Ice cap11 conv

CAPITULO 11

CONVERSIONES DE UNIDADES

Hace pocos años una nave enviada al planeta Marte fracasó. Los instrumentos que

medían la distancia de la nave al planeta proporcionaron las medidas en unidades del

sistema internacional, mientras que el programa que controlaba el descenso de la nave

pensaba que recibía unidades del sistema inglés, apagó los motores antes de tiempo, y la

nave se estrelló sobre Marte. El problema pudo evitarse si hubiera existido un programa

en la computadora, que hubiese realizado la conversión de unidades correctamente.

Múltiplos y Submúltiplos

Las relaciones entre múltiplos y submúltiplos del sistema internacional de

unidades, se definen en base a potencias de 10. Múltiplos y submúltiplos, se nombran

agregando prefijos a los nombres de las unidades fundamentales, que indican la potencia

por la que se debe multiplicar la unidad fundamental para obtenerlos.

Tabla 11.1Prefijo y Potencia Longitud Masa Tiempo

Mega =1,000,000=106 Megámetro =106 m Megagramo = 106 g Megasegundo = 106 s

Miria = 10,000 = 104 Miriámetro = 104 m Miriagramo= 104 g Miriasegundo = 104 s

Kilo = 1000 = 103 Kilómetro = 103 m Kilogramo=103 g Kilosegundo = 103 s

Hecto = 100 = 102 Hectómetro = 102 m Hectogramo = 102 g Hectoseg. = 102 s

Deca = 10 = 101 Decámetro = 10 m Decagramo = 10 g Decasegundo = 10 s

Metro Gramo Segundo

deci = .1 = 10-1 Decímetro = 10-1 m decigramo = 10-1 g. decisegundo = 10-1 s

centi = .01 =10-2 centímetro = 10-2 m centigramo= 10-2 g. centisegundo = 10-2 s

mili =.001= 10-3 Milímetro = 10-3 m miligramo = 10-3 g. milisegundo = 10-3 s

micro =.000,001=10-6 micrómetro = 10-6 m microgramo = 10-6 g. microsegundo = 10-6 s

Nano = 10-9 nanómetro = 10-9 m nanogramo = 10-9 g. nanosegundo = 10-9 s

Conversiones de Unidades 133

La tabla 11.1 muestra algunas relaciones entre unidades básicas del sistema

internacional, sus múltiplos y submúltiplos, y los prefijos de las potencias de diez

adecuados para expresar esas relaciones. Por ejemplo el prefijo mega representa 106 y

para representar 1,000,000 m escribimos ya sea 1 megámetro o 106 m. El prefijo mili

representa 10-3, y para 1 mm escribimos ya sea 1 milímetro, o bien 10-3m = .001 m.

Usando los prefijos del cuadro 11.1 podemos construir expresiones para representar

cantidades grandes o pequeñas, en forma compacta.

Conversiones de Unidades de Longitud

Estas conversiones se efectúan seleccionando de la segunda columna de la tabla

11.1 los factores de conversión apropiadas. Fíjese con atención en los ejemplos, y luego

aplique los mismos métodos cuando usted deba efectuar estas conversiones por su cuenta.

Aplique las mismas operaciones que se aplican a los números, a las unidades que los

acompañan, y el resultado de las operaciones con unidades debe ser consistente con el

resultado esperado. Si debe convertir cantidades expresadas en metros a centímetros, las

operaciones de conversión aplicadas a los números deben aplicarse a las unidades, y el

resultado debe ser centímetros. Esta técnica se llama análisis dimensional.

1ro Conversiones a metros

Ejemplo 11.1 Expresar 3.45 cm en términos de metros.

Método 1 Con 1 cm = 10-2m tenemos 3.45 cm 10-2 m/cm = 3.4510-2 m =.0345 m

Método 2 Con 1 m = 100 cm se divide

€

3.45 cm

100 cm m =.0345c / m mc / m = .0345 m. O bien con

1 m = 102cm se escribe

€

3.45cm

102cm/m = 3.4510-2(

c / m mc / m ) = 3.4510-2m = .0345 m

Nótese que

€

cm

cm m = cm

€

cm

m =

€

m c m

c m = m, y es la operación con las unidades

Ejemplo 11.2 Expresar 11.78 mm en términos de metros

Método 1 Con 1 mm = 10-3

m tenemos 11.78mm10-3

(m/mm)=11.7810-3

m= .01178

m

133


Método 2 Con 1 m = 1000 mm dividimos

€

11.78 mm

1000 mm m = .01178m m m

m m = .01178 m

O bien, con 1 m = 103mm escribimos

€

11.78 mm

103 mm m =11.7810-3 m m m

m m = .01178 m y

al igual que en ejemplo anterior

€

mm

mm m = mm

€

mm

m =

€

m m m

m m = m

Ejemplo 11.3 Expresar 2.5 dm en términos de metros

Método 1 Con 1 dm = .1 m se multiplica 2.5 dm .1 (m/dm) = 2.5.1 m = .25 m

Método 2 Con 1 m = 10 dm se divide 2.5dm

10 dm m =.25(m d m

d m ) = .25 m

€

dm

dm m = dm

€

dm

m =

€

m d m

d m = m

Ejemplo 11.4 Expresar 2510-13 mm en términos de metros

Método 1 Con 1 mm = 10-3 m obtenemos 2510-13 mm10-3 m/mm = 2510-16m

Método 2 Con 1 m = 1000 mm = 103mm obtenemos (2510-13mm)/(103 mm

m ) =

2510-1310-3(mm/mm

m ) = 2510-13-3 (m m m

m m ) = 2510-16m

Ejemplo 11.5 Expresar 3000 km en términos de metros

Método 1 Con 1 km = 1000 m obtenemos 3000km1000m/km = 3,000,000 m =

3106m

Método 2 Con 1 m = .001 km dividimos (3000km)/(.001km/m) = (3103km)/(10-

3km/m)

