REVISION DE HERRAMIENTAS MATEMTICAS Y ESTADSTICAS

Estadstica e Investigacin Operativa

Prof. Dr. Rubn Oscar Palazzo

TEORA DE CONJUNTOS

En principio podramos decir que un conjunto es un agregado de cosas, pero nos veramos obligados a definir que entendemos por agregado. Para nuestros fines definiremos un conjunto X como una lista de elementos, todos distintos entre s, en donde el orden en que sos se especifiquen no tiene importancia. Normalmente los elementos de un conjunto se escriben entre llaves, por ejemplo la lista del supermercado de 4 artculos ser:X = { carne, leche, gaseosa, pan }

o en trminos ms generales podemos representar cada elemento con una letra

En particular tenemos: elemento: puede ser cualquier cosa identificable y separable de otros, cada una de las letras minsculas: a, b, c, d representa un elemento distinto. lista: es una serie de elementos, en el caso anterior ser la lista de compras del supermercado. distintos entre s: no tiene sentido que la lista sea redundantes, no se indica la leche dos veces, con una sola vez basta.

El orden no tiene importancia: no hay diferencia en que en lista de compras la carne se coloque en el primer lugar o en el ltimo.

Definimos algunos conceptos adicionales:

Pertenencia

Para decir que un elemento (letra minscula) pertenece al conjunto X utilizamos el smbolo y para decir que no pertenece , en nuestro ejemplo

y

siendo z cualquier otro elemento no enunciado en nuestra lista del supermercado.

Igualdad de conjuntosDos conjuntos P y Q son iguales cuando todo elemento de P es elemento de Q y cuando todo elemento de Q es elemento de PSi

entonces

InclusinPartiendo del conjunto , si tuviramos otro conjunto , comprobamos que los elementos de B pertenecen a X, pero no se da la inversa: hay elementos de X que no pertenecen a B, en tal caso diremos que B est incluido propiamente en X , en smbolos

donde de leerse est incluido propiamente

recurriendo a los diagramas de Venn

X

En el caso particular de dos conjuntos iguales, en el caso anterior en que podramos describirlo como

y

Unin de conjuntos

Supongamos que tenemos dos conjuntos

y

definimos un nuevo conjunto unin compuesto por los elementos (sin repetir) de ambos conjuntos

grficamente

Ahora si no hubiera elementos en comn hablaremos de conjuntos disjuntos, a pesar de ello tambin podemos formar un nuevo conjunto unin, sean y

grficamente

Interseccin de conjuntosVolviendo a los conjuntos

y

definimos un nuevo conjunto interseccin compuesto por los elementos comunes de ambos conjuntos

grficamente

Si los conjuntos no tuvieran elementos en comn (conjuntos disjuntos)

siendo ( el conjunto vaco.(sin elementos) Cantidad de elementos de un conjunto

Por lo general no ofrece problemas contar la cantidad de elementos de un conjunto, si simbolizamos la cantidad de elementos del conjunto X como , si

en el caso de la cantidad de elementos de una unin de conjuntos ser:

si los conjuntos A y B no tuvieran elementos en comn es decir fueran disjuntos, entonces

NOCIONES DE ESTADSTICA

A lo largo de estas lneas realizaremos una revisin veloz de los conceptos estadsticos fundamentales vinculados a la probabilidad, ejemplificaremos con casos de juegos de azar y casos del mercado asegurador. 1. Certeza, Incertidumbre y riesgo

Cualquier persona que deba tomar una decisin se enfrenta a dos situaciones o estados: de certeza o de incertidumbre. La nocin de certeza es simple de comprender, existe una relacin causa efecto indiscutible si camino bajo la lluvia me mojar, si firmo un cheque tendr que cubrirlo, etc. Ahora cuando no se tiene certeza sobre el futuro nos encontramos ante una situacin de incertidumbre, el servicio metereolgico informa que por la tarde puede llover, sabiendo que a menudo los pronsticos del tiempo son equivocados deberamos llevar un paraguas?

A los fines prcticos (y del seguro) nos interesa pasar de una situacin de incertidumbre a la de riesgo, y esto sucede cuando se definen y conocen dos dimensiones:

Los estados de la naturaleza: se conocen todos los resultados o alternativas posibles, en el caso del pronstico del tiempo tendremos dos estados de la naturaleza: que llueva y que no llueva. Las probabilidades correspondientes a cada uno de esos estado de la naturaleza

Volviendo al caso de salir con paraguas o sin el, los estados de la naturaleza son conocidos, que llueva o que no llueva, para definir la situacin de riesgo nos falta el dato de las probabilidades. Supongamos los distintos escenarios: el pronstico del tiempo dice 100 % de probabilidad de lluvia, sin duda debemos llevar paraguas (el 100 % o el 0 % indican certeza) si nos dijera 50 % de probabilidad de lluvia, es lo mismo que nada, estaramos inmersos en la absoluta incertidumbre: puede llover o no.

