Introducción a la Teoría de Grupos (SMM)

Este trabajo esta dedicado a la memoria de:

Juana Mora Munoz (1909-2004), mi madre, quien me dio mucho mas quela vida.

Amancio Pedro Villanueva Salmeron (1941-2004), camarada y amigo en-tranable, de quien recibı apoyo en los momentos mas difıciles en mi vida deestudiante.

PRESENTACIÓN

La Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH) y la Sociedad Matemática Mexicana (SMM) se complacen en presentar esta primera publicación conjunta de la obra Introducción a la Teoría de Grupos del Dr. Fernando Barrera Mora, Profesor Investigador del Centro de Investigación en Matemáticas (CIMA) de la UAEH y miembro activo de la SMM. La edición de esta obra se enmarca en el programa que está desarrollando la presente gestión rectoral de la UAEH, una de cuyas componentes es impulsar la elaboración de libros de texto, para integrar un acervo propio que incida directamente en la formación de sus estudiantes, así como dar a conocer, a nivel nacional, las obras que producen sus profesores investigadores. Esta estrategia coincide con el propósito fundamental que persigue la SMM para difundir la actividad matemática nacional. Es importante señalar que la UAEH y la SMM trabajaron en estrecha colaboración para realizar el exitoso XXXVI Congreso Nacional de la SMM, celebrado en las instalaciones de la UAEH en octubre de 2003, y con la publicación conjunta de esta obra se inicia una, aún más cercana, vinculación entre el Comité de Publicaciones Electrónicas de la SMM y el Consejo Editorial de la UAEH, que conducirá a la consecución de objetivos académicos comunes. Reiteramos el beneplácito por la edición de esta obra que nos impulsa a continuar desarrollando una participación activa de los miembros del CIMA de la UAEH en las actividades científicas de la SMM. Lic. Juan Manuel Camacho Bertrán Dr. Alejandro Díaz Barriga Casales Rector de la UAEH Presidente de la SMM

Indice general

0.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Definiciones y resultados generales 111.1. Algunas propiedades de los enteros . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Aritmetica en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. El Algoritmo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3. Los Enteros Modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2. Generalidades sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3. Indice y el Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4. Subgrupos normales y grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . 351.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6. Los teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7. Producto directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Grupos de permutaciones y acciones de grupo 512.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley . . . . . . . 51

2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Accion de un grupo en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3. p-grupos y los teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

i

INDICE GENERAL II

3. Grupos abelianos finitos y automorfismos de grupos 773.1. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2. Clasificacion de grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1. Grupos no abelianos de orden 8 . . . . . . . . . . . . . 863.2.2. Grupos no abelianos de orden 12 . . . . . . . . . . . . 88

3.3. Automorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4. Grupos solubles y nilpotentes 994.1. Subgrupos caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2. Grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

0.1. Introduccion 7

0.1. Introduccion

La teorıa de grupos tiene su origen en el trabajo de E. Galois [2] sobresolubilidad por radicales de la ecuacion anx

n +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0 = 0.

Sin embargo, algunos resultados de la teorıa de grupos habıan aparecido conanterioridad en trabajos de otros matematicos, entre los que se encuentraCauchy [24]. Por lo anterior, es pertinente senalar que el termino grupo esacunado y usado sistematicamente por Galois en su trabajo1: “Memoir on theConditions for Solvability of Equations by Radicals”[6], pagina 101. Dado queel trabajo de Galois citado versa sobre las raıces de polinomios, el conceptode grupo usado por Galois se restringe a lo que hoy llamamos el grupo depermutaciones de n elementos.La formulacion axiomatica de la teorıa de grupos como se conoce actual-mente, se inicia con el trabajo de H. Weber: “Die allgemeinen Grundlagender Galois’schen Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893), 521-549, pagina522.Hoy en dıa, la teorıa de grupos es una de las areas de matematicas que masaplicaciones tiene. Estas van desde las ciencias exactas hasta la musica. Enlas ciencias exactas, las aplicaciones incluyen areas tales como geometrıa al-gebraica, teorıa de numeros y topologıa algebraica; en fısica y quımica suaplicacion tiene lugar en el estudio de simetrıas de las estructuras molecula-res, mientras que en la musica, una fuente que da cuenta de su aplicacion es[16].En este texto introductorio a la teorıa de grupos presentamos una discusionde los conceptos y resultados basicos, pero fundamentales, que se presentanen un primer curso de teorıa de grupos de una licenciatura en matematicas.Como requisito para una mejor comprension de los temas, esperamos quelos lectores esten familiarizados con los resultados basicos de algebra lineal,calculo diferencial y con la notacion estandar de la teorıa de conjuntos. Loscontenidos se pueden cubrir en un curso semestral de 60 horas.La presentacion de los temas esta acompanada por listas de ejercicios quetienen la finalidad de auxiliar al lector en el aprendizaje de los contenidos yprocesos necesarios para lograr un entendimiento profundo de los conceptosbasicos de la teorıa de grupos. Por esta razon, recomendamos al lector abor-dar y, de ser posible, resolver todos los ejercicios planteados en el texto. De

1Los interesados en estudiar la version original de los trabajos de Galois pueden con-sultar [2].

0.1. Introduccion 8

manera adicional, presentamos un par de problemas abiertos, Problemas 3.3.1y 3.3.2 pagina 98, que el lector interesado en la teorıa de automorfismos degrupos puede explorar. Estos problemas tienen como finalidad mostrar allector que desde un curso introductorio se pueden abordar problemas quelleven a nuevos resultados.Los principales teoremas que se discuten en este texto son: el Teorema deLagrange, el Teorema de la Correspondencia, los Teoremas de Isomorfismo,los Teoremas de Sylow, el Teorema Fundamental para grupos abelianos finitosy algunos resultados sobre grupos solubles y nilpotentes. Tambien se presentala clasificacion de los grupos de orden ≤ 15. El estudio y clasificacion de losgrupos de orden 16 llevarıa a un trabajo que sale de los objetivos del presente;sin embargo, para el lector interesado en este tema le sugerimos consultar [17],en donde se estudian algunos grupos de orden potencia de 2.Para finalizar, quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas quehicieron posible la elaboracion de este trabajo, muy especialmente a los re-visores por sus valiosas sugerencias y recomendaciones para mejorar la pre-sentacion del texto. Los errores que contenga la obra son de mi absolutaresponsabilidad.

Pachuca, Hidalgo, septiembre de 2004

Fernando Barrera Mora

0.1. Introduccion 9

Prologo

La Teorıa de Grupos es la mas poderosa e influyente de toda la Matematica.Su exito es enorme, influye en casi toda la Matematica y en otras disciplinascientıficas y artısticas. Un lego y un experto en la materia siempre resul-tan enormemente impactados del quehacer y creatividad de unos cuantosseres humanos dedicados a esta noble actividad, producto de la evolucion delpensamiento humano.Algunos sistemas numericos son conocidos por el comun de la gente, sinembargo, difıcilmente perciben que realmente lo que se ha hecho en Teorıade Grupos, es extraer lo esencial de dichos sistemas y otras situaciones, asaber, dado un conjunto no vacıo definimos una operacion binaria en el, talque cumpla ciertos axiomas, es decir, le damos una estructura de grupo.Este texto esta muy bien escrito, con un lenguaje muy preciso. El temarioque posee es completo y expuesto breve y concisamente. A diferencia de otrostextos extranjeros, el autor expone el mismo temario utilizando pocas paginasy lo hace de manera elegante.El texto tiene una caracterıstica importante. Requiere de un buen trabajodesarrollado por el profesor al exponer cada tema ası como el del alumnopara asimilarlo. Esto es, el texto esta escrito dejando un buen numero de de-talles en las demostraciones que le permiten al profesor exponer lo relevante,sugerir algunos detalles y a los alumnos la oportunidad de obtener formacionmatematica al trabajar en dichos detalles. Esta caracterıstica esta realiza-da consciente y convincentemente por el autor. Algunos ejercicios son retosmayusculos para el estudiante. Pero ası es el aprendizaje serio de la Ma-tematica.Es un gusto enorme tener un libro bien escrito por un matematico mexicano,quien profesa un gran amor a su profesion plasmado a lo largo del texto y quetendra una gran difusion al alcance de toda la comunidad matematica, enespecial la hispanoamericana, que tanta necesidad tiene de acceder a libroscomo este. Con esta publicacion se inicia la serie de publicaciones de librosde texto que el Centro de Investigacion en Matematicas de la UniversidadAutonoma del Estado de Hidalgo (UAEH) tiene planeada como parte delquehacer academico que le dio origen.Esta primera edicion se realiza en forma conjunta entre la UAEH y la Socie-dad Matematica Mexicana (SMM) y tiene dos versiones, una electronica queesta a cargo de la SMM y la otra impresa que realiza la UAEH.

Emilio Lluis PueblaMiembro del Comite Editorial de la Sociedad Matematica Mexicana

Capıtulo 1

Definiciones y resultadosgenerales

1.1. Algunas propiedades de los enteros

Es difıcil, por no decir imposible1, encontrar areas de las matematicas que nohagan uso de las propiedades aritmeticas basicas de los enteros, la teorıa degrupos no es la excepcion. Con esto en mente, queremos iniciar la discusion deeste trabajo presentando algunas propiedades de los enteros. Antes de iniciar,es importante aclarar aspectos relacionados con la notacion y la terminologıaque usaremos en la discusion. Se usaran los sımbolos usuales de la teorıade conjuntos para denotar, pertenencia, subconjuntos, complementos, etc.Sin mayor explicacion se usaran algunas propiedades de los numeros reales ycomplejos. Los conjuntos de los numeros naturales, enteros, racionales, realesy complejos seran denotados por N, Z, Q, R y C respectivamente. El sımbolo⇒⇐ lo usaremos para expresar que se ha llegado a una contradiccion enalgun argumento. El sımbolo se usara para indicar el fin de una prueba.

1.1.1. Aritmetica en ZEs bien sabido que al considerar dos enteros a y b, el cociente de a por b nosiempre deja residuo cero, lo que da lugar al concepto de divisibilidad, unode los mas importantes en teorıa de numeros. De manera precisa se tiene:

1Este enunciado es una forma de parafrasear al Matematico L. Kronecker (1823-1891):Dios creo a los numeros naturales, todo lo demas es producto del hombre.

11

1.1. Algunas propiedades de los enteros 12

1.1.1 Definicion Si a y b son numeros enteros, se dice que b divide a a oque b es un divisor de a, denotado b|a, si existe un entero c tal que a = bc.Si no existe c tal que a = cb, se dice que b no es divisor de a y se denota porb-a.

Para subsanar el problema de la no divisibilidad se tiene el siguiente resulta-do, el cual de manera precisa establece la relacion que guardan dos enterosal ser dividido uno por el otro.

1.1.1 Teorema (Algoritmo de la division) Para cualesquiera a, b ∈Z, b > 0, existen unicos enteros r y q tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < b.

Demostracion. Caso I. a ≥ 0. En este caso podemos aplicar induccion. Sia = 0 se tiene 0 = b · 0 + 0, de esta manera se puede suponer que a > 0. Sia = 1 se tienen dos subcasos: si b = 1 entonces 1 = 1 ·1+0. Si b > 1, entoncesa = b ·0+a. Supongamos a > 1 y apliquemos la hipotesis inductiva, es decir,se cumple que a = bq + r, con 0 ≤ r < b. Entonces a + 1 = bq + 1 + r. Comor < b, entonces r + 1 ≤ b. Si r + 1 = b, se tiene a + 1 = (b + 1)q + 0. Sir + 1 < b, obtenemos a + 1 = bq + (r + 1), con 0 ≤ r + 1 < b. De cualquierforma se tiene a = bq + r, con 0 ≤ r < b como se afirmo.

Caso II a < 0, entonces −a > 0. Del Caso I, −a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b,de esto a = b(−q1) + (−r1). Si r1 = 0 hemos terminado, si r1 > 0 entonces0 < b < b + r1 y a = b(−q1 − 1) + (b− r1), con 0 < b− r1 < b.

Unicidad. Supongamos a = bq + r = bq′ + r′, entonces b(q − q′) = r′ − r. Sir′ > r, se tiene q−q′ > 0, es decir, q−q′ ≥ 1, de esta forma b(q−q′) = r′−r ≥ by de esto ultimo, r′ ≥ b+r, ⇒⇐. Si r > r′, entonces q′−q > 0 y nuevamentese tiene una contradiccion, por lo que se debe tener r = r′ y q − q′ = 0.

1.1.1 Observacion El teorema anterior puede extenderse suponiendo b 6=0. Si b < 0 entonces −b > 0 y por el teorema concluimos que a = −bq + r =b(−q) + r, con 0 ≤ r < −b.

1.1.2 Definicion Un entero p ∈ N\1 es primo, si los unicos divisorespositivos de p son 1 y p.


1.1.3 Definicion Dados a, b ∈ Z, se dice que d ∈ Z+ es un maximocomun divisor, abreviado mcd, de a y b si

(i) d | a y d | b.(ii) Si otro entero d′ satisface: d′ | a y d′ | b entonces se debe tener que

d′ | d.1.1.2 Observacion Si d y d1 satisfacen (i) y (ii) entonces d = d1. El maximocomun divisor de a y b se denota por mcd(a, b).

Demostracion. Como d1 satisface (i) y (ii), entonces d | d1. Cambiando lospapeles entre d y d1 y argumentando como antes se tiene que d1 | d; dadoque ambos son positivos se concluye lo deseado.

1.1.2 Teorema Dados dos enteros a, b con al menos uno diferente de cero,entonces el mcd(a, b) existe y mcd(a, b) = d = ax + by, para algunos enterosx, y.

Demostracion. Sea S = ax+ by|x, y ∈ Z ⊆ Z. Se tiene ±a,±b ∈ S. Debidoa que al menos uno de a o b no es cero, entonces S tiene elementos positivos,de esta manera S ∩ N 6= ∅. Por el principio del buen orden en N, existe unelemento mınimo d ∈ S. La demostracion concluira si probamos la siguiente:Afirmacion. d = mcd(a, b). Primeramente se mostrara que d divide a cual-quier elemento de S. Sea ax+ by ∈ S, por el algoritmo de la division, existenq, r ∈ Z tales que ax + by = qd + r, con 0 ≤ r < d. Tambien se tieneque d = ax0 + by0, para algunos x0, y0 ∈ Z, por lo que ax + by − qd =ax + by − qx0a − qy0b = (x − qx0)a + (y − qy0)b = r y de esto se concluyeque r ∈ S. La minimalidad sobre d implica r = 0. Como a, b ∈ S entoncesd|a y d|b. Si d1 | a y d1 | b, entonces d1 | ax0 + by0 = d, y de esto se tiene qued = mcd(a, b).

1.1.4 Definicion Dos enteros a y b se dicen primos relativos si mcd(a, b) =1.

1.1.1 Corolario Dados a, b ∈ Z, a y b son primos relativos ⇐⇒ existena0, b0 ∈ Z tales que 1 = aa0 + bb0.

Demostracion. Del teorema anterior se tiene mcd(a, b) = d = aa0 + bb0, paraalgunos enteros a0, b0. Si d = 1 entonces 1 = aa0 + bb0. Por otro lado, si1 = aa0 + bb0 y d > 1 entonces d | aa0 + bb0 = 1 ⇒⇐.


1.1.2 Corolario Si mcd(a, c) = 1 y c | ab, entonces c | b.Demostracion. Ya que mcd(a, c) = 1, entonces del Corolario 1.1.1, existena0, c0 ∈ Z tales que 1 = aa0 + cc0. Multiplicando esta ecuacion por b se tieneb = baa0+bcc0. Por hipotesis ab = cx para algun x, entonces b = cxa0+cbc0 =c(xa0 + bc0), es decir, c | b.

1.1.3 Corolario Si p es primo y p - a, entonces mcd(a, p) = 1.

Demostracion. Ya que p es primo, entonces los unicos divisores positivos dep son 1 y p. Como p - a entonces mcd(a, p) = 1.

1.1.4 Corolario Si p es primo y p | ab, entonces p divide a alguno de a ob.

Demostracion. Si p - a entonces del Corolario 1.1.3, mcd(a, p) = 1. Del Coro-lario 1.1.2 se obtiene el resultado con p = c.

1.1.5 Corolario Sean a y b enteros primos relativos que dividen a c, en-tonces ab | c.Demostracion. Puesto que mcd(a, b) = 1, entonces existen enteros a0 y b0

tales que 1 = aa0+bb0. Multiplicando por c ambos miembros de esta ecuacionse tiene c = caa0 + cbb0. Por hipotesis, a y b dividen a c, es decir, existenenteros x e y tales que c = ax y c = by. De todo esto se tiene c = caa0+cbb0 =byaa0 + axbb0 = ab(ya0 + xb0), probando que ab divide a c.

1.1.3 Teorema (Teorema Fundamental de la Aritmetica) . Da-do cualquier entero a /∈ ±1, 0, a tiene una representacion unica (exceptopor orden y signo) como producto de primos: a = ±pe1

1 · · · perr , con pi 6= pj si

i 6= j, y ei ≥ 1 para todo i = 1, 2, . . . , r.

Demostracion. Es suficiente demostrar el teorema para a > 1.

Veamos la existencia de la representacion de a como producto de primos.Si a = 2, no hay nada que probar, entonces se puede suponer que el resultadose cumple para a > 2. Si a+1 es primo, hemos terminado. Si a+1 = bc, con1 < b, c < a + 1, por la hipotesis inductiva, b y c tienen una factorizacion enprimos, por lo tanto a + 1 tambien.

Veamos la unicidad.Supongamos que a = pe1

1 · · · perr = qa1

1 · · · qass con pi y qj primos. De la ecuacion

anterior se tiene pi | qa11 · · · qas

s , entonces de una generalizacion obvia del


Corolario 1.1.4, pi | qj para alguna j y de aquı pi = qj. Despues de volvera enumerar, si es necesario, se puede suponer i = j = 1, y e1 ≥ a1, deesta manera pe1−a1

1 pe22 · · · per

1 = qa22 · · · qas

s . Continuando con este argumentose muestra que s = r, ei = ai y pi = qi, para todo i.

1.1.2. El Algoritmo Euclidiano

Euclides, en sus Elementos, indica un algoritmo para encontrar el mcd de a yb. Este algoritmo se basa en el algoritmo de la division, es por eso que algunasveces sus nombres se usan como sinonimos. El algoritmo de la division dicelo siguiente:

Dados a, b,∈ Z con al menos uno diferente de cero, digamos b 6= 0,entonces existen q1, r1,∈ Z tales que a = bq1 + r1, con 0 ≤ r1 < b,si b > 0, o 0 ≤ r1 < −b, si b < 0.

Sin perder generalidad podemos suponer b > 0, entonces de la ecuaciona = bq1 + r1 se tiene: d | a y d | b ⇐⇒ d | b y d | r1 por lo quemcd(a, b) = mcd(b, r1). Si r1 6= 0, aplicando el algoritmo de la division a b y r1

se tiene que existen q2 y r2 tales que b = r1q2 +r2. Argumentando como antesse tiene que mcd(a, b) = mcd(b, r1) = mcd(r1, r2). Una aplicacion sucesivadel algoritmo de la division produce las siguientes ecuaciones y condiciones.

a = bq1 + r1 0 ≤ r1 < bb = r1q2 + r2 0 ≤ r2 < r1

r1 = r2q3 + r3 0 ≤ r3 < r2...

...rn−2 = rn−1qn + rn 0 ≤ rn < rn−1.

Entonces se ha construido una sucesion decreciente de enteros no negativos

rn < · · · < r2 < r1, de esta forma necesariamente rn = 0, para algun n. Deesto y lo observado antes se tiene

mcd(a, b) = mcd(b, r1) = · · · = mcd(rn−2, rn−1) = rn−1 6= 0,

Lo que proporciona un metodo para calcular el maximo comun divisor dedos enteros, conocido como algoritmo de Euclides.


A continuacion se presenta un metodo practico —este metodo se ha gene-ralizado al caso de n enteros en [1]— para encontrar el mcd de dos enterospositivos, ası como la combinacion lineal tal que mcd(a, b) = aa0 + bb0. Es-te metodo esta estrechamente ligado con el procedimiento para encontrar laforma normal de Smith de una matriz entera. La forma normal de Smith deuna matriz entera, se obtiene aplicando operaciones elementales en las filasde una matriz con entradas enteras. Puesto que se estara trabajando en losenteros, se suprimiran los cocientes, y en su lugar se usara el algoritmo dela division. Sean a, b enteros, se puede suponer a, b > 0, mas aun, a ≥ b,

entonces a = bq1 + r1, con 0 ≤ r1 < b. Considere la matriz A0 =

[a 1 0b 0 1

],

multiplicando la fila 2 por −q1 y sumandola a la fila 1, se tiene

[a 1 0b 0 1

]

∼[

r1 1 −q1

b 0 1

]∼

[b 0 1r1 1 −q1

]= A1 Examine si r1 = 0, de ser ası,

hemos terminado el proceso. Si r1 6= 0 entonces b = r1q2 + r2, de esta manera[b 0 1r1 1 −q1

]∼

[r2 −q2 1 + q1q2

r1 1 −q1

]= A2. Continuando con el proceso

se llega a la siguiente matriz An =

[rn ∗ ∗

rn−1 a0 b0

]. Si rn = 0, entonces

mcd(a, b) = rn−1 = aa0 + bb0.

Nota. Si mcd(a, b) = 1, entonces las entradas *, * de An son a y b en algunorden y con signo.

1.1.3 Observacion El metodo presentado anteriormente se aplica para en-contrar el maximo comun divisor de elementos que pertenezcan a un dominioentero2 en el cual se cumpla el algoritmo euclidiano. Por ejemplo, el anillode polinomios con coeficientes en R o C.

1.1.1 Ejemplo Encuentre el maximo comun divisor de 32 y 28, ası comolos valores de x e y tales que mcd(32, 28) = 32x + 28y.[

32 1 028 0 1

]∼

[4 1 −128 0 1

]∼

[28 0 14 1 −1

]∼

[0 −7 84 1 −1

].

De aquı se tiene 4 = 32− 28.

2Un dominio entero es un anillo conmutativo con identidad y sin divisores de cero.


1.1.2 Ejemplo Encuentre mcd(47, 5) = 47x + 5y.

[47 1 05 0 1

]∼

[2 1 −95 0 1

]∼

[5 0 12 1 −9

]∼

[1 −2 192 1 −9

]∼

[2 1 −91 −2 19

]∼

[0 5 −471 −2 19

].

De esto se tiene mcd(47, 5) = 1 = 47(−2) + 5(19).

1.1.3. Los Enteros Modulo n

Hay varias historias sobre la invencion del juego de ajedrez. Una de las masconocidas es la que se refiere a un Rey, y se cree que ocurrio hace por lomenos dos mil anos. La historia va mas o menos como sigue. El soberanoconocio del maravilloso invento y quedo tan satisfecho con las cualidadesintelectuales del juego de ajedrez que mando traer al inventor y le dijo quepidiera lo que quisiera a cambio de su invento. El inventor pidio que por elprimer cuadro del tablero le diera un grano de trigo, dos por el segundo;cuatro por el tercero; ocho por el cuarto y ası sucesivamente. El Rey lereplico que por que su peticion era tan modesta a la vez que le invito a pediralgo mas sustantivo. El inventor contesto que el consideraba buena pagasu peticion. El monarca ordeno que se cumpliera de inmediato el deseo delinventor del juego de ajedrez. Al cabo del tiempo, vino uno de sus subditosa informar que las bodegas del reino se estaban quedando vacıas y no sehabıa satisfecho el compromiso con el inventor. Si el inventor hubiese sidoun poco cruel con el Rey le hubiese dicho que sabıa algo mas respecto ala cantidad de granos que iba a recibir: al dividir tal cantidad por tres, dejaresiduo 0. Ayude al soberano a entender lo que esta pasando con tan singularpeticion. El enunciado sobre el residuo que deja la cantidad de granos de trigoal ser dividida por tres, es un ejemplo que se puede abordar con la idea decongruencia en los numeros enteros. Esta fue desarrollada por Gauss,3 y es talsu importancia en el estudio de propiedades aritmeticas de los enteros, que se

3Karl Friedrich Gauss (1777-1855) matematico aleman. A los 19 anos demostro queel polıgono regular de 17 lados se puede construir con regla y compas. Se dice que esteresultado lo motivo a dedicarse al estudio de las matematicas. Otros de sus grandes logrosen su juventud fue la demostracion del teorema fundamental del algebra y la publicacion desu obra Disquisitiones Arithmeticae (1801). La siguiente es una de sus frases celebres. “Siotros reflexionaran sobre las verdades matematicas, tan profunda y continuamente comolo he hecho, descubrirıan lo mismo que yo”.


ha convertido en una parte esencial de la teorıa de numeros. A continuacionpresentamos algunas de sus propiedades basicas.

Sean a, b y n numeros enteros, con n > 0. Se define la siguiente relacion entrea y b:

a es congruente con b modulo n, si n|a− b.

Lo anterior se denota por a ≡ b (mod n). Se obtiene directamente de ladefinicion de congruencia modulo n, que dos enteros son congruentes modulon si y solo si al dividirlos por n se obtiene el mismo residuo. Dado un enteroa, denotaremos por [a]n al conjunto de todos los enteros que son congruentescon a modulo n, es decir,

[a]n := x ∈ Z | a ≡ x (mod n).Notese que dado a ∈ Z y dividiendolo por n, existe r ∈ Z tal que 0 ≤ r < ny a = qn + r, de lo que se tiene

[a]n = [r]n := x ∈ Z : x = nq + r, q ∈ Z = nZ+ r.

Al conjunto [r]n | 0 ≤ r < n se le llama: Un conjunto reducido de clasesresiduales modulo n o simplemente clases modulo n. El termino reducido sedebe a que al tomar r y s tales que 0 ≤ r, s < n, se tiene [r]n 6= [s]n, mientrasque si no se impone la condicion que tienen r y s de ser menores que n,bien puede ocurrir que a 6= b y [a]n = [b]n. Las siguientes son algunas de laspropiedades basicas de las clases residuales.

1. Si [a]n 6= [b]n, entonces [a]n⋂

[b]n = ∅.

2. Z =n−1⋃r=0

[r]n, la union es de conjuntos disjuntos.

3. Denotando por Zn o Z/nZ al conjunto de clases modulo n, se tienelo siguiente para cada par de elementos. Si [a]n = [a1]n y [b]n = [b1]n,entonces [a + b]n = [a1 + b1]n. En efecto, las hipotesis garantizan quea = nq+a1 y b = nq1+b1, de esto se concluye a−b = (q−q1)n+(a1−b1),equivalentemente, [a+ b]n = [a1 + b1]n. Con lo mostrado antes se puededefinir una operacion en el conjunto de clases modulo n, llamada sumay dada por [a]n + [b]n := [a + b]n. La operacion suma en Zn satisfacelas mismas propiedades que la suma de enteros.


4. Denotando por Z∗n al conjunto [a]n : mcd(a, n) = 1 e imitandolo hecho antes con la suma se puede definir una multiplicacion dadapor [a]n · [b]n := [ab]n la cual satisface propiedades analogas a las desuma, en (Z, +). El elemento [1]n satisface [a]n · [1]n = [1]n · [a]n = [a]npara todo [a]n y se le llama neutro multiplicativo en Z∗n. Un caso departicular importancia ocurre cuando n = p es un numero primo. Eneste caso el conjunto de clases residuales modulo p es denotado por Fp.Note que F∗p tiene p− 1 elementos.

La verificacion de las propiedades anteriores se deja como ejercicio.

Ejemplos

En esta parte estamos interesados en estudiar algunos ejemplos particularesde los enteros modulo n y describir los subconjuntos que tienen las mismaspropiedades respecto a las operaciones definidas en ellos.