= 3103103(

€

km

km m ) = 3103+3(m k m

k m ) = 3106m.

€

km

km m = km

€

km

m =

€

m k m

k m = m

Ejemplo 11.6 Expresar 3.841024km en términos de metros

Método 1 Con 1 km = 1000m =103m obtenemos 3.841024km103m/km =

134


3.841027m

Método 2 Con 1 m = .001km=10-3km dividimos (3.841024km)/( 10-3km/m)

= 3.841024103 (

€

km

km m ) = 3.841024+3 (m k m

k m ) = 3.841027m

2do Conversiones a centímetros

Ejemplo 11.7 Expresar 2.45 m en términos de centímetros

Método 1 Con 1 m = 100 cm se multiplica 2.45 m 100(cm/ m) = 245 cm

Método 2 Con 1 cm = .01 m se divide (2.45 m)/( .01m/cm) =2.45

.01(

€

m

m cm )

= 245 (m cm/m) = 245 cm.

€

m

m cm =m

€

m

cm =

€

/ m cm

/ m = cm

Ejemplo 11.8 Escribir .025 mm en términos de cm

Método 1 Con 1 mm = .1 cm se multiplica: .025mm .1cm/mm = .0025 cm

Método 2 Con 1 cm = 10 mm se divide

€

.025 mm

10 mm cm = .025

10(

€

mm

mm cm ) = .0025 cm

Donde

€

mm

mm cm = mm

€

mm

cm =

€

m m cm

m m = cm

Ejemplo 11.9 Escribir 2.356 dm en términos de centímetros

Método 1 Con 1 dm = 10 cm se multiplica: 2.356dm10cm/dm = 23.56 cm

Método 2 Con 1 cm = .1 dm se divide

€

2.356 dm

.1 dm cm = 23.56 cm

Donde

€

dm

dm cm = dm

€

dm

cm =

€

d m cm

d m = cm

Ejemplo 11.10 Escribir 25.456 m en términos de centímetros

Método 1 Con 1 m = 100 cm se multiplica: 25.456 m 100 cm/m = 2545.6 cm

Método 2 Con 1 cm = .01m se divide

€

25.456 m

.01 m cm = 2545.6 cm

Con

€

m

m cm = m

€

m

cm =

€

/ m cm

/ m = cm

Ejemplo 11.11 Escribir 610-11m en términos de centímetros

Método 1 Con 1 m = 100 cm = 102 cm se multiplica: 610-11m102cm/m = 610-

135


11+2cm

= 610-9 cm = .000,000,006 cm

Método 2 Con 1 cm = 10-2m se divide (610-11m)/( 10-2m/cm) = 6 ×10-11

10-2(

€

m

m cm )

= 610-11 102(

€

/ m cm

/ m ) = 610-11+2cm = 610-9cm = .000,000,006 cm

Se calcula la equivalencia de km a cm, con 1 m = 100 cm = 102 cm y 1 km = 1000 m =

103m, multiplicamos 1 km = 103m102cm/m y 1 km =105cm o bién 1 cm = 10-5 km

Ejemplo 11.12 Escribir 15.345 km en términos de centímetros

Método 1 Con 1 km =105cm/km se multiplica: 15.345 km 105cm/km = 15.345105cm

Método 2 De 1 cm = 10-5 km y dividimos

€

15.345 km

10−5 km cm = 15.345 105(

€

k m cm

k m )