Si nos indicara un % entre el 50 y el 100 % tomaremos el riesgo de llevar o no el paraguas. 2. Definiciones generales Estadstica: es una disciplina que recolecta, clasifica y analiza informacin, para luego poder interpretar los resultados. A travs de la cuantificacin y ordenamiento de los datos intenta explicar los fenmenos observados, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones. Se trabaja tanto sobre poblaciones o con muestras. Poblacin: Es el conjunto de elementos, personas o individuos de los cuales queremos obtener un dato. Pertenecen a la Poblacin todos aquellos elementos que posean la caracterstica que se desea descubrir. Estas caractersticas (hasta ahora no explicitadas) genricamente son denominadas parmetros.

El problema es que puede ser tan amplia que por razones tcnicas o de economa no se puedan analizar todos los elementos de la misma. Por ejemplo para saber a una fecha dada la cantidad de votos que obtendra un candidato a Presidente de la Nacin, tendramos que consultar a todos los argentinos en condiciones de votar, lo cual implica una movilizacin de recursos que hace imposible su realizacin.

Muestra: Es un subconjunto de elementos pertenecientes a una poblacin, escogidos para su estudio. Las caractersticas descubiertas a partir del anlisis de la muestra se denominan estimadores.

Como es imposible encuestar a toda la poblacin (censo) se analiza la intencin de voto de un grupo ms reducido denominado muestra, para luego extrapolar las conclusiones del grupo al total de la poblacin.Las muestras pueden ser de 2 tipos:

Muestra Aleatoria: se selecciona determinada cantidad de elementos de una poblacin, sobre la base que cada uno de esos elementos tiene la misma posibilidad de ser elegido.

Muestra No Aleatoria: es aquella en la que el investigador elige, deliberadamente, los objetos a ser estudiados.

Variable: es aquello que vamos a analizar en el estudio que estamos desarrollando, nuestro inters es medirla, controlarla y estudiarla. Representa una caracterstica de la poblacin que queremos estudiar, pero que podemos observar a travs de una muestra, por ello puede tomar diferentes valores. La variable es el resultado a obtener. Las variables pueden ser cualitativas y cuantitativas variables cualitativas: son aquellas que poseen un atributo que no puede ser sometido a cuantificacin: sexo, raza, nivel socioeconmico, etc.

variables cuantitativas: arrojan resultados numricos: son mltiples los ejemplos: la cantidad de votos de un candidato, la venta mensual de un artculo (dominio discreto), altura de las personas (dominio continuo)3. Ramas de la estadstica

La estadstica es una disciplina que se divide en tres grandes ramas:

a) Estadstica descriptiva: es la disciplina dedicada a descubrir las regularidades o caractersticas existentes en un conjunto de datos, es decir sobre informacin histrica obtiene, resume y transforma datos para poder interpretar ciertas caractersticas.

b) Inferencia Estadstica: es el proceso por el cual se intenta extender las conclusiones de la muestra (estimadores) a la poblacin (parmetros poblacionales).En el caso de la intencin de voto, de una muestra de 10.000 personas se deduce que el 60 % votara por el candidato X podra afirmarse que este porcentaje se extiende a todos los votantes?, la inferencia estadstica nos permite definir un intervalo de confianza a partir de cierto nivel de probabilidad fijado como deseable, el resultado se expresara as el candidato X obtendra entre el 55 y 65 % de los votos con un nivel de confianza del 95 %.

qu nos indica el nivel de confianza del 95 %? simplemente que existe un 5 % probabilidades que el candidato obtenga menos del 55 % o ms del 65 %. Naturalmente surge la pregunta esta conclusin es confiable? y depende de la precisin con que se desee trabajar. Por lo pronto no discutiremos si el 95 % es suficiente o no, pero podemos asegurar que un 95 % de confianza es mejor que un 90 % Llevado al campo de los seguros, un ejemplo sera analizar si de la siniestralidad histrica de una cartera de los ltimos 5 aos se repetir en el prximo ao, c) Teora de las probabilidades: es la rama dedicada a la deduccin y estimacin de las probabilidades asociadas a una experiencia aleatoria, nacida como una teora de los juegos (para ganar en el casino) hoy tiene infinidad de aplicaciones.

A los efectos de este repaso de temas nos bastar con la primera y tercera rama. Por lo general trabajaremos con muestras y no con poblaciones. 4. Ms definiciones

Previo a los desarrollos a seguir es necesario acordar sobre los siguientes conceptos: Experiencia aleatoria E: la definiremos como la realizacin de un experimento donde no conocemos a priori el resultado que puede ocurrir. Ejemplos son:

arrojar una moneda al aire

rodar un dado sobre una mesa

observar la vida de una persona de 30 aos durante un perodo de 10 aos

observar los daos sufridos a consecuencia del fuego por un edificio durante un ao

la palabra aleatorio deriva del latn alea que significa dado, los antiguos romanos eran aficionados a los juegos de dados.

