diseño de experimentos SMM

7/31/2019 diseo de experimentos SMM

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1. Introduccin

s comn que en diferentes reas de estudio se con-

sideren problemas representados por muchas carac-tersticas de inters, y stas estn en funcin de unconjunto de factores de control. Para obtener el valor

de respuesta de esas caractersticas se recurre a una estrategiaexperimental. El tipo de diseo que se utiliza involucra la se-leccin de un conjunto de factores de inters tal que la combi-nacin de sus valores corresponda de la mejor manera a todaslas caractersticas de un producto. A este proceso se le conocecomo un diseo de optimizacin multi-respuesta, ya que lascaractersticas de inters se definen para varias respuestas.

En particular en procesos de carcter industrial es impor-tante tener modelos matemticos para explicar una o variascaractersticas, llamadas respuestas, de calidad de un produc-

to. La finalidad del modelo es estudiar la relacin entre k fac-tores X = (X1,...,Xk) (variables de control) y r respues-tas y = (y1,...,yr), para cada una de las cuales se proponeun modelo. En este trabajo se consideran modelos lineales ocuadrticos. El modelo cuadrtico general para dos factores ydos respuestas es

y1 = 0 +1X1 +1X2 +12X1X2 +11X21 +22X22 , (1)y2 = 0 +1X1 +1X2 +12X1X2+11X21 +22X22 . (2)La informacin que se genera para construir estos modelos seobtiene mediante diseo de experimentos [4]. Una vez obteni-dos, los modelos son evaluados mediante tcnicas estadsticasde mnimos cuadrados o mxima verosimilitud. Si los valores12,11,22,12,11 y 22 son estadsticamente significa-tivos iguales con cero entonces los modelos son lineales. Uti-lizando los modelos (1) y (2) se pueden plantear diferentesmodelos de optimizacin, por ejemplo:

Optimizar y1Sujeto a y2 l, donde l es un valor de inters en estudio

X est en la regin experimental.(3)

Este planteamiento es una aplicacin interesante de lasmatemticas a problemas de programacin lineal y optimiza-cin [21], ya que los modelos proceden de proyectos de in-ters en ingeniera o de situaciones reales en procesos in-dustriales. La programacin matemtica se usa para la tomade decisiones en varios niveles gerencia, produccin, entreotros en estos casos se emplean las funciones objetivo y res-tricciones. En problemas reales hay trminos en los que lasfunciones expresan cuestiones tales como ganancias y pr-didas, y las restricciones formulan temas relacionados conla inversin. En la actualidad existen diferentes lneas de in-vestigacin en optimizacin dinmica, teora difusa, algorit-mos gneticos, entre otros, para estudiar el modelo de op-timizacin (3). En resumen, el objetivo es definir un con-junto de factores X que proporcionen la mejor mediacin

simultnea de las r respuestas. A continuacin se har unabreve presentacin del problema de optimizacin para variasrespuestas.

Una aproximacin comn para resolver problemas de di-seo multi-respuesta es la siguiente; inicialmente las variablesde respuesta individuales son modeladas para crear una super-ficie de respuesta de un diseo experimental. A cada variablede respuesta se le aplica una transformacin de tal manera quetodas las respuestas se puedan combinar en una sola funcinllamada funcin objetivo. A partir de ah se varan los nive-les de los factores de forma tal que se puedan cumplir de lamejor manera los ptimos individuales hasta alcanzar un p-timo global xo = (x10,...,xk0). Aqu la palabra ptimo seusa como referencia para considerar los valores ms acepta-bles o ms deseables de las respuestas con respecto a cier-tas condiciones. El proceso de optimizacin multi-respuestatiene aplicacin en muchas reas del conocimiento y con ma-yor frecuencia en problemas de diseo en ingeniera [1]. Laoptimizacin multi-respuesta requiere encontrar caractersti-cas de las variables de control que generen un ptimo, o unvalor cerca del ptimo, tal que produzcan los mejores valo-res para cada una de las respuestas que se estn considerando.Las tcnicas de optimizacin multi-respuesta se pueden estu-diar mediante mtodos grficos y analticos.

CARTA INFORMATIVA 1


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La utilidad de la graficacin multi-respuesta se discute en[6], ah se presentan y comparan las ventajas y desventajas dela tcnica grfica con algunos mtodos analticos. Una de lasventajas del mtodo grfico es que permite generar varios es-cenarios de posibles soluciones ptimas [7], una lnea abiertaen esta direccin es incorporar la graficacin dinmica.

Otros caminos que han ido ocupando la atencin de los in-vestigadores en la optimizacin multi-respuesta tiene que ver

con las tcnicas multi-objetivo, las de lgica difusa y algorit-mos genticos, las que se sealan a continuacin.

En problemas de optimizacin multi-objetivo, es raro en-contrar que las soluciones ptimas den lugar a que todas lasrespuestas cumplan con su valor ptimo. Al estudio de res-puestas con ciertas metas establecidas se puede aplicar la fun-cin de deseabilidad o la de lgica difusa [13]. Esta teoraproporciona un camino natural para tratar problemas en loscuales la fuente de imprecisin es la ausencia de criterios biendefinidos.

Cuando el nmero de variables crece an de manera mo-derada en sus factores de control y de respuestas, los algo-

ritmos de optimizacin convencional pueden fallar para en-contrar un ptimo global. Una aproximacin alternativa es unprocedimiento de bsqueda heurstica tal como el de los algo-ritmos genticos mediante la lgica difusa [22].

Este trabajo tiene por objetivo desarrollar el modelo deoptimizacin multi-objetivo utilizando mtodos de programa-cin lineal para obtener un ptimo global. Tambin se presen-tan varios planteamientos de optimizacin que reducen el pro-blema de multi-respuesta a una funcin simple. Se considerancinco funciones simples para encontrar un ptimo global, y seutilizan tcnicas grficas como complemento de optimizacinpara resaltar soluciones alternativas. Se hace una evaluacincomparativa de los resultados que se alcanzan a travs de las

cinco funciones. Dentro de estas cinco funciones que se es-tudian, una se plantea en el contexto de lgica difusa. La es-trategia de esta presentacin consiste en hacer el planteamien-to terico del tema a tratar e ilustrar mediante ejemplos.

2. Optimizacin multi-objetivo

2.1. Descripcin del problema

El diseo de experimentos se ha aplicado de manera impor-tante para mejorar la calidad de procesos y productos y adi-cionalmente para hacer que estos productos sean robustos ante

condiciones extremas.La informacin se genera mediante un esquema experi-

mental, y se presenta mediante una matriz D(nk), donde nes el nmero de combinaciones (tratamientos), de valores delos k factores (X1,...,Xk). Las X s son variables de entradaal proceso, y pueden ser numricas (continuas o discretas), ono numricas (ordinales o nominales). Por ejemplo, para unproceso especfico, si un factor es la temperatura, entonces lavariable correspondiente X puede tomar valores entre 30 0Cy 120 0C. Por lo general en una estrategia experimental slose toman dos o tres valores entre ese rango.

Existen varios esquemas experimentales que se puedenutilizar, tales como, diseos factoriales, diseos factorialesfraccionados, diseo Box - Behnken, diseo central compues-to y diseos ptimos, entre otros [2]. Suponga que se tienen rrespuestas para cada una de las n combinaciones. Con la in-formacin generada por el experimento se pueden modelar demanera individual cada una de las r respuestas. Por lo generalestos modelos son lineales y de forma cuadrtica y estn en

funcin de los k factores. As para r respuestas se tienen rmodelos. El jsimo modelo, un polinomio de grado s, parala respuesta Yj se escribe como:

Yj = Zt(x)j + j , j = 1,...,r, (4)

donde Z(x) es una matriz de orden (n q), que representa alos n tratamientos, q elementos que consisten en un trminoconstante, en potencias y productos de potencias (mayor iguala 1). Para el caso s = 2,

Z(x) = (1, X1,...,Xk, X21 ,...,X

2k ,

X1X2, X1X3,....,Xk

1Xk)

y

j = (j0, j1,...,jk , j11,...,jkk, j12, j13,...,jk1k)t.

Para el caso s = 2, el modelo (4) se puede reescribir como:

Z(x)j = j0 + Xj + XtBj X, j = 1,...,r, (5)

donde Xt = (X1,...,Xk) es un vector de k variables de con-trol, 0 es constante, t = (1,...,k) un vector de par-metros y B = (11,...,1k, k1,...,kk) una matriz simtri-

ca de parmetros de segundo orden. En esta situacin q =k(k+3)2 + 1, corresponde al nmero de trminos: constantes,

lineales y de segundo orden; j es una variable aleatoria. Lateora que se expondr en esta presentacin se har bajo elsupuesto de que j sigue una distribucin normal con me-dia cero y varianza 2j , es decir: j N(0, 2j ). Es tam-bin relevante considerar esta temtica de optimizacin multi-respuesta para el caso de que esta variable aleatoria j sigauna distribucin de probabilidad no-normal.

El problema consiste en determinar la combinacin de losfactores que produzca el ptimo global, es decir que todas lasrespuestas den su "mejor"valor. Generalmente, el problemade programacin multi-objetivo se plantea como sigue:

Optimizar Y1.Sujeto a Y2 = O1,

Yr = Or1,xR, R : regin experimental,

(6)

donde los valores Oj (j = 1,...,r1) representan considera-ciones importantes o restricciones para las respuestas y cada

2 SOCIEDAD MATEMTICA MEXICANA


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Yj es un vector de observaciones en los n tratamientos. Unplanteamiento ms general del problema de optimizacin enpresencia de j objetivos Oj flexibles j = 1,...,r y l restric-ciones gl(x) en esta presentacin se utiliza el caso xR, R :regin experimental, as:

Optimizar [Y1, Y2,...,Yr],Sujeto a gl(x), l = 1, 2,...,m.

(7)

Como resultado de la estrategia experimental los modelosYj se sustituyen por los mejores modelos que genera el mto-do de mnimos cuadrados, [2] y [16] y el j-esimo modelo demanera simplificada se expresa por:

Yj = Z(x)j . (8)La solucin por el mtodo de mnimos cuadrados es j =[(Z(x))tZ(x)]1(Z(x))tYj , siendo Z(x) una matriz de or-den (n q), donde n es el nmero de tratamientos y para elcaso en que el modelo sea de segundo orden, es decir s = 2,q = k(k+3)2 + 1 es el nmero de trminos, constante, lineales,

cuadrticos e interacciones de segundo orden cada Yj es unvector de valores predichos por el modelo en los n tratamien-tos y stos se sustituyen en los planteamientos (6) y (7).