=15.345105cm

Ejemplo 11.13 Escribir 3106 km en términos de centímetros

Método 1 Con 1 km =105cm/km, 3106km 105cm/km = 3106+5cm = 31011cm

Método 2 De 1 cm = 10-5 km y dividimos

€

3 ×106km

10−5 km cm = 3106105

€

k m cm

k m

= 3106+5 cm = 31011 cm

2do Conversiones a milímetros y decímetros

Ejemplo 11.14 Expresar .35 m en términos de milímetros

Método 1 Con 1 m =1000 mm se multiplica .35m1000 mm/m = 350 mm

Método 2 Con 1 mm = .001m se divide

€

.35 m

.001 m mm = 350

€

/ m mm

/ m = 350 mm o bien

con

1 mm = .001 m = 10-3 m se divide

€

.35 m

10- 3 m mm = .35103

€

/ m mm

/ m = 350 mm

Ejemplo 11.15 Expresar .00045 mm en términos de decímetros

Método 1 Con 1 mm = .1 cm se multiplica .00045 mm.1cm/mm = .000,045 cm o bien

136


con .000,45 = 4.510-4mm y .1 cm = 10-1cm; 4.510-4mm10-1cm/mm = 4.510- 5cm

Método 2 Con 1 cm = 10 mm se divide

€

.000,45

10

€

mm

mm cm =.000,045

€

m m cm

m m

= .000045 cm. O bien

€

4.5 ×10- 4

10

€

mm

mm cm = 4.510-410-1

€

m m cm

m m = 4.510- 5cm

Ejemplo 11.16 Expresar 45 m en términos de milímetros

Método 1 Con 1 m = 1000 mm = 103 mm se multiplica 45m1000mm/m = 45000 mm

que también puede expresarse 45m103 mm/m = 45103 mm = 45,000 mm

Método 2 Con 1 mm = .001m se divide 45

.001

€

m

m mm = 45,000

€

/ m mm

/ m = 45,000 mm, o

bien con 1 mm = 10-3m se divide = 45

10-3

€

m

m mm = 45103 (m mm/m) = 45103 mm

Conversiones entre unidades de longitud de los sistemas inglés e internacional

La tabla 11.2 muestra los factores de conversión mas empleados, entre unidades del

sistema inglés y del sistema internacional, así como las relaciones mutuas entre las

unidades del sistema inglés.

Tabla 11.2

1 pie (1 ft) = 12

pulgadas (12 in)

1 yarda (1 yd) =

3 pies ( 3 ft)

1 milla (1 mi) = 5280

pies

1 milla = 1.609 km =

1,609 metros

1pulgada = 1 inch

= 1 in. = 8 octavos

1 in = .0254 m 1 ft (pie) = .3048 m 1 yarda = .9144 m

(yarda = yd)

Ejemplo 11.17 Escribir en términos de metros 6 ft 2 in

Solución Se convierte por su lado los pies y las pulgadas en metros y luego se suman.

6 ft.3048 m/ft = 1.8288 m y 2in.0254 m/in = .0508 m

Sumando: 1,8288 m + .0508 m = 1.8796 m obtenemos 6 ft 2 in = 1.8796 m.

Ejemplo 11.18 Escribir en términos de metros 55 mi

Solución Se multiplica (55mi)(1609 m/mi) = 88495 m

Ejemplo 11.19 Escribir en términos de metros 5 in 3/8 in

137


Solución Se convierte por su lado las pulgadas y sus fracciones a metros y se suman

5 in.0254 m/in = .127 m (3/8 in)(.0254 m/in) = .009525 m

Sumando .127 m + .009525 m y entonces 5 in 3/8 in = .136525 m

Ejemplo 11.20 escribir en términos de metros 15 000 ft

Solución. Multiplicando 15000ft.3048 m/ft = 4572 m

Ejemplo 11.21 Escribir en términos de metros 5 yd 10 ft 8 in

Solución Se convierte por su lado las yardas, pies y pulgadas a metros y se suman

5 yd.9144m/yd = 4.572 m 10ft.3048m/ft=3.048m 8 in.0254m/in = 1.6256 m

sumando 4.572 m + 3.048 m + 1,6256 m = 9.2456 m

Ejemplo 11.22 Convertir 1.75 m a su equivalente en pies y pulgadas.

11.22.1 Conversión a pies.

Con 1 ft. = .3048m dividimos: 1.75 m

.3048 m ft = 5.7415 (m/m

ft) = 5.7415 (m ft/m)

= 5.7415 ft. La parte decimal del resultado = .7415 no son pulgadas, son fracciones

decimales de pie. En seguida se obtendrá el número de pulgadas.

11.22.2 Cálculo de las pulgadas.

Con 1 ft = 12 in se multiplica: .7415 ft 12in

ft= 11.898 in o sea .7415 = 11.898 in

Ahora la parte decimal = .898 representa fracciones decimales de pulgada. Para este

curso lo mas conveniente es redondear 11.898 in hasta 9 in con lo que el resultado es

1.75 m ≈ 5 ft. 9 in donde el signo igual ha sido reemplazado por el signo ≈ que se lee

“aproximadamente igual a”.

Ejemplo 11.23 Convertir 5 cm a su equivalente en pulgadas

11.23.1. Se obtienen las pulgadas con: (5in)/(2.54 cm/in) = 1.9685 in.

11.23.2 Para calcular cuantos 8’avos de pulgada representan .9685in. Con 1/8 = .125 se

divide .9685/.125 = 7.748 octavos de pulgada, y para los propósitos de este curso

redondeamos a 7 octavos. Entonces 5 cm = 1 in 7/8 in

138


Ejemplo 11.24 Convertir 7 km a su equivalente en pies y pulgadas

11.24.1 Primero se obtiene el número de pies. Con 7 km = 7000 m y 1 ft = .3048 m se

divide (7000 m)/(.3048 m/ft) = 7000

.3048(m/

m

ft) = 22965.8793 ft

11.24.2 Para obtener las pulgadas se multiplica (.8793 ft)(12in/ft) = 10.5516 in

11.24.3 Para obtener los 8’vos de pulgada se multiplica .5516/(1/8)= .5516/.125

= 4,41 y redondeamos a 4 octavos. Finalmente 7 km = 22965 ft 10 in (4/8) in

Ejemplo 11.25 Convertir 1.5 cm a pulgadas

Claramente 1.5 cm < 2.54 cm = 1 in por lo que 1.5 cm se traducirá directamente a

8’avos de pulgada. Con 2.54cm/8’vo = .3175 cm es decir 1/8 de pulgada = .3175 cm.

