Historia de La Geometría

Maestra en Enseanza de las Ciencias

Exactas y Naturales

Historia de la geometra

Clara Helena Snchez B.

Universidad Nacional de Colombia

Qu sabes de los Elementos de Euclides?

1. De qu poca es? Dnde fue escrita? Para qu fue

escrita?

2. Qu contiene? Qu reas de la matemtica aborda?

3. Cmo est estructurada?

4. Por qu es tan importante en la historia de la

matemtica?

5. Por qu es tan importante en la historia de la cultura

occidental?

6. Qu reas de la matemtica no aborda?

7. Qu limitaciones tiene?

Qu sabes de Euclides de Alejandra?

1. Dnde y cundo naci?

2. Fuera de los Elementos escribi algo ms? Qu?

3. Qu tan original es Euclides en su obra los

Elementos?

4. Cul es el quinto postulado de Euclides?

5. Cul es el gran aporte de Euclides a la matemtica?

Los orgenes de la geometra

En geometra podemos encontrar tanto razones tericas como prcticas para justificar sus

orgenes. Las razones prcticas, segn

Herdoto, se hallan en Egipto ya que era

necesario trazar los linderos de las tierras cada

vez que el ro Nilo las inundaba. Con base en

esos linderos haba que pagar los impuestos.

Esto nos muestra la estrecha relacin que haba

entre aritmtica y geometra.

Los orgenes de la geometra

Otros como Aristteles y recientemente Seidenberg consideran que la geometra tiene un origen ritual. El primero sostena que el ocio de la clase sacerdotal haba desarrollado la geometra para construir templos y altares. A los gemetras se les llamaba tensadores de cuerdas porque las cuerdas y las estacas se usaron en las construcciones y al reconstruir las fronteras de los terrenos alteradas por los desbordamientos del Nilo.

Tales de Mileto ca. 624-548 a.C.

Los historiadores, por lo general, consideran a Tales de Mileto como el primer matemtico, en el sentido de haber sido el primero en demostrar teoremas. Se cuenta que Tales midi la altura de las pirmides de Egipto midiendo la longitud de las sombras en el momento en que la sombra proyectada por un palo vertical era igual a su altura. Con ello estaba aplicando propiedades de los tringulos semejantes.

A el se adjudican los siguientes teoremas de la geometra:

Los teoremas de Tales

1. Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

2. Todo crculo queda dividido en dos partes iguales por su dimetro.

3. Los ngulos de la base en un tringulo issceles son iguales.

4. Los ngulos opuestos por el vrtice en dos rectas que se cortan son iguales.

5. El teorema de congruencia de tringulos: ngulo, lado, ngulo.

No se sabe cmo hizo Tales las demostraciones, pero suponemos que us un mtodo emprico para demostrarlos ya que todos ellos pueden ser aceptados fcilmente de manera intuitiva.

Conflicto entre aritmtica y geometra

El primer matemtico al que se le reconoce una

demostracin con el sentido en que se entiende hoy es

Pitgoras o mejor la escuela pitagrica, al demostrar la

inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con

respecto a su lado o la de la diagonal de un pentgono

regular con respecto a su lado. Esto ocasion una

ruptura entre aritmtica y geometra, que privilegi esta ltima sobre la primera. Con ello en Grecia la geometra

adquiri el status de ciencia por excelencia, por el rigor con

que se hacan las demostraciones. Se probaban verdades.

La Academia de Platn

La importancia de la geometra en la cultura griega se ve reflejada de manera especial en la obra de Platn y los estudios en la Academia.

Nadie puede entrar aqu si no sabe geometra.

De manera particular en los dilogos de la Repblica y el Timeo se resalta esa importancia. Veamos slo unas pocas citas:

Conferimos a las ciencias matemticas el poder dialctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia. Por estas artes puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplacin del mejor de los seres: el Bien. Platn, Repblica (532c).

Timeo

Euclides de Alejandra

Poco se sabe de la vida de Euclides. Apenas que fue un

profesor de matemticas en la Escuela de Alejandra,

hacia 300 ac, y que aparentemente fue el fundador de la

ilustre escuela de matemticas. Muy posiblemente se

form en la Academia de Platn. Fue autor de al menos 10

obras, pero su prestigio se debe esencialmente a sus

Elementos. Obra que fue acogida con el mayor respeto

desde su aparicin. Muy probablemente es una excelente

recopilacin y organizacin sistemtica de trabajos de sus

predecesores, particularmente Teeteto y Eudoxio. Su

mayor mrito esta en la seleccin de sus elementos: los

principios bsicos a partir de los cuales dedujo las dems

proposiciones de tratado.

Los Elementos de Euclides

La obra cumbre de la matemtica griega la encontramos en los Elementos de Euclides; es sin duda la obra matemtica ms famosa de todos los tiempos. Con la Biblia y el Quijote tienen el record de ser las obras ms ampliamente usadas, estudiadas, y con ms ediciones en todo el mundo. . Los Elementos ejerci una enorme influencia en el pensamiento cientfico y sirvi como texto de enseanza de la geometra por ms de 2000 aos. Su importancia radica, no slo en la matemtica que all se encuentra sino en su estilo de razonamiento, el que se conoce como razonamiento al estilo geomtrico. Este ha sido tomado como modelo ideal en otras ramas de la matemtica y en otros campos del saber como la filosofa o la fsica.

