Experimento 1

MEDICIÓN

RESUMEN

En esta oportunidad analizaremos el error experimental en tres situaciones. En el primer caso se realizo la medición y error experimental en una muestra discreta de frijoles. En el segundo experimento se medirá un paralelepípedo, con aparatos de distinta precisión, y estudiaremos la propagación de errores en dicha medición. Por ultimo, en la tercera experimentación se realizara la grafica la grafica de resultados experimentales, resultados obtenidos al medir los periodos de un péndulo con distintas longitudes varias veces, además se hará la curva de ajuste en la respectiva grafica.

Para realizar todos los análisis ya mencionados apelaremos a los métodos de la experimentación y la observación. Además se tomaran medidas de suma precisión en cada uno de los procesos de experimentación, tomando en cuenta los errores que se pudieran haber cometido en el proceso de medición o en la construcción de sistemas utilizados como ya lo veremos.

Las mediciones obtenidas en el proceso ya mencionado nos dan como resultados cuadros estadísticos y gráficos que nos ayudan al entendimiento y de los márgenes de error que pueden ocurrir, como ya lo veremos, en ciertas situaciones en el laboratorio.

Introducción

Como parte del syllabus del curso de física se presenta el siguiente informe que contiene lo realizado en el primer laboratorio Medición y error.

Los experimentos tuvieron como objetivo conocer las definiciones relativas al error experimental y determinar el error en el proceso de medición.

Este informe presenta un resumen, introducción, los materiales y equipo empleado, procedimiento, conclusiones y bibliografía.

El informe consta de 3 experimentos realizados en el laboratorio:

Medición y error experimental Propagación del error experimental Gráfica de resultados de una medición

La técnica empleada fue la experimentación (conteo y medición) y observación de cada experiencia.

Los resultados y las conclusiones se muestran en gráficas para su mayor precisión.

Materiales y Equipo empleado

1) Medición y error experimental Un tazón de frejoles Dos hojas de papel milimetrado Un tazón mediano de plástico

2) Propagación del error experimental Un paralelepípedo de metal Una regla graduada en milímetros Un pie de rey

3) Gráfica de resultados de una medición Un péndulo simple de 1,5 m de longitud Una regla graduada en milímetros Un soporte Un cronómetro Dos hojas de papel milimetrado

Procedimientos

Medición y error experimental (incertidumbre)

Deposite los frijoles en el tazón. Coja un puñado de frijoles del recipiente una y otra vez hasta lograr su puñado normal (un puñado ni muy apretado ni muy suelto).

Después coja un puñado normal y cuente el número de granos obtenidos. Apunte el resultado y repita la operación por lo menos 100 veces.

Cálculos y Medición

Determine la media aritmética de los 100 números obtenidos. Esta medida aritmética es el número más probable, nmpde frijoles que caben en un puñado normal.

Determine la INCERTIDUMBRE NORMAL o desviación estándar , ∆ nmp, de la medición anterior. Para ello proceda así:

Sea N k el número de granos obtenidos en la k-ésima operación. Halle la media aritmética

de los cuadrados de las diferencias N k−nmp , que será:

1100

∑k=1

100

(N k−nmp )

La raíz cuadrada positiva de esta media aritmética es el número ∆(nmp), buscado ; en general:

∆ (nmp )=¿

Preguntas

1. En vez de medir puñados ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.?-Si es posible pues en estos procedimientos también encontraremos una incertidumbre al contar los frijoles.

2. Según Ud. ¿a que se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros?-Mas que todo se debe a la diferencia de tamaño de las manos con los demás compañeros.

3. Después de realizar los experimentos, ¿Qué ventaja le ve a la representación de π[r , r+2¿ frente a la de π[r , r+1¿?

-El intervalo es mayor y se pueden tomar más datos .

4. ¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes?-Es posible que la desviación se haga mayor (en un puñado puede tocar todos los frijoles pequeños en otro los más grandes)

5. En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado, ¿seria ventajoso colocar solo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el numero de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente?-No puesto que el experimento consiste en saber el número de frijoles que caben en cada puñado extraído.

6. ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara solo, digamos, 75 frijoles en el recipiente?-El intervalo de frijoles por puñado disminuiría puesto que no seria posible coger todos los frijoles en un solo puñado.

7. La parte de este experimento que exige más paciencia es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.?¿Por que?-En nuestro caso se eligió que uno de los participantes realizara las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 o 34 puñados puesto que así aseguramos el intervalo que se tiene con solo la mano de aquel compañero.

8. Mencione 3 posibles hechos que observarían si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados.- La desviación estándar variaría ligeramente

- Aumentaría la frecuencia de cada numero de frijol por puñado

- El promedio aritmético varía ligeramente.

9. ¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones N k−nmp?-El promedio aritmético de las desviaciones es:7.75

10. ¿Cuál cree Ud. es la razón para haber definido∆ ¿ en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones?-Se debe a que al sumar las desviaciones algunas son negativas así que es más efectivo sumar los cuadrados para que todos sean positivos.

11. Después de realizar el experimento coja Ud. un puñado de frijoles ¿Qué puede Ud. afirmar sobre el número de frijoles contenido en tal puñado (antes de contar)?-Es bastante probable que el número de frijoles varíe entre 90 y 120

12. Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.-Puesto que los pallares son más grandes que los frijoles el número de pallares por puñado no variara tanto en comparación con el de los frijoles es decir la desviación estándar será menor.

PROPAGACION DEL ERROR EXPERIMENTAL

Fundamento Teórico

En el proceso de medición, el tratamiento de errores (también llamados errores) nos lleva al tema de la propagación de estos, al buscar expresar el valor de magnitudes que se determinan indirectamente.

Teniendo en cuenta que el error de medición directa, de una magnitud x, es Δx ˂˂ x, se puede usar la aproximación: Δx ≅ dx.

Así para cualquier magnitud indirecta (o que se mide indirectamente) por ejemplo:

V = V(x,y), cuya expresión diferencial es dV=∂V∂ X

dx+ ∂V∂Y

dy

Podremos calcular el error de V si se conoce explícitamente V = V(x,y) y se hace las aproximaciones:

ΔV ≅ dV

Δx ≅ dx

Δy ≅ dy

Tome el paralelepípedo de metal y mida sus tres dimensiones con…

Una regla graduada en milímetros Un pie de rey (vernier)

Nota: estas mediciones deben estar provistas de sus respectivas incertidumbres.

Determine el área total A y el volumen V del paralelepípedo.

Suponga que coloca 100 paralelepípedos apoyando uno sobre otro, formando un gran paralelepípedo, para este determine…

El área total A100 El volumen total V100

Nota: para el paralelepípedo de mayor tamaño sea tomado como dimensiones 10x5x2 (largoxanchoxaltura) paralelepípedos pequeños.

OBS: Todas estas mediciones se encuentran registradas en la tabla de la siguiente hoja.

Preguntas

1. ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿Cuál es el procedimiento más adecuado?

-Para establecer una medida se deben emplear los instrumentos y métodos adecuados. Asimismo es necesario definir las unidades de medición. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una mesa, el instrumento de medición será una regla. Si hemos elegido el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad será el metro y la regla a usar deberá estar calibrada en esa unidad (o submúltiplos). El método de medición consistirá en determinar cuántas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitud buscada.Del uso que le demos a las medidas halladas en el paralelepípedo dependerá el instrumento que usaremos, por ejemplo si solo queremos las medidas de sus dimensiones bastara con usar la regla (siempre y cuando no se exija una gran precisión); pero, si deseamos obtener su área o volumen lo mas ideal sería usar el vernier dado los valores que arroja (por ejemplo los de la tabla anterior).Por lo tanto según sea el caso solo se necesitara de un instrumento y un solo método de medición.

2. ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla o un pie de rey?

-En este caso, debido al tamaño (dimensiones) del paralelepípedo, lo más adecuado es usar el pie de rey dado que el error (incerteza) que acompaña a la medida que arroja el instrumento es 20 veces menor que el de la regla; por lo tanto al calcular el volumen el valor obtenido será mucho más preciso.