Espacio muestral son todos los resultados posibles a priori vinculados a la experiencia aleatoria anterior, se encuentra definido por los estados de la naturaleza, de modo que. para evitar caer en un estado de incertidumbre diremos que conocemos todas las alternativas que pueden aparecer. La notacin tradicional representa el espacio muestral con una llave ( (, el lector habr notado que se trata de un conjunto. Ejemplos son

la moneda al caer lo hace de uno de sus lados M = (c , s(.

El dado se detiene con una de sus caras hacia arriba D = (1, 2, 3, 4, 5, 6(.

Al cabo de 10 aos la persona observada pudo sobrevivir o fallecer P = (supervivencia, muerte por distintas causas(.

Los daos producidos por un incendio pueden variar desde 0 en caso de no producirse un siniestro hasta el importe de reconstruccin del edificio S = (0 - Valor de Reconstruccin(.

Elementos del espacio muestral: es cada uno de los resultados posibles correspondientes a cada espacio muestral. Si bien ya hecho referencia a ellos en el punto anterior repetimos su enunciacin

Al juego de la moneda le corresponden dos elementos: cara o seca

Al rodar el dado la cara superior visible tiene seis elementos Es estado vital de una persona al cabo de 10 aos de observacin, ser que viva o que muera.

En el caso de incendio los elementos muestrales estn representados por las diversas causas que pueden provocar un incendio indemnizable o no.

En el caso del seguro nos interesan aquellos elementos que darn lugar al pago de una indemnizacin, los designaremos especficamente con el nombre de eventos o siniestros

Suceso o evento: con este concepto denominaremos a un subconjunto cualquiera de elementos del espacio muestral. En general diremos que el suceso es significativo, sealizado como A, cuando su aparicin implica la realizacin de una accin, y su contrario que no da lugar a la accin prevista. Ambos subconjuntos abarcan a todos los elementos del espacio muestral, de modo que siempre verificaremos que

utilizando un diagrama de Venn

X

La organizacin de los subconjuntos significativos y no significativos es arbitraria, su definicin depender de los objetivos del observador. Cuando est definido por un solo elemento decimos que se trata de un evento simple y cuando est formado por ms de uno se tratar de eventos compuesto. Volvamos a nuestros ejemplos Si jugamos a arrojar la moneda al aire y el evento significativo es ganar cuando sale cara, cada uno de los elementos que nos lleva a ganar o perder se constituye como un suceso significativo simple.

(

En el caso del dado jugamos a ganar si sale un nmero par, como hay varios elementos muestrales que cumplen con esta condicin definimos

(

TEORA DE LA PROBABILIDAD1. Definiciones de la probabilidadSe consideran vigentes 3 definiciones:

a) Definicin clsica

Este concepto se atribuye a Laplace quien en Francia a fines del siglo XVIII, desarroll las hiptesis que devinieron en la actual teora de las probabilidades. Esta probabilidad surge de una elaboracin intelectual al considerar el cociente entre casos favorables y casos posibles, donde este ltimo est dado por la cantidad de elementos del espacio muestral. Por un momento volvamos a la definicin de suceso significativo, sealizado como A caracterizado como el subconjunto de X en que la aparicin de sus elementos implica la realizacin de una accin, y su contrario formado por los restantes elementos que no darn lugar a la accin prevista. Obviamente los dos subconjuntos no tienen elementos en comn, lo que los define como dos conjuntos disjuntos, tendremos que

(

donde el signo # (numeral) representa la cantidad de elementos del conjunto o subconjunto indicado..

La probabilidad de ocurrencia de A se define como el cociente entre la cantidad de casos favorables y casos posibles

Aclaremos con algunos ejemplos

Se analiza la probabilidad de obtener cara de la experiencia arrojar una moneda al aire. El espacio muestral est compuesto por dos elementos cara y seca, es decir estos 2 elementos son los casos posibles. Si consideramos significativo que salga cara y no significativo que salga seca, tendremos

(

la probabilidad de obtener cara (evento A) ser

La experiencia consiste en apostar una suma de dinero al arrojar un dado, del cual presumimos se encuentra bien balanceado, donde ganaremos si obtenemos un nmero par y perderemos si el nmero es impar. Para calcular la probabilidad de ganar definimos:

(

la probabilidad de obtener un nmero par es

b) Definicin moderna

En el caso de la moneda, si se encontrara perfectamente balanceada resulta razonable suponer que las probabilidades de obtener cara y seca son iguales. Pero hay dos cuestiones que debemos aclarar:

que la probabilidad de obtener cara sea del 50 % no implica bajo ningn concepto que cada dos tiradas de la moneda se obtendr una vez cara.

quin puede garantizar a priori que la moneda es perfecta?

