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Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1

MATEMATICAS

FINANCIERAS

TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS


MATEMATICAS

FINANCIERAS

⚫ Las Matemáticas Financieras o Ingeniería

Económica tienen como objetivo

fundamental el estudio y análisis de todas

aquellas operaciones y planteamientos en

los cuales intervienen las magnitudes de:

Capital, Interés, Tiempo y Tasa.


MATEMATICAS

FINANCIERAS

⚫ La Matemática Financiera la podemos

asociar con dos símbolos es decir el de los

números (#) y el de los pesos ($), ya, que

cuando hablamos de Matemáticas

automáticamente hacemos relación con los

números; y cuando hablamos de Finanzas lo

relacionamos con el signo pesos; de allí la

asociación.


MATEMATICAS

FINANCIERAS

Variables financieras:

Capital C

Tiempo t

Tasa i

Interés I

Cuota R

Monto M


VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

⚫ NUNCA SE DEBEN

SUMAR VALORES

EN FECHAS

DIFERENTES


INTERES

⚫ ES LO QUE SE

PAGA O SE RECIBE

POR CIERTA

CANTIDAD DE

DINERO TOMADA

O DADA EN

PRESTAMO


INTERES SIMPLE

⚫Es aquel interes que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.


INTERES SIMPLE

Formula general de la tasa de interés:

i = I / C

Si condicionamos esta formula a la

expresión de unidades de tiempo se obtiene

la siguiente ecuación:

I = i . C . t


INTERES SIMPLE

Clasificación del interés simple:

⚫ Interés simple comercial en forma ordinaria

⚫ Interés simple comercial en forma exacta

⚫ Interés simple exacto en forma comercial

⚫ Interes simple exacto en forma ordinaria


INTERES SIMPLE

Clasificación del interés simple

Interés simple comercial:

360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al

trimestre, 30 días al mes

Interés simple exacto:

365 días al año

Tabla o calculadora para las demás equivalencias


INTERES SIMPLE

Valor futuro a interés simple:

Tambien conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado período de tiempo

M = C + I

M = C + ( i . C . t ), luego por factorización

M = C ( 1 + i . t )


INTERES SIMPLE

Conceptode Equivalencia Financiera:

Es la relación de igualdad que se establece

entre una o unas deudas y uno o unos pagos

en un momento determinado en el tiempo

denominado fecha focal (momento de la

negociación)


INTERES SIMPLE

Equidad entre el tiempo y la tasa:

⚫ - La tasa y el tiempo siempre deben ir

expresadas en la misma unidad de base.

- La tasa es la que condiciona la expresión

del tiempo.


INTERES SIMPLE

Series uniformes a interés simple:

Series vencidas:

Valor presente

Valor futuro

Series anticipadas

Valor presente

Valor futuro

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6

Valor presente

Valor futuro

0 1 2 3 4 5 6

Valor presente


INTERES COMPUESTO

Concepto:

Es el interés que se genera sobre intereses.

Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierten en capirtal para generar mas intereses para el segundo periódo de capitalización y así sucesivamente.


INTERES COMPUESTO

Comparativo entre el interés simple y el

interés compuesto

Capital 100.000$

Tasa 10% Anual

Tiempo 5 Años

Periodo Diferencia

en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses

0 0 0 0 0 0

1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0

2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000

3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100

4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410

5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051

Interés simple Interés compuesto


INTERES COMPUESTO

Periodo Int. Sim. Int. Com.

en años Monto Monto

0

0,5 105.000 104.881

1 110.000 110.000

2 120.000 121.000

3 130.000 133.100

4 140.000 146.410

5 150.000 161.051

Comparativo entre el interés simple y el

interés compuesto


INTERES COMPUESTO

t

M = C ( 1 + i )

FORMULA GENERAL


INTERES COMPUESTO

⚫ Capital o valor presente: VA

⚫ Tasa: TASA

⚫ Monto o valor futuro: VF

⚫ Tiempo: NPER

⚫ Cuota: PAGO

EXCEL


INTERES COMPUESTO


INTERES COMPUESTO

5.00

0

4.00

0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fecha

focal

10.0

00

Regla comercial:


INTERES COMPUESTO

5.00

0

4.00

0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fecha

focal

10.0

00

Regla de saldos insolutos:


INTERES COMPUESTO

TASAS:

TASA NOMIAL

TASA EFECTIVA

TASAS EQUIVALENTES

TASAS ANTICIPADAS

TASAS VENCIDAS


INTERES COMPUESTO

Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:

Tasa nominal Tasa efectiva

Periodicidad Periodicidad

Modalidad Modalidad

Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%

Anual A Vencida V

Semestral S Anticipada A

Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez

Trimestral T Peguntas o comentarios:

Bimestral B e-mail: [email protected]

Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258

Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta.

Periodicidad: Modalidad

MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA

CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS

SIMULADOR

Para obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal


INTERES COMPUESTO

Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:


INTERES COMPUESTOFORMULAS

MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente

FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo

Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno

C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real

M = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o %

I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación

i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación

t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera

m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total

R = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente

INTERÉS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS:

2 . m . I

1 i = 2 M = C + I 3 I = i.C.t 4 M = C ( 1 + i . t ) 5 i = 6 I = ( R . t ) - B 7 B = Pc - Ci

B ( t + 1 ) - I ( t - 1)

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE

2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )

R . R .

