y C y se trata de calcular el gasto en cadaramal.

2. Se conoce el gasto total y se trata de determinar su distribución y la pérdida decarga.

El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo,con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Serecomienda el siguiente procedimiento

Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( ) se obtiene

250827,0

(5-3)

expresión en la que,

: pérdida de carga en el tramo considerado

: coeficiente de Darcy

: longitud del tramo considerado

: diámetro de la tubería

: gasto

de la que obtenemos inmediatamente

215

477,3

(5-4)

Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchoscasos se puede considerar que también es constante, por lo menos para un determinado

196

rango de velocidades. Luego,

21

(5-5)

A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella

5

477,3 (5-6)

si usamos la ecuación de Darcy.

Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo.

La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma

(5-7)

en donde los valores de y de dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmenteobtenerse los valores de y de para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormentese obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams.

Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y seobtiene así la relación entre 1 y 2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtieneun sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales.

Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas

(5-8)

Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues o es un dato.

Hay un sistema de conducción que secaracteriza porque se produce unaramificación, pero los ramales noconcurren en un punto. Este sistemapuede tener un caso particular: que enlas bocas de descarga de los ramales laenergía sea la misma. Este sistema seconsidera como un sistema de tubería enparalelo.

Figura 5.4 Tubería ramificada

A B

1

2

3

1 2 3 = =

197

Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos

1 = 1 000 m 2 = 750 m

1 = 16’’ 2 = 12’’

1 = 0,018 2 = 0,018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.

Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos laecuación 5-3

225

2

22215

1

11 0827008270

de donde,

16,31216

1000750 55

2

1

1

222

21

Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

21 78,1 1,021 ⌡

Obteniéndose finalmente

2 = 36 l/s 1 = 64 l/s

El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4

215

477,3

obteniéndose

21

0863,01 21

0485,02

sumando

21

1348,0

que es la ecuación de descarga del sistema. Para = 0,1 m3/s se obtiene = 0,55 m. Al reemplazar este

valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal.

El método es extensible a cualquier número de ramales.

198

Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos

1 = 100 m 2 = 156 m

1 = 14’’ 2 = 12’’

1 = 0,018 2 = 80 m1/2/s

Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en

cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( = 2,5).

Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2

22

8

= 0,0122

Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal

225,2

2

22

2

22

21

21

1

11 ⌡

Reemplazando valores y operando se obtiene

12 1,1

Por continuidad,

144 2

22

1

21 ⌡

Se obtiene así

1 = 5,57 m/s 2 = 6,13 m/s

1 = 553 l/s 2 = 447 l/s

A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose = 11,97 m, que es

la energía disponible.

En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritosanteriormente.

199

5.2 El problema de los tres reservorios

En la Figura 5.5 se muestran tres estanques ubicados a diferentes niveles y que estáncomunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.

Figura 5.5 Tres reservorios

Los valores de corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden ala elevación de la superficie libre. Para el nudo P, representa la suma de la elevacióntopográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión.

Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotaspiezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto encada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas puedenpresentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.

El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cotapiezométrica del nudo P y la del estanque respectivo.

Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tresreservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentadordel sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tresestanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese unpunto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cadaramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón.

Así por ejemplo si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo delestanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.

1

PP

2

3

1

2

3

12

3

200

Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)

En este caso particular la ecuación de continuidad es

321 ⌡

Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otrascombinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidaden el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero.

Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes yrugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiereel método siguiente

1. Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.

2. Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a

las pérdidas de cada 1 , 2 y 3 .

Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuaciónde continuidad.

3. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4

215

477,3

1

P

2

3

1

3

2

P

P 1

P 2

P 3

201

Esta ecuación toma para cada tubería la forma

21

Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, lade Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica esde la forma

determinándose los valores de y de para la ecuación particular que se estáempleando.

Calculado el valor de es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.

4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.

5. Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevostanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.

6. A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así porejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser

321 ⌡

Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, setiene que hay un error, que es

213 ⌡�

El gráfico sería

- +0

P

- ( + )3 1 2

202

Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. Laintersección con el eje vertical significa que

213 ⌡� = 0

con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cadaramal.

Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento encada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente.

Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo enP una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica 2 = 0. Comparando 1 y

3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.

Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios.

Figura 5.7 Cuatro reservorios

El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer unasola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cotapiezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego quecalcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a

21 ⌡ . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3

250827,0

u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy.

1

P1

1

2

3

4

2

3 4

P2

203

La forma genérica de esta ecuación es

en donde los valores de y dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de se ha supuesto que el coeficiente de resistencia

( , , , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango

de valores de la velocidad.

Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos 3 y 4 y se verificaluego la ecuación de continuidad. Caso que ésta no quede satisfecha deberá repetirse elprocedimiento y recurrir a un gráfico.

Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son

1 = 120 m 2 = 100 m 3 = 80 m

1 =1 000 m 2 = 2 000 m 3 = 1 200 m

1 = 8’’ 2 = 10’’ 3 = 6’’

1 = 0,02 2 = 0,018 3 = 0,015

Calcular el gasto en cada uno de los ramales.

Solución. A partir de la ecuación

215

477,3

determinamos la ecuación de descarga de cada tubería

21

11 0145,0 21

22 0188,0 21

33 0074,0

Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m

= 110 m

1 = 10 m; 1 = 45,9 l/s

2 = 10 m; 2 = 59,5 l/s 321 ⌡� = - 54,1 l/s

3 = 30 m; 3 = 40,5 l/s

204

Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo

= 105 m

1 = 15 m; 1 = 56,2 l/s

2 = 5 m; 2 = 42 l/s 321 ⌡� = - 22,8 l/s

3 = 25 m; 3 = 37 l/s

Haremos algunos cálculos adicionales

= 101 m

1 = 19 m; 1 = 63,2 l/s

2 = 1 m; 2 = 18,8 l/s 321 ⌡� = 10,5 l/s

3 = 21 m; 3 = 33,9 l/s

= 100,5 m

1 = 19,5 m; 1 = 64 l/s

2 = 0,5 m; 2 = 13,3 l/s 321 ⌡� = 16,4 l/s

3 = 21,5 m; 3 = 34,3 l/s

= 100 m

1 = 20 m; 1 = 64,8 l/s

2 = 0 ; 2 = 0 321 ⌡� = 31,7 l/s

3 = 20 m; 3 = 33,1 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado

1 = 62 l/s 2 = 27 l/s 3 = 35 l/s

y la cota piezométrica del punto P es 102 m.

205

5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos

En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bombaB, una tubería de impulsión 2, que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques.

Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cadatubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata decalcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método

1. Suponer un valor para el gasto impulsado por la bomba ( 21 ).

2. Calcular la pérdida de carga 1

en la tubería 1.

3. Calcular la cota piezométrica a la entrada de la bomba.

4. Calcular la energía teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,

76

es la energía en metros, es la potencia en HP, es el peso específico delfluido en kg/m3 y es el gasto en m3/s.

0 +10 +20 +30 +40 +50 +60100101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

-10-20-30-40-50-60

-22,8

+10,5+16,4

+31,7

-54,1

P

- ( + )1 2 3

206

Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos

5. Calcular la cota piezométrica a la salida de la bomba.

⌡

6. Calcular la pérdida de carga 2

en el tramo 2.

7. Calcular la cota piezométrica del nudo P

2 �

8. Calcular la energía disponible 3

para el tramo 3

33 �

9. Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma

10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4.

11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

3

4

4

p

3

21

B1

P

1

3

4

207

432 ⌡

Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por labomba.

Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito enel apartado anterior.

Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una

potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar = 0,02 en todas las tuberías. (Para

los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).

Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3

250827,0

La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4

215

477,3

Reemplazando datos de cada tramo se obtiene

211

67,14 21

33 0188,0

222

63,107 21

44 0326,0

43

2

1 B

P

100 m20"

300 m

18"

1 300 m

10"1 800 m

12" 1 500 m

125 m

120 m

208

Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto = 100 l/s (en la bomba).

La pérdida de carga en el tramo 1 es

211

67,14 = 0,15 m

La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m.

La energía teórica suministrada por la bomba es

100001407676

ΙΙ = 30,4 m

La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130,25 m.

La pérdida de carga en el tramo 2 es222

63,107 = 1,08 m

La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129,17 m.

La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es

3 = 129,17 - 125 = 4,17 m

y el gasto resultante es

21

33 0188,0 = 38,4 l/s

La energía disponible para el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante es

21

44 0326,0 = 98,7 l/s

Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que

432 ⌡

o bien,

0432 ⌡�

sin embargo encontramos que para el gasto supuesto

432 ⌡� = -37,1 l/s

Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.

209

Hacemos un nuevo cálculo con = 110 l/s y obtenemos

432 ⌡� = 8,9 l/s

Hacemos un nuevo tanteo con = 108 l/s y obtenemos

432 ⌡� = -1,2 l/s

con = 108,7 l/s se obtiene,

432 ⌡� = 2,1 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s) se

obtiene

= 108 l/s 3 = 24 l/s 4 = 84 l/s

0 +10 +20100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

-10-20-30-40

- ( + )2 3 4

210

5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud 1 , diámetro 1 y coeficientede resistencia 1 . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación delestanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.

Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente

El método de cálculo sugerido es el siguiente

1. Suponer una cota piezométrica en el punto P.

2. Calcular las energías disponibles para cada tramo

3. Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).

215

477,3

o bien otra ecuación de la forma

4. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

321 ⌡

5. Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar elvalor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación decontinuidad.

1

PP

1 1 2

3 3

2

211

5.5 Conducto que da servicio (filtrante)

Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gastoque transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene unatoma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle daservicio a cada casa.

Figura 5.10 Conducto que da servicio

Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismoque la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante.

Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente se tendríaque, en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadradodel gasto y a la longitud.

2

2

de donde,

2

expresiones en las que

: es la pérdida de carga

: es el coeficiente de Darcy

: es la longitud de la tubería

: es el diámetro

: es la velocidad media

: es el gasto

: es igual a 0,0827 5

(ec. 5-3)

0

212

En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es 0 . Consideremos que el gasto que sale

a lo largo del conducto es m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto es constante. El gasto en cualquier sección es

� 0 (5-9)

siendo la distancia desde el punto inicial.

La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es

2

y por lo tanto

0

2

Introduciendo la ecuación (5-9)

2

0 0 �

�⌡ 0

2220 3

��⌡ 00

202

0 3

20

203

⌡⌡ (5-10)

que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud en cuyoextremo el gasto es . Para el caso particular que el gasto final sea cero

203

(5-11)

Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la queocurriría si el gasto fuera constante.

213

Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería sebifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente ala atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidasuniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas ellas es igual a lamitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final).

Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque).Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar = 0,024,constante e igual para todas las tuberías.

Solución.

En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-9

20

203

⌡⌡

En este caso particular =2

0. Luego,

205

20 0827,0

127

47

3

Sustituyendo los datos , y para el conducto filtrante se obtiene

200

52,1122

La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es

225 78,71810827,0

Debe cumplirse que

m1552,112278,7181 20

2 ⌡ (1)

1

0

0

15 m

P

214

La pérdida de carga en el otro ramal es

21

2151

46,62130827,0

Debe cumplirse que

m1546,621378,7181 21

2 ⌡ (2)

Luego2

120 46,621352,1122

10 31,1

Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano sehubiera podido establecer la ecuación

10 712

Continuando,

11110 31,231,1 ⌡⌡

Reemplazando en (2)

1 718,78(2,31)2 21 + 3 621,46 2

1 = 15

De donde,

1 = 34,2 l/s = 79 l/s 0 = 44,8 l/s

La pérdida de carga en el ramal principal es 10,73 m. En cada uno de los dos ramales la pérdida decarga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,97 m, que es prácticamente igual a la energía disponible.

Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades.Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.

Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante

0x

215

En la Figura 5.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para

un tramo de longitud y velocidad inicial 0 . Se denomina a la velocidad a la distancia

del punto inicial. Se cumple que

� 0

La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud y luego integrando

2

2

�

0 2

220

2

⌡� 2

3220

32

para se obtiene

23

1 20 (5-12)

Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero secumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.

Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.

212

7 20 (5-13)

5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo

Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gastoque pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua ypara su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.

216

Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento dela rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de lacapacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así

10 ⌡ (5-14)

siendo

: rugosidad después de transcurrido el tiempo

0 : rugosidad inicial (al ponerse en servicio de la tubería)

1 : velocidad de aumento de la rugosidad

Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmentecon el tiempo.

Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad

TABLA 5.1

INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD

Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidadinicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro deun cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frentea una disminución de la capacidad de la tubería.

La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de lacalidad o naturaleza de la tubería.

Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recubrirse interiormentecon una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidadde diseño de la conducción.

INTENSIDAD 1, mm/año

Pequeña

Moderada

Apreciable

Severa

0,012

0,038

0,12

0,38

217

Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Despuésde 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción, para bombear 400 l/s.Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 %¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de600 l/s? ( = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %).

Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es

6,74,00001

7640 ΙΙ

m

250827,0

oo

o = 0,00071 m

5109Re Ι

En el ábaco de Moody se obtiene 1 = 0,0009. Luego,

1 = 0,00046 m

Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de . Luego = 0,0213

y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es

4 = 0,0014 o

oo 4 = 0,00071 m

Sabemos que según la ecuación 5-14

104 4⌡

0,00071 = 10 4⌡ 0 = 0,00038 m

Por consiguiente oo

o

0,00046 = 10 ⌡ 1 = 0,000083 m/año

Después de 8 años de servicio

108 8⌡ oo

o 8 = 0,001044 m

002055,08

Re = 1,37 x 106

oo

o = 0,0236

218

250827,0

= 20,77 m

7677,206,00001

76ΙΙ = 164 HP

que es la potencia teórica requerida.

5.7 Fórmula de Hazen y Williams

La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos detuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, paratuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s.

La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así

54,063,2000426,0 (5-15)

expresión en la que

: gasto en litros por segundo

: coeficiente de Hazen y Williams

: diámetro en pulgadas

: pendiente de la línea de energía en metros por km

Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes,luego

54,0 (5-16)

siendo

54,063,2000426,0 � (5-17)

La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5.

Los valores de la constante de Hazen y Williams han sido determinadosexperimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que estecoeficiente es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2

219

TABLA 5.2

COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS

Hagamos una breve discusión de la fórmula.

- Si el Diámetro y la pendiente de la línea de energía se mantienen constantes setiene que

2

1

2

1

(5-18)

Significa esto que si el coeficiente varía, el gasto variará en la misma proporción.Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro yel mismo valor de . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivoscoeficientes de Hazen y Williams.

- Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces

54,022

54,011

85,1

2

1

1

2

(5-19)

Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primeratiene igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces

NATURALEZA DE LAS PAREDES

Extremadamente lisas y rectas

Lisas

Madera lisa, cemento pulido

Acero ribeteado

Fierro fundido viejo

Fierro viejo en mal estado

Fuertemente corroído

140

130

120

110

95

60-80

40-50

220

85,1

1

2

120100

= 0,714

Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen yWilliams.

63,254,0

000426,0

866,485,17

85,1

10813,5

�Ι

866,485,17

85,1

10813,5

�Ι

Para una tubería particular se cumple que

85,1 (5-20)

Así por ejemplo, si = 10’’, = 120 y = 1,25 km se obtiene

85,185,147 00417,0

10345,74,022710813,525,1

ΙΙΙΙ �

85,100417,0

Que es la ecuación de descarga para la tubería.

221

Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimientode agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.

La elevación del punto P es 10 m.

Inicialmente la válvula está completamente abierta.

1 = 5,2 km 1 = 16’’ 1 = 100 (acero usado)

2 = 1,25 km 2 = 10’’ 2 = 120 (cemento pulido)

3 = 1,5 km 3 = 10’’ 3 = 120 (cemento pulido)

Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada enel ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula.

Solución. La ecuación de Hazen y Williams es

54,063,2000426,0

de donde,

54,0

54,063,2000426,0

54,0

siendo característico de cada tubería e igual a

54,0

63,2000426,0

Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de

54,0

11 68,25 54,0

22 33,19 54,0

33 52,17

50 m

P

1

1 2

3

20 m

10 m

10 m

válvula

222

Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces

1 = 20 m 2

= 10 m 3 = 20 m

que son las energías disponibles en cada tramo.

Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable altramo 2 por tener una válvula.

1 = 129,5 l/s 3 = 88,3 l/s

2 será simplemente la diferencia, 2 = 41,2 l/s

Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es

85,122

004173,0

2 = 4,06 m

Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m.

Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión enP, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación decontinuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.

Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si secontinúan los cálculos se obtiene

= 17,3 m

1 = 139 l/s 2 = 57 l/s 3 = 82 l/s

1 = 25 m 1 = 146,04

2 = 5 m 2 = 46,1 = 15 m

3 = 15 m 3 = 75,6 24,3⌡� 321

1 = 22,5 m 1 = 138

2 = 7,5 m 2 = 57,4 = 17,5 m

3 = 17,5 m 3 = 82,2 1,6�⌡� 321

223

5.8 Diseño de una conducción

Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro másadecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de

a) Velocidadesb) Presionesc) Costo

Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sinotambién hay la posibilidad del golpe de ariete.

Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadasanteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, puesdan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación.

Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de queestán hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma partede la descripción técnica de una tubería.

El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de undiámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante.Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetroscomerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros,que escapan a los alcances de este curso.

Examinemos el caso genérico de laFigura 5.12. La tubería AB une losdos estanques. Se trata dedeterminar el diámetro que debe tener,conociendo la carga disponible yel gasto .

El dibujo muestra el perfil de latubería de acuerdo al terreno sobreel que debe apoyarse.

Se ha trazado aproximadamente lalínea de gradiente hidráulica (sobrela hipótesis de diámetro uniformeentre A y B) y, como se observa enel dibujo, se anticipa la presencia depresión negativa en N y quizá unapresión muy fuerte en M (positiva).

Figura 5.12 Diseño de una conducción

A

B

L. P.

M N

224

La inclinación de la línea de gradiente sería

Siendo la diferencia de nivel entre los estanques y la longitud total de la conducción,supuesta de diámetro uniforme.

Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandeshabría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberíasen serie, como se muestra en la Figura 5.13

Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción

Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formadapor varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustración de lo anteriormente expuestopodemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y laspresiones negativas excesivas.

Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó porqué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’).La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga seríamuy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitaresto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y porconsiguiente la pérdida de carga.

En todo caso debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primerosproblemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienenrazones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.

A

B

L. P.

MN

225

Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terrenomostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20 ‘’dediámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, = 100,

Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que

74265

= 56,4 m/km

La pérdida de carga entre A y N sería

197,43,556,4 Ι m

La cota piezométrica en N es

= 1 027,6 m

La presión en N es

= - 22,4 m

Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos:AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.

5,3175 = 50 m/km

La pérdida de carga entre A y M es

653,150 Ι m

1 225 m

1 100 m 1 050 m

A

M

N

B

960 m

2 200 m

B'

226

La cota piezométrica en M es

= 1 160 m

La presión en M resulta ser

= 60 m

Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2, lo que equivale a una altura de52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cotapiezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendiente es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williamsobtenemos

54,063,2

000426,0

o

oo = 15,5’’

Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor quela admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en Muna presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nosinteresa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de lapresión negativa en N.

Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de

tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es46,96 m/km. Sea la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que

89,98 + 46,96 (1,3 - ) = 72,3

De donde la longitud es 0,262 km. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de14’’ y 1 038 m de 16’’.

Ensayemos diámetros para el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N seríamuy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m,lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 mvalor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramoes

2,14,89 = 74,5 m

De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con

el tramo AM descompondremos en un tramo de 14’’ y otro de 16’’ de modo que

89,98 + 46,96 (1,2 - ) = 89,4

228

De acá se obtiene que es 0,768 km.

Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así

262 m de 14’’ (A - M’)1 038 m de 16’’ (M’ - M)2 200 m de 16’’ (M - N)

432 m de 16’’ (N - B’)768 m de 14’’ (B’ - B)

Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta eltrazo de la línea piezométrica.

5.9 Diámetro más económico

Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro comootros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, quedesde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es eldiámetro más económico.

Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de loscostos de instalación, operación y servicios del sistema.

Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo,pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, queconformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener másde una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la soluciónmás económica.

En una instalación por bombeo los costos principales son

a) Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayordiámetro, mayor costo.

b) Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcionalal diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y porconsiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.

Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmentelos datos están constituidos por

- Diámetros disponibles en el mercado

- Costo de las tuberías

- Gasto requerido

229

- Coeficientes de rugosidad de las tuberías

- Costo del KW hora

- Tiempo de amortización

- Interés

- Costo de la bomba y el motor, etc

El procedimiento de cálculo es el siguiente

a) Escoger tentativamente un diámetro

b) Calcular la pérdida de carga c) Calcular la energía necesaria

d) Calcular la potencia necesaria

e) Calcular el costo anual de la potencia necesaria

f) Calcular el costo del motor y de la bomba

g) Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)

h) Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la

amortización (en base al número de años útiles del sistema)

i) Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial

( ) y el costo anual de la potencia ( )

Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmenteel diámetro más económico.

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross

Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías.La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximacionessucesivas.

Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta dedos circuitos. Hay cuatro nudos.

En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemanola dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Seescoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y seasigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonceslas pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.

230

Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías

Las condiciones que se deben satisfacer en una red son

1. La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo

0⌡⌡

2. En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.

3. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma

en donde los valores de y de dependen de la ecuación particular que se utilice.

Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método sesupone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación decontinuidad en cada nudo.

Si para un ramal particular se supone un gasto 0 este valor será, en principio, diferente algasto real que llamaremos simplemente , luego

⌡ 0

En donde es el error, cuyo valor no conocemos.

Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga encada tubería es

85,1

Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene

B C

M

N

I II

231

85,100

La pérdida de carga real será

85,10 ⌡

Luego, desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a

⌡

0

085,10 85,1

⌡0

00

85,1

De donde, para cada circuito

⌡ 085,10

00

De acá obtenemos finalmente el valor de

�

0

0

0

85,1

(5-21)

Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudaleshallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.

Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar = 100 en

todas las tuberías.

B C

M

N

200 l/s

232

Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación dedescarga en cada tubería es

85,1

siendo

866,485,1

61072,1

Ι

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado queel coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso seutilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cadauno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de lasagujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.

Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. Enconsecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Porconsiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondientesigno. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se tratasolamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtieneasí

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sóloque se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).