Supongamos que realizamos la experiencia aleatoria n veces de la cual conocemos a priori los resultados posibles, y anotamos en un papel el resultado obtenido. La cantidad de veces que se haya observado cada uno de los resultados posibles o sucesos constituye la frecuencia absoluta y si a este nmero lo dividimos por n obtenemos la frecuencia relativa

Si tiramos 10 veces una moneda y la sucesin de resultados es (c, c, s, c, s, c, s, c, c, s( entonces diremos que

La frecuencia absoluta del suceso A (obtener cara) es 6 y su frecuencia relativa es 0,6

La frecuencia absoluta del suceso (obtener seca) es 4 y su frecuencia relativa es 0,4

En trminos algebraicos definimos

fa(A)como la frecuencia absoluta del suceso salir cara sobre n ensayos ((A)es la frecuencia relativa del suceso, de modo que

Entonces definimos la probabilidad en su sentido moderno, conforme a la concepcin de Von Mises, como el valor de la frecuencia relativa cuando n tiende a infinito

Ejemplo: representemos en la siguiente tabla la frecuencia absoluta y relativa de la experiencia aleatoria arrojar al aire una moneda 50 veces, con fines prcticos representaremos el suceso de obtener cara con el nmero 1 y el de salir seca con el 0. Los resultados obtenidos han sido representados en la tabla de la siguiente pgina

Nota: La realizacin de un experimento con solamente 50 repeticiones no es muy confiable para afirmar que la frecuencia relativa es la probabilidad, pero si hiciramos 1.000 repeticiones la frecuencia relativa sera un nmero muy cercano a . Qu nos dice esto, simplemente que si la moneda est bien balanceada, la probabilidad de obtener cara ser muy cercana al 50 %.

ExperimentoFrecuenciaFrecuenciaExperimentoFrecuenciaFrecuencia

nObservacinAbsolutaRelativanObservacinAbsolutaRelativa

fa(A)((A)fa(A)((A)

1111261140,538

2121270140,519

3020,667280140,500

4130,750290140,483

5030,600301150,500

6030,500311160,516

7140,571320160,500

8150,625331170,515

9050,556340170,500

10160,600350170,486

11060,545361180,500

12060,500371190,514

13060,462380190,500

14170,500390190,487

15070,467401200,500

16180,500411210,512

17080,471421220,524

18190,500431230,535

191100,526440230,523

201110,550450230,511

211120,571461240,522

220120,545471250,532

230120,522480250,521

241130,542490250,510

250130,520501260,520

Verificaremos que a medida que aumenta la cantidad de experimentos la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en un valor medio

c) Definicin subjetivaTanto en la definicin clsica y moderna se supone que la experiencia aleatoria puede ser repetida, a la vez que los resultados se suponen objetivos (no dependen del observador). Ahora cuando no hay informacin verificable, ya sea porque no hay una experiencia previa o porque el experimento no es repetible debemos recurrir al olfato del observador

La probabilidad se estima a partir de la experiencia y/o creencia que tiene el observador respecto de la ocurrencia de cierto suceso. El principal inconveniente de ste mtodo es que distintos observadores asignarn distintas probabilidades a un mismo evento esperado.Comparando las definiciones clsica y moderna de la probabilidad, concluimos que la diferencia es que mientras la primera se refiere a una representacin intelectual (a priori) de los resultados del experimento, la definicin moderna recurre a la evidencia emprica. En otras palabras quien manifiesta que la probabilidad de lanzar una moneda (que no conoce) al aire y salga cara es del 50 %, est utilizando el criterio clsico: supone que la moneda es perfecta. Mientras que si antes de comprometernos con un resultado, experimentamos con la moneda, estamos asumiendo el concepto moderno de probabilidad. A esta altura el lector sospechar que el criterio moderno es mejor que el clsico, si consideramos que no existe una moneda perfecta.

A esta altura el lector estar totalmente desorientado, hay tres definiciones cual es vlida?, la respuesta es todas y ninguna, en realidad se deben combinarse las tres.

Propiedades de la probabilidad

Ahora pasamos a considerar las propiedades bsicas de la probabilidad

Razonabilidad

Consideremos el anlisis de una experiencia aleatoria sobre la cual no se tiene un conocimiento previo contundente que nos permita aplicar un criterio objetivo, el procedimiento de evaluacin consistir en:

a) identificar los distintos resultados posibles o tcnicamente elementos para configurar el espacio muestral

b) asignar probabilidades a cada elemento

siguiendo el criterio clsico la asignacin depender del buen juicio del observador, tarea no tan simple como uno deseara. Volviendo al informe del servicio metereolgico sobre si llover o no, qu factores influirn en la decisin de llevar paraguas? Podran ser la credibilidad que nos inspira el Servicio Metereolgico Nacional, el reuma del abuelo, o incluso las ganas que tengamos de cargar el paraguas. Objetivamente la decisin depender de si la probabilidad asignada es alta o baja, lo peor que nos puede suceder es asignar un 50 % de probabilidad de lluvia, estaramos en un estado de incertidumbre absoluta.