Ejemplo 1

Con el propsito de ilustrar el planteamiento general del pro-blema y para mostrar el proceso de optimizacin usando losdiferentes mtodos, presentaremos un ejemplo clsico que seha usado con frecuencia en la literatura.

Se trata de la elaboracin de un queso y se desea cono-cer la combinacin de los efectos de la cistina (cuajo): X1y el clorido de calcio: X2 en la texturizacin y en las car-actersticas de agua-caliente dializada en una concentracin

de protena de suero en un gel. En este proceso experimentalse aplic un diseo central compuesto, en el que cada fac-tor Xi (i = 1, 2) tiene cinco valores, como se muestra en laTabla 1. Las caractersticas de la textura son medidas por ladureza Y1, cohesividad (coherencia) Y2, elasticidad Y3, y elagua comprimible Y4. Este estudio fue desarrollado por [23]y el experto en este tipo de procesos consider como objetivoalcanzar los mximos simultneos para las cuatro variables.El diseo que se utiliz en este estudio fue el central com-puesto. Con el fin de brindar una mayor claridad en este es-quema, a continuacin se presentan las caractersticas princi-pales de este tipo de diseo y son las que se utilizarn en estaexposicin. Para ms informacin sobre este diseo consultaren [19] y [16].

Diseo central compuesto.

Este esquema experimental consiste de:

1. Un diseo factorial 2k, donde los niveles de los factores(valores) son valores codificados, usualmente -1 y 1,como se ver ms adelante.

2. Dos puntos axiales en los ejes de cada factor del dis-eo a una distancia del centro del diseo, en total 2kpuntos.

3. Un nmero no de puntos en el centro del diseo (no 1). El total de pruebas experimentales que se realizanen el diseo central compuesto es: 2k + 2k + no.

La Figura 1 ilustra la disposicin de estos puntos para loscasos k = 2 y k = 3. En la grfica izquierda de la Figura 1, elcuadro corresponde a los puntos 22, los puntos y (lla-mados puntos axiales) son los 2k = 2(2) puntos, dos puntos

axiales para cada factor y no es el nmero de tratamientos enel centro.De manera anloga, en la grfica de la derecha en la Figu-

ra 1, se tiene la descripcin para tres factores. El valor de corresponde a las propiedades de rotabilidad del diseo a laortogonalidad, aqu slo se considerar la primera, en tal caso = 4

(2k), el valor de no se escoge tambin en base a estas

dos propiedades. En particular para la propiedad de rotabili-dad no = 4 si k = 2 y no = 6 si k = 3, los detalles originalesde este diseo los introdujeron [3].

Figura 1: Diseos central compuesto para dos y tres factoresrespectivamente.

Para los datos del ejemplo 1, en la Tabla 1 se muestranlos valores reales de los dos factores. Dado que los factores seexpresan en diferentes unidades, se transforman los valoresoriginales mediante la ecuacin

xi =Xi (max(Xi) + mn(Xi))/2

0.5 [max(Xi) mn(Xi)] , i = 1,...,k. (9)

A estos xi se les conoce como valores codificados y semuestran en el primer rengln de la Tabla 1.

X\x = 2 1 0 1 = 2X1 Clorido de calcio 2.6 8.0 21.0 34.0 39.4X2 Texturizacin 2.5 6.5 16.2 25.9 29.9

Tabla 1: Caractersticas de los factores de control X.

En la Tabla 2 se describe en las columnas correspondien-

tes a x1 y x2 el diseo central compuesto para dos factores yen este caso no = 5, en las ltimas cuatro columnas se mues-tran los valores de las cuatro respuestas para cada uno de lostratamientos.

La matriz Z(x) para este ejemplo corresponde a los n =13 renglones correspondientes a los tratamientos y a las colum-nas de la 2 a la 7, es decir q = 6, (q = 2(2 + 3)/2 + 1).Los resultados de mnimos cuadrados para cada uno de los4 modelos se obtiene por:

j = [(Z(x))

tZ(x)]1(Z(x))tYj .

CARTA INFORMATIVA 3


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Tratamiento cte. x1 x2 x1x2 x21 x

22 Y1 Y2 Y3 Y4

1 1 1 1 1 1 1 2.48 0.55 1.95 0.222 1 1 1 1 1 1 0.91 0.52 1.37 0.673 1 1 1 1 1 1 .71 0.67 1.74 0.574 1 1 1 1 1 1 .41 0.36 1.20 0.695 1 2 0 0 2 0 2.28 0.59 1.75 0.336 1

2 0 0 2 0 0.35 0.31 1.13 0.67

7 1 0

2 0 0 2 2.14 0.54 1.68 0.42

8 1 0 2 0 0 2 0.78 0.51 1.51 0.579 1 0 0 0 0 0 1.50 0.66 1.80 0.44

10 1 0 0 0 0 0 1.66 0.66 1.79 0.5011 1 0 0 0 0 0 1.48 0.66 1.79 0.5012 1 0 0 0 0 0 1.41 0.66 1.77 0.4313 1 0 0 0 0 0 1.58 0.66 1.73 0.47

Tabla 2: Esquema experimental y las respuestas en cada tratamiento.

En la Tabla 4 se muestran los coeficientes de regresin paralos cuatro modelos, lo que equivale a representar la ecuacin(8), adems se presenta la informacin estadstica comple-

mentaria como son el error cuadrtico medio CMerror y elcoeficiente de determinacin R2. El primero es un estimadorde 2 y el segundo indica qu porcentaje de la variabilidadtotal es explicada por el modelo. Las expresiones correspon-dientes son:

CMerror(j) = (Yj Yj )t(Yj Yj )/(N q), (10)y

R2 = 1 (Yj Yj )t(Yj Yj )

(Yj Yj )t(Yj Yj ). (11)

Solucin

En esta parte se presenta la descripcin grfica de los mode-los para evaluar si existe alguna relacin entre ellos. A con-tinuacin se muestra los modelos ajustados por mnimos cua-drados y sus ptimos individuales. En la Figura 2 se muestrala relacin entre las cuatro variables de respuesta.

Figura 2: Matriz que describe la relacin por pares entre lascuatro variables de respuesta.

Se puede notar en la Figura 2 que existe una consistenterelacin inversa entre las variables de respuesta Y1 y Y4 y

entre Y3 y Y4, y ms leve esa tendencia entre Y2 y Y4; en esesentido cuando se desea maximizar las respuestas Y1, Y2, y Y3entonces Y4 disminuir ms en el caso de Y1 y Y3. En el con-

texto del problema, se puede decir que la respuesta Y4 (el aguacomprimible) est inversamente relacionada con las respues-tas Y1 (dureza) Y2 (cohesividad) y Y3 (elasticidad). Ante estasituacin se tiene que valorar la importancia de cada respues-ta en el proceso real para ver que conviene ms, si sacrificarla respuesta Y4 o encontrar un equilibrio entre las cuatro res-puestas. Este escenario se considerar en el procedimiento deoptimizacin simultnea. En la fase de maximizar las respues-tas Y1, Y2 y Y3 no hay mayor complicacin porque existe unarelacin directa entre ellas, sin embargo, es importante con-siderar la eficiencia de los mtodos de optimizacin ante lacorrelacin de las variables de respuesta. Los planteamientosde optimizacin consideran la importancia de las funciones

mediante pesos wj , los cuales se discutirn ms adelante.Se aplica el principio de mnimos cuadrados a cada una

de las respuestas, para fijar ideas en la Tabla 3 se presentaun resumen del reporte y anlisis estadstico para la variablede respuesta Y1. En la columna 2 aparece el valor del coefi-ciente que genera mnimos cuadrados = (XtX)1XtY,la matriz de varianza-covarianza del vector esta dada por laexpresin Var() = (XtX)12; donde, en la matriz princi-pal C = (XtX)12, la entrada ii es cii2 y corresponde ala varianza de i, el i simo elemento de . El error estndardel coeficiente de regresin

i, es ES(

i) =

V ar(

i) =

(XtX)1ii 2, donde 2 = CMerror . En la columna 3 dela Tabla 3 estn estos resultados, y el CMerror = 0.040, elcual se obtiene a partir de la expresin (10). En la columna 4,t corresponde a un valor de la distribucin t de Student N qgrados de libertad y sta se obtiene del cociente entre el coefi-

ciente de regresin y el error estndar

ES(), la probabilidad

que deja a la derecha en esta distribucin es la que apareceen la columna 5 y para evaluar la significancia este valor secompara con un valor de referencia, establecido de maneraconveniente, = 0.05. Si p < , se dice que el factor corres-pondiente es significativo, como se ha sealado en la Tabla 3.



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(Nota: todos los clculos se redondearon a milsimas).

Trmino Coeficiente ES t pconstante 1.526 0.089 17.071 0.000+x1 -0.575 0.071 -8.136 0.000+x2 -0.524 0.071 -7.417 0.000+x12 0.318 0.100 3.177 0.016x21 -0.171 0.076 -2.250 0.059

#

x22 -0.098 0.076 -1.293 0.237

Tabla 3: Resumen estadstico para la respuesta Y1. + alta-mente significativos, significativo, # ligeramente significa-tivo.

Un anlisis similar se hace para las otras 3 respuestas, enla Tabla 4 se muestran los coeficientes de regresin para loscuatro modelos y se seala si resultaron significativos. Cabeobservar que aunque el anlisis estadstico de los modelos lle-va ms detalles, aqu es suficiente este resumen estadsticopara la aplicacin de la optimizacin multi-respuesta.

El modelo para la respuesta 1 es:Y1 = 1.530.57x10.52x2 + 0.32x1x20.17x210.10x22,(12)

de manera anloga se escriben los otros tres modelos. En lagrfica derecha en la Figura 3 se muestra la superficie de res-puesta para el modelo de respuesta Y1, a la izquierda estnlas regiones de respuesta y las lneas que separan las regionesson las curvas de nivel. A simple vista, se puede observar queel mximo de la respuesta est aproximadamente en el pun-to xo = (1.41,1.41), este punto coincide con el ptimoen el proceso de optimizacin

Y1(xo) = 3.178 (Tabla 5). El

ptimo se obtiene mediante la derivada del modelo (12); en

general para el modelo de segundo orden xo esxo = 0.5tB1, (13)

donde t = (0.575,0.524) y B = 1.17 0.160.16 0.10

.

En la Tabla 5 se presenta un resumen de los ptimos paracada respuesta.

Figura 3: Superficie de respuesta y curvas de nivel para elmodelo Y1.