Ahora debemos hallar los valores de en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de cargacon los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BN 0,03367 CM 0,00969NM 0,02806 MN 0,02806MB 0,00692 NC 0,00830

M

N

200 l/s

I II

+ +

-20 +20B C

233

Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga 0

en cada circuito aplicando la ecuación de

descarga.BN + 87,23 CM - 57,93NM - 7,16 MN + 7,16MB - 56,35 NC + 34,23

0 = + 23,72

0 = - 16,54

Aplicamos ahora la ecuación

�

0

0

0

85,1

para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cadacircuito

3,604,285,1

72,23 �Ι

� 1,726,185,1

54,16 Ι

6� 7

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga son los siguientes

Calculamos nuevamente la corrección

37,115,285,1

44,5 ⌡Ι

28,245,185,1

12,6 �Ι

�

1⌡ 2�


Tramo Caudal Tramo Caudal

BN

NM

MB

+70 - 6 = +64

-20 - 6 - 7 = -33

-130 - 6 = -136

+73,91

-18,09

-61,26

CM

MN

NC

-110 + 7 = -103

+20 + 7 + 6 = +33

+90 + 7 = +97

-51,29

+18,09

+39,32

� 5,44 ⌡ 6,12

234

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de son

Calculamos ahora nuevamente la corrección

12,012,285,1

47,0 �Ι

� 06,041,185,1

16,0 Ι

0 0

En consecuencia los caudales son

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.

Obsérvese que la condición 1, = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del

flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja elcomportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.


Tramo Caudal Tramo Caudal

BN

NM

MB

+ 64 + 1 = + 65

- 33 + 1 + 2 = -30

- 136 + 1 = - 135

+76,06

-15,16

-60,43

CM

MN

NC

-103 - 2 = -105

+33 - 2 - 1 = +30

+97 - 2 = +95

-53,15

+15,16

+37,83

⌡ 0,47 � 0,16

M

N

200 30 200

235

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental

⌡

como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.

Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

0⌡⌡

La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

= 8’’

= 100 540632 05638100004260 ΙΙΙ

= 0,6 km 7,94 l/s

= 37,83 m Valor que está dentro del error aceptado.

M

B

N

I

237


(Capítulo V)

1. Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. El diámetro de la primera es de10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por elsistema en paralelo es de 18 m. Considerar = 0,02 para ambas tuberías. Calcular el gasto encada una.

2. Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primera esde 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gasto total seade 200 l/s. Considerar = 0,025 en ambas tuberías.

3. ¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y semantuviera la misma energía disponible?.

4. ¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerando queno existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?.

5. Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son , 2 y3 . Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de de Darcy. ¿Cuál es el gastoen la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?.

6. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura

1 = 80 m 1 = 4’’ 1 = 0,018

2 = 120 m 2 = 6’’ 2 = 0,018

3 = 300 m 3 = 10’’ 3 = 0,025

La elevación del punto B es 112,80 m

La elevación del punto C es 115,10 m

La presión del punto B es 4 kg/cm2

La presión del punto C es 2,5 kg/cm2

B C2

3

1

238

7. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura

= 0,400 m3/s 1 = 220 m 1 = 8’’ 1 = 0,025

2 = 280 m 2 = 10’’ 2 = 0,020

3 = 390 m 3 = 6’’ 3 = 0,028

8. Determinar el gasto en cada ramal del sistema para = 2 m3/s

1 = 100 m 1 = 10’’ 1 = 0,030

2 = 120 m 2 = 8’’ 2 = 0,025

3 = 120 m 3 = 8’’ 3 = 0,025

4 = 100 m 4 = 10’’ 4 = 0,030

9. La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m, un diámetro de8’’ y un coeficiente de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión para que el gasto en elramal 2 sea de 50 l/s.

B C2

3

1

1

2

3

4

100 m

80 m

123

239

1 = 250 m 1 = 4’’ 1 = 0,02

2 = 300 m 2 = 6’’ 2 = 0,022

3 = 100 m 3 = 4’’ 3 = 0,015

10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para unamisma energía disponible)?. Considerar = 0,02 en todas las tuberías.

11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión en elpunto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm2. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s.La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/cm2. Determinar cuál es el diámetro que debe tener unatubería de 400 m de largo, colocada paralelamente a la anterior para cumplir con lo señalado( es 0,025 en todas las tuberías).

Tramo 1-2 : 800 m, 24’’Tramo 2-3 : 400 m, 18’’

12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son

1 = 1 200 m 1 = 12’’ 1 = 0,022

2 = 800 m 2 = 10’’ 2 = 0,03

Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la segunda?

(a)

(b)

2

20"800 m

16"500 m

12"300 m

14"18" 12"

1 000 m600 m 200 m

10"

800 m

1

1

12

3

240

13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema queconsta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Estatubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramalesconcurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar = 0,03 para todas las tuberías.Hallar el gasto.

14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene

1 = 100 m 1 = 14’’ 1 = 0,018

2 = 156 m 2 = 12’’ 2 = 0,0122

Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total.Calcular el valor de la válvula.

15. Calcular el gasto en cada ramal.

1 = 120 m 1 = 6’’

2 = 130 m 2 = 4’’

3 = 130 m 3 = 4’’

4 = 120 m 4 = 6’’

Considerar = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente

abierta.

16.

1 = 200 m 1 = 4’’ 1 = 0,02

2 = 250 m 2 = 6’’ 2 = 0,025

3 = 400 m 3 = 8’’ 3 = 0,030

1

2

3

= 30 m

4

válvula

2 3

1

241

Si la diferencia de nivel entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cada ramal.

¿Cuál debe ser el valor de para que el gasto sea de 300 l/s?

Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para = 10 m).

17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que ésta sea la única tuberíade desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetropara que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %.

Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloca unatubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( = 0,02 en todas las tuberías)

18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s.

1 = 150 m 1 = 6’’

2 = 80 m 2 = 4’’ = 0,025

3 = 40 m 3 = 4’’

19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio deuna tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tuberíatiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.

Asumiendo para un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entraal segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .

1

2

3

válvula

= 4 kg/cm2

0

?

1 3

2

10 l/s

242

20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener

.

1 = 300 m 2 = 300 m 3 = 300 m 4 = 600 m 5 = 800 m

1 = 8’’ 2 = 12’’ 3 = 18’’ 4 = 12’’ 5 = 12’’

Considerar = 0,018 en todas las tuberías.

21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de

Darcy igual a 0,025. Se sabe que 21 ⌡ = 10 m; 1 = 150 m; 2 = 70 m; 3 = 90 m;

321 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1 y 2 para que 2sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1 y 2 si 1 fuera cero?.

22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un

coeficiente = 100. Se sabe que 12 � = 5 m; 1 = 800 m; 2 = 600 m; 3 = 1 200 m;

321 = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1 y 2 para que 2sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1 y 2 si 1 fuera cero?.

2

3 4

5

1

1

P

2

3

1

1

2

3

1

2

243

23. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. La válvula check ubicada en la tubería 1 estácompletamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2.

24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura.

1 = 100 m 2 = 90 m 3 = 80 m

1 = 4 km 2 = 6 km 3 = 5 km

1 = 10’’ 2 = 8’’ 3 = 6’’

Considerar = 120 para todas las tuberías.

25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema

Considerar = 0,028 en todas las tuberías.

1 1

2

10"

180 m

120 m

150 m

1

P

2 3

12

3

1P

2P

0,30 m

100 m103 m

244

26. Calcular la potencia de salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9)

27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s. Lastuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2. Delnudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. En el punto B la presión es de –2,5 m( = 100 para todas las tuberías). Determinar la potencia teórica generada por la turbina.

28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 |/s( = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75

P

100 m

125 mT150 m

218 m

150 m

140 m

100 m

12

P 36" 4 000 mA B

P

124 m

0

B1

3

2

4

100 m

126 m

245

Tubería 1 : = 300 m; = 18’’; = 0,00015

Tubería 2 : = 1 500 m; = 18’’; = 0,00015

Tubería 3 : = 600 m; = 10’’; = 0,000045

Tubería 4 : = 600 m; = 12’’; = 0,000045

29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76 HP.El gasto es de 250 |/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C.Eficiencia 0,8.

1 = 20 m; 1 = 16’’; 1 = 0,025

2 = 180 m; 2 = 14’’; 2 = 0,018

30. Se tiene una red de distribución de agua

Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m.

En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 |/s.

1 = 200 m

2 = 50 m

3 = 30 m

4 = 80 m

5 = 100 m

18 m

C

5 m

B1

2

A

válvula = 2,5

+ 0,40 m

B1

2 + 0,20 m

- 0,30 m

0 m

3

4

5P1

P2

A

B

C

Considere = 0,018 para todos los tubos. Calcular la potenciaque debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).

246

31. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. Elcoeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible es de 12 m.

Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dosposibilidades. Una es instalar una bomba. La otra es instalar una tubería en paralelo de igualescaracterísticas a la existente. Cuál de las alternativas es más económica.

La eficiencia de la bomba es 0,8

El costo de la tubería es S/. 5 000 por m instaladoEl costo del HP instalado es S/. 15 000(comparar sólo los costos iniciales)

32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía disponible es de10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams. Latubería es muy lisa.

33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 |/s. Determinar la potenciaque debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías =120.

34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 |/s?. Las tuberíasson de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8). El fluido esagua con una viscosidad de 1,4 x 10-6 m2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’ de diámetro.La máxima presión negativa admisible es –6 m.

90 m

P

85 m

B

0 m70 m

3 m

33 m

B300 m

247

35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corroída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con lapotencia instalada (una bomba) se bombea en la actualidad un caudal de 300 |/s. Se trata ahorade bombear un caudal mayor con la misma potencia instalada, cambiando la tubería por unamás lisa ( = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará el caudal?

36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido0,5 |/s por metro de recorrido. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremo final140 |/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tubería tieneuna rugosidad = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el diámetro, y lapresión que existirá en el punto medio.

37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurcaen ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descargan libremente en laatmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo dela tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (laotra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ftdebajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidasde carga locales. Considerar = 0,024 (constante).

38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidadabsoluta.Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de 250 |/s,después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m.

39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de igual a 0,0168 para una velocidadde 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de igual a 0,022, para unavelocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de al cabo de 15 años de servicio, para unavelocidad de 4 m/s.

40.

Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que

B D

A C400 l/s

248

En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 |/s, respectivamente.

Tramo

AB

AC

BC

BD

CD

320 m

810 m

1 200 m

1 000 m

300 m

8”

6”

6”

6”

6”

90

120

120

120

110

249

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

(Capítulos I al V)

Problema 1

En una tubería de radio la distribución de velocidades se expresa por

1

Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Hallar losvalores particulares para igual 7.

Problema 2

La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columnade agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm2.

El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe una

pérdida de carga cuyo valor es

298,0

221 �

Problema 3

Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m3/s de aceite de viscosidad1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto finales de 3 kg/cm2.

Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.

Problema 4

De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajo dela superficie libre del estanque.

Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular el gastoy dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.

250

Problema 5

En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribución develocidades es

= 0,937 log + 3,81

Calcular el gasto.

Problema 6

En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La viscosidad del fluido es8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima.

Problema 7

En un canal muy ancho, cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyotirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es

= 0,499 ln 75,38

La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular

a) La rugosidad absoluta

b) La velocidad media

c) La velocidad máxima

d) El gasto específico

e) El coeficiente de Chezy

f) La pendiente de la superficie libre

g) A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media

h) La velocidad a una profundidad 0,6 (a partir de la superficie)

i) El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).

j) El esfuerzo de corte sobre el fondo.

Problema 8

En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidadesdiferentes.

A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular

a) La velocidad media

b) La velocidad máxima

c) La pendiente de la superficie libre

251

Problema 9

Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es defierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5kg/cm2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm2.

a) Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa

b) Calcular el coeficiente de Chezy

c) Calcular la velocidad máxima

d) Calcular el coeficiente de Darcy

e) Calcular la velocidad media y el gasto

Problema 10

En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocidad media es 2,2 m/s. El gastoes de 4 m3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperatura delagua es 20 °C.

Problema 11

Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad 10-4 m2/s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente

75,1

siendo la pérdida de carga, la velocidad media y una constante. La validez de la fórmula

propuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valor

numérico de .

Problema 12

Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, un caudal de3,5 m3/s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10-5 m2/s. ¿Qué diámetro de tubería comercial senecesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El peso específico del aire es 1,226kg/m3 .

Problema 13

Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosidad absoluta es de 1 mm.Circula agua a una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de cargaconsiderando que las paredes son hidráulicamente rugosas. No se debe utilizar ábacos.

252

Problema 14

Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10-6 m2/s. El caudal es de 400 |/s.

a) Hallar la pendiente de la línea piezométrica.

b) Hallar el espesor de la subcapa laminar.

c) ¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como

hidráulicamente lisa?.

Problema 15

Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puedeser descrita por

71

1�

expresión en la que es la velocidad a la distancia del contorno, es la velocidad en el eje,

es el radio de la tubería.

Si el gasto en la tubería es calcular la energía cinética total en función de , y la densidad del

fluido. Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto en el caso de un

movimiento laminar en la tubería. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?.

Problema 16

En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2,4 m/s. El coeficiente de Darcy es

0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno.

Problema 17

En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente de Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte.

Problema 18

Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0,240 m3/s. Laviscosidad del agua es de 1,2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de cargano debe ser superior a 15 m. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Sedispone de tubos de 12’’, 14’’ y 16’’.

253

Problema 19

De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0,60 m dediámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redondeada ( = 0,2). La contracción es brusca. Laenergía disponible es de 10 m. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro fundido nuevo.

a) Hallar el caudal

b) Hallar la potencia del chorro

c) ¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro

a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar = 0,9

Problema 20

Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en susprimeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferencia de nivel entre losreservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección son bruscos.Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C.

Problema 21

Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarga está 10 mpor debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de laenergía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo. Latemperatura del agua es 15 °C.

Problema 22

Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Considere = 100.

600 l/s

12" 2 200 m

254

Problema 23

De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. El primer tramo esde 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es de 10’’.

Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores dela energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y el métodode la tubería equivalente)

Problema 24

Un depósito de almacenamiento de agua desagua a través de una tubería de 24’’ de diámetro (aceroribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene 800 m delongitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de la superficie libredel estanque alimentador.

El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo.Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’.Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga.

Problema 25

Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0,5m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo.

El gasto inicial es de 1 m3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud ,

que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que es constante

e igual a 0,025.

Problema 26

De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie. El primero tiene un diámetro de

0,20 m y una rugosidad absoluta de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, un diámetro de

0,40 m y una rugosidad absoluta de 5x10-5 m. La carga disponible es de 50 m. La viscosidad del agua

es de 10-6 m2/s.

Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comportecomo una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.

255

Problema 27

Para el sistema mostrado en la figura, calcular el gasto

= 2 atmósferas

= 0,5 (entrada)

= 2 (válvulas)

= 0,2 (codo)

(total) = 100 m

= 3x10-5 m

= 25 mm

= 10-6 m2/s

3 m

3 m

1 m

257

CAPITULO CALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales

Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentadosen los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo decanales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dadoen determinadas condiciones.

Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal . El movimiento es permanentey uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad,la forma de la sección transversal y por el caudal , que según hemos dicho antes sesupone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) enestas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza almovimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variadohabría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Alrespecto se puede observar la Figura 1.4.

En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad mediaen un conducto

(6-1)

en el cual es la velocidad media, el coeficiente de Chezy, el radio hidráulico y la

pendiente.

Rainer Reichel

Subrayado

258

Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico implica un

tirante " " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en

el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones deKarman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente de Chezy tiene unaestructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de lasparedes. La expresión general del coeficiente es

72

6log18⌡

(6-2)

es el radio hidráulico, la rugosidad absoluta y el espesor de la subcapa laminar.Según los valores relativos de y de el contorno puede considerarse hidráulicamente lisoo hidráulicamente rugoso. Esta ecuación aparece en la forma presentada por Thijsse. Laecuación de Chezy resulta ser entonces,

72

6log18⌡

(6-3)

El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.

Los valores de la rugosidad absoluta pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación

de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4).

La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White,estudiada el capítulo III

⌡�

84

51,28,14

log82 (6-4)

Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.

Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6-3 ó 6-4, queson generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.

Rainer Reichel

Texto escrito a máquina

Por Thijsse

259

TABLA 6.1


NOTA: Téngase presente que el valor de señalado para los contornos muy rugosos (roca,fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variacionessegún las circunstancias de cada caso particular.

MATERIAL (m)



Fierro forjado

Acero rolado, nuevo



Fierro galvanizado


Fierro fundido, oxidado

Acero remachado

Cemento enlucido


Concreto centrifugado, nuevo


Concreto liso



Concreto rugoso

Duelas de madera

Piedra asentada y bien lisa

Revestimiento de piedra

Grava

Piedra pequeña

Piedra grande

Roca

Tierra (lisa)

Fondo con transporte de arena

Acequia con vegetación

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

4 x 10-4

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8 x 10-4 – 9 x 10-4

5 x 10-4

2 x 10-3

10-2

2 x 10-2

5 x 10-2

0,1

3 x 10-3

10-2 – 5 x 10-2

0,1

260

6.2 Fórmulas antiguas

Desde el Siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y

estructura del coeficiente . La fórmula se originó en 1 768 cuando Chezy recibió el encargo

de diseñar un canal para el suministro de agua a París.

Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente era constante e igual a 50,

para cualquier río.

Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que

en el pasado se estableciera para el coeficiente .

Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica

⌡

1

(6-5)

Los valores de e corresponden a cada fórmula particular. es el radio hidráulico. es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.

a) Fórmula de Ganguillet-Kutter

La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, sebasó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvobastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es

⌡⌡

⌡⌡

00155,0231

00155,0123 (6-6)

es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), es la

pendiente, el radio hidráulico y un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores

aparecen en la Tabla 6.2.

261

Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a

1 entonces resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a

1 (6-7)

Según señala King, la pendiente fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para

lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río

Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones

orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido

la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.

Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación6-5.

La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es

⌡⌡

⌡⌡

00281,065,411

811,100281,065,41(6-8)

b) Fórmula de Kutter

Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene unaforma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmulaes

⌡ 100

(6-9)

Los valores del coeficiente de rugosidad son diferentes de los valores de (Kutter). es

el radio hidráulico. es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de aparecen en la Tabla 6.3.

262

TABLA 6.2VALORES DEL COEFICIENTE DE KUTTER QUE GENERALMENTE

SE USA EN LOS DISEÑOS.

SUPERFICIE

Superficie metálica, lisa, sin pintar

Superficie metálica, lisa, pintada

Superficie metálica, corrugada

Cemento liso

Mortero de cemento

Madera cepillada

Madera sin cepillar

Tablones sin cepillar

Concreto liso


Concreto frotachado

Concreto sin terminar

Gunita (sección bien terminada)

Gunita (sección ondulada)

Superficie asfáltica lisa

Superficie asfáltica rugosa

Tierra, limpia, sección nueva

Tierra, limpia, sección antigua

Tierra gravosa

Tierra, con poca vegetación

Tierra, con vegetación

Tierra, con piedras

Tierra, con pedrones

Para secciones circulares (trabajando como canal)

Metal, liso

Acero soldado

Acero riveteado

Fierro fundido

Cemento

Vidrio

0,012

0,013

0,025

0,011

0,013

0,012

0,013

0,014

0,013

0,014

0,015

0,017

0,019

0,022

0,013

0,016

0,018

0,022

0,025

0,027

0,035

0,035

0,040

0,010

0,012

0,016

0,013 – 0,014

0,011 – 0,013

0,010

263

TABLA 6.3VALORES DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DE

KUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005

CATEGORIA FORMA DESCRIPCION

I

II Semicircular

Superficie muy lisa. Cemento muy pulido

Superficie bastante lisa. Madera cepillada

0,12

0,15

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

Rectangular

y

Otras

Superficie bien terminada

Superficie usada. Tuberías de abastecimiento

de agua con mucho tiempo de servicio, pero

sin grandes incrustaciones

Piedra labrada bien acabada

Piedra no bien terminada, usada

Piedra rústica, fondo con poco lodo

Piedra mal terminada, fondo fangoso

Piedra antigua, sin vegetación, fangoso

0,20

0,25

0,30 - 0,35

0,45

0,55

0,75

1,00

Xa

Xb

XIa

XIb

XII

Trapecial

Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca

vegetación

Sección definida, en tierra sin vegetación

En tierra con fondo pedregoso o fangoso.

Poca vegetación. Ancho superior a 2 m

(corresponde a algunos arroyos y ríos)

En tierra o piedra, lecho fangoso, con

vegetación abundante (corresponde a

algunos arroyos y ríos)

En tierra con vegetación muy abundante. Con

mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre

de fondo

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

264

c) Fórmula de Bazin

Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897

⌡

1

87 (6-10)

es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, el radio hidráulico, el coeficiente

de rugosidad de Bazin.

Los valores del coeficiente aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula

TABLA 6.4

VALORES DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD A UTILIZARSEEN LA FORMULA DE BAZIN

Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidadenorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes.

Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplicasegún la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidadde Kutter.

CATEGORIA DESCRIPCION

1Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha

metálica. Cemento liso, madera muy cepillada. 0,06

2 Contornos lisos. Concreto bien acabado. 0,16

3 Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada. 0,46

4 Canales en tierra, sin vegetación. 0,85

5Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular,

sin vegetación. 1,30

6Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos

rodados. Canales en tierra muy erosionados e

irregulares.

1,75

265

Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es enrealidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esta época está basada enmodificaciones de las ideas de Kutter y Bazin.

Lindboe publico en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientesnaturales.

Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).

Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914),Scobey, etc.

Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citarlo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez.

"Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, enprimer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultadosexperimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparaciónjusta. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentadorcon las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe unacomparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la deGanguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es lapared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección quecategoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún másdifícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, larugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos,deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haberexpresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cementoliso hasta una roca’’.

6.3 Fórmula de Manning

Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que

en la fórmula de Chezy el coeficiente es

61

(6-11)

de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning

Rainer Reichel

Subrayado

266

21

32

(6-12)

y el gasto es

21

32

(6-13)

Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que seutilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6).

Se observa que las dimensiones de son 31�

. En consecuencia, al tener unidades

debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio seimpusieron los valores de determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló

una solución práctica que consiste en considerar a como adimensional e incorporar en laecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.

Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es

21

32486,1

(6-14)

Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal laconstante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.

Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez estélimitada a determinadas condiciones.

Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valoresintermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipono puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactituddisminuya con números de Reynolds bajos".

En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o deManning-Strickler y con la siguiente forma

21

32

(6-15)

siendo,

Rainer Reichel

Texto escrito a máquina

formula de Manning

267

1 (6-16)

La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con elnombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales desPonts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su formaactual al irlandés Manning.

Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otrasimilar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente

(6-17)

Siendo,

10,075,013,05,2 �� (6-18)

es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios

hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de comprendidos entre 0,011 y0,040.

La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones

Para < 1 m = 1,5 (6-19)

Para > 1 m = 1, 3 (6-20)

Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberátomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente de Kutter, los mismos queserán analizados más adelante.

Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. Lasuperficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcularel gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski.Comparar los resultados. ( = 20 °C)

Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser

= 1,875 m

268

a) Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a = 0,014. Entonces,

875,1

014,0

0008,0

00155,0231

0008,0

00155,0

014,0

123

⌡⌡

⌡⌡ = 77 m1/2/s

de donde,

= 2,98 m/s

= 89,4 m3/s

b) Fórmula de Kutter ( > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a = 0,25

875,125,0

875,1100

⌡ = 85 m1/2/s

= 3,29 m/s

= 98,7 m3/s

c) Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a = 0,16

875,1

16,01

87

⌡ = 78 m1/2/s

= 3,02 m/s

= 90,6 m3/s

d) Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a = 3x10-4 m

* = 0,121 m/s = 0,000096 m

* = 36 (transición) = 87 m1/2/s

por lo tanto, = 3,37 m/s

= 101,1 m3/s

269

e) Fórmula de Manning. ( = 0,014)

21

32

= 3,07 m/s

= 92,1 m3/s

(Corresponde a un valor de igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11)

f) Fórmula de Pavlovski. ( = 0,014)

10,0014,0875,175,013,0014,05,2 �� = 0,147

= 78 m1/2/s

= 3,02 m/s

= 90,6 m3/s

COMPARACION DE LOS RESULTADOS

Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismasfórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Compararlos resultados de ambos ejemplos.

Solución.

a) Ganguillet-Kutter = 0,025 = 45 m1/2/s = 1,74 m/s = 52,2 m3/s

FORMULA

Ganguillet – Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

77

85

78

87

79

78

2,98

3,29

3,02

3,37

3,07

3,02

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

Promedio 81 3,13 93,8

270

b) Kutter = 1,75 = 44 m1/2/s = 1,70 m/s = 51 m3/s

c) Bazin = 1,3 = 45 m1/2/s = 1,74 m/s = 52,2 m3/s

d) Chezy = 5x10-2 m = 48 m1/2/s = 1,86 m/s = 55,8 m3/s

e) Manning = 0,025 = 1,72 m/s = 51,6 m3/s

f) Pavlovski = 0,025 = 0,206 = 46 m1/2/s = 1,78 m/s = 53,4 m3/s

COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s)

SUPERFICIE

FORMULA

CONCRETO BIEN ACABADO CON VARIOS AÑOS DE USO

EN TIERRA CON FONDO PEDREGOSO, BUEN ESTADO

Ganguillet - Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

52,2

51

52,2

55,8

51,6

53,4

271

De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.

En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una mismanaturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertementeinfluenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importanciala correcta estimación de la rugosidad de las paredes.

De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logradisminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad aemplearse en la fórmula de Manning

Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente

a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto que puede escurrir, aplicando la

fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de que corresponde al

cauce.

b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que vaa tener el canal, cual es el valor de que se le asigna.

Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente para condiciones que podríamosllamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemasque a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a .

El coeficiente depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de lasuperficie. También interviene lo siguiente

a) Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es uncoeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presenciade curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeñoradio de curvatura.

b) Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puedealterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Esfrecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente aaumentos del orden del 50 % en el valor de .

c) Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una seccióntransversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuenciade bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.

272

Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuraciónvariable del lecho.

d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que larugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente .

Cowan determinó que el valor de a considerarse en los cálculos debería tomar en cuentalos factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente

543210 ⌡⌡⌡⌡

siendo

0 : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)

1 : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades

2 : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la

sección transversal

3 : es para tomar en cuenta las obstrucciones

4 : es para tomar en cuenta la vegetación

5 : es un factor para tomar en cuenta los meandros

Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.

6.5 Determinación de la sección transversal

En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto devista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. En el caso de un canal queva a ser construido, el gasto o caudal esta dado por las condiciones de diseño; no proviene deun cálculo hidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta ypor cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la sección del canal.

Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a unacentral hidroeléctrica o tener un uso múltiple.

Para transportar un gasto podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar unadeterminada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos enfunción de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.

273

TABLA 6.5TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES

SOBRE EL COEFICIENTE

543210 ⌡⌡⌡⌡

Tierra 0,020

Roca 0,025

Grava fina 0,024 Superficie del Canal

Grava gruesa

0

0,028

Suave 0,000

Menor 0,005

Moderada 0,010 Irregularidad

Severa

1

0,020

Gradual 0,000

Ocasional 0,005 Variación de la Sección

Frecuente

2

0,010 – 0,015

Despreciable 0,000

Menor 0,010 – 0,015

Apreciable 0,020 – 0,030 Efecto de la Obstrucción

Severo

3

0,040 – 0,060

Bajo 0,005 – 0,010

Medio 0,010 – 0,025

Alto 0,025 – 0,050 Vegetación

Muy alto

4

0,050 – 0,1

Menor 1,000

Apreciable 1,150 Intensidad de Meandros

Severo

5

1,300

274

En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial,semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizanpor tener todas un radio hidráulico de 1 m.

Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño.

No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos).Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión(arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro.

Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimentenformando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener unadistribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que lavelocidad media.

4 m

1,5 m

6 m

3 m

3 m

4 m

2 m

2,4 m

6 m

1,095 m

20 m

45°

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que secaracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m

275

Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media esun parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida semantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída y la velocidad de la corriente.

Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. Las partículasactúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.

El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en unamargen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña.

Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.

La velocidad ideal es aquella que para las características del agua y del revestimiento noproduce erosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción.

El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramentehidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.

Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)

Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempreconsideramos que el talud se define como 1 vertical y horizontal.

1

MATERIAL TALUD

Roca dura y sana

Roca fisurada

Suelos cementados, firmes

Tierra arcillosa

Tierra arenosa

Arena

0

0,5

1

1,25

1,5

2 ó más

276

La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de lasotras).

21

32

de donde,

21

32

(6-21)

El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor 3/2generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente

dadas hay un valor de 3/2 que corresponde al tirante normal.

Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con eltirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figuraadjunta.

(6-22)

Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta.Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones esimpuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.

CASO A: Se conoce el ancho en la base

Los datos son

: ancho en la base

: gasto

: pendiente

: talud

: rugosidad

277

La incógnita es el tirante

Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puederequerir para el canal un ancho determinado.

Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los

valores de 3/8

3/2

y se obtiene el valor de

, para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en

el esquema adjunto.

Para el cálculo de 3/8

3/2

basta con recordar que (6-21)

21

32

Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación.El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en lasuperficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.

8/3

2/3

279

Solución.

= 8 m3/s = 4 m = 1 = 0,0007 = 0,02 (Tabla 6.2)

21

32

= 6,04 oo

o

38

32

= 0,15

De la Figura 6.2 se obtiene = 0,315

de donde = 1,26 m

Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).

Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico deVen Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una seccióntrapecial como la mostrada en la figura

Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes

⌡ (6-23)

212 ⌡⌡ (6-24)

212

⌡⌡

⌡ (6-25)

De donde,

213

2

212 ⌡⌡⌡

⌡ (6-26)

1

280

Reemplazando los datos del ejemplo se tiene

⌡ 4

224⌡

224

4⌡⌡

02,0

0007,0224

4

4

213

2

⌡⌡

⌡

Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.

32

22444323,1⌡⌡⌡

Dando valores al tirante se obtiene lo siguiente

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 118

(m)

(m /s)

1,26

3

(m) (m3/s)

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

4,48

5,37

6,34

7,37

8,48

9,66

10,92

281

CASO B: Se conoce el tirante

Los datos son

: tirante

: gasto

: pendiente

: talud

: rugosidad

La incógnita es el ancho en la base.

Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.

Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.

CASO C: Se desconoce los valores de e

En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Sesuele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia a continuación.

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen lasecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme.

Como normalmente los datos son , , y , hay muchas combinaciones de las incógnitas

e , que satisfacen la fórmula de Manning.

Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo elancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bienal revés.

También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la basey el tirante.

En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica.

Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para elmismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.

282

La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning

21

32

Luego,

32

21

35

525

3

21

Como en un canal dado, , y son constantes

52

La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. Enconsecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.

Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma áreatiene el perímetro mínimo.

En condiciones normales la sección de M. E. H., involucra la mínima sección de excavación,de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetromínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados.

Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínimaexcavación.

Hay una patente española, Barragan, para la construcción de canales circulares. Más adelantenos ocuparemos de este tipo de canales.

283

Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la secciónsemicircular por una trapecial.

Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre e para que la sección sea de

máxima eficiencia hidráulica. Llamemos a esta relación

(6-27)

Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene

2 ⌡

de donde,

⌡

El perímetro es

212 ⌡⌡

Mediante transformaciones sucesivas se obtiene

22222 4414 ⌡⌡⌡⌡⌡

Derivando el perímetro con respecto a

1

284

0)(2)12(2 22

⌡

�⌡⌡

De donde,

�⌡ 212 (6-28)

Se concluye que para cada talud hay una relación , que es la que da la máxima eficienciahidráulica.

Así por ejemplo, en un canal rectangular = 0, de donde = 2. Significa esto que en uncanal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al dobledel tirante.

Para las diferentes secciones trapeciales la relación se obtiene para cada talud, aplicandola ecuación 6-28.

Los valores más comunes son

En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es

2

2

12 ⌡⌡

⌡ (6-29)

reemplazando el valor de de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar

2

0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4

2 1,56 1,24 0,83 0,61 0,47 0,39 0,32 0,25

285

2 (6-30)

Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico esigual a la mitad del tirante (sección trapecial).

También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso

el perímetro es

212 ⌡⌡

por condición de M. E. H.

�⌡ 212

sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es

214 2 �⌡

0

de donde

33 (6-31)

En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales enmáxima eficiencia hidráulica.

Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por lanaturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversalcon la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficientede rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025.

Solución.

tg 60° = 1

= 1,732. Luego, = 0,577

286

Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,

�⌡ 212 = 1,155 oo

o

= 1,155

Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior

= 0,866

y obtenemos que,

38

32

= 0,74

pero,

21

32

= 2,74 oo

o = 1,63 m

luego los otros valores son = 1,41 m = 3,45 m2

= 1,74 m/s = 0,705 m

El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación

2 ⌡ se obtiene 273,1

aplicando la fórmula de Manning

025,0

003,0273,1

213

2

2

se obtiene

= 2,39 38

para = 6 m3/s se encuentra = 1,41 m

(Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)

287

Con lo que la sección transversal queda así,

= 6 m3/s = 1,74 m/s = 0,705 m = 3,45 m = 4,89 m = 1,41 m

Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es iguala la mitad del tirante , la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.

El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetromínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular lasección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.

Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una secciónde máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m.

Con la ecuación = 2,39 38

obtenida, se puede hacer un gráfico

1,63 m

3,26 m

1,41 m

60º

(m /s)30

10642 8 12 14 16 2018

0,5

1,0

1,5

2,0

(m)

288

La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 %mayor (6,6 m3/s). Entonces

= 1,46 m

6.7 Concepto de borde libre

Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorberlos niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de uncanal.

¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gastode diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante(normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor?

Las razones son entre otras las siguientes

a) Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para larugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingenierodiseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, serequerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.

También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriorey tienda ha hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, ladiferencia es tomada por el borde libre.

b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingresea éste un caudal mayor que el de diseño.

c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.

d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída deun tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcancomo consecuencia de lo anterior.

e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorberla altura de ola correspondiente.

borde libre

289

El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos quetienen una cierta probabilidad de ocurrencia.

Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que sedebe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidadque ocurra algún fenómeno extraordinario.

En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel lanaturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zonaarenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.

Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemostener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.

Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación

Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el calculo,que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudaly en la segunda un aumento de caudal bastante mayor.

El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo unaperspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante,sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo.

Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecenuna gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las quesea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmenteque hay que tener presente como varía el costo de una canal con el tirante. Esta función no eslineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeñoen el costo del canal.

Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante.Indudablemente se trata de valores extremos.

8 m3 m

290

Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto alcoeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft(0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes,profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomiendala fórmula siguiente

.. (6-32)

.. : es el borde libre en metros

: es el tirante en metros

: es un coeficiente que varía así

0,46 para = 0,60 m3/s

0,76 para = 85 m3/s

El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3

Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como

aparece en la Figura 6.4.

,2 ,3 ,4 ,5 52 3 4 20 5030 40 100 m /s,1 1,0 10

0

0,3

0,6

0,9

1,2

Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre

Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre

3

GASTO

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation

291

Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales(Tomada de Engineering News Record)

00

0,1

1

BORDE LIBRE EN METROS

0,2 0,3 0,4 0,5 0,70,6 0,8 0,9 1,0

3

2

4

5

6

292

6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta

Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figurasgeométricas.

También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje uncaudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreasadyacentes.

Una sección compuesta se puede dividir en secciones parciales de modo que el gasto

total es igual a la suma de los gastos parciales

........321 ⌡⌡⌡ (6-33)

Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: 1 , 2 ,......,

Para cada parte de la sección se tendrá que

21

32

Areas deinundación

1 2 3

293

212

132

siendo,

32

El gasto total es

21

1

(6-34)

de donde,

21

(6-35)

que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.

Rugosidad compuesta

Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidadesdiferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondoy otra para las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.

Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta.

Si cada parte de la sección tiene un coeficiente de Kutter, entones el problema consiste

en hallar un valor de que sea representativo de todo el perímetro.

concretopiedravidrio

madera

294

Consideremos que hubiera rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte

del perímetro mojado.

Rugosidades : 1 2 3 .....

Perímetros : 1 2 3 .....

Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cadauna de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidadparcial

1

21

32

11

2

21

32

22

o bien,

23

21

111

23

21

222

en consecuencia, y aplicando la ecuación se tiene que

1

23

21

111

2

23

21

222

El área total es igual a la suma de las áreas parciales

21 ⌡

2

23

21

221

23

21

11

23

21

⌡

La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es unasola.

........21

295

Luego,

32

23

2223

11 ⌡

(6-36)

que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.

Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m.Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidadaumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m.

a) Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y lasparedes el acabado liso original.

b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal, para el caso que el fondo fuera liso y las paredesrugosas.

Solución. Si el canal es liso entonces

6

0007,066,029,4 213221

32

1

= 0,014

Si el canal es rugoso entonces,

10

0007,097,083,7 2132

2 = 0,20

a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas

32

23

2223

11 ⌡

⊕ ℘ 32

322323

11,702,04014,011,3 ⌡ = 0,0175

296

el gasto es

0175,0

0007,079,061,5 213221

32

= 7,25 m3/s

b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas

⊕ ℘ 32

322323

11,702,011,3014,04 ⌡ = 0,017

Luego,

017,0

0007,079,061,5 2132

= 7,46 m3/s

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno

Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la seccióntransversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.

En cualquiera de estos casos el conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.

Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno

297

Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y

demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos

se pueden simplificar con el gráfico de Figura 6.6 "Características geométricas de la sección

circular" que nos da para cada valor de la relación el correspondiente valor del área,

perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico.

La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidadmedia y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno.

Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tuboparcialmente lleno.

Consideremos una tubería cuyo diámetro es y cuyo radio es . El flujo corresponde a un

tirante .

Se trata de hallar la relación que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie

libre, es el ángulo en el centro.

Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son

sen2

2

� (6-37)

(6-38)

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno

A B

298

sen2

� (6-39)

Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra, para el cálculo de lavelocidad media encontramos que siempre se cumple que

(6-40)

Para pendiente y rugosidad constantes, y dependen de la fórmula particular empleada.

Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo

0

(6-41)

0cossen2 2 �

de donde,

tg (6-42)

4934,4 rad

= 257º 27‘ 10’’ 257º 30’

es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.

Se determina inmediatamente que

�2 = 102º 30’

El tirante es �2

cos1 (6-43)

De donde = 0,8128 0,81 (6-44)

Por lo tanto, cuando el tirante es 81,0 la velocidad es máxima.

299

Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule lavelocidad media.

Calculemos ahora cual es el valor de que hace que el gasto sea máximo.

En la Figura 6.5 se observa que

sen2

2

�

sen2

�

El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión

21

32

Se observa que para y constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo

valor de 32

0

32

(6-45)

3

231

32 ⌡

� = 0

�

32

sen2

cos12

cossen2

sen23

2 2

2

2

��

De donde,

300

03sen2cos5 �� (6-46)

= 5,278 rad

= 302º 24’ 26’’ 302º 30’

que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que

�2 = 57º 30’

El tirante es

�2

cos1

de donde,

= 0,938 0,94 (6-47)

Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo

cuando = 0,94 .

Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido

32

= 0

y se habría obtenido

= 5,3784 rad

= 308º 09’ 35’’ 308º

= 0,95 (6-48)

Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando

95,0 .

En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve paraaligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).

303

Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales

La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente

llena, la relación existente entre el gasto correspondiente a dicha sección y el gasto 0correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades

( 0 ).

Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de

rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura. es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como 0 ).

En cambio, es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así

por ejemplo si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté

trabajando a 0,7 tendrá un coeficiente

015,085,0013,0

85,0

puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para 7,0la relación es 0,85.

Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidadconstante.

La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a igual a 0,94 si se usa la

fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación

0 es 1,07 y en el segundo es 1,05.

La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para 81,0 . Corresponde a

0 igual a 1,14 (según Manning).

Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormenteestablecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.

En la Figura 6.7 se observa que para 82,0 (aprox.) hay para cada valor del gasto dos

tirantes posibles. También se cumple que para 5,0 se tiene dos tirantes posibles

para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de 81,0 ).

305

Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando,se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio,si consideraramos que la rugosidad es variable entonces la velocidad media en medio tubo essólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno.

En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces lasuperficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a queel escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usualdiseñar para un ángulo de 240°.

Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.

Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado

Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circularparcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conductoabovedado. Siempre se tendrá por continuidad que

de donde

0⌡

que es la condición de máximo caudal. De acá

� (6-49)

También debe cumplirse la ecuación de Chezy

o bien,

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el

valor de obtenido de la ecuación de Chezy se llega a

3 (6-50)

306

Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conductoabovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximoen un conducto circular

0sencos3 ⌡� (6-51)

cuya solución es precisamente 3784,5 rad que corresponde al resultado de la ecuación 6-

48. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo paracualquier conducto abovedado está dado por

25 (6-52)

Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.

Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado

En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que

21

de donde,

021

2

21

21

��

0� (6-53)

que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación nodepende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad.

Canales cubiertos de hielo

A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómenoinconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguientedisminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmentesi el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculosy verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.

307

Canales circulares

Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficienciahidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivasque conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de seccionescirculares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economíaimportante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). En todo caso nuestraopinión es que es difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnico-económico.

Secciones en herradura

Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una delas secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayudapara el cálculo de las secciones en herradura (horse shoe).

Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de0,0008. El coeficiente de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad.

Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que

015,0

0008,0460,0

460,0

213

22

0 = 0,1505 m3/s 151 l/s

Luego,

53,015180

0

del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene

= 0,52 oo

o = 0,31 m

para = 0,52 se obtiene

0

= 1,02

la velocidad a tubo lleno es

20 60,04150,0 Ι

= 0,53 m/s

308

o bien, (para verificar)

015,0

0008,015,0 2132

0 = 0,53 m/s

Luego = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s

La velocidad es = 0,54 m/s

Ejemplo 6.7 Hallar el tirante que corresponde a la condición de caudal máximo en una seccióncuadrada, de lado , en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.

Solución.

Mediante consideraciones geométricas seobtiene

212 �

�� 2212

Considerando la semejanza de los triángulosMAB y MRS se obtiene

� 22

luego,

2222 ��

similarmente se obtiene para el perímetro

22

tomando en cuenta la ecuación 6-50,

3

se obtiene

0245 22 ��

de donde = 1,287

que es la respuesta buscada

A BP

R S

N

M

309

TABLA 6.7PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES

2

2

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,0013 0,0037 0,0069 0,0105 0,0147

0,0192 0,0242 0,0294 0,0350 0,0409

0,0470 0,0534 0,0600 0,0668 0,0739

0,0811 0,0885 0,0961 0,1039 0,1118

0,2003 0,2838 0,3482 0,4027 0,4510

0,4949 0,5355 0,5735 0,6094 0,6435

0,6761 0,7075 0,7377 0,7670 0,7954

0,8230 0,8500 0,8763 0,9020 0,9273

0,0066 0,0132 0,0197 0,0262 0,0326

0,0389 0,0451 0,0513 0,0574 0,0635

0,0695 0,0754 0,0813 0,0871 0,0929

0,0986 0,1042 0,1097 0,1152 0,1206

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,1199 0,1281 0,1365 0,1449 0,1535

0,1623 0,1711 0,1800 0,1890 0,1982

0,2074 0,2167 0,2260 0,2355 0,2450

0,2546 0,2642 0,2739 0,2836 0,2934

0,9521 0,9764 1,0003 1,0239 1,0472

1,0701 1,0928 1,1152 1,1373 1,1593

1,1810 1,2025 1,2239 1,2451 1,2661

1,2870 1,3078 1,3284 1,3490 1,3694

0,1259 0,1312 0,1364 0,1416 0,1466

0,1516 0,1566 0,1614 0,1662 0,1709

0,1755 0,1801 0,1848 0,1891 0,1935

0,1978 0,2020 0,2061 0,2102 0,2142

Perímetro mojado

Radio hidráulico

Area

Diámetro

Tirante

310

2

2

0,41 0,42 0,43 0,44 0,45

0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

0,51 0,52 0,53 0,54 0,55

0,56 0,57 0,58 0,59 0,60

0,61 0,62 0,63 0,64 0,65

0,66 0,67 0,68 0,69 0,70

0,3032 0,3130 0,3229 0,3328 0,3428

0,3527 0,3627 0,3727 0,3827 0,3927

0,4027 0,4127 0,4227 0,4327 0,4426

0,4526 0,4625 0,4723 0,4822 0,4920

0,5018 0,5115 0,5212 0,5308 0,5404

0,5499 0,5594 0,5687 0,5780 0,5872

1,3898 1,4101 1,4303 1,4505 1,4706

1,4907 1,5108 1,5308 1,5508 1,5708

1,5908 1,6108 1,6308 1,6509 1,6710

1,6911 1,7113 1,7315 1,7518 1,7722

1,7926 1,8132 1,8338 1,8546 1,8755

1,8965 1,9177 1,9391 1,9606 1,9823

0,2181 0,2220 0,2257 0,2294 0,2331

0,2366 0,2400 0,2434 0,2467 0,2500

0,2531 0,2561 0,2591 0,2620 0,2649

0,2676 0,2703 0,2728 0,2753 0,2776

0,2797 0,2818 0,2839 0,2860 0,2881

0,2899 0,2917 0,2935 0,2950 0,2962

0,71 0,72 0,73 0,74 0,75

0,76 0,77 0,78 0,79 0,80

0,81 0,82 0,83 0,84 0,85

0,86 0,87 0,88 0,89 0,90

0,91 0,92 0,93 0,94 0,95

0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

0,5964 0,6054 0,6143 0,6231 0,6318

0,6404 0,6489 0,6573 0,6655 0,6736

0,6815 0,6893 0,6969 0,7043 0,7115

0,7186 0,7254 0,7320 0,7384 0,7445

0,7504 0,7560 0,7642 0,7662 0,7707

0,7749 0,7785 0,7816 0,7841 0,7854

2,0042 2,0264 2,0488 2,0714 2,0944

2,1176 2,1412 2,1652 2,1895 2,2143

2,2395 2,2653 2,2916 2,3186 2,3462

2,3746 2,4038 2,4341 2,4655 2,4981

2,5322 2,5681 2,6061 2,6467 2,6906

2,7389 2,7934 2,8578 2,9412 3,1416

0,2973 0,2984 0,2995 0,3006 0,3017

0,3025 0,3032 0,3037 0,3040 0,3042

0,3044 0,3043 0,3041 0,3038 0,3033

0,3026 0,3017 0,3008 0,2996 0,2980

0,2963 0,2944 0,2922 0,2896 0,2864

0,2830 0,2787 0,2735 0,2665 0,2500

311

TABLA 6.8PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA

2

2

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,06 0,07 0,08

0,0886 0,09 0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,0019 0,0053 0,0097 0,0150 0,0209