1. Describa los subconjuntos de (Z6, +) que satisfacen las mismas propie-dades que (Z6, +), es decir, queremos saber cuales son los subconjuntosde Z6 que tienen a la clase del cero, son cerrados bajo la suma y tambiencontienen a los inversos de elementos que pertenecen a ellos. Primero,es claro que el conjunto [0]6 satisface las propiedades requeridas. Siun subconjunto H contiene a la clase del 1, es decir, [1]6 ∈ H entoncesdebe contener a todos los elementos de Z6 (¿por que?) Si un subcon-junto contiene a la clase del 2, entonces debe contener a la clase del 4 ycomo el inverso de [2]6 es [4]6, entonces el conjunto H = [0]6, [2]6, [4]6satisface las propiedades requeridas. Si un subconjunto contiene a laclase del 3, debe contener al inverso de este, que es el mismo. En-tonces el conjunto H1 = [0]6, [3]6 tambien satisface las propiedades.¿Habra otro subconjunto diferente a los mencionados que satisfaga laspropiedades?

2. Con las ideas del caso anterior, explore los conjuntos: Z8,Z12,Z20.

3. Considere los conjuntos Z∗15,Z∗20,Z∗25 y haga una discusion para decidircuales de los subconjuntos de cada uno satisfacen las mismas propie-dades, pero ahora con la multiplicacion.


4. Haga lo mismo que en el caso anterior para F∗7,F∗11 y F∗13.

La teorıa de los enteros modulo n tiene varias aplicaciones practicas en otrasdisciplinas. Por ejemplo en criptografıa y teorıa de codigos ([3], Capıtulo 4).Otra aplicacion de la teorıa de enteros modulo n ocurre en la teorıa de ma-trices. Sea A = (aij) una matriz n×n con entradas enteras. Supongamos queaii ≡ 1 (mod 2) para todo i = 1, . . . , n y aij ≡ 0 (mod 2) para todo i > j.Entonces |A| ≡ 1 (mod 2), en particular A no es singular.Discusion. Tomando congruencia en las entradas de la matriz A, se tiene quela matriz resultante es triangular con unos en la diagonal. El resultado seobtiene notando que calcular el determinante conmuta con tomar congruen-cia en las entradas de la matriz. Las hipotesis anteriores pudieran ser muyrestrictivas. El siguiente ejemplo ilustra como se pueden debilitar. Sea

A =

4 5 67 8 101 4 3

,

entonces tomando congruencias y calculando el determinante se tiene |A| ≡ 1(mod 2), por lo que A es no singular.

1.1.4. Ejercicios

1. Demuestre que 4n2 + 4 no es divisible por 19 para todo n ∈ Z. ¿Secumple lo mismo para todo primo de la forma 4k + 3?

2. Sean a, b y c enteros positivos tales que a2 + b2 = c2. Demuestre que 60divide a abc.

3. Sea n > 1 entero. Demuestre que 22n − 1 tiene al menos n factoresprimos diferentes.

4. Sean a y p enteros con p primo. Demuestre que ap ≡ a (mod p).

5. Demuestre que 7 divide a 32n+1 + 2n+2 para todo n entero no negativo.

6. Demuestre que n13 − n es divisible por 2, 3, 5, 7 y 13.

1.2. Generalidades sobre grupos 21

7. Sea f(x) un polinomio en Z[x]. Suponga que f(0) ≡ f(1) ≡ 1 (mod 2).Demuestre que f(x) no tiene raıces enteras. Generalice el problema an-terior a: Suponga que f(x) ∈ Z[x] y para un k > 0 entero, f(x) satisfa-ce f(i) 6≡ 0 (mod k), para todo i = 0, 1, . . . k − 1. ¿Puede tener f(x)raıces enteras?

1.2. Generalidades sobre grupos

En esta seccion se inicia la discusion concerniente a la teorıa de grupos.Damos inicio con la siguiente:

1.2.1 Definicion Un grupo4 es una pareja (G, ), con G un conjunto novacıo, una funcion de G × G → G llamada operacion binaria y denotadapor (x, y) := x y, la cual satisface:

(i) La operacion es asociativa, es decir, x (y z) = (xy) z para todosx, y, z ∈ G.

(ii) Existe e ∈ G tal que ex = x, para todo x ∈ G (neutro por la izquierda).

(iii) Dado x ∈ G, existe x′ ∈ G tal que x′ x = e (inverso por la izquierda).

En la definicion anterior no se requiere que e y x′ sean unicos, sin embargomas adelante probaremos que estos elementos son, en efecto, unicos. En loque sigue, la operacion “”la denotaremos simplemente por x y = xy, (casomultiplicativo) o x y = x + y (caso aditivo). La notacion aditiva, portradicion, se usara cuando x y = y x, para todos x, y ∈ G. En este casodiremos que el grupo G es abeliano.5

Ejemplos de grupos

4De acuerdo a H. Wussing, [[24], paginas 247-248] la primera formulacion del conceptode grupo, que tiene gran similitud con la actual, se encuentra en el trabajo de H. Weber:“Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893),521-549, pagina 522.

5Este termino se da en honor del matematico noruego H. Abel (1802-1829), quien fue elprimero en trabajar, de manera sistematica, con este tipo de grupos al abordar el problemade la solubilidad por radicales de ecuaciones polinomiales.


1.2.1 Ejemplo (a) (Z, +) es un grupo con la adicion usual de enteros.

(b) El conjunto de matrices inversibles n× n, con entradas en R y opera-cion, el producto usual de matrices forma un grupo el cual se conocecomo el grupo lineal general, denotado por GL(n,R).

(c) Sea X un conjunto no vacıo y SX = f : X → X | f es biyectiva,SX es un grupo con la operacion composicion de funciones, llamadoel grupo de permutaciones en X. A los elementos de SX se les llamapermutaciones.

(d) Sea G = GL(n,R)×Rn. Definiendo en G la operacion (A, X)∗(B, Y ) :=(AB, X + Y ), se verifica que (G, ∗) es un grupo.

(e) Sea G el conjunto del ejemplo anterior, definiendo en G la operacion

(A,X) (B, Y ) := (AB, AY + X),

(G, ) es un grupo con (I, 0) la identidad y (A−1,−A−1X) el inversode (A,X).

1.2.1 Observacion Los dos ultimos ejemplos muestran que en la definicionde grupo, el mismo conjunto puede tener diferentes estructuras de grupo.

Como ya fue observado antes, en la definicion de grupo no se requiere queel inverso y el neutro sean unicos, sin embargo resultan serlo. El siguienteresultado es auxiliar para mostrar eso y a partir de aquı, adoptaremos lanotacion ab := a b.

1.2.1 Teorema Sea (G, ) un grupo y g ∈ G, entonces gg = g implicag = e.

Demostracion. Existe un elemento g′ ∈ G tal que g′g = e, lo cual implicag′(gg) = g′g = e. Por otro lado, g′(gg) = (g′g)g = eg = g, de donde laconclusion se obtiene.

1.2.2 Teorema Sea G un grupo. Entonces:

(i) Existe un unico elemento e ∈ G tal que eg = g para todo g ∈ G.Ademas eg = ge = g para todo g ∈ G.


(ii) Para todo g ∈ G, existe un unico g′ ∈ G tal que g′g = e. Ademasg′g = gg′ = e.

Demostracion. Primero mostraremos que g′g = e implica gg′ = e. Supon-gamos g′g = e, entonces (gg′)(gg′) = g(g′g)g′ = geg′ = gg′, invocando elTeorema 1.2.1 concluimos que gg′ = e. Si g ∈ G, sea g′ ∈ G tal que g′g = e,entonces ge = g(g′g) = (gg′)g = eg = g. Con esto hemos probado queeg = ge = g para cualquier g ∈ G. Supongamos que existe e′ tal que e′g = g,para todo g ∈ G, entonces en particular e′e = e. Como e tambien es unaidentidad izquierda y conmuta con todo g ∈ G se tiene, ee′ = e′e; esto y laecuacion anterior lleva a e = e′. De la definicion de grupo, sea g′ ∈ G talque g′g = e. Si existe otro a ∈ G tal que ag = e, entonces ae = ea = a. Porotro lado, ae = ag′g = agg′ = eg′ = g′, de estas ecuaciones se concluye quea = g′.

El resultado anterior permite definir la identidad de un grupo y el inverso decada elemento de G. El inverso de un elemento g ∈ G se denotara por g−1.

1.2.2 Observacion Si G es un grupo, entonces las siguientes igualdadestienen lugar.

1. (g−1)−1 = g.

2. (xy)−1 = y−1x−1.

Sea G un grupo y g ∈ G, definimos por induccion las potencias de g comosigue: g2 := gg, supongamos que se ha definido gn−1, por induccion se definegn := ggn−1 para n > 1. Si n < 0, entonces m = −n > 0 y definimosgn := (g−1)m, finalmente, g0 := e. Con las definiciones anteriores se tiene:(verificarlas)

i) (gn)m = gnm ∀ g ∈ G, y ∀ n,m ∈ Z.

ii) gngm = gn+m ∀ n,m ∈ Z.

1.2.2 Definicion Dado un grupo G y g ∈ G, se define el orden de g comoel mınimo entero positivo n tal que gn = e, si tal entero existe, de otra formase dice que g tiene orden infinito. El orden de g se denotara por |g| = n.


Cuando se estudia una estructura algebraica, es de gran importancia con-siderar los subconjuntos que heredan la misma estructura, pues en muchoscasos la estructura original se determina en terminos de las subestructuras.En nuestro caso, estamos interesados en considerar aquellos subconjuntos novacıos de un grupo G que satisfacen las mismas propiedades que este, cuandola operacion se restringe a estos subconjuntos. Estos subconjuntos reciben unnombre, son llamados subgrupos. La siguiente definicion precisa lo anterior.

1.2.3 Definicion Sea G un grupo, H ⊆ G, H 6= ∅. Se dice que H es unsubgrupo de G si la operacion de G restringida a H hace de este un grupo.

Si H es subgrupo de G, se usara la notacion H ≤ G y se lee “H es subgrupode G”. En el contexto de grupos, no hay lugar a confundir la notacion anteriorcon la relacion de orden en un conjunto.

1.2.3 Observacion Notese que la definicion de subgrupo implica e ∈ H,con e la identidad de G.

1.2.3 Teorema Sea G un grupo, H ⊆ G, H 6= ∅. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes.

(i) H es un subgrupo de G.

(ii) (a) ∀ x, y ∈ H, xy ∈ H,

(b) ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H.

(iii) Para todos x, y ∈ H se tiene xy−1 ∈ H.

Demostracion. (i) =⇒ (ii) Es claro, pues al ser H un subgrupo se debentener satisfechas las condiciones (a) y (b).(ii) =⇒ (iii) Dados x, y ∈ H, (b) implica x, y−1 ∈ H. La conclusion seobtiene de la parte (a).(iii) =⇒ (i). Primeramente notemos que al ser H no vacıo, existe un x ∈ Hy de esto se concluye, tomando x = y, que e = xx−1 ∈ H. Ahora tomandoy = x y x = e se obtiene x−1 = ex−1 ∈ H. Solo falta demostrar que Hes cerrado bajo la operacion definida en G. Sean x, y ∈ H. Por lo probado,z = y−1 ∈ H. Aplicando la hipotesis a x y a z se tiene que xz−1 = xy ∈ H.


1.2.1 Ejercicio Sea G = GL(n,R), el grupo de matrices n×n, no singula-res, con entradas en R. H = A ∈ G | A tiene entradas en Z y det(A) = ±1.Demuestre que H ≤ G.

1.2.4 Teorema Sea G un grupo, Hλλ∈I una coleccion de subgrupos. En-tonces

H =⋂

λ∈I

Hλ,

es un subgrupo de G.

Demostracion. Directa, aplicando la parte (iii) del Teorema 1.2.3

1.2.4 Observacion La union de subgrupos no es necesariamente un sub-grupo, de hecho el siguiente ejercicio caracteriza cuando la union de dossubgrupos es subgrupo.

1.2.2 Ejercicio (a) Sean H y K subgrupos de G. Demuestre que H∪K ≤G ⇐⇒ K ⊆ H H ⊆ K.

(b) Sea G un grupo, C una cadena de subgrupos.6 Demuestre que la unionde los elementos de C es un subgrupo.

Haciendo uso del ejercicio anterior se pueden construir muchos subconjun-tos de un grupo que no son subgrupos. Esto tiene cierta analogıa con losespacios vectoriales. De hecho, en el caso de espacios vectoriales, uno puedeestar interesado en construir subespacios con ciertas propiedades. Por ejem-plo, puede ser de interes que un cierto subconjunto este contenido en unsubespacio particular, bajo esa condicion, se construye el subespacio desea-do. Si el subespacio debe contener al subconjunto S, entonces el subespaciose construye tomando todas las posibles combinaciones lineales de elementosde S. ¿Podremos aplicar la idea de subespacios al caso de subgrupos? ¿Comointerpretar las “combinaciones lineales.en un grupo? Si el subconjunto es S,un intento es definir el subgrupo generado por S como el conjunto de todoslos elementos de la forma sm1

1 sm22 · · · smr

r , variando r en los enteros positivos,

6Recuerde: Una cadena es un conjunto parcialmente ordenado en el que cualesquierados elementos se relacionan. En nuestro caso, el orden es el inducido por la inclusion desubconjuntos.


si ∈ S y los exponentes mi en los enteros. ¿Es esta la forma de sustituir laidea de combinaciones lineales? ¿Coincide esto con el enunciado del siguienteteorema?

1.2.5 Teorema Sea G un grupo, S un subconjunto no vacıo de G,

〈S〉 := si11 · · · sin

n | si ∈ S, ij = ±1, j = 1, . . . , n; n ∈ N.

Entonces 〈S〉 ≤ G. De hecho este subgrupo es el mınimo que contiene a S.

La minimalidad es en el siguiente sentido. 〈S〉 =⋂

S ⊆ H ≤ G

H.

Demostracion. En virtud del Teorema 1.2.3, es suficiente mostrar que dadosdos elementos x, y ∈ 〈S〉, se tiene xy−1 ∈ 〈S〉. Para mostrar lo anterior bastaobservar que dado y = si1

1 · · · sikk ∈ 〈S〉, y−1 = s−ik

k · · · s−i11 con ij = ±1, por lo

tanto y−1 ∈ 〈S〉. De esto ultimo se tiene lo deseado. Para mostrar lo restante,

note que⋂

S ⊆ H ≤ G

H ⊆ 〈S〉, por ser 〈S〉 uno de los elementos sobre los cuales

se toma la interseccion. La inclusion de conjuntos se obtiene del hecho quelos elementos de 〈S〉 son productos de elementos de S y S ⊆ H, por lo tanto

〈S〉 ⊆⋂

S ⊆ H ≤ G

H.

1.2.3 Ejercicio Describa 〈S〉 para el caso especial S = g.

1.2.4 Definicion Con la notacion del teorema anterior, al subgrupo 〈S〉 sele llama el subgrupo generado por S. Un grupo G se dice finitamentegenerado, abreviado f.g., si G contiene un subconjunto finito S tal que G =〈S〉. Si S tiene un solo elemento, G se dice cıclico.

Recordemos que en el estudio de los espacios vectoriales, por ejemplo, cuan-do se les quiere representar como suma directa de subespacios con ciertaspropiedades, las transformaciones lineales son de gran importancia, siendola razon el hecho de que estas transformaciones preservan las operaciones enlos espacios bajo consideracion. En general, cuando se estudian estructurasalgebraicas, son de gran importancia las funciones que preservan dichas es-tructuras. Con lo anterior en mente, nos interesa estudiar funciones de ungrupo en otro, posiblemente el mismo, que preservan las operaciones, masprecisamente, nos interesan las funciones que satisfacen la siguiente:


1.2.5 Definicion Sean (G, ) y (G1, ∗) dos grupos, f : G → G1 una fun-cion.

(i) Si f(xy) = f(x)∗f(y), ∀ x, y ∈ G, f se llama un homomorfismo.

(ii) Si f es inyectiva y satisface i), f se llama un monomorfismo.

(iii) Si f es suprayectiva y satisface i), f se llama un epimorfismo.

(iv) Si f satisface ii) y iii), f se llama un isomorfismo.

Si f : G → G1 es un isomorfismo, se dice que G es isomorfo a G1 y se usa lanotacion G ∼= G1.

1.2.5 Observacion La composicion de homomorfismos, cuando esto tienesentido, es nuevamente un homomorfismo.

1.2.6 Observacion “Ser isomorfos”define una relacion de equivalencia enla clase de todos los grupos, cuyas clases de equivalencia estan formadasprecisamente por los grupos que son isomorfos.

En matematicas, uno de los problemas fundamentales es poder clasificar a losdiferentes objetos que se estudian. La clasificacion es en el sentido de agrupara todos aquellos que tengan las mismas propiedades. Por ejemplo, en algebralineal se tiene una clasificacion de los espacios vectoriales finitamente gene-rados en terminos de su dimension. Esto se precisa diciendo que dos espaciosvectoriales finitamente generados son isomorfos si y solo si tienen la mismadimension. En lo referente a grupos, su clasificacion es un problema muchomas complicado. Los grupos que son “clasificables”de manera similar a losespacios vectoriales finitamente generados, es decir, sustituyendo dimensionpor cardinalidad, son los grupos cıclicos. En este sentido, cabe mencionar queuno de los problemas fundamentales de la teorıa de grupos es la clasificacionde estos, bajo isomorfismo.

1.2.6 Definicion Sea f : G → G1 un homomorfismo, se define:

(i) el nucleo de f , denotado ker f = g ∈ G | f(g) = eH.(ii) La imagen de f , denotada Im f = h ∈ G1 | f(g) = h para algun g ∈ G.

1.2.4 Ejercicio Demostrar que ker f ≤ G e Im f ≤ G1.


1.2.2 Ejemplo Sean, H el grupo de permutaciones de Rn y G el grupo delEjemplo 1.2.1(e), pagina 22, definiendo ϕ : G → H como sigue ϕ(A,B) :=FA,B con FA,B(X) := AX +B, se verifica que ϕ es un homomorfismo de gru-pos, de hecho un monomorfismo, por lo tanto la imagen de ϕ es un subgrupode H, este subgrupo se llama el grupo de transformaciones afines de Rn.

1.2.1. Ejercicios

1. Sea d un entero libre de cuadrado, Q(√

d) := a+ b√

d : a, b ∈ Q ⊆ C.Demuestre que Q(

√d) \ 0 es un grupo con la multiplicacion usual de

los numeros complejos.

2. Sea m un entero positivo, G = 0, 1, . . . , m − 1. Se define en G lasiguiente operacion: ab = a+b, si a+b < m; ab = r, con a+b = m+rsi b + a ≥ m. ¿Es (G, ) un grupo?

3. Sea G = Z×Q, se define en G la operacion

(a, b) (c, d) := (a + c, 2cb + d).

¿Es (G, ) un grupo?

4. Sean B = f : Z → Z : f es una funcion y G = Z × B. Se defineen G la siguiente operacion: (m, f) (n, g) = (m + n, h), con h(z) :=f(z − n) + g(z). ¿Es (G, ) un grupo?

5. Una isometrıa de Rn es una funcion f : Rn → Rn tal que ‖ x− y ‖=‖f(x) − f(y) ‖ para todos x, y ∈ Rn. Sea f : Rn → Rn una funcion talque f(0) = 0. Demuestre que f es una isometrıa si y solo si f preservaproducto interno, es decir, 〈f(x), f(y)〉 = 〈x, y〉 para todos x, y ∈ Rn.

6. Una funcion afın f de Rn en Rn es una funcion f = T + b, con Ttransformacion lineal no singular de Rn en Rn y b ∈ Rn fijo. Demuestreque una funcion f : Rn → Rn es una isometrıa si y solo si f es afın,con T ortogonal. Demuestre que el conjunto de las isometrıas de Rn

es un grupo con la composicion usual de funciones, a este grupo ledenotaremos por I(Rn).

7. Sean S un subconjunto no vacıo de Rn, I(S) = f ∈ I(Rn) : f(S) ⊆S, f−1(S) ⊆ S. Demuestre que I(S) es un subgrupo de I(Rn).

1.3. Indice y el Teorema de Lagrange 29

8. Sea G un grupo de orden par. Demuestre que G contiene un elemen-to de orden 2 (caso especial del Teorema de Cauchy, Teorema 2.3.1,pagina 66).

9. (Este ejercicio cae fuera del contexto de la teorıa de grupos, sin embargoes recomendable conocerlo). Sea V un espacio vectorial sobre R ( dehecho sobre cualquier campo). Demuestre que V admite una base (sug.use el Lema de Zorn).

10. Sea X un conjunto con n elementos, SX = f : X → X | fes inyectiva.Demuestre que SX forma un grupo con la operacion composicion defunciones y |SX | = n! En este caso SX sera denotado por Sn y se lellama el grupo de permutaciones de n elementos.

11. Sea G un grupo, Z(G) = x ∈ G | xg = gx ∀ g ∈ G. Demuestre queZ(G) es un subgrupo abeliano de G llamado el centro de G.

12. Caracterice los subgrupos de (Z, +).

1.3. Indice y el Teorema de Lagrange

Anteriormente notamos que la union de subgrupos no siempre es un sub-grupo. Esta propiedad es analoga al caso de subespacios vectoriales. Allı,se define la suma de subespacios, la cual siempre resulta ser un subespacio.¿Cual es la operacion, en el caso de subgrupos, que sustituye a la suma en elcaso de subespacios? Como en un grupo G se tiene solamente una operacion,esta debe ser usada para intentar dar una definicion de “suma de subgrupos”,o producto, dependiendo de como se denote a la operacion. Con esto en men-te se tiene la siguiente situacion. Sea G un grupo, S y T subconjuntos novacıos de G, se define el producto de S y T como: ST := st | s ∈ S, t ∈ T.Si H ≤ G, g ∈ G, al producto Hg = hg | h ∈ H le llamamos la claselateral derecha de H en G representada por g. De forma analoga se definela clase lateral izquierda de H en G representada por g.Si S y T son subgrupos, ¿es ST un subgrupo? De la definicion de productode los subgrupos S y T , se tiene que los elementos del producto son de laforma ab, con a ∈ S y b ∈ T . Si el producto ha de ser un subgrupo se debetener xy−1 ∈ ST , para todos x, y ∈ ST . Representando a x e y como se ha


definido en el producto, se tiene xy = ab(cd)−1 = abd−c−1 y este elementono necesariamente pertenece a ST . Si Los elementos de S y T conmutan, setendra lo que se desea. Esto ocurre, por ejemplo, si el grupo que contiene aS y T es abeliano, o de manera menos restrictiva, si los elementos de S y losde T conmutan.El analisis que hemos dado todavıa no contesta la pregunta planteada, sinembargo, proporciona una respuesta parcial. La pregunta la podemos plan-tear para los grupos que no son abelianos. Para analizar la situacion en gru-pos no abelianos es interesante saber algunas condiciones sobre tales grupos,por ejemplo, su cardinalidad. ¿Hay grupos no abelianos de orden pequeno?Es claro que los grupos con solo dos elementos son abelianos, pues el grupoconsta de la identidad y otro elemento, el cual tiene que ser su propio inverso.Si un grupo tiene tres elementos, digamos e, x, y, entonces x e y son inversosuno del otro, de lo cual la conmutatividad se obtiene directamente. Si ungrupo tiene cuatro elementos, digamos e, x, y, z, entonces al tomar unapareja, por ejemplo x, y, se tiene que xy 6∈ x, y (¿por que?), de esto sedebe tener: xy = e, z.Analizando como antes se llega a que yx = e, z y en cualquiera de los casosse verifica que xy = yx. Como este analisis se puede hacer para toda parejade elementos, se tiene que el grupo es abeliano.¿Que ocurre con los gruposde cinco elementos? El analisis anterior es mucho mas complicado por lasdiferentes posibilidades que ocurren al tomar dos elementos y multiplicarlos.Una idea que puede intentarse es considerar un elemento diferente de laidentidad, x y considerar el subgrupo generado por este, el cual debe teneral menos dos elementos. ¿Es posible que 〈x〉 sea diferente del total?Pongamos 〈x〉 = H. Si existe a ∈ G \ H, consideremos los siguientes sub-conjuntos de G: H y Ha := ha : h ∈ H. Si hubiese un elemento en lainterseccion, digamos, z = ha se tendrıa que h−1z = a ∈ H, lo cual es im-posible. De esto se tiene H ∪Ha es un subconjunto de G que contiene 2|H|elementos. Como este numero tiene que ser menor o igual que cinco, debeocurrir que |H| es dos, es decir H = e, x, por lo que existe b ∈ G el cual nopertenece a H ∪Ha. Un calculo sencillo muestra que los conjuntos H,Ha yHb son ajenos a pares, entonces su union produce 6 elementos de G, lo cuales imposible. Esta contradiccion muestra que G = 〈x〉. En resumen, se haprobado que un grupo con cinco elementos es cıclico, por lo tanto, abeliano.La discusion anterior la podemos resumir diciendo:

1.3.1 Observacion Los grupos de orden menor o igual que cinco son abe-lianos.


Consideremos el conjunto S3 que consiste de las funciones biyectivas de1, 2, 3 en sı mismo (llamadas permutaciones). Con la operacion, compo-sicion de funciones, S3 es un grupo. Los elementos de S3 pueden ser descritosexplıcitamente como sigue: S3 = (1), (123), (12), (13), (23), (132). La no-tacion (1) significa la permutacion identidad. El elemento (123) significa lapermutacion que transforma el uno al dos, el dos al tres y el tres al uno. Lapermutacion (12) es la funcion que fija al tres, al dos lo transforma en unoy al uno en dos. Con estas aclaraciones se tiene que los siguientes subcon-juntos son subgrupos de S3: S = (1), (12) y T = (1), (13), su productoes ST = (1), (12), (13), (132). Si ST fuese subgrupo, debiera contener alelemento (13)(12) = (123), pero este no es el caso. Resumiendo, hemos en-contrado un grupo, S3 y dos subgrupos cuyo producto no es subgrupo. An-teriormente fue observado que si los elementos de S conmutan con los de T ,entonces ST es subgrupo. Notemos que si los elementos de S y T conmutan,entonces los conjuntos ST y TS son iguales, es decir, ST = TS. ¿Sera estacondicion necesaria? La respuesta la proporciona el siguiente teorema.

1.3.1 Teorema Sean H y K subgrupos de G. Entonces HK es subgrupo⇐⇒ HK = KH.

Demostracion. (=⇒ Supongamos que HK es subgrupo, sea hk ∈ HK enton-ces (hk)−1 ∈ HK, por lo tanto (hk)−1 = h1k1 con h1 ∈ H y k1 ∈ K. De laultima ecuacion se concluye que hk = (h1k1)

−1 = k−11 h−1

1 ∈ KH, es decir,HK ⊆ KH. Un argumento analogo prueba que KH ⊆ HK.⇐=) Supongamos que HK = KH. Sean x, y ∈ HK, aplicando el Teore-ma 1.2.3, basta mostrar que xy−1 ∈ HK. De la eleccion de x e y se tie-ne x = hk, y = h1k1, y de estas dos ultimas ecuaciones se concluye quexy−1 = hkk−1

1 h−11 = hh2k2, para algunos h2 ∈ H y k2 ∈ K, por lo tanto

xy−1 ∈ HK.

1.3.1 Corolario En un grupo abeliano, el producto (finito) de subgruposes un subgrupo.

1.3.2 Observacion Hg = H ⇐⇒ g ∈ H.

1.3.3 Observacion El producto de subconjuntos de un grupo es asociativo.

La prueba de las dos observaciones anteriores se deja como ejercicio.

