MATEMATICA II

TITULO:INTEGRALES INDEFINIDAS.

ESCUELA:EPIP.

AÑO ACADEMICO:2do.

PROFESOR:LIC, SULLCA

INTEGRANTES:

MENDEZ REDUCINDO JOEL. ARTEAGA VARGAS DANTE. LEON CASSANI CHRISTIAN.

2013

1

MATEMATICA II

EN EL PRESENTE TRABAJO VAMOS A EXPLICAR

EN QUE CONSISTE EL METODO DE INTEGRACION INDEFINIDA,DESARROLLAREMOS SUS METODOS,FORMULAS,COMO SE APLICAN EN LA FISICA COMO EN LA ECONOMIA.

2

MATEMATICA II

INDICE.

I. INTRODUCCION.II. HISTORIA.III. DEFINICION DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.IV. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.V. INTEGRALES INMEDIATAS.

VI. DIFERENCIA ENTRE PROCEDIMIENTO Y METODO.

VII. METODOS DE INTEGRACION INDEFINIDA.VIII. DEFINICION DE APRENDIZAJE A BASE DE

PROBLEMAS.IX. 10 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

INDEFINIDA RELACIONADO CON LA FISICA Y ECONOMIA.

3

MATEMATICA II

INTRODUCCION.

Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.

4

MATEMATICA II

HISTORIA.

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

DEFINICION.

Integrar :Es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida.

- ) Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

-)Se representa por ∫ f(x) dx.

-)Se lee : integral de x diferencial de x.

-)∫ es el signo de integración.

-)f(x) es el integrando o función a integrar.

5

MATEMATICA II

-)dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

-)C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

-)Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

-)∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Ejemplo:

-) ∫x(a-bx2)dx

Desarrollo

Como x(a-bx2)=ax-bx3 ,entonces:

∫x(a-bx2)dx=∫axdx-∫bx3dx=(ax2/2-bx4/4)+c

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

De la definición de la integral indefinida se tiene las siguientes propiedades:

1) dydx

(∫f(x)dx)=(∫f(x)dx)´=(F(x)+c)`=F`(x)=f(x)

(La derivada de la integral indefinida sale como resultado el integrando)

(∫f(x)dx)‘=f(x)

2) d(∫f(x)dx)=(∫f(x)dx)`dx=f(x)

(La diferencial de la integral indefinida es igual ala función integrando por la diferencial de x)

d(∫f(x)dx)=f(x)dx

3 ) Si f es una función derivable ,entonces una antiderivada de f` es f y

∫f`(x)dx=f(x)+c

4 ) Se conoce que d(f(x))=f`(x)dx,luego de la propiedad 3 se obtiene:

∫d(f(x))=f(x)+c

6

MATEMATICA II

INTEGRALES INMEDIATAS

1) ∫(du+dv-dw)=∫du+ ∫dv -∫dw =u+v-w

Por la formula de la deiferencial d(u+v-w)=du+dv-dw

∫d(u+v-w)=u+v-w , ∫du+∫dv-∫dw=u+v-w

Por igualdad en resultados:

∫(du+dv-dw)= ∫du+∫dv-∫dw

2) ∫adv=a∫dv

Por la formula de la diferencial d(cv)=cdv

d(a∫dv)=ad∫dv=adv , d∫adv=adv

por igualdad en resultados:

d(a∫dv)=d∫adv => a∫dv=∫adv

3) ∫dx=x+c

Por la formula d(x+c)=dx

Y si lo integramos. ∫dx=x+c

4) ∫vndv=(vn+1/n+1)+c

Puesto que d[(vn+1/n+1)+c]=vndv n≠-1

Solo tedriamos q integrarlo ∫vndv=(vn+1/n+1)+c

5) ∫dvv

=lnv+c =lnv + lnc =lncv

Vemos que d(lnv+c)=dv/v y al integrarlos

∫dv/v=lnv+c, también puede ser de la siguiente forma ∫dv/v=lnv+lnc=lncv

Esto se da si representamos la constante de integración por logsritmo nepereano de c,luego solo usamos la propiedad de los logaritmos.

6) ∫avdv=(av/lna)+c

7

MATEMATICA II

8