En la diagonal principal formada por las columnas 2 a la5 en la Tabla 5 se obtienen los mximos, objetivo del pro-blema, para cada una de las cuatro respuestas. Fuera de esadiagonal se observan tres respuestas evaluadas en el mxi-mo de la otra, y se puede notar que mientras una alcanza el

ptimos Y1(xjo) Y2(xjo) Y3(xjo) Y4(xjo)x1o= (1.41,1.41) 3.178 0.36 1.78 0.11x2o= (0.58, 0.26) 1.60 0.685 1.84 0.44x3o= (0.82,0.54) 2.29 0.63 1.899 0.31x4o= (1.41,1.41) 0.29 0.37 1.04 0.815

Tabla 5: Solucin ptima para cada respuesta.

mximo las otras estn distantes de su mximo. En particularen el ltimo rengln de la Tabla 5, mientras Y4 adquiere sumximo las otras tres respuestas tienen un valor lejos de sumximo. A .ojo", en el rengln 3 se obtiene un valor en xoque resulta adecuado para este proceso, ya que en este casolas cuatro respuestas muestran un ptimo global, como se in-dicar ms adelante. En el proceso de optimizacin global sever si se puede obtener un mejor valor comn para las cua-tro respuestas. El siguiente paso es encontrar el ptimo globalque satisfaga lo mejor posible en un mximo para todas lasrespuestas.

Primero se expondrn los mtodos y planteamientos deoptimizacin, los primeros corresponden a lo que se compren-der por programacin lineal y en los segundos se considerala construccin de una funcin de respuesta simple que repre-sente a la multi-respuesta.

Cuando se trata con ms de una variable de respuesta,las regiones o curvas de nivel, como se muestra en la Figu-ra 3, se pueden sobreponer. Para fijar ideas se utilizarn lasprimeras dos respuestas, tal como se describe en la Figura 4.La regin sombreada indica una solucin factible comn paraestas dos respuestas, y se tiene que

Y1 1.6 y

Y2 0.67.

En esta situacin se ve que la respuesta cohesividad

Y2, prc-

ticamente, alcanza el mximo y la respuesta dureza Y1, anpuede tener mejores valores. El punto en la Figura 4 es(x1, x2) = (0.47,0.30), y se obtuvo moviendo las curvasde nivel de la respuesta Y1. En este punto se interceptan lascurvas de nivel correspondientes a las dos respuestas Y1 y Y2,los valores son Y1 = 1.95 y Y2 = 0.67 respectivamente. Enrelacin al problema, se tiene que estos valores para la durezay cohesividad se alcanzan cuando el factor X1 tiene un nivelde clorido de calcio equivalente a 14.89 unidades y el factorX2 equivale a un nivel de texturizacin de 13.29 unidades, es-tos valores se obtienen en referencia a la Tabla 1. Se observade la grfica que si

Y1 aumenta la otra variable disminuye.

En la Figura 5 se sobreponen las cuatro variables de res-puesta, en el punto se encuentra un valor comn para lascuatro respuestas que se aproxima a ser un posible ptimoglobal, (x1, x2) = (0.33,1.40). Aplicando la expresin (9),se obtiene el valor ptimo real 25.29 para el clorido de calcioy 2.62 en la texturizacin. Como puede observarse en la grfi-ca se generan varias regiones de soluciones ptimas posibles.

Es frecuente que en el rea de biotecnologa de alimentosse realicen experimentos con varias variables de respuesta,por ejemplo [24] evaluaron varios tratamientos de lavado paramejorar la calidad de carne desmenuzada de salmn.

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Coeficientes Respuesta Y1 Y2 Y3 Y40 1.526+ 0.66+ 1.78+ 0.47+1 -0.575+ -0.092+ -0.25+ 0.13+2 -0.524+ -0.010 -0.078+ 0.073+12 0.318 -0.070+ 0.01 -0.082+

11 -0.171 -0.096

+ -0.16+ 0.026

22 -0.098# -0.058+ -0.08+ 0.024

CMerror 0.040 .5103 0.003 0.002R2 0.952 0.987 0.977 0.949

Tabla 4: Coeficientes de regresin para cada uno de los cuatro modelos y el CMerror. + altamente significativos, significativo,# ligeramente significativo.

Figura 4: Sobreposicin de los modelos Y1 y Y2, y descripcinde una solucin ptima especfica para estas dos respuestas.

3. Mtodos de optimizacinSe han optimizado los modelos de superficie de respuesta Yjencontrando el punto estacionario x0 = 12tB1, segnse estableci en (13). Puede ocurrir que el punto estacionariosea un punto cordillera por lo que es necesario establecer unprocedimiento para llevar x0 a un punto que sea una respues-ta mxima o mnima. Para solucionar este caso el mtodo deLagrange es una alternativa. Cabe la posibilidad del que elpunto x0 sea un punto fuera de la regin experimental, en talcaso se busca cmo permanecer dentro de la regin experi-mental. El mtodo [20] es una opcin que se puede aplicara los planteamientos de optimizacin que se vern ms ade-

lante en el apartado 1.4, en particular se propone en este tra-bajo porque es muy eficiente en el proceso de optimizacin.Los planteamientos en los modelos (6) y (7) requieren pro-cedimientos de optimizacin con restricciones, en este casola programacin cuadrtica es una posibilidad para encontrarun ptimo global. En este apartado se expondrn estos mto-dos de optimizacin numrica.

La naturaleza del punto estacionario x0 (ptimo) se deter-mina por los valores propios (eigenvalores) i i = 1,...,k,de la matriz B. Si i < 0 para toda i, se tiene un mximo, sii > 0 para toda i, se tiene un valor mnimo, si i tiene signos

Figura 5: Una solucin ptima comn al sobreponerse lascuatro variables de respuesta.

alternados (positivos, negativos) entonces el punto x0 es unpunto silla. Cuando se tiene un punto silla, es deseable buscarun punto que maximice o minimice la respuesta; la estrate-gia para alcanzar esa meta se conoce como anlisis cordillera(ubicar el ptimo). El propsito del anlisis de cordillera esencontrar puntos que maximicen (minimicen) la respuesta Ycon la restriccin de que los puntos estn en una esfera radior con centro en el punto xt = (x1,...,xk) = (0, ..., 0) y stadebe estar contenida en la regin experimental R. Considereel modelo ajustado de segundo orden Yj (para fijar ideas seconsidera el caso para una sola respuesta, es decir j = 1),dado por:

Y1 = 0 + xt

+ xt

Bx.El planteamiento es como sigue:Maximizar Y1sujeto a

xtx = r2

donde xt =(x1,...,xk) y el centro de la regin experimentales (x1,...,xk) = (0,..., 0).

El mtodo de Lagrange:Se aplica el mtodo de Lagrange: maximizar (minimizar)



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L(x) = Y1(x) (xtx r2), (14)donde es el multiplicador de Lagrange y x = (x1,...,xk ).Derivando (14) con respecto a cada xi se tiene

L(x)

x=

+ 2

Bx 2x, (15)

igualando a cero se tiene

(B I)x = 2

. (16)

Una solucin x de la ecuacin (16) en r2 = xtx se en-cuentra sustituyendo un valor de , El valor de tiene unefecto en la naturaleza del punto ptimo x0, ya sea que se de-see un resultado mximo Y1 dentro de r o un mnimo Y1 en r.Una seleccin adecuada de depende de los valores propiosde B. As las siguientes reglas permiten plantear la seleccinde los valores de :

Si 1 > donde es el valor propio ms grande de B

, entonces x es una solucin de la ecuacin (16) en elque Y1, alcanza un mximo en r2 = xtx.Si 1 < , donde es el menor valor propio de B, en-tonces x es una solucin de (16) en donde Y1, obtieneun mnimo local en r2 = xtx. El algoritmo correspon-diente para el anlisis de cordillera lo discute [17].

El mtodo simplex de Nelder-Mead.

Considere la minimizacin de una funcin de k varia-bles, donde y = f(x1, x2,...,xk) es el valor observado dela funcin en x1, x2,...,xk. Sea P0, P1,...,Pk los k + 1 vr-tices de un simplex k-dimensional. Se inicializa un simplex

de n + 1 puntos, por ejemplo un tringulo en un espacio bi-dimensional o un tetraedro en un espacio tri- dimensional.Una forma de preparar un simplex es comenzar con un puntoinicial P0, los otros n puntos Pi se pueden tomar como

Pi = P0 + iei, i = 1..., n,

donde los ei son vectores unitarios que forman la base delespacio ndimensional y i es una constante que refleja lalongitud de la escala en el problema de optimizacin. Se de-nota la funcin en el punto Pi por yi = f(Pi) y se definenyh = maxi(yi) y yl = mni(yi). Se considera P como elpromedio (centroide) de los n + 1 puntos, con i = j, (PiPj )representa la distancia de Pi a Pj . Cada ciclo del mtodoinicia reflejando Ph y al punto que se obtiene se le llamaP(punto de reflexin). A partir del valor de la funcin enP, se tienen cuatro posibles operaciones que cambian el es-tado del simplex. Estas cuatro operaciones son: 1. La reflexinms all de Ph. 2. Reflexin y expansin ms all de Ph. 3.Contraccin de la lnea conectando Ph y P. 4. Encogimientohacia Pl a lo largo de toda la dimensin. En la Figura 6 seilustran estos procedimientos.

A continuacin se describe el ciclo completo del mto-do simplex como lo presentan [11], ste mtodo lo proponen[20].

Figura 6: Las cuatro operaciones bsicas para el mtodo sim-plex.

Se definen cuatro intervalos:I1: {y | y yl}; I2: {y | yl < y maxi(yi), i = h};I3 :

{y|

maxi(yi) < y

yh, i= h

}e I4:

{y|

yk < y}

.El ciclo completo requiere de los siguientes 4 pasos:

1. Reflexin: Se define el punto de reflexin P y su valory como

P = P + (P Ph),y = f(P),

donde el coeficiente de reflexin es una constantepositiva. AsP est en la lnea que une a Ph y P, enel lado opuesto a P de Ph. Dependiendo del valor y,se tienen las siguientes acciones;

a) Si yI1, vaya a expansin.

b) Si yI2 , remplace Ph con P y finalice este ci-clo.

c) Si yI3 , remplace Ph con P y vaya a contrac-cin.

d) Si yI4 , vaya a contraccin.