0,0275 0,0346 0,0421 0,0491 0,0502 0,0585

0,0670 0,0753 0,0839 0,0925 0,1012

0,1100 0,1188 0,1277 0,1367 0,1457

0,2830 0,4006 0,4911 0,5676 0,6351

0,6963 0,7528 0,8054 0,8482 0,8513 0,8732

0,8950 0,9166 0,9382 0,9597 0,9811

1,0024 1,0236 1,0448 1,0658 1,0868

0,0066 0,0132 0,0198 0,0264 0,0329

0,0394 0,0459 0,0524 0,0578 0,0590 0,0670

0,0748 0,0823 0,0895 0,0964 0,1031

0,1097 0,1161 0,1222 0,1282 0,1341

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,1549 0,1640 0,1733 0,1825 0,1919

0,2013 0,2107 0,2202 0,2297 0,2393

0,2489 0,2586 0,2683 0,2780 0,2878

0,2975 0,3074 0,3172 0,3271 0,3370

1,1078 1,1286 1,1494 1,1702 1,1909

1,2115 1,2321 1,2526 1,2731 1,2935

1,3139 1,3342 1,3546 1,3748 1,3951

1,4153 1,4355 1,4556 1,4758 1,4959

0,1398 0,1454 0,1508 0,1560 0,1611

0,1662 0,1710 0,1758 0,1804 0,1850

0,1895 0,1938 0,1981 0,2023 0,2063

0,2103 0,2142 0,2181 0,2217 0,2252

/2

Tirante

Diámetro

Area

Radio hidráulico

Perímetro mojado

312

2

2

0,410,420,430,440,45

0,460,470,480,490,50

0,510,520,530,540,55

0,560,570,580,590,60

0,610,620,630,640,65

0,660,670,680,690,70

0,3469 0,3568 0,3667 0,3767 0,3867

0,3966 0,4066 0,4166 0,4266 0,4366

0,4466 0,4566 0,4666 0,4766 0,4865

0,4965 0,5064 0,5163 0,5261 0,5359

0,5457 0,5555 0,5651 0,5748 0,5843

0,5938 0,6033 0,6126 0,6219 0,6312

1,5160 1,5360 1,5561 1,5761 1,5962

1,6162 1,6362 1,6562 1,6762 1,6962

1,7162 1,7362 1,7562 1,7763 1,7964

1,8165 1,8367 1,8569 1,8772 1,8976

1,9180 1,9386 1,9592 1,9800 2,0009

2,0219 2,0431 2,0645 2,0860 2,1077

0,2287 0,2322 0,2356 0,2390 0,2422

0,2454 0,2484 0,2514 0,2544 0,2574

0,2602 0,2630 0,2657 0,2683 0,2707

0,2733 0,2757 0,2781 0,2804 0,2824

0,2844 0,2864 0,2884 0,2902 0,2920

0,2937 0,2953 0,2967 0,2981 0,2994

0,710,720,730,740,75

0,760,770,780,790,80

0,810,820,830,840,85

0,860,870,880,890,90

0,910,920,930,940,95

0,960,970,980,991,00

0,6403 0,6493 0,6582 0,6671 0,6758

0,6844 0,6929 0,7012 0,7094 0,7175

0,7254 0,7332 0,7408 0,7482 0,7554

0,7625 0,7693 0,7759 0,7823 0,7884

0,7943 0,7999 0,8052 0,8101 0,8146

0,8188 0,8224 0,8256 0,8280 0,8293

2,1297 2,1518 2,1742 2,1969 2,2198

2,2431 2,2666 2,2906 2,3149 2,3397

2,3650 2,3907 2,4170 2,4440 2,4716

2,5000 2,5292 2,5595 2,5909 2,6235

2,6576 2,6935 2,7315 2,7721 2,8160

2,8643 2,9188 2,9832 3,0667 3,2670

0,3006 0,3018 0,3028 0,3036 0,3044

0,3050 0,3055 0,3060 0,3064 0,3067

0,3067 0,3066 0,3064 0,3061 0,3056

0,3050 0,3042 0,3032 0,3020 0,3005

0,2988 0,2969 0,2947 0,2922 0,2893

0,2858 0,2816 0,2766 0,2696 0,2538

317


(Capítulo VI)

1. Hallar una expresión para la pérdida de carga en un canal de longitud , en función de lacarga de velocidad y del radio hidráulico.

2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. Lavelocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la seccióntransversal.

3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutterde 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto.

Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene lamisma rugosidad y la misma pendiente.

4. Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3 m3/s. Lapendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente de Chezy es 49 m1/2/s.

Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la secciónanterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de y la misma pendiente?.

5. El canal mostrado en la figura tieneuna pendiente de 0,0009. Elcoeficiente de Kutter es 0,013.Calcular el gasto.

¿En cuánto aumentará el gasto si lapendiente fuera el doble?

6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de unarugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.

7. En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular

a) el coeficiente de Kutter

b) el coeficiente de Ganguillet-Kutter

c) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad

media dato del problema

d) el coeficiente de Strickler

e) el coeficiente de Chezy con la fórmula de Pavlovski

90º 1,0 m

1,5 m

318

8. Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad = 0,035. Calcular el coeficiente de

Chezy usando las fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirantees 1 m.

9. Hallar los valores de e , a que se refiere la ecuación 6-5, de las ecuaciones de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidadde Kutter a considerarse es 0,018,

a) para una sección rectangular de 6 m de anchob) para una sección triangular con un ángulo de 60°c) para una sección circular de 4 m de diámetrod) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m

11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m3/s,con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin.

12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft.El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula deGanguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas).

13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5. Elcanal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcular el gastoutilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (latemperatura del agua es 15 °C)

14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su pesoespecífico relativo es 0,86. Calcular el gasto.

15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es 0,006.El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de la seccióntransversal y la velocidad media?. Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudal adicional podríaser absorbido? (en porcentaje).

16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensionesdebe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s. El talud es 1,5. Considerar

que el coeficiente de Kutter es 0,025.

17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, taludde 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s.Calcular

319

a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?.

b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, paraaumentar su capacidad en 50 %?.

18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de lostaludes es igual al ancho superficial.

19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que

21221 ⌡⌡

20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°, secumple que

38

32

= 1,90

21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la secciónmás eficiente que

83

21968,0

83

21118,1

22. Demostrar que en un canal con una velocidad , dada, la condición de máxima eficiencia

hidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima.

23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. La pendientees 0,006 y el coeficiente de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.

24. El gasto de canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es 1,25.

a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de0,0008 (el coeficiente de rugosidad de Bazin es 0,30).

b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal encondiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?.

c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0,001¿Cuál será la velocidad en este caso?.

320

25. Un canal debe transportar 8 m3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la seccióntransversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,002 yel coeficiente de Kutter es 0,022. En caso de revestir el contorno con concreto ( = 0,016)determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal.

26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar lasdimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficiencia hidráulica.La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado.

27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la sección transversalcon la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de 1 m/s. (a finde prevenir erosiones). Considerar que es 0,03.

En el caso de revestir el canal ( = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendola pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?.

28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es de 60° con la horizontal.Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máximaeficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. Encaso de revestir el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de lasección?.

29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones de lasección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,0015.El coeficiente de Chezy es 55 m1/2/s.

30. Se trata de diseñar un canal para 8 m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinaciónmedia 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y elcoeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá de laFigura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultado máseconómico un canal de máxima eficiencia hidráulica.

31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficienciahidráulica.

32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes casos se obtendrá unamayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?

a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica

b) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica

33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendientees 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entoncespara un gasto de 45 m3/s el tirante es 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido con concretofrotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.

321

a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra, siendoel tirante de 3,0 m?.

b) ¿Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante de 3 m?.

34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulica parallevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es deconcreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados.

35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m yel tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría queprofundizar la base del canal manteniendo el talud?. Considerar para concreto antiguo 0,018 ypara el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal?

36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29.

37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, anchosuperficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en elque el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego las

expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para igual constante y para igual variable.

Como aplicación calcular todos los valores para = 16’’, = 0,001 y = 0,014. ¿Cuál esel máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puedepresentarse?.

38. Hallar cual es el grado de sumergencia ( ) que corresponde a un ángulo de 240° en una

tubería circular parcialmente llena.

39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de los gastossiguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es el tiranteen cada caso?. La cota del colector en el punto inicial es 100 m y en el punto final es 99,85. Lalongitud es de 200 m. El coeficiente de Kutter es 0,014. Dibujar la curva de variación entre y .

40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( = 0,030) para conducir ungasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008. Calculartambién el tirante y velocidad respectivos.

41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que conduzcaun gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones la velocidaddebe ser superior a 0,60 m/s ( = 0,014). Determinar también con que tirante se producirá elescurrimiento.

322

/2

/2

42. Un conducto tiene forma oval, formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo

de radio . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal del

semicírculo son 3 2 y 4,82 , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga se presenta

cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura del semicírculo

(usar la ecuación de Chezy).

43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio . La

porción inferior es una semieclipse de ancho 2 , profundidad 2 y perímetro 4,847 , cuyo

eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/s

trabajando a 3/4 ( = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, = 0,014. Hallar las dimensiones

de la sección y el tirante que daría un gasto máximo.

44. Un acueducto tiene la forma que se muestraen la figura

= 0,0005

= 800 l/s

= 0,012

Calcular el tirante, la velocidad mediacorrespondiente y determinar cual sería eltirante para las condiciones de gasto máximoy de velocidad máxima.

45. Se tiene un conducto de la forma siguiente

= 100 l/s

= 0,2 %o

= 0,013

Calcular el valor del ancho , el tirante y la

velocidad media.

1,5 m

0,3 m

0,3 m

1,5 m

323

Energía específica y momentaCapítulo VII

CAPITULO VIIENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma deltirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal dereferencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía = zg

Vy ⌡⌡2

2

(7-1)

y es el tirante, el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la

sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.

Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina

energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.

gVyE2

2

⌡ (7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como estáreferida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.

Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un

324


movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paraleloy aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentalesde la ecuación 7-1.

La energía específica se interpreta gráficamente así

Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. Enconsecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.

Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente deCoriolis es igual a la unidad. Entonces,

gVyE2

2

⌡ (7-3)

es la ecuación de la energía para este caso particular.

Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección

transversal, que es una función del tirante y ( AQV ).

2

2

2gAQyE ⌡ (7-4)

En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,gasto y tirante

2Vg2

Línea de energía

yFondo (plano de referencia)

E

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica

325


QEy , (7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia decada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.

Así, si aceptamos que el gasto es constante

Ey (7-6)

Pero si la energía es constante,

Qy (7-7)

7.2 Energía específica a gasto constante

Discusión de la curva yE �

La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el

eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,

tal como se ve en el Figura 7.2.

Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

2

2

2gAQyE ⌡

que evidentemente son

0� yE ; 0y

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( yE ) y por el eje deabscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerseque tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente alfondo.

Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

0dydE

326


Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva yE � )

Tirante

y

g2V2

2

2y

CRISIS

VcV < F < dEdy0 < < 11

Q = CONSTANTEdE = 0dy

2gcV 2

yc

2 g1V 2

y1

y2

Emin

1Vg2

2

y1= + = + 2y2 2 gV 2

E

TORRENTE RIO

y1

= +E y2 gV 2

Energía Específica

F =V = cV 1 = 1gQ2 T

A3

F >VV > c

dE < 01 dy45º

E = y

= +E2Vyg2

y1 e son tirantes alternos

Vg2

2

F > 1

y2

V1

g2

2c

E E1 2( = )

> (flujo supercrítico) ( < )y y1 c

y y( > )VV1 c< (flujo subcrítico) F < 1g2 2 g 2

2 2

c

Si < no hay flujo posible del gastoE E Qmin

Qg

T2

< 13A

A

2

gQ

> 13T

327


y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dydA

gAQ

dydE

3

2

1� (7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en lafigura

Para cada valor del tirante y , que es

variable, hay un valor del área A y un

valor del ancho superficial T . El áreaes

y

dyyTyA0

Al diferenciar esta expresión se llega a

TdydA

Luego,

dydAT (7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérveseen el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas lassecciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

3

2

1gA

TQdydE � (7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir

un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas

01 3

2

�gA

TQdydE

y

dy

T

A

328


o bien,

TA

gQ 32

ó 13

2

gA

TQ(7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.

Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse

adimensional al dividir ambos miembros por 5L .

5

3

5

2

TLA

gLQ (7-11a)

siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dosasíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.

La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

13

2

gA

TQ

La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumpleque

13

2

gA

TQ

El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

13

2

gA

TQ

La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.

De esta última ecuación se obtiene

TAgAQ

329


El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

TAd

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

gdAQ

o bien,

gdTAgV

que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina

velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).

cc gdTAgV (7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en

las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , cA y en lugar de T , cT , etc. Por

comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.

Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidadcrítica sería

cc dgV (7-13)

De la ecuación 7-12, para 1 , se obtiene que

22

2cc d

gV (7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitaddel tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14son absolutamente equivalentes.

330


Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a lamínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.

El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidadsiempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de elloscorresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayorque la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico.

De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

gVyE c

cmin 2

2

⌡ (7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entretirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.

Los tirantes 1y e 2y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude

Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.

El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de lasfuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

TAgV

gdVF (7-16)

Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces

1c

c

gdgd

F (7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude esigual a 1.

331


En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froudees menor que 1.

Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1.

Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

3

2

1gA

TQdydE �

Al introducir AQV se obtiene

TAg

VdydE 2

1� (7-18)

Pero, (ec. 7-16)

TAg

VF

De donde,

21 FdydE � (7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

0dydE

(7-20)

Condición que es precisamente de la energía mínima.

Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

10 dydE

(7-21)

332


Propagación de una onda superficial

Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos

Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridadc , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a

gyc (7-22)

Siendo y la profundidad de la corriente.

Resulta evidente que la condición paraque un onda pueda remontar la corrientees que su celeridad sea mayor que lavelocidad de la corriente.

En un torrente siempre se cumple quela velocidad media de la corriente es

mayor que gy (sección rectangular).

De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar lacorriente.

En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.

En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta

permanece estacionaria, ( Vc ).

Ríos y torrentes

Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).

En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.

La conclusión que obtenemos es que la relación E

gV 22

describe el régimen de la corriente.

La relación E

gV 22

es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.

En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumentael tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en laFigura 7.2a.

yV

c - V c + V

333


En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.

Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondoque implican un cambio en la energía específica.

Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)

Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, hansido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en formade resumen, sus principales características.

i) La curva yE � (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una

superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.

ii) En un torrente, dydE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).

iii) La curva yE � tiene dos asíntotas que son yE ; 0y .

iv) La curva yE � tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,

0dydE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.

El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominancríticos.

v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre lacurva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que secaracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.

vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.

vii) En la zona superior de la curva yE � la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo

subcrítico).En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujosupercrítico).

viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisises 1.

ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.

334


x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0dydE .

En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica

0dydE

.

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en laforma siguiente

gQyx32

232

Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea deenergía.

Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,

2Tx g

Vy2

2

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11

TA

gQ 32

y

E

y

E

Ey

En un río las variaciones de

E e y son del mismo signo y

del mismo orden de magnitud.

En un torrente las variaciones de

E e y son de diferente signo y

de diferente orden de magnitud.45º

335


Siendo en este caso,

xT 2gy

QVQA

2

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica laexpresión propuesta.

Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3 Sección rectangular

Condiciones críticas

En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

TAgVc

expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial.

Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es

cA y T es cT .

En una sección rectangular la relación TA (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,

cc gyV (7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato

22

2cc y

gV (7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía develocidad es igual a la mitad del tirante crítico.

336


La energía que corresponde a las condiciones críticas es

gVyE c

c 2

2

⌡

Este valor de la energía es el mínimo en la curva yE � , tal como se ve en la Figura 7.2.

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

Eyc 32 (7-25)

Eg

Vc

31

2

2

(7-26)

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en uncanal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después depresentar la ecuación 7-15.

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordandoque

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

yE

c

c

31 E

3 E2

2Vg2

337


cc y

qAQV

cc gyV

q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión

corresponde al sistema métrico.

En general la energía específica de un canal rectangular es

gVyE2

2

⌡

Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a

gyV

yE

21

2

⌡

Introduciendo el número de Froude gy

VF se obtiene

21

2FyE ⌡ (7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

yE

dydE 23� (7-29)

Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1F esto significa condiciones críticas, y se

obtiene cyE23 , tal como se demostró anteriormente.

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

oo

o32

3

2

467,0 qgqyc (7-27)

338


0dydE , obteniéndose también cyE

23 .

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)

La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico

es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4

2

2

2gyqyE ⌡ (7-30)

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico cy se obtiene

ccc ygyq

yy

yE

2

2

2⌡

Pero, en una sección rectangular

3

2

gqyc

ó lo que es lo mismo,

32cgyq (7-31)

Reemplazando se obtiene

2

2

2yy

yy

yE c

cc

⌡ (7-32)

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente

2

2

31

32

yy

yy

EE c

cmin

⌡ (7-32a)

339


Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

CRISIS

45º

E = ycyy

Ecy

Ecy yc

yycy 2

22= +

yc E= 32

0 1 21,5 3

1

2

3

340


Variación del gasto con el tirante a energía específica constante

El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.

Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

Qy , para energía constante

La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

2

2

2gyqyE ⌡

De acá podemos despejar el gasto específico q

yyEgq � 2 (7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un

valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gastomáximo

0dydq

0212 2

121

�� yyEyEgdydq

De donde,

Ey32

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en uncanal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.

El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas

23

cccc byggybyAVQ

341


Pero, en un canal rectangular Eyc 32

Luego,

bQq

232

3

32 Egq (7-34)

En el sistema métrico

23

704,1 Eq (7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específicadado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficialesremontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente conuna velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.

Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.

Entonces,c - V = 2,2

c + V = 3

De donde,

c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s

A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que

gcy

2

= 0,69 m

El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s

Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse.(F= 0,15).

Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si laonda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.

342


Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

CRISIS= 1F

= 0dydq

q = 2g(E - y) y

3

q = 1,704E 2

qmax

q2V2g

R

Vc

2g

2

VT

2 g

2

23c

y = y(sección rectangular)

yRE

q

max

maxq < q

q = 1,704 E 23

(sección rectangular)

y

q

= (1 + 1 + )y

T

Ty

4FR

28FR

2yR

yy = (1 + 1 + )8

T4 FT

2

FR T2

Los subíndices R y T se

refieren a río y torrente

343


Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla quemuestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente enfunción del tirante (1,50 > y > 0,10 m).

Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular elárea, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.

Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación7-27

3

2

gqyc = 0,4673 m (0,47 aprox.)

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23

cc gyV = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de1 m3/s/m en un canal rectangular.

7009,0214,24673,0

2

⌡g

cy gVc 22 E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento(ríos y torrentes).

Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).

Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimensupercrítico).

Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.

Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos

a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor quela crítica el régimen es subcrítico).

El número de Froude es menor que 1 y los valores de dydE son positivos, pero menores que 1.

344


b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor quela crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores

dedydE son negativos.

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que sontirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.

En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.

En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.

Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.

En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a1,05 m.

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

yc

1 m

Tirantes alternos

CRISIS

45º

E = y

y

E

cy

0 1,00 2,001,50 2,50

1,00

2,00

(m)

0,50

1,50

0,50

(0,20)

(1,46)

0,7009

1,48

(m)

2 gcV 2

0,4673 0,2336

q = 1 m /s/m3

0,17 (Número de Froude)0,18

0,32

0,69

1,001,26

1,943,57

345


346


Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de unapequeña onda superficial.

En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y deotros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.

Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y eltirante crítico yc la siguiente relación

3

21

22

212

cyyyyy

⌡

Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica

gVy

gVy

22

22

2

21

1 ⌡⌡

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene

22

2

221

2

1 22 gyqy

gyqy ⌡⌡

Pero en un canal rectangular

3

2

gqyc

Luego,

22

3

221

3

1 22 yyy

yyy cc ⌡⌡

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a

3

21

22

212

cyyyyy

⌡

En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energíaespecífica). A modo de comprobación

1027,066,1

46,120,02 22

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.

347


7.4 Sección parabólica

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente)

TAgVc

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 delárea del rectángulo circunscrito

TyA c32

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

cc gyV32 (7-36)

o bien,

cc gyV32

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

32

2cc y

gV (7-37)

yc

T

A

348


Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con ladefinición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

Eyc 43 (7-38)

Eg

Vc

41

2

2

(7-39)

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, encondiciones críticas.

El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a lascondiciones críticas.

Su expresión para un canal parabólico es

cc gyTyQ32

32

A cV

23

212

3

32

cyTgQ (7-40)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene

TQq

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

2Vg2

yE

c

c

41 E

4 E3

349


23

212

3

32

cygq (7-41)

De donde, en el sistema métrico

32

701,0 qyc (7-42)

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condicionescríticas

23

437039,1 Eq

23

1067,1 Eq (7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es

41

21

41

41

16427

g

Qp

yc (7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es pyx 22

Solución.

La expresión general para las condicionescríticas viene dada por la ecuación 7-11

TA

gQ 32

Por ser una parábola el área es

TyA c32

Por condición de parábola

cc y

Ty

Ty

xp82

22

222

c

2T

py= 2

cy( , )

y

T

x

2xy

350


De donde,

cpyT 8

cc pyyA 832

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)

41

21

41

41

16427

g

Qp

yc

que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular.

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente).

TAgVc

En el triángulo el área es

TyA c21

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

yc

T

A1

z

351


cc gyV21 (7-45)

o bien,

cc gyV21

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

42

2cc y

gV (7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.

Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticasse obtiene

Eyc 54 (7-47)

Eg

Vc

51

2

2

(7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica encondiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

yc

2 gV 2

c

54 E

E

51 E

352


El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

cc gyTyAVQ21

21

23

212

3

21

cyTgQ (7-49)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial TQq

23

212

3

21

cygq

de donde, en el sistema métrico

23

7920,0 Eq (7-50)

o bien,

32

9346,0 qyc (7-51)

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

4,02,02

zQ

gyc (7-52)

siendo z el talud.

Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante críticoen el sistema métrico es

4,07277,0 Qyc

Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en uncanal triangular.

La energía específica es

gVyE2

2

⌡

De donde,

353


yEgV � 2

Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es

2zyA

Luego,

yEgzyAVQ � 22

Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

0dydQ

De acá se obtiene inmediatamente

Eyc 54

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que lascondiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo paraenergía constante.

