Bloque 11

Operaciones y propiedades de los números naturales

1 Este manuscrito es un extracto del libro Del Sentido Numérico al Pensamiento Prealge-

braico, de T. Cedillo y V. Cruz (en proceso de edición)

Bloque 1

Operaciones y propiedades de los números naturales El propósito de este primer bloque es el estudio de las operaciones y propiedades

de los números naturales.La posibilidad de componer y descomponer a los números permite proponer actividades que hacen posible estudiarlos desde la perspectiva de que los números se generan a partir de otro. Encontrar múltiples formas de expresar un mismo número pone a la vista propiedades y reglas para operar con él.

La propuesta sugiere que con un aprendizaje sólido y consciente acerca de los números, el estudiante estará en mejores posibilidades de extender su conocimiento hacia el ámbitodel álgebra escolar.

A lo largo de las hojas de trabajo se presentan retos que obligan a repensar lo que aparentemente ya sesabe (el dominio mecánico de las operaciones básicas y la memorización de reglas).Una nueva revisión de esos conocimientos promueve en los estudiantes un pensamiento flexible y creativo;superar esos retos mediante el esfuerzo personalda lugar al fortalecimiento de su autoestima que se refleja en una actitud positiva hacia la clase de matemáticas.

Pretendemos que la incorporación de la calculadora vaya más allá del hecho de aplicarlapara realizar en poco tiempo una gran cantidad de operaciones, en este bloque de actividades, y los demás que conforman este libro, la calculadora se propone como un instrumento que ofrece un ambiente de manipulación simbólicaque favorece quelos estudiantes pongan a prueba las conjeturas matemáticas que formulan;la retroali-mentación inmediata que proporciona la calculadora les permite validarlas, ocrear un conflicto cognitivo que los invita a reorganizarsusideas.

Los contenidos aritméticos que se abordan en este bloque están fuertemente-vinculados con los de la educación básica, por lo que este material ofrece oportuni-dades para analizar secuencias didácticasque conducirán a una serie de reflexio-nesútilesen la formación de los futurosdocentes.

HOJA DE TRABAJO 1

VALOR POSICIONAL

Escribe en la calculadora el número 796182453. Supongamos que

los nueve dígitos que forman ese número son “invasores espacia-

les”. Para salvar al planeta debes “eliminarlos” uno por uno con-

virtiéndolos en cero haciendo una sola operación con el número

796182453 y otro número que tú propongas. Por ejemplo, eliminar

al “1” quiere decir que hagas una operación para que el número

796182453 cambie a 796082453. Después de que elimines al 1

debes eliminar al 2, luego el 3, y así sucesivamente.

1. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”. Dígito Operación que hiciste en la calculadora Resultado

1 796082453

2 796080453

3 796080450

4 796080050

5 796080000

6 790080000

7 90080000

8 90000000

9 0

2. Ahora elimina uno por uno cada uno de los dígitos del número 4983.26715. Completa la

siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”.

Dígito Operación que hiciste en la calculadora Resultado

1 4983.26705

2 4983.06705

3 4980.06705

4 980.06705

5 980.067

6 980.007

7 980

8 900

9 0

HOJA DE TRABAJO 2

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS

1. Escribe en la calculadora los números que están descritos con palabras. Cuando vayas es-cribiendo los números ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad obtendrás el total que se indica. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha.

CANTIDADES EN PALABRAS CANTIDADES CON NÚMEROS

a) siete millones setecientos ochenta mil cuatro,

más ciento veinticinco mil cinco,

más doce mil uno,

más trescientos cuarenta y cinco mil ochenta y siete.

TOTAL: _________________________________

_________________________

+ _________________________

+ _________________________

+ _________________________

TOTAL: 8262097

b) trece mil noventa y nueve

más veinticinco millones ciento cinco,

más ciento veintiocho millones ochenta y seis,

más trescientos cinco mil uno.

TOTAL: _________________________________

_________________________

+ _________________________

+ _________________________

+ _________________________

TOTAL: 153318291

c) cuatrocientos treinta y seis mil cien,

más un millón dos mil,

más quinientos mil veinte,

más trescientos mil treinta.

TOTAL: _________________________________

_________________________

+ _________________________

+ _________________________

+ _________________________

TOTAL: 2238150

d) diez millones uno,

más dos millones cien,

más treinta y siete mil uno,

más quinientos cuarenta mil diez.