1.3.1 Ejercicio Sea G un grupo, S un subconjunto finito no vacıo de G.Si SS = S entonces S es un subgrupo. ¿Que ocurre si S no es finito?


1.3.2 Teorema Sea G un grupo, H ≤ G, entonces Ha = Hb ⇐⇒ab−1 ∈ H.

Demostracion. (=⇒ Si Ha = Hb entonces (Ha)b−1 = (Hb)b−1 = H, la con-clusion se sigue de la Observacion 1.3.2.⇐=) Si ab−1 ∈ H entonces nuevamente la Observacion 1.3.2 implica Hab−1 =H. El resultado se obtiene multiplicando a la derecha por b en la ecuacionanterior.

1.3.2 Ejercicio Sean H y K subgrupos finitos de G. Demuestre que |HK||H∩K| = |H||K|.Sugerencia: Note que HK = ∪Hk, la union se toma sobre los elementosde K. Tambien, Hk = Hk1 ⇐⇒ kk−1

1 ∈ H y esto ultimo sucede ⇐⇒(H ∩K)k = (H ∩K)k1. Por otro lado, K es la union ajena de clases moduloH ∩ K, entonces el numero de conjuntos diferentes en ∪Hk es el ındice deH ∩K en K.

1.3.3 Teorema Sea G un grupo, H ≤ G. Entonces las clases laterales de-rechas de H en G constituyen una particion de G.

Demostracion. Claramente G =⋃g∈G

Hg, por lo tanto basta mostrar que si

dos clases laterales derechas se intersecan, deben ser iguales. Sean Ha y Hbclases laterales derechas tales que Ha∩Hb 6= ∅, entonces existe x ∈ Ha∩Hb,por lo que x = ha = h1b, con h, h1 ∈ H. La ultima ecuacion implica ab−1 =h−1h1 ∈ H, ahora la conclusion se obtiene del Teorema 1.3.2.

1.3.4 Teorema Sea G un grupo, H ≤ G, R = Hg | g ∈ G y L = gH |g ∈ G. Entonces |R| = |L|.Demostracion. Consideremos la asignacion Ha → a−1H y demostremos queesta define una funcion biyectiva. Si Ha = Hb, entonces b−1H = a−1H, puesHa = Hb ⇐⇒ ab−1 ∈ H ⇐⇒ ab−1H = H ⇐⇒ b−1H = a−1H, esdecir, la asignacion anterior define una funcion que le denotaremos f . Delargumento anterior tambien se obtiene que f es inyectiva; la suprayectividadde f se obtiene directamente, pues f(Hb−1) = bH.

1.3.1 Definicion Sean H y G como en el teorema anterior, se define elındice de H en G como |L| = |R| y se denota por [G : H].


1.3.5 Teorema (Lagrange) Sea G un grupo finito, H ≤ G, entonces|G| = [G : H]|H|.Demostracion. Como las clases laterales derechas forman una particion deG, entonces existen g1, . . . , gt elementos de G tales que G = ∪Hgi, uniondisjunta, t = [G : H]. Para terminar la prueba basta probar que |H| = |Ha|para cualquier a ∈ G. Sea a ∈ G, defınase fa : H → Ha como sigue fa(h) =ha (translacion por a). Se verifica sin mayor problema que fa es biyectiva,por lo tanto |H| = |Ha|, de esta ultima ecuacion se tiene:

|G| =t∑

i=1

|Hgi| =t∑

i=1

|H| = t|H| = [G : H]|H|.

Recordemos la definicion de grupo cıclico.

1.3.2 Definicion Un grupo G se dice cıclico si G = 〈g〉, para algun g ∈ G.

El siguiente resultado es una de las consecuencias utiles e inmediatas delTeorema de Lagrange.

1.3.6 Teorema (a) Sea G un grupo tal que |G| = p, con p primo. Enton-ces G es cıclico, de hecho, G = 〈g〉 para cualquier g 6= e.

(b) Si G es un grupo finito, H y K son subgrupos de G tales que K ⊂ H ⊂G, entonces [G : K] = [G : H][H : K].

Demostracion. (a) Directa del Teorema de Lagrange.(b) Por el Teorema de Lagrange, |G| = |H|[G : H] = |K|[G : K] y |H| =|K|[H : K]. La conclusion se obtiene combinando estas ecuaciones.

1.3.7 Teorema Sea G un grupo, a ∈ G tal que m = |〈a〉| < +∞, entonces:

(i) m = |a| (orden de a).

(ii) Si k ∈ Z es tal que ak = e, entonces m divide a k.

Demostracion. (i) Como 〈a〉 es finito, entonces existe un entero positivo mtal que el conjunto e, a, . . . , am−1 tiene m elementos y am es uno de estoselementos. Si am = ai con 0 < i ≤ m− 1, entonces am−i = e, contradiciendoque los elementos elegidos son diferentes, por lo tanto se debe tener am = e.


Notese que m es el menor entero positivo con la propiedad am = e, es decirm = |a|. Para concluir la prueba mostraremos que 〈a〉 = e, a, a2, . . . , am−1.Recordemos que 〈a〉 = ak : k ∈ Z. Dado k ∈ Z, existen r y q, numerosenteros tales que k = mq + r, con 0 ≤ r < m. De esto se tiene ak = amqar =ar ∈ e, a, a2, . . . , am−1, probando (i). Si ak = e, del argumento anterior setiene ar = e, las condiciones sobre r y m implican que r = 0, es decir, mdivide a r, probando (ii).

1.3.4 Observacion Si |G| < +∞, entonces |g| divide a |G| y g|G| = e paratodo g ∈ G.

1.3.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo, x, y ∈ G tales que xy = yx y (|x|, |y|) = 1. Demuestreque |xy| = |x||y|. De hecho este resultado se cumple en una situacionmas general. ¿Cual es el orden de xy si xy = yx ?

2. Sea G el grupo de matrices con entradas en Q,

A =

(0 −11 0

)y B =

(0 1−1 −1

)

elementos de G. Demuestre que A y B tienen ordenes primos relativosy AB tiene orden infinito. ¿Contradice esto al Ejercicio 1?

3. Sean H y K subgrupos de G. Demuestre que |HK||H ∩K| = |H||K|.4. Sea G un grupo abeliano, T (G) = g ∈ G | gn = e para algun n.

Demuestre que T (G) es un subgrupo de G. A este subgrupo se le llamael subgrupo de torsion de G. Compare con el Ejercicio 2.

5. Sea G un grupo que contiene un numero finito de subgrupos. Demuestreque G es finito.

6. Dado un entero positivo n, se define la funcion de Euler ϕ(n) como lacardinalidad del conjunto 1 ≤ a ≤ n | mcd(a, n) = 1. Sean n y menteros positivos primos relativos. Demuestre que nϕ(m) ≡ 1 (mod m).

7. Sea G un grupo finito, S y T subconjuntos de G no vacıos. Demuestreque G = ST o |G| ≥ |S|+ |T |.

1.4. Subgrupos normales y grupo cociente 35

8. Sea G un grupo de orden pkm con (p,m) = 1, H ≤ G tal que |H| = pk yK ≤ G tal que |K| = pd, 0 < d ≤ k y K no contenido en H. Demuestreque HK no es subgrupo (equivalentemente HK 6= KH)

9. Sea a un entero > 1 y n ∈ N. Demuestre que n|ϕ(an − 1).

1.4. Subgrupos normales y grupo cociente

El concepto de subgrupo normal es uno de los mas importantes en teorıa degrupos y teorıa de Galois. De hecho, de acuerdo con Wussing [[24], pagina105], este concepto es descubierto por Galois al estudiar la estructura delo que definio como el grupo de una ecuacion. En lo que sigue mostraremoscomo a partir de un grupo y un subgrupo normal se puede construir un grupo,llamado grupo cociente, el cual es de utilidad para obtener propiedades delgrupo original.

1.4.1 Definicion Sea G un grupo, N ≤ G. Se dice que N es un subgruponormal si gNg−1 = N para todo g ∈ G. Cuando N es normal lo denotare-mos por N ¢ G.

1.4.1 Observacion Si H es un subgrupo de G, y g ∈ G, gHg−1 es unsubgrupo de G llamado subgrupo conjugado de H y |gHg−1| = |H|. Note queH es normal ⇐⇒ H coincide con todos sus conjugados.

1.4.1 Teorema Las siguientes condiciones sobre un subgrupo N son equi-valentes.

(i) N es normal.

(ii) gNg−1 ⊆ N para todo g ∈ G.

(iii) gN = Ng para todo g ∈ G.

Demostracion. (i) =⇒ (ii) Es claro.(ii) =⇒ (iii) Por hipotesis gNg−1 ⊆ N para todo g ∈ G, de esta condicionobtenemos gN ⊆ Ng y tomando g−1 en lugar de g se concluye Ng ⊆ gN ,obteniendo la igualdad.(iii) =⇒ (i) Directo de la hipotesis.

El siguiente resultado, de gran importancia, muestra como construir el grupocociente.


1.4.2 Teorema (Grupo cociente) Sea G un grupo, N¢G, L y R los conjun-tos de clases laterales izquierda y derecha, respectivamente. Entonces L = R,mas aun, estos conjuntos forman un grupo el cual es llamado grupo cocientemodulo N y se denota por G/N .

Demostracion. La primera parte del teorema es consecuencia del teoremaanterior, pues toda clase izquierda es una clase derecha con el mismo repre-sentante. Pongamos G/N = R. Sean Na y Nb elementos de G/N , entoncesNaNb = Na(a−1Na)b = NNab = Nab, lo cual muestra que el producto dedos clases derechas es otra clase derecha. Mostraremos que esta operacionesta bien definida, pues si Na = Na1 y Nb = Nb1 entonces, procediendocomo antes se concluye que Nab = Na1b1, es decir, se ha definido en G/Nuna operacion la cual satisface:

(i) Asociatividad. Se tiene de la Observacion 1.3.3.

(ii) Existencia de identidad. Tomando la clase Ne = N , con e la identidaden G, se demuestra que NaNe = Na para toda clase Na.

(iii) Existencia de inversos. Dada una clase Na, tomando Na−1 se cumpleque Na−1Na = Ne = N .

De las condiciones anteriores se concluye que G/N , con la operacion de clasesdefinida, es un grupo.

1.4.1 Corolario Si G es finito y N ¢ G, entonces∣∣∣∣G

N

∣∣∣∣ =|G||N | .

Demostracion. Por el Teorema de Lagrange se tiene |G| = [G : N ]|N |. Laconclusion se tiene notando que [G : N ] es la cardinalidad del grupo cociente.

Los siguientes ejemplos de grupos cociente son de gran importancia en teorıade numeros y algebra lineal.

(a) Sea G = Z con la suma usual de enteros. Sabemos que G es abeliano ypor ende todos sus subgrupos son normales. Dado m ∈ Z positivo, severifica directamente que mZ = mq : q ∈ Z es un subgrupo de Z.Para un n ∈ Z, mZ+ n = mq + n : q ∈ Z es la clase lateral derechade mZ en Z.


Afirmacion: Las clases laterales de mZ en Z son: mZ,mZ+1, . . . , mZ+(m − 1). En efecto, si 0 ≤ i, j < m y mZ + i = mZ + j entonces mdivide a i− j, la hipotesis sobre i, j implica i = j. Dado n ∈ Z, por elalgoritmo de la division, existen enteros q y r tales que n = mq + r y0 ≤ r < m, entonces mZ+ n = mZ+ r, probando lo afirmado.

Note que dos enteros a y b son congruentes modulo m ⇐⇒ a −b ∈ mZ. Si [a] denota a la clase de congruencia modulo m entonces[a] = mZ + a. De la afirmacion anterior tambien se tiene que el grupocociente Z/mZ tiene cardinalidad m. Observese que este ejemplo ya sediscutio al considerar los enteros modulo n.

(b) Sea V un espacio vectorial sobre R, W un subespacio, en particular Wes un subgrupo de (V, +) el cual es abeliano, entonces el grupo cocienteV/W tambien lo es. Dado r ∈ R y (W + α) ∈ V/W se define unamultiplicacion por escalar como r(W + α) := W + rα, es claro queesta multiplicacion no depende del representante de la clase W + α yse prueba sin dificultad que hace de V/W un espacio vectorial. Si Vtiene dimension finita, digamos n y W es un subespacio de dimensionm entonces la dimension de V/W es n −m. La demostracion se dejacomo ejercicio.

1.4.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G de ındice 2. Demuestre que Hes normal. Este es un caso especial del siguiente resultado. Si H es unsubgrupo de G tal que [G : H] es el menor primo que divide a |G|entonces H es normal.

2. Demuestre que la interseccion de cualquier coleccion de subgrupos nor-males es un subgrupo normal.

3. Sea H /G tal que [G : H] = n. Demuestre que yn ∈ H para todo y ∈ G.

4. Sea G un grupo y G′ el subgrupo generado por todos los elementos de laforma xyx−1y−1, con x, y ∈ G. A G′ se le llama el subgrupo derivado osubgrupo conmutador de G. Demuestre que G′ /G y G/G′ es abeliano.De hecho G′ es el menor subgrupo normal con tal propiedad, es decir,

1.5. Grupos cıclicos 38

si H es subgrupo normal de G, entonces G/H es abeliano si y solo siG′ ⊆ H.

5. Sea G un grupo. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes

a) G′′ = e (G′′ es el derivado del derivado)

b) Existe un subgrupo normal H tal que H yG

Hson abelianos.

A un grupo que satisface las condiciones anteriores se le llama metabe-liano.

6. Sea G un grupo, H ≤ G tal que G′ ≤ H. Demuestre que H / G.

7. Sea G un grupo finito, H /G tal que (|H|, [G : H]) = 1. Demuestre queH es el unico subgrupo de G con orden |H|.

8. Sea S1 = z ∈ C | |z| = 1. Demuestre que S1 es un grupo conla operacion producto de numeros complejos y S1 ∼= R/Z; R grupoaditivo.

9. a) Si H ≤ G demuestre que para todo g ∈ G, gHg−1 ≤ G.

b) Demuestre que

W =⋂g∈G

gHg−1 / G

c) Demuestre que H/G ⇐⇒ H = Hx := xhx−1 : h ∈ H, ∀x ∈ G.

1.5. Grupos cıclicos

En el estudio y clasificacion de los grupos, los mas sencillos a considerarson los generados por un elemento, es decir los grupos cıclicos. El entenderlas propiedades y estructura de estos es de gran importancia, pues comose probara mas adelante, todo grupo abeliano finito se descompone comoproducto directo de grupos cıclicos. Antes de iniciar la discusion de los gruposcıclicos, presentamos dos ejemplos de grupos que, se probara, son isomorfos.El primero se conoce como el grupo de las raıces n-esimas de la unidad y elsegundo fue introducido desde el inicio de la discusion.Sea Cn = z ∈ C | zn = 1. Con la multiplicacion usual de complejos, Cn esun grupo, e invocando la formula de De Moivre, [22] pagina 22, se obtiene


Cn = e(2πki)/n | 0 ≤ k ≤ n − 1. Declarando ζn = e(2πi)/n se concluye queCn = 〈ζn〉, es decir, Cn es un grupo cıclico con n elementos.Recordemos la definicion de congruencia modulo un entero. Sea n un enteropositivo, se define en Z una relacion como

a ≡ b (mod n) si n divide a a− b

y se verifica sin dificultad que esta relacion es una relacion de equivalencia quedivide a Z en n clases, llamadas las clases de residuos modulo n. El conjuntode clases de residuos lo denotamos por Z/nZ = 0, . . . , n− 1. Se verifica sindificultad que las clases de residuos forman un grupo cıclico con n elementos.Sea G un grupo cıclico digamos G = 〈g〉, entonces G = gn | n ∈ Z. Yasabemos que si |G| < +∞, entonces G = e, g, . . . , gm−1, con |G| = m.

1.5.1 Teorema Sean G y H grupos cıclicos. Entonces G ∼= H ⇐⇒ |G| =|H|.Demostracion. (=⇒ Se tiene de la definicion de isomorfismo.⇐=) Sean G = 〈g〉 y H = 〈h〉. Defınase ϕ : G → H por ϕ(gi) := hi. Severifica facilmente que ϕ es un homomorfismo y ademas:

(i) ϕ es inyectiva, pues si ϕ(gi) = ϕ(gj) entonces hi = hj. Si h tiene ordeninfinito, entonces la ecuacion hi = hj implica que i = j. Si h tieneorden finito, entonces de la ecuacion hi = hj se concluye que |h| dividea i− j. Como 0 ≤ i, j < |g| = |h|, se debe tener i = j.

(ii) ϕ es suprayectiva, pues dado cualquier elemento de H, digamos hi,tomamos gi y se tiene ϕ(gi) = hi.

1.5.2 Teorema Sea G un grupo cıclico, entonces los subgrupos y los cocien-tes de G tambien son cıclicos.

Demostracion. Sea H un subgrupo de G, si H = e no hay nada que probar,por lo tanto podemos suponer que H 6= e. Sea G = 〈g〉, como H ≤ G,existe n ≥ 1 tal que gn ∈ H, sea m el menor entero positivo tal que gm ∈ H.Se afirma que H = 〈gm〉. Claramente 〈gm〉 ⊆ H. Sea h ∈ H, como h ∈ Gentonces h = gk para algun k. Aplicando el algoritmo de la division a m y k,concluimos que existen q y r, enteros tales que k = qm + r y 0 ≤ r < m, porlo tanto h = gk = gqm+r = gmqgr; de esta ultima ecuacion se concluye que


gr ∈ H. La minimalidad de m implica que r = 0. La conclusion se obtiene,pues H ⊆ 〈gm〉.El Teorema 1.5.1 caracteriza a los grupos cıclicos en terminos de su cardina-lidad, como una consecuencia de este se tiene: cualquier grupo cıclico infinitoes isomorfo a los enteros.

1.5.3 Teorema Sea G un grupo finito, entonces G es cıclico ⇐⇒ paratodo divisor k de |G| existe un unico subgrupo cıclico Gk de G con |Gk| = k.

Demostracion. ⇐=) Es claro.(=⇒ Sea G cıclico con |G| = n. Por el Teorema 1.5.2 los subgrupos de Gson cıclicos. Sea k un divisor de n, mostraremos que G contiene un unicosubgrupo de orden k. Sea b = gn/k, con G = 〈g〉, claramente se tiene |b| = k.Sea H un subgrupo de orden k, digamos H = 〈c〉, para algun c. Para concluirla prueba es suficiente mostrar que c ∈ 〈b〉. Se tiene que c = gm para algunm. Como |H| = k, entonces ck = gmk = e y como |g| = n, se concluye quen divide a mk, por lo tanto existe q tal que mk = qn, de donde se obtienem = (n/k)q, concluyendo c = gm = g(n/k)q = (gn/k)q ∈ 〈b〉.

NOTA. El teorema anterior se puede enunciar debilitando las hipotesis: Ungrupo finito G es cıclico, si y solo sı para cada divisor del orden de G existe alo mas un subgrupo de ese orden. Se puede obtener una prueba de esta versionusando un resultado sobre grupos nilpotentes o usando una propiedad de lafuncion de Euler. (Ver Teorema 4.3.6)

1.5.4 Teorema Sea n un natural, entonces existe un unico grupo cıclico deorden n, salvo isomorfismo.

Demostracion. Tome las raıces n-esimas de la unidad o Z/nZ y aplique elTeorema 1.5.1.

1.5.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo cıclico de orden n. ¿Cuantos generadores tiene G?

2. Sea G un grupo abeliano finito tal que la ecuacion xn = e tiene a lomas n soluciones para cada n. Demuestre que G es cıclico.

3. Sean H y K subgrupos normales de G tales que K∩H = e. Demues-tre que hk = kh ∀ h ∈ H y ∀ k ∈ K.

1.6. Los teoremas de isomorfismo 41

4. Si el orden de G es pq, con p y q primos diferentes y G tiene subgruposnormales de orden p y q respectivamente. Demuestre que G es cıclico.

5. Sea G un grupo no abeliano, Z(G) el centro de G. Demuestre queG/Z(G) no es cıclico.

1.6. Los teoremas de isomorfismo

Anteriormente comentamos sobre la importancia de clasificar a los grupos vıaisomorfismo. En este sentido es importante estudiar propiedades de homo-morfismos de un grupo en otro, pues un caso especial de homomorfismos esel que lleva a la condicion de isomorfismo, ¿cual es esa condicion? Un primerintento de gran utilidad es iniciar considerando una funcion de un grupo en elotro y tratar de ver si esta funcion es un homomorfismo. Para ilustrar estas

ideas consideremos la siguiente situacion. Sea G =

(1 m0 1

): m ∈ Z

.

Con el producto usual de matrices, se verifica que G es un grupo. ¿Se puededefinir un homomorfismo entre G y Z? Un primer intento es relacionar unelemento de G con un entero para definir una funcion. Por ejemplo, se puede

proponer una funcion que a cada entero m le asocie el elemento

(1 m0 1

)de

G. Un calculo sencillo muestra que la suma de enteros es transformado en elproducto de matrices, es decir, si denotamos a la funcion descrita antes porφ se tiene:

φ(m + m1) =

(1 m0 1

) (1 m1

0 1

).

Una vez establecido esto, es directo verificar que φ es biyectiva, en otraspalabras, φ es un isomorfismo. En el ejemplo anterior resulto relativamentesencillo encontrar un isomorfismo entre los grupos propuestos, sin embargohay situaciones en las cuales no se tendra una forma inmediata de estable-cer un homomorfismo entre los grupos bajo consideracion. Supongamos quese tienen dos grupos G1 y G y un homomorfismo f : G → G1. Estamosinteresados en analizar las siguientes posibilidades:

1. Si f es inyectiva, G1 contiene un subgrupo isomorfo a G, a saber, laimagen de f .

2. Si f es biyectiva, G ∼= G1.


3. Si f no es inyectiva, su nucleo es diferente de la identidad. LlamemosleN . Para cualquier g ∈ G y cualquier n ∈ N se tiene: f(gng−1) =f(g)f(n)f(g)−1 = f(g)f(g)−1 = e1, con e1 la identidad en G1. Estomuestra que N es normal en G. ¿Hay alguna relacion entre Im f yG/N? El siguiente resultado da la respuesta.

1.6.1 Teorema (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea f : G → G1 unhomomorfismo con nucleo N , entonces N ¢ G y G/N ∼= Im f .

Demostracion. Ya mostramos antes que N es normal. Sea F : G/N → Im fdefinida por F (Na) := f(a). F esta bien definida pues si Na = Nb entoncesab−1 ∈ N por lo tanto f(ab−1) = e1, lo cual implica que f(a) = f(b). Lanormalidad de N implica que F es un homomorfismo. La biyectividad de Fse verifica facilmente.

1.6.1 Ejemplo Sea G = GL(n,C) = A ∈ Mn×n(C) | |A| 6= 0, H =A ∈ G | |A| = 1. Se verifica que H ¢ G y G/H es abeliano, de hechoG/H ∼= C∗.El siguiente teorema muestra que los subgrupos normales de un grupo G,estan determinados por homomorfismos de G en algun otro grupo.

1.6.2 Teorema Sea G un grupo, H ≤ G. Entonces H¢G ⇐⇒ H = ker f ,para algun homomorfismo f .

Demostracion. ⇐=) Se obtiene del Comentario 3 antes del teorema anterior.(=⇒ Sea H ¢ G, considere G/H y defınase π : G → G/H como sigue:

π(a) := Ha.

Haciendo uso del hecho que H es normal en G, se verifica facilmente que πes un homomorfismo con nucleo H.Si π esta definido como en el teorema anterior, se le llama la proyeccionnatural.

1.6.1 Ejercicio Sea G un grupo, H y K subgrupos. Supongamos que unode estos es normal. ¿Es HK un subgrupo? ¿Es HK un subgrupo normal?

1.6.3 Teorema (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea G un grupo, H yK subgrupos. Supongamos que K ¢G. Entonces K ∩H ¢H y H/(K ∩H) ∼=(KH)/K.


Demostracion. Puesto que K ∩H ⊆ H, esto y la normalidad de K implicanque g(K ∩ H)g−1 ⊆ K ∩ H ⊆ H para todo g ∈ H, entonces K ∩ H ¢ H.Claramente K ¢ KH. Sea ϕ : H → HK/K definido como por ϕ(a) =Ka. De la normalidad de K se tiene que ϕ es un homomorfismo, el cuales suprayectivo. Por otro lado se verifica sin dificultad que el nucleo de ϕes H ∩ K. Finalmente, el resultado se obtiene aplicando el Teorema 1.6.1(Primer Teorema de Isomorfismo).

1.6.4 Teorema (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea G un grupo, H y Ksubgrupos normales tales que K ⊆ H ⊆ G. Entonces H/K ¢ G/K y

G/K

H/K∼= G

H.

Demostracion. Sea Ka = Kb. La condicion K ⊆ H implica que Ha = Hb,por lo tanto se puede definir ϕ : G/K → G/H como sigue, ϕ(Ka) := Ha.Es claro que ϕ es un epimorfismo y Ka ∈ Ker ϕ ⇐⇒ Ha = H ⇐⇒ a ∈H ⇐⇒ Ka ∈ H/K. La conclusion se obtiene del Teorema 1.6.1 (PrimerTeorema de Isomorfismo).

Cuando se tiene un subgrupo normal N 6= e en un grupo finito G, el co-ciente G/N resulta tener cardinalidad menor que la de G. En este sentido, elgrupo cociente G/N es mas pequeno y posiblemente sea mas facil estudiarlo.Algo que fuese deseable es que conociendo propiedades de G/N se pudieranobtener propiedades de G. Si esto fuese ası, entonces debe haber una formade obtener relaciones entre los subgrupos de G/N y los subgrupos de G, pero¿cuales de estos subgrupos? El siguiente resultado contesta la pregunta plan-teada, estableciendo una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de Gque contienen a N y los subgrupos de G/N . De hecho, esta correspondenciapreserva normalidad e ındices, mas precisamente:

1.6.5 Teorema (Teorema de la correspondencia) Sea G un grupo,K ¢ G y π : G → G/K la proyeccion natural. Entonces π define una corres-pondencia biyectiva entre los subgrupos de G que contienen a K y los sub-grupos de G/K. Si el subgrupo de G/K correspondiente a S es S∗, entonces:

(i) S∗ = S/K = π(S).


(ii) T ⊆ S ⇐⇒ T ∗ ⊆ S∗ y en este caso [S : T ] = [S∗ : T ∗].

iii) T ¢ S ⇐⇒ T ∗ ¢ S∗, entonces S/T ∼= S∗/T ∗.

A grandes rasgos, el teorema anterior se puede interpretar como sigue: Lossubgrupos que estan contenidos en K, desaparecen en el cociente y los queno lo estan, aplicando el Segundo Teorema de Isomorfismo, dan origen asubgrupos de la forma

KH

K∼= H

H ∩K

lo que puede ser interpretado como las traslaciones de H modulo K. Elsiguiente diagrama ilustra la situacion en el teorema anterior.

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

tt

tt

tt

PPPPPq

PPPPPq

PPPPPq

K

S

G

1 = K/K

S∗ = S/K

G/K

Demostracion. Es claro que si K ≤ S ≤ G, entonces S/K ≤ G/K. Sean S yT subgrupos de G que contienen a K tales que S/K = T/K. Se probara queS = T . Por simetrıa basta probar que S ⊆ T . Sea a ∈ S, entonces Ka = Kbpara algun b ∈ T , por lo tanto ab−1 ∈ K ⊆ T y como b ∈ T entonces a ∈ T ,de esto se concluye que la correspondencia es inyectiva.Sea S∗ ≤ G/K y S = π−1(S∗). Se verifica directamente que S ≤ G, ademasπ(S) = π(π−1(S∗)) = S∗, pues por definicion de S, π(S) ⊆ S∗ y como π essobre, entonces dado x ∈ S∗ existe y tal que π(y) = x, por lo tanto S∗ ⊆ π(S).