Dividiendo 1.5/.3175 = 4.72 8’vos de pulgada. Redondeando tenemos 1.5 cm 5/8 in .

Ejemplo 11.25 bis Convertir 55 mi a pies

Solución Con 1 mi = 5280 ft se multiplica 55 mi5280 ft/mi =290,400 ft

Conversiones de Unidades de Area

La tabla 11.3 presenta las equivalencias entre m2, cm2, dm2, mm2

Tabla 11.3

Factores de Conversión de Unidades de Area

1 m2 = 100 dm2 = 102 dm2 1 dm2 = .01 m2 = 10-2 m2

1 m2 = 10,000 cm2 = 104 cm2 1 cm2 = .0001 m2 = 10–4 m2

1 m2 = 1,000,000 mm2 = 106 mm2 1 mm2 = .000,001 m2 = 10 -6 m2

Nótese que 12 cm = .12 m = 12/100, pero 12 cm2 no es .12 cm2 sino .0012 m2 pues

1 m2 = 10,000 cm2 = 104 cm2, y dividiendo

€

12 cm2

10,000 cm2 m2 = .0012 m2. En los textos

de secundaria se explica como se obtienen las relaciones entre unidades de área.

1ro Conversión de unidades de área a términos de metros cuadrados (m2)

Ejemplo 11.26 Escribir 25 cm2 en términos de m2

139


Método 1 Con 1 cm2 = 10- 4 m2 se multiplica 25cm210-4

€

m2

c m 2 = 2510- 4 m2

= .0025m2

Método 2 Con 1 m2 = 104cm2 se divide

€

25cm2

104 cm2 m2 = 2510-4

€

m2c m 2

c m 2 = 2.510-3 m2

Ejemplo 11.27 Escribir 35 mm2 en términos de m2

Método 1 Con 1 mm2 = 10-6m2 se multiplica 35mm210-6

€

m2

m m 2 = 3510-6m2

= .000,035

Método 2 Con 1 m2 = 106 mm2 se divide 35mm 2

106 mm2/m 2 = 3510-6

€

m2m m 2

m m 2= 3510-6m2

Ejemplo 11.28 Escribir 25 dm2 en términos de m2

Método 1 Con 1 dm2 = .01m2 se multiplica 25dm2.01m2/dm2 = .25m2

Método 2 Con 1 m2 = 100 dm2 se divide

€

25 dm2

100 dm2 m2 = .25 m2

2do Conversiones a cm2 y dm2

Ejemplo 11.29 Escribir .025 m2 en términos de cm2

Método 1 Con 1 m2 = 104cm2 se multiplica .025m2104cm2/m2 = 250 cm2

Método 2 Con 1 cm2 = 10- 4 m2 se divide

€

.025 m2

10−4 m2/cm2 = .02510 4

€

/ m 2cm2

/ m 2 = 250 cm2

Ejemplo 11.30 Escribir 5.367m2 en términos de dm2

Método 1 Con 1 m2 = 100 dm2 = 102dm2 se multiplica 5.367m2102dm2/m2

= 5.367102 dm2 = 536.7 dm2

Método 2 Con 1 dm2 = .01m2 = 10-2m2 se divide 5.367m2

10−2m2/dm2 = 5.367102

€

/ m 2dm2

/ m 2

= 5.367102 dm2 = 536.7 dm2

140


Ejemplo 11.31 Escribir .5 m2 en términos de mm2

Método 1 Con 1 m2 = 1,000,000 mm2 = 106 mm2 se multiplica .5m2106mm2/m2

= .5106mm2= 5105mm2= 50,000 mm2

Método 2 Con 1 mm2 = .000 001m2 = 10-6 mm2 se divide

€

.5 m2

10−6 m2/mm2 = .5106

€

/ m 2mm2

/ m 2 5105mm2= 50,000 mm2

Conversión de unidades de volumen

La tabla 11.4 presenta los factores de conversión entre m3, dm3, cm3 y mm3 así

como las relaciones entre el litro o decímetro cúbico y el mililitro o centímetro cúbico