2. Expansin: Se define el punto expansin P y su valory como

P = P + (P P),y = f(P),

donde el coeficiente de expansin es mayor que launidad. Si y est en I1, remplace Ph con P y fina-

lice el ciclo. De otra manera, remplace Ph con el puntoP de la reflexin original y finalice el ciclo.

3. Contraccin: Defina el punto de contraccin P y suvalor y como:

P = P + (Ph P),y = f(P),

donde el coeficiente de contraccin est entre 0 y 1. Siy est en I1, I2 o I3 remplace Ph con P y finaliceel ciclo. De otra manera, vaya a encogimiento.

CARTA INFORMATIVA 7


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4. Encogimiento: Remplace cada Pi con (Pi + Pl)/2 yfinalice el ciclo.

Es de inters observar que se puede recurrir a MATLABen el apartado de optimizacin para la aplicacin del algorit-mo de Nelder Mead.

El mtodo de programacin cuadrtica

El modelo de optimizacin establecido en la expresin(6) se puede replantear como un problema de programacincuadrtica y la representacin general para este caso es:

minimizar 12 xtBx + xt

sujeto a atix =bi iEatix bi iIxtx r2,

(17)

donde E e I son ndices para la igualdad o desigualdad derestricciones. La matriz B es simtrica y semidefinida positi-va. En este caso

B representa los trminos de segundo orden

del modelo de regresin.Para la solucin a este problema de programacin cuadrti-

ca se aplica el mtodo de Lagrange, donde las restriccioneslineales se plantean como los gradientes de los modelos deregresin de segundo orden para cada uno de los modelos.

La programacin cuadrtica se simplifica, y se puede re-solver en forma cerrada, si algunas de las restricciones seplantean como la igualdad. As el planteamiento es:

minimizar 12 xtBx + xt

sujeto a Ax =bxtx r2.

(18)

En este caso la solucin existe y es nica si la matriz Aes de rango completo y la matriz B es definida positiva. Lacondicin necesaria de Lagrange para este problema es:

Bx + At + = 0 (19)Ax b = 0.Este planteamiento corresponde a un sistema de k + m

ecuaciones en los k + m trminos desconocidos de x y . Acontinuacin se describe un lema que estable la relacin entrelas ecuaciones. Una exposicin ms detallada de ste mtodose puede consultar en [18] y en [21].

Lema [18] Sean B y A matrices de orden k k y m krespectivamente. Suponga que A tiene rango m y B es defini-da positiva en el subespacio M = {x : Ax = 0}. Entonces lamatriz: B At

A 0

,

es no singular.Existen varios mtodos para resolver el sistema (19), en

particular se puede usar un mtodo eficiente para resolver elsistema de ecuaciones.

Como B es definida positiva entonces una frmula ex-plcita para la solucin del sistema se puede generar comosigue: de la primera ecuacin de (19) se tiene:

x = B1At B1.Sustituyendo esta ecuacin en la segunda de (19) se ob-

tiene que:

AB1At AB1 b = 0,de sta resulta:

= (AB1At)1 AB1 +b ,y

x = B1 I At AB1At1AB1+

B1

At

A

B1At

1

b.

Esta representacin es til en desarrollos tericos.

4. Planteamientos de optimizacin

multi-respuesta

A continuacin se indican las referencias de algunos proced-imientos de optimizacin desarrollados por diferentes autores.La expresin (6) describe el planteamiento tpico de un pro-blema de programacin lineal, la solucin es un valor xo deX, que genera una respuesta ptima global bajo estas condi-ciones. Entre las ventajas de este procedimiento est su plan-

teamiento matemtico y que puede ser resuelto mediante unahoja de clculo. Existen otros procedimientos analticos efi-cientes de optimizacin, cuyo principio consiste en transfor-mar la variable de respuesta j esima descrita en el modelo(8) a una escala de valores, denominada valor deseable u ysus valores estn entre 0 y 1. Este valor crece conforme serequiera el mejor valor de la variable de respuesta correspon-diente:

uj (Yj (x)) =

0 si Yj (x) < Ymnj o

Yj (x) > Ymax

j ,

1

MjYj(x)

MjYmn

j

si Ymnj Yj (x) Mj ,

1 Yj(x)MjYmaxj

Mj si Mj Ymaxj .

(21)Si se desea maximizar, Mj = Ymaxj va en la segunda fun-

cin en (20). Esta situacin se ilustra en la grfica intermediaen la Figura 7, y la expresin es:

uj (Yj (x)) = 0 si Yj (x) < Ymnj ,1 Y

maxjj Yj(x)

Ymaxj

Ymnj

si Ymnj Yj (x) Ymaxj ,1 si Yj (x) > Ymaxj .

(22)La grfica tercera en la Figura 7 muestra el caso no-lineal dela funcin uj (Yj (x)).

Figura 7: Tres representaciones para alcanzar el grado desatisfaccin con respecto a una respuesta, las primeras doslineales y la segunda no lineal.

4.1. Funcin de deseabilidad

La funcin de deseabilidad (DE) fue propuesta por [10], y suexpresin clsica se obtiene a partir de la expresin (20) es de-cir dj = d(

Yj (x)) = uj (

Yj (x)). En este caso se supone que

el grado de satisfaccin de un experimentador, con respecto a

la j sima variable, es maximizada cuando Yj (x) es igual a suvalor Mj y decrece conforme Yj (x) se aleja de Mj . Si Ymnj yYmaxj representan respectivamente las cotas mnima y mxi-ma, entonces no se acepta como solucin aquel punto x parael cual Yj (x) < Ymnj o para el cual Yj (x) > Ymaxj . As elgrado de aceptacin con respecto a la respuesta se modela co-mo una funcin montona decreciente de 1 en Yj (x) =Mj a0 en Yj (x) < Ymnj o Yj (x) > Ymaxj . La deseabilidad globalse obtiene mediante la media geomtrica:

D = (d1d2...dr)1/r. (23)

El objetivo es encontrar el valor de la variable xo que maxi-mice el valor de D.

Posteriormente [9] extienden el mtodo de Harrington,despus [8] sugiere la media geomtrica ponderada como ex-presin ms general para (23), es decir:

D = (dw11 dw22 ...d

wrr )

1/r, (24)

donde loswj

representa los pesos relativos a lasr

respuestas.Los modelos de las expresiones (23) y (24) son multiplica-tivos.

En el proceso de optimizacin multi-respuesta se deseaque todas las respuestas satisfagan de manera simultnea ladeseabilidad. Una formulacin del problema optimizacin multi-respuesta se plantea como:

Maximizar ,

Sujeto a d(Yj (x)) , j = 1, 2,...,r,XR R : regin experimental.

(25)

La finalidad principal de esta formulacin es encontrar un

punto xo que maximice el mnimo grado de satisfaccin conrespecto a todas las respuestas dentro de la regin experimen-tal.

4.2. Modelo de optimizacin multi-objetivo

difuso

La teora de conjuntos difusos proporciona una alternativapara traducir las expresiones lingsticas asignando un valornumrico mediante el concepto de funcin de membresa. Enresumen, si X es una coleccin de objetos denotados por x,entonces un conjunto difuso B en X se define por un con-

junto de pares ordenados: B = {(x, B(x))|x X}, dondeB(x) es la funcin de membresa para cada conjunto difu-so B. Esta funcin mapea cada elemento de X a un gradode membresa o valor de membresa entre 0 y 1. Entonces lasfunciones presentadas en las expresiones (20)-(22) se planteancomo funciones de membresa en el contexto de los conjuntosdifusos, por ejemplo para el caso de maximizar B(x) corres-ponde a la formulacin expuesta en (22) es decir:

Oi(

Yj (x)) =

0 si Yj (x) < Ymnj ,1 Y

maxj Yj(xi)

Ymaxj

Ymnj

si Ymnj

Yj (xi) Ymaj

1 si Yj (xi) > Ymaxj ,(26)donde los Oi representan a las r metas (objetivos).

La representacin grfica de este planteamiento se mues-tra al centro de la Figura 7, es decir cuando Yj (x) se aproximaal mximo el grado de membresa se acerca a uno. Mediantela teora de conjuntos difusos se puede abordar el problemade optimizacin multi-respuesta. En esa direccin el mode-lo multi-objetivo involucra la seleccin de una alternativa ai,para un conjunto dado de alternativas A = {a1, a2,...,al}y un conjunto de r objetivos, O = {O1, O2,...,Or}, con-siderados mediante las r funciones objetivo

Y(x). Entonces

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el grado de la funcin membresa para una alternativa a enOi denotada por Oi(a), es el grado en el que la alternati-va a satisface el criterio especificado para ste objetivo. Sebusca una funcin decisin que satisfaga simultneamente to-das las decisiones objetivo, por lo tanto, la funcin decisin,D, est dada por la interseccin de los objetivos, as D =O1 O2 ...Or. Por lo tanto, el grado de la funcin mem-bresa que la funcin, D, tiene para cada alternativa a est da-

da por: D(a) = mn{Oi1(a), O2(a),...,Oir(a)}, [14].La decisin ptima, a0, ser entonces la alternativa que

satisface: D(ao) = maxaA

(D(a)). Para alcanzar esta meta,

en el caso en el que se desee mximizar las r respuestas, sedefine el modelo de optimizacin multi-objetivo como:

minimizar F(x) =

r

i=1

1r{1 Oi(Yj(x))}2

1/2.

(27)

4.3. Funcin distancia generalizada

El procedimiento denominadofuncin distancia (DI) fue pro-puesto por [15], con ste tambin se obtiene una solucinptima puntual. Varios investigadores han producido traba-jos interesantes en esta direccin, vase [5]. El modelo DI,denominado como la funcin distancia, se expresa por:

DI(Y(x)) = ((Y(x)M)t(Var(Y(x))1(Y(x)M))1/2,(28)

donde el trmino Var(Y(x)) es una matriz de varianza p pde los modelos predichos Y(x). El vector de predichos de lasr variables de respuesta est dado por

Y(x) = (

Y1(x), . . . ,

Yr(x))

t. Se define M = (M1,...,Mr)t como el vector de

metas correspondientes a cada respuesta. En la propuesta plan-teada por [15], consideran a M como el vector de los ptimosindividuales de las k respuestas independientes.