Hasta aquı se ha probado la parte (i) y que π define una correspondenciabiyectiva.(ii) Es claro que π preserva inclusiones, entonces resta probar que si K ⊆S ⊆ T , se debe tener [T : S] = [T ∗ : S∗], esto equivale a probar que existeuna correspondencia biyectiva entre las clases S∗t∗ y las clases St.Dado St ∈ St | t ∈ T, π(St) := S∗t∗. Esta correspondencia entre clasesesta bien definida pues si St = St1, entonces tt−1

1 ∈ S, por tanto t∗t∗1−1 ∈ S∗.

El argumento anterior tambien prueba que π es inyectiva en el conjunto declases; por otro lado se verifica directamente que π es suprayectiva.(iii) Si T ¢ S, entonces gTg−1 = T para todo g ∈ S y de esto obtenemosπ(T ) = π(gTg−1) = π(g)T ∗π(g)−1 = T ∗. Dado cualquier x ∈ S∗, x es de laforma x = π(g), para algun g ∈ S, por lo tanto xT ∗x−1 = π(g)T ∗π(g)−1 =π(gTg−1) = π(T ) = T ∗, probando que T ∗ ¢ S∗.Recıprocamente, si T ∗ ¢ S∗, debemos mostrar que gTg−1 ⊆ T para todog ∈ S. Dado x ∈ T , π(gxg−1) = π(g)π(x)π(g−1) ∈ π(g)T ∗π(g)−1 = T ∗, porlo tanto gxg−1 ∈ T = π−1(T ∗), es decir, gTg−1 ⊆ T . Por ultimo, como K ¢Gentonces K es normal en cualquier subgrupo de G, de esto y aplicando elTercer Teorema de Isomorfismo se concluye: S∗/T ∗ = (S/K)/(T/K) ∼= S/T ,probando la ultima parte de (iii).

1.6.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo y a ∈ G. Se define fa : G → G por fa(g) = aga−1.Demuestre que fa es un isomorfismo.

2. Sean H y G grupos, f : G → H un homomorfismo. Demuestre:

(a) f(an) = f(a)n para todo n ∈ Z,

(b) g(ker f)g−1 ⊆ ker f para todo g ∈ G.

3. Sea G el grupo aditivo de Z[x](polinomios con coeficientes en Z) y Hel grupo multiplicativo de los numeros racionales positivos. Demuestreque G ∼= H.

4. a) Sea G un grupo tal que x2 = e para todo x ∈ G. Demuestre queG es abeliano.

1.7. Producto directo de grupos 46

b) Un grupo G es abeliano si y solo si la funcion f : G → G dadapor f(x) = x−1 es un homomorfismo.

5. Sea f : G → H un homomorfismo, a ∈ G tal que |a| < +∞. Demuestreque |f(a)| divide a |a|.

6. Sea G un grupo finito. Suponga que existe un entero n > 1 tal que lafuncion f(x) = xn es un homomorfismo. Demuestre que la imagen y elnucleo de f son subgrupos normales de G.

7. Un grupo G se dice simple, si los unicos subgrupos normales son laidentidad y el mismo. Sea G un grupo simple. Si f : G → H es unhomomorfismo tal que f(g) 6= eH , para algun g ∈ G, entonces f esinyectivo.

1.7. Producto directo de grupos

Uno de los problemas fundamentales en algebra, al estudiar estructuras, espoder “descomponer” los objetos bajo estudio en terminos de elementos massimples de entender. Por ejemplo, al estudiar a los numeros enteros, se tieneque estos se representan como producto de primos (Teorema Fundamentalde la Aritmetica). Cuando se estudian matrices no singulares, se tiene queestas se representan como producto de matrices elementales. Si el objeto bajoestudio es un espacio vectorial de dimension finita junto con un operador T ,este se puede representar como suma directa de subespacios T -invariantescon propiedades adicionales (Teorema de la descomposicion primaria).En el estudio de grupos, un problema de gran importancia es la “descom-posicion” de un grupo como “producto” de subgrupos. Este resulta ser unproblema de gran dificultad, sin embargo, bajo buenas hipotesis (abelianoy finito) la respuesta es satisfactoria, Teorema 3.1.9. El proceso de factori-zar, resulta mucho mas difıcil que el de multiplicar. ¿Pero que es multiplicargrupos? Nos referimos al producto directo de grupos que a continuacion dis-cutimos.

Sean H y K grupos, G = H ×K el producto cartesiano. Se define en G unaoperacion como sigue:

(h1, k1) (h2, k2) := (h1h2, k1k2).

Se verifica sin dificultad que con esta operacion G es un grupo.


1.7.1 Definicion Sean H, K y G como antes, G se llama el productodirecto externo de H y K.

Si G es el producto directo externo de H y K entonces G contiene dossubgrupos H y K isomorfos a H y K respectivamente. Estos subgrupos sehacen explıcitos de la siguiente manera

H = H × 1, K = 1 ×K.

Se verifica que H, K ¢ G, H ∩ K = e ⊆ G, y G = H K. Cuando ungrupo G contiene subgrupos de tal forma que las condiciones anteriores secumplen, se dice que G es el producto directo interno de H y K. ¿Cuales la diferencia entre producto directo externo e interno? ¿Encuentra algunaanalogıa con el caso de espacios vectoriales?

1.7.1 Observacion El producto directo externo de grupos es “conmutati-vo” y “asociativo”, mas precisamente:

(i) H ×K ∼= K ×H

(ii) (H ×K)× L ∼= H × (K × L).

De la parte (ii) de la observacion anterior se concluye que dada una coleccionde grupos H1, . . . , Hn, el producto H1×· · ·×Hn es unico salvo isomorfismo, esdecir, el producto es independiente del orden y forma de asociar los factores.

1.7.1 Ejercicio Sean H y K grupos. Demuestre que H × K es abeliano⇐⇒ H y K lo son.

1.7.2 Ejercicio Sean m,n ∈ N primos relativos. Demuestre que Znm∼=

Zn × Zm. Concluya que si n =k∏

i=1

peii es la factorizacion de n en primos,

entonces Zn∼= Zp

e11×· · ·×Zp

ekk

. Este Ejercicio es conocido como el TeoremaChino del Residuo.

1.7.1 Teorema Sea G un grupo, H y K subgrupos normales de G tales queG = HK y H ∩K = e. Entonces G ∼= H ×K.

Demostracion. Sea g ∈ G, entonces g = hk con h ∈ H y k ∈ K. La condicionH ∩K = e implica que h y k son unicos, pues si g = hk = h1k1 entonces


h−11 h = k1k

−1 ∈ H ∩K = e. Definamos ϕ : G → H ×K por ϕ(g) = (h, k),la normalidad de H y K junto con H ∩ K = e implican que ϕ es unhomomorfismo, el cual resulta ser un isomorfismo.

1.7.2 Teorema Sean G = H ×K, H1 ¢ H, K1 ¢ K. Entonces

H1 ×K1 ¢ G yG

H1 ×K1

∼= H

H1

× K

K1

.

Demostracion. Sean πH : H → H/H1, πK : K → K/K1 las proyeccionesnaturales, F : G → H/H1 × K/K1 definida por F (h, k) := (H1h,K1k).La normalidad de H1 y K1 implica que F es un epimorfismo. Notese que(h, k) ∈ ker F ⇐⇒ (h, k) ∈ H1 × K1. El resultado se obtiene del PrimerTeorema de Isomorfismo (Teorema 1.6.1).

1.7.1 Ejemplo Sea G un grupo abeliano de orden p2, p primo, entonces

G ∼=Z/p2ZZ/pZ× Z/pZ

Solucion. Sea a ∈ G \ e, entonces |a| = p o |a| = p2. Si |a| = p2 para alguna, entonces G ∼= Z/p2Z. Si |a| = p para todo a 6= e entonces existen a yb en G tales que |a| = |b| = p y 〈a〉 6= 〈b〉, estas condiciones implican que〈a〉 ∩ 〈b〉 = e, como G es abeliano entonces 〈a〉, 〈b〉¢ G. Tambien se tieneque G = 〈a〉〈b〉, aplicando el Teorema 1.7.1 se concluye que G ∼= 〈a〉 × 〈b〉 ∼=Z/pZ× Z/pZ.Nota. Mas adelante se probara que los grupos de orden p2, p un primo, sonabelianos.

1.7.1. Ejercicios

1. Sean m y n enteros positivos primos relativos. Demuestre que Z/mnZ ∼=Z/mZ× Z/nZ.

2. Sea G un grupo, H y K subgrupos tales que [G : H] y [G : K] sonfinitos y primos relativos. Demuestre que G = HK


3. Sea G un grupo finito, H y K subgrupos normales tales que |H||K| =|G|. Suponga que una de las siguientes condiciones se cumple H ∩K =e o HK = G. Demuestre que G ∼= H ×K.

4. Sean H y K subgrupos de un grupo G. Suponga que hk = kh paratodo h ∈ H y para todo k ∈ K, mas aun, suponga que todo elementode G se escribe de manera unica como producto de un elemento de Hy un elemento de K. Demuestre que G ∼= H ×K.

5. Construya grupos no abelianos de orden 12, 18, 24. De hecho construyaejemplos de grupos no abelianos de orden 6n, para todo entero n ≥ 1.

6. Sea Gα una familia de grupos. ¿Como define el producto directo delos elementos de la familia? ¿Puede darle estructura de grupo?

7. Sea G un grupo no abeliano de orden 8. ¿Puede ser G isomorfo alproducto directo de dos grupos de cardinalidad mayor que uno?

8. Sea G un grupo finito que contiene un subgrupo simple H de ındicedos. Demuestre que H es el unico subgrupo normal propio o G contieneun subgrupo K de orden dos tal que G ∼= H ×K.

Capıtulo 2

Grupos de permutaciones yacciones de grupo

2.1. El grupo de permutaciones y el teorema

de Cayley

Desde el punto de vista historico, una de las fuentes originales de la teorıa degrupos, consiste en considerar las permutaciones de las raıces de un polinomiocon la finalidad de poder clasificar aquellos cuyas raıces se pueden expresarpor medio de radicales. Esto se enmarca en el contexto de la imposibilidad deresolver la ecuacion general de grado n por radicales. Nuestro interes en estaseccion es presentar una discusion de la cual se desprenda que los grupos depermutaciones son universales en el sentido de contener subgrupos isomorfosa uno dado (Teorema de Cayley), mas precisamente:

2.1.1 Teorema (Cayley 1878) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo deun grupo de permutaciones.

Demostracion. Sea X = G considerado como conjunto, SX el grupo de per-mutaciones de elementos de X. Definamos ϕ : G → SX por ϕ(g) := fg, endonde fg(x) = gx.Afirmacion: ϕ es un monomorfismo. Sean x, y ∈ G, entonces ϕ(xy) = fxy,evaluando fxy en un elemento arbitrario de G se verifica que fxy = fx fy, esdecir ϕ es un homomorfismo, la inyectividad de ϕ se obtiene directamente.

2.1.1 Corolario Si |G| = n, entonces G → Sn.

51

2.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley 52

El Teorema de Cayley establece que todo grupo es isomorfo a un subgrupo deun grupo de permutaciones. Una desventaja de este teorema es que si |G| = n,entonces G esta sumergido en un grupo que resulta ser muy “grande”, puessu cardinalidad es n! Una pregunta natural es: ¿podemos mejorar el resultadoen el sentido de encontrar otro grupo con menos elementos, de manera quela conclusion del teorema siga siendo valida? En esta direccion tenemos elsiguiente:

2.1.2 Teorema (Generalizacion del Teorema de Cayley) Sea G ungrupo, H un subgrupo y X = gH | g ∈ G. Entonces existe un homomor-fismo θ : G → SX tal que ker θ es un subgrupo maximal contenido en Hnormal en G.

Demostracion. Sea θ : G → SX definido por θ(g) := fg, con fg(bH) := gbH.Se verifica directamente que θ es un homomorfismo. Sea K = ker θ, si g ∈ Kentonces fg(bH) = gbH = bH para todo b ∈ G, en particular, para b = ese tiene gH = H, de donde se concluye g ∈ H. Mostraremos ahora que Kes maximal. Sea N un subgrupo normal contenido en H. Dado x ∈ N , lanormalidad de N implica que para todo g ∈ G, g−1xg ∈ N ⊆ H por lo tantog−1xgH = H, lo cual implica xgH = gH para todo g ∈ G, y de esto se tienex ∈ ker θ = K, terminando la prueba.

2.1.2 Corolario Sea G un grupo finito el cual contiene un subgrupo H 6= Gtal que |G| no divide a [G : H]! Entonces H contiene un subgrupo normal notrivial. En particular G no es simple.

2.1.1 Ejercicio Sea G un grupo finito, H ≤ G tal que [G : H] = p, con pel menor primo que divide a |G|. Demuestre que H ¢ G. (Sugerencia. Use elmetodo del Teorema 2.1.2, pagina 52).

2.1.2 Ejercicio Sea G un grupo de orden 99 y suponga que tiene un sub-grupo de orden 11, (mas adelante mostraremos que un grupo de orden 99tiene un subgrupo de orden 11, lo cual se obtiene aplicando el Teorema deCauchy, Teorema 2.3.1, pagina 66 ). Demuestre que este subgrupo es normal.

Antes de continuar con el estudio de los grupos de permutaciones, presenta-remos la clasificacion de los grupos de orden p2 y 2p con p primo, obteniendocomo consecuencia la clasificacion de los grupos de orden ≤ 10 excepto losde orden 8 = 23.


2.1.3 Teorema Sea G un grupo, H y K subgrupos de G.

(i) Si G = HK, entonces para todo x ∈ G existe un k ∈ K tal queHx = Hk.

(ii) Si H, K son subgrupos propios y G = HK, entonces H y K no sonconjugados.

(iii) Si H es subgrupo propio, entonces G 6= HHx ∀ x ∈ G.

Demostracion. i) Dado x ∈ G; por hipotesis se tiene x = kh, con k ∈ K yh ∈ H. De esto obtenemos Hx = Hkh = khHh−1k−1 = kHk−1.(ii) Si K = Hx para algun x ∈ G, entonces aplicando la parte (i) se concluyeque K = Hx = Hk y esta ultima ecuacion implica que H = K, por lo tantoG = HH = H, lo cual es imposible.(iii) Es consecuencia de (ii).

2.1.3 Corolario Si G tiene orden p2, con p un numero primo, entoncestodo subgrupo es normal.

Demostracion. Sean, H un subgrupo propio de G y g ∈ G. Es claro que

|Hg| = |H|. Tambien se tiene que |HHg| =|Hg||H||Hg ∩H| =

p2

|Hg ∩H| . Por el

Teorema de Lagrange se tiene

|Hg ∩H| =

1

p .

Si |Hg∩H| = 1 entonces |HgH| = p2 = |G|, y de esto se concluye G = HgH,contradiciendo la parte (iii) del teorema anterior, por lo que se debe tener|Hg ∩H| = p = |H| y de esto Hg ∩H = H, concluyendo Hg ⊆ H, es decir,H es normal en G.Otra prueba directa se obtiene aplicando el Ejercicio 2.1.1, pagina 52.

2.1.4 Teorema Sea G un grupo de orden p2, con p un numero primo. En-tonces G es abeliano.

Demostracion. Si G tiene un elemento de orden p2, hemos terminado, porlo tanto podemos suponer que todos los elementos de G \ e son de ordenp. Sean a, b ∈ G \ e. Si 〈a〉 = 〈b〉 entonces claramente ab = ba. Podemos


suponer que 〈a〉 6= 〈b〉, de lo cual se tiene, 〈a〉 ∩ 〈b〉 = e, pues a y b tienenorden primo. Por el corolario anterior, 〈a〉 y 〈b〉 son subgrupos normales deG, entonces aba−1b−1 ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉 = e, es decir ab = ba.

2.1.4 Corolario Si G tiene orden p2, p un numero primo, y no es cıclico,entonces G contiene p + 1 subgrupos de orden p.

Demostracion. Un argumento como en el teorema anterior demuestra quea ∈ G \ e esta contenido en un unico subgrupo de orden p, cada subgrupode orden p contiene p−1 elementos diferentes de la identidad. Sean H1, . . . , Hk

los subgrupos de G de orden p. Definiendo Si = Hi\e se tiene que Si∩Sj =∅ para i 6= j y ∪Si = G \ e por lo tanto

∣∣∣∣∣⋃i

Si

∣∣∣∣∣ =k∑

i=1

|Si| = k(p− 1) = p2 − 1,

esto ultimo implica k = p + 1.

2.1.1 Observacion El teorema anterior y el Ejemplo 1.7.1 pagina 48, cla-sifican los grupos de orden p2.

En el siguiente teorema se estudian los grupos de orden 2p, p primo impar. Elcaso general, es decir, |G| = pq, con p y q primos diferentes se hara despuesde haber discutido los teoremas de Sylow.

2.1.5 Teorema Sea p un primo, entonces:

(i) Si p = 2, hay dos grupos (no isomorfos) de orden 2p = 4 los cuales sonabelianos.

(ii) Si p es impar, hay dos grupos (no isomorfos) de orden 2p: Uno es cıclicoy el otro es no abeliano.

Demostracion. Primero mostraremos que un grupo de orden 2p, con p unnumero primo impar, contiene un elemento de orden p. Sea g ∈ G \ e,entonces |g| ∈ 2, p, 2p. Si G contiene un elemento de orden 2p, G es cıclicoy por lo tanto contiene elementos de orden p. Si todos los elementos de Gson de orden 2, G es abeliano (ejercicio), y de esto, todos los subgrupos sonnormales.


Sea g ∈ G \ e, entonces |G/〈g〉| = p lo cual implica que G/〈g〉 es cıclico,por lo que debe existir x ∈ G\〈g〉 tal que 〈x〉 = G/〈g〉. Por otro lado se tieneel hecho siguiente. Si f : G → H es un homomorfismo y g ∈ G tiene ordenfinito, entonces |f(g)| divide a |g|. De esto se concluye que p divide a |x|, locual es imposible. De lo anterior se concluye que G contiene necesariamenteelementos de orden p, los cuales generan grupos normales, pues son de ındice2.(i) Si p = 2 entonces |G| = 22 = 4 por lo tanto G es abeliano. El Ejemplo 1.7.1garantiza que los grupos de orden 4 son isomorfos a uno de los siguientes

Z4, Z2 × Z2.

(ii) Supongamos que p es impar. Por lo probado antes y la hipotesis sobre elorden de G se tiene que existen elementos a, b ∈ G tales que |a| = 2 y |b| = p.Tambien se tiene que 〈b〉¢G, por lo tanto existe i ∈ Z tal que aba−1 = bi, dela ultima ecuacion se obtiene a(aba−1)a−1 = abia−1 = bi2 , como a tiene orden2 la anterior ecuacion se reduce a bi2 = b, lo que a la vez implica bi2−1 = e,como b tiene orden p entonces p divide a i− 1 o p divide a i + 1.Caso I. i = 1 + pk, entonces aba−1 = b1+pk = b por lo tanto ab = ba y estoimplica que G contiene un elemento de orden 2p, es decir G es cıclico.Caso II. Si i = pk − 1, entonces aba−1 = bpk−1 = b−1, es decir G no esabeliano. Para terminar la prueba se debe mostrar que hay un grupo noabeliano de orden 2p. En general para cada n ∈ N existe un grupo no abelianode orden 2n llamado el grupo diedrico construido como sigue: Sea Pn unpolıgono regular de n lados. Una simetrıa de Pn es una biyeccion Pn → Pn

que preserva distancias y manda vertices adyacentes a vertices adyacentes.Sea Dn el conjunto de simetrıas de Pn, se verifica que Dn es un grupo noabeliano de orden 2n.Con los resultados probados hasta aquı, estamos preparados para clasificarlos grupos de orden ≤ 10 excepto los de orden 8, lo cual se hara mas adelante.Sea G un grupo no abeliano de orden 6, entonces los elementos de orden 2no generan subgrupos normales, pues de otra forma G tendrıa un subgruponormal de orden 2 y un subgrupo normal de orden 3 cuya interseccion serıala identidad, por lo tanto G serıa isomorfo a Z2×Z3 el cual es abeliano. Seab un elemento de orden 2 en G, H = 〈b〉, X = gH | g ∈ G. Como |H| = 2entonces |X| = 3. Aplicando el Teorema 2.1.2 pagina 52, y el hecho que Hno es normal se concluye que G es isomorfo a un subgrupo de SX = S3 deorden 6 por lo tanto G ∼= S3. Los resultados obtenidos los podemos resumiren la siguiente tabla


Cuadro 2.1: Grupos de orden ≤ 10, no incluyendo los deorden 8

Orden grupos abelianos grupos no abelianos2 Z2

3 Z3

4 Z4, Z2 × Z2

5 Z5

6 Z6 S3

7 Z7

89 Z9, Z3 × Z3

10 Z10 D5

Despues de esta disgresion regresamos a la discusion del grupo de permuta-ciones. Sea X un conjunto no vacıo, σ ∈ SX y x ∈ X, se dice que σ fija a xsi σ(x) = x. En lo que sigue, si |X| = n supondremos que X = 1, 2, . . . , ny SX = Sn. Dado σ ∈ Sn, usaremos la siguiente notacion para designar a σ

σ =

(1 2 · · · ni1 i2 · · · in

),

lo cual significa σ(k) = ik. Por ejemplo σ =

(1 2 32 1 3

), significa σ(1) =

2, σ(2) = 1, σ(3) = 3 .

2.1.1 Definicion Sean i1, . . . , ir enteros distintos en el intervalo [[1, n]], σ ∈Sn tales que σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . , σ(ir) = i1 y σ(j) = j para todo j 6∈i1, i2, . . . , ir, en este caso σ se llama un r-ciclo o un ciclo de longitudr y se denota por σ = (i1 i2 . . . ir). Si r = 1, σ es la identidad; si r = 2, σse llama una transposicion.

2.1.1 Ejemplo Sea σ ∈ S4, σ =

(1 2 3 42 3 4 1

), σ es un 4-ciclo, σ =

(1 2 3 4).

2.1.2 Ejemplo Sea σ ∈ S5, σ =

(1 2 3 4 53 1 2 4 5

)= (1 3 2)(4)(5) =

(1 3 2).


De los ejemplos anteriores se concluye que es importante declarar en donde seencuentra definida la funcion σ, pues en el ejemplo 2 σ puede ser consideradacomo un elemento de S3.

2.1.2 Definicion Sean σ, β ∈ Sn, σ y β se dicen disjuntas o ajenas si

(i) σ(x) 6= x =⇒ β(x) = x,

(ii) β(x) 6= x =⇒ σ(x) = x.

En general el producto de permutaciones no es conmutativo, sin embargoen el caso que σ y β sean disjuntas entonces sı conmutan, ver el Ejercicio 2pagina 61, al final de esta seccion. Como ya se menciono antes, uno de losproblemas fundamentales cuando se estudian estructuras algebraicas es poder“factorizar” los elementos de la estructura en terminos de elementos massimples. El siguiente resultado para permutaciones, es el analogo al TeoremaFundamental de la Aritmetica para los enteros.

2.1.6 Teorema Toda permutacion σ ∈ Sn\e se puede expresar de maneraunica, salvo orden, como producto de ciclos ajenos de longitud ≥ 2.

Demostracion. La prueba consiste en dos etapas:

(A) Factorizar a σ como producto de ciclos ajenos.

(B) Mostrar que la factorizacion es unica salvo orden.

(A) Sea σ ∈ Sn, X = x : σ(x) 6= x y k := |X|. Aplicaremos induccionsobre k. Si k = 0 entonces σ es la identidad y no hay nada que probar.Supongamos que k > 0, es decir, existe i1 ∈ [[1, n]] tal que σ(i1) = i2 6= i1.Sea i3 = σ(i2), . . .,. Existe un mınimo r tal que σ(ir) = i1 (la existencia seobtiene, por ejemplo, usando que σ tiene orden finito). Sea

σ′(x) =

σ(x) si x ∈ i1, . . . , ir,x en otro caso.

Si r = k, entonces σ = σ′ y como σ′ es un ciclo ya hemos terminado. Si r < kdefınase

σ′′(x) =

σ(x) si x ∈ X \ i1, . . . , ir,x en otro caso.

.


Note que σ′′ mueve k − r elementos, por hipotesis inductiva σ′′ es productode ciclos ajenos y claramente σ′ y σ′′ son disjuntas y σ = σ′σ′′, con estoterminamos la parte (A).(B) Supongamos que σ = β1 · · · βt = γ1 · · · γs con βi y γj ciclos de longitud≥ 2. Sea i1 ∈ [[1, n]] tal que β1(i1) 6= i1, entonces existe γj tal que γj(i1) 6= i1;como los γj conmutan podemos suponer que γ1(i1) 6= i1 por lo tanto γ1(i1) =β1(i1) = σ(i1), esta ultima ecuacion implica que γm

1 (i1) = βm1 (i1) para todo

m, tambien se tiene que γ1 y β1 son ciclos de la misma longitud pues enla factorizacion de σ son los unicos que mueven a i1. Por otro lado se tieneque γm

1 (i1) = i1+m, para 0 ≤ m < r y βm1 (i1) = i1+m = γ1(im) = β1(im),

por lo tanto β1 = γ1 en i1, . . . , ir y como ambas fijan el complemento dei1, . . . , ir, entonces γ1 = β1. Ahora una hipotesis inductiva sobre el mınimode s, t muestra la unicidad y la igualdad t = s.

2.1.5 Corolario El orden de σ en Sn es igual al mınimo comun multiplode los ordenes de sus ciclos.

2.1.6 Corolario Toda permutacion σ ∈ Sn puede representarse, no demanera unica, como producto de transposiciones.

Demostracion. Es suficiente probar que todo ciclo es producto de transposi-ciones, mas aun, es suficiente probar que un ciclo de la forma (1 2 . . . r) esproducto de transposiciones, lo cual se obtiene de la siguiente ecuacion

(1 2 . . . r) = (1 r)(1 r − 1) · · · (1 3)(1 2).

2.1.3 Ejercicio Sea p un numero primo. Demuestre que los unicos elemen-tos de orden p en Sn son los p-ciclos o productos de p ciclos.

El siguiente resultado muestra que si bien en el teorema anterior no hayunicidad en la representacion de una permutacion, al menos se tiene un in-variante modulo 2 en cuanto al numero de transposiciones que aparecen enla factorizacion. Mas precisamente:

2.1.7 Teorema Sea σ ∈ Sn, entonces el numero de transposiciones en lafactorizacion de σ siempre es par o siempre es impar.

Demostracion. Sean x1, . . . , xn numeros reales diferentes, definamos

P (x1, . . . , xn) =∏i<j

(xi − xj),


entonces dado σ ∈ Sn, σ actua en P (x1, . . . , xn) como sigue

P σ(x1, . . . , xn) :=∏i<j

(xσ(i) − xσ(j)).

Si σ es una transposicion, se verifica facilmente que σ(P ) = −P , por lo tantosi σ = τ1 · · · τk, con τi transposicion para todo i, entonces σ(P ) = (−1)kP ,de esto se obtiene el resultado.

2.1.3 Definicion Una permutacion σ ∈ Sn se dice par (impar) si σ sepuede representar como producto de un numero par (impar) de transposicio-nes. Se define el signo de σ como:

sgn σ =

1 si σ es par

−1 si σ es impar.