La razonabilidad se entiende en el sentido que observadores objetivos, con experiencia en la evaluacin del evento analizado, asignarn probabilidades similares. El criterio es apropiadamente explicado por Schlaifer

Los hombres razonables basan las probabilidades que asignan a los hechos del mundo real en su experiencia con los hechos del mundo real, y cuando dos hombres razonables tienen ms o menos la misma experiencia con cierto tipo de hecho le asignan aproximadamente la misma probabilidad. Rango numrico

Cualquiera sea la definicin utilizada, la probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso es un nmero no negativo (nulo o positivo), correspondiendo el valor 0 al caso de imposibilidad de ocurrencia del evento, aunque de hecho tambin se consideran imposibles aquellos eventos cuya ocurrencia es remota, por ejemplo un terremoto en la ciudad de Buenos Aires, el otro extremo la probabilidad tendr asignado el valor 1 cuando existe la certeza de ocurrencia del suceso analizado, el ejemplo tpico en los seguros es la muerte. Considerando la definicin moderna

si se verifica que

si se verifica que

Obviamente las probabilidades no pueden ser mayores que 1, en la expresin anterior notamos que el numerador fA es la frecuencia absoluta, es decir es un contador, donde se suma 1 cada vez que aparece el suceso deseado, por lo tanto nunca puede ser superior al denominador que representa las repeticiones de la experiencia aleatoria, de modo que

Este concepto llevado al seguro donde el asegurador se interesa por el suceso o evento significativo ocurrencia de siniestros, debera cumplirse la regla de oro que la suma recaudada de primas debe estar acorde con el riesgo asumido, una interpretacin intuitiva nos dir que cuanto mayor sea el riesgo (la probabilidad de ocurrencia del siniestro ser ms elevada que un valor normal) mayor es la prima que se debe cobrar.

Por otro lado no puede afirmarse sin considerar el entorno y las consecuencias si un valor pequeo de probabilidad es significativo o no. Por ejemplo que una fbrica de lmparas incandescentes tenga una probabilidad de producir una lmpara defectuosa del 1 % puede ser considerado dentro de los estndares normales, en cambio si hablamos de fallas que ocasionan que un paracadas no se abra en el aire, no podemos asumir como un riesgo normal que cada 100 saltos al vaco uno de los deportista muera.

Eventos completos

Si el conjunto del espacio muestral se encuentra formado por s elementos independientes, de modo que

se verifica que

lo cual indica que estamos en una situacin de riesgo: conocemos los estados de la naturaleza representado por cada uno de los elementos del conjunto S y sus probabilidades. Obsrvese que al decir que la suma de las probabilidades de cada uno de los elementos es 1 estamos asumiendo que no existe otro elemento no previsto dentro del conjunto S.Ejemplifiquemos:

Sea el experimento de lanzar la moneda aire, en tal caso el espacio muestral est compuesto por dos elementos siendo A1 el elemento obtener cara y A2 el elemento obtener seca, a priori si la moneda es perfecta la probabilidad de ocurrencia es del 50 %, de modo que

de este modo representamos un evento completo, la probabilidad de ocurrencia de cualquier otro suceso que no sea cara o seca es imposible

Sea el experimento rodar un dado sobre la mesa, cada elemento del espacio muestral est determinado por el nmero de la cara superior del cubo detenido , por el criterio clsico la probabilidad de obtener un nmero cualquiera es 1/6, la suma de estas probabilidades es

Regla de la adicin de las probabilidadesHasta ahora hemos analizado eventos separados, pero ahora nos interesa ver qu sucede con las probabilidades vinculadas a 2 eventos que distintos, debemos distinguir dos situaciones:

a) eventos mutualmente excluyentesA modo de ejemplo podemos pensar en un seguro de automviles donde se cubren varios riesgos, podra ser A el evento de producir daos a terceros por parte del asegurado y B el evento que el vehculo sea robado.

Diremos que dos sucesos A y B sern mutuamente excluyentes si es imposible que se verifique simultneamente la ocurrencia de ambos eventos. Si ocurre A no ocurre B y viceversa. En nuestro ejemplo si el asegurado produce daos a terceros manejando su vehculo implica que no ha sido robado (no se verifica B), y si el automotor hubiese sido robado el asegurado no podra producir daos a terceros al manejarlo (no se verifica A).

En trminos de conjuntos diremos que son disjuntos de modo que al no tener elementos comunes, su interseccin es el conjunto vaco

Conocidas las probabilidades de A y B, en caso de ser los eventos mutuamente excluyentes afirmamos que la probabilidad que ocurra A o B, que podramos simbolizar como o como es

donde:

P(A)

es la probabilidad que el asegurado manejando produzca daos a terceros

P(B)

es la probabilidad que el vehculo sea robado

es la probabilidad que el vehculo produzca daos a terceros o que sea robado. (es una o la otra, no ambas a la vez)

generalizando

b) eventos no excluyentesEn tal caso pueden verificarse simultneamente dos o ms eventos, definamos dos subconjuntos C y D que representan 2 eventos distintos pero que tienen elementos comunes (no son disjuntos). Por lo tanto si apareciera el elemento comn se verificaran los dos eventos.