Tabla 11.4

Factores de Conversión de Unidades de Volumen

1 m3 = 1000 litros = 103 l = 103 dm3 1 litro = 1 dm3 = .001 m3 = 10-3m3

1 m3= 1,000,000 cm3 = 106 cm3 1 cm3 = 1 cc = .000,001 m3 = 10-6 m3

1 m3=1,000,000,000 mm3 = 109 mm3 1 mm3 = .000,000,001 m3 = 10–9 m3

1 litro = 1,000 ml = 103 ml = 103 cm3 1 cm3 = 1 cc = 1 ml = .001 l = 10-3 l

Recuerde que 1 m3 = 1m1m1m = 10dm10 dm10 dm = 103 dm3 = 1000 dm3

Que 1 m3 = 100cm100cm100cm = 106 cm3 = 1,000,000 cm3, y finalmente

1 m3 = (1000 mm )3 = 1,000,000,000 mm3 = 109 mm3. También que 1 Litro = 1 dm3 y

que 1 litro = 1000 cm3 y que el centímetro3 = 1 mililitro

Ejemplo 11.32 Expresar 35 ml = 35 cc = 35 cm3 en términos de m3

Método 1 Con 1 ml = 10–6 m3 se calcula 35 ml 10–6 m3/ml = 3510-6 m3 = .000,035

m3

Método 2 Con 1 m3 = 106 ml se divide

€

35 ml

106 ml m3 = 3510-6m3 = .000,035 m3

141


Ejemplo 11.33 Expresar 11.25 litros en términos de m3

Método 1 Con 1 litro = .001m3=10–3m3 se multiplica 11.25 L10–3m3/L

=11.2510–3m3= .01125 m3

Método 2 Con 1 m3 = 103 L se divide

€

11.25 L

103 L m3 = 11.25 10- 3m3 = .01125 m3

Ejemplo 11.34 Expresar .025 ml = .025 cc = .025 cm3 en términos de litros

Método 1 Con 1 ml = 10–3 l se calcula .025 ml10–3 l/ml = .02510–3L = .000,025

litros

Método 2 Con 1 L = 103 ml se divide

€

.025 ml

103ml L = .02510–3 L = .000,025 litros

Ejemplo 11.35 Escribir .048 m3 en términos de litros.

Método 1 Con 1 m 3 = 1,000 litros = 103 L se multiplica .048m3103 l/m3 = .048103 L

= 48 L

Método 2 Con 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 se divide

€

.048m3

10−3m3 L=.048103

€

/ m 3L

/ m 3 = 48 litros

Ejemplo 11.36 Expresar .007 m3 en términos de ml = cc = cm3

Método 1 Con 1 m3 = 106 ml calculamos .007 m3106 ml/m3 = .007106 ml = 7,000

ml.

Método 2 Con 1 ml = 10-6 m3 se divide

€

.007 m3

10- 6 m3 ml = .007106

€

/ m 3ml

/ m 3 = 7,000 ml.

Conversiones entre unidades de masa. Las conversiones mas frecuente en los

cursos de ciencias básicas se efectúan entre gramos, kilogramos, libras y toneladas, cuyas

relaciones se muestran en la tabla de abajo

Tabla 11.5

Factores de Conversión de unidades de masa

1 kg = 1000 g = 103 g 1 g = .001 kg = 10-3 kg 1 decigramo = .1 g = 10-1 g

1 kg = 2.2026 libra 1 lb = .454 kg 1 centigramo =.01g = 10-3g

142


1 kg = .001 ton = 10-3 ton 1 ton = 1000 kg = 103 kg 1 miligramo =.001g =10-3 g

Ejemplo 11.37 Expresar 111.5 gramos en términos de kilogramos

Método 1 Con 1 g = .001 kg = 10-3

kg se multiplica111.5 g 10-3 (kg/g)=

111.510-3 kg es decir 111.5 g. = .0155 kg

Método 2 Con 1 kg = 1000 g se divide15.5 g

1,000 (g kg) =.0155

€

/ g kg

/ g = .0155 kg

Ejemplo 11.38 Expresar 11.342 kg en términos de gramos

Método 1 Con 1 kg = 1000 g se multiplica 11.342 kg 1000 (g/kg) = 11342 g

Método 2 Con 1 g = .001 kg = 10-3kg se divide 11.342kg

10−3 /kg g=11.342103(g kg/kg)

= 11.342103g = 11342 g

Ejemplo 11.39 Expresar 25 mg en términos de kilogramos

Método 1 Con 1 mg =10-3 g se multiplica 25mg 10-3g/ mg = .025g y con 1 g = 10-3 kg

se multiplica .025g10-3 kg/g y 25 mg = .025g = .000,025 kg

Método 2 Con 1 kg = 103 g se divide

€

.025 g

103 g kg = .02510-3(/ g kg

/ g ) = .000,025 kg

Ejemplo 11.40 Expresar 300 libras en términos de kilogramos

Solución: Con 1 lb = .454 kg se multiplica 300 lb.454kg/lb = 136.2 kg

Ejemplo 11.41 Escribir .360 kg en términos de gramos

Solución: Con 1 kg = 103 kg se multiplica .360 kg 103 (g/kg) = 360 gramos el otro

método queda de tarea

Conversiones de unidades de tiempo.

La unidad fundamental de tiempo es el segundo. Las horas y los minutos no son

números reales, y no entran directamente en las ecuaciones de las ciencias.

Tabla 11.6

Factores de conversión: Unidades de tiempo

1 año = 365.25 días 1 mes = 30.4375 días 1 día = 24 horas

143


1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1 siglo = 100 años

Ejemplo 11.42 Escribir 10 ms en segundos (ms = mili segundo = .001 s = 10-3 s)

Solución: Multiplicando 10 ms.001s/ms = .01s o bien 10ms10-3s/ms = 1010-3s

= .01s

Ejemplo 11.43 Expresar en términos de segundos 25 nano segundos = 25 ns

Solución: Con 1 ns = 10-9 s se multiplica 25 ns10-9(s/ns) = 2510-9 s = .000,000,025

s

Ejemplo 11.44 Escribir en términos de horas minutos y segundos t = 25,000 s

11.44.1 Cálculo de las horas 1 hr.60 (min/hr.)60s/min = 3,600 s y el número de

horas = 25,000s/ 3600(s/hr) = 11.944444 hr. donde .94444 son fracciones decimales de

hora.