Los Elementos de Euclides

El valor de la obra radica fundamentalmente en

la recopilacin y sistematizacin que Euclides

de Alejandra, ca. 300a.C, hizo de buena parte

de la matemtica de su poca; es lo que se

conoce como el mtodo axiomtico. A partir de

unas cuantas definiciones, unos postulados y

unos axiomas se demuestran las proposiciones

de la teora. En http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

se puede consultar la obra completa.

Archivo:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's

Elements.jpg Tomado de la wikipedia

Title page of Sir Henry Billingsley's first English

version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg Tomado de la wikipedia

La composicin de los Elementos

La obra est compuesta de 13 libros sobre temas de geometra, aritmtica y lgebra.

Los 13 libros contienen 467 teoremas sobre geometra plana (libros I a IV), teora de la proporcin (libros V a VI), teora de nmeros (libros VII a X) y geometra del espacio (libros XI a XIII).

Cada libro contiene definiciones y teoremas salvo el primero que contiene 5 postulados y 5 nociones comunes o axiomas. El primer libro contiene 23 definiciones y 48 teoremas, y tiene como objetivo central la demostracin del teorema de Pitgoras (T.47) y su recproco (T.48).

Los Axiomas o Nociones Comunes

Tomaremos la versin de EUCLIDES, Elementos, Biblioteca Clsica Gredos. Los axiomas son elegidos como verdades evidentes en

s mismas y comunes a todas las ciencias.

1. Las cosas iguales a una misma cosa son tambin iguales entre si.

2. Y si se aaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.

3. Y si de dos cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

4. Y las cosas que coinciden entre si son iguales entre si.

5. Y el todo es mayor que la parte.

Los Postulados

Los postulados son escogidos como verdades evidentes en si mismas especficas de una ciencia en particular en este caso la geometra.

1. Postlese el trazar una lnea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en lnea recta.

3. Y el describir un crculo con cualquier centro y distancia.

4. Y el ser todos los ngulos rectos iguales entre si.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace ngulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarn en el lado en el que estn los [ngulos] menores que dos rectos.

Los postulados

Los tres primeros postulados se conocen como herramientas euclidianas ya que son los postulados que van a permitir las construcciones geomtricas. El primero y segundo permiten trazar rectas, y el segundo trazar crculos, por eso se dice que en los Elementos encontramos construcciones con regla y comps. Pero, una regla sin marcas y un comps que se cierra al levantar las puntas del papel. Estas son herramientas tericas que no permiten las mediciones, como es el caso de la regla y el comps que generalmente usamos.

La construccin de un objeto matemtico garantizaba su existencia, no bastaba con definirlo.

Los teoremas de los Elementos

Aunque aparentemente los Elementos es un libro de geometra plana y del espacio, y como tal se le conoce, hay que resaltar que all encontramos tambin teora de nmeros y la llamada lgebra geomtrica. La razn que se aduce para esto es que la aparicin de las magnitudes inconmensurables (lase nmeros irracionales) hizo de la geometra, y no de la aritmtica, como en el caso de la escuela pitagrica, el fundamento de la matemtica. Libros como el V, que contiene la teora de las proporciones o los libros VII a X contienen un tratamiento geomtrico de la teora de los nmeros reales.

Esquema de prueba de una

proposicin En la antigedad se clasificaban las proposiciones a

demostrar en problemas y teoremas. En los primeros se trataba de construir un objeto determinado, en los segundos demostrar algunas de sus propiedades. Tanto problemas como teoremas tenan el mismo esquema de demostracin:

1. Enunciado general

2. Figura

3. Enunciado particular

4. Construccin

5. Demostracin

El teorema de Pitgoras

Difcilmente una persona medianamente educada no ha odo hablar del teorema de Pitgoras: en un tringulo rectngulo el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre su catetos. Pero, cul es su historia?

Los babilonios dejaron registradas en sus tablillas unas cuantas triplas pitagricas, esto es, triplas de nmeros (a, b, c) que cumplen la condicin a2 + b2 = c2. Pero el trabajo fue ms de tipo algebraico que geomtrico.


Son varias las demostraciones que actualmente se conocen sobre el teorema. Vase por ejemplo

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index11.htm

o

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

Nos detendremos en la que aparece en los Elementos de Euclides, pues ella nos permite entender la estructura de una obra trascendente en la historia de la humanidad, particularmente de la matemtica.


Enunciado general: En los tringulos rectngulos el cuadrado del lado que subtiende el ngulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo recto.

Enunciado particular: Sea ACB el tringulo rectngulo que tiene el ngulo recto ACB. Digo que el cuadrado sobre AB es igual a los cuadrados sobre BC y AC.

Construccin:

1. Trcese sobre BC el cuadrado BCGF.

y sobre AC el cuadrado ACDE y sobre AB el cuadrado ABKI. (T.46)

2. Trcese por C una paralela CJ a AK (T31)

3. nanse C con K y D con B.(P1)

El teorema de Pitgoras Figura

Teoremas necesarios en la demostracin

del teorema de Pitgoras

1. Construccin de tringulos equilteros (1).

2. Transporte de rectas limitadas (segmentos) (2).

3. Transporte de rectas limitadas (segmentos) en una direccin especfica

(3).

