Inters simpleSe llama inters simple a la operacin financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razn, para obtener un cierto beneficio econmico llamado inters. La frmula ms conocida de inters simple es:

donde

I

es el inters o dinero a cobrar o pagar

C es el capital o dinero a considerar R es la tasa o razn T es el tiempo pactado de la operacin ut es la unidad del tiempo considerado.Ejemplo: Calcular el inters producido por un capital de 5000 $ colocado durante 3 aos al 9 % anual. C = 5000 $ T = 3 aos R=9% = ut = 1 ao 1350 $

por lo tanto >>>>>>>>>>

I = 5000 . 9 . 3 100 . 1

aclaracin: la unidad de tiempo es el valor numrico de la frase que aparece en la razn ejemplo : razn 4 % anual representa:

1 ao = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 das

El tiempo dado T y la razn deben tener las mismas unidades antes de sacar cuentasEjemplo : Un capital de 4000 $ es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular en inters ganado: C = 4000 $ R = 5 % mensual ut = 1 mes T = 3 bimestres = 9 meses

I = 4000 . 5 . 9 = 1800 $ 100 . 1

La matemtica financiera comienza luego de este tema a utilizar una frmula reducida de inters simple con el objeto de poder llegar a deducir otras ms complejas, por lo tanto se realizan las siguientes modificaciones: tasa >>> i = R 100 perodo >>>> n = T ut

ahora se reemplazan la tasa ( i ) y el perodo (n) en la frmula primitiva :

La frmula principal queda reducida a

I=C.i.n

MONTO : Es el capital colocado ms es inters ganado

M = C + ICombinando ambas frmulas >>>>>>>>>>

M = C + C.i.n

Factoreando (factor comn, inversa de la propiedad distributiva) >>>>>>>>>>>>>

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

M = C.(1+i.n)

Ejemplos: EJERCICIO UNO : Un capital de 5000 $ se colocan en unbanco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del inters y del monto. Primero se debe arreglar los tiemposR = 4 %mensual T = 8 bimestres = 16meses Luego si R = 4% entonces i = 0,04 Al estar los tiempos convertidos el Tiempo es igual al perodo n .n = 16 Entonces >>>>>>>>>> El monto ser >>>>>> I = C . i . n = 5000 . 0,04 . 16 = 3200 $ M = C + I = 5000 + 3200 = 8200 $

En este caso se podra hallar tambin con la otra frmula: M = C . ( 1 + i .n ) = 5000 . ( 1 + 0.04 .16 ) = 5000 . ( 1 + 0,64) = 5000 . 1,64 = 8200 $

EJERCICIO DOS : Un capital de 800$ se transform en 850 $ en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. C = 800 $ M = 850 $ por lo tanto I = 50 $ I = C .i .n T = 2 bimestres = 4 meses.

50 = 800 . i . 4 50 = 3200 . i 50 / 3200 = i 0,015 = i Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razn 1,5 % mensual 3) Un cierto capital se transform en 25000 $ en dos trimestres, si se aplic un 3 % mensual. Cul fue el capital inicial ? C = x ( hay que averiguar) R = 3% M = 25000 $ i = 3 /100 = 0, 03 T = 2 trimestres = 6 meses

Con estos datos la nica frmula capaz de resolver el problemas: M = C .(1 + i.n) 25000 = 25000 = 25000 = 25000 / 1,18 = 21186,44 = x . ( 1 + 0,03 . 6 ) x . ( 1 + 0.18 ) x . 1,18 x x >>>>>>>>>>>> C = 21186,44 $

4) Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 3000 $ que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de 400 $. T=x n=x C = 3000 $ i = 0,09 anual I = 400 $

Este problema puede resolverse con la frmula: I 400 = = C . i . n 3000 . 0,09 . n 400 / 270 = n 1,4814 = n

400

=

270 . n

Este nmero est expresado en aos ( ya que la tasa as lo indica ), vamos a transformarlo en un tiempo ms real, para ello se debe interpretar lo siguiente: 1, 4814 aos = 1 ao + 0,4814 ao = 1 ao + 0,4814 x 12 meses = = 1 ao + 5,7768 meses = 1 ao + 5 meses + 0,7768 meses = = 1 ao + 5 meses + 0,7768 x 30 das = 1 ao + 5 meses + 23 das Otros ejemplos: 1) Un cierto capital se transform en 4600 $ en 4 cuatrimestres, si se aplic un 1% mensual. Cul fue el capital inicial y el inters ganado ? 2) Hallar el porcentaje aplicado a un capital de 800 $ para transformarse en 700 $ 3) Indicar el valor del capital que al ser colocado al 5 % bimestral durante 3 aos produjeron un monto de 6900 $. 4) Un capital de 640 $ sufre un aumento del 20 % y luego un descuento del mismo valor, hallar el monto final. 5) Un capital de 900 $ se transforman en 980 $ en un ao. Calcular el inters, la razn y la tasa bimestral. 6) Un hombre coloca 500 $ en un banco que le paga un 4 % bimestral en un ao, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio ao, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. cunta plata le queda para emprender el viaje? 7) Calcular el tiempo que estuvo 6% bimestral. un capital de 500 $ si se obtuvo una ganancia de 30 $ al ser colocado al

depositado

8) Indicar el porcentaje de aumento final que sufre un producto si vala 400 $ y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10 % cada uno. 9) Se depositan 4000$ el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razn era del 4 % bimestral. Calcular el inters y el monto. 10)Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 4000 $ si se obtuvo una ganancia de 500$ al ser colocado al 6% anual.