11.44.2 Cálculo de los minutos minutos = fracción decimal de hora 60 = .94444460

= 511.66667 min la fracción .666667 son fracciones decimales de minuto.

11.44.3 Determinación de los segundos minutos = fracción decimal de minuto 60

= .66666760 = 40 s Finalmente 25,000 seg = 6 hr 56 min 40 s

Ejemplo 11.45 Convertir 3 hr 24 min a su equivalente en segundos

Se convierten por separado las horas y los minutos a segundos y los resultados se suman

Conversión de las 3 horas a segundos Conversión de los 24 minutos a segundos

3 hr. 3600 (s / hr.) = 10.800 s 24 min60 s/min = 1440 s

El resultado es 3 hr 24 min = 10,880 s + 1,440 s = 12,240 s

Conversiones de Unidades de Temperatura

La figura 11.1 muestra un termómetro calibrado en las escalas Celcius y Fahrenheit

Tc

100 divisionesde un grado Celciuscada uno

0 Co

0 Fo

32 Fo

TF

TF

- 32 )(

100 Co212 F o

180 divisiones de

un grado Fahrenheith

Figura 11.1

144


indicando una temperatura T. La temperatura Celcius simbolizada por Tc se obtiene

contando el número de rayas desde el cero hasta la punta de la columna de mercurio. En

la escala Fahrenheit, hay TF - 32 rayas para la misma temperatura. Entre la temperatura

de fusión y la de ebullición del agua hay 100 rayas en la escala Celcius. Para la escala

Fahrenheit entre las temperaturas de fusión y ebullición del agua hay 212 - 32 divisiones.

Dado que el conteo de rayas de calibración de ambas escalas, son esencialmente dos

medidas de la longitud diferentes de la misma distancia, si dividimos TC/100 el resultado

de la división tendrá el mismo valor que dividir

TF −32

212 −32, pues ambas expresiones

indican la misma razón de dos longitudes físicas y obtenemos: TC

100 =

TF −32

212 −32 de donde

despejando Tc tenemos TC = 100

180 (TF – 32) = 10

18 (T F – 32) y

TC = 5

9 (TF-32)........................................................................................................ 11.2

Que es la fórmula para convertir temperaturas en grados Fahrenheit a su

equivalente en Grados Celcius. Despejando TF desde la ecuación 11.2 obtenemos la

fórmula de conversión de Grados Celcius a Grados Fahrenheit.

TF = 9

5 TC + 32............................................................................................................ 11.3

Las escalas Celsius y Fahrenheit son las de uso común para medir temperatura en la

vida diaria, sin embargo no son las escalas fundamentales para la ciencia. La escala

fundamental para medir temperatura es la escala de temperatura absoluta o Kelvin, que

tiene las características siguientes:

1. El punto de arranque de la escala es el cero absoluto o cero grados Kelvin (0oK).

2. Los grados absolutos o Grados Kelvin son del mismo tamaño que los grados Celcius.

3. El cero absoluto o 0oK equivale a - 273oC

Así la fórmula de conversión de grados Celcius a grados absolutos es:

TK = Tc + 273................................................................................................... 11.4

145


Dado que no puede haber temperaturas mas bajas que el cero absoluto en el Uni-

verso, todas las temperaturas en la escala Kelvin son positivas.

Ejemplo 11.46 Escriba 100 oF en términos de oC

Solución. Utilizando la ecuación TC = 5

9 (TF-32) sustituimos los valores y obtenemos

TC =5

9 ( 100 – 32) = 5

9 ( 68) = 340

9 y finalmente TC = 37.78 oC

Ejemplo 11.47 Escriba 27 oC en términos de oF

Solución. Utilizando la ecuación TF = 9

5 TC + 32 sustituimos los valores y obtenemos

TF = 9

5 (27) + 32 = 243

5 + 5 = 411.6 + 5 y finalmente TF = 53.6 o F

Ejemplo 11.48 Escriba 30 oC en términos de oK

Solución. Utilizando la ecuación TK = Tc + 273 sustituimos los valores y obtenemos

TK = 30 + 273 y tenemos T = 303 o K

Ejemplo 11.49 Transformar 200o K a oC y a oF

Solución. De la ecuación TK = Tc + 273 despejamos Tc, y obtenemos Tc = TK – 273 y

sustituyendo obtenemos la temperatura Celcius : Tc = 200 – 273 y Tc = - 73 o C

Ahora en la ecuación TF = 9

5 TC + 32 sustituimos la temperatura Celcius que acabamos

de obtener TF = 9

5 (-73) + 32 = (

−657

5 ) + 32 = - 131.4 + 32 y TF = - 99.4 oF

Ejemplo 11.50 Escribir 50 oF en términos de

oK

Solución. Primero se transforma 50 oF a grados Celcius con TC =

5

9 (TF-32) =5

9 ( 50 – 32)

= 5

9 ( 18) =

90

9 = 10oC. Ahora se sustituye la temperatura en oC en TK = Tc + 273 = 10

146


+ 273 y finalmente tenemos TK = 283oK

Unidades Angulares Fundamentales

Ya vimos que grados, minutos y segundos son las unidades en las que se miden

usualmente los ángulos, pero dichas unidades no son números reales, pues no se

relacionan entre si en base a potencias de 10, y es truculento aplicarles las reglas del

álgebra y la aritmética. El radian es una unidad angular que si es decimal, y es la

fundamental para medidas angulares en el sistema internacional.