4. Primer caso de igualdad de tringulos (4).

5. Teorema del tringulo issceles (5).

6. Unicidad en la construccin de un tringulo (7).

7. Tercer caso de igualdad de tringulos (8).

8. Biseccin de un ngulo (9)

9. Biseccin de una recta limitada (10)

10. Construccin de ngulos rectos (perpendiculares) (11).

Teoremas necesarios en la demostracin del

teorema de Pitgoras

11. Una recta incidente sobre otra forma ngulos iguales a dos rectos

(13)

12. Dos rectas que con una misma recta dada determinan dos

ngulos iguales a dos rectos, estn sobre la misma lnea recta.

13. ngulos opuestos por el vrtice son iguales (15).

14. Teorema del ngulo externo (16).

15. En todo tringulo el lado mayor subtiende al ngulo mayor. (18)

16. En todo tringulo el ngulo mayor es subtendido por el lado mayor.

(19)

17. Desigualdad triangular.(20)

18. Construccin de un tringulo cualquiera (22).

19. Transporte de ngulos (23).

20. 26. Segundo caso de igualdad de tringulos (26).

Teoremas necesarios en la demostracin del

teorema de Pitgoras

21. Existencia de paralelas (27).

22. Propiedades de las paralelas (29).

23. Trazado de paralelas (31).

24. En un paralelogramo los lados y los ngulos opuestos son iguales,

y, el dimetro divide en partes iguales al paralelogramo. (34).

25. Los paralelogramos que estn sobre la misma base y entre las

mismas paralelas son iguales entre si. (35)

26. Los tringulos que estn sobre la misma base y entre las mismas

paralelas son iguales entre si. (37)

27. Si un paralelogramo y un tringulo estn sobre la misma base y

entre las mismas paralelas , el paralelogramo es doble del

tringulo. (41)

28. Construccin de cuadrado (46).

Cmo se construye un cuadrado?

Uno de los primeros pasos en la demostracin

del teorema de Pitgoras es la construccin de

cuadrados. Se trata de la proposicin 46 en el

libro I de los Elementos. En

http://www.scm.org.co/Articulos/833.pdf

Se encuentra el anlisis de la demostracin y

algunas reflexiones pedaggicas sobre la

enseanza de la geometra alrededor de este

problema.

47

4 14 31 41 46

3 11 31 34

2 1 3 8 23 27 4 26 29

1 7 22 8 16 4 16 P5 13 15

N1 P3 P1 5 3 3 4 15 3 4 15

P2 3 4 13

11

1 3 8

Anlisis del teorema de Pitgoras

Sistema o mtodo axiomtico

La estructura anterior que hemos mostrado es lo que se

conoce como sistema o mtodo axiomtico. Consiste en

organizar una teora de tal manera que:

1. Se definen los objetos, o nociones a estudiar

2. Se fijan unos principios bsicos de la teora sobre los

objetos o nociones bsicas que no son descomponibles

que se suponen evidentes y por eso no se demuestran

3. Se establecen unos principios lgicos, las nociones

comunes o axiomas, que regirn igualmente las

demostraciones.

4. A partir de los elementos anteriores se deducen las

proposiciones (propiedades de los objetos de estudio)

de la teora que se est axiomatizando.

Versiones actuales del Teorema de

Pitgoras

1. En un tringulo rectngulo el cuadrado

sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos.

2. En un tringulo rectngulo cuyos lados tienen longitudes a, b, c donde c es la longitud de la hipotenusa se cumple que a2+b2=c2.

Construcciones con regla y comps

En los Elementos todas las construcciones se realizan con una regla sin marcas

y un comps colapsible. Ninguno de los dos sirve para hacer mediciones y se

trata naturalmente de herramientas tericas que permiten aplicar los tres

primeros postulados. Por so se llaman herramientas euclidianas. En Elementos

encontramos la construccin de varios polgonos regulares: de tres y cuatro

lados en el libro I, de cinco, seis y quince lados en el libro IV; la proposicin I-

11 nos dice cmo se trazan perpendiculares, y la I-27 cmo se trazan paralelas.

Encontramos igualmente cmo inscribir y circunscribir polgonos en una

circunferencia; en general, como anotamos, todas las construcciones requeridas

para las demostraciones se hacen con regla y comps. Sin embargo, son

muchas las figuras geomtricas que no son construibles con regla y comps; es

el caso de mayora de los polgonos regulares o las cnicas.


Por siglos se intent demostrar con regla y comps los famosos problemas de

la duplicacin del cubo (construir un cubo de volumen doble de un cubo dado),

la cuadratura del crculo (construir un cuadrado de rea igual al de un crculo

dado) y la triseccin del ngulo (dividir un tringulo en tres partes iguales).

Problemas de aparente simplicidad por su enunciado pero imposibles de

resolver con la regla y el comps euclidianos como fue demostrado en el siglo

XIX. Los griegos se dieron cuenta que esas construcciones no eran posibles y

por eso se inventaron otras herramientas, curvas llamadas mecnicas, como la

concoide, la cisoide, la espiral o la cuadratriz que si permiten resolver los

problemas.