TOTAL: _________________________________

_________________________

+ _________________________

+ _________________________

+ _________________________

TOTAL: 12577112

2. Inventa una suma con cuatro sumandos como las anteriores. Usa números tan complicados como te sea posible. Verifica que el total que obtienes es el mismo que el que se indica.

CANTIDADES EN PALABRAS CANTIDADES CON NÚMEROS

____________________________________

más _________________________________

más _________________________________

más _________________________________

TOTAL: ______________________________

_________________________

+ _________________________

+ _________________________

+ _________________________

TOTAL: 4000136

HOJA DE TRABAJO 3

EQUIVALENCIA NUMÉRICA

1. En cada recuadro construye una representación distinta del número quinientos nueve. No

puedes usar las teclas del 5 y el 9. Intenta usar en cada una de tus respuestas cuatro

operaciones distintas. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

2. En cada recuadro construye el número trescientos doce. Debes usar cuatro operaciones

distintas y no puedes usar las teclas del 3 y el 1. Encuentra tantas formas distintas como

te sea posible y escríbelas en los siguientes espacios.

3. Construye en la calculadora el número mil doscientos veintidós. Debes usar cuatro opera-

ciones distintas y no puedes usar las teclas del 1 y el 2. En cada recuadro escribe al menos

dos representaciones distintas de ese número.

4. En cada recuadro construye al menos una representación distinta del número cuatrocientos

uno sin usar las teclas del 4 y el 1.

HOJA DE TRABAJO 4

¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA SUMAR!

¡Se descompuso la tecla para sumar!

El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en

que encuentres cómo realizar las siguientes sumas em-

pleando la calculadora, pero sin usar para nada la tecla

de sumar.

1. ¿Puedes hacer la operación 438+725 sin usar la tecla para sumar y sin sumar mental-

mente ni con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste ____________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un

método distinto del tuyo? _________ ¿En qué consiste? _____________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? ___________ ¿Por

qué? __________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. ¿Puedes hacer la operación 1536+489+39.83, sin usar la tecla para sumar y sin sumar

mentalmente ni empleando lápiz y papel? Explica cómo lo hiciste, hazlo de manera que

cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. _______________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. Encuentra los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses para

obtener una solución. a) 487+x=798

b) y+1761+89=2346

c) 7.4+z+125.97=784.88

HOJA DE TRABAJO 5

¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA RESTAR!

¡La tecla para restar se descompuso!

El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en

que encuentres una manera de restar usando la calcu-

ladora, pero sin usar en absoluto la tecla para restar.

1. ¿Puedes encontrar un método para hacer la operación 1585427 sin usar la tecla de

restar y sin hacer la resta mentalmente ni con lápiz y papel? _____________________

2. Explica cuál es el método que encontraste, hazlo de manera que cualquiera de tus

compañeros lo pueda entender. _____________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un

método distinto del tuyo? _____________ ¿En qué consiste ese otro método?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? _______________

¿Por qué? __________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

4. ¿Puedes hacer la operación 453.75128.29 sin usar la tecla para restar y sin hacer la

resta mentalmente ni con lápiz y papel? _________ Explica cual es el método que en-

contraste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

5. Encuentra los números que faltan. Escribe las operaciones que hiciste en los espacios. a) x487=798

b) y1761+89 = 2346 c) z7.4+125.97 = 784.88

HOJA DE TRABAJO 6

DEL CERO AL CIEN SÓLO CON “CUATROS”

Una alumna encontró que puede construir con la calculadora los

números del cero al cien usando sólo el número 4 y las teclas

Por ejemplo, el cero puede construirse como sigue: 4÷4–4÷4. El 10

puede construirse como sigue: 4 4 4 . El 5 puede obtenerse

como (44+4)4. Otra regla de este juego es que no es válido es-

cribir números como 44+44=88.

1. El cero y el diez están en la siguiente lista, encuentra otras formas de escribirlos. De la

misma manera, intenta encontrar al menos dos formas distintas de escribir sólo con cuatro

“cuatros” los demás números de la lista. Los casos que te parezcan muy difíciles resuélvelos

usando más de cuatro “cuatros”.