El radian. Cualquier ángulo se genera haciendo girar un segmento de recta como

el VA de la figura 11.2, alrededor de uno de sus extremos como el V. Al girar el extremo

A hasta una nueva posición B, genera un ángulo como el indicado por la letra .

Simultáneamente el extremo de la recta genera un arco desde A hasta B con longitud

llamada longitud de arco, que puede medirse con una cinta métrica y se denota con la

letra s. La distancia desde V hasta A se llama radio de rotación r. Entonces la medida x

en radianes del ángulo es:

x = Longitud del arco AB

Radio de rotación=

ABr

= s

r.........................................................................11.5

Obviamente: un ángulo de un radian es aquel cuya longitud de arco es igual al

radio de rotación. El radian es un número puro sin unidades, pues al efectuarse la

división, las unidades de longitud de arco y radio de rotación se eliminan

algebraicamente. Dado que usualmente medimos ángulos en grados, minutos y segundos,

debemos aprender a transformar grados sexagesimales, a radianes y viceversa.

Figura 11.2

147


La figura 11.3 muestra un giro completo del radio de rotación r describiendo un

ángulo de 360o. La longitud de este arco C es igual a la circunferencia, o sea C = 2 r.

Entonces 360º en términos de radianes es: 2 r

r = 2 , es decir 360o equivale a 2

radianes. Con esto para cualquier ángulo que mida en grados y X en radianes será

valida la proporción siguiente:

€

Medida en radianes

Medida en Grados=

x

α=

2π

360 =

€

180

o sea:

€

x

α=

π

180. De

aquí despejamos x o para obtener las fórmula de conversión de grados a radianes, y

de radianes a grados, es decir:

Medida en radianes = x = α

180 =

180

(medida en grados)........................................11.6

Medida en grados = 180 x

= 180

(medida en radianes)........................................11.7

En la fórmula 11.6 no entran ni minutos y segundos, únicamente grados y

fracciones decimales de grado. Así para convertir a radianes un ángulo como = 27o 15'

30" primero se convierten los 15' 30" a fracciones decimales de grado, el resultado se

suma a 27 y después se aplica la fórmula 11.6. Para ello los minutos se dividen entre 60,

y los segundos entre 3600, para el ángulo = 27o 15' 30" se procede como sigue:

= 27o +

€

15

60 +

€

30

3600 = 27o + .25 + .0083 = 27.0083o

Al convertir radianes a grados con la fórmula 11.7, obtenemos cantidades como

81.9435o y tenemos que convertir la fracción decimal de grado .9435, a minutos y

segundos, de la forma siguiente: Minutos = fracción decimal de grado60. Para el caso

de este ejemplo: Minutos = .943560 = 56.61’ donde .61’ es una fracción decimal de

minuto

ro

360

Figura 11.3

148


Para obtener los segundos, la fracción decimal de minuto se multiplica por 60. Para este

ejemplo segundos = .6160 = 36.6” y se redondea a 37”. Con esto 81.9435o =

81º56’37”.

Ejemplo 11.51 Expresar 30o en términos de radianes

Solución Aplicando 11.6: radianes = x =

30π

180=

3.1416 ×30

180=

94.248

180 = .5236 rad A

menudo se acostumbra expresar el resultado en términos de , simplificando la fracción

de la forma siguiente: x =30180 =

318 =

6

y el resultado se expresa: 30o =6

Ejemplo 11.52 Expresar 27o 15' 30" en términos de radianes

Solución Primero se calcula la fracción decimal de grado que equivale a 15' 30". Con

1o= 60' y 1o= 3600" se dividen los minutos entre 60 los segundos entre 3600, y los re-

sultados se suman a los 27o grados: 27o 15' 30" = 27o + (15/60) + (30 / 3600) = 27 + .25

+ .0083 = 27.2583º Ahora se aplica la fórmula 11.6:

Medida en radianes = x =

149


27.2583×3.1416180

=150


.4757 rad, y 27o 15' 30" = .4757 radianes

Ejemplo 11.53 Expresar (3/2) rad. en términos de grados minutos y segundos.

Solución Con 11.7 medida en grados = = 180

/ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3 /

2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

180×32 = 270o

Ejemplo 11.54 Expresar 1.5 radianes en grados minutos y segundos.

Solución Con 11.7: Medida en grados =

151


180 ×1.5

=279

3.1416152


= 85.9435o. La fracción .9435 no representa ni minutos ni segundos sino fracciones

decimales de grado.