Actualmente existen programas de computador excelentes que permiten ver las

construcciones con regla y comps, como son Ruler and Compas y Cabr


En 1796 Gauss demostr que el polgono regular de 17 lados era construible

con regla y comps. Cinco aos ms tarde en su libro Disquisitiones

Arithmeticae formul una condicin suficiente para la constructibilidad de los

polgonos regulares, y es que un polgono regular de N lados es construible

con regla y comps si N = 2kp1p2pn donde k1 y los pi son nmeros

primos de la forma 2m+1 distintos entre si. Wantzel en 1837 demostr que la

condicin era adems necesaria.

Con el desarrollo del lgebra en el siglo XIX se analizaron las ecuaciones que

conllevan los famosos problemas de construccin. La duplicacin del cubo y la

triseccin del ngulo se formulan por medio de ecuaciones de tercer grado, a

saber: x3 = 2V y y3-3by2-3a2y+a2b = 0 respectivamente; la cuadratura del

crculo plantea la ecuacin x2 = 2r , pero no es construible por ser un nmero trascendente.

El lgebra en los Elementos

Retornamos a los Elementos de Euclides para detenernos en su segundo libro. All encontramos problemas y teoremas sobre la aplicacin de reas, consistente en hallar una figura con la misma rea de otra dada. Es el caso del teorema de Pitgoras, que permite construir un cuadrado con rea la suma de otros dos dados. La aplicacin de reas recibi a parir de 1886 con Zeuthen el nombre de lgebra geomtrica que aunque problemtico, pues tiene ms de una interpretacin, busca establecer la traduccin de los teoremas del libro II en expresiones algebraicas.

El lgebra geomtrica

Un ejemplo

Proposicin II, 2 Si se corta al azar una lnea

recta, el rectngulo comprendido por la (recta)

entera y cada uno de los segmentos es igual al

cuadrado de la (recta) entera.

(a+b)

a b

La expresin algebraica correspondiente es

(a+b)a + (a+b)b = (a+b)2.

El lgebra geomtrica

Otro ejemplo de un producto notable

Proposicin II-4 Si se corta

al azar una lnea recta, el

cuadrado de la recta entera

es igual a los cuadrados de

los segmentos y dos veces

el rectngulo comprendido

por los segmentos.

(a+b) 2 = a2+2ab+b2

b2

a

b

a2 ab

ab

La teora de las proporciones en los

Elementos

El libro V contiene la teora de las proporciones de Eudoxio; es uno de los

libros ms apreciados de Elementos, ya que aqu se tratan con el mismo rasero

las magnitudes conmensurables y las inconmensurables por medio de las

nociones de razn y de proporcin.

Definicin 3. Una razn es determinada relacin respecto a su tamao entre

dos magnitudes homogneas

Definicin 5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razn con

una segunda magnitud, que una tercera magnitud con una cuarta magnitud,

cuando cualquier equimltiplo de la primera y la tercera exceden a la par, sean

iguales a la par o sean inferiores a la par, que cualquier equimltiplo de la

segunda y la cuarta, respectivamente y cogidos en el orden correspondiente

Definicin 6. Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan la misma

razn

La teora de las proporciones en los Elementos

Inclusive los historiadores rastrean en este libro los fundamentos

de las definiciones de Weierstrass y de Dedekind de nmero real.

La nocin de proporcin fue clave en la arquitectura y en general

en el arte griego, como caso especial tenemos la proporcin en la

cual se establece que el todo es a la parte mayor como la parte

mayor es a la parte menor. Si suponemos que b es la parte

mayor y a la parte menor de un segmento AB tendramos que

a+b : b :: c:a. Esta proporcin, llamada proporcin urea, nos

lleva al nmero = (1+5)/2, uno de los nmeros ms

distinguidos de la matemtica al lado de 2, , e, 0, 1 y -1.

Teora de nmeros en los Elementos

Los libros VII, VIII y IX tratan de teora de nmeros elemental. El libro

VII comienza con la Definicin de nmero y con lo que hoy conocemos

como el algoritmo de Euclides. En el IX encontramos una proposicin

equivalente al Teorema fundamental de la aritmtica (P.14) y la

demostracin de la infinitud de los nmeros primos (P.20). El X trata

sobre los irracionales, llamado la cruz de los matemticos por el nivel

de dificultad que tiene para asimilarlo. Del libro VII damos algunas

definiciones.

Definicin 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de

las cosas que hay, se llama una.

Definicin 2. Un nmero es una pluralidad compuesta de unidades.

Definicin 16. Se dice que un nmero multiplica a un nmero cuando

el multiplicado se aade a si mismo tantas veces como unidades hay

en el otro y resulta un nmero.

Definicin 23. Nmero perfecto es el que es igual a sus propias

partes.

Teora de nmeros en los Elementos

Proposicin VII - 1. Dados dos nmeros desiguales y restando

sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al

anterior hasta que quede una unidad, los nmeros iniciales sern

primos entre s.

Proposicin VII-19. Si cuatro nmeros son proporcionales, el producto

del primero y el cuarto ser igual al del segundo y el tercero; y si el

producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el

tercero, los cuatro nmeros sern proporcionales.

Proposicin IX-20. Hay ms nmeros primos que cualquier cantidad

propuesta de nmeros primos. Definicin X-1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que

se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las

que no es posible hallar una medida comn

Los slidos platnicos

Los libros XI, XII y XIII contienen la geometra del espacio; la

construccin y algunas propiedades de los poliedros regulares

llamados slidos platnicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro

y dodecaedro. Culmina el libro XIII y as Elementos con la

demostracin de la no existencia de ningn otro poliedro regular.