Bajo el supuesto de la distribucin sobre las respuestasplanteados en el modelo (4), entonces la varianza estimada deYj es y Var(Yj (x)) = Zt(x)(XtX)1Z(x)jj y Cov(Yi(x),Yj(x)) = Zt(x)(XtX)1Z(x)ij donde ij es el (i, j) si-mo elemento de , la matriz de varianza-covarianza de la res-puesta. Por lo tanto si Y(x) = (Y1(x),...,Yr(x)) es el vec-tor de respuestas predichas entonces la matriz de varianza-covarianza est dada por Var(Y(x)) = Zt(x)(XtX)1Z(x).Un estimador insesgado de es:

= 1n p Yt[In X(XtX)1Xt]Y,

donde Y= (Y1 : .. : Yr) es la matriz n r de datos multi-respuesta, p es el nmero de columnas de X. Entonces el mo-delo anterior (28) toma la forma:

DI1(Y(x)) = (Y(x) M)t()1(Y(x) M)Zt(x)(XtX)1Z(x)

1/2.

(29)Una situacin importante y que influye en la estructura delmodelo es la correlacin que puede existir entre las variables

de respuesta; si se prueba que sta no es estadsticamente sig-nificativa, entonces se toman los elementos, 2j , de la diagonal

de y se sustituyen en la expresin (29) y sta se escribe co-mo:

DI2(

Y(x)) =

1

v(x)

r

j=1

Yj (x) Mj

j2

1/2

, (30)

donde v(x) = Zt(x)(XtX)1Z(x) y la mtrica DI2(Y(x))es apropiada cuando las respuestas Yj son estadsticamenteindependientes.

4.4. Funcin de prdida mltiple

La funcin de prdida (PE), propuesta por [1], es un enfoqueque considera la prdida econmica cuando las variables Yj (x)de respuesta se alejan de la metas Mj . Consideremos

DI3(Y(x)) = rj=1

kj Yj (x) Mj2 , (31)donde los nmeros kj representan los costos asociados a ca-da respuesta. Estos valores de kj se pueden usar para es-calar de manera adecuada la diferencia Yj (x)Mj . Tomandokj = 2j , esta nueva distancia es un caso particular de DI2.La distancia DI3 se le conoce como la funcin de prdidamltiple.

4.5. El concepto TOPSIS

La tcnica TOPSIS (Technique for Order Preference by Sim-ilarity to Ideal Solution) es un mtodo de optimizacin desa-rrollado por [25]. Este viene derivado de la toma de decisionesmulti-atributo, la idea bsica es hacer un escalamiento en lasrespuestas Yj (x) y ponderar ste en funcin de la importanciade cada respuesta para el proceso; a partir de ste definen lasmetas Mj . El procedimiento es como sigue:

1. Se identifica a las variables Yij estimadas en cada mo-delo (i= 1,...,n y j= 1,...,r), se construye la variabledij mediante el proceso de normalizacin de la varia-bles de respuesta

Yij:

dij =Yij

iYij . (32)

2. La variable dij se pondera mediante pesos wj y se con-struye la variable:

vij = wj dij . (33)

En el marco de la teora difusa existen diferentes crite-rios para asignar los wj .



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3. En esta etapa se propone una solucin ptima ideal y secalcula la distancia D+i . Para ello primero se obtiene

M+ = {(maxi

vij |jJ) o(mn

ivij |jJ) (mn

ivij |jJ)

para i = 1, . . . , m}

= {M+

1 , M

+

2 ,...,M

+

n },donde J(j = 1,...,n) est asociado con algn crite-rio de beneficio y J (j = 1,...,n) est asociado conalgn criterio de costo. Despus se define

D+i =

nj=1

(vij M+j )2. (34)

4. Tambin se plantea una solucin ideal negativa que sepuede establecer como la peor de la soluciones y de

manera anloga se obtiene la distancia Di :

M = {(mni

vij |jJ) o(max

ivij |jJ) (max

ivij |jJ)

para i = 1, . . . , m}= {M1 , M2 ,...,Mn },

y

Di =

nj=1

(vij Mj )2. (35)

5. Finalmente se obtiene el ndice

Ci =Di

D+i + Di

, (36)

tal que si se alcanza la solucin ptima ideal Ci = 1, selogra la solucin ptima para el proceso. Esto significaque la solucin ideal positiva tiende a cero. Tambin sepueden conseguir soluciones alternativas adecuadas, siel ndice tiene valores entre 0.7 y 1. En el caso de queel proceso apoye a la solucin ideal negativa el ndice

tiende a cero.

Las expresiones (32), (34) y finalmente el ndice (36) seobtienen usando los datos generados por el experimento. Sinembargo, en lugar de esos datos se pueden emplear los valo-res predichos por el modelo de regresin cuadrtico o el mejormodelo. En ese sentido la estimacin del ndice (36) esta enfuncin de los modelos, y segn el peso wi para cada una delas variables, esta relacin se vera reflejada en la estimacindel modelo de regresin considerando ahora el ndice Ci co-mo respuesta.

Respuesta Ymn Ymax Predichos GS x0 = (0, 35,1.37)

1 0.37 2.68 1.68 0.572 0.30 0.69 0.55 0.653 1.10 1.90 1.88 0.654 0.23 0.71 0.31 0.57

El grado de satisfaccin es = 0.57

5. Aplicacin de los mtodos y

planteamientos de optimizacin

al Ejemplo 1

En este apartado se aplicarn los planteamientos de optimiza-cin al ejemplo 1, en cada caso se aplic el mtodo de Nelder-Mead para encontrar el ptimo. Se consideraron los modeloscompletos de segundo orden, cuyos coeficientes se muestranen la Tabla 4, aunque algunos de los coeficientes no resul-taron estadsticamente significativos. Se obtuvieron los valo-res mnimos Y

mnj y mximos Y

maxj individuales de cada res-

puesta ajustada. Estos se indican en la siguiente tabla.Respuesta Y1 Y2 Y3 Y4Ymnj 0.37 0.33 1.11 0.23Ymaxj 2.68 0.66 1.88 0.71

Estos valores se utilizaron como cota para cada respuestay como se desea maximizar el valor Ymaxj (j = 1, 2, 3, 4) seutiliz como valor objetivo.

Se emple la funcin de deseabilidad d(Yj (x)) definidaen la expresin (22) y luego se optimiz la funcin (24); lospesos wi empleados en este caso fueron igual a 1, y el proce-dimiento se identifica por FD. Los resultados se muestran la

Tabla 6. Luego se aplic el modelo de optimizacin definidoen (25) para obtener el grado de satisfaccin , GS. Los va-lores de este ndice se obtienen calculando las deseabilidadesestablecidas por la expresin (22), los resultados de este cl-culo son:Se us el modelo (26) para el procedimiento difuso, PD ecua-cin (27). Luego se obtuvo el ptimo de la funcin distanciageneralizada, DI expresin (30). Finalmente se realiz la op-timizacin para el planteamiento topsis, TO, para todos losprocedimientos, excepto para el GS, el ptimo se obtuvo me-diante el mtodo de Nelder- Mead. Estos resultados se pre-sentan en la Tabla 6. Los j resultados alcanzados en una deestas cinco funciones se podra evaluar para las otras cuatro,

de tal manera de llevar a cabo una comparacin de la eficien-cia entre ellos. Sin embargo se emple la funcin de prdidaestandarizada para hacer una evaluacin de la eficiencia delos mtodos, as el que tenga la menor funcin de prdidaser considerado como el mejor mtodo. Se define la funcinde prdida estandarizada como:

P =

rj=1

(Zj Zmaxj )2,

donde Zj =

Yj (xo)/

Ymaxj , Z

maxj = 1.

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ptimo Valores P

Funcin x1o x2o Y1(xo) Y2(xo) Y3(xo) Y4(xo)FD -0.10 -0.41 1.79 0.66 1.81 0.43 0.517GS 0.35 -1.37 1.68 0.55 1.62 0.50 0.523PD -0.53 -0.19 1.91 0.67 1.88 0.38 0.545DI -0.46 -1.38 2.47 0.54 1.83 0.31 0.598TO -0.24 -0.21 1.78 0.67 1.84 0.42 0.529

Tabla 6: Resultados de los diferentes procesos de optimizacin.

El planteamiento de optimizacin que obtuvo el mejor p-timo comn para las cuatro respuestas corresponde a la fun-cin de deseabilidad. En la Figura 2 se mostr la relacin en-tre las cuatro variables de respuesta, por ejemplo, ah se obser-va que las variables 1 y 4 estn inversamente correlacionadas,esta situacin influy en los resultados de optimizacin de al-gunos procedimientos. Se observa en el caso del procedimien-to DI que la respuesta Y1 alcanz el mayor mximo compara-do con los otros procedimientos, sin embargo, afect el m-ximo en la respuesta Y4. En la Figura 8 se sealan los puntosxo donde las cinco funciones alcanzaron el ptimo, as comoel punto ptimo descrito en la grfica de la Figura 5.

Figura 8: Ubicacin de las funciones simples en la grfica desuperposicin de las cuatro respuestas.

Se observa que el planteamiento GS prcticamente coin-cide con el ptimo generado de manera grfica y como seobserva es una solucin bastante adecuada. Ser una activi-

dad interesante aplicar estos planteamientos a varios ejemplospara evaluar su precisin en el proceso de optimizacin, des-de luego considerando situaciones donde no exista una fuerterelacin entre las variables. Tambin se pueden llevar a caboestrategias de simulacin.

5.1. Procedimiento grfico

No obstante que el mtodo grfico (MG) es un procedimientodescriptivo, ste contiene o ilustra a todos los resultados quese obtienen con los mtodos anteriormente citados, (Figura

Nivel bajo Nivel altoX1 0.7 1.7X2 40 60X3 1.8 2.8

Respuestas RestricionesY1 ndice de abrasin 120 < Y1Y2 mdulo 200 1000 < Y2Y3 elongacin a la ruptura 400 < Y3 < 600Y4 dureza 60 < Y4 < 75

Tabla 7: Caractersticas de los factores de control X y las va-riables de respuesta Y.

8). ste funciona relativamente fcil ante situaciones cuandoexisten dos o tres factores y se complica un poco con cuatro.

Se considera como una buena prctica que en las estrategiasde optimizacin primero se realicen experimentos para elim-inar factores que aportan poca informacin a la respuesta deinters. As que en la estrategia experimental para obtener unptimo se trabaja con un nmero reducido de factores.

Dada la facilidad que existe actualmente en cmputo, me-diante tcnicas de graficacin se pueden ilustrar los proced-imientos analticos de optimizacin como es el caso del plan-teamiento GS. El ptimo de ste se obtiene mediante mtodosde programacin lineal, (vase el planteamiento expuesto enla expresin (25)). Este equivale a maximizar{min[d(Y1(x)),d(

Y2(x)), d(

Y3(x)), d(

Y4(x))]} en la regin experimental, y

se lleva a cabo mediante tcnicas grficas, tal como se muestraen la Figura 9. En sta se ilustra la aplicacin de la funcin dedeseabilidad a los grados de aceptacin d(Yj (x)) j = 1,...,r.Observe que la solucin ptima que se obtiene, sealada enlos parntesis [ ], es en realidad la misma que la que ya seobtuvo, ver Tabla 6.