11.54.1 Para obtener minutos

Se multiplica: ( fracción decimal de grado) 60 = .943560=56.6081

La fracción (.6081) no son segundos sino fracción decimal de minuto

11.54.2 Para obtener los segundos

Se multiplican (fracciones decimal de minuto) 60 = .608160 = 36.486" y para los

propósitos de este curso, se redondeará e resultado con lo que obtenemos 36".

Finalmente el resultado es: 1.5 radianes = 85o 56' 36"

Ejercicios

1. Escribir en términos de metros

1) 12.5 cm 2) 30.56 mm 3) 15 dm 4) .005 cm 5) .0087 km

6) 10-14 cm 7) 108 km 8) 10-6 mm 9) 500 dm 10) 10-6 mm

11) .005 cm 12) .025 dm 13) 3106 km 14) 10-13 cm 15) 10-7 km

16) .042 mm 17) 3.610-5cm 18) .00025 cm 19) .00032 mm 20) 910-27 cm

21) .0035 dm 22) .00045 mm 23) .000385 cm 24) .0065 mm 25) 3 mi 2000 ft

26) 6 ft 2 in 27) 2 yd 3 ft 5 in 28) 400 ft 29) 360 ft 30) 30,000 ft

31) 10 in y 5

8 in 32) 6ft 12

16 in 33) 1mi 370 ft 34) 27,000 ft 35) 900ft 12 in

36) 5 ft 8 in 37) 90 ft

€

3

8 in 38) 5ft 8 in

14

16in 39) 6ft

€

3

8 in 40) 6 ft 7 in

€

5

8 in

41) 440 ft 11 in 42) 30,000 ft 43) 1650 ft 44) 12 ft 8 in

2. Escribir en términos de cm

45) 10-6m 46) .0035 mm 47) 2.58 m 48) 34.5 dm 49) 10-4 m

50) 106 m 51) 51025 m 52) 310-6mm 53) 3106mm 54) 6ft 2 in

55) 360 ft 56) 6 ft 5 in 57) 15,000 ft 58) 120 ft 59) 2in y 7

8in

153


60) 3

16 in 61) 7 ft 2 in 62) 3 yd 8 ft 62) 5/8 in 63) 2 yd 3 ft

3. Escribir en términos de pies y pulgadas aproximando hasta 8’avos de pulgada

64) 1.8 m 65) 80 cm 66) 15 mm 67) 7 dm 68) 1 km

69) 5104 m 70) 51010 cm 71) 120 m 72) .002 km 73) 1.95 m

74) 300 m 75) 1 mm 76) 1 cm 77) 1 dm 78) 1012mm

79) 10-3 km 80) 1027 mm 81) 108 km 82) 1.64 m 83) 95 m

3. Convertir a metros cuadrados

84) 2.5 cm2 85) 1.75 mm2 86) 3.75 dm2 87) 7 hectáreas 88) 4107 km2

89) .0046 km2 90) 5 ft2 91) 310-6cm2 92) 61012mm2 93) 45 cm2

94) 25 dm2 95) 12.56 mm2 96) 23.45 dm2 97) 7.36 mm2 98) 310-3 mm2

99) 6 dm2 100) 7.5 cm2 101) 45 mm2 102) 3.45 cm2 103) .0046 dm2

4. Convertir a metros cúbicos

104) 3.56 litros 105) 15 cm3 106) 105 mm3 107) 600 km3 108) 5 ml

109) 250 ml 110) 5106dm3 111) .0035 Litros 112) 2510-6 ml

113) 123 ml 114) .025 litros 115) 35 mm3 116) .004 dm3

5. Convertir a kilogramos

117) 10-28 g 118) 1.75 g 119) 5 milig (mg)

120) 1.75 decig(dg) 121) .006 g 122) 600 lb 123) 35000 ton

124) .0025 g 125) 61012 kg 126) 11 milig (mg)

6. Escribir en términos de segundos

127) su edad 128) 30 días 129) 50 minutos 130) 9 meses 131) 2 años

132) 1 año 6 meses 2 dias 133) 5 años 2 meses 1 dia y 3 horas

134) 3 hrs 20 mins 135) 48 hrs 25 mins 136) 5 hrs 48 mins

7. Convertir a grados Kelvin

154


137) 32oF 138) 45oC 139) 250oC 140) 80oF 141) 35oC

142) – 40oF 143) -120 oC 144) -32 oF 145) – 50oC 146) 208oF

8. Efectuar las conversiones abajo indicadas

147) 120oK a oF 148) 400oF a oC 149) - 40oC a oF

150) –40 oF a oC 151) 38oC a oF 152) 120oF a oK

153) 30oF a oK 154) –35oC a oK 155) 100oK a oF

156) 128oF a oK 157) –30oF a oK 158) 6oK a oF

9. Escribir en términos de radianes

159) 35o 160) 270o 161) 150o 16’ 45’’ 162) 10’ 50’’ 163) 45o20’

164) 1o 5’50” 165) 120 o 166) 48” 167) 300 o 25’10” 168) 5o15’

10. Escribir en términos de grados minutos y segundos

169)

€

2π

3rad 170) 2.5 rad 171)

€

6/6 rad 172) 1.75 rad 173) rad

174) 15 rad 175)

€

5π

7 rad 176) .2 rad 177) 3 rad 178)

€

5π

4 rad

155

Ice cap11 conv

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