2.1.8 Teorema Sea n ≥ 2, An := σ ∈ Sn | σ es par. Entonces An es elunico subgrupo de Sn de ındice 2.

Demostracion. Sea ϕ : Sn → 1,−1 definido por ϕ(σ) := sgn σ, se verificadirectamente que ϕ es un homomorfismo y ker ϕ = An, por lo tanto Sn/An

∼=1,−1 y [Sn : An] = 2. Sea H ≤ Sn tal que [Sn : H] = 2, como [Sn :An] = 2 basta mostrar que An ⊆ H y como An esta generado por los 3-ciclos(Ejercicio 5, pagina 62), entonces es suficiente mostrar que H contiene a los3-ciclos. Sea σ ∈ Sn, entonces σ2 ∈ H, pues H tiene ındice 2 en Sn, enparticular si σ es un 3-ciclo σ4 = σ ∈ H.

2.1.4 Definicion Al subgrupo An definido en el teorema anterior se le lla-ma grupo alternante.

2.1.5 Definicion Dado un grupo G se define la relacion de conjugacionen G como sigue: si x, y ∈ G se dice que x es conjugado de y, si existe ung ∈ G tal que x = gyg−1. En este caso se dice que x e y son conjugados.

Se verifica facilmente que ser conjugados define una relacion de equivalenciacuyas clases se llaman clases de conjugacion de G. Con esta terminologıa setiene que si [x] es una clase, entonces [x] = gxg−1 | g ∈ G y [x] = x ⇐⇒gx = xg ∀ g ∈ G, es decir, la clase de x tiene solamente un elemento si y solosi x pertenece al centro de G.


2.1.2 Observacion Z(G) = G ⇐⇒ G es abeliano.

2.1.4 Ejercicio Sea G un grupo que contiene un elemento de orden n > 1y exactamente dos clases de conjugacion. Demuestre que |G| = 2.

2.1.5 Ejercicio Sea G = GL(n,R), entonces dos elementos de G son con-jugados ⇐⇒ representan a la misma transformacion lineal de Rn en Rn.¿En que consiste Z(G)?

2.1.6 Definicion Se dice que los elementos α, β ∈ Sn tienen la mismaestructura en ciclos, si para cada r ≥ 1 el numero de r-ciclos en α esigual al numero de r-ciclos en β.

El siguiente resultado caracteriza a los elementos de Sn que son conjugados.

2.1.9 Teorema Sean α, β ∈ Sn, entonces α y β son conjugados ⇐⇒tienen la misma estructura en ciclos.

Demostracion. Sea σ = (a1 · · · ak) un k − ciclo en Sn y τ ∈ Sn, pongamosτ(ai) = bi, entonces τστ−1(bi) = τσ(ai) = τ(ai+1) = bi+1, para i ≤ r − 1.Definiendo bk+1 = b1 se tiene τστ−1 = (τ(a1) · · · τ(ak)). Supongamos queσ = σ1 · · ·σm es la descomposicion de σ como producto de ciclos ajenos(incluyendo ciclos de longitud uno), entonces para cualquier τ ∈ Sn, τστ−1 =τσ1τ

−1τσ2τ−1 · · · τστ−1, de esto se tiene, por lo anterior, que σ y cualesquiera

de sus conjugados tienen la misma estructura en ciclos.Supongamos que σ y ρ tienen la misma estructura en ciclos, digamos σ =(a1a2 · · · )(b1b2 · · · ) · · · , ρ = (c1c2 · · · )(d1d2 · · · ) · · · , en donde los ciclos apare-cen en orden creciente en cada una de las permutaciones. Definiendo τ(ai) =ci, τ(bi) = di, y ası sucesivamente, uno verifica que τστ−1 = ρ.

2.1.3 Observacion Sea 1 < k ≤ n, entonces el numero de k ciclos en Sn es

1

k[n(n− 1) · · · (n− k + 1)] . (2.1)

Demostracion Un k-ciclo esta determinado por k elementos i1, . . . , ik comosigue: fije i1 entonces hay k − 1 formas de enviar i1 a los restantes valores,una vez fijado el elemento i2 tal que i1 → i2 se tienen k−2 posibles formas deelegir i3 tal que i1 → i2 → i3. De esta forma se tiene que dados los elementosi1, . . . , ik se pueden construir exactamente (k−1)! diferentes k-ciclos. Tambien


se tiene que existen

(n

k

)subconjuntos con k elementos. Multiplicando (k −

1)!

(n

k

)se tiene el resultado.

2.1.3 Ejemplo Usando la ecuacion 2.1, se concluye que en S4 hay 8 ciclosde longitud 3.

El siguiente resultado muestra que el recıproco del Teorema de Lagrange noes verdadero, es decir, existe un grupo finito G y un entero n el cual dividea |G| pero G no contiene subgrupos de orden n.

2.1.10 Teorema A4 no contiene subgrupos de orden 6.

Demostracion. Supongamos que existe H ≤ A4 tal que [A4 : H] = 2, entoncesσ2 ∈ H para todo σ ∈ A4, en particular si σ es un 3-ciclo σ2 ∈ H, por lo tantoσ = σ4 ∈ H. Por otro lado tenemos que A4 es generado por 3-ciclos y por elEjemplo 2.1.3, H contiene al menos 8 elementos, lo cual es una contradiccion.

2.1.4 Observacion El corolario al Teorema 4.3.3 muestra que para n ≥ 5,An no contiene subgrupos de varios ordenes, generalizando el Teorema 2.1.10.

2.1.1. Ejercicios

1. El subconjunto σ ∈ Sn|σ(n) = n es un subgrupo de Sn isomorfo aSn−1.

2. Sean α y β dos permutaciones disjuntas, entonces αβ = βα.

3. Sea α = β1β2 . . . βm, con los βi ri-ciclos disjuntos. Demuestre que|α| es el mınimo comun multiplo de r1, r2, . . . , rm. Concluya que sip es primo entonces toda potencia de un p-ciclo es un p-ciclo, o laidentidad.

4. Si z1, . . . , zn son numeros complejos distintos, se define

d = Πi<j(zi − zj)

(cuando z1, . . . , zn son las raıces de un polinomio f(x) de grado n,d2 se llama el discriminante de f(x).) Si σ es una permutacion de

2.2. Accion de un grupo en un conjunto 62

z1, . . . , zn, demuestre que Πi<j(σzi−σzj) = ±d; mas aun el productoes d ⇐⇒ σ es par.

5. Sea n > 2, entonces An es generado por 3-ciclos.

6. Demuestre que Sn puede ser generado por (12) y (12 . . . n). Si G esun subgrupo de Sn que cumple: para todo par de enteros (n,m) existeun σ ∈ G tal que σ(n) = m y contiene una transposicion y un p-ciclo para algun primo p > n/2, entonces G = Sn. (P. X. Gallager,The Large Sieve and Probabilistic Galois Theory, pag. 98. Proceedingof the Symposia in Pure Mathematics of the American Math. Society,held at the St. Louis University, St. Louis Missouri, March 27-30, 1972.Published in 1973, vol. XXIV)

7. Demuestre que todo grupo finito puede ser incluido en un grupo el cuales generado por a lo mas 2 elementos.

8. Sea G un subgrupo de Sn tal que contiene una permutacion impar.Demuestre que G∩An tiene ındice dos en G. Sugerencia: Sn = An∪τAn

para cualquier τ , permutacion impar.

9. Sean X, Y dos conjuntos finitos ajenos. Denotemos por SX y SY a losgrupos de permutaciones de los elementos de X e Y respectivamente.Demuestre que SX ×SY es isomorfo a un subgrupo de SX∪Y . Concluyaque n!m! divide a (n+m)! y de esto ultimo que el producto de n enterosconsecutivos es divisible por n!, por lo que los coeficientes binomialesson enteros.

2.2. Accion de un grupo en un conjunto

El Teorema de Cayley demuestra que los elementos de G pueden ser con-siderados como permutaciones de los elementos de un conjunto, es decir,G → SX para algun X. Esto es un caso especial de una situacion mas ge-neral de gran utilidad para el estudio de un grupo, lo cual se precisa con lasiguiente definicion.

2.2.1 Definicion Sea G un grupo, X un conjunto no vacıo. Se dice que Gactua en X, si existe un homomorfismo φ : G → SX .


Cuando G actua en X, a la pareja (X, φ) se le llama un G-conjunto. Si Gactua en X entonces φ(g) es una permutacion de X y esta permutacion seabreviara g, por abuso de notacion. Entonces gx := φ(g)(x) sera la notacionque adoptaremos. Los siguientes son algunos ejemplos de G-conjuntos.

1. Si G ⊆ SX , entonces X es un G-conjunto, pues G se identifica con unsubgrupo de SX mediante la inclusion.

2. Cualquier grupo G es un G-conjunto (Teorema de Cayley).

3. Sea G un grupo, H ≤ G y X = gH | g ∈ G entonces G actua en Xde la siguiente manera. ϕ : G → SX esta definida por ϕ(g) := fg confg(aH) := gaH. Note que esta es la accion que se uso en la prueba delTeorema de Cayley generalizado (Teorema 2.1.2).

4. Sea G un grupo y X = H ≤ G, entonces G actua en X por con-jugacion, es decir, ϕ : G → SX esta definida por ϕ(g) := fg confg(H) := Hg = gHg−1.

5. Todo grupo G actua en sı mismo por conjugacion, es decir la acciones la misma que en el ejemplo anterior salvo que el conjunto X es elpropio G.

6. Sea G = A ∈ GL(2,Z) : |A| = 1, H = z ∈ C : Im(z) > 0. Dado

A =

(a bc d

); se define Az :=

az + b

cz + d. Se verifica sin dificultad que G

actua sobre H. Al grupo G se le llama grupo modular sobre Z.

2.2.2 Definicion Sea G un grupo y X un G-conjunto, dado x ∈ X se definela orbita de x, denotada orb (x) = Ox := gx | g ∈ G.Este ejemplo aclara en alguna medida el por que del termino orbita de x. SeaX = R2 y G = Tθ : R2 → R2 | Tθ(x, y) = (x cos θ−y sen θ, x sen θ+y cos θ).Es un hecho bien conocido de algebra lineal que G forma un grupo con laoperacion composicion de transformaciones. Dado ~p ∈ R2, Orb (~p) = T (~p) |T ∈ G es un cırculo (orbita) con centro en ~0 y radio ‖~p‖.

2.2.1 Observacion Si X es un G-conjunto, las orbitas de elementos de Xconstituyen una particion de X, lo cual equivale a decir que la siguienterelacion en X es una relacion de equivalencia.


Sean x,y ∈ X, entonces x se relaciona con y si existe un g ∈ G tal que x = gy.Si X es un G-conjunto, dado x ∈ X considere St(x) := g ∈ G | gx = x.Se verifica sin dificultad que St(x) ≤ G. A este subgrupo se le llama elestabilizador de x. El siguiente resultado relaciona la cardinalidad de la orbitade un elemento con el ındice de su estabilizador.

2.2.1 Teorema Sea X un G-conjunto, x ∈ X. Entonces existe una biyec-cion entre los elementos de Ox y las clases laterales izquierdas de St(x), esdecir [G : St(x)] = |Ox|.Demostracion. Sea ϕ : Ox → gSt(x) | g ∈ G definida como sigue ϕ(gx) :=gSt(x). Existe la posibilidad que para dos elementos diferentes g y g1 en G setenga gx = g1x, lo que implica x = g−1g1x, es decir g−1g1 ∈ St(x), y esto a lavez implica gSt(x) = g1St(x), probando que ϕ esta bien definida. La funcionϕ es inyectiva pues ϕ(gx) = ϕ(g1x) ⇐⇒ gSt(x) = g1St(x), ⇐⇒ g−1g1 ∈St(x) ⇐⇒ g−1g1x = x ⇐⇒ gx = g1x. La suprayectividad de ϕ se obtienedirectamente pues dado gSt(x), entonces gx ∈ Ox y ϕ(gx) = gSt(x).En lo que sigue consideraremos dos casos especiales de G-conjuntos que sonde gran importancia para el desarrollo teorico. Sea G un grupo, X = G yconsidere la accion de G en X por conjugacion, en este caso el estabilizadorde un elemento x se llama el centralizador, denotado por CG(x) = St(x).Se tiene g ∈ CG(x) ⇐⇒ gxg−1 = x. Como las orbitas de elementos en Gconstituyen una particion, entonces G = ∪Ox, union disjunta. En este casolas clases de equivalencia se llaman clases de conjugacion y Ox = x ⇐⇒x ∈ Z(G), por lo tanto

G = Z(G)⋃

⋃

x 6∈Z(G)

Ox

.

Si G es finito, de la ecuacion anterior se obtiene

|G| = |Z(G)|+∑

x 6∈Z(G)

[G : CG(x)]. (2.2)

A la Ecuacion 2.2 se le conoce como la ecuacion de clases de G, la cualprobara ser de gran importancia.Sea G un grupo, considerese la accion del Ejemplo 4, pagina 63. En este casoa St (H) = g ∈ G | H = Hg se le llama el normalizador de H y se denotapor NG(H). La orbita de H son todos los conjugados de este.

2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow 65

2.2.2 Observacion Un subgrupo H es normal ⇐⇒ NG(H) = G ⇐⇒ laorbita de H tiene un unico elemento.

2.2.1. Ejercicios

1. Proporcione los detalles de las afirmaciones en los ejemplos presentadosen esta seccion.

2. Sea G un p-grupo finito (ver la Definicion 2.3.1), X un G-conjuntofinito tal que mcd(|X|, p) = 1. Demuestre que hay un x ∈ X tal quegx = x para todo g ∈ G.

3. Sea V un Fp-espacio vectorial de dimension d. Si G ≤ GL(d,Fp) tienecardinalidad pn, demostrar que existe v ∈ V \ 0 tal que gv = v paratodo g ∈ G.

2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow

En el estudio de grupos finitos, un problema de mucha importancia es de-terminar si el grupo bajo estudio contiene subgrupos normales propios, estolleva al problema de clasificar los grupos simples, lo que constituyo uno delos avances mas significativos de las matematicas en el siglo XX. Sin temor aequivocacion, pudiera decirse que una primera aproximacion al estudio de laexistencia de subgrupos normales se hace con los Teoremas de Sylow. Esto seilustra en lo que viene de la discusion. En esta seccion tambien se discutiranalgunas propiedades de una clase muy importante de grupos, los llamadosp-grupos. Iniciamos con la siguiente:

2.3.1 Definicion Sea G un grupo, p un numero primo. Se dice que G esun p-grupo, si todo elemento de G tiene orden potencia de p.

Notese que existe la posibilidad de que G sea infinito. En uno de los ejerci-cios que se han planteado con anterioridad, se pide probar que si un grupofinito tiene orden par entonces G debe tener elementos de orden 2. El primerteorema de esta seccion es la generalizacion de este hecho al caso en que ungrupo finito tiene cardinalidad divisible por un primo, es decir:

2.3.1 Teorema (Teorema de Cauchy) Sean G un grupo finito y p unprimo tal que p | |G|. Entonces G contiene al menos un elemento de orden


p. Mas precisamente, el numero de elementos de orden p es congruente con−1 modulo p.

Demostracion. ([8], Theorem 2.7), se define el siguiente subconjunto del pro-ducto cartesiano de G p veces: X = (x1, . . . , xp) : xi ∈ G, x1 · · ·xp =e\(e, . . . , e), entonces la ultima componente xp de los elementos de X que-da completamente determinada por los primeros p−1 elementos, por lo tanto|X| = |G|p−1 − 1. En particular, |X| ≡ −1 (mod p). Sea H = 〈c〉 el grupocıclico de orden p. Definamos ϕ : H → SX , (SX denota al grupo simetrico enX), como sigue: ϕ(ci) = fci , con fci(x1, . . . , xp) := (xi+1, . . . , xp, x1, . . . , xi).Por otro lado se tiene que x1 · · · xp = e ⇒ x−1

1 x1 · · ·xpx1 = e, lo que equivalea x2x3 · · · xpx1 = e; por induccion se prueba que xi+1 · · · xpx1 · · · xi = e y deaquı se obtiene que ϕ define un homomorfismo, es decir, H actua en X, por lotanto las orbitas de X bajo la accion definida por ϕ tienen uno o p elementos.Sea ~x = (x1, . . . , xp) ∈ X, entonces |orb (~x)| = 1 ⇐⇒ ~x = (x, . . . , x) ⇐⇒xp = e. Sea X0 = ~x ∈ X : |orb (~x)| = 1, entonces la cardinalidad de X0

es igual al numero de elementos en G de orden p y |X| = |G|p−1 − 1 ≡ |X0|(mod p), la conclusion se tiene.

2.3.1 Corolario (Pequeno Teorema de Fermat) Sea n un entero po-sitivo y p un numero primo que no divide a n. Entonces np−1 ≡ 1 (mod p).

Demostracion. Sea G un grupo de orden n y sean X y X0 como en la de-mostracion del teorema anterior. Dado que p no divide a n, entonces X0 esvacıo, por lo que |X| = |G|p−1 − 1 = np−1 − 1 ≡ 0 (mod p).

2.3.2 Corolario Sea G un grupo finito, G es un p-grupo ⇐⇒ |G| = pn

para algun n.

Demostracion. La prueba se obtiene aplicando los teoremas de Cauchy yLagrange .

2.3.3 Corolario Sea G un p-grupo finito con mas de un elemento, enton-ces |Z(G)| > 1.

Demostracion. La ecuacion de clases para G afirma que:

|G| = |Z(G)|+∑

x 6∈Z(G)

[G : CG(x)].


Por el Corolario 2.3.2 |G| = pn, para algun n. Si G = Z(G), hemos terminado,en caso contrario cada termino de la suma anterior es un multiplo de p, pueslos subgrupos CG(x) no son iguales a G para x 6∈ Z(G). De esto se tiene que|Z(G)| > 1, equivalentemente, Z(G) 6= e.

2.3.4 Corolario Los grupos de orden p2 con p primo, son abelianos.

Demostracion. Por el Corolario 2.3.3, se tiene que Z(G) 6= e, lo cual a lavez implica que G/Z(G) es cıclico. Ahora la conclusion se obtiene aplicandoel Ejercicio 5, pagina 41.

Dado que la nocion de subgrupo maximal se usara en la siguiente discusion,recordamos la definicion.

2.3.2 Definicion Sea G un grupo, M ≤ G. Se dice que M es maximal siM ≤ N ≤ G implica M = N o N = G.

2.3.3 Definicion Sea G un grupo, p un numero primo. Un subgrupo P esun p-subgrupo de Sylow si P es un p-subgrupo maximal.

2.3.1 Observacion Sea G un grupo, entonces todo p-subgrupo esta conte-nido en un p-subgrupo de Sylow.

Demostracion. Este es un ejercicio para aplicar el Lema de Zorn al conjuntoF = H ≤ G | H es un p-subgrupo.Antes de presentar la discusion de los teoremas de Sylow, quisieramos ilustrarlas ideas centrales que se usaran, abordando un ejemplo. Tambien, con esteejemplo, se ilustra la utilidad que tiene el uso de la accion de un grupo enun conjunto.

2.3.1 Ejemplo ¿Cuantos grupos, no isomorfos, de orden 15 hay?

Iniciamos la discusion de la pregunta haciendo una consideracion sobre lossubgrupos de G. Por el Teorema de Cauchy, G contiene subgrupos de orden3 y 5 respectivamente y el grupo de orden 5 es normal, pues su ındice es 3,el menor primo que divide a |G|. ¿Es normal el subgrupo de orden 3?Sea P un subgrupo de orden 3, P es normal en G ⇐⇒ P g = gPg−1 = P paratodo g ∈ G, en otras palabras, P es normal si el conjunto de sus conjugadostiene un solo elemento. Esto lleva a considerar la accion, por conjugacion, deG en el conjunto de sus subgrupos.


Sea X = P g | g ∈ G, entonces X es la orbita de P bajo conjugacion, deesto se tiene que G actua por conjugacion en X. Restringiendo esta acciona P , se tiene que para cualquier Q ∈ X, [P : StP (Q)] es uno o tres, masprecisamente, [P : StP (Q)] = 1 ⇐⇒ P = StP (Q) = NG(Q) ∩ P , y estoultimo ⇐⇒ P ≤ NG(Q). Por otro lado, Q es normal en NG(Q) por lo quePQ es un subgrupo de NG(Q), y por ende, tambien de G. Este subgrupo tieneorden 3 o 9 (¿por que?). Por el teorema de Lagrange, G no tiene subgruposde orden 9, por lo tanto |PQ| = 3 y de esto se tiene P = Q, es decir, el unicoelemento de X cuya orbita, respecto a la accion de P , tiene cardinalidaduno, es el mismo P . Tambien tenemos que la cardinalidad de la orbita de unelemento es igual al ındice de su estabilizador.

De todo esto se tiene que |X| =∑

|OrbP (Q)| = 1 + 3k, para algun k. Usan-

do la ecuacion que relaciona la cardinalidad de una orbita con el ındice delestabilizador tenemos: |X| = [G : NG(P )], cuando a X se le considera co-mo una orbita bajo la accion de G en el conjunto de sus subgrupos. ComoP ⊆ NG(P ), entonces [G : NG(P )] = |X| es uno o cinco, esto y lo que se haprobado antes da como resultado |X| = 1, probando que P es normal.Hasta este punto se ha probado que G contiene subgrupos normales de orden3 y 5, ahora es inmediato probar que G es cıclico. La discusion anterior laresumimos en la siguiente:

2.3.2 Observacion Hay solamente un grupo de orden 15, salvo isomorfis-mo.

2.3.2 Teorema ( Sylow) 1 Sea G un grupo finito, P un p-subgrupo deSylow de G y lp el numero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces

(i) lp | |G| y lp ≡ 1 (mod p).

(ii) Los p-subgrupos de Sylow son conjugados .

Demostracion. (i) Consideremos la accion de G en sus subgrupos por con-jugacion. Si P es un p-subgrupo de Sylow, sea X = P = P1, P2, . . . , Pr elconjunto de subgrupos conjugados de P . Es directo verificar que si un subgru-po es maximal, sus conjugados tambien lo son, por lo tanto los elementos de

1En 1872, Sylow establecio los teoremas que hoy llevan su nombre para el caso degrupos de permutaciones. Frobenius los generalizo en 1887, [24].


X son p-subgrupos de Sylow. Como X es una orbita bajo la accion descrita,entonces G actua en este y, por restriccion, P actua en X.Dado Q ∈ X, [P : StP (Q)] = ps, para algun s. Se tiene que s = 0 si y solo siP = StP (Q) = NG(Q)∩P , y esto ultimo ocurre ⇐⇒ P ⊆ NG(Q). Como Qes subgrupo normal de su normalizador, entonces PQ es un p-subgrupo de Gque contiene a P y a Q. Por maximalidad de estos se debe tener P = Q. Conesto se ha probado que el unico elemento de X que tiene orbita con un soloelemento, cuando se hace actuar P en el, es el mismo P . De este argumentose tiene que |X| = r =

∑ |OrbP (Q)| = 1 + pl, para algun l, es decir, |X| ≡ 1(mod p).Por otro lado, al considerar a X como la orbita de P bajo la accion de G setiene |X| = [G : NG(P )] y este es un divisor de |G|. Para concluir la pruebade i) debemos probar la parte ii).(ii) Supongamos que Q es un p-subgrupo de Sylow y que Q 6∈ X, en particularQ 6= Pi. El mismo argumento anterior muestra que Q actua en X y susorbitas bajo esta accion tienen cardinalidad multiplos de p, lo que contradicelo ya probado. De lo anterior se obtiene que todo p-subgrupo de Sylow esconjugado a P y por lo tanto lp = r.

2.3.3 Teorema ( Sylow) Sea G un grupo finito, p un numero primo talque |G| = pnm con (p,m) = 1. Entonces todo p-subgrupo de Sylow tienecardinalidad pn.

Demostracion. Basta mostrar que mcd([G : P ], p) = 1, con P un p-subgrupode Sylow. Notemos que [G : P ] = [G : N(P )][N(P ) : P ], en donde N(P )es el normalizador de P . Para probar que p es primo relativo con [G : P ]es suficiente mostrar que mcd(p, [G : N(P )]) = 1 y mcd(p, [N(P ) : P ]) =1. La primera de estas condiciones se debe a que [G : N(P )] = lp ≡ 1(mod p)), lp como en el teorema anterior. Para probar la segunda, basta

mostrar que el grupoN(P )

Pno tiene elementos de orden p y aplicar el teorema

de Cauchy, Teorema 2.3.1. Si x ∈ N(P )

Pes un elemento tal que xe es la

identidad, entonces el grupo〈x, P 〉

Pes un p grupo, de hecho este grupo es

el generado por x. Es directo verificar que si un cociente es p-grupo y eldenominador tambien lo es, entonces el numerador es p-grupo. De esto setiene, por maximalidad de P , que x ∈ P y con esto se termina la prueba.


2.3.5 Corolario Sea G un grupo finito, p un numero primo tal que |G| =pnm. Entonces G contiene subgrupos Gi tales que |Gi| = pi para todo i =1, . . . , n. Mas aun, los Gi se pueden elegir de forma que Gi ¢ Gi+1.

Demostracion. Por el teorema anterior G contiene subgrupos de orden pn.El resto se obtiene aplicando un argumento inductivo sobre el orden de unp-grupo, ver Ejercicio 8, pagina 70.

2.3.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo finito, H ≤ G y P un p-subgrupo de Sylow. Su-pongamos que N(P ) ⊆ H. Demuestre que N(H) = H, en particularN(N(P )) = N(P ).

2. Sea G un grupo generado por g1, . . . , gn, G′ el subgrupo derivado deG, entonces G′ ≤ 〈g1, . . . , gn−1〉 ⇐⇒ 〈g1, . . . , gn−1〉¢ G.

3. Sea G un grupo, H/G. Suponga que H y G/H son p-grupos. Demuestreque G es p-grupo.

4. Sea G un grupo de orden pq, p > q, p y q primos. Demuestre:

(a) G tiene un subgrupo de orden p y un subgrupo de orden q.

(b) Si q no divide a p − 1 entonces G es cıclico. Nota. La discusioncompleta de los grupos de orden pq se hara mas adelante.

5. Demostrar que los grupos de orden 15 son cıclicos.

6. Demostrar que un grupo de orden 28 tiene un subgrupo normal deorden 7.

7. Sea G un grupo de orden 28, si G tiene un subgrupo normal de orden4 entonces G es abeliano.

8. Sea G un grupo de orden pn con p primo. Si 0 ≤ k ≤ n, demuestre queG contiene un subgrupo de orden pk.

9. Sea G un p-grupo finito y e 6= H/G. Demuestre que H∩Z(G) 6= e.


10. Sea G un p-grupo finito, entonces todo subgrupo normal de orden pesta contenido en Z(G).

11. Demuestre que todo conjugado de un p-subgrupo de Sylow es un p-subgrupo de Sylow. Concluya que si para un primo p, G tiene solamenteun p-subgrupo de Sylow P , entonces P / G.

12. Sea G un grupo de orden pq, p y q primos, p > q y P un subgrupo deorden p. Demuestre que P / G.

13. Sea G un grupo de orden pn, p primo y H 6= G subgrupo. Demuestreque existe x ∈ G \H tal que Hx = H.

14. Sea G un grupo tal que |G| = pn, H ≤ G con |H| = pn−1, entoncesH / G.

15. Sea G un grupo de orden p2q, con p y q primos. Demuestre que G noes simple.

16. Sea G un grupo finito, P un p-subgrupo de Sylow contenido en Z(G).Demuestre que existe un subgrupo normal N tal que P ∩ N = e yPN = G.