6. Aplicacin de la programacin

cuadrtica: Ejemplo 2

El procedimiento que se resume en la expresin (20) se ilus-tra con un problema de un compuesto para bandas en llan-

tas, expuesto y discutido en [9]. El propsito del problema esmejorar el desempeo en la banda de las llantas medido porcuatro variables de respuesta controladas por tres ingredientesqumicos. Las respuestas son: ndice de abrasin Y1, el mod-ulo 200% Y2, la elongacin Y3, y la dureza Y4. Las variablesde entrada son: slice X1, seleno X2 y el azufre X3.

Los ingredientes y las propiedades se describen en el cua-dro siguiente:

Como estrategia experimental se propuso un diseo decomposicin central, el diseo y los resultados se muestranen la Tabla 8.



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Figura 9: Descripcin de los resultados ptimos para alcanzarel mayor grado de aceptacin.

Con el fin de observar si existe una relacin entre las varia-bles de respuesta, en la Figura 10 se describen los diagramasde dispersin para cada par de variables. Se puede observar

de esa figura que las variables 1 - 2, y 2 - 3 estn directa-mente e inversamente correlacionadas respectivamente. Anteesta situacin algunas modificaciones de inters se puedenplantear en el proceso de optimizacin.

Figura 10: Relacin entre las cuatro variables para el ejemplo2.

Los valores objetivos para cada una de las respuestas obe-

Tratamiento x1 x2 x3 Y1 Y2 Y3 Y41 1 1 1 102 900 470 67.52 1 1 1 120 860 410 65.03 1 1 1 117 800 570 77.54 1 1 1 198 2294 240 74.55 1 1 1 103 490 640 62.56 1 1 1 132 1289 270 67.07 1 1 1 132 1270 410 78.08 1 1 1 139 1090 380 70.09 1.63 0 0 102 770 590 76.0

10 1.63 0 0 154 1690 260 70.0

11 0 1.63 0 96 700 520 63.012 0 1.63 0 163 1540 380 75.013 0 0 1.63 116 2184 520 65.014 0 0 1.63 153 1784 290 71.015 0 0 0 133 1300 380 70.016 0 0 0 133 1300 380 68.517 0 0 0 140 1145 430 68.018 0 0 0 142 1090 430 68.019 0 0 0 145 1260 390 69.020 0 0 0 142 1344 390 70.0

Tabla 8: Esquema experimental y las respuestas en cadatratamiento.

decen las condiciones:

Objetivo CondicinY1 > 120 MaximizarY2 1000 Maximizar400 Y3 600 Valor objetivo 50060 Y3 75 Valor Objetivo 67.5

En la Tabla 9 se muestran los coeficientes de los mode-los de regresin para cada variable, se seala cules son sig-nificativos estadsticamente, adems se muestran los cuadra-dos medios del error, la raz cuadrada del CMerror que es ladesviacin estndar S y el coeficiente de determinacin R2.

Este ejemplo ha sido ampliamente utilizado en la literatu-

ra de optimizacin multi-respuesta para ilustrar la efectividadde los mtodos propuestos, vase [9] y [12]. En todos los ca-so se han considerado las restricciones planteadas, pero haydos situaciones que no han sido consideradas, una de ellas esel CMerror de la variable Y2 que de alguna manera afecta ala eficiencia de los mtodos de optimizacin, porque tieneun valor grande. La otra est relacionada con la desviacinestndar y con la estimacin del valor en el ptimo, ya queal tomar una o dos desviaciones estndar en torno al ptimoya no se cumple con las condiciones propuestas para las varia-bles de respuesta. La finalidad de este ejemplo consiste en ob-tener el ptimo comn aplicando el mtodo de programacincuadrtica considerando en el modelo de optimizacin las res-

tricciones en la desviacin estndar.As el modelo de regresin completo para la variable tres

es:

Y3 = 400.38 99.67x131.4x273.92x3+7.93x21+17.31x22+0.43x

23+8.75x1x2+6.25x1x3+1.25x2x3.

En general cada uno de los cuatro modelos se puede es-cribir:

Yj = x

t

Bj x + x

t

j +

j0, j = 1,...,r.



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Coeficientes Respuesta Y1 Y2 Y3 Y40 139.12+ 1261.11+ 400.38+ 68.91+1 16.49+ 268.15* -99.67+ -1.41+2 17.88+ 246.5* -31.4+ 4.32+3 10.91+ 139.48# -73.92+ 1.63+11 -4.01* -83.55# 7.93# 1.56+22 -3.45* -124.79# 17.31* 0.06#33 -1.57# 199.17* 0.43# -0.32#12 5.13* 69.38# 8.75# -1.63+13 7.13* 94.13# 6.25# 0.13#

23 7.88* 104.38# 1.25# -0.25#CMerror 31.49 108039 422.3 1.61S 5.61 328.7 20.55 1.27R2 97.2 71.2 98.1 95.8

Tabla 9: Coeficientes de regresin para cada uno de los mode-los. + Altamente significativo, significativo con p < 0.05,# no significativo.

Donde Bj es la matriz (k, k) cuyos elementos son los par-metros de segundo orden estimados, j los parmetros linea-les estimados y 0 es el intercepto estimado del modelo deregresin para cada respuesta j.

Un modelo a optimizar puede quedar como sigue:

Maximizar Y1.Sujeto a Y2 sea mximoY3 ste entre 400 Y3 600Y4 ste entre 60 Y4 75

xtx r2 r : regin experimental,

dado que las dos primeras respuestas se desean maximizar,el modelo a optimizar es:

Maximizar Y1 + Y2.Sujeto aY1 sea Y1 > 120Y2 sea Y2 > 1000Y3 ste entre 400 Y3 600Y4 ste entre 60 Y4 75

xtx r2 r : regin experimental.

(37)

Este modelo es similar al de la expresin (18) y el plantea-miento de solucin se da en la ecuacin (19), slo que paraalcanzar expresiones similares a

A se recurre a considerar es-

ta matriz como:

A = [Y1,Y2,Y3,Y4].Reescribiendo el modelo (37) en trminos de las respues-

tas ajustadas y considerando un mltiplo de la desviacin es-tndar se tiene:Maximixar

1

2xt(B1 + B2)x + xt(1 + 2) + 01 + 02

Sujeto a

12 xtB1x xt1 01 + 120 + 1.5S1 012 xtB2x xt2 02 + 1000 + 1.5S2 012 x

tB3x + xt3 + 03 600 + 1.5S3 0 y12 xtB3x xt3 03 + 400 + 1.5S3 012 xtB4x xt4 04 75 + 1.5S4 0 y12 xt

B4x xt

4

04 + 60 + 1.5S4 0.

Preferentemente se busca que el mltiplo de la desviacin

estndar sea de 3, pero la solucin a este problema dio lugara encontrar regiones donde no existe una solucin comn. Lasolucin de este problema se puede alcanzar utilizando Mat-lab mediante la la funcin fmincon. El punto ptimo que segener con su correspondiente respuesta optima es:

ptimo xo = (0.39, 0.98,1.0)

Respuestas Y1(xo) = 138.10Y2(xo) = 1421.5

Y3(xo) = 422.85

Y4(xo) = 70.50

Esta solucin satisface las restricciones y adems cadauna de estas respuestas est a 1.0 desviaciones estndar delvalor ptimo de la respuesta.

Agradecimientos

Al Consejo de Ciencia y Tecnologa de Guanajuato por suapoyo al convenio 06-02-K117-87.

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l Dr. Peter Seibert Kopp Profesor-Investigador dela UAM-Iztapalapa y Nivel III del SNI, pis tierrasmexicanas por primera vez, hace 51 aos y hoy amanera de homenaje en su primer aniversario de su

fallecimiento nosotros quienes fuimos sus estudiantes, quere-mos compartir unas palabras acerca de lo que fue su vida.

Peter en Mosc, 13 Abril de 1928.

Peter naci el 13 de abril de 1927 en Mnich, Baviera,Alemania, y muri en Mxico el 13 de agosto de 2009. Hi-jo primognto de Katherine Kopp (15.10.190223.12.1983) yTheodor Seibert (27.07.1896-1945). Theodor desaparici du-rante la Segunda Guerra Mundial, no se sabe la fecha exactade la ltima vez que se le vi. Peter, tuvo una hermana, Ursu-la (1935-1952), dos hermanos, Urlich (1930-2002) y Dieter(1940) quien actualmente vive en Alemania es periodista,fotgrafo y autor de varias revistas de montaismo. Peter pro-creo un hijo, Diego Alejandro Seibert Lee (1974-), es resi-dente chileno.

Peter conserv en un cuaderno de apuntes, sus origenesfamiliares y geogrficos desde 1607 hasta el 2009.

Vivi en Inglaterra desde la edad de los cinco aos y ah

aprendi a leer y escribir simultneamenteel Ingls y Alemn.Peter curs su educacin elemental en Alemania llevando

como formacin complementaria el griego y el latn en ungrupo especial de nios avanzados.

Durante los ltimos meses de la Segunda Guerra mundial,Peter fue reclutado contra su voluntad en un barco, para tra-ducir mensajes del Ingls al Alemn y viceversa. Al finalizarla guerra el 7 de mayo de 1945, Peter y otros, caminaron desdesu ubicacin por ms de treita das esquivando el fuego de lasfuerzas aliadas enemigas y de lo que quedaba de las fuerzasalemanas, para reunirse con los suyos. Fueron das aciagos dehambre y de horror que determinaron que Peter llevara una

vida austera hasta el final de sus das.Durante el verano de 1945 de posguerra, Katherine Koppfu la primera de la familia de Seibert que pudo viajar a Berln.Ella pas por la casa de Constantin Carathodory, emeritus dela Universidad de Mnich. Le cont que tena un hijo que seinteresaba por las matemticas y cosas por el estilo". Cara-thodory estuvo de acuerdo en recibir al hijo mencionado.Poco tiempo despus, Peter lleg a Mnich, visit a Cara-thodory y fu aceptado como alumno desde el primer mo-mento. Carathodory le di como primera lectura una edicinde sus Reelle Funktionen"(Funciones Reales), un libro pen-sado para estudiantes de un nivel ms avanzado que el de unprincipiante sin estudios universitarios como era el caso de

Peter en ese momento. Antes de conocer a Carathodory, Pe-ter era un estudiante autodidacta de las matemticas pero node manera ordenada y estaba a punto de ingresar a la univer-sidad.