GrÁfico de resultados de una medición

Cálculos y Resultados

3º DE AQUÍ ¿CÓMO HARIA PARA OBTENER LA ACAELERACION DE LA GRAVEDAD?

Debido a que la amplitud de oscilación del péndulo a medir siempre fue menor que doce (senθ≃θ) y la resistencia del aire al igual que la masa de la cuerda son despreciables, uno puede concluir que aplicando las ecuaciones del movimiento armónico simple a una de las mediciones halladas en la experimentación seria suficiente para encontrar la aceleración de la gravedad.

4º OBTENGA EL VALOR DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD.

De la ecuación ideal para un péndulo simple con amplitud angular menor que doce:

T = 2π √Lg

De los datos hallados en la experimentación:

10T = 15.27485 s

L = 0.52 cm

Remplazando los datos:

1.527485 = 2π √0.52g

g = 8.8

5º DETERMINE LOS COEFICIENTES A, B Y C DE LA FUNCION:

LT=f (T )=a+bT+c T2

DE MANERA QUE PASE POR TRES PUNTOS ELEGIDOS “CONVENIENTEMENTE” Y PERTENECIENTES A LAS FUNCIONES DISCRETAS ANTERIOR. CON ESTO YA QUEDAN “CONOCIDOS” A, B Y C.

LT=f (T )=a+bT+c T2/ T y L son solo los valores numéricos del periodo y longitud

del péndulo, respectivamente.

De las ecuaciones normales para una “parábola mínimo cuadrática”:

∑i=1

n

Y i=an+b∑i=1

n

X i+c∑i=1

n

X i

∑i=1

n

X iY i=an∑i=1

n

X i+b∑i=1

n

X i2+c∑

i=1

n

X i3

∑i=1

n

X i2Y i=an∑

i=1

n

X i2+b∑

i=1

n

X i3+c∑

i=1

n

X i4

Remplazando los datos obtenidos en la experimentación (tomando “convenientemente” solo tres puntos experimentados)

P1=¿ (7.551; 10)

P2=¿ (11.916; 30)

P3=¿ (15.274; 52)

92 = 3a + 3.4741b + 432.307c

122.7238 = 3.4741a + 432.307b + 5.685854c

169.6251 = 4.32307a + 5.685854b + 7.7839059c

a = -1.898

b = -3.36

c = 25.3

→ L = f (T )= -1.898 – 3.36T + 25.3T 2

L = f (T ) = 0.253(10T−0.664)2 - 2

6º calcule la incertidumbre ∆ f

∆ f={ 110

∑k=1

10

[Lk−f (T k)]2}12

f (T 1 )=¿10.353 L1 = 10

f (T 2 )=¿12.471 L1 = 13

f (T 3 )=¿13.974 L1 = 16

f (T 4 )=¿18.47 L1 = 20

f (T 5 )=¿24.347 L1 = 25

f (T 6 )=¿30.031 L1 = 30

f (T 7 )=¿35.262 L1 = 35

f (T 8 )=¿39.633 L1 = 40

f (T 9 )=¿45.263 L1 = 46

f (T 10 )=¿52 L1 = 52

∆ f={(L1−f 1)2+(L2−f 2)

2+…+(L10−f 10)2

10 }12 → ∆ f = √ 7.27

10=0.8526

Nota: los cálculos 1º y 2º se encuentran en las hojas milimetradas.

Preguntas

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la masa?

-Si se lanza la masa, el sistema adquiriría la suficiente energía como para que la amplitud angular sea mayor que 12˚ ( Lsenθ=θ ¿ con lo cual el sistema dejaría de realizar un MAS y dejaría de ser un péndulo.

2. ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la masa? Explique

-No, ya que la variación de la aceleración del MAS no depende de la “masa” (como es el caso de un resorte), sino de la aceleración de la gravedad. Para un mejor entendimiento puede consultar el libro “FÍSICA de Alonso & Fin”.

3. ¿Depende el periodo del material que constituye la masa? (p.e: una pesa de metal, una bola de papel, etc.)