Continuando con el ejemplo del seguro de automviles podramos definir C como el evento de chocar y producir daos en la unidad y D como el evento de producir daos a terceros. Tengamos presente que:

se puede chocar contra una columna y no producir daos a terceros

se puede rayar la pintura de otro vehculo y no daar la unidad

se puede chocar y simultneamente producir daos a terceros

Conocidas ambas probabilidades se verificar

donde

Siendo N la cantidad de elementos del espacio muestral y la probabilidad que en el experimento se verifique la ocurrencia del elemento i-simo.VARIABLE ALEATORIA

Hecha la revisin de la probabilidad y de sus principales propiedades pasaremos a analizar un concepto vinculado el de variable aleatoria y sus dos medidas caractersticas: la esperanza matemtica y la dispersin.Al comenzar el captulo definimos los elementos muestrales como los resultados posibles vinculados a una experiencia aleatoria, a la vez que vimos 2 ejemplos vinculados a juegos de azar y otros tantos aplicados a los seguros poniendo nfasis en el resultado obtenido (estado de la naturaleza) sin embargo a una compaa de seguros si bien le interesa la ocurrencia de los siniestros (frecuencia) tambin le preocupa el importe a pagar (intensidad). Cuando a estos elementos muestrales les asignamos un valor numrico, ese elemento se ha transformado en una variable aleatoria. a) La esperanza matemtica

Supongamos que una persona conocida nos solicita le compremos el billete de una rifa de 3 cifras que premiar el nmero ganador con $ 10.000, en caso de no salir favorecido el premio a cobrar es 0. El espacio muestral S est compuesto por los mil nmeros posibles a salir

,

El hecho de ganar el sorteo corresponde a uno y solo uno de los elementos definidos, y el de no ganar a 999 elementos del espacio muestral. A priori las probabilidades de ganar o perder el premio son

obviamente

En principio si nos ofrecen el billete de la rifa gratis, sera racional aceptarlo, como as tambin lo rechazaramos si nos pidieran $ 10.000 por el billete, en cambio si nos solicitan una contribucin de $ B de modo que 0 < B < 10.000, antes de tomar una decisin ponderaremos las probabilidades de ganar o perder.

Si los organizadores de la rifa no tuvieran gastos ni buscaran beneficios por su gestin, el importe a recaudar necesario para afrontar las erogaciones sera de $ 10.000. Sin tener idea alguna de estadsticas podemos aplicar un criterio determinista y calcular fcilmente el costo de cada billete haciendo

Este resultado determinista es vlido en cuanto al nmero asignado al costo del billete, y es lgico porque no hay posibilidad de pagar ms de una vez el premio, porque no es posible que dos personas jueguen al mismo nmero. Obtenemos el mismo resultado utilizando el concepto de esperanza matemtica, definimos la variable aleatoria X que puede tomar dos valores:

si sale sorteado nuestro nmero X1 = 10.000

si no sale sorteado X2 = 0

Bajo los supuestos de no existencia de costos y beneficios para el organizador, una persona indiferente al riesgo evaluar que el precio equitativo del billete es de $ 10,- , criterio coincidente con el determinstico.

Siguiendo el criterio estadstico calculamos la esperanza matemtica, la variable aleatoria X que puede tomar dos valores:

si sale sorteado nuestro nmero X1 = 10.000

si no sale sorteado X2 = 0

En la prctica existen gastos, recargos de seguridad y beneficios para el organizador, igual modo que para una compaa de seguros. Supongamos el caso de la quiniela. Es un juego de azar con distintas modalidades de apuesta, la ms habitual es realizar una apuesta correspondiente a un nmero de 2 cifras que en caso de resultar premiado retribuye 70 veces la apuesta y si no resulta favorecido se pierde lo jugado. El espacio muestral est compuesto por los nmeros (00, 01, 02, . . . , 99( y la probabilidad de ganar apriori es P(A) = 1 %.

Desde un punto de vista determinista, si todos los nmeros fueran jugados en al misma medida, para una muestra de 100 apostadores correspondiendo a cada uno de ellos un nmero distinto, para una apuesta de $ 1,- tendramos:

Recaudacin = 100 nmeros ( $ 1 = $ 100

Pago de Premios = 1 ganador ( $ 70 = $ 70

La diferencia de $ 30 corresponde al pago de gastos y beneficios para el organizador. Reitero el supuesto restrictivo que todos los nmeros son jugados con la misma preferencia, en la prctica no es as producindose quebrantos extraordinarios si resulta ganador un nmero muy jugado, esta circunstancia se cubre con un determinado margen de seguridad, de modo que en realidad los $ 30 del ejemplo se destinan adems a constituir un margen de seguridad.

En este caso muchas personas considerarn que este juego tiene poco de equitativo, porque si jugaran a todos los nmeros invertirn en un resultado seguro $ 100, pero solo recibiran $ 70,-. Pero ningn apostador jugara a los 100 nmeros sino que le tiene fe a un nmero determinado, por lo que sin demasiados cuestionamientos acepta las reglas del juego.