Seibert inici su doctorado en la Universidad de Mnichen septiembre de 1949 bajo la direccin de R. Knig (alumnode D. Hilbert) y O. Perron, como su segundo referente". Loconcluy once meses despus, el 4 de agosto de 1950 con unacalificacin magna cum laude. En su tesis doctoral inventun mtodo geomtrico para resolver el problema de Dirichletpara la ecuacin de Laplace en ciertos casos simples.



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C. Carathodory, profesor de Seibert.

Adems de haber sido alumno de C. Carathodory, tam-bin lo fu de E. Hopf, H. Tietze y A. Pfluger entre otrosmatemticos importantes.

O. Perron, co-director de tesis doctoral de Seibert.

En julio del ao 2000, Peter viaj a Mnich para recibirsu doctorado de oro. El cual es un reconocimiento que otorgala Universidad de Mnich a sus egresados que han alcanza-

do notables progresos en su formacin doctoral a lo largo de50 aos. Regres a sus actividades acadmicas a la UAM-Iztapalapa con notoria alegra dibujada en su rostro. Nada lehubo causado ms satisfaccin como sus logros acadmicos.

Peter tuvo sus primeras posiciones acadmicas y de in-vestigacin en Alemania, en las universidades de Giessen,Wuerzburg y en el Centro de Investigacin de la Universidadde Wuerzburg y originalmente se especializ en la teora defunciones de variable compleja, poniendo nfasis en las su-perficies de Riemann. Entre otros resultados, resolvi un pro-blema propuesto por S. Mazurkiewicz, dando el primer ejem-

Seibert: 1954.

plo conocido hasta ese momento de una superficie de Rie-mann con frontera bidimensional [Proc. Nat. Ac. Sci. USA45(1959)].

Peter en colaboracin con J. Andr, desarroll la primerateora matemtica de sistemas de control discontinuos. [Archivd. Math. 7 (1956)] y el concepto de robustez tambin aparecipor primera vez en este contexto [Proc. 1st Int. Congr. IFAC(Moscow) 1960].

En 1958 Peter dirigi su investigacin hacia la teora dela estabilidad en los sistemas dinmicos, despus de que enfebrero de ese mismo ao, se entrevist en Pars, Francia, conSolomon Lefchetz y lo invit a trabajar en el Research Insti-

tute for Advanced Studies (RIAS), Baltimore, USA., 1958-63, en donde colabor principalmente con S.Lefchetz, J.P. LaSalle y L.Cesari. Eso le permiti viajar con ellos por primeravez a Mxico en septiembre de 1959, para asistir a un Sym-

posium de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus Aplica-ciones que tuvo lugar en la Ciudad Universitaria de la UNAM,del 7 al 13 de septiembre.

Peter disfrut de esa visita a Mxico y retorn una y otravez, hasta quedarse para siempre. Primero, de 1963 a 1964en el CINVESTAV del Instituto Politcnico Nacional por in-vitacin de Jos Adem; regres a las Universidades de Yale yde Brown USA, 1964-65 y volvi a Mxico, a la Escuela Su-perior de Fsica y Matemticas del Instituto Politcnico Na-cional (ESFM-IPN). En la ESFM-IPN, imparti los cursosde Anlisis Matemtico Real, teora de Funciones de Varia-ble Compleja, teora de Ecuaciones Diferenciales y SistemasDinmicos. Tuvo entre sus estudiantes entre otros a ErnestoLacomba Zamora, actual Profesor Distinguido de la UAM-Iztapalapa. En los aos 1966-1971 dirigi un seminario sem-anal sobre Sistemas Dinmicos en el Instituto Mexicano delPetrleo. Durante ese perido dirigi las tesis profesionalesde licenciatura en matemticas de Antonio Rivera Figueroa yRoberto Acosta Abreu [Carta Informativa SMM, No. 59 Ene-ro 2009, p.p. 7-10].



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En 1971, Peter parti hacia la Universidad Catlica deChile (Santiago), 1971-1975 y dirigi la tesis doctoral de PabloM. Salzberg (1985). Luego, fu hacia la Universidad SimnBolvar, Caracas, Venezuela, 1975-1978. De ah, hacia la Uni-versidad Centro Occidental Lisandro Alvarado", Barquisime-to, Venezuela, 1978-1985 y dirigi la tesis doctoral de RamnGmez (1985). Finalmente, en 1987 regres a Mxico al De-partamento de Matemticas de la Universidad Autnoma Me-

tropolitana- Iztapalapa. Ah dirigi la tesis doctoral de LuisAguirre Castillo (2003) y la tesis de maestra en matemticasde Ricardo Hernndez Lpez (2006).

Peter us un argumento de induccin y di la primerademostracin del principio de persistencia de la estabilidadasinttica bajo perturbaciones [Proc. Int. Symp. (ColoradoSprings),1961]. Este resultado ha sido una herramienta tilpara cimentar una teora ms general de bifurcaciones del tipoHopf.

Peter con J. Auslander, desarrollaron la teora de la es-tabilidad de sistemas dinmicos combinando la teora de lasprolongaciones de Poincar con la teora clsica de A.M. Lya-punov [Ann. Inst. Fourier (Grenoble)14 (1964)].

Peter en colaboracin con P. Tulley, di la primera de-mostracin puramente topolgica del clsico teorema de Poin-car-Bendixson sobre sistemas dinmicos en el plano [Archivd. Math.18(1967)]. Tambin di una condicin necesaria ysuficiente para la estabilidad bajo perturbaciones persistentes,complementando trabajos anteriores de I.G. Malkin y otros[Acta Mex. Sci. Tech.2 (1968)].

Parcialmente y en colaboracin con su estudiante de doc-torado P.M. Salzberg y G. Dankert, Peter estableci una teoraabstracta de la estabilidad de Lyapunov, culminando con unacondicin necesaria y suficiente para la existencia de una fun-cin de Lyapunov (generalizada) en presencia de un atractor

[Nonlin. Phenom. in Math. Sci., Acad. Pr., 1982].En 1968, en respuesta a un problema propuesto por J.S.

Florio, Peter invent un mtodo para reducir el problema de laestabilidad de un sistema compuestode subsistemas al proble-ma correspondiente para los subsistemas, aplicando un prin-cipio que llamaremos El principio del umbral de Seibert. Encontraste con otras contribuciones anteriores a este problema,el mtodo de Seibert no depende de la parte lineal del sistemaen cuestin y por lo tanto, arroja resultados tanto locales comoglobales. Esto permiti a Peter y colaboradores dar la primerademostracin de la estabilidad asinttica global de un sistemade ecuaciones diferenciales parciales aplicando un principiode reduccin [Annali Mat. pura appl. (IV) 168 (1995); Bol.

Soc. Mat. Mexicana (3) 3 (1997)]. Estos resultados han tenidoaplicaciones relevantes en la teora de control, en aquellos sis-temas no lineales en los cuales tiene que ver el problema dela estabilizacin.

Peter, colaboradores y estudiantes, desarrollaron dos teo-ras de bifurcaciones en sistemas dinmicos que generalizanla clsica bifurcacin de (Poincar-Andronov-) Hopf. Una destas cubre aquellas bifurcaciones que surgen de equilibriosestables (o conjuntos invariantes), mientras que la otra con-sidera aquellas bifurcaciones que surgen de equilibrios inesta-bles tales como puntos silla (o conjuntos). La primera de ellas

extiende los resultados de F. Marchetti et al., la segunda nohaba sido estudiada sistemticamente hasta ese momento. Elpunto principal consiste en la observacin de que la bifur-cacin no depende del espectro de la parte lineal del sistema,como se haba pensado previamente, si no ms bien de prin-cipios de persistencia dinmica ms generales de naturalezatopolgica. [ Para un resumen de todos estos resultados verUniv. Jagellon. Acta Math. 36 (1998).] Desde 1993 hasta su

muerte en 2009, Seibert comparti con Juan Hctor Arredon-do Ruz, una estrecha colaboracin en la bsqueda de ejemp-los en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales.

Peter tambin contribuy a la conceptualizacin de la ma-temtica moderna, extendiendo los filtros de Bourbaki a cuasi-filtros, introduciendo un concepto dual para la relacin defineza.entre (cuasi-)filtros en la forma de dominacin"(paraconseguir la formalizacin de las propiedades de acotamien-to) e introduciendo una notacin para ambos casos que per-mite un enorme ahorro de cuantificadores. Cabe destacar queen trabajos recientes publicados en Rusia, aparecen ya en elSummary expresiones como sistemas generales en el sentido

de Seibert". Tambin se usa la notacin inventada por l.Un rasgo comn que tienen los trabajos de Peter, es la

bsqueda de desentraar, los principios ms recnditos queson la base de las teoras matemticas. Su mensaje principala lo largo de los ltimos aos, fue que, despus del dominiocasi exclusivo de clculo y sus ramificaciones en matemti-cas durante tres siglos, vale la pena considerar otros puntos devista. El demostr que se puede hacer bastante al desarrollaren la forma de unas teoras abstractas mediante el uso de latopologa elemental de espacios mtricos, y luego aplicar losresultados a problemas concretos donde los mtodos conven-cionales fallan. Un ejemplo de esto son los trabajos [GlobalStabilization of nonlinear cascade systems, Systems and Con-trol Letters 14 (1990), 347-352 (con R. Surez)] y [Globalstabilization of a certain class of nonlinear Systems, Systemsand Control Letters 14 (1990), 17-23 (con R. Surez)].

Los trabajos de Peter han aparecido en las revistas de 11paises en cinco idiomas: Alemn, Ingls, Francs, Ruso y Es-paol. Han tenido un fuerte impacto en Rusia, particularmenteen la escuela de control de Mosc e Italia. Su influencia se ex-tiende hasta China en donde se han enfocado a retomar el es-tudio de los conjuntos lmite prolongacionales, introducidospor Seibert.

Peter fue un viajero incansable. Alguna vez estando enCaracas, lleg a la conclusin que no se puede entender lapoca actual sin conocer la historia. Entonces se volvi es-tudioso de la Geografa Fsica y Humana y de la Historia.Pens que es lamentable, cultivar, durante toda la vida, unasola potencialidad, en detrimento de todas las dems que unopueda poseer. Por eso, adems de sus trabajos en matemti-cas se ocup de dos aspectos relevantes en la lingistica. Porun lado la construccin del primer lenguaje completamentesinttico, WUXI [Cemanhuac 5 (1992)]. Y por otro lado, eldesarroll un mtodo fonemoestadstico para la comparacinde lenguajes. El sigui escribiendo sobre conjuntos atractoresporque segn l, nada es ms tedioso que la espera.