Nota.En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado éstapor su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.

Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquiersistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazadopreviamente el citado valor de la gravedad.

7.6 Sección trapecial

c

T

A1z

b

y

354


En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

TAgVc

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

yzybA ⌡

zybT 2⌡

que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

c

ccc zyb

yzybgV2⌡

⌡ (7-53)

o bien,

cc

cc gy

zybzybV

2⌡⌡

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidadcrítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.

Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad

crítica en una sección rectangular.

Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

TA

gQ 32

se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

g

Qzyb

yzybc

cc233

2

⌡⌡

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe

355


recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponervalores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).

Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el áreadel trapecio de la siguiente manera

cyTbA2⌡

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

cc yTTbgV

2⌡ (7-55)

De donde,

EbT

Tbg

Vc

⌡⌡

52

2

(7-56)

EbT

Tyc ⌡

54

(7-57)

Obsérvese que siempre se cumple

EEbT

TE54

54

32

⌡

cy : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial encondiciones críticas. (Se observa que es función del talud).

cy

E

E

g2

2Vc

b + T

4T

5T + b

5T + bE

356


Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenidaa partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.

La energía específica es

gVyE2

2

⌡

La velocidad es

yEgV � 2

El gasto es

yEgyzybQ �⌡ 2 (7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

0dydQ

Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

02435 2 ��⌡ bEyzEbzy cc (7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta

expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular.

Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

zbzEbEzbzEyc 10

9161634 222 ⌡⌡⌡� (7-60)

Abaco de Ven Te Chow

Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) quepermite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un métodográfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximadoy luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.

Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es

357


gQZ (7-61)

Se entra al gráfico con el valor de 5,2bZ y se obtiene el valor de

byc para cada valor del talud

z , (Figura 7.9).

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la basees de 0,50 m. El talud es 3.

Solución. Si partimos de la expresión general g

QTA 23

se tiene, luego de reemplazar el gasto, que

TA 2,103

Luego,

cccc yyyzybA 35,0 ⌡⌡

cyT 65,0 ⌡

ccc yyy 65,02,1035,0 32 ⌡⌡

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndoel valor del tirante crítico yc = 1,098 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación yanálisis, otros valores

2,5b

Z

b

yz

cy

bc

358


359


A = 4,18 m2

Vc = 2,39 m/s

gV

yE cc 2

2

⌡ = 1,39 m

gVc

2

2

= 0,29 m

Obsérvese que también se cumple que cc gdV

TAdc = 0,59 m 59,08,9 ΙcV = 2,40 m/s

Se aprecia que Eyc 79,0 valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a

este último, pues la figura es casi triangular.

También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.

Entonces,

19,3g

QZ 185,2

bZ

De donde, (Figura 7.9),

2,2byc yc = 1,10 m

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,7-48 y 7-60.

0,29 m

1,10 m

0,50 m

31

21 % E

79 % E

Línea de energía

E = 1,39 m

360


361


7.7 Sección circular y otras secciones

Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas porla ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos laprimera de ellas

TA

gQ 32

En una sección circular el área es (ec.6-37)

sen2

2

� rA

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

2sen

cos1� rdydAT (7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.

Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

2

sencos1sen

82sen

cos1sen

8

35362

��

�� r

rr

gQ

Haciendo2Dr

cos1

2sensen

2

3

8

52

�

� D

gQ (7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a

Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

D

yc

362


2sen2

2sen

cos1 �(7-64)

Luego,

25

21

23

4

2sen2

sen2

Dg

Q � (7-65)

En el sistema métrico

25

21

23

2sen

sen1383,0 DQ � (7-66)

Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmentellena, la que hidráulicamente es un canal.

Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente

ángulo que da condiciones críticas.

El tirante crítico es

�2

cos12Dyc (7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

25

D

Q(7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico datambién las condiciones críticas para otros conductos abovedados.

El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.

363


364


Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular

a) tirante críticob) velocidad críticac) energía mínimad) ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10

225

D

Qo

oo yc = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente

�2

cos12Dyc

2cos1

5,081,0 � = 256º 38’

= 4,4791 rad

El área es

9729,04791,4225,0

2

2

⌡� senrA

A = 0,6815 m2

Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7

Dy

= 0,81, 2DA

= 0,6815 oo

o A = 0,6815 m2

La velocidad crítica es

6815,02

AQVc = 2,93 m/s o

oo

gVc

2

2

= 0,44 m

La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m

Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow

gQZ = 0,64 ;

25

D

Z= 0,64 o

oo yc = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre esaplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no existagráficos especialmente preparados.

365


7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.

Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puedeconseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.

En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener unrégimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimientoy, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.

Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igualal tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.

Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variacionesde la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Seproduce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.

Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libremayor.

Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que unacondición de diseño sea

⌡⌡c

cc T

Ayg

Vy2

05,12

2

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

⌡2

05,1 cc

dyE (7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de lavelocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

TAgVc

nSRV

21

32

Igualando ambas expresiones se obtiene

366


TAgnSR c

21

32

de donde,

34

2

R

nTAgSc (7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.

Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería

TP

CgSc 2 (7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al

ancho superficial, TP .

entonces la ec. 7-72 queda reducida a

2CgSc

pero, 28C

gf , de donde, fgC 82 , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,

8fSc (7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?

Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es

cc gyV (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debeser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea críticoy sea normal.

367


cgynSR

21

32

De donde,

El tirante crítico es según la ec. 7-27

3

2

gqyc = 0,92 m

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene

3

4

2

34

2

46,0

018,092,08,9 ΙR

ngyS cc = 0,0082

cS = 0,0082

Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.

Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,cuyo tirante es igual al tirante crítico.

Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).

Ejemplo 7.9 En un canal de concretofrotachado el gasto es de 3,86 m3/s. Lasección transversal es la mostrada en lafigura. Calcular: a) el tirante crítico y laenergía específica correspondiente, b) lapendiente para que se establezca un flujocrítico normal.

Solución.

a) La condición general de crisis es 5204,123

g

QTA

2

21

21

cc yTyA cyT

De donde,

88

563c

c

c yy

yTA

c

T

A

45º

y

368


8

5cy

= 1,5204 ooo yc = 1,648 1,65 m

358,186,3

AQVc = 2,84 m/s

gV2

2

= 0,412 0,41 m

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m

E54

5E

(por ser sección triangular)

Podría emplearse la ecuación 7-52,

4,02,04,02,0

5,086,322

gzQ

gyc = 1,648 1,65 m

siendo,

5,02

102

21 ⌡⌡

zzz

b) S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica

nSRVV c

c

21

32

2cc yyP ⌡ = 3,9835 m

9835,33613,1

PAR = 0,3417 m

015,0

3417,084,2

21

32

c

c

SV

Obteniéndose finalmente,

Sc = 0,0076

369


7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente críticacorrespondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).

Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interéspráctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico.

Examinemos en primer lugar un canal rectangular.

En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

34

2

R

nTAgSc

Para un canal rectangular es

31

34

34

2 2

c

cc

y

yb

b

gnS ⌡ (7-74)

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de 0c

c

dydS

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene

cyb 6 (7-75)

de donde,

cyP 8 (7-76)

cybR43

8 (7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente

límite LS .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

31

2

38

b

gnSL (7-78)

370


Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

234CgSL (7-79)

si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2), 2

8C

gf se llega a

6fSL (7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es

25

6 cygQ (7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es(ec. 7-71)

TA

PgnSc31

34

2

La pendiente límite se obtiene a partir de 0c

c

dydS , teniendo en cuenta que

cyzbP 212 ⌡⌡

cc yzybA ⌡

czybT 2⌡

Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

dydT

dydP

PT

TA34

2

� (7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en

esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 cyA que es lo correcto para un canal

rectangular.

371


Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.

Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es

(ec. 7-78)31

2

67,2b

gnSL = 0,0038

Luego,

6byc = 0,40 m

gqyc

2

oo

o3cgyq = 0,792 m3/s/m

(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s

cc gyV = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)

nSRV

21

32

= 1,98 m/s

nRC

61

= 58,4 m1/2/s

2

8C

gf = 0,0229

60229,0LS = 0,0038

7.10 Transiciones

Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de lasuperficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambiopuede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondoascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho delcanal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para elestudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es

372


despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dossecciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

ag

Vyg

Vy ⌡⌡⌡22

22

2

21

1 (7-83)

siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminuciónde la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirsela ecuación de continuidad.

QAVAV 2211

Si no existiera una grada de fondo, entonces 0a . Si el ancho es constante y el cambio de

la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 losperfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos.

La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específicasignifica una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Porel contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos yuna disminución en los torrentes.

El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)

Curva yE � para diferentes caudales

Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una

familia de curvas yE � . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la

recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada

vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).

373


Figura 7.11 Grada positiva en un río

Figura 7.12 Grada negativa en un río

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

qE1 y1 y

2

E2

E1

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +1

1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un río una disminución de la

energía específica, a gasto constante,

implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

qE1

y2 y

1

E1

E2

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un río un aumento de la


implica un aumento del tirante.

45ºE

1

E y +2 g2 22V 2

374


Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

qE1

y1 y

2

E2

E1

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +11Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un torrente una disminución de la


implica un aumento del tirante.

45ºE

1

y

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

q

E1

y1

y2

E1

E2

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un torrente un aumento de la


implica una disminución del tirante.

45ºE

1

y

375


Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

2 gV 2

1

cVg2

2

yc

Emin

a

Línea de energía

qE

Emin

E

a

y

Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max

sobre la grada debe ser mínima E = y + cVg2

2

El máximo valor de la grada, sin alterar

las condiciones aguas arriba, corresponde

a condiciones críticas (energía mínima).

45ºmax

V2 g

22

1y

y2

max E

min c

y

45º

q < q < qE = y

V2 g

2

E = y +

1q

min

q2

3q

1 2 3

pendiente = 2/3(canal rectangular)

E (1)

321

E (2)min

E (3)min

376


Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (gradapositiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libredesciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energíaespecífica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismogasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.

Solución.

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,respectivamente

25,02

45,22

80,22

22

1 ⌡⌡⌡g

Vg

V

Por continuidad,

2,114 111

Qy

QAQV

35,73 22

QyQV

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene

Q = 13,64 m3/s

Efectuando las operaciones indicadas se tiene que

1V = 1,22 m/s; 2V = 1,86 m/s; gV2

21 = 0,08 m; g

V2

22 = 0,18 m

4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m13 q = 4,55 m /s/m2

3

Línea de energía0,08 m

0,10 m

y = 1,28 mc2

2,45 m2,63 m

0,25 m

cy = 1,06 m1

2,88 m 2,80 m3Q = 13,64 m /s

45º

2,80 m

2,88 m

1,06 m

1,59 m

1,06 m 0,53 m

E

y

377


De donde,

gVyE2

21

11 ⌡ = 2,88 m

gVyE2

22

22 ⌡ = 2,63 m

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos

1F = 0,23 ; 2F = 0,38 ; 1cy = 1,06 m ; 2cy = 1,28 m

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.

El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es

1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es cy23

, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía

es

maxmin1 aEE ⌡

2,88 = 1,92 + maxa

maxa = 0,96 m

La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energíaespecífica

Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay uncambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.

En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la

caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a minE , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).

Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento deenergía.

Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante críticoque se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobreel plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable lasuposición de una distribución hidrostática de presiones.

378


Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 vecesel tirante sobre la grada.

El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de cy3 a cy4 ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

La segunda Ley del movimientode Newton dice que el cambiode la cantidad de movimiento porunidad de tiempo es igual a laresultante de las fuerzasexteriores.

Consideremos un canal con unflujo permanente cualquiera y unvolumen de control limitado pordos secciones transversales 1 y2, la superficie libre y el fondodel canal, tal como se ve en laFigura 7.18.

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)entre las secciones 1 y 2 se obtiene

fFWsenPPVVQ �⌡�� 211122 (7-84)

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la EnergíaEspecífica

L

y1

y2

Wsen

P1 P2

Q

Ff

1 2

Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuaciónde la Fuerza Específica.

y

E

yc

3,5yc

ENERGIAMINIMA

Emin

379


expresión en la que: densidad del fluido; Q gasto; coeficiente de Boussinesq; Vvelocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; fF fuerza debida a la fricción; ángulo

que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen componente del peso en la

dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que esválido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmentevariado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cadauna de ellas sea aplicable la ley hidrostática.

Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.

En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.

Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el

volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

2112 PPVVQ �� (7-85)

La fuerza hidrostática P es Ay , siendo y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos

reemplazos se llega a

222

2

111

2

AygAQAy

gAQ ⌡⌡ (7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

AygAQ ⌡

2

= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.

Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmenteuna fuerza por unidad de peso de agua.

380


gAQ2

es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y

por unidad de peso.

Ay es la fuerza hidrostática por unidad de peso.

A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.)

El gráfico de la Fuerza Específica es

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles 1y e 2y . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.

En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

0..2

2

⌡�dy

AyddydA

gAQ

dyEFd

De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

Figura 7.19 Fuerza Específica

y2

F. E.Fuerza específica

(Momenta)

yc

y1

M

yTirante F. E. mínima

ec. 7-87

381


22

2 dg

V

que se puede comparar con la ecuación 7-14.

Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde acondiciones críticas.

Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puedeexaminar un canal rectangular en el que

bqQ ; 11 byA ; 22 byA

21

1yy ; 2

22

yy

siendo b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunassimplificaciones a

2121

2

21 yyyy

gq ⌡ (7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

3

2

gqyc

valor que sustituido en 7-88 nos da

21213

21 yyyyyc ⌡ (7-89)

Siendo 1y e 2y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).

382


7.13 Salto hidráulico

El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

fhEE ⌡ 21 21 .... EFEF

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1y e 2yson tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1E a 2E .

Salto hidráulico en un canal rectangular

Partimos de la ecuación 7-88

2121

2

21 yyyy

gq ⌡

Se divide ambos miembros por 31y , y luego de algunas sustituciones se llega a

⌡1

2

1

2

1

21 1

21

yy

yy

gyV

De donde,

⌡1

2

1

221 1

21

yy

yyF

Figura 7.20 Salto hidráulico

2 g2E

2V2

y2

fh = (E)1-2

RIO

TORRENTE

1y

g2

2V1

E1

Línea de energía

383


De acá se obtiene una ecuación en 1

2

yy

02 21

1

2

2

1

2 �⌡ Fyy

yy

Resolviendo esta ecuación se obtiene

18121 2

11

2 �⌡ Fyy

(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los

tirantes conjugados 1

2

yy es función exclusiva del número de Froude incidente,

11

2 Fyy

Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.

Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es quehay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.

El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas decorriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el pasoviolento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.

El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de lavelocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo quese traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también laincorporación de aire a la masa líquida.

El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.

Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchassimplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representaciónesquemática, del modo como ocurren los fenómenos.

Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectosde las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promediotemporal son en este caso de poca utilidad.

384


En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valorestan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de laestructura.

Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar laatención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación lassolicitaciones variables”.

Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuenciay amplitud.

Tipos de salto

En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue lossiguientes tipos de salto

1F Flujo crítico, no hay salto

7,11 F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

5,27,1 F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña

5,45,2 F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales

95,4 F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

9F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto

La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

⌡�⌡g

Vyg

Vyhf 22

21

1

22

2 (7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñastransformaciones a

21

312

21 4 yyyyEEhE f

�� (7-92)

385


Eficiencia

Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica despuésdel salto y la que hay antes de él.

2

12

1

21

23

21

1

2

281418

FFFF

EE

⌡⌡�⌡ (7-93)

La pérdida de energía relativa es

11

21EE

EE � (7-93a)

Altura del salto ( ih )

La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto( 12 yyhi � )

Se demuestra fácilmente que

2381

21

21

1 ⌡�⌡

F

FEhi (7-94)

Longitud del salto ( L )

La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,etc.). Aproximadamente se tiene que

129,6 yyL � (7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.

Oleaje

En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y

periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como SH a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

161

11

� Fy

H S (7-96)

Para 71F

386


Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

g2V1

2

y1

h = E - Ef 1 2

g2V 2

2

2y

L

Canal

ColchónDispipador

Rápida

1y 2

y

Vertedero Oleaje

yn

yn

yn

Línea de energía

y1ay

2

E

Compuerta

y1

yny

S

Para vencer un desnivel se construye una

rápida. Al final de ella debe disiparse

la energía. El salto hidráulico actúa como

un disipador de energía

a)

b)

En un río se costruye una presa derivadora

(barraje) para elevar el nivel del agua

en época de estiaje. La energía se disipa

por medio de un salto hidráulico.

c)

Si en un canal se coloca una compuerta

que deja una abertura en la parte inferior

se produce aguas abajo un salto hidráulico.

En la figura se observa el llamado

salto hidráulico libre.

d)

Si el tirante normal aguas abajo es mayor

que y se produce el llamado salto

hidráulico ahogado.2

(y es el tirante normal aguas abajo)n

387


7.14 Descarga por una compuerta de fondo

Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.

La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuertadebe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.

Sea a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces acy c2 . La

ecuación de la energía específica es

gVy

gVy

22

22

2

21

1 ⌡⌡

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

QAVAV 2211

Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.

Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

fhg

Vyg

Vy ⌡⌡⌡22

22

2

21

1

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.

La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Línea de energía

a y2

E

21

g2V V 2

g22

y1

388


condiciones de aguas abajo. Ellas son

a) No se forma salto

b) Se forma un salto libre

c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para elanálisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta enun canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

�⌡1

222

2

121yyF

yys

Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 eltirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo delsalto. Despréciese la fricción en el canal.

Solución. Por continuidad, 2211 yVyV . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-

85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

1221 VVQPP ��

Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene

122222

2

21 VVyV

gyys ��

Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a

122

222

2

121 VV

yV

gyys ��

��2

1222

2

2

121VVF

yys

Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.

389



(Capítulo VII)

1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirantecrítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25y 7-26.

2. Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debetener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 %o ; n = 0,0125

Calcular

a) El tirante normal

b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme

c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b

Verificar que se cumple la ecuación 7-14.

4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentesvalores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente paraq = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?

5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será lapendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando elgasto sea de 6 m3/s?

Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él?(¿río o torrente?) ¿Por qué?

6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedraen el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de lasondas superficiales producidas.

7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos 1y e 2y la siguiente

relación

22

21

22

2

1

⌡⌡

FF

yy

390


8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es

24,6943

1

2 f

y

n

c

( g = 9,8 m/s2)

9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistemamétrico, las siguientes ecuaciones

a) 23

13,3 cmax yq

b) 21

21

56,213,3 mincc EyV

c) 3 27,0 maxmin qE

d) 3 2467,0 maxc qy

e) 3 214,2 maxc qV

10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es laecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.

11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es yx 162 , la energía

específica mínima es 0,3611 21Q

12. Hallar el tirante crítico para el canalmostrado en la figura. El gasto esde 8 m3/s. ¿Cuál es la energía quecorresponde a las condicionescríticas?. Demostrar que secumplen las ecuaciones 7-14, 7-56y 7-57.

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s y

conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendientese establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estascondiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo seestablecerá?.

14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular lapendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a laenergía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

yc

45º 60º

2,20 m

391


15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal

mostrado en la figura para que se

produzca un movimiento uniforme

con el mínimo contenido de energía

para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo

que la rugosidad del contorno

corresponde a G = 0,46 en la fórmula

de Bazin?.

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se

presentaría con la pendiente crítica calculada.

16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del

canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto

B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.

Calcular

a) el tirante normal

b) el tirante crítico

c) la pendiente crítica

d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente

(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).

17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto

( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima

eficiencia hidráulica, hallar

a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía

b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s

18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s

a) establecer si este flujo es un río o un torrente

b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?

(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)

19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.

20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s.

Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

c

45º

3,00 m

y

392


21. Calcular la altura de río y de torrente quepodrían producirse en el canal cuya secciónaparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/s y una energía específica de 3,14 m. Calculartambién para cada uno de los dos regímenes,el número de Froude y el correspondientevalor de dydE en la curva yE � . Dibujarla curva yE � y verificar todos los valorescalculados, así como las condiciones críticas.

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?.

23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es

(ec. 7-52)

4,02,02

zQ

gyc

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energíaespecífica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto esmáximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?.

25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

2,08883,1 QVc

26. Para el canal mostradoen la figura ¿Cuál es eltirante crítico para ungasto de 12 364 l/s?¿Cuál debe ser elcoeficiente n de Kutterpara que con unapendiente de 0,0022 seestablezca un flujocrítico normal?.

27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes,el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo conel ábaco de la Figura 7.10.

c

1,50 m90º

y

1

1,00 m

0,25

393


28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/scon un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que eltirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?.

29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río ytorrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

⌡⌡ 2

2 8114 R

R

R

T

FF

yy

o bien,

gyVF

⌡⌡ 2

2 8114 T

T

T

R

FF

yy

RF y TF son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando RF = TF =1?

30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, pormedio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración.El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en laprimera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil dela superficie libre.

31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca unrégimen crítico.

32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máximasobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguasarriba. El tirante normal es 2,50 m.

33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produceun resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que haydespués del resalto, hallara) tirante críticob) tirante antes del resaltoc) tirante después del resaltod) la fuerza específica (momenta)e) la energía disipada en el resaltof) la potencia del resalto en HP

394


34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipaciónde energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirantedespués del salto y el gasto.

35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % dela energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.

36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que seproduce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son 1y e 2y se cumple que

2381

21

21

1

12

⌡�⌡

�F

FE

yy

siendo 1E y 1F la energía específica y el número de Froude antes del salto.

37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja enel fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta esde 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerarla fricción.

38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical quedescarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto.Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular

a) el caudalb) la fuerza sobre la compuertac) la altura conjugada del resaltod) la energía disipada

e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)f) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción.

39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas

a) yE � para q = 5 m3/s/m

b) yEF �.. para q = 5 m3/s/m

c) yq � para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 y mvalores de y = 0,50 m.

40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

22

21 y

gyq ⌡

395

Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII

CAPITULO VIIIMOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1 Introducción

El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (caladoo tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varíade una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que laspendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimientogradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.

El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canaleshechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real esque a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidady alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no esuniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimientogradualmente variado.

La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con losestudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta acontinuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).

La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente

La pérdida de carga en una sección es la misma quecorrespondería a un flujo uniforme que tuviese la mismavelocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.

La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,

396


etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de unmovimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.Las principales son las siguientes

i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica unflujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variacióndel tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe serpequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que eltirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.

Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferenciade la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo

En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, talcomo se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas decorriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay componentes de la aceleración normalesa la dirección de la corriente.

Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la direcciónde la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a lalínea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario ala gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. Enel flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.

P' P

N

M

Flujo convexo

M

Flujo cóncavo

PP'N

M

N

P

Flujo uniforme

397


ii) El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométricadefinida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río noes un ‘‘canal prismático’’.

iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente deltirante.

iv) La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolises constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que lavelocidad media varía.

v) La pendiente del canal es pequeña, de modo que

a) La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondodel canal.

b) No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande la alta velocidadda lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmentepara velocidades mayores de 6 m/s.