Como ejercicio mental el lector puede pensar en lo equitativo o no de los distintos juegos de azar, un caso interesante es el de la ruleta, donde por acertar un pleno se gana 36 veces el importe de la apuesta y los distintos resultados posibles son 37 (o 38 cuando se incorpora el doble cero)

Como enunciacin general, determinaremos el valor esperado de la variable aleatoria X, considerando que puede tomar N valores particulares (reales) xi con probabilidad pi , la esperanza matemtica ser:

En el caso particular que todos los puntos muestrales xi tengan la misma probabilidad (sean equiprobrables) , obtendremos que la esperanza matemtica es igual a la media.

b) La Varianza y Dispersin

La esperanza matemtica nos da una idea del valor promedio que debera tomar la variable aleatoria analizada, pero este no es un nmero vinculado a la certeza sino que los valores realmente observados se ubicarn alrededor de ese valor central. La pregunta es qu tan alejados estarn de lo estimado, para responder recurrimos a otra medida la varianza y su raz cuadrada denominada desvo estndar o dispersin. En el caso de los seguros, esta ser una medida del margen de seguridad que deber recargar el asegurador en la prima para tener la seguridad de cubrir los posibles desvos en la siniestralidad prevista.

y la dispersin ser

en el caso particular que los valores reales sean equiprobables

la varianza ser

y la dispersin su raz cuadrada

Es importante tener presente que la dispersin representa los desvos en ms y en menos respecto de la esperanza matemtica, sin embargo al asegurador no le preocupan los desvos en menos (es ms se alegrar) sino los desvos positivos que deber recargar a la prima.Prctica1) Un sr. compra un billete de lotera en que puede ganar un primer premio de $ 5.000 con una probabilidad de 0,1 % si el costo del billete es de $ 15, determine el valor esperado de comprarlo y cul sera el precio equitativo.

Nos ayudamos con un cuadro de resultados y probabilidades

Gana(5.000 15)0,001

Pierde- 150,999

El valor esperado de comprar el billete es

La interpretacin de este resultado es que si este seor comprara una gran cantidad de billetes por cada uno de ellos sufra una prdida de $ 10,- Veamos esto con un poco ms de detalle: analizando las probabilidades notamos que hay en juego 1.000 billetes, si nuestro jugador en un acto de desesperacin por ganar comprara todos los cartones invertira $ 15.000 y el premio obtenido (con certeza porque tiene todos los nmeros) sera de $ 5.000, su prdida total ascendera a $ 10.000 ($ 10 por cada uno de los billetes jugados).

Qu representan esos $ 10 para el organizador del sorteo? Obviamente su ganancia, y no podra ser de otro modo porque sino no habra incentivo a organizar la lotera.No obstante nos resulta ms interesante obtener el precio equitativo, el cual queda definido como aqul valor del billete que hace que el organizador no gane ni pierda. Este precio justo es el que corresponde a un valor esperado 0, el clculo es similar al anterior solo que en vez de calcular la ganancia consideramos lo que cobrara

Gana cobra5.0000,001

Pierde cobra00,999

Si el precio del billete fuera de $ 5, el valor esperado de la ganancia de nuestro apostador sera nulo y el organizador no ganara ni perdera nada.2) Un sr. compra un billete de lotera en que puede ganar un primer premio de $ 5.000 o un segundo premio de $ 2.000 con probabilidades 0,1 % y 0,3% determine el precio equitativo del billete.

Aqu las probabilidades son independientes, el apostador no puede ganar simultneamente ambos premios. Nuevamente nos conviene ayudarnos con un cuadro

Gana 1 premio cobra5.0000,001

Gana 2 premio cobra2.0000,003

Pierde cobra00,996

recurriendo a la esperanza matemtica

Si el billete tiene un costo de $ 11, el sorteo ser equitativo en el sentido en que al organizador no sufrir prdida o ganancia alguna (si consigue vender todos los billetes). Es evidente que no tiene demasiado sentido continuar expresando el ltimo trmino por cuanto al estar multiplicado por 0 se anula, de ahora en ms prescindiremos del mismo.

3) Un vendedor de ambulante se dedica a la venta de paraguas en una regin donde la probabilidad de lluvia es independiente del da anterior y es siempre del 30 %. Dados los costos de transporte nuestro vendedor sabe que si llueve ganar $ 300 por da y si hay buen tiempo perder $ 60. le conviene seguir vendiendo paraguas?

Para obtener una respuesta debemos calcular el valor esperado de su ganancia diaria, nos ayudamos con un cuadro de datos donde representa la ganancia diaria

Lluvia3000,30

Buen tiempo- 600,70

El resultado nos indica que si este vendedor sale todos los das dotado de paraguas y se verifican las probabilidades de que cada 100 das 30 son lluviosos, por da ganar en promedio $ 48.

En realidad para saber si le conviene o no tendr que compararlo con lo que obtendra vendiendo otros artculos. No debemos caer en la confusin de creer que todos los das ganar $ 48, eso es un error habr das en que perder dinero y los de lluvia ganar $ 300, el resultado de $ 48 representa el promedio diario obtenido si todos los das durante una gran cantidad de das vende paraguas.