Rocas encontradas en un yacimiento

neoltico de Escocia, datadas 2000 a.C.

Las fortalezas y debilidades de los

Elementos y sus consecuencias

El quinto postulado

Las geometras no euclidianas

Las curvas no planas

Las cnicas

La curvas lineales

La geometra analtica

Las fallas lgicas

Los Fundamentos de la Geometra de Hilbert

Aspectos lgicos y filosficos

La nocin de existencia en los Elementos

La lgica de los Elementos

La nocin de demostracin en los

Elementos

El primer sistema axiomtico

Espacio fsico y espacio matemtico

El quinto postulado

Si una recta m al incidir sobre dos rectas n, p hace ngulos internos del mismo lado, A, B, menores que dos

rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se

encontrarn en el lado en el que estn los [ngulos]

menores que dos rectos.

A

B

m n

p

El quinto postulado

La complejidad del quinto postulado en relacin con los otros cuatro es clara. Por ello desde la antigedad se lo consider menos evidente que los otros y se intent probarlo a partir de ellos. La historia de los intentos por demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro es una de las historias ms interesantes de la matemtica, entre otras razones por la cantidad de matemticos y aficionados a ella que intentaron hacerlo. Muchos creyeron haberlo logrado; sin embargo la demostracin usaba de manera explcita o implcita otro teorema, o axioma, con lo cual la demostracin dejaba de serlo. Y la proposicin usada resultaba ser equivalente al quinto postulado, con lo cual haba de alguna manera un crculo vicioso.


De todos los intentos realizados se destaca el de Gerolamo Saccheri (1667-1733), jesuita de la Universidad de Pavia, quien intent hacer la demostracin por reduccin al absurdo. Su trabajo titulado Euclides vindicado de toda culpa muestra claramente los propsitos del autor. Pero sus creencias le impidieron ver lo que haba encontrado, lo que hoy conocemos como geometras no euclidianas.

Los cuadrilteros de Saccheri

Saccheri construy un cuadriltero

en el cual a partir de segmento

AB traz las perpendiculares AD

y BC iguales a AB. Uni C con

D y analiz las tres posibilidades

siguientes:

1. Los ngulos en C y D son rectos

2. Los ngulos en C y D son

mayores que un recto

3. Los ngulos en C y D son

menores que un recto

Las cuadrilteros de Saccheri

Las posibilidades dos y tres lo deban llevar a una contradiccin, para dejar nicamente la primera posibilidad como la verdadera. Aunque Saccheri encontr una contradiccin en la segunda, no la encontr en la tercera. Encontr algunas anomalas, como que la suma de los ngulos de un tringulo era menor que dos rectos, pero las desech por considerar que repugnaban a la naturaleza de la lnea recta. Sus creencias y objetivo le impidieron ver lo que tena entre manos.


El otro trabajo que destacamos es el de John Playfair quien escribi un famoso comentario sobre Euclides en 1795 en el cual propone reemplazar el quinto postulado por el axioma: Dados una lnea y un punto que no est en ella, es posible trazar exactamente una lnea a travs del punto y que sea paralela a la lnea dada. Aunque es conocido desde la poca de Proclo, ste postulado se conoce como Axioma de Playfair desde entonces y pas a conocerse como el quinto postulado en la mayora de los textos de estudio dada su simplicidad comparada con el enunciado original.


Teniendo en mente el postulado de Plyfair es posible ver que la negacin del quinto postulado nos lleva a dos posibilidades: que por un punto exterior a una recta pasen muchas paralelas o que no pasen paralelas. A comienzos del siglo xix el ruso Lobachevsky y el hngaro Jnos Bolyai estudiaron la geometra que aceptaba que por un punto exterior a una recta pasara ms de una paralela y un poco ms tarde Riemann estudi la geometra que postulaba que por un punto exterior a una recta no pasaban paralelas. Estas geometras se conocen como geometras no euclidianas.

Las geometras hiperblicas

Janos Bolyai titul su trabajo Ciencia

absoluta del espacio y fue publicado hacia

1830. Fue conocido por Gauss y

fuertemente elogiado por l pues haba

tenido ideas parecidas.

Nicolai Lovatchevsky llam a su geometra

Geometra imaginaria y public entre 1829

y 1855 varios trabajos sobre el tema.


Estos trabajos fueron conocidos por la comunidad matemtica en la segunda mitad del siglo xix y fueron aceptados apenas como especulaciones tericas sin fundamento en la realidad. Dos trabajos, uno del italiano Eugenio Beltrami y otro del alemn Felix Klein dieron un modelo a esa geometra que mostraron su consistencia. Con estos trabajos las reticencias de los matemticos fueron superadas y el valor de los trabajos de Bolyai y Lovatchevsky ampliamente reconocido.

La pseudoesfera

Modelo para la geometra hiperblica. Como se puede apreciar en esta geometra vale que la suma de los ngulos de un tringulo es menor de 2 rectos.

Imgenes tomadas de E. Kasner y J. Newman, Matemticas e imaginacin, Nyspamrica, 1985. Captulo IV.