Inters compuestoEl inters compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de inters (i) durante un perodo (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada perodo de inversin no se retiran sino que se reinvierten o aaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf). Para un perodo determinado sera Capital final (Cf) = capital inicial (C) ms los intereses. Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo: Hagamos clculos para saber el monto final de un depsito inicial de $ 1.000.000, a 5 aos plazo con un inters compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).Ao 0 (inicio) 1 2 3 4 5 Depsito inicial $1.000.000 $1.100.000 $1.210.000 $1.331.000 $1.464.100 $1.610.510 Inters ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 ($1.100.000 10% = ) $110.000 ($1.210.000 10% = ) $121.000 ($1.331.000 10% = ) $133.100 ($1.464.100 10% = ) $146.410 Saldo final $1.100.000 $1.210.000 $1.331.000 $1.464.100 $1.610.510

Paso a paso resulta fcil calcular el inters sobre el depsito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depsito inicial al empezar el segundo ao, y as sucesivamente hasta llegar l monto final. Resulta simple, pero hay muchos clculos; para evitarlos usaremos una frmula de tipo general: En inversiones a inters compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de inters (i), en un tiempo (t), est dado por la frmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a . Y donde t corresponde al nmero de aos durante los cuales se mantiene el depsito o se paga una deuda. Como corolario a esta frmula: A partir de ella, puesto que el inters compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podramos calcular la tasa de inters (i):

Sacamos factor comn C:

Tambin podemos calcular la tasa de inters despejando en la frmula de Cf:

En los problemas de inters compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes perodos de tiempo.

Periodos de inters compuestoEl inters compuesto no se calcula siempre por ao, puede ser semestral, trimestral, al mes, al da, etc. Pero si no es anual debera informarse! As, si la frmula del inters compuesto se ha deducido para una tasa de inters anual durante t aos, todo sigue siendo vlido si los periodos de conversin son semestres, trimestres, das, etc., solo hay que convertir stos a aos. Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicacin como inters compuesto se valida en forma

mensual,

en

ese

caso i

debe

dividirse

por

12 . En seguida, la potencia t (el nmero de aos) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el nmero de aos). Si los periodos de conversin son semestrales, i se divide por 2 ya que el ao tiene dos semestres (lo cual significa que los aos los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habr que multiplicar la potencia t (el nmero de aos) por 2 (el nmero de semestres de un ao): Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo: ser igual a

Si los periodos de conversin son trimestrales, i se divide por 4 ya que el ao tiene 4 trimestres (lo cual significa que los aos los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habr que multiplicar la potencia t (el nmero de aos) por 4 (el nmero de trimestres que hay en un ao). Del siguiente modo: ser igual a

En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o das se multiplica

por n semestres, trimestres, meses o das el 100 de la frmula que es igual a . La potencia t (en nmero de aos) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, as, suponiendo una tasa anual de 10%: ser igual a

Ver: PSU: Matemtica, Pregunta 35_2010

Ejercicios de prcticaEjercicio N 1 Averiguar en qu se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 aos, y a una tasa de inters compuesto anual del 8 %.

Resolucin:

Aplicando la frmula Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de inters compuesto Capital inicial Tiempo en aos (t) = 5

Respuesta: El Ejercicio capital final es N de 1.763.194 pesos. 2

Un cierto capital invertido durante 7 aos a una tasa de inters compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolucin: Aplicando la frmula Reemplazamos con los valores conocidos: Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa Tiempo en aos (t) = 7

de

inters

compuesto

Despejando C:

Respuesta: Redondeando Ejercicio la cifra resultante, el capital N inicial fue de 800.000 pesos. 3

Calcular la tasa de inters compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 aos se haya convertido en 2.360.279 pesos. Resolucin: Aplicando la frmula

Reemplazamos los valores conocidos: Capital inicial (C ) = 1.500.000 Capital final (Cf) = 2.360.279 Tiempo en aos (t) = 4 Reemplazamos con los valores conocidos:

Despejamos (1 + i)

4

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como 0,12 100 = 12 % Respuesta: La tasa de inters compuesto anual ha sido de 12 %. Ejercicio N 4 Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 aos. Si el banco paga una tasa de 10% anual cunto necesitamos como capital inicial? Aplicando la frmula Reemplazamos con los valores conocidos: Capital final (Cf) = 2.000.000

Tasa de inters compuesto Tiempo en aos (t) = 5 Reemplazamos con los valores conocidos:

Respuesta: Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecer hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 aos. Otro ejemplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro y queremos conocer el capital inicial o valor t presente: Como sabemos que si multiplicamos un valor presente ( C ) por (1 + i) nos da el valor futuro o capital final(Cf), podemos dividir directamente el capital final (Cf) por la tasa de inters compuesta (1 + t i) para obtener el valor presente o actual. Veamos un caso: Cunto hay que invertir ahora para tener $10.000.000 dentro de 10 aos al 8% de inters? A partir de la frmula

Reemplazamos por los valores conocidos

Respuesta: Entonces, $ 4.631.989 invertidos al 8% durante 10 aos dan $10.000.000.