2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2

8 M = R . 9 C = 10 M = R . 11 C =

2 2

INTERÉS COMPUESTO

t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t

12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1

Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO

t - t

( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C =

i i i

SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO

t - t

( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R

20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R +

i i i

También puede ser:

t + 1 - ( t - 1 )

( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )

23 M = R -1 24 C = R 1 +

i i

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE

Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:

1 t R1 g

25 R = R1 + / - g . 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )

t i i

i ( 1 + i ) - 1

( 1 + ti ) ( 1 + ti )

I

C

-2 t

r

T


INTERES COMPUESTOFORMULAS

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE

Si g es diferente de i: Si g es igual a i:

t t t - t

( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t

28 C = R1. 29 C = 30 C =

t

( i - g ) . ( 1 + i )

t t t t

( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1

31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i )

t

( i - g ) . ( 1 + i )

Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:

R1 t - 1

34 C = 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )

i - g

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE

t t t t

( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )

36 C = R1. 37 M = R1.

t

( i + g ) . ( 1 + i )

EVALUACIÓN DE PROYECTOS:

V.P.N.

38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. =

- t

1 - ( 1 + i )

V.P.I. V.P.E.

41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i

- t - t

1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )

43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.

i i Resultado ideal: R.B.C. > 1

Nota:

V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0

44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i

V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0

Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:

i - F 1 + i Nota:

46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i

1 + F 1 + i

g - i

1 + i

( i + g )

g - i

t

22

2 2 1

2 121

1 2 1

1 2

21 1

22 2

12

r r T 1 2 T2

1

1 2


INTERES COMPUESTOINFLACION - I.P.C.

DEVALUACION

TASAS COMBINADAS

TASAS DEFLACTADAS

D.T.F.

T.C.C.

T.B.S.

LIBOR

PRIME RATE

TMAR = T.I.O + Spreads


ANUALIDADES

VENCIDAS

ANTICIPADAS

PERPETUAS

DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS


ANUALIDADES

Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10


ANUALIDADESAnualidad de 5 periodos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10

Anualidad diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10


ANUALIDADESAnualidad perpetua

0 1 2 3 4 5

10 10 10 10 10

Anualidad perpetua diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10 10 10 10 10


ANUALIDADES


GRADIENTES

LINEALES O ARITMETICAS:

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA


GRADIENTES

EXPONENCIALES O GEOMETRICAS

CRECIENTES Y DECRECIENTES

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CALCULO DE CUOTA

GRADIENTE DIFERIDA

GRADIENTE PERPETUA

GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA


GRADIENTES

1600

1400

1200

1000

0 1 2 3 4

1000

950

900

850

0 1 2 3 4

Gradiente lineal creciente

Gradiente lineal decreciente


GRADIENTESGradiente exponencial creciente

Gradiente exponencial decreciente

1.331,00

1.210,00

1.100,00

1.000,00

0 1 2 3 4

1000

950

902,5

857,38

0 1 2 3 4


GRADIENTES

R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)

g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)

i % (Tasa) i % (Tasa)

n (Tiempo) n (Tiempo)

Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!

V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #¡DIV/0!

V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #¡DIV/0!

CUOTA No. 24 CUOTA No.

VALOR 0,00 VALOR 0,00

INFINITO 0,00

R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)

g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)

i % (Tasa) i % (Tasa)

n (Tiempo) n (Tiempo)

V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00

V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00

V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00

V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00

CUOTA No. CUOTA No.

VALOR 0,00 VALOR 0,00

INFINITO Si i > g 0,00

GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO

CRECIENTE DECRECIENTE

GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO

CRECIENTE DECRECIENTE


EVALUACIONES

FINANCIERAS

FLUJO DE CAJA

FLUJO DE CAJA NETO

V.P.N.

T.I.R.


U.V.R.

t / d

UVRt = UVR 15 * ( 1 + i )


U.V.R.

Del 31 de Julio al 5 de Agosto:

El DANE pública los resultados de la inflación del mes de

Julio de 2002

Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:

El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR

que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.

El sistema financiero actualiza sus bases de datos

15 de Agosto:

U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior

Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre:

Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el

16 de Agosto y el 15 de Septiembre

Procedimiento para el calculo de la U.V.R.


U.V.R.

- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR

Del día t del período de calculo.

-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR

el día 15 de cada mes.

- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario

inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo

-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio

de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.

Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el

número de días calendario del respectivo período de calculo.

- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo


U.V.R.VALORES

VALOR DE LA UVR 127,9002

FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35

TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08

TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66

TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08

TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91

VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84

TIEMPO EN AÑOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74

TIEMPO EN MESES 180

PERI

ODO

FECHA VALOR UVR CUOTA EN

UVR

ABONO A

CAPITAL EN

UVR

INTERESES

EN UVR

SALDO EN UVR CUOTA EN

PESOS

ABONO A

CAPITAL EN

PESOS

INTERESES EN

PESOS

SALDO EN

PESOS

0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,00

1 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,35

2 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,98

3 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,76

4 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,39

5 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,33

6 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,85

7 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,98

8 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,56

9 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,19

10 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,25

11 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,89

12 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,04

13 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,37

14 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,35

15 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16

DATOS

TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOSPAGO

RESUMEN DEL CREDITO


U.V.R.Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios

-5.000.000

0

5.000.000

10.000.000

15.000.000

20.000.000

25.000.000

30.000.000

Periodos (Cuotas mensuales)

$


MATEMATICAS FINANCIERAS

TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS

FIN DE LA PRESENTACION

RODOLFO SOSA GOMEZ

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