La pseudoesfera


Por otro lado Riemann, uno de los matemticos ms ilustres del siglo xix, interpret el segundo postulado en el sentido no de que la recta sea infinita sino ilimitada. Esta propiedad la cumple la circunferencia. Adems observ que la experiencia no da evidencias sobre la existencia de paralelas, con estas ideas construy la geometra esfrica en la que por un punto exterior a una recta no pasan paralelas, en la cual la suma de los ngulos de un tringulo es mayor que dos rectos. Su modelo la superficie de la esfera.

Modelo para la geometra de

Riemann

Imgenes tomadas de Matemticas para los estudiantes de humanidades. Fondo de cultura econmica, Mxico, 1992. Captulo V. Recomiendo particularmente su lectura.


Las consecuencias de la aparicin de estas teora son especialmente significativas, para la matemtica, la filosofa y la ciencia en general. Si hay tres geometras sobre el espacio, la pregunta obligada es cul es la verdadera. Cul es la que trata sobre el espacio en que nos movemos. La respuesta es ninguna. Cada una sirve para resolver problemas especficos. De ah se infiere que la matemtica no tiene nexos directos con el mundo exterior, por lo tanto no es una ciencia natural. Estas teora abrieron las puertas para la teora de la relatividad y la geometra no euclidiana que la soporta.

La geometra analtica

Nos devolvemos al siglo xvii, para dar cuenta de la aparicin de lo que hoy conocemos como geometra analtica.

Habamos anotado que en los Elementos de Euclides se haba sistematizado buena parte de la matemtica de su poca pero no toda. En particular queda por fuera toda la geometra que tiene que ver con las cnicas: parbolas. hiprbolas, elipses. Son las figuras que se obtienen al cortar un cono recto de diferentes maneras, adems del crculo.

Curvas no planas

Los antiguos griegos clasificaron las curvas en tres grupos: planas las que se podan construir con regla y comps, slidas las cnicas y lineales las dems. Cada una de ellas caracterizada por ciertas propiedades geomtricas, expresadas en muchos casos en forma de proporciones. Las curvas no planas, no se pueden construir con regla y comps. Apolonio de Perga (c. 262-169 a.C) en su obra Cnicas estudi las slidas y es junto con los Elementos de Euclides uno de los grandes legados de la matemtica griega.

Las cnicas de Apolonio

Cnicas

Elipse es el lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya suma

de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.

Circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia

a un punto fijo, llamado centro, es constante.

Hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya

diferencia de distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es

constante.

Parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que estn

a igual distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta dada,

llamada directriz.

Curvas no planas

Por otro lado las famosos problemas de construccin de los griegos: la duplicacin del cubo (construir con regla y comps un cubo de volumen doble de un cubo dado), la triseccin del ngulo (dividir con regla y comps y ngulo en tres partes iguales) y la cuadratura del crculo (construir con regla y comps un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado) fueron resueltos en la antigedad por medio de curvas especiales como la cuadratriz de Hipias, la espiral de Arqumedes, o la concoide de Nicmaco. Curvas llamadas mecnicas por Platn, pues requeran aparatos distintos de la regla y el comps para ser construidas. Hacen parte de las curvas lineales. Con la geometra analtica todas ellas pasarn a ser representadas por medio de ecuaciones algebraicas.

Concoide de Nicmedes

La geometra de Descartes

Descartes en su famoso tratado Discurso del Mtodo aade al final un apndice titulado Gomtrie. Est compuesto de tres libros:

El primero trata de los Problemas que pueden resolverse sin emplear ms que crculos y lneas rectas.

El segundo se titula De la naturaleza de las lneas curvas. Trata especialmente de las curvas de grado superior a dos y, sobre todo, de la construccin y propiedades de tangentes y normales a las curvas.

El tercero Sobre la construccin de problemas slidos y superslidos, trata del estudio de la resolucin de ecuaciones de grado mayor a dos, discusin de sus races, y relaciones entre los coeficientes.


En su Geomtrie Descartes afirma que cualquier problema de geometra puede reducirse fcilmente a trminos tales que el conocimiento de las longitudes de determinados segmentos es suficiente para su resolucin.

En los Elementos se puede observar como el producto de dos longitudes resulta en un rectngulo. Descartes har que tanto la suma, como la resta, la multiplicacin, o la divisin de dos segmentos es un segmento y que la raz cuadrada de un segmento tambin es un segmento. De esta manera muestra que las operaciones de la aritmtica pueden hacerse con regla y comps. De esta manera x.x o x.x.x no son cuadrados o cubos sino segmentos. De ah que a las expresiones x2 o x3 llamenos x al cuadrdao o x al cubo.

Operaciones aritmticas con segmentos

A B

C D

A B

C

D A B

C

C D

A B

C

D

F

E

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 1 Figura 2

A B

D

C

E

F

A

B O E

F


Sean AB y CD dos segmentos.

Adicin de segmentos (Figura 1)

Construccin Al extremo B del segmento AB se traslada el segmento CD. De esta manera se obtiene AD = AB + CD.

Resta de segmentos (Figura 2)

Construccin El segmento CD se traslada al segmento AB de tal manera que C coincida con A. De esta manera se obtiene

BD = AD CD

En las figuras 3, 4 y 5 se razona usando la semejanza de tringulos. En 3 y 4 se toma CE como la unidad de medida y en 5 BE como la unidad de medida.