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Ms all de sus actividades cientficas, Peter se dedic en-tre otras cosas al alpinismo, la fotografa de paisajes y la fo-tocomposicin.

A partir de diciembre de 1994, tras los acontecimientospor un lado, de la llamada Guerra del Golfo Prsico inicia-da con la invasin iraqu a Kuwait el 2 de agosto de 1990,nombrada en Irak, "La Madre de todas las batallas 2culmina-da en 1991. Y por otro lado, los acontecimientos sangrientos

en Chechenia (la primera guerra chechena (1994-1996) y lasegunda guerra chechena (1999-2002) para frenar las tenden-cias separatistas en la Federacin Rusa y garantizar la varian-te rusa de los oleoductos que cruzan por el Cucaso. Petercomez a dibujar en acetatos sus impresiones de estos horro-rosos acontecimientos mundiales, los cuales posteriormentefueron digitalizados e impresos. En esto dibujos, predominanejercitos de mujeres amazonas con sus cuerpos mutilados em-puando espadas y lanzas dispuestas al ataque. Por qu plas-m el cuerpo desnudo de una mujer de esta manera? Porqueestamos viviendo en un mundo en el cual los paises con elmayor podero militar pueden hacer de la poblacin lo que levenga en gana. No hay poder humano que los detenga cuandoellos han decidido aplastar al que afecte sus intereses. De mo-do que estamos indefensos como parte de esta enorme masahumana. El cuerpo desnudo de la mujer representa esa inde-fencin de las grandes masas ante el poder de un estado opre-sivo. Por qu una mujer? La razn fundamental es porque alo largo de toda la Historia en las grandes batallas que han li-brado hombres contra hombres, quien ha fracazado ha lloradosu derrota en el regazo de una mujer, sea la esposa o la madre.Su trabajo artstico tuvo varias exhibiciones, incluyendo unaen el Museo Nacional de Culturas Populares de Mxico, de laciudad de Mxico.

En sus propias palabras escribi lo siguiente: LA FIGURA

FEMENINA EN UN MUNDO CONFLICTIVO: EL MUNDOACTUAL CON LA MSCARA DE LA HIPOCRECA QUITA-DA. El 26 de abril de 1937 la aviacin facista arras a laciudad vasca de Guernica (en vascuence:Gernica), aconte-cimiento que impuls a Pablo Picasso a crear su Guernica,obra fundamental que iba a ser la ms famosa de la poca.

En lo que se refiere al momento histrico actual, se puededecir que Gernica"se ha convertido casi en un estado per-manente. Pinsese solamente en la agresin reciente contra

Lbano (y ataques paralelos contra la franja de Gaza).

El que escribe estas pginas no es un artista por forma-cin. Pero una persona que siente, igual como el genio es-

paol, una necesidad interna de reaccionar ante eventos ex-

ternos tan iquietantes como los que vive el mundo en estostiempos, y por esta razn sinti un deseo imperativo de in-ventar una tcnica de expresin pictrica propia, y de desa-rrollar un estilo que se puede llamar realismo simblico",que le permite expresar sus sentimientos ante dichos acontec-imientos. No queriendo usar un lenguaje muy directo, para nocaer en un tono demasiado burdo, se le ofreci el camino dedecir cosas valindose de un discurso simblico. Es por esoque se presenta la necesidad de explicar aqu la simbologausada en las imgenes presentadas, para que el espectadorentienda lo que quieren expresar.

Primero Por qu la concentracin en la figura femeni-na(la cual alude el ttulo)? Las razones son varias. Influye elrechazo de los papeles rgidos asignados tardicionalmente alos sexos, mismo que ya se encuentra en la raz del antiguomito de las amazonas las cuales forman uno de los temas dela exposicin.

En el antiguo mito de las amazonasa se nos presenta eltipo de la mujer aguerrida que tanto ha motivado a muchos

artistas de diferentes pocas. Por esto hemos elegido a es-tas mujeres mitolgicas como smbolo de la resistencia de los

pueblos agredidos.

Mujeres amazonas al ataque!

Las amazonas que pelean aqu pelean con armas antiguas(sobre todo espadas); con esto aludimos al carcter primitivode los medios disponibles para los movimientos de resisten-cia, en comparacin con las armas supersofisticadas y su-

perdestructivas de las que disponen sus adversarios. Adems,ellas luchan desnudas, con lo cual queremos expresar dos

cosas: por una parte, el estado de desproteccin en el queellas se encuentran frente al enemigo, y su falta de recursos.Per tambin, y an ms significativo, la desnudez simbolizael espiritu de entrega total a la causa, dejando atrs con laropa y el calzado toda reserva que podra disminuir su fervorcombativo.

Las referencias a otras pocas, por ejemplo a la inquisi-cin, sirven para subrayar las paralelas con los tiempos ac-tuales; la esencia de las cosas no ha cambiado. Siempre existela tendencia de dividir el mundo en bien 2mal", y siem-

pre dominan los intereses concretos, aunque usen diferentesdisfraces y se sirven de diferentes medios para alcanzar susmetas. Claro que hoy no hay hogueras, en cambio ciudadesenteras son convertidas en tales (por ejemplo en el caso re-ciente de la ciudad iraqu de Falluja).

El jueves 31 de julio de 2009, entreg a uno de sus co-laboradores, un declogo de sus principales contribucionesmatemticas originales: 1. La solucin del problema del Dirich-let en los casos simples aplicando mapeos conformes (tesisdoctoral, 1949); 2. La aplicacin de grficas valuadas para larepresentacin de superficies de Riemann ramificadas sobre



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Seibert: Genealoga matemtica, Sala de Seminarios AT-318 Depto. de Matemticas UAM-I, Noviembre 2008.

un nmero infinito de puntos (1952); 3. Una forma de cons-truccin de superficies de Riemann con frontera isomtricaa un conjunto cerrado dado sobre la esfera (1957); 4. La de-

mostracin de la persistencia de la estabilidad asinttotica ba-jo perturbaciones usando un argumento de induccin (1958);5. La robustez de sistemas de control (1959); 6. Las pertur-baciones prolongacionales ( 1959); 7. El principio general dereduccin va el umbral.o el principio del umbral de Seibertpara la estabilidad en sistemas semidinmicos (1968); 8. Loscuasifiltros (dos relaciones duales) ( 1972-74); 9. Una condi-cin necesaria y suficiente para la existencia de la funcinde Lyapunov para atractores va el conjunto final"(1977) y,finalmente, 10. La bifurcacin de equilibrios inestables o con-juntos invariantes basado en la persistencia de la inestabilidad(1984).

Una vez leido este declogo, dijo pensativo que en esto y

ms de doscientas citas de sus trabajos, es lo que resume loque haba sido la mayor parte de su vida. Pero, entre todasestas aportaciones, la que consider como la ms importantees la del punto 7., y agreg, No siguiendo caminos usualesdescubr vas alternas que me llevaron a cosas nuevas..."

El 13 de agosto de 2009 a la una de la madrugada, se le hi-zo llegar las memorias del Symposium Internacional de Ecua-ciones Diferenciales Ordinarias, celebrado en la Ciudad Uni-

versitaria de la UNAM, en septiembre de 1959, al que asistien su primera visita a Mxico. Las estuvo solicitando todoel da anterior con mucha insistencia, para l era muy impor-tante esa fecha y rememor con elocuencia aqul evento. Enseguida, entreg a uno de sus colaboradores un manuscritosobre sistemas semidinmicos en espacios abstractos que es-tuvo trabajando durante sus ltimos das, para ser concluidopor el grupo de trabajo. Justo a tiempo he terminado lo queme corresponde", dijo. Das atrs haba comentado que siem-pre quera romper con ese mito de que un matemtico viejo yano era productivo. Clav una extraa mirada, como querien-do decir algo ms pero se despidi. A las cinco y media dela madrugada sufri un paro respiratorio. Luego, a las 16:10

horas del mismo da, sucumbi ante esa experiencia sobre lacual nadie narrar jams: la muerte.

Mxico, D. F., 19 de julio 2010Antonio Rivera Figueroa yLuis Aguirre Castillo.



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CARTA INFORMATIVA

SOCIEDAD MATEMTICA MEXICANA

Nmero 65,

Publicacin de laSociedad Matemtica Mexicana, A.C.

Apartado Postal 70-450,04510 Mxico, D.F.

Tel. (55) 5747-3800 ext. [email protected]

JUNTA DIRECTIVA

Isidoro GitlerPresidente

Ernesto Lupercio LaraVicepresidente

Gelasio Salazar AnayaSecretario General

Miguel A. Xicotncatl MerinoSecretario de Actas

Fausto H. Membrillo HernndezTesorero

Gilberto Calvillo VivesVocal

Vctor Hugo Ibarra MercadoVocal

COMIT EDITORIALDE LA CARTA

COLABORADORES

DISEO

Rosa Mara Garca Mndez

Daniel Espinosa Prez

IMPRESINS y G editores,SAde CVTel. 5617-5610

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PORTADA

Palenque, Chiapas

Rosa Mara Garca Mndez

Antonio Rivera Figueroa (Coordinador)

Fernando Galaz Fontes

Gabriel Villa Salvador

Ernesto Lupercio Lara

Vctor Hugo Ibarra Mercado

AVISOS

Julio de 2010

SMM-Fundacin Kovalvskaia

CONVOCATORIA 2010

.Objetivo: Promover la participacin de las mujeres en lainvestigacin matemtica en Mxico.

I. Dirigido a:

a) Mujeres mexicanas que realizan estudios de doctorado encualquier campo de la matemtica.

b) Mujeres que realizan investigacin en matemticas, que estnadscritas a una institucin de educacin superior o a unainstitucin pblica de investigacin en Mxico, y queobtuvieron el grado de doctor dentro de los cinco aos previosa la fecha de emisin de esta convocatoria

II. Caractersticas: Otorgar un apoyo econmico complementariopara:

a) La conclusin del proyecto doctoral y la obtencin del grado.b) Llevar a cabo un proyecto de investigacin.Los apoyos sern individuales y no de grupo.

Fecha lmite: 31 de agosto del 2010.

Requisitos e informes: http://www.smm.org.mx

diseño de experimentos SMM

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