-Claro, ya que si el material no es lo suficientemente denso la resistencia del aire se volvería muy considerable e influiría notablemente en la disminución de la energía del sistema haciendo que la amplitud tienda a cero en corto tiempo.

4. Supongamos que se mide el periodo con = 5 y con = 10. ¿En cual de los dos casos resulta mayor el periodo?

-Ninguno, en ambos casos resulta el mismo periodo ya que este ultimo no depende de la amplitud angular siempre y cuando este sea menor que 12 (Lsenθ = Lθ)

5. Para determinar el periodo, se le ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una sola oscilación. ¿Por que no es conveniente medir la duración de una sola oscilación?

-Porque el error que el error que puede uno cometer al medir diez oscilaciones, es la decima parte de el error que se comete al medir una sola oscilación.

6. ¿Dependen los coeficientes a, b y c de la terna de puntos que pasan por f ?

-Claro, ya que “las ecuaciones normales para una parábola mínimo - cuadrática” que se utilizan para hallar los coeficientes a, b y c, dependen directamente de los tres puntos elegidos convenientemente.

7. Para determinar a, b y c se eligieron tres puntos. ¿Por qué no dos? ¿Por qué no cuatro?

-Porque si fueran dos puntos, la parábola f (T ) seria demasiado inexacta, por lo tanto tambien

lo seran los coeficientes a, b y c. si fueran cuatro o mas puntos elegidos, las ecuaciones normales serian demasiado engorrosas como para resolverlas con precisión y rapidez. Por lo ya mencionado es conveniente elegir solo tres puntos.

CONCLUSIONES

En la primera experiencia el valor verdadero de la magnitud (número de frejoles) a medir está en la región de los datos tomados. La probabilidad así determinada quedara mejor definida cuanto más grande sea la muestra.

Al ser estándares, o por lo menos los más parecidos posible, todos los factores que intervienen en la recopilación de datos como el tamaño de la mano con que se toman las muestras, el agarre al recoger los frejoles (ni muy apretado ni muy suelto), el tamaño de los mismos frejoles, etc.; la incertidumbre se reduce obteniendo el valor más preciso

Cuando medimos una distancia con una regla milimetrada puede ocurrir que la distancia se encuentre entre dos marcas del milímetro. Es común que todo instrumento de medida tenga una incertidumbre de ± 0,5 unidades de menor medida en las que este graduado el instrumento. Por tanto, cada medida viene con un error intrínseco.

Estos errores se tienen que tratar a la hora de realizar los informes de los experimentos y propagarlos a las cantidades que queramos determinar a partir de ellos. Por ejemplo, con una regla y un cronómetro podemos medir la distancia que recorrió un objeto y el tiempo que tardó, pero no medimos directamente su velocidad, por lo que el error en la velocidad vendrá dado a partir del error en la distancia y el error en el tiempo.

Si lo que queremos es comparar dos medidas con errores diferentes para ver cuál es más precisa usamos el error relativo, que es el cociente entre el error y la medida, de modo que cuanto menor sea este error relativo más precisa será la medida. Para dar el error en porcentaje de la medida no hay más que multiplicar el error relativo por cien.

Mientras en un péndulo su amplitud angular sea menor a 12°, el cuadrado de su periodo de oscilación será directamente proporcional a su longitud; esto siempre y cuando el tamaño del cuerpo sea pequeño en comparación del hilo al que está atado.

Esta relación estará dada por la expresión T=2π √ Lg ; donde “T” es el periodo del péndulo,

“L” es la longitud del péndulo y “g” es la aceleración de la gravedad. Según varias fuentes el margen de error es de un 1% en la realidad.

Bibliografía

www.Errores de medición - Física en Línea.com

www.FisicaNet - Física_ Mediciones y errores.com

www.Logikamente Libros de Matemática a Medida.com

www.Medicion y Error “FISICA 2 IV SEMESTRE DE INGENIERIA DE PETROLEO”- La Coctelera.com

www.Teoría de errores - Incertezas de medición.comwww.Tratamiento y propagación de errores.com

Nota: todas estas páginas fueron consultadas el sábado 16 de abril de 2011.