Núm. RESPUESTAS Núm. RESPUESTAS Núm. RESPUESTAS

0 27 58

2 31 63

3 35 64

5 36 69

9 40 75

10 48 83

13 49 89

18 51 94

22 52 100

2. Un alumno dice que 4+4+44=3. Uno de sus compañeros dice que eso no está bien, que el re-

sultado correcto es 9. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Justifica tu respuesta.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. ¿Qué resultado produce la calculadora si realizas la operación 44+44?

___________________ Explica por qué obtienes ese resultado con la calculadora.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. Sin cambiar ninguna operación ni ningún número, ¿puedes “arreglar” la operación 4+4+44

para que dé como resultado 3? ¿Cómo lo harías? ________________________________

___________________________________________________________________

+ –

HOJA DE TRABAJO 7

¡AL CERO EN CINCO PASOS!

Esta hoja presenta un juego matemático que consiste en lo siguiente:

Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Puedes

hacer esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes

repetir una operación las veces que quieras.

Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número

entero que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 y puedes usarlo las veces que lo requieras.

Cada operación que hagas se cuenta como un paso y el resultado de

cada operacióndebe ser un número entero.

Ganas el juego si,a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes

números.

EJEMPLO: REDUZCAMOS A CERO EL NÚMERO 869.

Paso 1: 869 5 = 864 Paso 2: 864 9 = 96 Paso 3: 96 8 = 12 Paso 4: 12 6= 2 Paso 5: 2 2 = 0

Usa la calculadora para encontrar distintas maneras de reducir a cero los siguientes

números:

a) 789 b) 629 c) 823

Paso 1: Paso 1: Paso 1: Paso 2: Paso 2: Paso 2: Paso 3: Paso 3: Paso 3: Paso 4: Paso 4: Paso 4: Paso 5: Paso 5: Paso 5:

d) 952 e) 997 f) 857

Paso 1: Paso 1: Paso 1:

Paso 2: Paso 2: Paso 2: Paso 3: Paso 3: Paso 3: Paso 4: Paso 4: Paso 4: Paso 5: Paso 5: Paso 5:

HOJA DE TRABAJO 8

¿QUÉ NÚMEROS DIVIDEN A OTROS?

1. Un alumno dice que cualquier número entero, excepto el cero,

puede dividirse entre sí mismo y el 1 sin dejar residuo. ¿Es

cierto lo que dice ese compañero? _____ ¿Por qué?

____________________________________________

2. Haz en tu calculadora la operación 50 y observa qué pasa.

Discute este resultado con tu profesor y tus compañeros y

anota tus conclusiones. ___________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

3. ¿Puedes encontrar un número entero que esté entre 50 y 60 y que sólo pueda dividirse entre

sí mismo y el 1? ¿Cuál es ese número? ____________________________________

4. Una compañera dice que encontró diez números enteros que están entre 80 y 120 que sólo

pueden dividirse entre sí mismos y el 1. ¿Es cierto lo que dice esa alumna? ¿Cuáles son esos

números? ____________________________________________________________

5. Otro alumno dice que entre el 120 y el 130 no hay números que sólo puedan dividirse entre sí

mismos y entre el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que él dice? _____ ¿Por qué?

___________________________________________________________________

6. ¿Puedes encontrar cinco números que sólo se puedan dividir entre sí mismos, el 1, y otro

número? _________________________ ¿Qué números con esas características encon-

traste?_____________________________________________________________________________

7. ¿Puedes encontrar un método para inventar números que sólo puedan dividirse entre sí

mismos, el 1 y otro número? Describe a continuación tu método ___________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

8. Encuentra cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos números

más. ¿Qué números encontraste? _____________________________________________________

9. ¿Puedes encontrar un método para inventar números que sólo puedan dividirse entre sí

mismos, el 1, y otros dos números? Describe a continuación tu método _________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

10. ¿Puedes encontrar un método para construir números que sólo puedan dividirse entre sí

mismos, el 1, y otros tres números? Haz una lista de diez números con esas características. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 9

¿NÚMEROS QUE SE DIVIDEN ENTRE EL 7 Y 11?

Lee con atención lo siguiente:

10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 52=10;

56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 78=56.