En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en unpunto de la corriente.

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.

Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporadoy, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical onormalmente al fondo.

vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales deltirante.

y cosy cos y

2

398


El factor de sección Z se define de la siguiente manera

dAZ (8-1)

siendo TAd , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así

TAZ

3

(8-2)

A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial.

Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo delmovimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes

YX SCRV (8-3)

YX SCARQ (8-4)

Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente Ses 1/2. Luego,

21

SCARQ X (8-5)

K

Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión XCAR . En consecuencia,

XCARK (8-6)

Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de lacapacidad de conducción de la sección transversal. De la última expresión se deduceinmediatamente que

21

KSQ (8-7)

Luego,

21

SQK (8-8)

399


Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,

21

CARK (8-9)

Si se utiliza la ecuación de Manning,

nARK

32

(8-10)

8.2 Definiciones fundamentales

Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante sedenomina normal ( ny ).

En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (ypor lo tanto la velocidad media de la corriente).

Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, lacorriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hacemayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimientogradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque sutirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva deremanso, (Figura 8.3).

Podría se también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída laenergía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguasarriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así unacorriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en laFigura 8.3.

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida

y

Eje Hidráulico

Vertedero

Corriente peraltada y > y

y

Corriente deprimida y < y

yn yn yc

n n

400


Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientesperaltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.

Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otrasdefiniciones.

Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.

En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,en un torrente es menor.

Figura 8.4 Ríos y torrentes

En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media dela corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condicionesde aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.

Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientessuaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuerteslos lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.

A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientesfuertes, tipo S, del ingles steep.

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes

Pendiente suave (tipo M) y > y Pendiente fuerte (tipo S) y < y

cy

yn

n c n c

ny

yc

y

Río ( y > y )

y

Torrente ( y < y )

yc cy

c c

401


Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y pendientes fuerteslos que dan torrentes.

Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, unlecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.

Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),puede escurrir un río o un torrente.

La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimientocrítico en movimiento uniforme.

Zonas

En función de la posición relativa (magnitud) que tiene el tirante crítico cy , el normal ny , así

como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas

Zona 1n

c

yyyy

Zona 2cn

nc

yyyyyy

Zona 3n

c

yyyy

8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado

Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en laFigura 8.6. La energía total H es

zyg

VH ⌡⌡2

2

(8-11)

Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondoes pequeña.

El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayorque el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.

El tirante del movimiento gradualmente variado y estácomprendido entre el crítico y el normal.

El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor

que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.

402


2 g

2V

y

H

(1)

(2)

z

dx

SELínea de energía

Superficie libreSW

0S Fondo

x

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado

La variación de esta energía a lo largo del canal es dxdH

, siendo x la ordenada en la dirección

de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene

dx

zyg

Vd

dxdH

⌡⌡

2

2

(8-12)

La pendiente 0S del fondo se define como el seno del ángulo .

La pendiente ES de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la deManning.

La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa siasciende en la dirección del flujo. La variación de energía H es siempre negativa en ladirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variaciónde la elevación del fondo z puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6 z es negativa.Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección deescurrimiento, se tendrá que

dxdzS � sen0

403


34

22

2

2

R

nVRC

VdxdHSE ��

Luego,

ESSdx

yg

Vd��

⌡

0

2

2 (8-12a)

Pero ⌡ yg

V2

2

es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,

ESSdxdE � 0 (8-13)

Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que

21 FdydE �

Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

20

1 FSS

dxdy E

�� (8-14)

que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.

Como el cuadrado del número de Froude es

3

22

gATQF (8-15)

se tiene que,

3

20

1gA

TQSS

dxdy E

�

� (8-16)

404


Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de

capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ).

Según la definición de factor de capacidad

21

ESQK para cualquier sección del M. G. V.

21

0SQKn para el movimiento uniforme

Luego,

2

0

KK

SS nE

Según la definición de factor de sección

TAZ

3

para cualquier sección

gQZc para condiciones críticas

Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticasel número de Froude es igual a 1, por lo tanto

TAggdV cc ; T

AgAQVc

TAg

AQ 2

2

;2

32

cZTA

gQ

Luego,

3

22

gATQ

ZZc

Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a

405


2

2

0

1

1

�

�

ZZKK

Sdxdy

c

n

(8-17)

que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado.

Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variaciónde la superficie libre con respecto al fondo del canal.

Aplicación a una sección rectangular muy ancha

Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene

ny

nARK n

n

35

32

(para condiciones normales)

ny

nARK

35

32

(para cualquier sección del M. G. V.)

32

ccc ydAZ (para flujo crítico)

23

ydAZ (para cualquier sección del M. G. V.)

Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene

3

310

0

1

1

�

�

yy

yy

Sdxdy

c

n

(8-18)

que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)en movimiento gradualmente variado.

Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimientogradualmente variado sería

406


3

3

0

1

1

�

�

yy

yy

Sdxdy

c

n

(8-19)

Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.

La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así

2

2

0

1

1

�

�

c

n

QQ

QQ

Sdxdy

(8-20)

siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, nQ es el gasto para un flujo normal

cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, cQ es el gasto críticopara una profundidad .y

Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguienteecuación

dgAQ

RACQS

dxdy

2

2

22

2

0

1�

� (8-21)

siendo d el tirante hidráulico TA

Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente laecuación del movimiento gradualmente variado es

3

2

3

2

0

1gA

bQdxdb

gAyQSS

dxdy E

�

⌡�

(8-22)

407


Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos

dxg

Vd

dxdySSE ⌡⌡��

2

2

0 (1)

Pero,

dxdAA

gQ

dxdA

gQ

dxgAQd

dxg

Vd3

2222

22

222

22 ��

�

⌡�dxdby

dxdyb

gAQ

3

2

Reemplazando en (1)

⌡�⌡��dxdby

dxdyb

gAQ

dxdySSE 3

2

0

De donde,

3

2

3

2

0

1gA

bQdxdb

gAyQSS

dxdy E

�

⌡�

que es la expresión buscada.

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico

El signo de dxdy

en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características

del eje hidráulico. Así,

Si 0dxdy

,

entonces el tirante y aumenta

en la dirección de la corriente.La superficie libre se levanta.Esta condición se da en losríos peraltados y en lostorrentes deprimidos.

S 0

y

La superficie libre se levanta ( )0dxdy

SW

408


Si 0dxdy

,

entonces el t irante ydisminuye en la dirección dela corriente. La superficie libredesciende. Se da en los ríosdeprimidos y en los torrentesperaltados.

Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunoscasos especiales.

¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace

igual al tirante crítico?

Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que cZZ , por lo tanto en la ecuacióndiferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces

dxdy

infinito

lo que implicaría que para cyy el eje hidráulico debería ser vertical tal como se aprecia enla Figura 8.7.

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy

Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( cyy ) el eje hidráulico tiene una

gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variadode considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar por lo tanto una distribuciónhidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecidapara el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en lasinmediaciones de cyy .

S 0 y

La superficie libre desciende ( )dxdy 0

WS

yyc

y = yc

409


¿Qué ocurre cuando el tirante se hace igual a cero?

En el caso más general el valor de dxdy

se hace indeterminado.

Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que

se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para 0y se obtiene que dxdy

infinito,

lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio si hubiéramos usado lafórmula de Chezy (8-19) se tendría que

3

3

0c

n

yyS

dxdy

lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.

¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?

Entonces 0dxdy

lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,

de un movimiento uniforme WSS 0 .

¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente?

Entonces,

0Sdxdy

o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo delprimer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.

La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17es

410


2

2

0

1

1

�

�

ZZKK

Sdxdy

c

n

En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades

Numerador y denominador positivosNumerador y denominador negativos

Numerador positivo y denominador negativoNumerador negativo y denominador positivo

Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión decada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variad, que son las siguientes

- Río peraltado en pendiente suave (M1)

- Río peraltado en pendiente fuerte (S1)

- Torrente deprimido en pendiente suave (M3)

- Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)

- Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)

- Río deprimido en pendiente suave (M2)

PRIMERA POSIBILIDAD

0dxdy

Numerador y denominador positivos

Como el numerador es positivo esto significa que

01 2

2

�KKn

lo que necesariamente implica nKK . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante

normal ( nyy ).

Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.

0dxdy

0dxdy

411


Como el denominador también es positivo, esto significa que

01 2

2

�ZZc

Lo que necesariamente implica cZZ ( cyy ). Se trata por lo tanto de un río. Esta estambién una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo setiene un río.

Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.

Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dosprimeros casos del movimiento gradualmente variado.

Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Por lo tanto,

cn yyy

Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está enla ZONA 1.

Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.

Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las quecorresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también seránmenores.

Esta curva es la más conocida y estudiada pues se presenta frecuentemente. Usualmente sele llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta nyy ,de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.

Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hayuna presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumentoen la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.

Río peraltado en pendiente suave

M1

yyc

yn

412


Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientefuerte el tirante normal es menorque el crítico. Luego,

nc yyy

Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encimadel tirante crítico y del normal (ZONA 1).

Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de cyy , que larealiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguasabajo. Es una curva convexa.

Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa ocompuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendientees fuerte. Esta curva es de longitud limitada.

Prosiguiendo con la discusión tenemos que

SEGUNDA POSIBILIDAD

0dxdy

Numerador y denominador negativos

Como el numerador es negativo esto implica que

01 2

2

�KKn

lo que nos conduce a KKn ( yyn ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.

Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.

Como el denominador también es negativo se tiene que

01 2

2

�ZZc

Río peraltado en pendiente fuerte

yycy

n

S1SALTO

413


Lo que implica ZZc . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( cyy ). Se trata porlo tanto de un torrente.

Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativose trata de un torrente.

Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que porcierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros doscasos de movimiento gradualmente variado.

Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)

Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por sependiente suave el tirante normales mayor que el crítico. Luego,

yyy cn

Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en laZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.

Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.

Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en unestrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega enrealidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel ny que está determinado por las

condiciones de aguas abajo.

Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)

Por tratarse de un torrente eltirante del movimientogradualmente variado es menorque el crítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico, Por lotanto,

Torrente deprimido en pendiente suave

M3

nyyc

SALTO

y

Torrente deprimido en pendiente fuerte

S3

yn

ycy

414


yyy nc

Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muypoco frecuente.

Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente demuy fuerte a fuerte.

Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en

la dirección del escurrimiento lo que implica la condición 0dxdy

TERCERA POSIBILIDAD

0dxdy

Numerador positivo y denominador negativo

Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltaday denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.

Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendientefuerte.

Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente

Corriente peraltada nyy

Torrente cyy No hay solución posible

Pendiente suave cyy

Por lo tanto no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación designos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.

Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)

Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente peraltada el tirante esmayor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico. Luego,

Torrente peraltado en pendiente fuerte

yn

yc

S2

y

415


nc yyy

Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en

la ZONA 2.

La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es unacurva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.

Nótese que al corresponder este caso a 0dxdy

la superficie libre desciende en la dirección

del escurrimiento.

El eje hidráulico debe ser normal a cyy . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un

cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.

CUARTA POSIBILIDAD

0dxdy

Numerador negativo y denominador positivo

El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendientesuave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.

Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrientedeprimida el tirante es menor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Luego,

cn yyy

Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.

Es una curva convexa del tipo M2.

Río deprimido en pendiente suave

ynyc

M2

y

416


El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a

cyy . El eje hidráulico es asintótico a nyy .

Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, uncambio de pendiente, etc.

Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.

Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.

Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos delmovimiento gradualmente variado.

En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuacióngeneral del M. G. V. y que, con algunas ampliaciones, se presenta en la Tabla 8.1.

TABLA 8.1

RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS SEIS CASOS DEL MOVIMIENTOGRADUALMENTE VARIADO

+ 0

NUMERADOR

DENOMINADOR

CORRIENTE PERALTADA

MOVIMIENTO UNIFORME

CORRIENTE DEPRIMIDA

RIO CRISIS TORRENTE

dydx > 0 dx

dy> 0

M1 S1 M3 S3

PENDIENTESUAVE

PENDIENTEFUERTE

PENDIENTEFUERTE

PENDIENTESUAVE

417


418


ynyc

2ny 1

10SS02

M1P

Río uniformeque empieza en el punto P

S > >c 10S S02

y

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusiónde diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generadosexclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas lasotras características permanecen constantes.

Los seis casos generales son

- De pendiente suave a pendiente más suave

- De pendiente suave a pendiente menos suave

- De pendiente suave a pendiente fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente suave

Los cuatro casos especiales son

- De pendiente suave a pendiente crítica

- De pendiente crítica a pendiente suave

- De pendiente crítica a pendiente fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente crítica

1. De pendiente suave a pendiente más suave

Sean1ny e

2ny los tirantes

normales en cada uno de los dostramos.

En el primer tramo, por ser

pendiente suave, cn yy 1

.

En el segundo tramo, por serpendiente más suave también se

cumple que cn yy 2

El tirante normal del segundotramo es mayor porque supendiente es menor que la del

primero. Por lo tanto, 12 nn yy

419


El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipoM1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.

2. De pendiente suave a pendiente menos suave

Por consideraciones similares alas anteriores se tiene que

12 nn yy

En ambos tramos se cumple que

cn yy 1

(pendiente suave)

cn yy 2

(pendiente menos

suave)

Como2ny está más cerca de cy que

1ny , se dice que la pendiente es menos suave.

El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto Pempieza un río uniforme.

3. De pendiente suave a pendiente fuerte

En el tramo de aguas arriba hayun río que al aproximarse alcambio de pendiente se deprime(M2) y tiende a acercarsenormalmente a cyy . Como unrío deprimido en pendiente suave.

Inmediatamente aguas abajo delcambio de pendiente el torrentese peralta (S2), arrancandonormalmente a cyy como untorrente peraltado en pendientefuerte.

yn

yc

2

ny 1

10SS02

M2

P

Río uniforme

S < <20S Sc01

yc

y

yn

yc

2

ny 1

10S

S02S < <cS S01 yc

M2

S2

20

(río deprimido en pendiente suave)

(torrente peraltado en pendiente fuerte)

SUAVE FUERTE

yy >n1 c y < y2n c

420


4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.

5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.

El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendientemás fuerte que la de aguas arriba.

yn1

yc

y2n

S > >S10 Sc

01S

20S

20

P

S3

yFUERTE MENOS FUERTE

y <1n c yy <n2 c

ny <1

yn2

Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo.

Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba

yn

yc

2

ny 1

10S

S02

S > > cS S02

yc

S2 (torrente peraltado en pendiente fuerte)

yy <n1 c y < y2n c

P

10

ny >1

y2n

FUERTE MAS FUERTE

421


6. De pendiente fuerte a pendiente suave

Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un saltohidráulico hay dos tirantes conjugados: 21 yy (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).

En el presente caso de cambio de pendiente, 1ny es el tirante 1y del salto.

Para el tirante 1y (1ny ) existe un tirante conjugado 2y que puede ser igual, mayor o menor

que2ny .

Si22 nyy el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas

arriba.

Si22 nyy entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.

Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.

7. De pendiente suave a pendiente crítica

El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entreel tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con cyy .En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.

yn1

S < S10

01S

cSc

ySUAVE CRITICAy >

1n c yy =n2 c

cy

M2

y = yc n2

yn1

y2n

1cy

yc

c

FUERTE SUAVE

1ny < yy >

2n 1ny2 cny > y

01S >

02S

S02

10S

422


8. De pendiente crítica a pendiente suave

Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido enpendiente suave y fuerte.

9. De pendiente crítica a pendiente fuerte

Equivale al cambio de pendiente fuerte a más fuerte

10. De pendiente fuerte a pendiente crítica

Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimidoen pendiente suave y fuerte.

y = yn1

y

CRITICA SUAVE

y =1n c yy >n2 c

c

Sc

10S

n 2y

yc

y >n2y

1n

y = yn1 c

n2y yc

S2

CRITICA FUERTE

y = yn2 c

yyn1

c

FUERTE CRITICA

423


8.7 Curva de remanso

Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimientogradualmente variado. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución dela ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de lacurva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curvade remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa comosección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo delescurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definiciónde longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decirque la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmentevariado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).

En muchos casos no es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimientogradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.

Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres métodos

- Integración gráfica

- Aproximaciones sucesivas

- Integración directa

Método de la integración gráfica

Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencialdel movimiento gradualmente variado.

Examinemos la siguiente figura

Eje hidráulico (M. G. V.)y

1y

2y

x1

x 2

x

0

424


Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que

dydydxdxxxx

y

y

x

x� 2

1

2

112

Nótese que dydx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M. G. V.

Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimientogradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre esposible.

Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que seconoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que sepresentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala acontinuación.

i) Suponer un valor para el tirante

ii) Calcular el valor correspondiente de dxdy

a partir de la ecuación general del M. G. V.

iii) Calcular dydx , que es la inversa del valor anterior.

iv) Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes

supuestos) y los valores obtenidos para dydx .

1

dydx

2

dx dy

yy

1

2y

x

dxdy

Eje hidráulico (M. G. V.)

425


El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas

dydx correspondientes a los valores de y . Luego,

Area dydydxx

y

y 2

1

Al medir esta área se tiene el valor de x .

v) Finalmente se obtendrá una curva de este tipo

dxdy

y

De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de A .

Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla

dydx

y A P R K Z A xdydx

Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro,

radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, suinversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x .

Por último se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso.

426


Método de subdivisión en tramos

Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.

En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x en el que

aparecen las secciones 1 y 2.

1g2

V12

SE

WS2V

2 g2

2

h =f

1y y

2S0

S x0

S xE

xz1

2zPlano de referencia

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso

Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

xSg

Vyg

VyxS E⌡⌡⌡⌡22

22

22

21

110

de donde,

EEESSx E �� 120

y por lo tanto,

ESSEx�

0

El valor de ES se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de

Manning

427


34

22

R

VnSE

Para un tramo (de longitud x ) el valor de ES es el promedio de los respectivos valores de

ES al principio y al final del tramo.

Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxydeterminado por la condición de entrega al lago.

El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirantealcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casostípicos).


miny determinado por la grada.

Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente

del valor extremo al normal.

Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular

M. G. V.

ny Lagomaxy y

nyymin

x = 0y = ymin

M. G. V.

y

428


A : Area (en función de la geometría de la sección)

R : Radio hidráulico PAR

V : Velocidad media AQV

Vh : Energía de velocidad gVhV 2

2

E : Energía específicag

Vy2

2

⌡

E : Diferencia de energía específicaentre dos secciones 12 EEE � ó ( 21 EE � )

ES : Pendiente de la línea de energíaen esa sección

2

32RVnSE

ES : Pendiente media de la línea de energía

para un tramo dado2

21 EEE

SSS

⌡

x : DistanciaESS

Ex�

0

Acumulando los valores de x se obtiene la distancia desde el origen escogido.

Metodo de la integración directa

En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanentegradualmente variado (8-17) es

2

2

0

1

1

�

�

ZZKK

Sdxdy

c

n

Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimientode Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.

429


En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadradodel factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir

NycK 12 (8-23)

1c es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo delmovimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación.

Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene

NycK 1lnln2

Derivando con respecto a y se llega a

N

N

ycdydyNyc

dyKd

1

11ln2

�

De donde,

y

Ndy

Kd2

ln (8-24)

Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es

nARK

32

tal como aparece en la ecuación 8-10.

Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene

n

ARK32

lnln

Derivando con respecto a y se llega a

dydA

AdydR

RdyKd 11

32ln ⌡

Introducimos ahora, las conocidas expresiones,

(ec. 7-9) TdydA

430


(ec. 1-8)PAR

y se obtiene,

AT

dydR

RdyKd ⌡ 1

32ln

Pero,

PdydPRT

dyPAd

dydR

�

Reemplazando se llega a

AT

PdydPRT

RdyKd ⌡

� 1

32ln

�dydPRT

AdyKd 25

31ln

Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene

�dydPRT

AyN 25

31

2

De donde,

�dydPRT

AyN 25

32

(8-25)

que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal.

Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que

⌡⌡

⌡�

⌡

⌡

byz

byz

byz

byz

N2

2

121

1

38

1

21

310 (8-26)

siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

431


Para el caso particular de una sección rectangular ( 0z ) se obtiene

⌡�

by

by

N213

83

10(8-27)

Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación by es muy pequeña y tiendea cero, con lo que

310N (8-28)

Se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de

sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante

MycZ 22 (8-29)

M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus característicasse establecen a continuación

Tomando logaritmos

MycZ 2lnln2

Derivando con respecto a y ,

dydy

yM

dyZd ln2

se llega a

y

Mdy

Zd2

ln (1)

Pero, TAZ 3 (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con

respecto a y se obtiene

dydT

TAT

dyZd

21

23ln � (2)

Igualando (1) y (2) se obtiene

�dydT

TAT

AyM 3 (8-30)

432


que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal.

Para un canal trapecial,

⌡⌡

⌡�⌡

byz

byz

byz

byz

byz

M121

122132

(8-31)

siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

Para el caso particular de una sección rectangular ( 0z ), se obtiene

3M (8-32)

Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variadose considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente

NycK 12

Nn ycK 12

MycZ 22

Mc ycZ 22

Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene

Mc

Nn

yy

yy

Sdxdy

�

�

1

1

0(8-33)

que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquiersección transversal, en función de los exponentes hidráulicos.

Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza 310N (ec. 8-28) y 3M (ec. 8-32)se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para uncanal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18,previamente establecida.

Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirantenormal ny existe la relación u , se tiene

433


nyyu (8-34)

Como se recuerda, si u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que1 se trata de corrientes deprimidas.

Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a

Mc

N

yyuS

dxdy

�

�

1

110

De acá se obtiene

duu

uyy

uSydx N

MNM

n

cN

n

�⌡

��

�

1111

0

Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el

tramo considerado. Luego,

cduu

uyy

uduu

Syx

u

N

MNM

n

cu

Nn ⌡

�⌡

��

�

000 11 (8-35)

Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven TeChow la denomina función del flujo variado y la representa como

�

u

NuduNuF

0 1, (8-36)

Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar

JN

uv (8-37)

siendo

1⌡�

MNNJ (8-38)

Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así

JvFNJ

vdv

NJdu

uu v

J

u

N

MN

,11 00

�

�

�

(8-39)

434


De donde,

�

v

JvdvJvF

0 1, (8-40)

Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a

cJvFNJ

yyNuFu

Syx

M

n

cn ⌡⌡� ,,0

(8-41)

Ven Te Chow usa la siguiente notación,

⊕ ℘ cJvFBNuFuAx ⌡⌡� ,, (8-42)

siendo,

0SyA n

NJ

yyB

M

n

c

nyyu

JN

uv

1⌡�

MNNJ

A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dossecciones 1 y 2, de modo que

⊕ ℘ ⊕ ℘∞ ≤,,,, 12121212 JvFJvFBNuFNuFuuAxxxL �⌡�� (8-43)

Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy

o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.)y del tirante.

A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular

435


el valor correspondiente del exponente hidráulico N .

Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango devariación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentessecciones transversales.

Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unastablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durantemuchos años. Más tarde se recalcularon para 4,58,2 N y fueron publicadas porBakhmettef en 1932.

La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores deN comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se hatomado.

En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a lafunción NuF , . La Tabla 8.2 sirve también para la función JvF , reemplazando u por vy N por J .

Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicasde la sección transversal.

El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente

1. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) ydeterminar el tirante normal ny

2. Calcular el tirante crítico cy

3. Se supone que para un tramo determinado ( x ) los exponentes hidráulicos N y M son

constantes. Se calcula N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, oalguna de sus simplificaciones)

4. Se calcula J , con la ecuación 8-38

5. Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valoresde u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)

6. Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene NuF , , ingresando con los valores previamentecalculados de u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.

7. Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene JvF , , ingresando con los valores de v y de Jpreviamente calculados

8. Se calcula la longitud x correspondiente mediante la ecuación 8-43

436


TABLA 8.2FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS

(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS

�

u

NuduNuF

0 1,

Nu 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,202 0,223 0,244 0,265 0,286

0,307 0,329 0,351 0,372 0,395

0,418 0,442 0,465 0,489 0,514

0,539 0,565 0,592 0,619 0,648

0,676 0,691 0,706 0,722 0,738

0,754 0,771 0,787 0,804 0,822

0,840 0,858 0,878 0,898 0,918

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,201 0,222 0,243 0,263 0,284

0,305 0,326 0,348 0,369 0,392

0,414 0,437 0,460 0,483 0,507

0,531 0,557 0,582 0,608 0,635

0,663 0,678 0,692 0,707 0,722

0,737 0,753 0,769 0,785 0,804

0,819 0,836 0,855 0,874 0,892

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,181

0,201 0,221 0,242 0,262 0,283

0,304 0,325 0,346 0,367 0,389

0,411 0,433 0,456 0,479 0,502

0,525 0,550 0,574 0,599 0,626

0,653 0,667 0,680 0,694 0,709

0,724 0,738 0,754 0,769 0,785

0,802 0,819 0,836 0,854 0,868

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,201 0,221 0,241 0,262 0,282

0,303 0,324 0,344 0,366 0,387

0,408 0,430 0,452 0,475 0,497

0,521 0,544 0,568 0,593 0,618

0,644 0,657 0,671 0,684 0,698

0,712 0,727 0,742 0,757 0,772

0,787 0,804 0,820 0,837 0,854

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,221 0,241 0,261 0,282

0,302 0,323 0,343 0,364 0,385

0,407 0,428 0,450 0,472 0,494

0,517 0,540 0,563 0,587 0,612

0,637 0,650 0,663 0,676 0,690

0,703 0,717 0,731 0,746 0,761

0,776 0,791 0,807 0,823 0,840

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,241 0,261 0,281

0,302 0,322 0,343 0,363 0,384

0,405 0,426 0,448 0,470 0,492

0,514 0,536 0,559 0,583 0,607

0,631 0,644 0,657 0,669 0,683

0,696 0,709 0,723 0,737 0,751

0,766 0,781 0,796 0,811 0,827

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,261 0,281

0,301 0,322 0,342 0,363 0,383

0,404 0,425 0,446 0,468 0,489

0,511 0,534 0,556 0,579 0,603

0,627 0,639 0,651 0,664 0,677

0,689 0,703 0,716 0,729 0,743

0,757 0,772 0,786 0,802 0,817

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,281

0,301 0,321 0,342 0,362 0,383

0,403 0,424 0,445 0,466 0,488

0,509 0,531 0,554 0,576 0,599

0,623 0,635 0,647 0,659 0,672

0,684 0,697 0,710 0,723 0,737

0,750 0,764 0,779 0,793 0,808

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,301 0,321 0,341 0,362 0,382

0,403 0,423 0,444 0,465 0,486

0,508 0,529 0,551 0,574 0,596

0,620 0,631 0,643 0,655 0,667

0,680 0,692 0,705 0,718 0,731

0,744 0,758 0,772 0,786 0,800

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,300 0,321 0,341 0,361 0,382

0,402 0,423 0,443 0,464 0,485

0,506 0,528 0,550 0,572 0,594

0,617 0,628 0,640 0,652 0,664

0,676 0,688 0,701 0,713 0,726

0,739 0,752 0,766 0,780 0,794

437


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

�

u

NuduNuF

0 1,

Nu 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

0,985 0,990 0,995 0,999 1,000

1,001 1,005 1,010 1,015 1,020

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

1,08 1,09 1,10 1,11 1,12

1,13 1,14 1,15 1,16 1,17

0,940 0,961 0,985 1,007 1,031

1,056 1,083 1,110 1,139 1,171

1,201 1,238 1,272 1,314 1,357

1,401 1,452 1,505 1,564 1,645

1,737 1,833 1,969 2,055 2,164

2,294 2,477 2,792 3,523

3,317 2,587 2,273 2,090 1,961

1,779 1,651 1,552 1,472 1,404

1,346 1,295 1,250 1,209 1,172

1,138 1,107 1,078 1,052 1,027

0,913 0,933 0,954 0,976 0,998

1,022 1,046 1,072 1,099 1,129

1,157 1,192 1,223 1,262 1,302

1,343 1,389 1,438 1,493 1,568

1,652 1,741 1,866 1,945 2,045

2,165 2,333 2,621 3,292

2,931 2,266 1,977 1,807 1,711

1,531 1,410 1,334 1,250 1,195

1,139 1,089 1,050 1,014 0,981

0,950 0,921 0,892 0,870 0,850

0,890 0,909 0,930 0,950 0,971

0,994 1,017 1,041 1,067 1,094

1,121 1,153 1,182 1,228 1,255

1,294 1,338 1,351 1,435 1,504

1,582 1,665 1,780 1,853 1,946

2,056 2,212 2,478 3,097

2,640 2,022 1,757 1,602 1,493

1,340 1,232 1,150 1,082 1,026

0,978 0,935 0,897 0,864 0,833

0,805 0,780 0,756 0,734 0,713

0,872 0,890 0,909 0,929 0,949

0,970 0,992 1,015 1,039 1,064

1,091 1,119 1,149 1,181 1,216

1,253 1,294 1,340 1,391 1,449

1,518 1,601 1,707 1,773 1,855

1,959 2,106 2,355 2,931

2,399 1,818 1,572 1,428 1,327

1,186 1,086 1,010 0,948 0,896

0,851 0,812 0,777 0,746 0,718

0,692 0,669 0,647 0,627 0,608

0,857 0,874 0,892 0,911 0,930

0,950 0,971 0,993 1,016 1,040

1,065 1,092 1,120 1,151 1,183

1,218 1,257 1,300 1,348 1,403

1,467 1,545 1,644 1,707 1,783

1,880 2,017 2,250 2,788

2,184 1,649 1,419 1,286 1,191

1,060 0,967 0,896 0,838 0,790

0,749 0,713 0,681 0,652 0,626

0,602 0,581 0,561 0,542 0,525

0,844 0,861 0,878 0,896 0,914

0,934 0,954 0,974 0,996 1,019

1,043 1,068 1,095 1,124 1,155

1,189 1,225 1,266 1,311 1,363

1,423 1,497 1,590 1,649 1,720

1,812 1,940 2,159 2,663

2,008 1,506 1,291 1,166 1,078

0,955 0,868 0,802 0,748 0,703

0,665 0,631 0,601 0,575 0,551

0,529 0,509 0,490 0,473 0,458

0,833 0,849 0,866 0,883 0,901

0,919 0,938 0,958 0,979 1,001

1,024 1,048 1,074 1,101 1,131

1,163 1,197 1,236 1,279 1,328

1,385 1,454 1,543 1,598 1,666

1,752 1,873 2,079 2,554

1,856 1,384 1,182 1,065 0,982

0,866 0,785 0,723 0,672 0,630

0,595 0,563 0,536 0,511 0,488

0,468 0,450 0,432 0,417 0,402

0,823 0,839 0,855 0,872 0,889

0,907 0,925 0,945 0,965 0,985

1,007 1,031 1,055 1,081 1,110

1,140 1,173 1,210 1,251 1,297

1,352 1,417 1,501 1,554 1,617

1,699 1,814 2,008 2,457

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444



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u

NuduNuF

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0,000 0,000 0,000

445


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

⌡

�

u

NS uduNuF

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446


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

⌡

�

u

NS uduNuF

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1,001 1,005 1,009 1,014 1,016

1,020 1,029 1,035 1,041 1,047

1,052 1,057 1,061 1,065 1,068

1,071 1,076 1,080 1,084 1,087

1,090 1,092 1,094 1,096 1,098

1,099 1,103 1,106 1,108 1,110

1,111 1,111 1,111 1,111 1,111

0,978 0,986 0,992 0,996 1,000

1,004 1,008 1,013 1,016 1,019

1,021 1,029 1,035 1,040 1,046

1,051 1,055 1,059 1,060 1,064

1,068 1,071 1,073 1,079 1,081

1,083 1,085 1,087 1,088 1,089

1,090 1,093 1,097 1,098 1,099

1,100 1,100 1,100 1,100 1,100

0,985 0,990 0,995 0,999 1,003

1,006 1,010 1,014 1,017 1,020

1,022 1,029 1,034 1,039 1,043

1,047 1,051 1,054 1,057 1,059

1,062 1,065 1,068 1,071 1,073

1,075 1,076 1,077 1,078 1,079

1,080 1,082 1,084 1,085 1,085

1,085 1,086 1,086 1,086 1,086

0,991 0,995 0,999 1,002 1,006

1,009 1,012 1,016 1,018 1,020

1,022 1,028 1,032 1,036 1,039

1,042 1,045 1,047 1,049 1,051

1,053 1,056 1,058 1,060 1,061

1,062 1,063 1,063 1,064 1,065

1,065 1,066 1,067 1,067 1,068

1,068 1,068 1,068 1,068 1,068

0,994 0,997 1,001 1,005 1,008

1,011 1,014 1,016 1,018 1,020

1,022 1,028 1,030 1,034 1,037

1,039 1,041 1,043 1,045 1,046

1,047 1,049 1,050 1,051 1,052

1,053 1,054 1,054 1,054 1,055

1,055 1,055 1,056 1,056 1,056

1,056 1,056 1,056 1,056 1,056

451



(Capítulo VIII)

1. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre.En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como seaprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerandodos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.

2. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se colocaun vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C deChezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero.¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?.

3. Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en elfondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirantecorrespondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en unasección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.

4. Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3/s. Lapendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028.Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en ladesembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay mareabaja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirantenormal. Calcular la curva de remanso en cada caso.

5. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n de Kutteres 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3/s.a) Calcular el tirante normalb) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al

colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.

yn

452


6. Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave yredondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concretocon n =0,013 es recto y largo. La pendiente es 0S =0,001. Calcular el caudal y el tipo de perfilsuperficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.

7. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son lossiguientes

Cota del fondo del canal en la desembocadura 575,80 m

Cota del fondo del canal en su iniciación 575,85 m

Longitud del canal 275,00 m

Ancho del canal 8,00 m

Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0,014

Gasto en el canal 5,0 m3/s

Nivel del agua en el río 576,80 m

Calcular

a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal

b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal

c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en elcanal.

S0

H

575,85 m

575,80 m

576,80 m

453


8. Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las

siguientes

9. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro quetiene un tirante de 0,60 m.

10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay unvertedero que eleva la corriente a 1,20 m de profundidad. Existe una compuerta de fondo a 300m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de profundidad.El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2/s y el tirante normal es 0,90 m.

Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo yel vertedero.

Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura?. Indicar igualmente lostipos de curva y sus características.

b

T

T = 12 m

b = 5 m2

1

455

VertederosCapítulo IX

CAPITULO IXVERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contornoabierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal orío, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el ríoo canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, ocuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular.

En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .

En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudalesy b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal.Estas funciones no son excluyentes.

Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivode medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños.

También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un ciertonivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.

En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras deingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan lafunción de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que midencaudales.

Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por losniveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación conrespecto a la corriente y por otras circunstancias.

456


457


Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederoses necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga pororificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos.

Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en laFigura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado(M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencialen energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmentevariado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección seencuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que estadistancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamenteaguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.

Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal quepasa por la cresta, medida en la sección AB.

En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que esla distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.

Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea.

En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napavertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presiónes igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente aesas condiciones (chorro libre).

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( HP )

phV

p

Vh

H

P

458


En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, segúnFranke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero

( HP ).

Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacioantes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas deaire que garantizan la comunicación con la atmósfera.

Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastanteconstantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Este es el caso deseable enun vertedero.

TABLA 9.1

COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( HP )

P > H

Hx

1,00

z

z z

x PARTE INFERIOR

PARTE SUPERIOR

x PARTE INFERIOR

PARTE SUPERIOR

- 3,00

- 2,00

- 1,00

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

-

-

-

- 0,125

- 0,035

- 0,005

0

- 0,010

- 0,030

- 0,060

- 0,105

- 0,125

1,000

0,985

0,950

0,830

0,805

0,775

0,745

0,705

0,665

0,620

0,570

0,540

0,75

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,54

1,60

1,80

2,00

2,50

3,00

- 0,125

- 0,155

- 0,210

- 0,270

- 0,41

- 0,59

- 0,74

- 0,80

- 1,05

- 1,31

- 2,10

- 3,11

0,540

0,510

0,450

0,380

0,22

0,03

- 0,125

- 0,19

- 0,43

- 0,70

- 1,50

- 2,50

459


460


Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presiónmenor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento delvertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro sevuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.

Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor quela atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, talcomo se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente yadquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudalespequeños.

Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen aerror en la medición del caudal.

Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta

Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederosen pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.

En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, esdecir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensableque la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto

espesor. Si éste es menor que 3/2H se considera que el vertedero es en pared delgada,como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente encresta delgada.

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero enpared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

Ventilación

H23

H0,23

H0,11

H0,66

P >> H

p

H p

P

0,85 H

0,27 H0,15 H

461


En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a lacresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c seconsidera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de paredintermedia.

En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertederoen pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativasaproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracterizaporque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable parala correcta medición de caudales.

Velocidad de aproximación

Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad mediaque corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección.Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del

escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación 0V es

HPBQ

AQV

⌡0 (9-1)

siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H

entonces 0V tendería a cero.

Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética Vh cuya expresión es

gVhV 2

20 (9-2)

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet

(a) (b) (c)

462


Siendo el coeficiente de Coriolis.

Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo

Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguasabajo es inferior al de la cresta.

En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajoes superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en elescurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no essinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.

Clasificación por las condiciones laterales de descarga

Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.

Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertederoes menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contraccioneslaterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pareddel canal sea por lo menos de H3 . Es recomendable también que la altura P del umbralsea por lo menos igual a H3 , tal como se ve en la Figura 9.1.

Naturalmente que si LB es un vertedero sin contracciones laterales.

Clasificación de los vertederos según su forma

Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como seobserva en la Figura 9.6.

Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento

El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguasarriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguasabajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumentacon la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría locontrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

463


Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos

(a) Rectangular (b) Triangular (c) Trapecial

(d) Circular (e) Parabólico

(f) Parábola semicúbica (g) Mixto

(h) Hiperbólico (i) Proporcional

464


Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente

Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.

Otros tipos de vertederos

Existen otros tipos de vertederos como

- Desarrollados- Abatibles- Inflables- Laterales- Morning Glory, etc.

Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente

B L

(a) (b) (c)

H

465


Figura 9.9 Otros tipos de vertederos

Vertedero de planta circular

Vertedero proporcionalEl caudal es proporcional a la

carga H

Combinación de orificio y vertedero

Vertedero desarrollado Vertedero Inflable

cámara inflable

466


9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertederorectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredeshay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en lafigura.

2Vg

20

h2

h1

yL

dy

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular

Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de áreaelemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal

VLdyVdAdQ

siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema

de Bernoulli y se obtiene

⌡g

VygV2

22

0

Por lo tanto,

Ldyg

VygdQ ⌡2

22

0

467


Integrando se obtiene el caudal a través del orificio

Lg

Vhg

VhgQ ⌡�⌡23

20

2

23

20

1 222

32

Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2h = 0. Si, además,llamamos H a 1h , que es la carga, se tiene

Lg

Vg

VHgQ �⌡23

20

23

20

222

32

(9-3)

que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta lafricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, paraobtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es

Lg

Vg

VHcgQ �⌡23

20

23

20

222

32

(9-4)

El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.

Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña quepudiese despreciarse, entonces, para 0V = 0 se obtiene la descarga teórica

23

232 LHgQ (9-5)

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a

23

232 cLHgQ (9-6)

gV

h2

20

1 ⌡

gV

h2

20

2 ⌡

Ldyg

Vy21

20

2⌡gQ 2

468


que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidadde despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la queestemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal deaproximación es mayor que LH8 entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación.

Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longituddel vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.

La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerososestudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero dependede varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades delfluido, etc.

Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga sehan desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, uncampo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados.

La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro delos límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia lascaracterísticas generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.

Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversoscaminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras seintroduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados enfenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica.

En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sincontracciones y con contracciones laterales.

De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), Kindsvater-Carter (1959).

Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos VhgV 220 y tomamos factor común

H , entonces se obtiene

�⌡23

23

23

1232

Hh

HhLHgQ VV

(9-7)

si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente dedescarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

469


23

23

1 �⌡Hh

Hh VV (9-8)

9.3 Fórmula de Francis

James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederosrectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficientede descarga.

Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadascondiciones, las que constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga queobtuvo.

La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sinembargo, experimentó también con otras longitudes.

En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyenlos límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral Pesté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación HL / seamayor que 3.

La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación 0V y la posibilidad de

contracciones laterales.

La fórmula de Francis es

�⌡�23

20

23

20

2210622,02

32

gV

gVHnHLgQ (9-9)

En el sistema métrico se considera

84,1836,1622,0232 g (9-10)

Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 esdimensional.

En el sistema de unidades inglesas se tendría

470


33,3622,0232 g (9-11)

En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así

�⌡�23

20

23

20

221084,1

gV

gVHnHLQ (9-12)

en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H enmetros, la velocidad de aproximación 0V en m/s. Se designa como n el número decontracciones (0, 1, 2).

Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones esel de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del

vertedero. Aparece así una longitud efectiva �10nHL en función del número n de

contracciones. Obsérvese que si HL 2,0 aparecería cero o un valor negativo para el caudal.

Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse,entonces 0V = 0 y la fórmula de Francis queda así

23

1084,1 HnHLQ � (9-13)

Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces 0n y la fórmula de Francis

quedaría reducida a

23

84,1 LHQ (9-14)

Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método detanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular 0V se requiere conocer lacarga H .

Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendoque la velocidad 0V de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con esevalor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidosy se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.

471


Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograraproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar acargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendríaresultados menores que los reales.

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares

a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly

En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmulapara calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.

En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para elcálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sinellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmulade Bazin-Hégly.

La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes están entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura delumbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m.

La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero

23

232 cLHgQ

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es

⌡⌡⌡��

22

55,0100405,0045,06075,0PH

HBL

HBLBc (9-15)

en la que B es el ancho del canal.

Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces LB y el coeficiente de descarga sería

⌡⌡⌡

2

55,0100405,06075,0PH

HH

c (9-16)

472


b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos

Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero

23

232 cLHgQ

En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no.

El coeficiente c para un vertedero con contracciones es

⌡⌡

⌡

�⌡⌡

2

2

2

211

6,11000

3615,3037,0578,0

PHH

BL

HBL

BLc

(9-17)

B es el ancho del canal.

Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederosrectangulares con contracciones son

80,0025,0 HBL

m

BL 30,0 m

BP 30,0

1PH

El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es

⌡⌡

⌡⌡

2

211

6,1100011615,0

PHH

Hc (9-18)

La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son

0,025 m H 0,80 m

473


P 0,30 m

PH

1

c) Fórmula de Kindsvater - Carter

Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de1959.

La fórmula es

23

232

HLe KHKLgcQ ⌡⌡ (9-19)

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, quees la suma de la longitud L del vertedero más un valor LK que se encuentra a partir de unaexpresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. HK es un valor iguala 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ec es el coeficientede descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.

Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.

La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga.

El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm deespesor.

0

L0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK

0

L0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

474


El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la crestadel vertedero.

La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.

La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.

La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.

Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( BL ), entonces no hay contracciones,

pero debe cumplirse que 2,0� LB m

Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.

Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cadaextremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones decontracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción.

Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podríanusarse.

Fórmula de Francis

Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contraccionesno velocidad de acercamiento importante

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

H0,5

P

0 1 1,5 2,52

ISO (1980) LMNO

00,4

0,6

0,7

0,8

0,9

= 1LB

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

475


ΙΙ 23

23

50,0284,184,1 LHQ 1,301 m3/s

Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( 0n ; 00 V ). A partir del

caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)

108,026

301,10

Ι

⌡

HPBQ

AQV m/s

Aplicando la ecuación 9-2, para 1 , se obtiene

0006,02

20 g

VhV m

Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12

�⌡� 23

23

1084,1 VV hhHnHLQ

�⌡Ι� 23

23

0006,00006,050,010

50,02284,1Q

238,1Q m3/s

Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no habíacontracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculode la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tanpequeña no vale la pena hacerlo.

Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces

236,150,09,184,110

84,1 23

23

ΙΙ� HnHLQ m3/s

103,012236,1

0 V m/s

0005,02

20 g

VhV

238,10005,00005,050,09,184,1 23

23

�⌡ΙQ m3/s

476


Por lo tanto según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficientede descarga con la ecuación 9-8 se obtendría

0015,150,0

0005,050,0

0005,01123

23

23

23

�⌡�⌡Hh

Hhc VV

que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s

Fórmula de Bazin

El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15

⌡⌡⌡��

22

55,0100405,0045,06075,0PH

HBL

HBLBc

reemplazando los valores conocidos se obtiene

⌡⌡⌡��

22

50,150,050,0

6255,01

50,000405,0

626045,06075,0c

588,0c

y el gasto es

227,1232 2

3

LHgcQ m3/s

Fórmula de la Sociedad Suiza

Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17

⌡⌡

⌡

�⌡⌡

2

2

2

211

6,11000

3615,3037,0578,0

PHH

BL

HBL

BLc


⌡⌡

�⌡⌡

2

2

2

00,250,0

62

211

6,11000623615,3

62037,0578,0

Hc

477


De donde,

595,0c

El caudal es

242,150,02595,02322

32

23

23

ΙΙΙ gcLHgQ m3/s

1,756

Fórmula de Kindsvater

Se aplica la ecuación 9-19

23

232

HLe KHKLgcQ ⌡⌡

HK es 0,001 m. Para el cálculo de LK se usa la Figura 9.11 y a partir de 33,0BL se obtiene

LK = 0,025 m.