17. Sea G un grupo finito, P un p-subgrupo de Sylow. Sea H un subgruponormal de G, si P / H entonces P / G.

18. Si G es un grupo de orden 36 o 30 entonces G no es simple.

19. Demuestre que los grupos no abelianos cuyo orden es menor que 60 noson simples.

20. Sea p un numero primo, G un grupo no abeliano de orden p3. Demuestreque Z(G) = G′.

21. Un grupo G se dice quasi-Hamiltoniano2, si para todo par de sub-grupos H,K de G se tiene HK = KH. Si G es quasi-Hamiltoniano yS = g1, . . . , gn ⊆ G, entonces 〈S〉 = gm1

1 · · · gmnn | mi ∈ Z.

2Un grupo se dice Hamiltoniano, si todos sus subgrupos son normales. Por ejemplolos grupos abelianos tienen esta propiedad. La clasificacion de los grupos Hamiltonianosse hace en [9], Teorema 12.5.4, pagina 202.

2.4. Grupos de orden pq 72

22. Sea G un p-grupo el cual es quasi-Hamiltoniano, Ω1 = g ∈ G | gp = e.Demuestre que Ω1 es abeliano y satisface que f(Ω1) ⊆ Ω1, para todoisomorfismo f de G en G.

23. Sea G un p-grupo finito, H un subgrupo de G de ındice p2. Demuestreque H es normal en G o H tiene p conjugados.

24. Sea G un p-grupo finito. Entonces G es cıclico ⇐⇒ G/G′ es cıclico.

25. Sea G un p-grupo finito. Entonces G es cıclico ⇐⇒ G tiene un unicosubgrupo de ındice p.

26. Sea G un p-grupo no abeliano de orden p3. Demuestre que G contieneexactamente p + 1 subgrupos maximales.

27. Sea G un p-grupo de orden pn, con n ≥ 3. Suponga que el subgru-po derivado tiene orden pn−2. Concluya lo mismo que en el ejercicioanterior.

28. Sea p ≥ 3 un numero primo, Sp el grupo de permutaciones en p sımbo-los. ¿Cuantos p-subgrupos de Sylow contiene Sp?

2.4. Grupos de orden pq

En esta seccion discutimos los grupos de orden pq, con p y q numeros primos.Podemos suponer que p 6= q, pues si p = q, sabemos que hay exactamente dosgrupos de orden p2: uno es cıclico de orden p2 y el otro es suma directa de dosgrupos cıclicos de orden p. Por lo dicho, supongamos que p > q. Aplicando elTeorema de Cauchy, se obtiene que existen dos elementos A y B en G talesque |B| = p y |A| = q. Ahora, del Teorema 2.3.2 (Sylow) se concluye que elsubgrupo generado por B es normal en G.Sea lq el numero de q-subgrupos de Sylow de G, entonces otra aplicacion delTeorema 2.3.2 (Sylow) da como resultado que lq es de la forma lq = 1 + kq ydivide a |G|, por lo que los unicos posibles valores de lq son 1 y p.Si lq = 1, entonces el subgrupo generado por A es normal en G y de esto setiene que G es cıclico. Si lq = p entonces q divide a p−1. Mostraremos que siesto ultimo ocurre hay exactamente un grupo no abeliano de orden pq. Paraconstruir el citado grupo, haremos un analisis con la finalidad de encontrarlas condiciones que deben satisfacer los elementos del grupo y a partir de


esto poder construirlo. En el analisis supondremos que existe tal grupo deorden pq y no es abeliano. Procediendo como se hizo antes, se tiene que 〈B〉es normal en G, por lo que

ABA−1 = Bm, (2.3)

para algun entero positivo m, de hecho mayor que uno, pues si m = 1, A yB conmutan, de lo que se tendrıa que G es abeliano, contrario a lo supuesto.El primer aspecto que debemos discutir es la existencia de m que satisfagala Ecuacion (2.3), esto, con la finalidad de poderlo construir. De la ecuacionABA−1 = Bm se tiene A2BA−2 = ABmA−1 = (ABA−1)m = Bm2

. Porinduccion se obtiene AkBA−k = Bmk

, para todo entero k ≥ 1. Tomandok = q en la ecuacion previa, esta se transforma en B = Bmq

y de estoobtenemos la condicion que debe satisfacer m, es decir,

mq ≡ 1 (mod p). (2.4)

Notemos que la hipotesis sobre q dividiendo a p− 1 y usando el hecho que elgrupo F∗p es de orden p− 1, nos permite concluir que este grupo contiene unelemento de orden q (Teorema de Cauchy). Tomemos m igual a un represen-tante de este elemento. Con este m y otros ingredientes construiremos a G.Las condiciones que debe satisfacer G son:

1. |G| = pq

2. G contiene elementos A y B de orden q y p respectivamente los cualessatisfacen la Ecuacion (2.3) y m satisface la Congruencia (2.4).

3. A y B generan a G.

A partir de esto encontraremos el conjunto G y la operacion que lo hace ungrupo satisfaciendo las condiciones requeridas. A partir de la Ecuacion 2.3 ha-cemos un analisis para obtener la forma en que se deben operar los elementosde G, esto se fundamenta en el hecho que A y B generan a G. La Ecuacion 2.3equivale a: AB = BmA. De esta ultima se tiene AB2 = BmAB = B2mA, ypor induccion concluimos que

ABt = BmtA, (2.5)

para todo entero t ≥ 0. Usando nuevamente la ecuacion AB = BmA se tieneA2B = ABmA = Bm2

A2 y aplicando induccion obtenemos

AsB = Bms

As. (2.6)


De las Ecuaciones (2.5) y (2.6) se llega a la ecuacion

BaAxBbAy = BaBmxbAx+y = Ba+mxbAx+y. (2.7)

La Ecuacion (2.7) indica la forma de multiplicar en G. Notemos que losexponentes en la ecuacion referida pueden ser tomados satisfaciendo

1 ≤ a, b ≤ p y 1 ≤ x, y ≤ q.

Para construir a G tomamos los grupos de los esteros modulo p y q, denotadosFp y Fq respectivamente y definimos G = Fp × Fq. De la Ecuacion (2.7) setiene que la posible operacion en G debe estar dada por: (a, x) ∗ (b, y) =(a + mxb, x + y). Para mostrar que ∗ es asociativa, efectuemos el siguientecalculo.

[(a, x) ∗ (b, y)] ∗ (c, z) = (a + mxb, x + y) ∗ (c, z)

= (a + mxb + mx+yc, x + y + z)

= (a + mx(b + myc), x + y + z)

= (a, x) ∗ [(b, y) ∗ (c, z)].

El elemento (0, 0) es neutro respecto a esta operacion. Dado (a, x), un calculodirecto muestra que (−mq−xa,−x) es su inverso. Con lo anterior se tiene queG es un grupo no abeliano de orden pq. Se puede probar que K = (a, 0) ∈G : a ∈ Fp C G y Q = (0, x) ∈ G : x ∈ Fq es un subgrupo de G,de hecho se tiene, K ∼= Fp y Q ∼= Fq. Mostraremos que cualquier otro grupono abeliano de orden pq es isomorfo al construido. Si G1 es otro grupo noabeliano de orden pq, podemos suponer que este grupo tiene dos elementosA y B los cuales satisfacen la Ecuacion (2.3), y de esto, la Ecuacion (2.7).Definamos φ : G → G1 como φ(b, x) := BbAx. De la Ecuacion (2.7) y laoperacion definida en G se concluye que φ es un homomorfismo, de hechoun monomorfismo, pues si BbAx = e, identidad en G1, se tiene b = x =0, probando que φ es un monomorfismo. Como G y G1 tienen la mismacardinalidad, φ es un isomorfismo.Al grupo G se le llama producto semi-directo de Fp por Fq, lo denotare-mos por G = Fp om Fq para diferenciarlo de Fp × Fq, en donde se considerala operacion entrada por entrada.La notacion G = FpomFq, es para enfatizar que la construccion depende delentero m.


2.4.1 Ejemplo Sean p = 7 y q = 3, entonces hay un elemento de orden 3 enF∗7, por ejemplo m = 2 es un representante. El grupo no abeliano de orden 21es G = F7omF3 y la operacion esta dada por (a, x)∗ (b, y) = (a+2xb, x+y).Construya la tabla de multiplicacion de este grupo.

2.4.2 Ejemplo Construya varios ejemplos de grupos como los discutidosantes. Continue con p = 11 y q = 5. Note que con este metodo tambienobtiene los grupos no abelianos de orden 6 y 10, construyalos.

Capıtulo 3

Grupos abelianos finitos yautomorfismos de grupos

3.1. Grupos abelianos finitos

En esta seccion se presenta una discusion completa de los grupos abelianos fi-nitos. El objetivo es clasificar dichos grupos bajo isomorfismo. Se probara quelos grupos cıclicos juegan un papel similar a los numeros primos, es decir, seprobara que un grupo abeliano finito se “factoriza” de manera unica comoproducto de grupos cıclicos. Antes de iniciar haremos la siguiente nota acla-ratoria. La operacion en un grupo abeliano sera denotada aditivamente, losproductos directos se llamaran sumas directas y se usara el sımbolo ⊕ paradenotar suma directa.En este capıtulo se usaran algunas propiedades de los enteros modulo p, conp un numero primo, por esta razon presentamos un resultado que resumelas propiedades basicas de estos. Recordemos que para el caso de un numeroprimo p, a los enteros modulo p los hemos denotado por Fp, pagina 19.

3.1.1 Teorema Sea p un numero primo. Entonces Fp y F∗p son grupos conlas operaciones de suma y producto de clases respectivamente. Ademas, lamultiplicacion distribuye con respecto a la suma, es decir, si [a]p, [b]p y [c]pson elementos de Fp, entonces [a]p([b]p + [c]p) = [a]p[b]p + [a]p[c]p.

Demostracion. Demostraremos que F∗p es grupo, dejando el resto de lo afir-mado a cargo del lector, ver pagina 18.Recordemos que la multiplicacion de clases esta dada por [a]p[b]p := [ab]p. Es

77

3.1. Grupos abelianos finitos 78

inmediato verificar que la multiplicacion no depende de los representantes yes asociativa. Solamente, resta probar que cada elemento no cero tiene uninverso multiplicativo.Sea [a] una clase no cero, entonces p y a son primos relativos. Aplicando elCorolario 1.1.1 se tiene que existen enteros n y m tales que 1 = an + pm.Tomando clase modulo p se concluye que [1]p = [an]p = [a]p[n]p, es decir, [n]pes el inverso de [a]p.

La siguiente definicion es presentada solamente para dar coherencia a la ter-minologıa que se usara despues.

3.1.1 Definicion Un campo es un conjunto no vacıo K con dos operacio-nes. Una suma y un producto denotados por + y · respectivamente. Estasoperaciones satisfacen:

1. La pareja (K, +) es un grupo abeliano con identidad 0.

2. El conjunto (K∗ = K \ 0, ·) es un grupo abeliano con identidad 1.

3. El producto distribuye respecto a la suma, es decir, a·(b+c) = a·b+a ·cpara todos a, b, c ∈ K.

3.1.1 Observacion Sea p un numero primo. Con la terminologıa y notacionanterior, el conjunto de clases modulo p, Fp es un campo con p elementos.

3.1.2 Teorema Sea G un grupo abeliano finito, entonces G es isomorfo ala suma directa de sus subgrupos de Sylow.

Demostracion. Como G es abeliano, entonces todo subgrupo es normal, enparticular los subgrupos de Sylow lo son. Sean P1, P2, . . . , Pk los diferentessubgrupos de Sylow de G. Mostraremos que la siguiente condicion se cumple

Hi = Pi ∩ (P1 + · · ·+ Pi + · · ·+ Pk) = 0 ∀ i = 1, . . . , k.

La notacion Pi significa que ese sumando no aparece.

Sea a ∈ Hi, entonces |a| divide a peii y a

∏

j 6=i

pej

j lo cual es posible solamente

si |a| = 1. Por otro lado se tiene que P1 + · · · + Pk es un subgrupo de Gcon cardinalidad |G|, por lo tanto son iguales, es decir dado g ∈ G existengi ∈ Pi tales que g = g1 + · · ·+ gk, mas aun, la representacion de g es unica.


En esta situacion la suma de los Pi sera denotada por G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk, lacual substituye a la notacion P1 · · ·Pk.Recordemos que nuestro objetivo es mostrar que los grupos abelianos fini-tos se pueden representar como suma directa de grupos cıclicos, entonces elteorema anterior reduce el problema a p-grupos abelianos.

3.1.2 Definicion Un grupo abeliano G se dice p-elemental, si existe unnumero primo p tal que px = 0, para todo x ∈ G.

3.1.3 Definicion Se dice que un subconjunto a1, a2, . . . , ak de un grupoabeliano G genera una suma directa, si 〈a1, a2, . . . , ak〉 = 〈a1〉⊕〈a2〉 · · ·⊕〈ak〉.

3.1.3 Teorema Sea G un grupo abeliano p-elemental finito. Entonces G esun espacio vectorial sobre Fp. Si G es finito entonces G es isomorfo a una su-ma directa de grupos cıclicos de orden p. Note que el numero de sumandos esprecisamente la dimension de G como Fp-espacio vectorial, y se denotara pord(G).

Demostracion. Dados g ∈ G y a ∈ Fp, definimos ag := ag. Esta definicion nodepende de la clase de a, pues si a = b entonces p divide a a− b, por lo tanto(a− b)g = 0 lo cual implica que ag = bg. Los axiomas de espacio vectorial sesatisfacen con la multiplicacion definida antes. El resto de la afirmacion seobtiene de los siguientes hechos.

1. Todo espacio vectorial de dimension finita es isomorfo a un numerofinito de copias del campo sobre el cual esta definido.

2. El grupo aditivo de Fp es cıclico de orden p.

3.1.4 Teorema Todo grupo abeliano finito es suma directa de grupos cıcli-cos.

Demostracion. Por el Teorema 3.1.2 podemos suponer que G es un p−grupo,es decir, |G| = pn para algun numero primo p y n ≥ 1. De esto se tieneque existe un m ≤ n tal que pmG = 0. La demostracion la haremos porinduccion sobre m. Si m = 1, entonces G es un p−grupo elemental y porel Teorema 3.1.3, G ∼= Fp × · · · × Fp y Fp es cıclico como grupo abeliano.Supongamos m > 1 y el resultado cierto para todos los grupos G que sa-tisfacen pm−1G = 0. Sea H = pG, entonces pm−1H = pm−1pG = 0. Por


hipotesis inductiva H es representable como suma directa de grupos cıclicos,es decir, H = 〈y1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈yt〉 con yi = pzi y zi ∈ G. Sea ki = |yi|, enton-ces, 0 = kiyi = kipzi = p(kizi) y de esto kizi ∈ G[p] := g ∈ G|pg = 0.Afirmacion.

1. G[p] es un p−subgrupo elemental.

2. z1, . . . , zt y k1z1, . . . , ktzt generan subgrupos cuya interseccion esla identidad.

La parte 1 es facil de probar y la parte 2 se probara en el siguiente teo-rema. Por la parte 2, k1z1, . . . ktzt es un subconjunto l.i. en el Fp espa-cio vectorial G[p]. Completando este conjunto a un conjunto maximal quesea linealmente independiente, se tiene que existen x1, . . . , xr ∈ G[p] talesque k1z1, . . . , ktzt, x1, . . . , xr es una base. Nuevamente, la parte 2 garan-tiza que z1, . . . , zt genera una suma directa y por hipotesis sobre los x′is,x1, . . . , xr tambien genera una suma directa. Sean K = 〈z1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈zt〉 yN = 〈x1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈xr〉.Afirmacion. G = K ⊕N .(i) Mostraremos que K ∩N = 0. Si x ∈ K ∩N , se tiene x = n1z1 + · · ·+ntzt = s1x1 + · · ·+ srxr y tambien px = 0, entonces 0 = pn1z1 + · · ·+pntzt =n1y1 + · · · + ntyt. Como los elementos yi generan a H como suma directa,entonces niyi = 0 para todo i, de lo que se obtiene ki|ni, es decir, ni = qiki.Sustituyendo en x se tiene x = q1k1z1 + · · ·+qtktzt = s1x1 + · · ·+srxr. Ahorala condicion sobre el conjunto k1z1, . . . , ktzt, x1, . . . , xr implica que x = 0.(ii) Si g ∈ G, entonces pg ∈ H = 〈y1〉⊕· · ·⊕〈yt〉 por lo que pg = n1y1 + · · ·+ntyt = n1pz1+· · ·+ntpzt, y de esto p(g−(n1z1+· · ·+ntzt)) = 0 lo que a la vezimplica g−(n1z1+· · ·+ntzt) = m1k1z1+· · ·+mtktzt+l1x1+· · ·+lrxr. De estaecuacion se obtiene g = (n1+m1k1)z1+ · · ·+(nt +mtkt)zt + l1x1+ · · ·+ lrxr ∈K + N , probando lo afirmado.

3.1.5 Teorema Sea G un p-grupo abeliano, y1, . . . , yn elementos no cerotales que

〈y1, . . . , yn〉 = 〈y1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈yn〉.i) Si z1, . . . , zn son elementos de G tales que pzi = yi para todo i, entonces

〈z1, . . . , zn〉 = 〈z1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈zn〉.


ii) Si k1, . . . , kn son enteros tales que kiyi 6= 0 para todo i, entonces

〈k1y1, . . . , knyn〉 = 〈k1y1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈knyn〉.

Demostracion. i) Sea w ∈ 〈zi〉⋂ (∑

j 6=i

〈zj〉)

entonces

w = nizi =∑

j 6=i

njzj.

La hipotesis sobre los zi’s implica que niyi = pnizi =∑

j 6=i

pnjzj =∑

j 6=i

njyj.

Como los yi’s generan una suma directa, de la ecuacion anterior se tiene

niyi = 0 =∑

j 6=i

njyj, de lo cual se concluye que |yk| divide a nk para todo k =

1, . . . , n, entonces nk = |yk|qk. Puesto que yi 6= 0, se debe tener |yi| = psi > 1,de esto obtenemos:

w =

( |yi|p

)qipzi =

( |yi|p

)qiyi =

∑

j 6=i

( |yi|p

)qjyj.

Ahora, la condicion sobre los yi’s implica w = 0.

ii) Sea w ∈ 〈kiyi〉⋂ (∑

j 6=i

〈kjyj〉)

, entonces w = niyi =∑

j 6=i

njyj, en donde

nl = klml para todo l = 1, . . . , n. La hipotesis sobre los yi’s implica que |yi|divide a ni para todo i, por lo tanto w = 0.

3.1.6 Teorema Todo grupo abeliano G puede ser representado como sumadirecta de grupos cıclicos

G = C1 ⊕ · · · ⊕ Cs,

tales que |Ci+1| divide a |Ci| para todo i = 1, . . . , s− 1. A la descomposicionanterior de G se le llama descomposicion canonica.

Demostracion. Sea G = G1⊕· · ·⊕Gr la representacion de G como suma de pi-grupos. Por el Teorema 3.1.4, para cada i, Gi = Ci1⊕· · ·⊕Gini

y los sumandos


se pueden ordenar de manera que |Ci j+1| divida a |Cij|. Definamos C1 =C11⊕+ · · · ⊕Cr1. Como cada Ci1 es cıclico y |Ci1|, |Cl1| son primos relativospara i 6= l, entonces C1 es cıclico, mas precisamente, si Cij = 〈αij〉, entoncesC1 = 〈α11 + · · · + αr1〉. Definiendo (en caso necesario) C2 = C12 ⊕ · · · ⊕ Cr2

se tiene que C2 es cıclico (mismo argumento que antes) y |C2| divide a |C1|.Un proceso inductivo termina la construccion de los C ′

js con las condicionesrequeridas.

3.1.1 Ejercicio Sea G un grupo abeliano expresado como G = H1⊕· · ·⊕Hr

y n ∈ N, entonces nG = nH1 ⊕ · · · ⊕ nHr.

3.1.7 Teorema Dos grupos abelianos finitos G y H son isomorfos si y solosi cada p−parte de G es isomorfa a la p−parte de H, mas precisamente, sipara un primo p, Gp y Hp denotan a los correspondientes p−subgrupos deSylow de G y H respectivamente, entonces G ∼= H ⇐⇒ Gp

∼= Hp para cadaprimo p.

Demostracion (⇒ Si f : G → H es un isomorfismo, f|Gp: Gp → H satisface

f(Gp) ⊆ Hp, es decir, f|Gp: Gp → Hp y claramente es un isomorfismo.

⇐) Si Gp∼= Hp para todo p, digamos que existe fp : Gp → Hp isomorfismo.

Definiendo f : G → H como sigue: si G = Gp1 ⊕ · · · ⊕ Gpr y g ∈ G,f(g) = f(g1 + · · · + gr) := fp1(g1) + · · · + fpr(gr). Se verifica facilmente quef es un isomorfismo.

3.1.8 Teorema Sea G un grupo abeliano finito, H ≤ G y sean G = P1 ⊕· · · ⊕ Pr y H = Q1 ⊕ · · · ⊕ Qs las descomposiciones de G y H como en elTeorema 3.1.6. Entonces s ≤ r y |Qj| divide a |Pj| para todo j = 1, . . . , s.

Demostracion. La demostracion es por contradiccion, es decir, supongamosque una de las siguientes condiciones se tiene.

1. Existe un j tal que |Qj|-|Pj|.2. s > r.

Supongamos que 1 se cumple y sea n = |Pj|, entonces nG = nP1⊕· · ·⊕nPj−1

y nQj 6= 0. Sea m := |nQi| > 1 y consideremos el subgrupo G1 de nG cuyoselementos tienen orden un divisor de m, es decir, G1 = x ∈ nG : mx = 0.Si x ∈ G1, entonces x = nx1 + · · · + nxj−1, con xi ∈ Pi y 0 = mx =mnx1 + · · ·+ mnxj−1.


Como xi ∈ Pi y los Pi forman una suma directa, entonces 0 = mnxi paratodo i, de esto nxi ∈ G1, por lo tanto x ∈ (G1 ∩ P1) ⊕ · · · ⊕ (G1 ∩ Pj−1).Se tiene que G1 ∩ Pi es cıclico de orden menor o igual que m, pues es unsubgrupo del grupo cıclico Pi, y los elementos de G1 tienen orden a lo masm.De lo anterior concluimos que |G1| ≤ mj−1. Por otro lado se tiene que paracada i = 1, . . . , j, Qi contiene un subgrupo Ti isomorfo a Qj (|Qj| divide a|Qi| para i = 1, . . . j y Qi es cıclico), entonces nTi

∼= nQj y de aquı mnTi∼=

mnQj = 0, por lo tanto nTi ⊆ G1, para todo i. De esto nT1⊕· · ·⊕nTj ⊆ G1,lo cual implica que mj ≤ |G1| ≤ mj−1, obteniendose una contradiccion, puesm > 1. Si s > r, entonces s ≥ r + 1. Tomemos j = r + 1, Pj = 0 yclaramente se tiene |Qj|-|Pj| = 1. Aplicando el argumento anterior, para estecaso, se llega a una contradiccion.

3.1.9 Teorema (Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos)Sea G un grupo abeliano finito. Si

G = C1 ⊕ · · · ⊕ Cr = D1 ⊕ · · · ⊕Ds,

con Ci y Di satisfaciendo las conclusiones del Teorema 3.1.6. Entonces r = sy |Ci| = |Di|.Demostracion. Hagamos H = D1⊕· · ·⊕Ds ≤ G. Por el Teorema 3.1.8, s ≤ ry |Di| divide a |Ci| para todo i = 1, . . . s. Ahora poniendo H = C1⊕ · · ·⊕Cr

y aplicando el mismo argumento se concluye r ≤ s y |Ci| divide a |Di|.

3.1.2 Observacion Un homomorfismo de grupos abelianos preserva sumas,y de ser inyectivo, preserva sumas directas.

Demostracion. Sea f : H⊕K → G, entonces f(H⊕K) = f(H)+f(K). Si fes inyectiva y x ∈ f(H)∩f(K), se tiene x = f(h) = f(k) como f es inyectivah = k ∈ H ∩K = 0. Por lo tanto x = 0, luego f(H ⊕K) = f(H)⊕ f(K).

3.1.1 Corolario Dos p−grupos abelianos G y H son isomorfos ⇐⇒ Gy H tienen el mismo numero de sumandos cıclicos de cada orden.

Se desea determinar el numero de grupos abelianos no isomorfos de cardi-nalidad dada. Por el Teorema 3.1.7 el problema se reduce al caso en que lacardinalidad es potencia de un primo. Deseamos determinar el numero de


grupos abelianos no isomorfos a pares de orden pn con p primo. Si |G| = pn

y G = C1 ⊕ · · · ⊕ Cr con |Ci| = pni , entonces se debe tener, Teorema 3.1.6,que n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nr. Por el Teorema 3.1.9, un grupo G1 con |G1| = pn esisomorfo a G ⇐⇒ el numero de sumandos de cada orden en las descompo-siciones de G y G1 coinciden.

3.1.4 Definicion Dado un entero positivo n, una particion de n es unasucesion de enteros 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ ir tal que n = i1 + i2 + · · · + ir. Alnumero de particiones de n lo denotaremos por P (n).

Ejemplos: P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 5, P (5) = 7. En general, es difıcilevaluar P (n).

3.1.2 Ejercicio Sea p un numero primo, n un entero positivo y P (n) elnumero de particiones de n. Demuestre que el numero de grupos abelianos

no isomorfos de orden pn es P (n). Si m =k∏

i=1

pni es la descomposicion de

m como producto de primos, entonces el numero de grupos abelianos no iso-

morfos de orden m esk∏

i=1

P (ni).

3.1.1 Ejemplo Sea p un numero primo, entonces hay exactamente 3 gruposabelianos no isomorfos de orden p3:

Z/p3Z, Z/pZ⊕ Z/p2Z y Z/pZ⊕ Z/pZ⊕ Z/pZ.

3.1.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo abeliano de orden pn. Demuestre lo siguiente.

(a) Existe un entero m ≤ n tal que xpm= e para todo x ∈ G.

(b) El grupo G contiene elementos de orden pm.

2. Sea G un grupo abeliano finito, si G contiene subgrupos de orden m yn respectivamente. Demuestre que G contiene un subgrupo de orden elmınimo comun multiplo de m y n.

3.2. Clasificacion de grupos de orden ≤ 15 85

3. Sea G un grupo abeliano de orden m y suponga que para todo primop, divisor de m se tiene que G contiene exactamente p − 1 elementosde orden p. Demuestre que G es cıclico.

4. Demuestre que un grupo abeliano finito G, es cıclico si y solo si G ∼=Z/pe1

1 Z×· · ·×Z/pekk Z, donde p1, · · · , pk son numeros primos diferentes.

5. Determine el numero de grupos abelianos no isomorfos de orden 8, 100y 16200. Escriba una lista de tales grupos.

6. En los siguientes ejercicios, ϕ denota la funcion de Euler. Sean m y nenteros positivos tales que m y n tienen los mismos factores primos.Demuestre que m/n = ϕ(m)/ϕ(n).

7. Sean m y n enteros positivos primos relativos. Demuestre que mϕ(n) +nϕ(m) ≡ 1 (mod mn).

8. Sean m y n enteros positivos, d = mcd(m,n). Demuestre que ϕ(mn) =dϕ(m)ϕ(n)/ϕ(d).

9. (Tucson Az. Oct. 24 1987) Sea G un grupo con dos subgrupos H1 y H2

de ındice 2 tales que H1 ∩H2 = e. Demuestre que G ∼= C2 ⊕ C2.

10. Sea n > 1 un entero, G un grupo que tiene exactamente n elementosde orden n. Demuestre a lo mas dos primos diferentes dividen a n.

11. Encuentre ejemplos de grupos que tengan exactamente 36 elementosde orden 36. De hecho, demuestre que hay infinidad de tales grupos.