Producto de segmentos (Figura 3)

Construccin Se colocan los dos segmentos de tal manera que formen un ngulo. Sobre el lado C D se escoge la unidad CE y se une E con B. Luego se traza una paralela a EF por D, y se marca el punto F de corte de la paralela con la prolongacin del segmento AB. Se obtienen dos tringulos semejantes y de all se deduce que AB:CE = AF:CD. Luego AB x CD = AF.

Divisin de segmentos (Figura 4)

Construccin Como en el caso anterior se colocan los dos segmentos de tal manera que formen un ngulo. Sobre el lado CD se escoge la unidad CE y se une D con B. Luego se traza una paralela a DB por E, y se marca el punto F de corte de la paralela con el segmento AB. Se obtienen dos tringulos semejantes y de all se deduce que

AB:CD = AF:CE Luego AB/CD = AF.


Raiz cuadrada de un segmento (Figura 5)

Construccin Dado el segmento AB se prolonga en una unidad BE. Luego se obtiene el punto medio O del segmento AE. Se traza una circunferencia con centro en O y radio OE. A partir de B se traza una perpendicular a AE que corta a la circunferencia en F. Se une F con A y F con E. Se obtienen tres tringulos rectngulos semejantes AFE, AFO y OFE. De la semejanzas de tringulos se deduce que AB:BF =BF:BE Luego ABxBE = (BF)2. De donde BF = AB.

Notas 1.Todas las construcciones y demostraciones establecidas estn justificadas por teoremas de los Elementos de Euclides.

2. Los nmeros que se pueden construir con regla y comps se llaman nmeros construibles. Estos incluyen a todos los naturales a partir del dos. Los racionales positivos y todas las races cuadradas de los nmeros ya construidos.


Su mtodo lo llevar a afirmar que una ecuacin puede tener tantas races como dimensiones tiene el grado de la ecuacin. Esta es una primera formulacin del Teorema Fundamental del lgebra.

En el libro I de la Gomtrie se encuentran las instrucciones para resolver las ecuaciones cuadrticas con regla y comps. Proceda de la siguiente manera:

i) Reduca el problema geomtrico al lgebra.

ii) Resolva la ecuacin.

iii) Le daba a la solucin una interpretacin geomtrica.


Para Descartes el lgebra, que haba avanzado en los ltimo aos con los trabajos de Cardano, Tartaglia y Vite, mejoraba la eficiencia del razonamiento. Mientras la geometra contena la verdad del universo, el lgebra ofreca la ciencia del mtodo.

En su poca la teora heliocntrica de Copernico y de Kepler requera de un mejor conocimiento de la curvas, particularmente de las elipses. Por otro lado se requera no slo conocer la trayectoria que seguira la bala de un can, sino la mxima altura que alanzara y la distancia a la que llegara. El siglo XVII peda informacin cuantitativa, numrica, de vital importancia para la prctica.

El mtodo cartesiano en geometra

Como anotamos Descartes se propuso analizar las curvas con lneas rectas. Proceda como sigue:

Escoga unos puntos sobre la curva, P1, P2, Pn, trazaba un recta horizontal H y observaba como cambian las distancias de los puntos escogidos con la lnea horizontal Luego consideraba la distancia de lo segmentos que se formaban con los puntos de la curva y la lnea horizontal P1Q1, P2Q2, PnQn,con respecto a un punto fijo O. De esta manera la posicin de los puntos de la curva quedaba especificada por los nmeros de las longitudes de los dos segmentos determinados.

El mtodo cartesiano

P1

P2

P3 P4

P5

O Q1 Q2 Q3 Q5 Q4

Qu es geometra?

El programa de Erlangen

Flix Klein (1849 Dsseldorf, Prusia ahora Alemania, 1925 Gttingen, Alemania)

Hacia mediados del siglo 19 se conocan una gran cantidad de geometras. La clsica geometra de

Euclides se vea acompaada por la geometra proyectiva, que aunque formulada tiempo atrs, obtuvo

un impulso decisivo con los trabajos de Poncelet. Adems de stas, el nacimiento a principios de dicho

siglo de las geometras no eucldeas suma a la geometra en un pequeo caos. El joven Felix Klein

trabaj en Francia junto con su amigo Sophus Lie. Lie estaba trabajando en mtodos generales de

integracin para las ecuaciones diferenciales, lo que le llev a estudiar los grupos continuos de

transformaciones, conocidos hoy en su honor como grupos de Lie. Puede que Lie influyera de manera

directa o indirecta en las ideas de Klein sobre la nueva formulacin de la geometra. En su

presentacin como profesor en la universidad de Erlangen, Klein pronunci una conferencia con el

largo ttulo "Consideraciones Comparativas sobre las Investigaciones Matemticas Modernas",

conocida hoy en da por el sobrenombre de Programa de Erlangen. En ella Klein asienta sobre el

concepto de grupo todas las geometras conocidas en aquella poca. Para Klein, cada

geometra da lugar a un grupo, formado por las transformaciones que dejan invariante los

elementos geomtricos. Sin embargo el nuevo profesor de Erlangen le da la vuelta a la tortilla: dado

un grupo, estudiamos sus invariantes, lo que da lugar a una geometra. Desde entonces el concepto

de geometra se confunde en gran medida con el concepto de grupo.