4) Continuando con el caso anterior de nuestro vendedor de paraguas, si los das de sol no vende nada y el costo de transporte sigue siendo $ 60 por da, la ganancia por cada paraguas vendido es de $ 10 cul debera ser su venta los das de lluvia para no perder dinero?El planteo nos cuestiona la venta a realizar para obtener un valor esperado 0, nuevamente nos ayudamos con el cuadro de datos

Lluvia

0,30

Buen tiempo

0,70

donde es la cantidad de paraguas vendidos en un da de lluvia, con una ganancia unitaria de $ 10 y un costo fijo de transporte.

despejando la incgnita

Resumiendo, nuestro vendedor debe vender 20 paraguas los das de lluvia para no perder dinero.

B

A

B

C

A

A

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A

Ms adelante veremos algunos casos en dnde un orden determinado resulta importante.

Un juego de azar es aquel cuyo resultado es estrictamente aleatorio, no son juegos de azar las carreras de caballos, los eventos deportivos y/o cualquier otro que requiera la habilidad de los participantes.

En realidad la decisin depender de cada uno de nosotros, para algunos el 55 % ser suficiente para llevarlo y otros requerirn ms del 80 %

Recordemos que para aumentar la precisin se debe aumentar el tamao de la muestra y con ello los costos

en este caso definimos un rango de daos.

Si el juego implicara una erogacin si sale seca tambin podramos definir el evento significativo simple seca, sin embargo en materia aseguradora lo mas comn es que un solo tipo de eventos sea significativo

Quienes concurren habitualmente al casino conocen muy bien la diferencia.

Alta o baja respecto a qu?, cada uno de nosotros tiene un valor de referencia.

Introduction to statistics for business decisions (Mc Graw-Hill, New York, 1961)

Geolgicamente no se considera zona de riesgo ssmico

Comnmente se cree que un seguro de vida cubre el riesgo de muerte, esto no es posible porque la muerte es un suceso tan cierto como inevitable, el objeto de los seguros de vida es el riesgo de muerte prematura, el tema se profundizar en la parte pertinente.

Imagine una experiencia similar en que consigue 1.000 personas y cada uno de ellas elige un nmero a su antojo, si todos eligieran nmeros distintos no habra ningn problema, pero seguramente habr nmeros que no han sido elegidos y otros muy jugados. A priori no se puede determinar con certeza el resultado para el organizador, si sale un nmero no jugado retendr el premio, pero si sale un nmero muy jugado no tendr fondos suficientes para pagar a cada ganador.

A pesar de estar prevista la posibilidad de salir favorecido un nmero muy jugado, ha ocurrido que para equilibrar la relacin costos e ingresos en varias oportunidades se pag a los ganadores un importe menor al previsto (letra chica del reglamento) alterando las reglas naturales del juego. Este abuso de modo alguno puede permitirse a un asegurador, si as fuera distribuira la masa de primas puras entre los siniestrados abonando un importe menor a lo debido por siniestros liquidados. Sin embargo tal situacin sucede en caso de liquidacin de la compaa, donde con suerte los acreedores por siniestros recuperan parte de las deudas.

En los seguros de vida y muerte es la base principal sobre la que se fundamenta el calculo de la prima pura.

Supuesto que se mantendr en la actividad aseguradora

Esta ltima referencia se refiere al cumplimiento de la ley de los grandes nmeros

1

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_1145169811.xlsGrfico1

1

1

0.6666666667

0.75

0.6

0.5

0.5714285714

0.625

0.5555555556

0.6

0.5454545455

0.5

0.4615384615

0.5

0.4666666667

0.5

0.4705882353

0.5

0.5263157895

0.55

0.5714285714

0.5454545455

0.5217391304

0.5416666667

0.52

0.5384615385

0.5185185185

0.5

0.4827586207

0.5

0.5161290323

0.5

0.5151515152

0.5

0.4857142857

0.5

0.5135135135

0.5

0.4871794872

0.5

0.512195122

0.5238095238

0.5348837209

0.5227272727

0.5111111111

0.5217391304

0.5319148936

0.5208333333

0.5102040816

0.52

Cantidad de lanzamientos

Frecuencia relativa

Frecuencias relativa del suceso cara

Hoja1

ExperimentoObservacinFrecuenciaFrecuencia

NCara = 1AbsolutaRelativa

Seca = 0CaraCara

1111

2121

3020.667

4130.750

5030.600

6030.500

7140.571

8150.625

9050.556

10160.600

11060.545

12060.500

13060.462

14170.500

15070.467

16180.500

17080.471

18190.500

191100.526

201110.550

211120.571

220120.545

230120.522

241130.542

250130.520

261140.538

270140.519

280140.500

290140.483

301150.500

311160.516

320160.500

331170.515

340170.500

350170.486

361180.500

371190.514

380190.500

390190.487

401200.500

411210.512

421220.524

431230.535

440230.523

450230.511

461240.522

471250.532

480250.521

490250.510

501260.520

Hoja1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Cantidad de lanzamientos

Frecuencia relativa

Frecuencias relativa del suceso cara

Hoja2

Hoja3

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