3.2. Clasificacion de grupos de orden ≤ 15

En la seccion anterior se hizo un estudio de los grupos abelianos finitos, enparticular se establecio el teorema que describe su estructura, obteniendosede esto su clasificacion. En general, el estudio y clasificacion de los gruposfinitos es un problema muy difıcil, cuya solucion fue uno de los avances massignificativos en matematicas en el siglo XX.En esta seccion presentamos la clasificacion de grupos cuyo orden es ≤ 15.El lector interesado en ir mas lejos en la clasificacion de grupos finitos puedeconsultar la referencia [17] enumerada en la bibliografıa que aparece al final


del texto. Una pregunta natural es, ¿por que el orden de los grupos que seclasifican es ≤ 15? La razon es que la clasificacion de los grupos de orden16 = 24 requiere un analisis que nos llevarıa fuera del contexto de este trabajo,ver la referencia citada antes. En la Tabla 1 omitimos los grupos de orden 8,lo cual se debio a que no tenıamos una clasificacion de los grupos abelianosfinitos. En esta seccion dicha tabla se extiende de manera que incluya a losgrupos de orden menor o igual que 15. Iniciamos con la discusion de losgrupos de orden 8.

3.2.1. Grupos no abelianos de orden 8

(a) El grupo diedrico. Considere un cuadrado centrado en el origen del

plano cartesiano como se muestra en la siguiente figura.

x

y

s -

6

1 2

4 3

u u

u u

Enumerando los vertices en el sentido que giran las manecillas del reloj, sedefinen las siguientes transformaciones de R2 → R2:

R: rotacion π/2 radianes.

Tx: reflexion alrededor del eje x.

Ty: reflexion alrededor del eje y.


T1,3: reflexion alrededor de la diagonal 1 3.

T2,4: reflexion alrededor de la diagonal 2 4.

Sea D4 = Ri, Tx, Ty, T1,3, T2,4 | i = 1, 2, 3, 4, D4 es un grupo con la compo-sicion usual de funciones. Note que D4 se puede identificar con un subgrupode S4, pues sus elementos quedan completamente determinados por su ac-cion en los vertices del cuadrado. La identificacion se puede dar por mediodel isomorfismo que asocia a la rotacion R con la permutacion (1 2 3 4) y a lareflexion T1 3 con (2 4). Se verifica que D4 tiene 5 subgrupos de orden 2 y 3subgrupos de orden 4. Otra propiedad de este grupo es que contiene subgru-pos que no son normales, por ejemplo H1 = 〈(1 2 3 4)2(2 4)〉 es un subgrupo deorden 2 el cual no es normal. Si H = 〈(1 2 3 4)2, (2 4)〉 entonces H1 ¢H ¢D4,probando con esto que ser normal no es una propiedad transitiva. El grupoD4 puede definirse en terminos de generadores:

D4 = 〈a, b | a4 = b2 = 1, bab−1 = a−1〉.

(b) El grupo de los cuaternios. Sea Q = ±1,±i,±j,±k. Definiendo en

Q una multiplicacion como sigue: i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j,ji = −k, kj = −i, ik = −j y usando las reglas usuales de multiplicacionpor menos, Q resulta ser un grupo no abeliano con 8 elementos el cual tienela propiedad que todo subgrupo es normal, pues el unico subgrupo de orden2 es ±1 y es normal. Los restantes subgrupos son de ındice 2, por lotanto normales. Uno verifica que Q contiene dos elementos a y b los cualessatisfacen:

a4 = 1, b2 = a2 y b−1ab = a−1. (∗)Un grupo con dos generadores que satisfacen (∗) se llamara el grupo delos cuaternios. Los grupos D4 y Q tienen orden 8 y D4 6∼= Q. El siguienteresultado muestra que los grupos construidos anteriormente son los unicosno abelianos de orden 8.

3.2.1 Teorema Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces G ∼= D4

o G ∼= Q.

Demostracion. Como G no es abeliano, G no tiene elementos de orden 8, porlo que |a| ∈ 2, 4 para todo a ∈ G \ e. Si |a| = 2 para todo a entoncesG es abeliano. De los argumentos anteriores se concluye que G contiene al


menos un elemento a de orden 4, el cual genera un subgrupo normal. De estoultimo se obtiene b2 ∈ 〈a〉 para todo b ∈ G \ e, es decir, b2 ∈ e, a, a2, a3.Si b2 ∈ a, a3, entonces |b| = 8, lo cual es imposible, de esto se obtieneb2 ∈ e, a2. Por otro lado se tiene que b−1ab ∈ 〈a〉 = e, a, a2, a3. ComoG no es abeliano, a no puede pertenecer al centro de G, pues de otra forma|Z(G)| ≥ 4, lo cual implica que G/Z(G) es cıclico y esto a la vez implica queG es abeliano, contradiciendo lo supuesto sobre G.Hasta este punto podemos concluir que existe un b ∈ G tal que b−1ab 6= a. Sib−1ab = a2 entonces b−2ab2 = b−1a2b = (b−1ab)2 = a4 = e lo cual no puedeser. De los argumentos vertidos previamente se tiene que existe un b ∈ G\etal que

b2 = a2 b2 = e y b−1ab = a3 = a−1.

Resumiendo la discusion anterior, se tienen las siguientes posibilidades:

(i) G contiene elementos a y b tales que a4 = e, b2 = a2 y b−1ab = a−1

(ii) G contiene elementos a y b tales que a4 = b2 = e y b−1ab = a−1.

La conclusion se obtiene de las propiedades que definen a los grupos diedricoy de los cuaternios.

3.2.2. Grupos no abelianos de orden 12

3.2.2 Teorema Sea G un grupo no abeliano de orden 12 no isomorfo a A4,entonces G contiene un elemento de orden 6.

Demostracion. Sea P un 3-subgrupo de Sylow de G, X = gP | g ∈ G.Argumentando como en la prueba del Teorema 2.1.2, pagina 52 y usando queG no es isomorfo a A4, se concluye que P ¢ G. Por otro lado, |P | = 3, porlo que P = 〈a〉. La normalidad de P implica que G contiene exactamente2 elementos de orden 3 los cuales son a y a2, por lo tanto la orbita de abajo conjugacion contiene a lo mas dos elementos, es decir, |OG(a)| = [G :St (a)] ≤ 2. Recuerde que St (a) = g ∈ G | gag−1 = a. La anteriordesigualdad es equivalente a |St (a)| ∈ 6, 12, de lo cual se obtiene queexiste b ∈ St (a) tal que |b| = 2 y ab = ba. Como a y b tienen ordenes primosrelativos, entonces c = ab tiene orden 6.

3.2.3 Teorema Hay exactamente 3 grupos no abelianos de orden 12.


Demostracion. La demostracion se terminara si mostramos que hay exacta-mente dos grupos no abelianos de orden 12 no isomorfos a A4. Sea G ungrupo de orden 12 no abeliano y no isomorfo a A4. Por el Teorema 3.2.2,existe un a ∈ G tal que |a| = 6.Caso I. Si G contiene un elemento b de orden 4, entonces necesariamente〈b〉∩〈a〉 6= e, pues de otra forma la normalidad de 〈a〉 implicarıa que 〈b〉〈a〉es un subgrupo de orden 24, lo cual es imposible, por lo tanto los elementosa y b satisfacen a6 = b4 = e y a3 = b2. Tambien se tiene que bab−1 = ai paraalgun i ∈ 1, 2, 3, 4, 5, pues 〈a〉¢G. Si i = 1, entonces a2 y b conmutan, porlo tanto a2b tiene orden 12, lo cual es imposible pues G no es abeliano.Si i = 2, entonces bab−1 = a2 y de aquı concluimos que b2ab−2 = ba2b−1 = a4.Aplicando el hecho que a3 = b2 se obtiene a = a4, lo cual no es posible. Demanera similar se muestra que i 6∈ 3, 4 por lo que necesariamente i = 5, esdecir bab−1 = a5 = a−1 y esta ultima ecuacion equivale a aba = b, lo que a lavez implica abab = b2 = a3, obteniendo que G esta definido por generadoresa y b los cuales satisfacen

a6 = b4 = e, a3 = b2 = (ab)2.

Este grupo sera denotado por T .

Caso II. Si G no contiene elementos de orden 4, entonces existe un elementode orden 2 tal que b 6∈ 〈a〉. Nuevamente la normalidad de 〈a〉 implica quebab−1 = ai para algun i ∈ 1, 2, 3, 4, 5. Como b 6∈ 〈a〉, i no puede ser1, pues 〈a〉〈b〉 serıa un subgrupo abeliano de orden 12. Si i = 3, entoncesbab−1 = a3, lo que implica ba2b−1 = a6 = e, y de esto se tiene que a2 = e,contradiciendo que a tiene orden 6. Los casos i ∈ 2, 4 se abordan como enel Caso I, obteniendo incompatibilidades. De lo anterior se concluye que Gesta generado por dos elementos a y b los cuales satisfacen

a6 = b2 = e, bab−1 = a−1.

En este caso G es isomorfo al grupo diedrico de orden 12.

Construccion del grupo T . Sean C3 = 〈k〉 y C4 = 〈x〉 grupos cıclicos deorden 3 y 4 respectivamente. Pongamos T = C3 × C4 y definamos en T lasiguiente operacion.

(ki, xj)(kl, xr) := (ki+2j l, xj+r).

Demuestre lo siguiente:

3.3. Automorfismos de grupos 90

1. La operacion definida hace de T un grupo con identidad (1, 1) = (k0, x0)y los elementos a = (k2, x2) y b = (1, x) satisfacen a6 = b4 = (1, 1),b2 = a3 = (ab)2.

2. Los elementos (k, 1) y (1, x) generan subgrupos de orden 3 y 4 respec-tivamente.

3. Determine el inverso de un elemento (kl, xj) y demuestre que el sub-grupo generado por (k, 1) es normal en T .

4. El elemento a satisface: 〈a2〉 C 〈a〉 C T y 〈a2〉 C T , es decir, en esteejemplo se cumple que la propiedad de ser normal es transitiva en ungrupo no abeliano.

La siguiente tabla resume la clasificacion de los grupos de orden ≤ 15.

Cuadro 3.1: Clasificacion de grupos de orden ≤ 15

Orden grupos abelianos grupos no abelianos2 Z2

3 Z3

4 Z4, Z2 × Z2

5 Z5

6 Z6 S3

7 Z7

8 Z8, Z2 × Z4, Z2 × Z2 × Z2 Q, D4

9 Z9, Z3 × Z3

10 Z10 D5

11 Z11

12 Z12, Z6 × Z2 A4, T, D6

13 Z13

14 Z14 D7

15 Z15

3.3. Automorfismos de grupos

3.3.1 Definicion Sea G un grupo. Un isomorfismo de G en G se llama unautomorfismo de G.


3.3.1 Observacion Si G es un grupo finito y f es un homomorfismo de Gen G entonces f es un automorfismo ⇐⇒ f es epimorfismo ⇐⇒ f esmonomorfismo.

Si G es un grupo, el conjunto de automorfismos de G denotado por A =Aut G, forma un grupo con la composicion de funciones. Dado un grupo G,existe un homomorfismo ϕ : G → Aut G definido por ϕ(g) := fg, en dondefg(a) = gag−1. La imagen de ϕ la denotaremos por Inn (G) y se llama el grupode automorfismos internos de G. En el siguiente resultado se precisa larelacion entre G e Inn(G).

3.3.1 Teorema Sea G un grupo. Entonces Inn(G) ¢ Aut G y G/Z(G) ∼=Inn(G).

Demostracion. Sea ϕ el homomorfismo definido anteriormente, entonces ϕ(g) =idG ⇐⇒ fg(a) = a ∀ a ∈ G, ⇐⇒ g ∈ Z(G). El Primer Teorema de Iso-morfismo (Teorema 1.6.1 ) implica que G/Z(G) ∼= Inn(G). Sean fg ∈ Inn(G)y α ∈ Aut G, entonces αfgα

−1 = fα(g) lo cual se verifica sin dificultad.

3.3.2 Observacion Si G ∼= G1 entonces Aut G ∼= Aut G1. El recıproco esfalso, por ejemplo tome S3 y Z2×Z2. H. Leptin [11], ha probado un resultadomuy profundo en esta direccion: Sea p un numero primo ≥ 5, G y H dosp-grupos. Entonces G ∼= H ⇐⇒ Aut G ∼= Aut H.

Determinar la estructura de los grupos de automorfismos es muy difıcil, aunpara grupos abelianos. Una idea de esto la obtendremos al determinar laestructura de los automorfismos de los grupos cıclicos.

3.3.2 Teorema Sean H y K grupos finitos tales que (|H|, |K|) = 1, enton-ces Aut (H ×K) ∼= Aut H × Aut K.

Demostracion. Por la observacion anterior basta probar que

Aut (H ×K) ∼= Aut (H × 1)× Aut (1 ×K)

pues H × 1 ∼= H y 1 × K ∼= K. Note que la condicion (|H|, |K|) =1 implica |(h, k)| = |h||k| para todo (h, k) ∈ H × K. Se verifica que unautomorfismo de H ×K induce automorfismos, por restriccion, en H × 1y en 1 ×K. Esta forma de inducir es en efecto un isomorfismo.

Una pregunta natural es suprimir la hipotesis sobre los ordenes de los grupos,es decir, si H y K son grupos finitos y sus ordenes no son primos relativos,


¿hay una relacion entre Aut (H × K) y Aut H × Aut K? Intente con H =K = C2, el grupo cıclico de orden 2.

3.3.3 Teorema Sea G un grupo cıclico de orden n. Entonces

Aut G ∼= (Z/nZ)∗ = a | (n, a) = 1.

En particular |Aut G| = ϕ(n), con ϕ la funcion de Euler.

Demostracion. Sea f ∈ Aut G, entonces f queda bien determinado por suaccion sobre un generador c de G, es decir f(c) = caf . Como f es un auto-morfismo de G = 〈c〉, entonces (af , n) = 1. Definamos ϕ : Aut G → (Z/nZ)∗

como ϕ(f) := af . Uno verifica sin dificultad que ϕ es un isomorfismo.

Sabemos que (Z/nZ)∗ es un grupo abeliano finito, entonces el Teorema Fun-damental para grupos abelianos finitos garantiza que se puede representarcomo suma directa de grupos cıclicos, ¿cuales son los sumandos? En el si-guiente resultado se inicia la descripcion de estos, probaremos que la primeraaproximacion para obtener la descomposicion de (Z/nZ)∗ esta dada en termi-nos de los factores primos de n.

3.3.4 Teorema Sea n =k∏

i=1

peii la factorizacion de n como producto de pri-

mos. Entonces (Z/nZ)∗ ∼=k∏

i=1

(Z/peii Z)∗ .

Demostracion. La prueba se hara por induccion sobre el numero de factoresprimos de n, para lo cual es suficiente probar, cambiando un poco la notacion,que si M = mn con (n,m) = 1 y f : (Z/MZ)∗ → (Z/nZ)∗ × (Z/mZ)∗

definida por f(x + MZ) = (x + nZ, x + mZ) entonces f es un isomorfismo.Se verifica sin dificultad que f esta bien definida y es un monomorfismo, esdecir, f(x+MZ) = (1+nZ, 1+mZ) ⇐⇒ x ≡ 1 (mod n) y x ≡ 1 (mod m),la hipotesis sobre n y m y lo anterior garantizan x ≡ 1 (mod M).El Ejercicio 1.7.2, sobre el Teorema Chino del Residuo pagina 47, garantizaque cuando la funcion anterior se considera en todo (Z/MZ), resulta sersuprayectiva, es decir, dado (a+nZ, b+mZ) con a y b enteros, existe x+MZtal que f(x+MZ) = (a+nZ, b+mZ). Es facil ver que si a es primo relativocon n y b es primo relativo con m, entonces x es primo relativo con M ,probando suprayectividad de f , es decir, f es un isomorfismo.


Dado que la funcion ϕ de Euler tiene propiedades muy importantes en teorıade numeros, algunas de las cuales se usaran mas adelante, y que estamos enposicion de probarlas, en el siguiente teorema se enuncian y prueban dichaspropiedades basicas.

3.3.5 Teorema Sea ϕ la funcion de Euler. Entonces

(i) ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m) si (m,n) = 1 (propiedad multiplicativa).

(ii) ϕ(pe) = pe−1(p− 1), p primo y e ≥ 1.

(iii) Si n =k∏

i=1

peii es la factorizacion de n como producto de primos, enton-

ces ϕ(n) = n∏

p|n

(1− 1

p

).

Demostracion i) Se obtiene tomando cardinalidad en el isomorfismo (Z/mnZ)∗ ∼=(Z/mZ)∗ × (Z/nZ)∗.ii) Se tiene que un entero k es primo relativo con pe ⇐⇒ k es primorelativo con p. Los enteros entre 1 y pe que no son primos relativos con p sonprecisamente de la forma ip con i = 1, . . . , pe−1. De lo cual la conclusion seobtiene.iii) Aplicar las partes (i) y (ii).

El Ejercicio 2 pagina 40, afirma que si un grupo abeliano finito G tiene lapropiedad que la ecuacion xn = e tiene a lo mas n soluciones para todon ≤ |G|, entonces G es cıclico. Una consecuencia de gran importancia es elsiguiente teorema.

3.3.6 Teorema Sea K un campo,entonces todo subgrupo finito de K∗ =K \ 0 es cıclico. En particular si |K| < +∞, K∗ es cıclico.

Demostracion. En todo campo la ecuacion xn = 1 tiene a lo mas n soluciones1,en particular si G ≤ K∗ con |G| < +∞, xn = 1 tiene a lo mas n solucionespara todo n ≤ |G|. La conclusion se obtiene del ejercicio citado antes.

3.3.1 Corolario (Z/pZ)∗ ∼= Z/(p− 1)Z con p primo.

1Una propiedad importante de los polinomios con coeficientes en un campo establece:si α es raız de un polinomio, entonces x− α lo divide.


Demostracion. Como p es primo, entonces Z/pZ es un campo con p elemen-tos, por lo tanto (Z/pZ)∗ es un grupo cıclico con p− 1 elementos.

3.3.2 Corolario Aut (Z/pZ) ∼= Z/(p− 1)Z.

El Teorema 3.3.3 describe Aut G con G cıclico de orden n, lo que haremosen seguida es describir la estructura de (Z/nZ)∗ para tener una descripcioncompleta de Aut G en el caso cıclico.El Teorema 3.3.8 determina la estructura de los grupos (Z/pei

i )∗, en su de-mostracion se requiere el siguiente resultado auxiliar.

3.3.7 Teorema Sea p un numero primo. Suponga que a ≡ b (mod pe) cone ≥ 1, entonces

apn−e ≡ bpn−e

(mod pn) ∀ n ≥ e.

Demostracion. Aplicaremos induccion sobre n. Si n = e la conclusion esexactamente la hipotesis. Sea k = n−e > 1 y supongamos el resultado ciertopara k, debiendo probarlo para k+1, lo cual se hara examinando la siguienteigualdad.

apk+1 − bpk+1

= (apk

)p − (bpk

)p

= (apk − bpk

)(apk(p−1) + · · ·+ bpk(p−1)).

La hipotesis sobre a y b implica a ≡ b (mod p), de lo cual se obtiene

apk(p−1) + · · ·+ bpk(p−1) ≡ 0 (mod p),

entonces la hipotesis inductiva y la anterior congruencia implican

apk+1 − bpk+1

= pnl1pl2

para algunos enteros l1 y l2, obteniendo finalmente

apn+1−e ≡ bpn+1−e

(mod pn+1)).

3.3.8 Teorema Sea p un primo, e un entero ≥ 1.

i) Si p = 2 entonces

(Z/2e Z)∗ ∼=1 si e = 1Z/2Z si e = 2Z/2Z× Z/2e−2 Z si e ≥ 3


ii) Si p es impar entonces

(Z/pe Z)∗ ∼= Z/(p− 1)pe−1 Z.

Demostracion. i) Los casos e = 1 y e = 2 se obtienen directamente, por loque supondremos e ≥ 3. Mostraremos que

(Z/2e Z)∗ = 〈 − 1, 5〉 ∼= Z/2Z× Z/2e−2 Z.

Para mostrar lo afirmado anteriormente iniciamos probando que |5| = 2s ≥2e−2, lo cual se obtiene si probamos que

52e−3 ≡ 1 + 2e−1 (mod 2e), ∀ e ≥ 3.

Pues si s < e − 2, entonces s ≤ e − 3 y de esto e − 3 = s + l. Sustituyendoeste valor de e− 3 en la congruencia anterior y usando que el orden de 5 es2s se tiene

52e−3

= (52s

)2l ≡ 1 (mod 2e).

Usando la congruencia a probar se tendrıa que 2e divide a 2e−1, lo cual esimposible para e > 1.Si e = 3 no hay nada que probar. Supongamos que la congruencia anteriorse verifica para e > 3. Aplicando el Teorema 3.3.7 con p = 2, a = 52e−3

yb = 1 + 2e−1 se obtiene

(52e−3

)2

= 52e−2 ≡ (1 + 2e−1

)2(mod 2e+1).

Un calculo sencillo muestra que (1 + 2e−1)2 ≡ 1 + 2e (mod 2e+1), lo cualtermina el paso inductivo. Por otro lado se tiene |−1| = 2. Afirmamos que〈−1〉 ∩ 〈5〉 = 1, pues en caso contrario 5k + 1 es divisible por 2e y comoe ≥ 3 entonces 4 divide a 5k + 1, lo cual es imposible debido a que 4 dividea 5k − 1. Con lo probado hasta aquı se tiene que (Z/2e Z)∗ contiene al sub-grupo 〈−1〉〈5〉 cuyo orden es 2 · 2s ≥ 2 · 2e−2 = 2e−1. Tambien se tiene que|(Z/2e Z)∗| = ϕ(2e) = 2e−1, y esto implica

(Z/2e Z)∗ = 〈−1, 5〉 ∼= Z/2Z× Z/2e−2 Z.

ii) Si e = 1, la conclusion es exactamente el Corolario 3.3.1. Supongamose ≥ 2. La conclusion ii) del Teorema 3.3.5 implica que G = (Z/pe Z)∗ tieneorden (p− 1)pe−1. La prueba concluira si probamos que

G ∼= Z/(p− 1)Z× Z/pe−1 Z.


Sea f : (Z/pe Z)∗ → (Z/pZ)∗ el homomorfismo natural definido por f(b) =b+pZ. Es claro que f es sobre y su nucleo es B = b ∈ G | p divide a b− 1.Por el Primer Teorema de Isomorfismo (Teorema 1.6.1), B es la p-parte deG, mas aun, G = B × A, con A un subgrupo de orden p − 1. Note que elelemento 1 + p ∈ B.Afirmacion: B = 〈1 + p〉. Puesto que |B| = pe−1, es suficiente mostrar que

(1 + p)pe−2 6≡ 1 (mod pe),

pues la anterior no congruencia implicara que |1 + p| = pe−1.La no congruencia se probara por induccion, siendo inmediata para e = 2.Supongamos e ≥ 3, entonces n := e − 2 ≥ 1. Como 1 + p ≡ 1 (mod p), elTeorema 3.3.7 implica (1+p)pn−1 ≡ 1 (mod pn) o (1+p)pe−3 ≡ 1 (mod pe−2).Por hipotesis inductiva se tiene (1 + p)pe−3 6≡ 1 (mod pe−1), por lo que (1 +p)pe−3

= 1 + kpe−2 con (k, p) = 1. Elevando a la p la anterior ecuacion seobtiene

(1 + p)pe−2

=(1 + kpe−2

)p

= 1 + pkpe−2 + · · ·+ kppp(e−2)

≡ 1 + kpe−1 (mod pe).

La condicion sobre k implica 1+kpe−1 6≡ 1 (mod pe), de lo que se obtiene (1+p)pe−2 6≡ 1pe, probando lo afirmado. Por lo observado mas antes, G = A×B con

A un subgrupo de orden p− 1. Por otro lado se tiene queG

B=

B × A

B∼= A,

de donde se concluye

G ∼= (Z/pZ)∗ × Z/pe−1 Z ∼= Z/pe−1(p− 1)Z.

El teorema anterior tiene como corolario al siguiente resultado el cual es muyimportante en teorıa de numeros.

3.3.9 Teorema Sea n un entero positivo, entonces (Z/nZ)∗ es cıclico ⇐⇒n = 2, 4, pe, 2pe con e ≥ 1 y p impar.

Demostracion. Si n tiene la forma indicada entonces el teorema anterior im-plica que G = (Z/nZ)∗ es cıclico. Note que (Z/2pe Z)∗ ∼= (Z/pe Z)∗. Elrecıproco se obtiene notando que si G = A × B con A y B grupos abelia-nos de orden 2r y 2s respectivamente, entonces G no es cıclico pues paratodo (x, y) ∈ G, (x, y)2rs = (1, 1), es decir G no tiene elementos de orden


|G| = 4rs. Si n tiene dos factores primos impares, entonces el Teorema 3.3.4implica que G tiene dos factores de orden par, por el comentario anterior Gno es cıclico. Los restantes casos se tratan de manera analoga.El Teorema 3.3.3 afirma que los automorfismos de un grupo cıclico, formanun grupo abeliano. El siguiente teorema caracteriza a los grupos abelianoscon grupo de automorfismos abeliano.

3.3.10 Teorema Sea G un grupo abeliano finito. Entonces Aut G es abe-liano ⇐⇒ G es cıclico.

Demostracion. ⇐=) Teorema 3.3.3.(=⇒ Como G es abeliano, entonces G tiene una descomposicion canonica de laforma G = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck, con Ci cıclico para todo i = 1, . . . , k. Aplicaremosinduccion sobre k. Lo supuesto sobre G garantiza que k ≥ 2. Si k = 2entonces G = C1 ⊕ C2. Sean 〈x〉 = C1, 〈y〉 = C2 entonces los elementos deG se representan de manera unica en la forma ix + jy, con 1 ≤ i ≤ |x| y1 ≤ j ≤ |y|. Definiendo f y g como:

f(ix + jy) := (i + j)x + jy, g(ix + jy) := jx + iy,

se verifica que f, g ∈ Aut G (se prueba que f es inyectivo y g suprayectivo)y f g 6= g f , es decir, Aut G no es abeliano, contradiciendo la hipotesissobre Aut G. Supongamos que k > 2, entonces G = C1⊕C2⊕C3⊕ · · · ⊕Ck.Mostraremos que Aut (C1⊕C2) → Aut G, con lo que aplicando el caso k = 2se concluira que Aut G no es abeliano, contradiciendo nuevamente la hipotesissobre Aut G. Sea f ∈ Aut (C1 ⊕ C2), f se extiende a un automorfismo de Gcomo sigue

f(c1 + c2 + · · ·+ ck) := f(c1 + c2) + c3 + · · ·+ ck.

Con esto se ha mostrado lo que se querıa.

3.3.1 Ejercicio Sea G un grupo tal que Aut G es cıclico. ¿Puede ocurrirque G no sea abeliano? Sugerencia: revise el Teorema 3.3.1 y el Ejercicio 5pagina 41.

3.3.2 Ejercicio Sea G un grupo abeliano finito tal que |G| > 2. Demuestreque |Aut G| es par.


Concluya de los ejercicios anteriores que si G es un grupo finito, entoncesAut G no es cıclico de orden impar > 1.

3.3.3 Ejercicio Sea G un grupo el cual contiene un subgrupo propio deındice ≤ 4. Demuestre que G no es simple.

3.3.4 Ejercicio Sea G un grupo abeliano de exponente k. Demuestre que(Z/k Z)∗ → Aut G. Sugerencia. Si (a, k) = 1, la funcion fa : G → G definidapor fa(x) = xa es un automorfismo de G.

3.3.1 Problema Sea G un grupo finito tal que Aut G es abeliano, ¿que sepuede decir de G?

3.3.2 Problema Dado un grupo finito G. ¿Cuales son los grupos finitosque satisfacen Aut X = G? Una referencia para estos problemas es: H.K.Iyer, Rocky Mountain Journal, vol. 9. 1979, paginas 653-670.

