Integrales Dobles_1
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Integrales dobles
Se definirá a la integral de una función f(x,y) de dos variables sobre una región rectangular en el plano x,y.
Se supondrá que f(x,y) está definida en una región rectangular R expresada por:
dycbxaR ,:
Integral doble de f sobre el rectángulo R es
Una forma más general
R
m
i
n
jijij
nmAyxfdAyxf
1 1**
,,lim),(
R
m
i
n
jji
nmAyxfdAyxf
1 1,
,lim),(
Si f(x,y) ≥ 0, entonces el volumen V del sólido que está arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z = f(x,y) es
R
dAyxfV ),(
Propiedades de la integral doble
),(),(),(),(
0),(0),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(
yxgyxfsidAyxgdAyxf
yxfsidAyxf
dAyxgdAyxfdAyxgyxf
dAyxgdAyxfdAyxgyxf
dAyxfkdAyxkf
RR
R
RRR
RRR
RR
Propiedades de la integral doble
Existe una propiedad aditiva del dominio
21
),(),(),( 21
RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
R1 R2
Teorema Fundamental de Cálculo
La evaluación de integrales dobles a partir de los primeros principios es todavía más difícil, las integrales iteradas se pueden volver más sencillas al ser evaluadas al calcular dos integrales individuales.
Integrales dobles iteradas
Suponga que f es una función de dos variables que es integrable en el rectángulo R=[a,b]x[c,d], para evaluarlas primero se utiliza la notación
para decir que x se mantiene fija y f(x,y) se integra con respecto a y, entre los parámetros c y d, este proceso se denomina integración parcial con respecto a y.
dyyxfd
c ,
Integrales dobles iteradas
Ahora es un número que depende del valor de x, de modo que define una función de x.
Si se integra la función A con respecto a x entre los parámetros a y b.
dyyxfd
c ,
dyyxfxAd
c ,
Integrales dobles iteradas
La integral doble del lado derecho se denomina integral iterada.
dxdyyxfxAb
a
d
c
b
a
,
dxdyyxfdydxyxfb
a
d
c
b
a
d
c
,,
Integrales dobles iteradas
Del mismo modo
Significa que primero se integra con respecto a x y se evalúa entre a y b, después se integra con respecto y se evalúa entre c y d.
dydxyxfdxdyyxfd
c
b
a
b
a
d
c
,,
Teorema de Fubini
Este teorema proporciona un método práctico para evaluar una integral doble al expresarla como una integral iterada (en cualquier orden)
Si f es continua en el rectángulo R=[a,b]x[c,d], entonces
d
c
b
a
b
a
d
cR
dxdyyxfdydxyxfdAyxf ),(),(),(
Uso de la Integral doble para volúmenes
Encuentre el volumen del sólido S que está acotado por el paraboloide elíptico x2+y2 +z=16, entre los planos x = 2 y y = 2.
Caso especial
Existe un caso especial, donde f (x,y) se puede factorizar sólo como el producto de una función de x y sólo como una función de y, la integral doble de f se puede escribir en una forma particularmente sencilla.
Suponga que f (x,y) = g(x)h(y) y R = [a,b] x [c,d]
Caso especial
Entonces el Teorema de Fubini se expresa,
dydxyhxgdxdyyhxgdAyxfd
c
b
a
b
a
d
cR
)()()()(),(
dydxxgyhdydxyhxgd
c
b
a
d
c
b
a
)()()()(