Para el cálculo de ec se usa la Figura 9.12 y para 33,0PH se obtiene ec = 0,59

Por lo tanto,

237,1001,050,00025,0223259,0 2

3

⌡⌡ gQ m3/s

CUADRO COMPARATIVO

INVESTIGADOR Q (m3/s) (m3/s) %

Francis 1,238 + 0,002 0,16 %

Bazin 1,227 - 0,009 0,73 %

Sociedad Suiza 1,242 + 0,006 0,48 %

Kindsvater 1,237 - 0,001 0,08 %

Promedio 1,236 0 0

Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada unade ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio soninferiores al 1 %.

478


d) Fórmula de Rehbock

Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica deKarlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechasy trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.

La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pareddelgada sin contracciones es

23

0011,0100009,00813,06035,0 ⌡⌡⌡HPP

Hc (9-20)

H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.

Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.

9.5 Vertederos triangulares

Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura

Consideremos el gasto a través de

la pequeña franja elemental dx .

La longitud de la franja es

H

xHb �

El área de la franja es

dxH

xHb �

Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación seobtiene el caudal

dxxHxgHbdxgxxH

HbdQ �� 2

121

22

Integrando entre 0x y Hx se obtiene

2

b

dx H

x

479


23

2154 HgbQ

Pero, tan2Hb , de donde

25

2tan158 HgQTEORICO (9-21)

25

2tan158 HgcQREAL (9-22)

La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente cconstante puede expresarse así

25

KHQ

siendo,

gcK 2tan158

La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de lafórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si estánpresentes en el flujo real.

Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétricoes considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es

tanyx

dy H

y

de donde, el caudal es

�H

ydyyHcgQ0

21

tan22

integrando se obtiene

480


25

tan2158 HcgQ

que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.

De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas.La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.

Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respectoa la vertical fuesen 1 y 2 se puede considerar el promedio respectivo.

Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descargadepende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición decaudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influenciade la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho delcanal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.

HB 5 (9-23)

A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, queliberalmente significa escotadura en V .

Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a laexactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y lacapilaridad.

El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y lacarga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.

En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo envertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica deDominguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor dela carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,

mc8

15

El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los erroresno son superiores al 5 %.

481


Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo elcoeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de uncierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminucióndel coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeñosea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamenteconstantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas sonpara cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2

TABLA 9.2

COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES

ANGULO ( 2 ) 15º 30º 45º 60º 90º 120º

H 0,25 0,205 0,185 0,17 0,14 0,12

m 0,343 0,33 0,325 0,32 0,313 0,322

c 0,643 0,619 0,609 0,6 0,587 0,604

K 0,2 0,392 0,596 0,818 1,386 2,471

CRUZ COKE Y MOYA

H

MIGUEL Y FIGARIotros ángulos120º

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,25

0,30

0,35

0,40m

15º2

30º45º

90º120º 60º

482


Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un ciertoángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así,se tendría

Para 15º 25

2,0 HQ (para 25,0H m)

Para 30º 25

392,0 HQ (para 205,0H m)

Para 45º 25

596,0 HQ (para 185,0H m)

Para 60º 25

818,0 HQ (para 17,0H m)

Para 90º 25

386,1 HQ (para 14,0H m)

Para 120º 25

471,2 HQ (para 12,0H m)

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que º902 º45y el gasto teórico es

25

25

3612,22158 HHgQT (9-24)

James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida sufórmula para vertederos triangulares de º902 . Sus experimentos abarcaron cargas entre5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula deThomson podía extenderse hasta 30H cm. La fórmula es

25

2158593,0 HgQ

o bien,

25

4,1 HQ

que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y elcaudal Q en m3/s.

A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula

48,237,1 HQ

que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de1 %.

Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de uncierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.

483


9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga.

Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformadapor tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Seobtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es

25

223

1 tan21582

32 HgcLHgcQ ⌡

H

L

Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descargapara este caso. Balloffet señala que es frecuente considerar 6,021 cc , a pesar de la faltade justificación teórica o experimental.

En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,cuyas características se señalan a continuación.

Vertedero de Cipolletti

Es un vertedero trapecial dedeterminadas característicasgeométricas.

El gasto se considera formado de dospartes

- Una parte a través de la aberturarectangular.

- Otra parte a través de lostriángulos.

L

H

d

d2

484


Por consideraciones geométricas se cumple que

Hdtan

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos seaprecisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertederorectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es

23

2158 HgdQ

La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene apartir de una fórmula tipo Francis

23

2,0232 HHgQ

Igualando

23

23

2,02322

158 HHgHgd

se obtiene

14

dH

Es decir, 41tan que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica '2º14 .

Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletties 0,63.

El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitudL , sin contracciones

23

23263,0 LHgQ

L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico

23

86,1 LHQ

Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a 3L . La altura P del umbral debeser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b , señalada en la

485


Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal deaproximación debe estar comprendido entre H30 y H60 . La carga debe medirse a unadistancia de 4 H del vertedero.

L

0,25

1

P

B

b

H

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti

La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizocon la fórmula Francis.

El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otrossistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso enlaboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el

error puede ser ο 5 %.

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos

Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condicionesindispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes

1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudalescon un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, unvertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que enellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medircaudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría serel más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en elcálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.

486


2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existennumerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango deaplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una altaaproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos deexperimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa.

3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendacionesde carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las queaparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de larecomendación de varios investigadores.

H

H>3>3H>3H

H>3

L

P

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuentapara instalar un vertedero rectangular con contracciones.

Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredesdel canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero.En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.

4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. Elvertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente.

Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.

El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debemantenerse lisa.

El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior

a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.

487


5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima cargasobre el vertedero.

6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal

del canal de aproximación ⊕ ℘PHB ⌡Ι debe ser por lo menos igual a 6, o mejor

8 veces, la sección de la napa vertiente LH .

7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamenteaireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuesenecesario, debe instalarse dispositivos de aireación.

8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarseelementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrilloshuecos, mallas, etc.

9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, medianteuna toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia deaproximadamente cuatro veces la carga ( H4 ) de modo que no haya influencia delmovimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampocose debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces apareceríala influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.

10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan enla napa.

11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antesseñaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,

plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las

condiciones de aguas abajo.

Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b dela cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

Hb32

(9-25)

puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (verFigura 9.4) o de pared intermedia.

488


2Vg

20

y

P

b

Hg2

2VH =

cy =

Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa

Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de H15

En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico

de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es gVH 220⌡ , la que debe ser

igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y queel coeficiente de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

gVy

gVH

22

220 ⌡⌡

siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta y H la diferencia de energía

correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es

�⌡ yg

VHgV2

22

0

Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( 1F ). En la seccióncorrespondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico 1F . Enalgún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.

489


El flujo sobre el vertedero es crítico cyy . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del

vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía.

Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces

⌡g

VHyy c 232 2

0(9-26)

Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es

�⌡⌡ cc yg

VHgg

VHLVByQ2

223

2 20

20

cy VDe donde,

23

23

13,3 cc yLyLgQ (9-27)

Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba

23

20

23

22

32 ⌡

gVHLgQ

Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente,entonces el gasto teórico es

232

3

32 LHgQ (9-28)

En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es

23

7,1 LHQ (9-29)

En el sistema ingles sería

490


23

09,3 LHQ (9-30)

Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descargac . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores

23

7,1 LHcQ (9-31)

George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones delborde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.

Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, lascondiciones de cálculo serían diferentes.

TABLA 9.3COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA

EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c

BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,09 a 0,50

0,25 a 1,50

0,15 a 0,45

1,42 a 1,61

1,55

1,53 a 1,57

BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,06 a 0,45

0,27 a 1,50

0,15 a 0,45

1,33 a 1,45

1,31 a 1,38

1,44 a 1,45

(Todas las dimensiones en metros)

9.9 Vertederos laterales

Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes(taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, sonaliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.

En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud Lpracticado en un canal con flujo subcrítico ( 1F )

491


h0

H0 H1

h1h

HQ0 QP

L

i

Q1

Q0

Q

1Q

x

Figura 9.17 Vertedero lateral

Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo

caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero

y el umbral P . El caudal inicial en el canal es 0Q . El caudal que pasa por el vertedero es Qy el caudal remanente es 1Q . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiereeliminar del canal.

10 QQQ �

0V es la velocidad correspondiente al caudal 0Q y 1V lo es del caudal 1Q , 0H es la cargaen el punto inicial del vertedero y 1H , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de unrégimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde 0H hasta 1H en el punto final delvertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energíaes constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguientededucción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

492


a la distancia x del punto inicial es

xL

HHHH 010

�⌡ (9-32)

El gasto es

dxxL

HHHgcQL 2

3

0

0102

32 �⌡ (9-33)

De donde,

01

25

025

1215 HH

HHLgcHQ�� (9-34)

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio

de Francis es 10nHL � . Si el vertedero es muy largo, más de H10 , puede despreciarse el

efecto de las contracciones.

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error enla medición de la carga

a) Vertedero rectangular

La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es

23

KHQ

La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior

21

5,1 KHdHdQ

de donde,

dHKHdQ 21

5,1

comparando con el gasto se obtiene,

HdH

QdQ 5,1 (9-35)

493


Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en elcálculo de Q .

b) Vertedero triangular

La ecuación de descarga de un vertedero triangular es

25

KHQ

La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior

dHKHdQ 23

5,2

de donde,

HdH

QdQ 5,2 (9-36)

En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % enel cálculo de Q .

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero

El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier formay características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre seadescendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudalva disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviaderode presas.

Depósito

2H

H

H1

L

2H

H

H1

dH

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

494


En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento

de un estanque, entre los niveles 1H (nivel inicial) y 2H (nivel final). H es una carga variable

comprendida entre 1H y 2H .

Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se

puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese

constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser

dtLHgcdV 23

232

Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del

depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,

AdHdtLHgc 23

232

(9-37)

Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en

muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es queesta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, porejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esafunción matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo queel coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración

2

1

2

1 23

230 2

32

232

H

H

H

H

t

H

dH

Lgc

A

LHgc

AdHdt

Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de 2H a 1H es

�12

11

232

2HHLgc

At(9-38)

495


Obsérvese que si 2H tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerdacon la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estaríanaproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulaspara el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta cargamínima.

Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicandolas fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuandoel depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función deltiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las característicasde la información disponible.

Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La crestadel vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descargaes constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libredescienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final delintervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.

Solución.

a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene

�ΙΙΙ

Ι�20,0

105,0

1

5,026,032

5001211

232

2

12 gHHLgc

At

t = 7 576,7 segundos

b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando 00 V y sin contracción).

23

23

885,0232 HLHgcQ

Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s

Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s

c) El volumen total descargado es

22515,0503021 ΙΙ� HHA m3

496


El caudal medio es

0297,07,5767

225 Tiempo

Volumen m3

Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria seprocede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, lasprimeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2.

Se procede así

1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre 1H y 2H(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,etc.

2. Luego se calcula los correspondientes valores de H , es decir, 12 HH � paracada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).

3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es 2121 HH ⌡

(columna 3).

4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4).

5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversalcorrespondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga(columna 5).

6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entreel volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).

7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.

TABLA 9.4

EJEMPLO 9.2

1 2 3 4 5 6 7

H H H Q Volumen t t

0,19

0,18

0,17

0,01

0,01

0,01

0,195

0,185

0,175

0,0762

0,0704

0,0648

15

15

15

196,9

213,0

231,5

196,9

409,9

641,4

etc.

497


9.12 Vertedero sumergido

Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de lacresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de lascondiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que sepresente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar queun vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.

En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia ala relación que existe entre h y H .

H

h

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido

Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas elvertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para elcálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientesa un vertedero libre, razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales.

Si la relación Hh , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muypequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para

8,02,0Hh

(9-39)

498


Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajode un vertedero sumergido

Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es elDu Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos

parciales. 1Q que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se

supone que coincide con el nivel de aguas abajo y 2Q que es el que escurre por un orificiovirtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. Enconsecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es

21

20

2

23

20

23

20

1 22

222

32 �⌡⌡��⌡ h

gVHLhgc

gVh

gVHLgcQ (9-40)

1Q = vertedero libre 2Q = orificio

La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los

coeficientes 1c y 2c para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar

dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele

considerar que 62,021 cc , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útilpara los cálculos prácticos.

Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertederosumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis

23

84,1 NHLQ (9-41)

499


en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente

de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Losvalores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.

TABLA 9.5

VALORES DE N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41

Hh 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0

0,1

1,000

1,005

1,004

1,003

1,006

1,002

1,006

1,000

1,007

0,998

1,007

0,996

1,007

0,994

1,006

0,992

1,006

0,989

1,005

0,987

0,2 0,3

0,4 0,5 0,6

0,7

0,985

0,959

0,929

0,892

0,846

0,787

0,982

0,956

0,926

0,888

0,841

0,780

0,980

0,953

0,922

0,884

0,836

0,773

0,977

0,950

0,919

0,880

0,830

3,766

0,975

0,947

0,915

0,875

0,824

0,758

0,972

0,944

0,912

0,871

0,818

0,750

0,970

0,941

0,908

0,866

0,813

0,742

0,967

0,938

0,904

0,861

0,806

0,732

0,964

0,935

0,900

0,856

0,800

0,723

0,961

0,932

0,896

0,851

0,794

0,714

0,8

0,9

0,703

0,574

0,692

0,557

0,681

0,539

0,669

0,520

0,656

0,498

0,644

0,471

0,631

0,441

0,618

0,402

0,604

0,352

0,590

0,275

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica paravertederos sumergidos de diferente forma

385,0

1 1�n

HhQQ (9-42)

n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,

etc.), 1Q es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.

500


Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala unvertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre sesobreeleva en 1 m. Determinar el caudal

Solución.

H = 1,30 m

2,10 m

1,00 m

0,30 m

0,80 m

h = 0,30 m

1,10 m

gV2

20

Como no se conoce el caudal no se puede calcular 0V . Supongamos inicialmente que su valor es cero.

El gasto se obtiene a partir de la ecuación 9-38

21

23

)(262,0)(23262,0 hHLhghHLgQ �⌡�


Q = 11,35(1,30 - 0,30)3/2 + 5,11(1,30 - 0,30)1/2

11,535,11 ⌡Q

Q = 16,46 m3/s

Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación

26,110,220,6

46,160

ΙV m/s o

oo 08,0

2

20 g

V m

Q = 11,35(1 + 0,08)3/2 + 5,11(1 + 0,08)1/2

Q = 12,74 + 5,31 = 18,05 m3/s

Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene

23,030,130,0

Hh

oo

o 977,0N (Tabla 9.4)

501


77,17)38,1977,0(35,11)(84,1 23

23

Ι NHLQ m3/s

Si usamos la fórmula de Villemonte

⊕ ℘ 956,0)23,0(11 1

385,02/31

385,0

1 Ι�� QQHhQQ

n

4,1838,120,683,184,1 23

23

1 ΙΙ LHQ m3/s

59,17956,04,18 ΙQ m3/s

CUADRO COMPARATIVO

FORMULA RESULTADO

Fórmula completa

Francis – Herschel

Villemonte

18,05 m3/s

17,77 m3/s

17,59 m3/s

Promedio 17,8 m3/s

502



(Capítulo IX)

1. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la velocidadmedia, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la zona de máximacontracción.

2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener elvertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracciónsea de 0,80 m/s.

3. En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.

Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad,preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.

Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de lascontracciones.

4. En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular enpared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal. Usarvarias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados.

5. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, para queal colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m la superficie libre se sobreeleve0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda en pared delgaday que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.

¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho?. Comentar las diferencias en elcálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.

6. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C deChezy de 53 m1/2/s.

Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda la carga seríade 0,60 m.

¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comportecomo de máxima eficiencia hidráulica?.

503


7. En un canal de 1,20 m de ancho que tieneun caudal de 500 l/s se va a instalar unaplaca como la mostrada en la figura, la queda lugar a un orificio y a un vertedero. Si laplaca tiene 0,75 m de alto, calcular laabertura a del fondo para que el orificio yel vertedero descarguen el mismo caudal.

8. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado demodo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0,80m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º. Lascotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero, siel diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambosvertederos descarguen el mismo caudal?.

109,00

108,00

100,80100,00

A B

9. El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndricode 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el nivel delagua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de descargadel vertedero.

10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo

,2 gHHgHHQ

expresión en la que

H : es la carga: viscosidad cinemática

: es el ángulo del vertedero

0,75

H

a

504


Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula

5,2386,1 HQ

Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso dela fórmula práctica para medir el gasto cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemáticaes 12 veces la del agua será del 5 % por defecto.

11. Un fluido de viscosidad cinemática pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto

ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .

Demostrar por medio del análisis dimensional que

21

23

21

25

gH

gH

Q

Para el caso particular de un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por laexpresión

5,2392,0 HQ

Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad

cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.

12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión 2/56,0 HQ .

Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercutaen un error superior al 1 % al calcular el gasto.

13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

45º

0,90 m

60º0,50 m

505


14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de 0,12 m.

0,12 m

0,25 m

30º

15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

1,23 m

60ºH = 1 m

x

y

2y = x

16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.

17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es 27cHQ . Establecer la forma del vertedero

y la ecuación respectiva.

18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal.El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero triangular, sipara un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.

19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3/s. Se va a colocar un vertedero a todo loancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. Lavelocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe tener elumbral del vertedero.

507


TABLAS GENERALES

TABLA 1

TABLA DE DIMENSIONES

SISTEMA ABSOLUTO

SISTEMA GRAVITACIONAL CANTIDADES

MLT FLT

LONGITUD

AREA

VOLUMEN

TIEMPO

VELOCIDAD

VELOCIDAD ANGULAR

ACELERACIÓN LINEAL

VISCOSIDAD CINEMATICA

GASTO

MASA

FUERZA

DENSIDAD

PESO ESPECIFICO

VISCOSIDAD DINAMICA

TENSION SUPERFICIAL

MODULO DE ELASTICIDAD

PRESION

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ENERGIA (Y TRABAJO)

POTENCIA

L

L2

L3

T

LT-1

T-1

LT-2

L2 T-1

L3 T-1

M

MLT-2

ML-2 T-2

ML-1 T-1

MT-2

ML-1 T-2

ML-1 T-2

MLT-1

ML2 T-2

ML2 T-3

L

L2

L3

T

LT-1

T-1

LT-2

L2 T-1

L3 T-1

FT2 L-1

F

FT2 L-4

FL-3

FTL-2

FL-1

FL-2

FL-2

FT

LF

LFT-1

508


TABLA 2

PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA

Tabla tomada del libro de Mecánica de Fluidos Aplicada de Robert L. Mott, 1996

Temperatura

T(ºC)

Densidad

(Kg - s2/m4)

Peso específico

(Kg/m3)

Viscosidad dinámica

(Kg - s/m2)

Viscosidad cinemática

(m2/s)

0,0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

101,94

101,94

101,94

101,94

101,74

101,63

101,53

101,33

101,12

100,92

100,71

100,51

100,31

100,00

99,69

99,39

98,98

98,67

98,37

98,06

97,66

1 000

1 000

1 000

1 000

998

997

996

994

992

990

988

986

984

981

978

975

971

968

965

962

958

1,81 x 10-4

1,55 x 10-4

1,33 x 10-4

1,17 x 10-4

1,04 x 10-4

0,909 x 10-4

0,815 x 10-4

0,732 x 10-4

0,663 x 10-4

0,606 x 10-4

0,552 x 10-4

0,508 x 10-4

0,468 x 10-4

0,439 x 10-4

0,410 x 10-4

0,381 x 10-4

0,356 x 10-4

0,336 x 10-4

0,317 x 10-4

0,298 x 10-4

0,287 x 10-4

1,78 x 10-6

1,52 x 10-6

1,30 x 10-6

1,15 x 10-6

1,02 x 10-6

0,894 x 10-6

0,803 x 10-6

0,722 x 10-6

0,656 x 10-6

0,600 x 10-6

0,548 x 10-6

0,505 x 10-6

0,467 x 10-6

0,439 x 10-6

0,411 x 10-6

0,383 x 10-6

0,360 x 10-6

0,341 x 10-6

0,322 x 10-6

0,304 x 10-6

0,294 x 10-6

509


TABLA 3

CONVERSION DE UNIDADES

SUPERFICIE

1 metro cuadrado 10,76 pies cuadrados

1 metro cuadrado 1,550 pulgadas cuadradas

1 metro cuadrado 1,196 yardas cuadradas

1 metro cuadrado 2,471x10-4 acres

1 pie cuadrado 0,0929 metros cuadrados

1 acre 4,047x103 metros cuadrados

LONGITUD

1 micrón 10-6 m

1 milimicrón 10-9 m

1 Angstrom (A) 10-10 m

1 pulgada 0,0254 m

1 pie 0,3048 m

1 milla 1,609 m

1 yarda 0,9144 m

1 centímetro 0,3937 pulgadas

1 metro 39,37 pulgadas

1 metro 3,281 pies

1 metro 1,093 yardas

1 kilómetro 0,6214 millas

1 yarda 36 pulgadas

1 milla 1,760 yardas

510


VOLUMEN

1 metro cúbico 35,31 pies cúbicos

1 metro cúbico 220 galones imperiales

1 metro cúbico 264,2 galones americanos

1 galón imperial 4,546 litros

1 galón americano 3,785 litros

1 pie cúbico 2,832x10-2 metros cúbicos

MASA

1 kilogramo - masa 2,205 libras - masa

1 kilogramo - masa 6,852x10-2 slugs

1 slug 14,59 kilogramos - masa

1 libra - masa 3,108x10-2 slugs

DENSIDAD

1 gr - masa/cm3 62,43 lb - masa/pie3

1 gr - masa/cm3 1,940 slug/pìe3

1 lb - masa/pie3 0,01602 gr - masa/cm3

511


FUERZA

1 Newton 105 dinas

1 Newton 0,1020 kilogramos

1 Newton 0,2248 libras

1 kilogramo 2,205 libras

PRESION

1 atmósfera 1,013x105 Newton/m2

1,013x106 dinas/cm2

76 cm de Hg

406,8 pulgadas de agua

29,92 pulgadas de Hg

2,116 lb/pie2

14,7 lb/pulg2

1,033 kilogramos/cm2

POTENCIA

1 HP 76,04 kg - m/s

1 HP 745,7 watts

1 watt 0,1020 kg - m/s

1 watt 1,341x10-3 HP

1 watt 1 joule/s

1 HP 550 lb - pie/s

1 HP 33 000 lb - pie/minuto

512


TABLA 4

PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE(a la presión atmosférica)

Temperatura

T

(ºC)

Densidad

(gr - masa/cm3)

Viscosidad

absoluta

(dina - s/cm2)

Viscosidad

cinemática

(cm2/s)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1,293 x 10-3

1,093

0,946

0,834

0,746

0,675

0,616

0,567

0,525

0,488

0,457

1,709 x 10-4

1,951

2,175

2,385

2,582

2,770

2,946

3,113

3,277

3,433

3,583

0,1322

0,1785

0,2299

0,2860

0,3461

0,4104

0,4782

0,5490

0,6246

0,7035

0,7840

513

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