3.3.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo finito, T ∈ Aut G tal que T (x) = x implica x = e.Demuestre que para todo g ∈ G existe x ∈ G con g = x−1T (x).

2. Sea G un grupo finito, T ∈ Aut G. Si T satisface:

a) T (x) = x implica x = e

b) T 2 = idG.

Demuestre que G es abeliano.

3. Sea G un grupo y H ≤ G. Si para todo f ∈ Aut G se tiene que f(H) ⊆H, H se dice caracterıstico.

a) Para todo grupo G, Z(G) es caracterıstico.

b) Todo subgrupo normal de Sylow de G es caracterıstico.

c) Si K / G y (|K|, [G : K]) = 1, entonces K es caracterıstico.

Capıtulo 4

Grupos solubles y nilpotentes

En este ultimo capıtulo se considera una clase especial de grupos, los llamadosgrupos solubles. Estos grupos se relacionan estrechamente con problemas desolubilidad de ecuaciones polinomiales por radicales. Iniciamos haciendo ex-plıcitos algunos conceptos y terminologıa, entre estos el concepto de subgrupocaracterıstico, el cual en particular es normal.

4.1. Subgrupos caracterısticos

4.1.1 Definicion Sea G un grupo, H y K subgrupos de G, [H, K] deno-tara al subgrupo generado por hkh−1k−1 | h ∈ H, k ∈ K. Note que siH = K = G, entonces [H, K] es simplemente el subgrupo derivado de G.

Aunque ya dimos la definicion de subgrupo caracterıstico, dada su importan-cia, la hacemos explıcita.

4.1.2 Definicion Sea G un grupo, H ≤ G. Se dice que H es un subgrupocaracterıstico de G, denotado H car G, si f(H) ⊆ H para todo f ∈ Aut G.

4.1.1 Ejemplo 1. Si G es un grupo y G′ denota al subgrupo derivadode G, entonces G′ es caracterıstico, pues dado f , automorfismo de Gy a, b ∈ G, se tiene f(aba−1b−1) = f(a)f(b)f(a)−1f(b)−1, por lo quef(G′) ⊆ G′.

2. Si G es un grupo y Z(G) denota al centro de G, entonces Z(G) escaracterıstico, pues si a ∈ Z(G), f es un automorfismo de G y x ∈ G,entonces existe b ∈ G tal que f(b) = x, y de esto se obtiene f(a)x =

99

4.2. Grupos nilpotentes 100

f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) = xf(a), probando que f(a) ∈Z(G).

4.1.1 Observacion Si H car G, entonces H ¢ G.

El siguiente resultado establece algunas propiedades elementales de subgru-pos caracterısticos.

4.1.1 Teorema Sea G un grupo, H y K subgrupos de G.

(i) Si H car K y K car G, entonces H car G.

(ii) Si H car K y K ¢ G, entonces H ¢ G.

(iii) Si H ¢ G, entonces f(H) ¢ G para todo f ∈ Aut (G).

(iv) Si H ⊆ K, H car G y K/H car G/H entonces K car G.

Demostracion. (i) Sea f ∈ Aut (G), como K car G entonces f|K ∈ Aut (K);la hipotesis sobre H implica f|K(H) ⊆ H, probando que H car G.(ii) Dado fg ∈ Inn G, las hipotesis sobre H y K implican que fg(H) ⊆ H, esdecir H ¢ G.(iii) Sean f ∈ Aut (G), g ∈ G y h ∈ H. Mostraremos que gf(h)g−1 ∈ f(H),lo cual se obtiene debido a que g = f(x) para algun x ∈ G y xhx−1 ∈ H.(iv) Sea f ∈ Aut (G), lo supuesto sobre H implica que f induce un elemen-to f ∈ Aut (G/H) definido por f(gH) = f(g)H. La conclusion se obtieneinvocando la hipotesis sobre K/H.

4.2. Grupos nilpotentes

Dado un grupo G, se define una sucesion de subgrupos como sigue:

L1(G) = G, L2(G) = [G,G], . . . , Li(G) = [Li−1(G), G], ∀ i ∈ N.

La sucesion antes definida tiene las siguientes propiedades

4.2.1 Teorema Sea G un grupo, entonces:

(i) Li(G) car G para todo i.


(ii) Li+1(G) ⊆ Li(G) y Li(G)/Li+1(G) ⊆ Z(G/Li+1(G)) para todo i.

Demostracion. (i) Aplicaremos induccion sobre i. Para i = 1, 2 es claro puesL1(G) = G y L2(G) = G′, los cuales son caracterısticos. En general se verificafacilmente lo siguiente. Si f : G → G es un homomorfismo y H y K sonsubgrupos de G, entonces f([H, K]) = [f(H), f(K)], en particular esto secumple si f ∈ Aut (G) y H = Li(G).(ii) La primera parte se obtiene notando que Li(G) es un subgrupo normal deG, y de esto se concluye que [Li(G), G] ⊆ Li(G), es decir, Li+1(G) ⊆ Li(G).La segunda parte se deduce de la primera y del hecho general siguiente, elcual es inmediato. Si H y K son subgrupos normales de G entonces H/K ⊆Z(G/K) ⇐⇒ [H,G] ⊆ K.

4.2.1 Definicion Un grupo G se dice nilpotente si existe m ∈ N tal queLm(G) = e. Si m es el menor entero que satisface Lm = e, m − 1 sellama el ındice de nilpotencia de G.

4.2.1 Observacion G es abeliano ⇐⇒ L2(G) = G′ = e, es decir, losgrupos abelianos no triviales son de ındice de nilpotencia uno.

En conexion con la sucesion Li(G), la cual es decreciente, hay otra, la llamadaserie central definida como sigue: Z0(G) = e, Z1(G) = Z(G), y en generalpara i > 1, Zi(G) es el subgrupo de G correspondiente a Z(G/Zi−1(G)), bajoel teorema de la correspondencia. Aplicando induccion sobre i y el Teore-ma 4.1.1 (iv) se obtiene que Zi(G) car G para todo i. El siguiente resultadoexpresa la relacion entre las sucesiones que se han definido y proporcionaotra definicion de grupo nilpotente.

4.2.2 Teorema Un grupo G es nilpotente ⇐⇒ Zm(G) = G para algunm. Si G tiene ındice de nilpotencia m − 1, este es el menor entero tal queZm−1(G) = G.

Demostracion. (=⇒ Supongamos que G tiene ındice de nilpotencia m − 1.Mostraremos que Lm−r ⊆ Zr para todo r ∈ [[0,m−1]], en particular L1 = G ⊆Zm−1 de lo cual la conclusion se obtendra. La prueba es por induccion sobre r.Si r = 0, entonces Lm = e = Z0. Supongamos que Lm−i ⊆ Zi y probemosque Lm−i−1 ⊆ Zi+1. El Teorema 4.2.1 (ii) garantiza que Lm−i−1/Lm−i ⊆Z(G/Lm−i). En general se tiene el siguiente hecho.

4.2.1 Hecho Sea f : G → G1 un epimorfismo, entonces f(Z(G)) ⊆ Z(G1).


Demostracion. (del Hecho) Sea f(x) ∈ G1, con x ∈ Z(G). Dado y ∈ G1 existeb ∈ G tal que y = f(b), por lo tanto yf(x) = f(b)f(x) = f(bx) = f(xb) =f(x)f(b) = f(x)y. Una de las igualdades intermedias se tiene por pertenecerx al centro de G.(Regreso a la prueba del teorema) Por hipotesis Lm−i ⊆ Zi. Aplicando elTercer Teorema de Isomorfismo (Teorema 1.6.4) se obtiene

G

Zi

∼= G/Lm−i

Zi/Lm−i

,

de hecho el isomorfismo proviene de la proyeccion

π :G

Lm−i

→ G

Zi

, π(gLm−i) = gZi.

La proyeccion π es obviamente un epimorfismo, entonces se tiene la hipotesisnecesaria para poder aplicar la Observacion 4.2.1, es decir, π(Z(G/Lm−i)) ⊆Z(G/Zi). Como se noto antes, Lm−(i+1)/Lm−i ⊆ Z(G/Lm−i) y de estoπ(Lm−(i+1)/Lm−i) = Lm−(i+1)Zi/Zi ⊆ Z(G/Zi) = Zi+1/Zi. Probando la im-plicacion.⇐=) Supongamos que Zm(G) = G para algun m. Se probara que Lr+1 ⊆ Zm−r

para todo r ∈ [[0,m]], en particular Lm+1 ⊆ Z0 = e, lo que terminara laprueba. Aplicaremos induccion sobre r. Si r = 0, L1 = G = Zm. Suponga-mos que Li ⊆ Zm+1−i. Por definicion de Li+1 y de Zm+1−i se tiene Li+1 =[Li, G] ⊆ [Zm+1−i, G] y Zm+1−i/Zm−i ⊆ Z(G/Zm−i); esto ultimo implica[Zm+1−i, G] ⊆ Zm−i, concluyendo que Li+1 ⊆ Zm−i.

El siguiente resultado expresa algunas propiedades de grupos nilpotentes.

4.2.3 Teorema (i) Los subgrupos e imagenes homomorfas de grupos nil-potentes son nilpotentes.

(ii) El producto directo de grupos nilpotentes es nilpotente.

(iii) Los p-grupos finitos son nilpotentes.

Demostracion. (i) En general se tiene que H ≤ G implica Li(H) ⊆ Li(G),por lo tanto, si G es nilpotente, H es nilpotente. Supongamos que H ¢ G,entonces Z(G)H/H ≤ Z(G/H) y por induccion se deduce que la imagen deZi(G) esta contenida en Zi(G/H), por lo que Zm(G/H) = G/H para algunm.

4.3. Grupos solubles 103

(ii) Aplicando induccion sobre el numero de factores es suficiente probarque si A y B son grupos nilpotentes, entonces A×B es nilpotente. Note queZ(A×B) = Z(A)×Z(B). El resultado se obtiene aplicando el Teorema 1.7.2.(iii) La conclusion se obtiene inmediatamente recordando que el centro de unp-grupo finito es no trivial.

4.2.4 Teorema Sea G un grupo nilpotente y H un subgrupo propio, enton-ces H 6= NG(H).

Demostracion. Sea n el mayor entero tal que Zn ⊆ H y Zn+1 no esta con-tenido en H, tal entero existe por ser Zm = G para algun m. La eleccionde n implica Zn 6= Zn+1. Por otro lado tenemos [Zn+1, G] ⊆ Zn ⊆ H, puesZn+1/Zn = Z(G/Zn), por lo tanto [Zn+1, H] ⊂ [Zn+1, G] ⊆ H. De la defini-cion de NG(H) y la ultima inclusion de conjuntos se obtiene Zn+1 ⊆ NG(H).

El siguiente resultado establece una equivalencia para grupos nilpotentesfinitos, la cual resulta ser de gran utilidad en las aplicaciones.

4.2.5 Teorema Sea G un grupo finito, entonces G es nilpotente ⇐⇒ Ges isomorfo al producto directo de sus subgrupos de Sylow.

Demostracion. ⇐=) Se obtiene combinando las partes (ii) y (iii) del Teore-ma 4.2.3.(=⇒ Es suficiente mostrar que los p-subgrupos de Sylow de G son normales,lo cual se tiene del Teorema 4.2.4 y del Ejercicio 1, pagina 70.

4.3. Grupos solubles

4.3.1 Definicion Un grupo G se dice soluble, si existe una sucesion desubgrupos

G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gn = etal que Gi+1 ¢ Gi y Gi/Gi+1 es abeliano para todo i. La sucesion anterior sellama una sucesion soluble.

4.3.1 Teorema (i) Imagenes homomorfas y subgrupos de grupos solublesson solubles.

(ii) Sea H ¢ G tal que H y G/H son solubles, entonces G es soluble.


(iii) El producto directo de grupos es soluble ⇐⇒ cada factor lo es.

(iv) Los grupos nilpotentes son solubles.

(v) Si G es soluble no trivial, entonces G′ 6= G.

Demostracion. i) Sea H ≤ G con G soluble, entonces existe una sucesion

G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gn = eque satisface la Definicion 4.3.1.Afirmacion: la sucesion

H = H ∩G0 ⊃ H ∩G1 ⊃ · · · ⊃ H ∩Gn = etambien satisface la definicion citada. La condicion Gi+1 ¢ Gi implica

H ∩Gi+1 ¢ H ∩Gi, ∀ i = 1, . . . , n− 1.

Aplicando el Segundo Teorema de Isomorfismo, Teorema 1.6.3, pagina 42, seobtiene

H ∩Gi

H ∩Gi+1

=H ∩Gi

(H ∩Gi) ∩Gi+1

∼= Gi+1(H ∩Gi)

Gi+1

⊆ Gi

Gi+1

.

Esto ultimo y la hipotesis sobre Gi/Gi+1 implican que H ∩Gi/(H ∩Gi+1) esabeliano, probando lo que se afirmo. Sea G soluble y H ¢ G, mostraremosque G/H es soluble. Sea

G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gn = euna sucesion soluble. Las condiciones H ¢ G y Gi+1 ¢ Gi implican que G =HG0 ⊃ · · · ⊃ HGn = H ⊃ e satisface (HGi+1)/H ¢ (HGi)/H paratodo i, pues dado Hgi(Hgi+1)Hg−1

i = Hg1gi+1g−1i ∈ (HGi+1)/H, gi ∈ Gi,

gi+1 ∈ Gi+1. Consideremos la sucesion de subgrupos de G/H:

G

H=

HG0

H⊃ · · · ⊃ HGn

H= e.

Aplicando el Tercer Teorema de Isomorfismo, Teorema 1.6.4 pagina 43, a dosterminos consecutivos de la sucesion anterior se obtiene

HGi/H

HGi+1/H∼= HGi

HGi+1

=(HGi+1)Gi

HGi+1

. (∗)


Por otro lado se tiene que Gi+1 ⊆ Gi ∩HGi+1 ⊆ Gi. Aplicando nuevamenteel Tercer Teorema de Isomorfismo obtenemos

Gi/Gi+1

(Gi ∩HGi+1)/Gi+1

∼= Gi

Gi ∩HGi+1

∼= (HGi+1)Gi

HGi+1

. (∗∗)

El ultimo isomorfismo en la cadena anterior de isomorfismos se debe al Se-gundo Teorema de Isomorfismo, Teorema 1.6.3, pagina 42. Combinando (∗)y (∗∗) se concluye que el primer miembro de (∗) es abeliano, probando queG/H es soluble.(ii) Si H y G/H son solubles, el Teorema de la correspondencia, Teore-ma 1.6.5, pagina 44, garantiza que existen subgrupos G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃H tales que Gi+1 ¢Gi y Gi/Gi+1 es abeliano. La hipotesis sobre H completala anterior sucesion a una soluble.(iii) (=⇒ Cada factor directo es isomorfo a un subgrupo de G. Aplicando laparte (i) del teorema se concluye que los factores son solubles.⇐=) Se obtiene por induccion sobre el numero de factores aplicando la parte(ii) del teorema, para lo cual hay que notar que si G = G1×· · ·×Gn entoncesG/Gi

∼= G1 × · · ·Gi−1 ×Gi+1 × · · · ×Gn.(iv) Si G es nilpotente, el Teorema 4.2.1, pagina 101 implica que la sucesionLi(G) es una sucesion soluble.(v) Como G es soluble no trivial, existe un subgrupo propio G1 tal que G/G1

es abeliano y de esto se concluye que G′ ⊆ G1 por lo que G 6= G′.

Dado un grupo G se definen los conmutadores superiores de G como sigueG′ := [G,G], G′′ := [G′, G′], en general G(i+1) := [G(i), G(i)] para todo i ∈ N.El siguiente teorema proporciona una definicion de grupo soluble en terminosde los conmutadores de un grupo.

4.3.2 Teorema Sea G un grupo, entonces G es soluble ⇐⇒ G(n) = epara algun n.

Demostracion. (=⇒ Sea G = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gn = e una sucesionsoluble.Afirmacion. Gi ⊇ G(i) para todo i, en particular G(n) = e. Aplicaremosinduccion sobre i. Para i = 0 es claro. Supongamos que Gi ⊇ G(i), entoncesG(i+1) := [G(i), G(i)] ⊆ [Gi, Gi] = G′

i. Por hipotesis Gi/Gi+1 es abeliano, porlo tanto G(i+1) ⊇ G′

i ⊇ G(i+1), concluyendo la prueba de lo afirmado.⇐=) Los G(i)’s constituyen una sucesion soluble, pues G(i) car G para todo iy G(i)/G(i+1) es abeliano.


4.3.3 Teorema Sea n ≥ 5, An ≤ Sn el subgrupo alternante. Entonces An =A′

n.

Demostracion. Es suficiente mostrar que todo 3-ciclo es un conmutador, puesAn es generado por 3-ciclos. Sea (i j k ) un 3-ciclo, es directo verificar que(i j k )−1 = (k j i ). Como n ≥ 5, existen l, m ∈ [[1, n]] \ i, j, k. Entonces

[(i j k), (j k)(l m)] = (i j k)(j k)(l m)(i j k)−1 [(j k)(l m)]−1

= (i j k)(j k)(l m)(k j i)(j k)(l m)

= (i j k)(j k)(k j i)(j k)

= (k j i)

= (i j k)−1.

La tercera igualdad se debe a que (l m) es de orden 2 y conmuta con los ciclosajenos a este. En general se tiene [x, y]−1 = [y, x], por lo tanto (i j k) ∈ A′

n.

4.3.1 Corolario Sn no es soluble para todo n ≥ 5.

Demostracion. Si Sn es soluble, entonces An tambien lo es, Teorema 4.3.1(i), pagina 104, entonces A′

n 6= An, Teorema 4.3.1 (v), contradiciendo loestablecido en el Teorema 4.3.3.

4.3.4 Teorema El subgrupo alternante An es simple para todo n ≥ 5.

Demostracion. Primero daremos una prueba del Teorema 4.3.4 para el cason = 5, despues presentamos la prueba del caso general. Sea H un subgruponormal maximal de A5. El Teorema 4.3.3 y lo supuesto sobre H implicanque A5/H es simple y no abeliano de orden ≤ 60. Aplicando el Ejercicio 19,pagina 71, se tiene que |A5/H| = 60, de lo que se concluye H = e, probandoque An es simple. En la prueba del teorema se usara el siguiente:

4.3.1 Hecho Si n ≥ 5 entonces todos los 3-ciclos son conjugados en An.

Demostracion. (del hecho) Sea (ijk) un 3-ciclo, por el Teorema 2.1.9, pagi-na 60, existe σ ∈ Sn tal que (ijk) = σ(123)σ−1. Si σ ∈ An hemos terminado,de otra forma defina τ = σ(45). Como σ es impar y (45) tambien, entoncesτ ∈ An. Uno verifica que τ(123)τ−1 = (ijk).Regreso a la prueba del Teorema 4.3.4. El Ejercicio 5, pagina 62, garantizaque An esta generado por 3-ciclos. Por el hecho anterior, es suficiente mostrar


que si H 6= e es un subgrupo normal en An, entonces H contiene un 3-ciclo.Como |H| > 1, entonces existe un primo p que divide al orden de H y por elTeorema de Cauchy, Teorema 2.3.1, pagina 66, existe σ ∈ H tal que |σ| = p,entonces σ es producto dep-ciclos, digamos que el numero de p-ciclos es k.CASO I p > 3. Sea σ = (a1a2 · · · ap) · · · . Note que (a1a2 · · · ap)

−1 = (a1ap · · · a2),entonces se tiene por un calculo directo, σ(a1a2a3)σ

−1(a1a3a2) = (a1a4a2) ∈H.CASO II p = 3 y k > 1 (en el caso k = 1 no hay trabajo que realizar,pues σ es un 3-ciclo). Sea σ = (a1a2a3)(a4a5a6) · · · entonces se verifica queσ(a1a2a4)σ

−1(a1a4a2) = (a1a4a3a5a2) ∈ H y se ha regresado al caso I.CASO III p = 2.

III(a) k = 1, digamos que σ = (a1a2), entonces σ(a1a2a3)σ−1(a1a3a2) =

(a1a2a3) ∈ H.

III(b) k = 2, σ = (a1a2)(a3a4), entonces σ(a1a2a5)σ−1(a1a5a2) = (a1a2a3) ∈

H.

III(c) k > 2, σ = (a1a2)(a3a4)(a5a6) · · · . Un calculo directo demuestra queσ(a1a2a5)σ

−1(a1a5a2) = (a1a5)(a2a6) = σ1 ∈ H y se argumenta con σ1

como en III(b).

4.3.5 Teorema (Extension del Teorema 2.1.10) Si n ≥ 5 y 1 < k <n, entonces An no contiene subgrupos de ındice k.

Demostracion. Aplicar la tecnica del Teorema 2.1.2 y el Teorema 4.3.4.

4.3.6 Teorema (Version fuerte del Teorema 1.5.3) Sea G un gru-po finito.Entonces G es cıclico ⇐⇒ para cada divisor k, de |G| existe a lo mas unsubgrupo de orden k.

Demostracion. (=⇒ La misma prueba que en el Teorema 1.5.3.⇐=) La hipotesis sobre G y los teoremas de Sylow implican que los p-subgru-pos de Sylow de G son normales, por lo tanto G es nilpotente, Teorema 4.2.5,pagina 103. Para terminar la prueba es suficiente mostrar que los subgruposde Sylow de G son cıclicos, es decir el problema se ha reducido a probarque si un p-grupo P tiene a lo mas un subgrupo de orden pn para cada n,entonces P es cıclico. Sea |P | = pk. Aplicaremos induccion sobre k, siendo


claro para k = 1. Supongamos que el resultado es cierto para todos los p-grupos con cardinalidad < |P |. Como P es un p-grupo, entonces el centro deP , Z(P ) tiene cardinalidad al menos p, de lo cual se obtiene |P/Z(P )| < |P |.El Teorema de la Correspondencia, Teorema 1.6.5, pagina 44, implica queP/Z(P ) contiene a lo mas un subgrupo de orden pn para cada n, por lo tantola hipotesis inductiva implica que P/Z(P ) es cıclico, lo cual a la vez implicaque P es abeliano. La conclusion final se obtiene aplicando el Teorema 3.1.9,pagina 83.

Nota Final. Durante la elaboracion de este texto se consultaron varias re-ferencias, entre las que se encuentran: [4], [5], [7], [9], [10], [11], [12], [13],[14], [15], [17], [18], [19], [20], [21], [23], [24]. En ellas, el lector interesadoencontrara otros enfoques y discusiones mas amplias de los temas tratadosaquı.

4.3.1. Ejercicios

1. Sea G un grupo de orden p2q, con p y q primos. Demuestre que G essoluble. Nota: este resultado se cumple en una situacion mas general.Si |G| = pnqm entonces G es soluble (Teorema de Burnside).

2. Sea n 6= 4, entonces Sn no tiene subgrupos de ındice k, con 2 < k < n.Sugerencia: use los Teoremas 2.1.2, 4.3.4 y el hecho que Z(Sn) = epara n ≥ 3.

3. Pruebe el siguiente caso especial del teorema de Burnside: Si |G| = pqn

y p < q entonces G es soluble.

4. Sea G un grupo finito no trivial. Si G es soluble, entonces G contieneun subgrupo normal abeliano H 6= e; si G no es soluble, entonces Gcontiene un subgrupo normal H 6= e tal que H = H ′.

5. Sea G un grupo finito. Entonces G es nilpotente ⇐⇒ todo subgrupomaximal es normal.

6. Demuestre que los siguientes enunciados son equivalentes.

a) Todo grupo de orden impar es soluble.

b) Todo grupo simple finito tiene orden par.

Nota: El primer inciso fue probado por Feit y Thompson en 1963.


7. Sea G un grupo nilpotente de orden n y m un divisor de n. Demuestreque G contiene un subgrupo de orden m. ¿Es cierto el resultado paragrupos solubles?

8. Sea G nilpotente. Demuestre que |Z(G)| > 1.

Bibliografıa

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Indice alfabetico

AAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21abeliano

grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21accion

de un grupo en un conjunto . . 62afın

funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28transformacion . . . . . . . . . . . . . . . 28

ajedrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17algebraica

estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24algoritmo

euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Bbinaria

operacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Burnside

teorema de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Ccadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78canonica

descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . 81Cauchy

teorema de . . . . . . . . . . . . 52, 66, 67Cayley

teorema de . . . . . . . . . . . . . . . 51, 52centralizador

de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . 64ciclo

r-ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56ciclos

estructura en . . . . . . . . . . . . . . . . . 60clase

lateral derecha. . . . . . . . . . . . . . . .29lateral izquierda . . . . . . . . . . . . . . 29

clasesde conjugacion . . . . . . . . . . . . 59, 64residuales modulo n . . . . . . . . . . 18

congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17conjugados

elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 60subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

conjuntoG-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ddivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Eecuacion

de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64elemento

orbita de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63entero

divisor de un . . . . . . . . . . . . . . . . . 12libre de cuadrado . . . . . . . . . . . . . 28

112

INDICE ALFABETICO 113

enterosmodulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

epimorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27estabilizador

de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . 64Euler

funcion de . . . . . . . . . 34, 40, 92, 93

GGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17grupo

p-grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65(s)

abelianos finitos . . . . . . . . . . . . 77producto directo externo (defi-

nicion de) . . . . . . . . . . . . . . . . 47producto directo de . . . . . . . . . 46producto directo interno (defi-

nicion de) . . . . . . . . . . . . . . . . 47abeliano p-elemental . . . . . . . . . . 79alternante . . . . . . . . . . . . . . . 59, 106cıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26centro de un . . . . . . . . . . . . . . 29, 59cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34de permutaciones . . . . . . . . . 22, 29definicion de. . . . . . . . . . . . . . . . . .21diedrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86finitamente generado . . . . . . . . . 26Hamiltoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . 71lineal general . . . . . . . . . . . . . . . . . 22metabeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . 99, 100quaternio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 106soluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 103

Hhomomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Iisometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

primer teorema de . . . . . . . . . . . . 42segundo teorema de . . . . . . . . . . 42teoremas de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41tercer teorema de . . . . . . . . . . . . . 43

KKronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

LLagrange

teorema de . . . . . . . . . . . . . 8, 33, 61

Mmaximo

comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . 12monomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Nnumeros

teorıa de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11nilpotencia

ındice de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101normalizador

de un subgrupo. . . . . . . . . . . . . . .64

Oorden

de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . 23

Ppermutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

disjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57primo

numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

INDICE ALFABETICO 114

primos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13principio del buen orden . . . . . . . . . . 13producto

directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38semidirecto de grupos . . . . . . . . 74

proyeccionhomomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . .42

Sserie

central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101simetrıa

de un polıgono . . . . . . . . . . . . . . . 55singular

matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Smith

forma normal de. . . . . . . . . . . . . .16subgrupo

ındice de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 99conmutador. . . . . . . . . . . . . .37, 105de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34definicion de. . . . . . . . . . . . . . . . . .24derivado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 99generado por . . . . . . . . . . . . . . . . . 26maximal . . . . . . . . 52, 67, 106, 108normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

subgruposproducto de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

sucesionsoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

sumadirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Sylowsubgrupo de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67teoremas de . . . . . . . . . . . . 8, 65, 68

Tteorema

chino del residuo . . . . . . . . . . . . . 47de la correspondencia . . . . . . . . . 44fundamental de la aritmetica .14,

46, 57fundamental de los grupos abelia-

nos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 83transposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Tucson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

ZZorn

lema de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 67

Introducción a la Teoría de Grupos (SMM)

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Transcript of Introducción a la Teoría de Grupos (SMM)