1. Da otros tres ejemplos de números que sean divisibles

entre 7. ___________________________________

_________________________________________

2. Construye tres números enteros que estén entre 100 y

300, y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación

los números que construiste. ____________________

_________________________________________

3. Construye tres números enteros que estén entre 1000 y 1300, y que sean divisibles

entre 7. Escribe a continuación los números que construiste. ___________________

4. Describe con un ejemplo cómo construiste números que son divisibles entre 7. Hazlo de

manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. ________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

5. Construye tres números mayores que 200 y menores que 300 que sean divisibles entre

11. Escribe los números que construiste a continuación. _______________________

________________________________________________________________

6. ¿Encontraste algún método para construir números que son divisibles entre 11? Describe

tu método con un ejemplo, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo en-

tienda. __________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

7. Encuentra un método para construir números que sean divisibles entre 11 y entre 13.

Describe a continuación tu método usando dos ejemplos, hazlo de manera que cualquiera

de tus compañeros te pueda entender. ___________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 10

¿ESOS “NUMEROTES” SON DIVISIBLES ENTRE TODO ESO?

Este es un juego matemático. Ganas el juego si puedes

explicar por qué pasa lo que enseguida observarás.

1. Escribe un número entero de tres cifras, el que tú prefieras.

______________________________________________

2. Repite ese número a continuación del que ya tienes. Tendrás

entonces un número de seis cifras, en el que las tres primeras

cifras son idénticas a las tres últimas. Por ejemplo, 324324.

Escribe el número que construiste a continuación.

____________________________________________

3. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 7? ____ Comprueba

tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________

___________________________________________________________________

4. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 11? ____ Comprueba

tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________

___________________________________________________________________

5. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 13? ____ Comprueba

tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________

___________________________________________________________________

6. Discute lo que observaste con tus compañeros. ¿Ellos encontraron lo mismo que tú? ______

¿Cuáles son tus conclusiones? _____________________________________________

___________________________________________________________________

7. Construye otros números de seis cifras de manera que las tres primeras cifras sean iguales a

las tres últimas. ¿Esos números son divisibles entre 7, 11 y 13? _____ ¿Qué hiciste para

comprobar tu respuesta? ________________________________________________

___________________________________________________________________

8. Esta es la clave del juego, si puedes dar una respuesta correcta a la siguiente pregunta

habrás ganado. ¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa manera es

siempre divisible entre 7, 11 y 13? Da tu respuesta de manera que cualquiera de tus

compañeros la pueda entender. Tu profesor decidirá quién o quiénes son los ganadores en

este juego. ___________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. En la presentación del bloque se hace mención de la composición y descomposición

de los números para su estudio.¿De qué manera se refleja esto en las activida-des?Identifica cinco ejemplos y coméntalos con tus compañeros.

2. ¿Consideras que las actividades del bloque representan retos que promueven el pensamiento reflexivo y creativo, y una actitud positiva hacia las matemáticas? Justifica tu respuesta ampliamente.

3. Analiza en forma detallada todas las hojas de trabajo y crea una lista de los conte-nidos matemáticos que abordan. Compara tu lista con las de tus compañeros y mediante un cruce de la información elaboren una lista lo más completa posible.

4. Realiza en equipo una investigación en diferentes fuentes (internet, libros de ma-temáticas, artículos, etc.) sobre los contenidos matemáticos de la lista anterior y preséntenla al grupo.

5. Elabora en equipo un mapa conceptual que relacione los contenidos matemáticos de la lista que elaboraste en el inciso 3.

6. Elabora un ensayo acerca del uso de la calculadora a partir de la experiencia que visite a lo largo de las hojas de trabajo de este bloque.En el ensayo discute sus ventajas, desventajas, viabilidad, pertinencia, diferentes formas de usarla, etc.

7. Organiza en el grupo un debate acerca del uso de la calculadora de acuerdo con los ensayos realizados y redacta tus conclusiones.

8. Realiza lo que se indica a continuación: - Selecciona una de las hojas de trabajo para utilizarla con alumnos de la edu-

cación básica y haz las adaptaciones que consideres necesarias. Preséntala a tus compañeros exponiendo la justificación de tu elección y las adecuaciones que hiciste.Toma nota de las observaciones que recibas y haz los ajustes del caso.

- Realiza una práctica con un grupo de educación básica para poner a prueba la hoja de trabajo del inciso anterior. Obtén evidencias de lo sucedido.

- Comparte tu experiencia de la práctica que hiciste con tus compañeros y hazunnuevo a la hoja de trabajo a partir de la retroalimentación que recibiste.