La geometra euclidiana por ejemplo est caracterizado por el grupo de transformaciones que dejan

invariante las figuras geomtricas en el plano por medio de las transformaciones de translacin,

rotacin y reflexin.

http://documentosmatematicos.blogspot.com/2010/11/el-programa-de-erlangen.html

La geometra al estilo Hilbert

Un sistema axiomtico formal

Los avances del lgebra, la aparicin de las geometras no

euclidianas, la necesidad de rigor en el clculo, la

algebrizacin de la lgica, el movimiento de aritmetizacin

del anlisis (la necesidad de fundamentar la matemtica

sobre una base distinta de la geometra), la aparicin de la

teora de conjuntos de Cantor, y las reflexiones sobre qu

es un nmero natural, de Frege, y Peano, marcaron el

desarrollo de la matemtica con varios cambios

revolucionarios en el siglo XIX. David Hilbert a finales

del siglo xix revis cuidadosamente los Elementos;

encontr serias deficiencias lgicas que lo llevaron a

proponer su propio sistema axiomtico para la geometra.

Denomin su trabajo Fundamentos de la geometra.

Los fundamentos de la geometra de Hilbert

Escogi como nociones bsicas: punto, recta y plano, las

dej como trminos indefinidos y estableci las relaciones

entre ellos a travs de 20 axiomas (postulados) que dividi

en 5 grupos. Prob solo unos pocos teoremas y fue

introduciendo las definiciones de conceptos matemticos

en la medida que iban siendo necesarios.

Pero prob que su axiomas eran independientes a travs

de modelos de verificaban unos pero no otros. Su estilo de

axiomatizacin se llam formal, debido a que a los

conceptos primitivos poda darse distintas interpretaciones.

I 1-8. Axiomas de enlace.

II 1-4. Axiomas de ordenacin,

III 1-5. Axiomas de congruencia.

IV Axioma de las paralelas.

V 1-2. Axiomas de continuidad.

Los Fundamentos de la geometra de Hilbert

I. Axiomas de incidencia

I.1 Dos puntos determinan a lo menos una recta.

I.2 Dos puntos determinan a lo ms una recta.

I.3 Hay a lo menos dos puntos en lnea recta. Hay a lo menos tres puntos no

en lnea recta.

I.4 Tres puntos no en lnea recta determinan a lo ms ms plano. Hay a lo

menos un punto en cada plano.

I.5 Tres puntos no en Lnea recta determinan a lo ms un plano.

I.6 Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano entonces todos los

puntos de la recta pertenecen al plano.

I.7 Si dos planos tienen un punto en comn entonces tienen a lo ms otro

punto comn.

I.8 Hay a lo menos cuatro puntos no situados en el mismo plano.

II. Axiomas de ordenacin

Il.1 Si un punto B est situado entre un punto A y un punto C. entonces A, B. C

son tres puntos distintos de una recta y B est situado tambin entre C y A.

II.2 Para cada dos puntos, existe al menos uno exterior.

Il.3 De tres puntos sobre una recta, hay a lo ms uno entre los otros dos.

Il.4 Una recta que entra a un tringulo, vuelve a salir.

III. Axiomas de congruencia

III.1 Existencia de transporte de segmentos.

IlI.2 Dos segmentos congruentes con un tercero, son congruentes entre s.

IIl.3 Adicionabilidad de segmentos.

II.4 Existencia y unicidad de transporte de ngulos.

III.5 Si los tringulos ABC y A' B'C' verifican las congruencias AB A' B , A.C A'C,

Los Fundamentos de la geometra de Hilbert

IV. Axioma de Euclides

IV.1Sea a una recta cualquiera y A un punto exterior a ella en el plano

determinado por a y A existe a lo rns una recta que pasa por A y no corta a la

a.

V. Axiomas de continuidad

V.1 Axioma de Arqumedes: Siendo AB y CD segmentos cualesquiera, existe

siempre sobre la recta AB un nmero de puntos Al, A2, A3, ... , An, de modo

que los segmentos AA1, A1A2, A2A3, ... , An-1, An son congruentes con CD, y

el punto B queda entre A y An.

V.2 Axioma de la complecin (plenitud) lineal. Los puntos de una recta forman

un sistema el cual no es susceptible de ampliacin alguna, bajo la condicin de

preservar la ordenacin lineal (Teorema 6), el primer axioma de congruencia y

el axioma de Arqumedes.

Bibliografa

1. Carl B. Boyer, Historia de la matemtica. Alianza Editorial, 1994.

2. Morris Kline, Matemticas para estudiantes de humanidades, Fondo de cultura econmica, 1992.

3. Alberto Campos, Introduccin a la historia y la filosofa de la matemticas, 2 Vols., Universidad Nacional de Colombia, 2008.

4. David Hilbert, Fundamentos de la geometra, CSIC, Madrid, 1996.

5. Felix Garca Merayo, Jnos Bolyai. El gemetra revolucionario. Nvola, 2009.

6. Jos Luis Muoz, Riemann. Una visin nueva de la geometra. Nvola, 2009.

7. Santiago Fernndez Fernndez, Lobachevski. Un espritu indomable. Nvola, 2004.

8. Jeremy Grey, Ideas de espacio. Bibloteca Mondadori, Madrid, 1992.

9. Richard Trudeau, The Non-Euclidean Revolution. Birkhauser, 1987.

Bibliografa

http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/No%20euclidianas/Secciones/Indice.htm

Historia de La Geometría

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